Week 02 Theorie: Wapening balken -Scheurmoment Het buigend moment (Mr) vlak voordat de trekzone gaat scheuren σb = fb Als de belasting toeneemt zal de trekzone gaan scheuren σb fb. Alle trekkrachten worden dan geconcentreerd in de aanwezige wapening. De neutrale lijk verplaatst zich dan naar boven. Vloeimoment (Me) Indien de vloeispanning de wapening heeft bereikt. σs = fs Bezwijkmoment(mu) Als de maximale betonstuik bij het verder opvoeren van de belasting is bereikt. σ b = f b en ε b = 3.5 * 10-3 m/m N b = Ns De hoogte van de drukzone xu is afhaneklijk van de hoeveelheid aanwezige wapening. Een geringe hoeveelheid wapening geeft een kleinere Ns en N b, dit leidt tot een kleinere waarde voor de hoogte van de drukzone (xu). Mu = N b * z of Mu = Ns * z z = de inwendige hefboomarm tussen het zwaartepunt van het drukdiagram en het zwaartepunt van de trekwapening. Uiterste opneembare trekkracht Ns Ns = As * fs Ns = trekkracht (N) As = totaal oppervlakte van de trekwapening (mm2) fs = de staalspanning (N/mm2) Globale controle en ontwerpberekening (rechthoekige doorsnede) Mu = Ns * z = As * fs * 0.9d De constructie bezwijkt niet zolang het inwendig moment (Mu) groter of gelijk is aan het uitwendig moment (Md). 1 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Mu Md Globale bepaling hoeveelheid benodigde wapening As = Md / fs * 0.9d Mu = Md 2 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Gegeven: Een balk met afmetingen b. h = 250. 500 mm 2 en lengte l, is vrij opgelegd op twee steunpunten en wordt belast door een kracht F (Figuur 1). beton C20/25 staalsoort FeB 500 milieuklasse XC1 veiligheidsklasse 3 F 250 l = 5,0 m F = 50 kn 0,5 l 0,5 l 500 d Figuur 1 Gevraagd: Bepaal de benodigde hoeveelheid wapening A s. Berekening: M u = ¼ F l = ¼. 50. 5,0 = 62,5 knm Dekking c = 30 mm (milieuklasse XC1), beugels ø8, hoofdwapening geschat op ø16 d = h - c - ø bgl - ½. ø hw = 500-30 - 8 - ½. 16 = 454 mm M u = N s. z = N b. z N s = M u / z Stel z = 0,9 d N s = 62,5 / (0,9 0,454) = 153kN N s / f s = 153000 / (500/1,15) = 352 mm 2 7 φ 8 = 7 50.3 = 352 mm 2 Let op voldoende beton tussen de aanwezige staven. Anders staven kiezen met grotere diameter en vervolgens controleren, immers de inwendige hefboomarm veranderd. 3 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Minimum-wapeningspercentage (ω 0 min ) Draagconstructies in staal, hout en beton Bij onvoldoende wapening zal het betonstaal niet in staat zijn de trekkracht van het beton over te nemen en zal het staal breken. Een plotselinge toename van de belasting brengt dus het gevaar van een spontane breuk (brosse breuk) in het wapeningstaal met zich mee. As min = ω 0 min * b * h * 10 4 Omdat de kracht in de totale betontrekzone moet worden opgenomen, wordt het minimum wapeningspercentage betrokken op de totale hoogte van de betondoorsnede. Maximum wapeningspercentage (ω 0 max ) Om plotseling bezwijken (zonder waarschuwing) van de betondoorsnede te voorkomen, is het noodzakelijk dat de wapening gaat vloeien voordat de maximale betondruksterkte wordt bereikt. As max = ω 0max * b * d * 10 4 Uit het vervormings-spanningsdiagram kunnen we afleiden dat het maximum wapeningspercentage wordt betrokken op de nuttige hoogte d. d = h c 0 bg ½ 0 hw Scheurvorming Op buiging belaste betonelementen zullen onder invloed van de belastingen gescheurd zijn. Risico scheurvorming - aantasting wapening - vermindering functie wapening 4 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Eisen