WISKUNDE WORD LEERLIJNEN Leerlijnen beschrijven de weg die leerlingen afleggen bij het leren. Leerlijnbeschrijvingen vormen een vrij nieuw verschijnsel in het onderwijs en zijn bedoeld om leraren houvast te bieden bij het nemen van didactische beslissingen. Ze omvatten meer dan alleen een opsomming van de leerstof die aan bod moet komen en zijn onderbouwd met vakdidactische inzichten. Leerlijnbeschrijvingen zijn geen handleidingen voor de dagelijkse onderwijspraktijk, maar geven zicht op de grote lijn in het leerproces en de samenhangen daarbinnen. In die zin zijn leerlijnen een steun voor leraren. In deze bijdrage geven we enkele ideeën over mogelijke leerlijnen i.v.m. rekenvaardigheden en probleemoplossend denken. We geven ook een leerlijn functieleer mee die de geleidelijke evolutie van dit leerstofdeel weergeeft van het eerste tot en met het zesde jaar van het secundair onderwijs. Tot slot voorzien we een wedstrijd in probleemoplossend denken voor alle West- Vlaamse wiskundeleraren. 1 Rekenvaardigheden Er wordt vaak geklaagd over het gebrek aan rekenvaardigheden bij onze leerlingen. Als leraar worden wij elk schooljaar geconfronteerd met steeds terugkerende hardnekkige fouten tegen de rekenregels voor machten, de haakjesregel, het rekenen met breuken, het oplossen van vergelijkingen 1
We geven enkele voorbeelden van veel voorkomende fouten (vooral uit de eerste graad, waar toch de basis moet gelegd worden voor het algebraïsch rekenen). ( 3x) 3x of (3x) 9 x 5 7 x x 5 5 5. x x x 3 x 5 3 x 5 9 5 x 3 x 4 3 x 4 3 7 7 x 4 x 8 x x 4 1 4 3 8 x x x x 3x 8 x 7 3 1 1 m m a. a a m ( 3) 6 en ( 3)³ 9 3ab 3ab ab 6 a. a. a a 5 8 3 4. b ab a 11 7 7 a a 7 7 0 a a 1 7 b b 15 : 0 15 5 x y 49 y 4 x y ( 5 xy ) 5 x y m 3 n. mn m n 4 3 4 6 364 158 364 160 04 06 ( breien ) 9 x (3x 1) 9 x 9 x 1 1 9x ² (3x 1)² 9x ² 9x ² 6x 1 4a ² 1 (a 1)( a 1) 8 y y 16 ontbinden in factoren lukt niet; sommige leerlingen herkennen de standaardvorm a ab b niet omdat de termen van plaats verwisseld zijn.
We pleiten voor het geregeld oefenen van elementaire rekenvaardigheden tijdens het schooljaar en dus niet alleen tijdens geïsoleerde lessenpakketten. Best loopt dit als een rode draad doorheen het schooljaar. Naargelang de samenstelling van de klas kan hieraan gedifferentieerd gewerkt worden. Verder is het zinvol rekenvaardigheid niet los te koppelen van reële contexten. Altijd weer louter kale oefeningen aanbieden, blijkt weinig motiverend te werken. Daartegenover blijkt het plaatsen van rekenvaardigheidsoefeningen in de context van vraagstukken en probleemaanpak te renderen. De rekenvlotheid komt voor de ingewikkeldheid van de vormen. Het kan daarom nuttig zijn om bij het opmaken van een jaarplanning rekening te houden met het voldoende spreiden van de rekenvaardigheid over het schooljaar en het geregeld inbouwen van (korte) herhalingsmomenten. De vorderingen van de leerlingen worden binnen de vakgroep best op regelmatige basis besproken. Door te overleggen met de collega s van de andere jaren kan er een leerlijn ontwikkeld worden die het onderhouden van bepaalde rekenvaardigheden verzekert. Probleemoplossend denken.1 Opbouw van een leerlijn Eerste graad A Het is belangrijk dat leerlingen in het secundair onderwijs vanaf de eerste graad beseffen dat je in de wiskunde vaak met vallen en opstaan tot een verklaring of een bewijs komt. ICT-gebruik kan hierbij een nuttige rol vervullen omdat de leerlingen bijvoorbeeld zelfstandig kunnen experimenteren met meetkundige figuren en op die manier eigenschappen zelf kunnen ontdekken of controleren. Vraagstukken moeten over het hele schooljaar gespreid aan bod komen. Het verwerven van probleemoplossende vaardigheden en de bijbehorende aanwending van heuristiek zullen maar gerealiseerd worden doorheen een proces 3
