Resonantie p.1/27 Resonantie en fractale meetkunde Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
Resonantie p.2/27 Overzicht i. resonantie ii. twee oscillatoren: torus en cirkeldynamica iii. aangedreven oscillatoren, voorbeelden: - Hopf-Neĭmark-Sacker bifurcatie - parametrische resonantie - Hopf-zadelknoop bifurcatie voor afbeeldingen
Resonantie p.3/27 Wat is resonantie? resonantie: interactie van oscillerende subsystemen, waarbij rationale verhouding van frequenties en daarmee compatibele beweging voorbeelden: 1 : 1 resonantie: Huygens klokken, Maan en Aarde, Charon en Pluto 1 : 2 resonantie: Botafumeiro (Santiago de Compostela) 2 : 3 resonantie: Zon en Mercurius
Christiaan Huygens (1629-1695) Christiaan Huygens en titelpagina Horologium Oscillatorium 1673 cycloïden en synchronisatie Resonantie p.4/27
Resonantie p.5/27 Huygens klokken synchroon Chr. Huygens, Œuvres Complètes de Christiaan Huygens, publiées par la Société Hollandaise des Sciences 16, Martinus Nijhoff, The Hague 1929, Vol. 5, 241-262; Vol. 17, 156-189
Getijden-resonantie Maan door Aarde gevangen in 1 : 1 resonantie Pluto en Charon hebben elkaar gevangen : ook uiteindelijk lot Aarde-Maan systeem... Mercurius door Zon gevangen in 3 : 2 resonantie A. Correia and J. Laskar, Mercury s capture into the 3/2 spin-orbit resonance as a result of its chaotic dynamics, Nature 429 (24) 848-85 Resonantie p.6/27
Resonantie p.7/27 Botafumeiro Santiago de Compostela wierookvat via katrol in 1:2 resonantie gebracht: de slingertijd is tweemaal de periode van aandrijving
Resonantie p.8/27 Mathematisch programma modelleren in termen van dynamische systemen die van parameters afhangen emergentie van verschillende soorten dynamica: periodiek, quasi-periodiek en chaotisch bifurcaties (fase-overgangen) hiertussen toepassingen van klimaatmodellen tot (biologische) cel-systemen
Resonantie p.9/27 Torus- en cirkeldynamica eenvoudigste model: torus-dynamica P(ϕ) ϕ Poincaré-afbeelding: ϕ ϕ + 2πα + εf(ϕ) dynamica op de cirkel (door iteratie) resonant periodiek
Resonantie p.1/27 Voorbeeld: Arnol d familie ϕ ϕ + 2πα + ε sinϕ 3 2.5 ε 2 1.5 1.5-1/2-4/9-3/7-2/5-3/8-1/3-2/7-1/4-2/9-1/5-1/6-1/7-1/8 α 1/8 1/7 1/6 1/5 2/9 1/4 2/7 1/3 3/8 2/5 3/7 4/9 1/2 resonantietongen in het (α,ε)-vlak catalogus van de cirkel- en torusdynamica
Resonantie p.11/27 Toelichting torusdynamica binnen tongen: periodiciteit resonantie phase-locking synchronisatie binnen hoofdtong : 1:1 resonantie entrainment buiten tongen: quasi-periodiciteit elke baan ligt dicht in torus / cirkel H.W. Broer and F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Epsilon-Uitgaven 64, 29; revised edition Appl. Math. Sc., Springer-Verlag, 21 (to appear) H.W. Broer, K. Efstathiou and E. Subramanian, Robustness of unstable attractors in arbitrarily sized pulse-coupled systems with delay, Nonlinearity 21(1) (28), 13-49
Resonantie p.12/27 Duivelstrap.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.4 -.2.2.4 α rotatiegetal gemiddelde rotatie als functie van α, continu, niet-dalend en constant op plateaux voor rationale waarden van resonantie rationaal H.W. Broer, C. Simó and J.C. Tatjer, Towards global models near homoclinic tangencies of dissipative diffeomorphisms, Nonlinearity 11 (1998), 667-77