scheurwijdte - toetsing scheurvorming in de bruikbaarheidstoestand (waarschuwingseffect) Scheurwijdte en scheurpatroon - Een goede scheurverdeling vermindert de kans op aantasting. - Scheurverdelend vermogen is sterk afhankelijk van de hechting van het beton aan het wapeningstaal. - Verbetering hechtend oppervlak door een hoog wapeningspercentage en staven met een kleine middellijn te kiezen. Door goede detaillering van de wapening kunnen we de scheurvorming beheersen. Toetsing scheurwijdte De gekozen kenmiddellijn Økm van de hoofdtrekwapening moet kleiner of gelijk zijn aan de voorgeschreven waarde. Maximale toelaatbare kenmiddellijn Økm voor geribd betonstaal. De gekozen hart-op-hart afstand s van de staven moet kleiner of gelijk zijn aan een voorgeschreven waarde. Maximaal toelaatbare staafafstand s voor geribd betonstaal. Wordt aan één van beide voorwaarden voldaan dan wordt geacht dat de scheurvorming binnen de toelaatbare grens blijft. 5 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Formule maximaal toelaatbare kenmiddellijn Draagconstructies in staal, hout en beton Ø km (k 1 * ξ ) / σ s in mm Formule voor maximale staafafstand s 100 * ((( k2 * ξ) / σs ) 1.3) in mm ξ = aanhechtingsfactor ( voor geribd betonstaal is ξ = 1 k1 en k2 zijn de waarden die bepaald worden door de milieuklassen Økm (5000 * 1) / σs (milieuklasse 1) Økm (5000 * 1) / 250 = 20 mm (zie tabel max. Økm) s = 100 * (((1000 / 250) 1.3) = 270 mm (zie tabel max. staafafstand) De scheurwijdte is rechtevenredig met de optredende staalspanning, bij toenemende staalspanning zal de wapening verlengen waardoor de scheuren wijder worden. Scheurwijdte kun je beperken door: Lagere staalspanning Kleinere kenmiddellijn van de wapeningsstaven Kleinere tussenafstand tussen de wapeningsstaven Grotere betondekking dan c min (Een groter aanhechtend oppervlak geeft dus een betere spreiding van de trekkracht over de doorsnede) Voor de controle van de scheurvorming gaan we uit van de bruikbaarheidsgrenstoestand. Incidentele combinatie 1.0G + 1.0 Q (extreme waarde rekenen). 6 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Toetsing staalspanning σ s = (M rep / M d ) * f s of σ s = (q rep / q d ) * f s σs fs Mrep (qrep) Md qd spanning in betonstaal de rekenwaarde van de treksterkte in betonstaal de rekenwaarde van het buigend moment in de BGT (bij incidentele belasting) de rekenwaarde van het buigend moment in de UGT de rekenwaarde van de gelijkmatig verdeelde totale belasting. Vaak is er sprake van overdimensionering van de wapening. As aanwezig > As berekend Het effect is dan dat de staalspanning evenredig lager wordt σ s = (M rep / M d ) * (A s berek / A s aanw ) * f s of σ s = (q rep / q d ) * (A s berek / A s aanw ) * f s Naarmate we meer overdimensioneren daalt de staalspanning en worden de scheuren minder wijd. Bundelen staven - Bij te weinig ruimte onderin de balk - Ten hoogste 3 staven - Staven moeten over de volle lengte van de kortste staaf tegen elkaar aan liggen. Bepaling staafafstand s = b/n b = breedte balk b = aantal staven in de breedte Wapening in verschillende lagen De waarden voor s (staafafstand) mogen vermenigvuldigd worden met m. m is het aantal gewogen lagen, A s totaal / A s buitenste laag 7 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Voorbeeld Betonbalk 400 * 600 mm B25 FeB 500 De balk wordt gelijkmatig verdeeld belast. Qrep = 60 kn/m Qd = 84 kn/m Milieuklasse 2 As = 1773 mm2 Keuze 4Ø25 = 1963 mm2 Berekening staalspanning in gebruikstadium (qrep = G + Qe + Qm = 60 kn/m) σ s = (q rep / q d ) * (A s berek / A s aanw ) * f s σ s = (60 / 84) * (1763 / 1963) * 435 = 281 N/mm2 Controle maximale kenmiddellijn Uit de tabel volgt: Økm = 14 mm (interpolatie) Aanwezig Økm = 25 De gekozen wapening voldoet niet (weinig aanhechtvlak) Controle maximale steekafstand Uit tabel: s = 139 mm (interpolatie) De aanwezige staafafstand bedraagt: s = b / n s = 400 / 4 = 100 139 mm De gekozen wapening voldoet aan de scheurwijdteeis. 