van voortdurende aandacht. Om regelmaat in te bouwen kunnen we bijvoorbeeld werken met een probleem van de week. Vraagstukken bieden de gelegenheid om een integratie te verwerven van verschillende toepassingen, zoals het gebruik van diagrammen, grafieken Ook de verschillende rekenvaardigheden (hoofdrekenen, schatten, gebruik van de rekenmachine) moeten hierin geïntegreerd worden. Het gebruik van een vergelijking is niet de enige methode om vraagstukken op te lossen. De leerlingen beschikken over ruime mogelijkheden binnen het getallenbereik en de gekende bewerkingen om een oplossing uit te werken (bv. de regel van drieën, verhoudingstabellen). Het is maar door het vergelijken van verschillende oplossingsstrategieën voor eenzelfde probleem dat de efficiëntie van een bepaalde methode opvalt. Het oplossen van vraagstukken is de gelegenheid bij uitstek om bij leerlingen probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen. Je kunt bijvoorbeeld klassikaal een probleem verkennen. Daarna kun je de leerlingen individueel of in groepjes op het probleem laten zoeken en hen vragen een oplossing uit te werken. Tenslotte formuleren de leerlingen de conclusie(s) en zorgen ze voor een schriftelijke neerslag. Hierover kan er dan een klassikale nabespreking volgen. Eerste graad B Voor leerlingen in de B-stroom is het belangrijk dat ze een duidelijk stappenplan en een leerstrategie meekrijgen. Stappenplannen zijn werkplannen, die je in een welbepaalde volgorde doorloopt en waarbij je zeker bent dat je hierdoor vanuit het gegeven het gevraagde resultaat vindt. Belangrijk hierbij is dat de leraar nadenkt over de volgende vijf punten: 1 Geef ik altijd zelf het goede voorbeeld hoe je te werk moet gaan? Hoe kan ik de te volgen werkwijze duidelijk (doorzichtig) maken voor de leerlingen? Bv. hoe orden ik de gegevens, hoe maak ik een voorstelling, hoe duid ik gegevens en het gevraagde aan? 3 Hoe stel ik, samen met de leerling, een werkplan op en hoe werken we dit samen uit? Bv. welke tussenstappen zijn nodig, welke voorstellingen zijn mogelijk, welke oplossingsstrategie is de beste of de meest eenvoudige, hebben we al gelijkaardige problemen opgelost? 4 Maak ik vooraf de nodige schattingen? 5 Van welke controlevragen kan ik gebruik maken? Is alles berekend wat moest berekend worden? Tweede graad In de tweede graad verwerven leerlingen heel wat nieuwe kennis en oplossingstechnieken en worden ze geconfronteerd met het toepassen van deze kennis in diverse situaties. In deze fase leren de leerlingen nog intenser dan in de eerste graad zoekstrategieën en heuristische methoden gebruiken. 4
Bij een complexer probleem is het zinvol in deze fase een planmatige aanpak te voorzien en de uitvoering van het plan verderop te bewaken. Uiteraard probeer je de leerlingen een onderzoeksgerichte en kritische houding bij te brengen. Leerlingen moeten beseffen dat een oplossing die ze via ICT-gebruik (de grafische rekenmachine of de computer) vinden, vaak ook via algebraïsch rekenwerk kan gevonden worden en dat voor bepaalde meetkundige problemen zowel een analytische als een synthetische aanpak mogelijk is. Derde graad In de leerplannen van het VVKSO voor de derde graad is het onderdeel mathematiseren en oplossen van problemen opgenomen. Voor de kso-/tsostudierichtingen is dit een verplichte leerplandoelstelling. In de aso-richtingen staat mathematiseren als keuzeonderwerp vermeld. De leerplandoelstellingen zijn als volgt verwoord: MA1 MA MA3 MA4 MA5 Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis. Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken. Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem. Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terug te kijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen. Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen. Het is de bedoeling dat de leerlingen, door het verwerken van problemen met behulp van wiskunde, zich realiseren dat wiskunde meer is dan een stel regels, maar effectief kan worden ingezet om problemen uit het dagelijkse leven op te lossen of tenminste om er inzicht in te verwerven.. Voorbeelden van heuristieken (oplossingsstrategieën) Bij het oplossen van problemen worden heuristische methoden toegepast, die als doel hebben de leerlingen houvast te bieden om op een gestructureerde manier tot een oplossing te komen. Mogelijke heuristieken zijn bv.: het gegeven en het gevraagde expliciteren; het systematisch oplijsten van informatie en het zoeken van bijkomende informatie; het maken van een figuur, een schema, een lijst, een grafiek, een tabel, een diagram...; op een figuur aanduiden wat men kent en wat men niet kent; het zoeken van een patroon in een situatie; een rekenregel of een formule gebruiken; het probleem oplossen door een vergelijking of een formule op te stellen; 5
concrete gevallen onderzoeken, bijzondere gevallen onderzoeken; vergelijken met gelijkaardige problemen; het probleem vervangen door een eenvoudiger probleem, bv. met kleinere getallen; het probleem hertalen of herformuleren tot een ander probleem; het probleem opsplitsen in deelproblemen; het probleem oplossen door simulatie; alle mogelijkheden opschrijven en dan elimineren; gebruik maken van symmetrie in het probleem; een of meer veranderlijken constant houden; een of meer gestelde voorwaarden laten vallen; het probleem oplossen door ontkenning; werken van achter naar voor, m.a.w. het probleem voorstellen als opgelost; het formuleren van een hypothese en die dan toepassen; het aanleggen van gereedschapskisten (zie verder);.3 Gereedschapskist meetkunde In het kader van het probleemoplossend denken binnen de meetkunde is het gebruik van een gereedschapskist onontbeerlijk. Al vanaf het eerste jaar kan begonnen worden met de opbouw van een leerlijn voor het onderzoeken van meetkundige situaties. Geleidelijk aan beschikken de leerlingen immers over meer meetkundige eigenschappen, die vlot kunnen toegepast worden bij het onderzoeken van meetkundige situaties, het verklaren van eigenschappen en het oplossen van meetkundige problemen. Dergelijke lijst van meetkundige eigenschappen kan geleidelijk, gespreid over de verschillende leerjaren en samen met de leerlingen worden opgebouwd. Het is aan de leraar (in samenspraak met de vakgroep) om te beslissen of een eigenschap opgenomen wordt in de gereedschapskist. 6
Het is aan te bevelen om de leerlingen zelf zo n lijst te laten aanvullen, als synthesetaak na een hoofdstuk bijvoorbeeld. Het kan niet de bedoeling zijn dat de leerlingen dergelijk overzicht moeten memoriseren. Het overzicht moet wel beschikbaar zijn. Op http://www.dpbbrugge.be/wiskunde, in de rubriek Didactische en pedagogische berichten, vind je een voorbeeld van een gereedschapskist meetkunde op het einde van het derde jaar (uiteraard aan te passen aan de studierichting en verder aan te vullen in het vierde jaar). 3 Een leerlijn voor functies Het beschrijven van verbanden is een belangrijke doelstelling binnen de wiskunde. Daarom worden de leerlingen van het eerste jaar al geconfronteerd met het weergeven van verbanden met woorden, een tabel, een grafiek en een formule. Vanaf de tweede graad wordt dan het begrip functie voor het eerst geëxpliciteerd en krijgt de functieleer geleidelijk meer vorm. 7
