4 ongruentie it kun je al 1 een figuur spiegelen, verschuiven of draaien de eigenschappen herkennen van de verschuiving, de spiegeling en de draaiing 3 de middelloodlijn en de bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek 4 de afstand bepalen tussen twee punten en van een punt tot een rechte 5 hoeken berekenen met de hoekensom Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord. ontroleer je antwoord in de correctiesleutel. chter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum. 1 Hoe wordt figuur afgebeeld op figuur? Verder oefenen? s r (O, 180 ) (fig. ) = fig. t a (fig. ) = fig. (fig. ) = fig. oef. nr. 610 Y fig. o a fig. Y Wat is geen eigenschap van de spiegeling? 3 In welke driehoek is m de middelloodlijn van een zijde? e grootte van de hoek blijft behouden. m e lengte van een lijnstuk blijft behouden. m e oriëntatie van de hoeken blijft behouden. m oef. nr. 63 ad 4 Hoe bepaal je de afstand van het punt S tot de rechte k? S S S ad 5 ereken als je weet dat = 35 k k k = 55 = 145 = 65 oef nr. 75 it heb je nodig leerwerkboek p. 73-98 oefenboek nr. 774-871 geodriehoek passer groene en rode pen kleurpotloden Inhoud M0 ongruente figuren p. 74 M1 ongruente driehoeken p. 76 M ewijzen met congruente driehoeken p. 8 M3 igenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk p. 86 M4 igenschap en constructie van de bissectrice van een hoek p. 88 M5 ewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk p. 90 M6 ewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek p. 94 73
M0 ongruente figuren a Op verkenning ongruente figuren Welke figuur is een spiegelbeeld van figuur 1? iguur... Teken de spiegelas en noem ze a. Welke figuur is een schuifbeeld van figuur 1? iguur 3... Teken een verschuivingsvector en noem deze Y. Welke figuur is een draaibeeld van figuur 3? iguur 4... Teken het centrum O van deze draaiing. Hebben deze vier figuren dezelfde vorm en dezelfde grootte? Ja... Waaruit kun je dit met zekerheid afleiden? 1 3 ij de spiegeling, de verschuiving en de draaiing blijft de vorm en de grootte behouden....... Kun je figuur 1 door een spiegeling, een verschuiving of een draaiing afbeelden op figuur 5? Waarom (niet)? Neen, de figuren zijn niet even groot en een spiegeling, een verschuiving of een draaiing behoudt de lengte... van de zijden en de grootte van de hoeken. e figuren zijn wel gelijkvormig, niet congruent.... a 5 4 O Y lke figuur, behalve figuur 5, heeft dezelfde vorm en dezelfde grootte als haar beeld. ls je de figuur en het beeld zou uitknippen en op elkaar zou leggen, dan zouden ze elkaar volledig bedekken. iguren die precies op elkaar passen, zijn congruente figuren. Weetje ongruent komt van het Latijnse woord congruere dat overeenstemmen betekent. INITI Wiskundetaal definitie ongruente figuren zijn figuren die door een spiegeling, een verschuiving, een draaiing (of een samenstelling ervan) op elkaar kunnen worden afgebeeld. ongruente figuren hebben dezelfde vorm en dezelfde grootte. 1 figuur 1 figuur lees je als figuur 1 is congruent met figuur. ONTROL 4 Zijn de figuren congruent? Verklaar. = ~ Neen, de cirkels kunnen niet op elkaar worden afgebeeld. Ja, de letters kunnen door een puntspiegeling...... of draaiing op elkaar worden afgebeeld. 74 ongruentie