8 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Betonbalken Krachtsverdeling balk op 3 steunpunten Snijdt men de balk door in steunpunt B dan verkrijgt men twee losse balken (ieder op twee steunpunten). Onder invloed van een belasting ontstaat er dan een gaping tussen beide balken t.h.v. steunpunt B. Het optredend veldmoment voor beide balken is M 0veld = 0,25FL Op de gaping te sluiten dient men boven een trekkracht en onder een drukkracht aan te brengen. Het koppel tussen deze beide krachten vormt dan het steunpuntsmoment. 9 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
De uiteindelijke momentenlijn verkrijgen we door de momentenlijnen van a en b te superponeren. M veld = M 0 1/2M B Dus hoe groter MB hoe kleiner Mveld. Als we nu de wapening dimensioneren op de maatgevende momenten dan wapenen we eigenlijk meer dan nodig is. Er is namelijk voldoende veiligheid tegen bezwijken als de momentensom is opgenomen, M d = 1/8ql 2 We kunnen dus kiezen om de wapening te reduceren, zodanig dat de momentensom nog wordt opgenomen. De veiligheid is niet in het geding, wel zullen we plaatselijk verhoogde scheurvorming en vervormingen moeten accepteren. Het gebruik maken van deze mogelijkheid noemen we Rekenen op de gunstige herverdeling van de momenten in het bezwijkstadium. Voorwaarden a. Er moet aan evenwicht worden voldaan. De momentensom moet ten alle tijden kunnen worden opgenomen. M u veld + gemid. M u steunpunt 1/8ql 2 b. Maximale reductie van het grootste moment mag niet leiden tot een moment dat kleiner is dan: 0,8 maal het grootste moment in de beschouwde snede. M max gered. 0,8M dmax c. Voor het bepalen van de optredende dwarskrachten en oplegreacties moet volgens a en b bepaalde momentenverdeling worden aangehouden. Om bros bezwijken te voorkomen moeten we garanderen dat voldoende rek in het wapeningstaal wordt verzorgd door een voorwaarde te stellen aan de maximale hoogte van de betondoorsnede, immers deze is rechtevenredig aan de trekwapening. Hiermee bereiken we dat het wapeningstaal gaat vloeien voordat de maximale betondruksterkte wordt bereikt. De VBC stelt een maximale verdeling van 20% Xu/d = k x max = 0,535 0,2 = 0,335 Berekeningsvoorbeeld: boek CB2 blz 258. 10 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Trek en drukwapening 11 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
12 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Maximale wapeningspercentage is bedoeld om plotseling bezwijken van de drukzone te voorkomen. As max = ω 0max * b * d * 10 4 ω 0 > ω 0max - Balkafmeting vergroten - Sterkteklasse beton verhogen - Trek- en drukwapening toepassen Principe trek- drukwapening Zowel in de trek als in de drukzone een gelijke hoeveelheid wapening toepassen zodat beide vloeien. d = 0,202d (FeB500) Voor het bepalen van de benodigde trek- en drukwapening splitsen we het totaal op te nemen moment in twee delen. M d totaal = M d1 + M d2 M d totaal : M d1 : M d2 : Totaal op te nemen