MASTERCLASS NANOTECHNOLOGIE 1-3 FEBRUARI 001 Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION) Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION)
Voorwoord Stel je eens voor dat je in staat zou zijn om materie atoom voor atoom, of molecuul na molecuul, naar je hand te zetten. Dit is het ultieme toekomstvisioen van wetenschappers en technologen in een groot aantal vakgebieden. De materiaalfysici zouden zo bijvoorbeeld materialen kunnen maken met volstrekt nieuwe eigenschappen of combinaties van eigenschappen, precies aangepast aan de toepassing waarvoor het materiaal bedoeld is. Wat dacht je bijvoorbeeld van slimme materialen, die zich kunnen aanpassen aan de omstandigheden, zoals slimme verf, die overdag wit is en s nachts zwart. De chemici zouden zo elk (stabiel) molecuul dat ze kunnen bedenken ook zomaar in elkaar kunnen zetten, zonder dat daar een kolf of reageerbuis aan te pas komt. Zij dromen al van chemische fabrieken zonder afval. De biologen zouden DNA en andere belangrijke bio-moleculen kunnen bouwen, met precies de gewenste eigenschappen. De medici zouden niet alleen nieuwe medicijnen kunnen bouwen, maar ook bijvoorbeeld kleine, half-intelligente anti-virus machientjes waarmee je gericht binnen het lichaam de strijd met een ziekte zou kunnen aanbinden. Als we de materie zo volledig beheersen dat we deze op de schaal van de atomen kunnen ontwerpen, dan zijn de mogelijkheden vrijwel niet te overzien. De mogelijkheid van atomaire controle lijkt misschien uitsluitend een toekomstdroom te zijn, en thuis te horen bij de fantasie van bijvoorbeeld Star Trek, maar de toekomst is hier dichterbij dan velen van ons nu nog denken. Het is met verfijnde technieken nu al mogelijk om eenvoudige structuren atoom voor atoom op te bouwen, en momenteel wordt in een groeiend aantal onderzoekslaboratoria de basis gelegd van een reservoir aan geheel nieuwe kennis op dit terrein. De verzamelnaam hiervan is Nanotechnologie. In deze masterclass Nanotechnologie zullen we een uitgebreide blik werpen in de fascinerende nanowereld van de materie op de schaal van enkele atomen of moleculen. We nemen een aantal van de basistechnieken onder de loep die bij de nanotechnologie een rol spelen. We zullen zien dat op de atomaire schaal de materie zich niet meer zo gedraagt als we in het dagelijks leven gewend zijn. Om het nieuwe gedrag te begrijpen, verdiepen we ons in de kwantummechanica. Tenslotte, zullen we ook zelf een stukje nanotechnologie in de praktijk brengen door proeven uit te voeren met moderne meetopstellingen en door zelf een voor de nanotechnologie belangrijk instrument te bouwen, namelijk een nanomotor. Met deze Masterclass introduceren we niet alleen het nieuwe terrein van de nanotechnologie, maar proberen we tevens om in drie dagen een min of meer representatieve indruk te geven van de studie natuurkunde aan de Universiteit Leiden. Prof.dr. J.M. van Ruitenbeek en Prof.dr. J.W.M. Frenken Kamerlingh Onnes Laboratorium Universiteit Leiden 1 februari 001 1