b ongruente veelhoeken Kun je trapezium afbeelden op trapezium KLMN Ja door een spiegeling?... Teken de spiegelas a. Welke eigenschappen blijven behouden bij het spiegelen?... e spiegeling behoudt de lengte van een... lijnstuk, de grootte van een hoek, de vorm... en de grootte van een vierhoek, de onderlinge ligging van rechten.... Zijn deze trapeziums congruent?... Welke hoek uit trapezium KLMN is het spiegelbeeld van?... M en M noem je overeenkomstige hoeken. Geef de overeenkomstige zijde van [].... [KL] Ja N K L M a GRIPPN IGNSHP SPRK Wiskundetaal begrippen en eigenschappen ongruente veelhoeken zijn congruente figuren. In congruente veelhoeken zijn overeenkomstige zijden of overeenkomstige hoeken de zijden en de hoeken die op elkaar worden afgebeeld door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing. (of een samenstelling ervan). In congruente veelhoeken zijn alle overeenkomstige zijden even lang en alle overeenkomstige hoeken even groot. In congruente veelhoeken noteer je altijd de overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde. Δ Δ GH [] en [] zijn overeenkomstige zijden. en zijn overeenkomstige hoeken. G H Oefeningen 1 Welke figuren zijn congruent? Verklaar. Gebruik de juiste notatie. vierkant... 1 ~ = vierkant 7 driehoek... 5 ~ = driehoek 6 vierkant... ~ = vierkant 3 ~ = vierkant 4 ~ = vierkant... 9 ~ = vierkant 10 rechthoek... 8 ~ = rechthoek 11 lke... figuur is congruent met zichzelf. ef. congruente driehoeken... 5 1 6 3 4 9 7 10 8 11 WR? 774-786 MR? 787-791... Wat moet je kunnen? congruente figuren herkennen congruente figuren tekenen congruente figuren definiëren elke figuur is congruent met zichzelf def. congruente driehoeken 75
M1 ongruente driehoeken Op verkenning riehoek is congruent met driehoek. Vul aan. =... =... =... Ê =... =... =... IGNSHP igenschap congruente driehoeken ongruente driehoeken zijn driehoeken waarvan alle overeenkomstige zijden even lang zijn en alle overeenkomstige hoeken even groot. Δ ΔPQR = PQ = P = PR = Q = QR = R 3 4 Δ ΔQRP Moet je telkens al deze gelijkheden gebruiken om een driehoek te tekenen die congruent is met een gegeven driehoek? Onderzoek. Werkwijze: Je neemt de begindriehoek. Je tracht telkens een driehoek te tekenen die voldoet aan de gegeven gelijkheid (of gelijkheden), maar die niet congruent is met de begindriehoek. ontroleer je tekening met de transparante begindriehoek. 3,5 R 3,5 P 4 3 Q a 1 gelijkheid = = Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als: Neen Neen 1 paar zijden even lang is?... 1 paar hoeken even groot is?... 76 ongruentie
b gelijkheden = en = = en = = en = Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als: Neen Neen Neen 1 paar zijden even lang en 1 paar hoeken even groot zijn?... paar zijden even lang zijn?... paar hoeken even groot zijn?... c 3 gelijkheden 3 paar hoeken of 3 paar zijden = en = en = = en = en = Gebruik hiervoor je passer. Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: 3 paar hoeken hebben, die even groot zijn?... 3 paar zijden hebben, die even lang zijn?... paar hoeken en 1 paar zijden Hoe kun je de zijde tekenen ten opzichte van de gegeven hoeken? Neen Ja e zijde ligt tussen de hoeken of de zijde ligt niet tussen de hoeken.... = en = en = 77
M1 ongruente driehoeken (vervolg) ls je van twee hoeken in een driehoek de hoekgrootte kent, wat weet je dan over de grootte van de derde hoek? e som van de hoeken in een driehoek is 180.... Stel dat je in de vorige tekening de zijde niet tussen de hoeken tekent, kun je dan een driehoek tekenen die niet congruent is met driehoek? Neen.... Leg dit uit. ls je twee hoeken kent, ken je ook de derde hoek.... Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: paar hoeken hebben, die even groot zijn en als de ingesloten zijde even lang is?... paar hoeken hebben, die even groot zijn als de aanliggende zijde even lang is?... paar zijden en 1 paar hoeken Hoe kun je de hoek tekenen ten opzichte van de gegeven zijden? e hoek ligt tussen de zijden of de hoek ligt niet tussen de zijden.... = en = en = = en = en = Ja Ja Mag je besluiten dat twee driehoeken congruent zijn als ze: Ja Neen paar zijden hebben, die even lang zijn en de ingesloten hoek even groot is?... paar zijden hebben, die even lang zijn en als een aanliggende hoek even groot is?... Wat als hoek recht is? Kun je een rechthoekige driehoek tekenen die niet congruent is met driehoek als je paar zijden even lang neemt?... Neen Je ontdekte dat drie goed gekozen gelijkheden voldoende zijn om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn. eze drie gelijkheden vormen een congruentiekenmerk. 78 ongruentie
