handleiding ontbinden

handleiding ontbinden

inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen voor een klassengesprek 1 1 gereedschappen 1 vragen 1 3 hoofdzaken 1 4 samenhang 1 5 leerlingopgaven 1 8 februari 010 handleiding ontbinden

de grote lijn hoofdlijn aan de zijlijn Ontbinden van gehele getallen Woordvergelijkingen x (x) ; -x (-x) Voorbeelden van vergelijkingen begrip "oplossing" begrip "oplossen van een vergelijking" begrip "voldoen aan" Deelbaar Ontbinden in priemfactoren deelbaarheidkenmerken Gegeven product en som Babylonische wiskunde Zestigtallig stelsel Bijzondere geval: het product is 0 Oplossen met factor-x-methode: schrijf de vergelijking als: x ( ) = constante ontbinden in factoren en ontbind de constante in factoren Toepassen op speciale hogeregraads vergelijkingen Oplossen met ontbinden Er zijn niet meer oplossingen. Graad van een vergelijking handleiding ontbinden 3

Bespreking per paragraaf Applets RechthoeksomApplet Er kan een oppervlakte en een omtrek ingevoerd worden (geheel). De applet tekent alle rechthoeken met de gegeven oppervlakte en omtrek. OppRechthoekApplet Er kan een oppervlakte ingevoerd worden (geheel 1 tot 1000). De applet maakt een tabel van alle rechthoeken met die oppervlakte: de lengte, breedte, som en verschil van lengte en breedte wordt gegeven. 1 met gegeven product Het hoofdstuk begint met een verrassende puzzel. Veel leerlingen zullen daar grote problemen mee hebben. Belangrijk is dat de docent alert is. De puzzel moet niet gaan frustreren. De leerlingen moeten er ook niet op blijven hangen. Na tien minuten moeten ze gewoon verder gaan in de paragraaf (ze kunnen er later nog over nadenken). In opgave 4 wordt op de puzzel teruggekomen. De eerste paragraaf gaat over het ontbinden van positieve gehele getallen, dat wil zeggen het schrijven als product van gehele factoren. De contexten komen allemaal op hetzelfde neer: gegeven de oppervlakte (inhoud) van een rechthoek (balk), wat zijn dan de zijden (ribben)? Een woordvergelijking moet worden omgezet in wiskundetaal (met behulp van een variabele). Hierna komt het taalgebruik bij vergelijkingen aan de orde: "... voldoet aan de vergelijking", "het oplossen van een vergelijking". De leerlingen moeten allerlei eenvoudige vergelijkingen oplossen, zonder algoritmen maar met gezond verstand. ontbinden van getallen Met behulp van ontbindingsbomen worden getallen uiteengerafeld in factoren. Duidelijk is dat de factor 1 daarbij niet interessant is (een reden om 1 geen priemgetal te noemen). De factoren aan het eind van de takken van de bomen zijn de priemfactoren. Gegeven de priemfactorontbinding van een of meerdere getallen kun je de priemfactorontbinding van andere getallen geven. In het bijzonder: wat kun je zeggen over de priemfactorontbinding van kwadraten? Eenvoudige beweringen over deelbaarheid worden doorgenomen. Bijvoorbeeld: als a en b beide deelbaar zijn door 4, is a+b ook deelbaar door 4. Leerlingen zullen met ja of nee antwoorden. De leraar weet dat de distributiewet hierachter zit. handleiding ontbinden 4