Resonantie p.13/27 Meetkunde in parameterruimte niet-resonantie fractale meetkunde Cantor verzameling, topologisch klein (nergens dicht) positieve Lebesgue maat fractale verzameling met Droste effect beweging quasi-periodiek met irrationaal rotatiegetal; sterk irrationaal differentieerbare conjugatie met starre rotatie V.I. Arnol d, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag 1983 J. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag 1971
Resonantie p.14/27 Conclusie Huygens klokken torus / cirkel model zwak gekoppelde oscillatoren als voorheen vrijwel identieke oscillatoren modulo 1 parameters (α,ε) in hoofdtong M. Bennett, M.F. Schatz, H. Rockwood and K. Wiesenfeld, Huygens s clocks, Proc. R. Soc. Lond. A 458 (22), 563-579
Resonantie p.15/27 Hopf-Neĭmark-Sacker I algemener: afbeelding f : R 2 R 2 dekpunt f() = eigenwaarden afgeleide e 2π(α±iβ) met α en β p/q bijvoorbeeld: f is Poincaré-afbeelding van aangedreven oscillator ẍ + ax + cẋ = εq(x,ẋ,t) met q(x,ẋ,t + 2π) q(x,ẋ,t) locaal: meetkunde met universele singulariteiten (zadelknoop / vouw en andere bifurcaties) globaal: quasi-periodiciteit en fractale meetkunde
Resonantie p.16/27 Hopf-Neĭmark-Sacker II β α niet-gedegenereerd geval q 5 F. Takens, Forced oscillations and bifurcations. In: Applications of Global Analysis I, Comm. of the Math. Inst. Rijksuniversiteit Utrecht (1974). In: H.W. Broer, B. Krauskopf and G. Vegter (eds.), Global Analysis of Dynamical Systems, IoP Publishing (21), 1-62
Resonantie p.17/27 Hopf-Neĭmark-Sacker III mild-gedegenereerd geval q 7
Resonantie p.18/27 Conclusies Arnol d tongen universeel: vouw, cusp, zwaluwstaart en Whitney paraplu H.W. Broer, M. Golubitsky and G. Vegter, The geometry of resonance tongues: A Singularity Theory approach, Nonlinearity 16 (23), 1511-1538 H.W. Broer, S.J. Holtman and G. Vegter, Recognition of the bifurcation type of resonance in mildly degenerate Hopf-Neĭmark-Sacker families, Nonlinearity 21 (28), 2463-2482 H.W. Broer, S.J. Holtman, G. Vegter and R. Vitolo, Geometry and dynamics of mildly degenerate Hopf-Neĭmarck-Sacker families near resonance, Nonlinearity 22 (29), 2161-22 H.W. Broer, S.J. Holtman and G. Vegter, Recognition of resonance type in periodically forced oscillators. Physica-D (21) (to appear)
Parametrische resonantie aangedreven oscillator ẍ + (a + εq(t)) sin x = (schommel) met q(t + 2π) q(t) bijvoorbeeld: q(t) = cost q(t) = cost + 3 2 cos(2t) q(t) = signum (cos t) stabiliteitsverlies in discrete tongen vanuit (a,ε) = ( 1 4 k2, ), k =, 1, 2,... subharmonische bifurcaties H.W. Broer and G. Vegter, Bifurcational aspects of parametric resonance, Dynamics Reported, New Series 1 (1992), 1-51 Resonantie p.19/27
Resonantie tongen schommel 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1-2 -1 1 2 3 4 5 6-2 -1 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1-2 -1 1 2 3 4 5 6 H.W. Broer and M. Levi, Geometrical aspects of stability theory for Hill s equations, Archive Rat. Mech. An. 131 (1995), 225-24 H.W. Broer and C. Simó, Resonance tongues in Hill s equations: a geometric approach, Journal of Differential Equations 166 (2), 29-327 Resonantie p.2/27