moment in de doorsnede Het moment dat door de balk kan worden opgenomen behorende bij ω 0max en de normale hefboomsarm z. As max = ω 0max * b * d * 10 4 Het restmoment (Mdtot Md1), door een gelijk hoeveelheid trek (A s2 ) en drukwapening (A s2 ) op te nemen. Hierbij is de inwendige hefboomsarm de afstand tussen het zwaartepunt van de trek- en drukwapening (d d ) M d2 = A s2 * f s * (d d ) A s totaal = A s1 + A s2 = ω 0max * b * d * 10 4 + (M d tot M d1 ) / (f s * (d d ) A s2 = (M d tot M d1 ) / (f s * (d d ) 13 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
14 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Voorbeeld: Boek CB2, rekenvoorbeeld 19, blz 263 T-balken Als een balk doorbuigt t.g.v. een optredende belasting zal het aansluitende deel van de vloerplaat deze vervorming mee moeten volgen. Hierdoor heersen er niet alleen in de balk drukspanningen maar ook in de aansluitende vloerplaat. Meewerkende breedte De breedte van dit meewerkende vloerdeel varieert over de lengte van de balk. Naarmate de overspanning van de balk groter is, zal de meewerkende breedte groter zijn. Als uitgangspunt wordt genomen dat in het bezwijkstadium in de uiterste drukvezel van de meewerkende breedte, evenals bij een rechthoekige balkdoorsnede, de rekenwaarde van de drukspanning f b optreedt. Als meewerkende breedte be moet in rekening worden gebracht Bij T-balken: be = bw + b1 + b2 Bij F-balken: be = bw + b1 be: meewerkende breedte bw: ribbreedte b1: 0,1 * l > 0,5L1 b2: 0,1 * l > 0,5L2 15 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
(als b1 = b2 = 0,5L, doet de hele vloer mee) l : de theoretische overspanning van de balk of tweemaal de lengte bij een uitkraging L1: de dagmaat, gemeten loodrecht op de overspanningsrichting van de balk en betrekking hebbend op de aangrenzende vloervelden. 16 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
De neutrale lijn ligt in de flens De drukzone is rechthoekig De berekening kan met de GTB-tabellen worden uitgevoerd Als breedte voor de drukzone wordt de breedte be van de T-balk ingevoerd. Met de waarde kx kan worden gecontroleerd of de neutrale lijn werkelijk in de flens ligt. De neutrale ligt in het lijf De vorm van de drukzone is niet rechthoekig De berekening kan niet worden uitgevoerd met de GTB-tabellen. Bij het berekenen van de wapening van een T-balk komt het echter zelden voor dat de neutrale lijn in het lijf van de balk valt. 17 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
18 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
19 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
20 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Voorbeeld: Boek CB2, rekenvoorbeeld 20, blz 268 21 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Wapeningschema s Bij liggers over meer dan twee steunpunten en zijn berekend met de momentcoefficienten zijn geen maximale en minimale momentenlijn beschikbaar, zodat momentnulpunten niet precies kan worden afgeleid. Om toch een verantwoorde lengte voor de veld- en steunwapening te bepalen is in de volgende figuren aangegeven waar de berekende wapening mag worden beëindigd. Wapeningschema balk op twee steunpunten vrij opgelegd. Wapeningschema tussenveld van een doorgaande ligger 22 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Wapeningschema eindveld van een doorgaande ligger 23 van 24 M.J.Roos 26-11-2006
Stroomschema berekening balkwapening Draagconstructies in staal, hout en beton 24 van 24 M.J.Roos 26-11-2006