1 Inleiding: nanotechnologie There s plenty of room at the bottom! Richard P. Feynman 1.1 Wat is nanotechnologie? 1.1.1 Nanotechnologie: Science Fiction Nanotechnologie bestaat niet! Precieser geformuleerd: nanotechnologie bestaat nog niet. Maar nanotechnologie wordt momenteel in diverse onderzoekslaboratoria voorbereid en wordt misschien wel dè technologie van de 1 e eeuw. Deze masterclass gaat dus in zekere zin over science fiction. Momenteel beginnen de contouren zich af te tekenen van deze toekomstige technologie. De eraan ten grondslag liggende wetenschappelijke principes worden al druk verkend. We zullen in de masterclass kennismaken met dit uitermate dynamische onderzoeksterrein en ons een beeld vormen van de uitdagingen en mogelijkheden die hier liggen. 1.1. Wat is nano? Het voorvoegsel nano in het woord nanotechnologie slaat op de piepkleine schaal waarop de nanotechnologie zich richt, namelijk de schaal van één tot enkele nanometers. Een nanometer = 1 nm = 10 9 m. Om gevoel voor deze lengte te krijgen, kunnen we het beste de vergelijking maken met de typische afstanden tussen de atomen in vaste stoffen, zoals metalen en halfgeleiders. Vraag 1.1. Het metaal koper heeft een dichtheid van ongeveer 9 g/cm 3. Schat de afstand tussen de koperatomen in het metaal (Tip: het getal van Avogadro bedraagt ongeveer 6 10 3 en een koperatoom heeft een massa van ongeveer 64 atomaire massa-eenheden). Het resultaat dat we hier voor koper vinden, is ruim binnen een factor hetzelfde voor de meeste andere materialen. We zien dus dat een nanometer een lengte is waarop nog maar enkele atomen passen. Nanotechnologie is dan ook de technologie op de schaal van enkele atomen. 1.1.3 Waar is nanotechnologie voor nodig? De nanotechnologie wordt door velen gezien als een natuurlijke consequentie van de voortschrijdende miniaturisering die met name in de moderne micro-elektronica plaatsvindt. De componenten van geïntegreerde schakelingen, bijvoorbeeld de afzonderlijke transistoren op een computerchip, worden gestaag kleiner. Het aantal transistoren en andere elementen die op een chip passen wordt daardoor Figuur 1.1. De wet van Moore in de praktijk: de groei van het aantal transistoren in de PCprocessoren van Intel. (Bron: http://www.intel.com/intel/museum/5anniv/index.htm ) 3
steeds groter. Dat merk je bijvoorbeeld aan de toenemende rekenkracht van nieuwe generaties PC s en aan de steeds groter wordende werkgeheugens van PC s. Wonderlijk genoeg volgt die groei al sinds de jaren zestig van de vorige eeuw een heel eenvoudige wet, die al in 1965 werd opgesteld door de halfgeleiderfysicus Gordon Moore. De wet van Moore is geen echte natuurkundige wet, maar wordt door de elektronica-industrie gehanteerd als een soort afspraak, de zogenaamde International Technology Roadmap for Semiconductors: ruwweg elk jaar verdubbelt het aantal schakelingen per vierkante centimeter. De laatste tijd loopt de groei iets minder snel dan aanvankelijk, en duurt de verdubbeling gemiddeld circa anderhalf jaar. Om die groei mogelijk te maken, worden door een voortdurende verbetering van de productietechnieken de afmetingen van alle elektronische structuren elke drie jaar gehalveerd. De hier beschreven schaalverkleining is al meer dan 35 jaar aan de gang, sinds de begintijd van de chips. De afmetingen zijn dus sindsdien meer dan twaalf keer gehalveerd! Terwijl de componenten, bijvoorbeeld transistoren, in de nieuwste generaties elektronica in hun afmeting al op het niveau zijn aangekomen van 1 µm (1 micrometer = 10-6 m), zijn de afzonderlijke elementen waaruit die componenten zijn opgebouwd zelfs nog kleiner; verbindende metaalbaantjes zijn tegenwoordig soms al dunner dan 100 nm. Die onderdelen hebben dus een breedte waarop nog maar een paar honderd atomen passen! Het zal duidelijk zijn dat de miniaturisering niet onbeperkt door kan gaan. Volgens de wet van Moore zouden immers binnen enkele jaren de afmetingen van de elektronische componenten op een chip kleiner worden dan de