Wiskundetaal congruentiekenmerken voor driehoeken Twee driehoeken zijn congruent als volgende elementen even groot zijn: Notatie: de drie zijden ZZZ Weetje HHH is geen congruentiekenmerk. een zijde en twee hoeken HZH ZHH HHZ Weetje twee zijden en de ingesloten hoek HZZ of ZZH zijn geen congruentiekenmerken, tenzij de hoek 90 is. twee zijden en een rechte hoek tegenover één van die zijden ZHZ ZZ90 Oefeningen Zijn de driehoeken congruent? Verklaar met een congruentiekenmerk. a b c WR? 79-794 MR? 795-800... Ja, ZZZ Neen, ZZH is geen congruentiekenmerk....... 3 Teken een driehoek congruent met de gegeven driehoek en gebruik het kenmerk ZHZ. uid het congruentiekenmerk aan op de figuur. Ja, ZZ90 WR? 801 MR? 80 803 r zijn verschillende oplossingen mogelijk afhankelijk van de zijden die je hebt gekozen. 79
M1 ongruente driehoeken (vervolg) WR? 804 MR? 805 806 4 Verdeel de figuur telkens in twee congruente driehoeken. Noteer de congruente driehoeken. Noteer het congruentiekenmerk. a b c WR? 807 808 5 Teken driehoek met = 60 en = 70. Teken driehoek als je weet dat Δ Δ. Δ ~... = Δ ZZZ Δ ~... = Δ Δ ~... = Δ ZZZ ZZZ, ZZ90, ZHZ MR? 809 70 60 70 60 WR? 810 MR? 811 81 6 Zijn de gegeven driehoeken congruent? Indien ja, noteer het congruentiekenmerk en noteer de driehoeken volgens overeenkomstige zijden. Indien neen, verklaar. a Voor Δ en Δ geldt: = = = Kenmerk ZZZ Δ ~ = Δ 80 ongruentie
b // TU T U Voor Δ en ΔSTU geldt: = TS = T = U = 90 S Kenmerk ZHH Δ ~ = ΔSTU G K L M Voor ΔG en ΔKLM geldt: G = KL G = LM = K Je kunt niet met zekerheid zeggen dat ΔG ~ = ΔKLM omdat ZZH geen congruentiekenmerk is. d S T U = R Voor ΔRS en ΔUT geldt: Â = Â Ŝ = T = 90 R = U U R Kenmerk HHZ ΔRS ~ = ΔUT e Voor Δ en Δ geldt: = = Ĉ = Ê = 90 Kenmerk ZZ90 Δ ~ = Δ Wat moet je kunnen? congruentiekenmerken van driehoeken formuleren congruentiekenmerken van driehoeken herkennen congruentiekenmerken van driehoeken illustreren door een tekening 81
M ewijzen met congruente driehoeken Op verkenning In de tweede eeuw na hristus bedacht de Romeinse landmeter Marcus Nipsus een methode om de breedte van een rivier te bepalen zonder die rivier te moeten oversteken. Vanuit een punt kiest hij, loodrecht op de oever, aan de overkant een herkenningspunt (bv. de boom in het punt ). Hij zet een paaltje in het punt, stapt 0 passen verder langs de oever en plaatst in het punt een tweede paaltje. Hij stapt nog eens 0 passen verder tot in het punt en plaatst er een derde paaltje. Vanuit gaat hij loodrecht van de oever weg tot hij en op één rechte lijn ziet. it punt noemt hij. Hij beweert dat de lengte van [] even lang is als de breedte van de rivier. Heeft Marcus Nipsus gelijk? STP 1 STP Verkennen Wat weet je zeker? uid dit in het groen aan op de derde tekening. - e afstanden van tot en van tot zijn gelijk. - e hoeken en zijn beiden 90....... Wat wordt er beweerd? uid dit in het rood aan op de derde tekening. e afstand van tot is gelijk aan de afstand van tot.... nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken 1 vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. = = = 90 = 8 ongruentie
Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Kun je op de figuur nog zijden of hoeken vinden waarvan je zeker weet dat ze even groot of even lang zijn? enk aan vroegere eigenschappen. Omcirkel het congruentiekenmerk dat je kunt gebruiken. Noteer de gelijkheden. Wat mag je nu besluiten? Had Marcus Nipsus gelijk? Δ en Δ Ĉ 1 = Ĉ ZHZ ZZZ HZH ZHH ZZ90 H = = 90 Z = H Ĉ 1 = Ĉ Δ ~ = Δ = Overstaande hoeken zijn even groot. Je kent twee hoeken en de tussenliggende zijde. Gegeven Gegeven ig. overstaande hoeken ls twee driehoeken congruent zijn, dan zijn alle overeenkomstige zijden even lang. Marcus Nipsus had dus gelijk. STP 3 ewijs ewijs congruente driehoeken Gegeven: = = = 90 1 Te bewijzen: = ewijs: Voor Δ en Δ geldt: H = = 90 (gegeven) Z = (gegeven) H 1 = (eig. overstaande hoeken) HZH Δ Δ ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken = Weetje In een bewijs met congruente driehoeken noteer je alle elementen van de ene driehoek links van het gelijkheidsteken. e elementen van de andere driehoek noteer je rechts van het gelijkheidsteken. e congruentiekenmerken van driehoeken kun je vaak gebruiken om aan te tonen dat in een figuur twee lijnstukken even lang of twee hoeken even groot zijn. 83
M ewijzen met congruente driehoeken (vervolg) Oefeningen WR? 813-816 MR? 817 7 ewijs dat je de vlieger kunt opsplitsen in twee congruente driehoeken en. Wat weet je nu over en? Verklaar. is een vlieger Gegeven:...... Δ ~ = Δ Te bewijzen:... ewijs: Verbind de punten en. Zo bekom je de driehoeken... en.... Voor Δ... en Δ... geldt:........................... Z = (def. vlieger) Z = (def. vlieger) Z = (gemeenschappelijke zijde) ZZZ Δ ~ = Δ = ig. Overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken. WR? 818-85 MR? 86-89 8 ewijs via congruentie dat in de onderstaande figuur M = M. M Gegeven: M = M = Â = = 90 Te bewijzen: M = M ewijs: Voor ΔM en ΔM geldt: Z = (gegeven) H Â = = 90 (gegeven) Z M = M (gegeven) ZHZ ΔM ~ = ΔM ig. Overeenkomstige zijden in congruente driehoeken M = M 84 ongruentie
9 Toon aan dat het grondvlak en het bovenvlak van dit driezijdig prisma congruent zijn. Gegeven: Prisma met grondvlak Δ en bovenvlak Δ Te bewijzen: Δ Δ WR? 830 MR? 831 83 Verkenning: e zijvlakken van een prisma zijn parallellogrammen (def. prisma). e overstaande zijden zijn dus steeds even lang. Je duidt dit aan in het groen op de figuur. r wordt beweerd dat de twee driehoeken congruent zijn. nalyseren: Uit het gegeven leer je dat =, = en =. Te bewijzen is dat Δ ~ = Δ. ls je deze driehoeken inkleurt, zie je al dat de drie overeenkomstige zijden even lang zijn. Het congruentiekenmerk is dus ZZZ. ewijs: Voor Δ en Δ geldt: Z = (in een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang) Z = (in een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang) Z = (in een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang) ZZZ Δ ~ = Δ Wat moet je kunnen? congruentie van driehoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken gelijke lengten van lijnstukken en gelijke grootte van hoeken bewijzen aan de hand van de congruentiekenmerken van driehoeken 85
M3 igenschap en constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Op verkenning a igenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk Phoebe en Robinah hebben elk een schooltje in een dorp in frika. Je belooft hen te helpen om een waterput te bouwen die langs de weg ligt maar die ook even ver ligt van het schooltje van Phoebe (punt P) en het schooltje van Robinah (punt R). Waar bouw je de waterput? Teken de afstand tussen het schooltje in P en het schooltje in R in vogelvlucht. Snijdt de weg dit lijnstuk in het midden?... onstrueer een punt op 4 cm van P en R en een punt op 3 cm van P en R. Teken een rechte m door de punten en. de middelloodlijn Neen m is... van [PR]. Teken nog twee verschillende punten op de rechte m. Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R?... Teken twee verschillende punten die niet op de rechte m liggen. Liggen deze punten op gelijke afstand van P en R?... Waar denk je dat de punten moeten liggen opdat de afstanden tot de punten P en R gelijk zouden zijn?... epaal de plaats waar je de waterput gaat bouwen. Ja Neen e punten moeten op de middelloodlijn van [PR] liggen. P Weetje e afstand in vogelvlucht is de kortste afstand tussen twee punten. m waterput R igenschap middelloodlijn van een lijnstuk en punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk a.s.a. het punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van het lijnstuk. Z is een punt op de middelloodlijn m van [Y]. Z = ZY m Z Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M5. M Y b onstructie van de middelloodlijn van een lijnstuk Welke eigenschap hebben de punten die op de middelloodlijn van [] liggen? Ze liggen op gelijke afstand van de grenspunten van dat lijnstuk.... Met een passer Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten?... Twee Hoeveel punten heb je nodig om een rechte te kunnen tekenen?... 86 ongruentie
Stappenplan een middelloodlijn van een lijnstuk construeren Neem een passeropening groter dan de helft van []. onstrueer twee cirkelboogjes met middelpunten en, en met dezelfde straal. uid de twee snijpunten P en Q aan die je bekomt. P Teken door de snijpunten P en Q de rechte m. eze rechte is de middelloodlijn van []. Q m P Plaats de nodige merktekens. Q Het bewijs van de contructie van de middelloodlijn vind je in het oefenboek: oef. 861. Oefeningen WR? 833 834 10 Verdeel [Y] in twee even lange lijnstukken. 11 onstrueer alle punten die even ver liggen van Gebruik alleen passer en liniaal. en. WR? 837 838 MR? 835 836 m MR? 839-850 d M Y Wat moet je kunnen? de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk toepassen de middelloodlijn van een lijnstuk met de passer construeren 87
M4 igenschap en constructie van de bissectrice van een hoek Op verkenning a igenschap van de bissectrice van een hoek en houtfabriek wil zich vestigen in de buurt van twee belangrijke autosnelwegen. Vier vestigingsplaatsen komen in aanmerking. Welke vestigingsplaats ligt even ver van de twee snelwegen? Hoe meet je de afstand van een punt tot een rechte? e afstand van een punt tot een rechte is de afstand van dat punt... tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op die rechte. Meet telkens de afstand van de punten tot de benen van de hoek. Wat stel je vast voor:... punt? e... afstanden van tot de benen zijn verschillend. punt? e... afstanden van tot de benen zijn verschillend. punt? e... afstanden van tot de benen zijn gelijk. punt? e... afstanden van tot de benen zijn gelijk. Teken in het groen door en een rechte b. Wat is b van de hoek? Wat vermoed je? e rechte b is de bissectrice van de hoek.... Wat denk je over de punten die op b liggen? e punten op de bissectrice b liggen op gelijke afstanden van de benen van de hoek.... b igenschap de bissectrice van een hoek en punt ligt op de bissectrice van een hoek P is een punt op de bissectrice b van. a.s.a. b P het punt op gelijke afstand ligt van de benen van de hoek. d( P,[ ) = d( P,[ ) Het bewijs van deze eigenschap vind je in je oefenboek: oef. 861. b onstructie van de bissectrice van een hoek Welke punten liggen op de deellijn van? lle punten die op gelijke afstand liggen van de benen van Â.... Hoe bepaal je de afstand van een punt tot de benen van een hoek? oor een loodlijn te tekenen vanuit dat punt op de benen van de hoek.... Wat weet je van de afstanden van de voetpunten van die loodlijnen tot het hoekpunt? ie afstanden zijn gelijk.... Hoe kun je gelijke afstanden bepalen zonder te meten? Met een passer.... Stappenplan een bisscetrice van een hoek construeren onstrueer een cirkelboog door elk been met als middelpunt en een willekeurige straal. 88 ongruentie
