De wiskunde achter knopen Leve de Wiskunde! Jasper Stokman UvA May 3, 2009 Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 1 / 24
Een wiskundige knoop Een wiskundige knoop is een gesloten lus in de 3-dimensionale ruimte die zichzelf niet doorsnijdt. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 2 / 24
Gewone knopen Verbind de uiteinden om wiskundige knopen te krijgen: links-en rechtshandig klaverblad Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 3 / 24
Gewone versus wiskundige knopen Gewone knoop kan altijd uit de knoop gehaald worden. Niet alle wiskundige knopen zijn te ontwarren. Vragen: 1. Precieze betekenis van ontwarren? 2. Wanneer zeggen we dat twee knopen hetzelfde zijn? Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 4 / 24
De antwoorden 1. Precieze betekenis van ontwarren? Antwoord: als de wiskundige knoop, zonder knippen en plakken, om te vormen is tot de onknoop 2. Wanneer zeggen we dat twee knopen hetzelfde zijn? Antwoord: Als de ene knoop een vervorming is van de andere knoop. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 5 / 24
Voorbeelden Zijn deze twee knopen hetzelfde (Perko paar)? Zijn linkshandig klaverblad en rechtshandig klaverblad dezelfde knopen? Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 6 / 24
Oorsprong van knopentheorie Lord Kelvin s hypothese (1867): 1. Atomen zijn gesloten wervelingen in de ether. 2. Verknoping bepaalt de (chemische) eigenschappen. Peter Tait: samenstellen van tabel met verschillende knopen. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 7 / 24
Voorbeelden van toepassingen Wiskundige knopen aan de basis van het vakgebied topologie: Bestudering van de eigenschappen van de ruimte die behouden blijven onder continue vervormingen. Andere toepassingen 1 Knopentheorie in chemie en biomedische wetenschappen. Verknoping van DNA in de celkern. 2 Lord Kelvin s idee als belangrijk principe: Eigenschappen bepaald door de wisselwerking met de omgeving. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 8 / 24
De wiskunde achter knopen Centrale vraag: Hoe kunnen we knopen onderscheiden? Een knoopinvariant is de toekenning van een getal aan een knoop. Subtiliteit: het toegekende getal mag geen onderscheid maken tussen de verschillende verschijningsvormen van de knoop! Belang: Als een knoopinvariant verschillende getallen toekent aan twee knopen, dan zijn de knopen verschillend. Naieve poging: het aantal kruisingen in het knoopdiagram. Geen knoopinvariant. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 9 / 24
Een voorbeeld van een knoopinvariant Het kruisgetal is het minimaal aantal kruisingen die je nodig hebt om een knoopdiagram van de knoop te kunnen tekenen. Kruisgetal is een knoopinvariant, maar moeilijk uit te rekenen. Tait s tabel: de verschillende knopen geordend volgens kruisgetal. 1 21 verschillende knopen met kruisgetal 8. 2 253293 verschillende knopen met kruisgetal 15. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 10 / 24
Knoopinvarianten Opmerking: We bekijken vanaf nu knopen in hele smalle strookjes papier: de knoop heeft dus twee kanten. Bijvoorbeeld: de twee 8-knopen beschouwen we als verschillende knopen. Conventie: We tekenen de knoopdiagrammen van knopen zo, dat altijd een van de twee kanten boven is. De knoopdiagrammen van de twee 8-knopen zijn Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 11 / 24
Nog een knoopinvariant Het getal 0 (1) aan de knoop toekennen als het aantal kruisingen van het knoopdiagram even (oneven) is. Makkelijk uit te rekenen, maar zwakke knoopinvariant. 1 Onderscheid Perko s knopen niet van onknoop. 2 klaverblad onknoop. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 12 / 24
Knoopinvariant? Het getal 0 (1) aan de knoop toekennen als het aantal kruisingen van het knoopdiagram even (oneven) is. Opmerking: Hier hebben we een getal toegekend aan een willekeurig knoopdiagram van de knoop. Belangrijke afgeleide vraag: Hoe kunnen we aan de knoopdiagrammen zien of knopen hetzelfde danwel verschillend zijn? Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 13 / 24
Reidemeister bewegingen: Drie lokale veranderingen in het knoopdiagram die de bijbehorende knoop onveranderd laten. eerste Reidemeister beweging, tweede Reidemeister beweging, en de derde Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 14 / 24
Reidemeister s stelling Als twee wiskundige knopen hetzelfde zijn dan zijn hun knoopdiagrammen in elkaar over te voeren door middel van de drie Reidemeister bewegingen. Gevolg: Het even of oneven zijn van het aantal kruisingen is een knoopinvariant. Bonus: Reidemeister stelling maakt het mogelijk om allerlei knoopinvarianten te maken die makkelijk uit te rekenen zijn. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 15 / 24
We gaan los! Kies drie getallen A,B,C. Rekenregel voor toekenning getal aan knoopdiagram: 1 Kies een kruising in het knoopdiagram. 2 Produceer twee nieuwe diagrammen door de kruising te vervangen door of door. 3 Herhaal dit voor alle kruisingen in het knoopdiagram. 4 Eindigt met 2 #kruisingen diagrammen zonder kruisingen. Geef gewicht aan ieder diagram: A # { }B # { 5 Tel nu al die gewichten bijelkaar op! } C #{onknopen 1} Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 16 / 24
Voorbeeld: Linkshandig klaverblad A B Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 17 / 24
Voorbeeld: Linkshandig klaverblad A B AA AB BA BB Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 18 / 24
Voorbeeld: linkshandig klaverblad AA AB BA BB AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 19 / 24
Voorbeeld: linkshandig klaverblad AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB A 3 C 2 A 2 BC A 2 BC AB 2 A 2 BC AB 2 AB 2 B 3 C Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 20 / 24
Voorbeeld: linkshandig klaverblad AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB A 3 C 2 + A 2 BC + A 2 BC + AB 2 + A 2 BC + AB 2 + AB 2 + B 3 C Linkshandig klaverblad A 3 C 2 +3A 2 BC +3AB 2 +B 3 C. Rechtshandig klaverblad B 3 C 2 +3B 2 AC +3BA 2 +A 3 C. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 21 / 24
Kauffman s knoopinvariant We krijgen zo een knoopinvariant als B=A 1 en C=-A 2 -A 2. Kauffman s invariant van 1 linkshandig klaverblad: A 7 A 3 A 5, 2 rechtshandig klaverblad: A 5 A 3 A 7. Gevolg: Linkshandig klaverblad rechtshandig klaverblad. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 22 / 24
Kauffman s knoopinvariant Bewering: We krijgen een knoopinvariant als B=A 1 en C=-A 2 -A 2. Aan te tonen: een Reidemeister beweging toepassen op het knoopdiagram heeft geen effect op de uitkomst van de rekenregel. Check (tweede Reidemeister beweging): = A + B = A 2 + AB + BA + B 2 = (A 2 +ABC+B 2 ) + AB = als B=A 1 en C=-A 2 -A 2. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 23 / 24
Dror Bar-Natan (in navolging van Kronecker): Wiskundige knopen zijn door God gemaakt, al het andere in topologie is mensenwerk. Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 24 / 24