Het kan daarom nuttig zijn te beschikken over een overzicht waarin de geleidelijke evolutie van de functieleer tot uiting komt. Op http://www.dpbbrugge.be/wiskunde, in de rubriek Didactische en pedagogische berichten, vind je een tabel die de leerlijn voor functies beschrijft van het eerste t.e.m. het zesde jaar van het secundair onderwijs. 4 De uitdaging In het kader van 5 jaar Vlaamse Wiskunde Olympiade en 10 jaar Technopolis verbinden we aan de Didactische en Pedagogische Berichten van 010 voor het vak wiskunde een wedstrijd waaraan alle West-Vlaamse wiskundeleraren gratis kunnen deelnemen. Hieronder staan vijf meerkeuzevragen en een open vraag. Wie de vijf vragen juist beantwoordt en een hoge score haalt op de schiftingsvraag maakt kans op twee gratis toegangstickets tot Technopolis. In geval van een gelijke score zullen we de winnaar door loting aanduiden. Om deel te nemen stuur je het antwoordformulier uiterlijk tegen 15 oktober 010 via de gewone post naar Luc Gheysens of Geert Delaleeuw Populierenlaan 10 Ter Linden 9 850 Kuurne 8900 Ieper 8
Je kunt het antwoordformulier waarop je je oplossing hebt ingevuld ook inscannen en doormailen naar vakbegeleiding.wiskunde@gmail.com. Vraag 1 Vraag Vraag 3 Vraag 4 Beschouw de rij van positieve gehele getallen 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, waarin het n-de positieve geheel getal n keer voorkomt. Wanneer de 010-de term van deze rij gedeeld wordt door 5, dan is de rest gelijk aan A. 0 B. 1 C. D. 3 E. 4 9
Vraag 5 Stichting Wiskunde Kangoeroe en Vlaamse Wiskunde Olympiade ANTWOORDFORMULIER IDENTIFICATIEGEGEVENS VAN DE DEELNEMER Naam: School: Persoonlijk e-mailadres: Mijn hoofdopdracht als wiskundeleraar ligt in O aso O tso O kso O bso Antwoord op de vijf meerkeuzevragen (omcirkel telkens de letter die overeenkomt met het juiste antwoord): 1 A B C D E A B C D E 3 A B C D E 4 A B C D E 5 A B C D E 10
Schiftingsvraag Plaats in elk van de cirkeltjes van de onderstaande figuur het cijfer 1,, 3 of 4 zodanig dat twee cirkels die door een lijnstuk verbonden zijn niet hetzelfde cijfer bevatten. Tel alle cijfers dan samen en zorg ervoor dat de uiteindelijke som zo groot mogelijk is. Som van de cijfers in alle cirkeltjes =. Luc Gheyssen Geert Delaleeuw 11
Infosessie over de overgang secundair - hoger onderwijs (Kortrijk) Doelgroep: alle leraren wiskunde derde graad in studierichtingen met (minstens) zes wekelijkse lestijden wiskunde Docent: Geert Delaleeuw en Luc Gheysens Datum en uur: woensdag 13 oktober 010 van 14.00 u. tot 17.00 u. Plaats: K.U. Leuven Campus Kortrijk, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk Inschrijfprijs: 1,5 Cursuscode: S11/033/A Infosessie over de overgang secundair - hoger onderwijs (Brugge) Doelgroep: alle leraren wiskunde derde graad in studierichtingen met (minstens) zes wekelijkse lestijden wiskunde Docent: Geert Delaleeuw en Luc Gheysens Datum en uur: woensdag 0 oktober 010 van 14.00 u. tot 17.00 u. Plaats: KHBO - Campus Brugge, Xaverianenstraat 10, 800 Brugge Inschrijfprijs: 1,5 Cursuscode: S11/034/A Dag van wiskunde (tweede en derde graad) Doelgroep: leraren wiskunde tweede en derde graad Docent: diverse docenten Datum en uur: zaterdag 0 november 010, voormiddag Plaats: K.U. Leuven Campus Kortrijk, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk Inschrijfprijs: 30 Cursuscode: S11/045/A Dag van wiskunde (eerste en tweede graad) Doelgroep: leraren wiskunde eerste en tweede graad Docent: diverse docenten Datum en uur: zaterdag 7 november 010, voormiddag Plaats: K.U. Leuven Campus Kortrijk, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk Inschrijfprijs: 30 Cursuscode: S11/046/A 1