uid de twee snijpunten en Y aan die de cirkelboogjes maken met de benen van hoek. Y Teken in en Y telkens een cirkelboog met dezelfde straal. eze cirkelbogen snijden in het punt Z. Z Y Teken de rechte door Z en het hoekpunt. eze rechte is de bissectrice van. Z Plaats de nodige merktekens. Het bewijs van deze constructie vind je in het oefenboek: oef. 866. Y Oefeningen 1 onstrueer alle punten die even ver liggen van de benen van hoek. WR? 851-854 b MR? 855-857 13 onstrueer alle bissectrices van de snijdende rechten a en b. a Hoeveel hoeken vormen twee snijdende rechten?... b Hoeveel bissectrices heb je getekend?... c Wat stel je vast? e bissectrices van de overstaande hoeken vallen samen omdat de overstaande hoeken even groot zijn. d Wat is op deze tekening de onderlinge ligging van de twee bissectrices? e bissectrices staan loodrecht op elkaar. a Vier c d Twee (want bissectrices vallen samen) WR? 858 MR? 859 860 Wat moet je kunnen? de eigenschap van de bissectrice van een hoek verwoorden de eigenschap van de bissectrice van een hoek toepassen de bissectrice van een hoek met de passer construeren b 89
M5 ewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een en lijnstuk Op verkenning igenschap de middelloodlijn van een lijnstuk en punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk Z is een punt op de middelloodlijn m van [Y]. Z m a.s.a. het punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van het lijnstuk. Z = ZY M Y STP 1 Verkennen Vul aan. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. it betekent... dat de eigenschap uit twee delen bestaat. eel1: ls een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk.... Noteer voor deel 1 het gegeven. en punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk.... Noteer voor deel 1 het te bewijzen. e afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk zijn gelijk.... eel: ls een punt op gelijke afstand ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk.... Noteer voor deel het gegeven. e afstanden van een punt tot de grenspunten van een lijnstuk zijn gelijk.... Noteer voor deel het te bewijzen. Het punt ligt op de middelloodlijn van het lijnstuk.... Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel (verdieping). L 1 eigenschap ls een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken m Z Weetje Punt Z ligt op de middelloodlijn m en kun je symbolisch noteren als Z m, want m is een rechte en dus een verzameling van punten. Z is een element van deze verzameling. 1 M Y 90 ongruentie
vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. m is de middelloodlijn van [Y]. Z ligt op m Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je bewijzen dat afstanden gelijk zijn? Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Z = YZ Via congruente driehoeken Δ ZM en Δ YZM ZHZ Z M = YM H M 1 = M = 90 Z ZM = ZM ΔZM ~ = ΔZMY Neen In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. def. middelloodlijn def. middelloodlijn Gemeensch. zijde e even lange overeenkomstige zijden kun je afleiden uit de congruente driehoeken. STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (deel 1) ls een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de grenspunten van het lijnstuk gelijk. Gegeven: m is de middelloodlijn van [Y]. Z is een punt van de middelloodlijn m (Z m). Z m Te bewijzen: Z = ZY ewijs: Voor ΔZM en ΔYZM geldt: Z M = YM (def. middelloodlijn) H M 1 = M = 90 (def. middelloodlijn) Z ZM = ZM (gemeenschappelijke zijde) 1 M Y ZHZ ΔZM ΔYZM ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken Z = ZY 91