afstand tussen twee atomen. Vraag 1.. Als de wet van Moore geldig blijft, hoeveel jaar duurt het dan nog tot de breedte van de metaalbaantjes op een computerchip gereduceerd is tot één atoom? Zoals we later zullen zien, zijn er ook diverse andere redenen waarom de huidige miniaturisering niet lang meer kan blijven doorgaan volgens het door Moore uitgestippelde, en totnogtoe door de industrie gevolgde pad. Als de afmetingen van de schakelingen heel klein worden, dan gedragen deze schakelingen zich namelijk niet meer op dezelfde manier als hun grotere uitvoering. Dat kan storend zijn voor hun werking, vooral als je domweg dezelfde schakeling op een kleiner oppervlak wilt kopiëren. Maar de veranderende werking levert ook nieuwe mogelijkheden op, vooral als je bereid bent de elektronica zo te ontwerpen dat je van die andere eigenschappen juist gebruik maakt. Een belangrijk voorbeeld van veranderend gedrag op de kleine schaal is de geleiding van elektrische stroom door een ultradunne metaaldraad. Het is tegenwoordig in het laboratorium mogelijk om de dunst denkbare draadjes te maken, namelijk draadjes met een dikte van slechts één atoom (zie 1..). Op deze piepkleine schaal overheersen de wetten van de kwantummechanica en kunnen we met de wet van Ohm niet meer uit de voeten. We zullen ons in deze masterclass verdiepen in de spelregels van de kwantummechanica (Hoofdstuk 3), en aan de hand daarvan ontdekken hoe stroom door een dunne draad loopt en waarom dat anders gaat dan bij een dikke draad (Hoofdstuk 6). 1.1.4 Technologie met atomen en moleculen In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de toekomstige elektronica niet meer micro-elektronica maar nano-elektronica zal zijn. De afmetingen van de werkzame componenten zullen hoogstens enkele tientallen atoomafstanden bedragen, en voor de werking van deze nano-devices zal de kwantummechanica van wezenlijk belang zijn. De nieuwe technologie, met structuren die samengesteld zijn uit slechts een klein aantal atomaire of moleculaire bouwstenen blijft niet beperkt tot het gebied van de elektronica. Onze science fiction strekt zich ook uit tot de materiaalkunde, de chemie en de biologie. We zullen ons in deze masterclass niet met al deze toekomstdromen bezighouden, maar we zullen ons beperken tot voornamelijk de elektronische toepassingen. Om een globale indruk te krijgen van de reikwijdte van de nanotechnologie, laten we hier een aantal interessante voorbeelden de revue passeren. 4
1. Voorbeelden van nanotechnologie 1..1 Microscopen die atomen kunnen zien In het begin van de jaren tachtig van de vorige eeuw kreeg de ontwikkeling van de nanotechnologie een enorme impuls door de uitvinding van de zogenaamde rastertunnel-microscoop. Dit instrument maakt het mogelijk om de buitenkant van materialen af te tasten met een zo grote gevoeligheid, dat de afzonderlijke atomen aan het materiaal-oppervlak daarbij zichtbaar worden (zie Figuur 1.). De uitvinders, Gert Binnig en Heinrich Rohrer (IBM, Züricht), ontvingen voor deze doorbraak in 1986 de Nobelprijs voor de natuurkunde. We zullen in Hoofdstuk 3 uitgebreid verder kennismaken met deze bijzondere, nieuwe vorm van microscopie. Figuur 1.. Indium-atomen, als verontreiniging verstopt in het oppervlak van een koper kristal, en afgebeeld met de rastertunnelmicroscoop (Hoofdstuk 3). Elk van de kleine rode bobbeltjes is één koperatoom. Elk van de gele uitsteeksels is één indiumatoom. http://www-lion.leidenuniv.nl/groups/ip 1.. Dunne draden De dunste metaaldraad