Het omgekeerde is niet waar. De leraar kan de leerlingen uitnodigen hun antwoord te beargumenteren: met een redenering of met een tegenvoorbeeld. Deelbaarheidskenmerken passeren de revue: door twee, drie, vier, vijf en acht. De deelbaarheidskenmerken voor 7, 11 en 13 staan in de paragraaf onderzoek. 3 vergelijkingen Deze paragraaf begint met eenvoudige vergelijkingen die de leerlingen met hun gezond verstand moeten oplossen. Achter elke som zit een redenering. Bijvoorbeeld: als (x + 1) = 100, dan moet x + 1 wel 10 of -10 zijn, dus x moet 9 of -11 zijn, dus x=4 of - 5. Leerlingen zullen zich onzeker voelen en veel fouten maken. Belangrijk is dat de leerlingen weten dat ze fouten mogen maken. Een rustige bespreking van enkele vergelijkingen kan veel goed doen. Vervolgens worden vergelijkingen aan de orde gesteld zoals: "het product van twee getallen is..., het ene getal is... kleiner dan het andere; bereken het kleinste (positieve) getal". De leerling ontbindt het product en zoekt díe ontbinding met het passende verschil. Hij werkt (nog) niet met een standaard-algoritme om vierkantsvergelijkingen op te lossen, maar zoekt systematisch. Hierna wordt gewezen op het bestaan van negatieve oplossingen. Handig is het, de constante (de van x onafhankelijke term) in het rechterlid te plaatsen; dan kan in het linkerlid een factor x buiten haakjes gehaald worden. De kandidaat-oplossingen moeten deler zijn van de constante in het rechterlid. Dit geeft een beperkt aantal kandidaten, die stuk voor stuk gecontroleerd kunnen worden. Deze aanpak noemen we de factor-xmethode. Het voordeel van die methode is, dat hij ook werkt voor hogeregraads vergelijkingen. Ook kom je er met zekerheid achter of de vergelijking wel gehele oplossingen heeft en je weet zeker dat je ze allemaal hebt. Tenslotte komt de methode van ontbinden aan de orde, het standaard-algoritme om vergelijkingen op te lossen. Dat gaat via herleiden op 0. Het wordt de leerlingen ook duidelijk dat er niet meer oplossingen zijn dan de nulmakers van de factoren. handleiding ontbinden 5

4 onderzoek De antwoorden van de opdrachten. 1 het product en de som zijn gelijk a x y = x+y b x = en y =. c d (x 1)(y 1) = xy x-y+1, dus x y = x+y komt op hetzelfde neer als (x-1)(y-1) = 1. e x-1 = 1 en y-1 = 1, want de enige mogelijkheid om 1 als product van twee niet negatieve getallen te schrijven is: 1 1. f x y = 3x+y g 6 h x-3 = 1 en y- = 6, dus x = 4 en y = 8 x-3 = en y- = 3, dus x = 5 en y = 5 x-3 = 3 en y- =, dus x = 6 en y = 4 x-3 = 6 en y- = 1, dus x = 9 en y = 3 Opmerking: x-3 = -1 en y- = -6 enzovoort, geven geen oplossingen. i De vraag kun je ook schijven als: zoek alle getallen x en y met (x-4)(y-6) = 4. x-4 = 1 en y-6 = 4, dus x = 5 en y = 30 x-4 = en y-6 = 1, dus x = 6 en y = 18 x-4 = 3 en y-6 = 8, dus x = 7 en y = 14 x-4 = 4 en y-6 = 6, dus x = 8 en y = 1 x-4 = 6 en y-6 = 4, dus x = 10 en y = 10 x-4 = 8 en y-6 = 3, dus x = 1 en y = 9 x-4 = 1 en y-6 =, dus x = 16 en y = 8 x-4 = 4 en y-6 = 1, dus x = 8 en y = 7 j De vraag kun je ook schijven als: zoek alle getallen x en y met (x-1)(y-31) = 31. x-1 = 1 en y-31 = 31, dus x = en y = 6 of x-1 = 31 en y-31 = 1, dus x = 3 en y = 3. het aantal delers a 5 7 b 1,, 5, 5, 7, 7, 5 7, 5 7, 5 7, 5, 7, 5 7, 5 7, 5 7 14 delers c 8, 16, 4 d 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 3 4 4 3 4 6 4 4 5 6 6 e Priemgetallen f Kwadraten van priemgetallen g Derde machten van priemgetallen (bijvoorbeeld 7) en producten van twee verschillende priemgetallen (bijvoorbeeld 35 = 5 7). handleiding ontbinden 6