M5 ewijs: de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk (vervolg) L eigenschap ls een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken m Z 1 M Y vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? Je hebt verschillende mogelijkheden. Teken m en noem M het snijpunt met [Y]. Wat weet je nu nog meer door deze tekening? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? [Y] Z = ZY Z is een punt van de middelloodlijn m van [Y]. e hoogtelijn m uit Z met voetpunt M dus m = ZM ZM = ZM M 1 = M = 90 ZZ90 Z Z = ZY Z ZM = ZM 90 M 1 = M ΔZM ~ = ΔZMY M = YM oor de hoogtelijn krijg je twee driehoeken die een zijde gemeenschappelijk hebben en elk een rechte hoek hebben. Gegeven Gemeensch. zijde ef. hoogtelijn Uit de congruentie kun je andere gelijkheden afleiden: ZM snijdt [Y] in het midden en staat loodrecht op [Y] bijgevolg is ZM de middelloodlijn van [Y]. 9 ongruentie
STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de middelloodlijn (deel verdieping) ls een punt op gelijke afstanden ligt van de grenspunten van een lijnstuk, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van het lijnstuk. Gegeven: [Y] m Z = ZY Z 1 M Y Te bewijzen: Z is een punt van m (Z m), met rechte m de middelloodlijn van [Y]. ewijs: Je hebt drie mogelijkheden: v. 1 Je gebruikt in de driehoek de hoogtelijn uit Z. ZM is een hoogtelijn M is het snijpunt van ZM en Y. Voor ΔZM en ΔYZM geldt: Z Z = ZY (gegeven) Z ZM = ZM (gemeenschappelijke zijde) H M 1 = M = 90 (def. hoogtelijn) ZZ90 ΔZM ΔYZM M = MY ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken ef. zwaartelijn m is de zwaartelijn uit Z op [Y] Uit & volgt: ZM is de middel - loodlijn van [Y]. Wat moet je kunnen? de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen 93
M6 ewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek Op verkenning igenschap de bissectrice van een hoek en punt ligt op de bissectrice van een hoek P is een punt op de bissectrice b van. a.s.a. het punt op gelijke afstand ligt van de benen van de hoek. d( P,[ ) = d( P,[ ) b P STP 1 Verkennen Vul aan. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. it betekent... dat de eigenschap uit twee delen bestaat. eel 1: ls een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk.... Noteer voor deel 1 het gegeven. en punt ligt op de bissectrice van een hoek.... Noteer voor deel 1 het te bewijzen. e afstanden van dat punt tot de benen van de hoek zijn gelijk.... eel : ls een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van de hoek.... Noteer voor deel het gegeven. e afstanden van een punt tot de benen van een hoek zijn gelijk.... Noteer voor deel het te bewijzen. Het punt ligt op de bissectrice van de hoek.... L 1 STP Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel (verdieping). eigenschap ls een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken 1 P vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. b is de bissectrice van hoek. P ligt op b (P b). Â 1 = Â d(p, [) = d(p, [) 94 ongruentie
Hoe kun je bewijzen dat afstanden gelijk zijn? Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lang zijn of hoeken waarvan je weet dat ze even groot zijn? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Via congruente driehoeken Δ P en Δ P = Ĉ = 90 P = P HHZ H = Ĉ = 90 H Â 1 = Â Z P = P ΔP ~ = P Neen. In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. ef. afstand van een punt tot een rechte Gemeensch. zijde ef. afstand van een punt tot een rechte ef. bissectrice Gemeensch. zijde Uit de congruente driehoeken de gevraagde even lange overeenkomstige zijden afleiden. STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel 1) ls een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan zijn de afstanden van dat punt tot de benen van de hoek gelijk. Gegeven: b is bissectrice van. P is een punt van de bissectrice b (P b) 1 P b Te bewijzen: d( P, [ ) = d( P, [ ) ewijs: Uit P worden loodlijnen getekend op de benen van hoek. e voetpunten noem je en. d( P, [ ) = P d( P, [ ) = P Voor ΔP en ΔP geldt: H = = 90 (def. afstand van een punt tot een rechte) H 1 = (def. bissectrice) Z P = P (gemeenschappelijke zijde) HHZ ΔP ΔP ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken P = P = = 90 d( P, [ ) = d( P, [ ) ef. afstand punt rechte 95