die ooit is gemaakt, heeft een dikte van slechts één atoom. In Figuur 1.3 is een afbeelding te zien van een computersimulatie van zo n draadje van het materiaal goud. Tussen de twee goudelektroden is een brugje te zien van zes goudatomen, dat zich spontaan heeft gevormd. In Hoofdstuk 6 zullen we nader kennis maken met deze ultradunne draadjes, en zien we dat ze niet meer gehoorzamen aan de wet van Ohm. Figuur 1.3. Metaaldraad met een dikte van één atoom. http://lion.leidenuniv.nl/wwwhome/ruitenbe/index.html 1..3 Bucky-ballen en nanobuizen Wereldwijd wordt in een groot aantal laboratoria gewerkt aan zogenaamde bucky balls. Dit zijn ronde, voetbalvormige structuren van koolstof. Elke bucky ball bestaat uit precies zestig koolstof atomen, elk op een van de hoekpunten van de bal. Samen vormen de atomen een regelmatig patroon van vijfhoeken en zeshoeken, net als bij een echte voetbal. De diameter van de balletjes bedraagt 5
slechts circa 1 nm. Voor de ontdekking van deze atomaire voetballen kregen Harry Kroto, Richard Smalley en Robert Curl in 1996 de Nobelprijs voor de scheikunde. Figuur 1.4. Model van een bucky ball (C 60 ), en van een stukje van een C 60 kristal. http://tiger.chm.bris.ac.uk/cm1/andrewj/welcome.htm#geometry De eigenschappen van deze nanoballetjes wijken vaak sterk af van die van de andere vormen van koostof, zoals grafiet en diamant. Daarmee zijn ze interessant voor een groot aantal mogelijke toepassingen. De balletjes zijn enorm sterk en ze vertonen relatief weinig neiging om chemische bindingen aan te gaan met andere stoffen. Daarom hopen biochemici bijvoorbeeld dat bepaalde medicijnen mooi in zo n koolstof- kooitje getransporteerd zouden kunnen worden door je lichaam. Natuurkundigen hebben ontdekt dat je uit de balletjes prachtige kristallen kunt maken, die, als je bepaalde metaalatomen aan de koolstofballetjes bevestigt, bij lage temperatuur supergeleidend zijn. De perfect ronde vorm en de chemische ongevoeligheid maken de balletjes ook mogelijk geschikt als smeermiddel ( nano-kogellager ). Figuur 1.5. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) en model van een koolstof nanobuis. http://vortex.tn.tudelft.nl/~dekker/ Sterk verwant met de bucky balls zijn de koolstof nanobuizen. Een nanobuis is een ultradunne koker van koolstofatomen, die je je kunt voorstellen als een opgerold grafietlaagje. De diameter van zo n buisje bedraag typisch 1 nm. Dit zijn de dunste vezels die momenteel gemaakt kunnen worden. Ze blijken enorm sterk te zijn en worden daarom in de toekomst mogelijk toegepast ter versteviging van materialen. Figuur 1.6. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) van een koolstof nanobuis tussen twee elektroden op een siliciumchip. http://vortex.tn.tudelft.nl/~dekker/ 6
In Figuur 1.6 Zien we hoe een nanobuis de elektroden verbindt op een chip, waarmee de geleiding gemeten kan worden. Afhankelijk van de manier van oprollen van het grafietlaagje, werkt het buisje als een elektrisch geleidende draad of als een halfgeleider. 