h Kwadraten. Delers komen in paren voor. Bijvoorbeeld: als je de delers van 00 bekijkt: omdat 10 een deler is, is 0 ( = 00:10) ook een deler. Bij kwadraten bijvoorbeeld 400 is er een paar dat uit twee dezelfde getallen bestaat: namelijk 0 en 0. 3 ggd en kgv a 1, 84 b 5 = 3 7 en 840 = 3 3 5 7 c Voor elk gemeenschappelijk priemgetal in de ontbindingen kijk je naar de de kleinste van de twee exponenten. In het voorbeeld van b is dat bij factor :, bij factor 3: 1 en bij factor 7: 1. 1 De ggd is dan 3 1 7 d In dit geval moet je naar de grootste exponent van elk priemgetal in de ontbindingen van de twee getallen kijken. Het kgv van 3 3 3 5 7 en 3 4 5 7 11 is 3 3 4 5 7 11. 4 op hoeveel nullen eindigt n! a 10! = 10 9 8. 5. 1, dus deelbaar door 100. b Als een getal op 0 eindigt, is het deelbaar door en door 5. Als een getal op twee nullen eindigt, is het deelbaar door en door 5. Als een getal deelbaar is door 3 en door 5 3 eindigt het op drie nullen. Enzovoort. Om te zien op hoeveel nullen n! eindigt, hoeven we alleen maar te letten op het aantal factoren 5 dat er in voorkomt, want de factor komt er overvloedig in voor. In de getallen 1,,, 10 komt factor 5 twee keer voor: nl bij 5 en bij 10. In de getallen 11,, 0 komt factor 5 twee keer voor: nl bij 15 en bij 0. In de getallen 1,., 5 komt de factor 5 twee keer voor: nl bij 5. Dus n = 5. c 115 = 3 5 3, dus 115 heeft 3 factoren 5 en 0 factoren. We moeten dus met 3 = 8 vermenigvuldigen. d 104 = 10 ; we moeten dus met 5 10 vermenigvuldigen. handleiding ontbinden 7

5 producten van opeenvolgend getallen a Van twee opeenvolgende getallen is een van beide even. b Van drie opeenvolgende getallen is er minstens c één even en minstens één een drievoud. Van vier opeenvolgende getallen is er minstens één even, minstens één een drievoud en minstens één een viervoud. d Van vijf opeenvolgende getallen is er minstens één even en minstens één een vijfvoud. 6 wiskunde olympiade 1998 eerste ronde a 3 3 37 b 5, namelijk 6+9+37 7 hoe oud ben je? 8 waarom is 7 geen breuk? a 7 3 3 5 4 7 4 11 3 7 b 147 = 50 5 c 3 3 5 7 11 = 940 d, 3, 4, 5, 3, 7, 6, 3 4, 5, 11, 4 3, 13, 7 e Elke priemfactor komt een even aantal keren voor in de priemfactorontbinding. 5 3 3 5 11 a f Dan = 7, dus a = 7b. b Het aantal factoren 7 in a is even. Het aantal factoren 7 in b is even, dus het aantal factoren 7b is oneven. Dus a kan niet gelijk zijn aan 7b, omdat a en 7b 7 hebben. verschillende aantallen factoren 9 deelbaarheid door 7, 11 en 13, eerste manier b 13456788 3356788 3336788 333788 33488 3458 455 455 is deelbaar door 7, dus 13456788 ook. 161616 60616 600616 16 16 is deelbaar door 7, dus 161616 ook. 4455665544 451665544 5165544 115544 14544 14344 4334 330; 330 is niet deelbaar door 7, dus 4455665544 ook niet c Twee getallen die een zevenvoud verschillen zijn beide deelbaar door 7 of ze zijn het beide niet. handleiding ontbinden 8