M6 ewijs: de eigenschap van de bissectrice van een hoek (vervolg) L eigenschap ls een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van een hoek STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken 1 P vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. Teken de rechte P. Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lang zijn of hoeken die even groot zijn? Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? d(p, [) = d(p, [) en zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van hoek, dus P = P P is een punt op de bissectrice b. Â 1 = Â Δ P en Δ P = Ĉ = 90 P = P ZZ90 Z P = P Z P = P 90 = Ĉ = 90 ΔP ~ = ΔP Neen ef. afstand van een punt tot een rechte. Gemeensch. zijde Gegeven ef. afstand van een punt tot een rechte Uit het voorgaande afleiden dat P de bissectrice van is. 96 ongruentie
STP 3 ewijs ewijs eigenschap van de bissectrice van een hoek (deel ) ls een punt op gelijke afstand ligt van de benen van een hoek, dan ligt dat punt op de bissectrice van de hoek. Gegeven: hoek b = P d( P, [ ) = d( P, [ ) en zijn de voetpunten van de loodlijnen op de benen van hoek. b 1 P Te bewijzen: P is een punt van de bissectrice b van hoek (P b). 1 = ewijs: Voor ΔP en ΔP geldt: Z P = P (gemeenschappelijke zijde) Z P = P (gegeven) H = = 90 (def. afstand van een punt tot een rechte) ZZ90 ΔP ΔP ig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken 1 = P ligt op de bissectrice b van hoek. Oefeningen 14 e bissectrices c en d van snijdende rechten a en b staan steeds loodrecht op elkaar. ewijs dit. Verkenning:... Welke meetkundige elementen? issectrices van snijdende rechten.... In het snijpunt vind je 4 hoeken. Gegeven:... a b c en d zijn bissectrices Te... bewijzen: c d ewijs:... M is het snijpunt van a en b.... M 1 + M = 180 (def. nevenhoeken) d M 1 a c WR? 861 86 MR? 863-871 c is biss. v. M 1 d is bissectr. v. M 1 M 1 + 1 M = 1 180 " " is distr. t.o.v. " + " in q......... 1 [ M 1 + M ] = 90... def. loodrechte stand. c d...... b Wat moet je kunnen? de eigenschap van de bissectrice van een hoek bewijzen 97
Problemsolving 1 en aantal ringen wordt geschakeld tot een ketting als in de figuur. e totale lengte van de ketting is 1,7 m. Uit hoeveel ringen bestaat de ketting? cm 3 cm 1,7 m 17 1 30 4 85 ij één schakel is de totale diameter 6 cm. Vanaf de tweede schakel komt er telkens 4 cm bij (6 cm tweemaal de dikte van de ring). Plaats de gegevens in de tabel en zo ontdek je regelmaat. n 1 3 4 n (170 ) : 4 = 4 lengte in cm 6 cm 10 cm 14 cm 18 cm 4n + 170 Hieronder zijn een aantal ontwikkelingen van een kubus getekend. Welke ontwikkelingen zijn congruent? 1 3 4 5 6 iguur 1 en figuur 3 ig. 3 is spiegelbeeld van fig. 1. iguur en figuur 6 ig. is combinatie van draaibeeld (over een hoek van 90 ) en spiegelbeeld van fig. 6. iguur 3 en figuur 4 ig. 3 is draaibeeld (over een hoek van 90 ) van fig. 1. iguur 1 en figuur 4 ig. 4 is combinatie van draaibeeld (over een hoek van 90 ) en spiegelbeeld van fig. 1. 3 e diameter Y van de cirkel is 10 cm. Hoe lang is de omtrek van de groene figuur? a = 5 cm (de helft van de middellijn) a =,5 cm Totale omtrek van de figuur is 8a. 8a = 8,5 cm = 0 cm......... Y... 4 Hoeveel procent van de volledige figuur is grijs gekleurd? ls je de grijze cirkelsectoren naar binnen plooit, dan wordt het binnenste vierkant helemaal met grijs gevuld. Het binnenste grijze vierkant is 1 van de totale oppervlakte. ijgevolg is 4 1 = 5 % van het oppervlak grijs 4 gekleurd................... 98 problemsolving