Botafumeiro revisited Poincaré afbeelding schommel in 1 : 2 resonantie periode verdubbeling quasi-periodiciteit chaos... Resonantie p.21/27
Resonantie p.22/27 Van gaps tot tongen universele meetkunde van gaps tot tongen met ε extra parameter collapse theorie van de gaps quasi-periodiek analogon q(t) = Q(ω 1 t,ω 2 t,...,ω n t) met Q : T n R : per tong meetkunde als voorheen globaal fractale meetkunde en Droste effect bijvoorbeeld: n = 2 met ω 1 = 1 en ω 2 = 1 2 ( 5 1) rotatiegetal als voorheen H.W. Broer, H. Hanßmann, Á. Jorba, J. Villanueva and F.O.O. Wagener, Normal-internal resonances in quasi-periodically forces oscillators: a conservative approach. Nonlinearity 16 (23), 1751-1791
Resonantie p.23/27 Duivelstrap revisited.8.75.7.65.6.55.5.38.4.42.44.46.48.5.52 rotatiegetal als functie van a tongen gaps spectrum Schrödinger operator Cantor-spectrum en duivelstrappen... J. Moser and J. Pöschel, An extension of a result by Dinaburg and Sinai on quasi-periodic potentials, Comment. Math. Helvetici 59 (1984), 39-85 H.W. Broer, J. Puig and C. Simó, Resonance tongues and instability pockets in the quasi-periodic Hill-Schrödinger equation, Commun. Math. Phys. 241 (23), 467-53
Resonantie p.24/27 Hopf-zadelknoop I afbeelding f : R 3 R 3, dekpunt f() = eigenwaarden afgeleide 1 en e 2π(α±iβ) met α en β p/q wiskunde experimenteler geïnspireerd door klimaatmodellen... H.W. Broer, C. Simó and R. Vitolo, Bifurcations and strange attractors in the Lorenz-84 climate model with seasonal forcing, Nonlinearity 15(4) (22), 125-1267 A.E. Sterk, R. Vitolo, H.W. Broer, C. Simó and H.A. Dijkstra, New nonlinear mechanisms of midlatitude atmospheric low-frequency variability. Physica D: Nonlinear Phenomena 239 (21), 71-718 H.W. Broer, H.A. Dijkstra, C. Simó, A.E. Sterk and R. Vitolo, The dynamics of a low-order model for the Atlantic Multidecadal Oscillation, DCDS-B (21) (to appear)
Hopf-zadelknoop II box H.1 d1.5 -.5 -.1.2 O.4.6 I.8 d2 1 1.2 1.4 H H.W. Broer, C. Simó and R. Vitolo, The Hopf-Saddle-Node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms, analysis of a resonance bubble, Physica D 237 (28), 1773-1799 H.W. Broer, C. Simó and R. Vitolo, The Hopf-Saddle-Node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms, the Arnol d resonance web, Bull. Belgian Math. Soc. Simon Stevin 15 Resonantie p.25/27 (28), 769-787
Hopf-zadelknoop III 1 n=.46 C C1 1 y -1 z x x -1-1 1-1 1 1 n=.4555 D D1 1 y -1 z x x -1-1 1-1 1 bijbehorende dynamica: quasi-periodiciteit en chaos... Resonantie p.26/27
Conclusies coëxistentie periodiciteit (waaronder resonantie), quasi-periodiciteit en chaos in product toestands- en parameter-ruimte bifurcaties (fase-overgangen): singulariteiten niet-resonanties: Kolmogorov-Arnol d-moser theorie fractale meetkunde en Droste effect modelleren op grotere schaal D. Ruelle and F. Takens, On the nature of turbulence, Comm. Math. Phys. 2 (1971), 167-192; 23 (1971), 343-344 H.W. Broer, KAM theory: the legacy of Kolmogorov s 1954 paper, Bull. AMS (New Series) 41(4) (24), 57-521 H.W. Broer, B. Hasselblatt and F. Takens (eds.): Handbook of Dynamical Systems, Volume 3 North-Holland, 21 (to appear) Resonantie p.27/27