Merk op dat 1001, en dus ook 10010, 100100, enzovoort zevenvouden zijn. d 13456788 3356788 3336788 333788 33488 3458 455 455 is deelbaar door 13, dus 13456788 ook. 161616 60616 600616 16 16 is niet deelbaar door 13, dus 161616 ook niet. 4455665544 451665544 5165544 115544 14544 14344 4334 330; 330 is niet deelbaar door 13, dus 4455665544 ook niet e Twee getallen die een dertienvoud verschillen zijn beide deelbaar door 13 of ze zijn het beide niet. Merk op dat 1001, en dus ook 10010, 100100, enzovoort dertienvouden zijn. 10 Deelbaarheid door 7, 11 en 13, tweede manier a 33 - + 111=-78 en -78 is niet deelbaar door 7, dus 3311 ook niet b 13456788: 13-456+788=455 is deelbaar door 7 dus 13456788 ook. 161616: 16-16+16=16 is deelbaar door 7 dus, 4455665544 4455665544: 44-556+655-544=401 is niet deelbaar door 7, dus 4455665566 ook niet. c Omdat 33111 en -78 een zevenvoud verschillen (want 1001, 10010, 100100, enzovoort zijn zevenvouden), zijn 33111 en -78 allebei deelbaar door 7 of ze zijn het allebei niet. e Je kunt dezelfde truc gebruiken als in het begin van de opgave voor deelbaarheid door 7 werd gegeven. f 13456788 is niet deelbaar door 11, want 455 is niet deelbaar door 11, het is wel deelbaar door 13 want 455 is deelbaar door 13. 161616 is niet deelbaar door 11 en ook niet deelbaar door 13, want 16 is niet deelbaar door 11 en ook niet door 13. 4455665544 is niet deelbaar door 11, en ook niet door 13, want 401 is niet deelbaar door 11 en ook niet door 13. 11 Deelbaarheid door 11, eerste manier a 7116: 7-1+1-+6=11 is deelbaar door 11 dus 7116 ook. b 13456789: 1-+3-4+5-6+7-8+9=5 is niet deelbaar door 11, dus 13456789 ook niet. c 70000=70000+7000-(7000+700)+(700+70)-(70+7)+7= elfvoud +7 1000=1000+100-(100+10)+(10+1)-1=elfvoud+-1 100=100+10-(10+1)+1=elfvoud+1 0=0+-=elfvoud- Dus 7116=elfvoud+7+-1+1+-+6, handleiding ontbinden 9

dus 7116 en 7+-1+1+-+6 zijn allebei deelbaar door 11 of ze zijn het allebei niet. Je ziet in dit voorbeeld hoe het in het algemeen werkt. d 10101 01 is deelbaar door 11 als 1-0+1-0+1.+1 dat is. En dat is zo als er 11 of of 33 of een veelvoud van 11 enen staat. 1 Deelbaarheid door 11, tweede manier a 7116: 6+11+7=44 is deelbaar door 11, dus 7116 ook. 13456789: 89+67+45+3+1=5 is niet deelbaar door 11, dus 13456789 ook niet. b 13456789=13456700+89 13456700=13450000+67*99+67 13450000=13000000+45*9999+45 13000000=100000000+3*999999+3 100000000=1*99999999+1 99, 9999, 999999 enzovoort (een getal dat met een even aantal negens geschreven wordt) is een veelvoud van 11. Je ziet dat 13456789 en 89+67+45+3+1 een veelvoud van 11 verschillen. Dus 13456789 en 89+67+45+3+1 zijn allebei deelbaar door 11 of ze zijn het allebei niet. c 1010 01: 01+01+01+ +01 is deelbaar door 11 als hier 11 of of 33 enzovoort uitkomt, en dat is zo als er een elfvoud aan enen in dat getal staat. handleiding ontbinden 10

tijdpad 1: met gegeven product lessen : ontbinden van getallen lessen 3: vergelijkingen 3 lessen 4: onderzoek lessen handleiding ontbinden 11

materialen voor een klassengesprek 1 gereedschappen vragen 3 hoofdzaken 4 samenhang 5 leerlingopgaven handleiding ontbinden 1