1..4 LEGO met atomen In Figuur 1.7 wordt de kleinste reclame getoond die ooit is gemaakt. Het structuurtje bestaat uit een aantal xenon atomen die met een nauwkeurigheid van circa 0.1 nm zijn neergezet op het oppervlak van een nikkel-kristal. De totale lengte van het logo bedraagt nog geen 3 nm. Dit voorbeeld illustreert dat het mogelijk is om nanostructuren atoom voor atoom op te bouwen. We zullen in Hoofdstuk 5 serieuzere vormen tegenkomen van LEGO met atomen. Figuur 1.7. Onderzoekers in een van de laboratoria van IBM in de Verenigde Staten gebruikten een rastertunnlmicroscoop (zie Hoofdstuk 3) om de xenon atomen op dit nikkel oppervlak een voor een op hun plaats te zetten. Met diezelfde microscoop werd vervolgens het resultaat afgebeeld. http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html 1..5 Bionanotechnologie Het grote voorbeeld voor de nanotechnologie is de biologie. Levende cellen kan je beschouwen als gecompliceerde chemische micro-fabriekjes. Ze zitten vol met machientjes met afmetingen van enkele nanometers. Het bekendste voorbeeld is het DNA. Een gestrekt DNA molecuul heeft een diameter van slechts.5 nm. Het fungeert als een belangrijk onderdeel in de aanmaak van alle biologische bouwstenen in de cel. Figuur 1.8. Microscoop-opname (zie Hoofdstuk 3) van een individueel human transcription factor : DNA complex. http://www.di.com/ Veel biologische processen maken gebruik van mechanische verplaatsingen, die veroorzaakt worden doordat een eiwitmolecuul, een zogenaamd motorproteïne, als het ware over een ander molecuul heenkruipt. Deze bewegingen spelen bijvoorbeeld een rol bij celdeling en bij de werking van spieren. In de wanden van cellen en mitochondria zitten grote aantallen speciale eiwitmoleculen die betrokken zijn bij de regulering van transport van atomen en moleculen van de ene kant naar de andere kant en bij de energiehuishouding van de cel. Van diverse van deze nano-wondertjes is de structuur in de laatste jaren opgehelderd met technieken zoals Röntgendiffractie en NMR (nuclear magnetic resonance 7
draaiende atpase.mov Figuur 1.9. Schematische weergave van het membraan-eiwitcomplex F1-ATPase. Met behulp van de aan het eiwit bevestigde, sliertvormige actine-fiber, kan de spontane draaiing van het eiwit zichtbaar worden gemaakt (klik hiervoor op het movie -symbool). http://www.res.titech.ac.jp/seibutu/nature/f1rotate.html spectroscopy), en op basis van hun structuur probeert men ook hun werking te begrijpen. Figuur. 1.9 laat het schema zien van het eiwitcomplex met de naam F1-ATPase. Het speelt een belangrijke rol bij de synthese van ATP-moleculen, de brandstof voor de cel. Onderzoekers in de Engeland en de Verenigde Staten hebben ontdekt dat het middelste gedeelte van dit complex tijdens de ATP-productie om zijn as draait, als een soort Wankel-motor. Voor het ontrafelen van de structuur van deze complexe draaimotor ontvingen John Walker (Cambridge) en Paul Boyer (Los Angeles) in 1997 de Nobelprijs voor de scheikunde. In de tekening van Figuur 1.8 is aangegeven hoe de draaiing zichtbaar wordt gemaakt. Aan de centrale as is een dunne moleculaire wimpel bevestigd, die door de draaiing mee wordt gesleurd. In het filmpje (klik met linkermuisknop) is een microscoop-opname van de waargenomen draaiing duidelijk te zien. 1.3 De droom van Feynman De eerste wetenschapper die serieus heeft nagedacht over de mogelijkheid van het beheersen van de materie op de schaal van atomen en moleculen was de Nobelprijs-winnaar Richard Feynman. In een legendarische lezing, getiteld There s plenty of room at the bottom, bij een bijeenkomst van de American Physical Society in 1959, hield hij zijn collega s voor dat de natuurkundige wetten het niet onmogelijk maken om atomen zichtbaar te maken met sterke microscopen en om materialen atoom voor atoom in elkaar te zetten. De toepassingen waarop de nanotechnologie zich momenteel richt, werden in de visionaire lezing van Feynman allemaal al voorzien. Hoe vooruitziend zijn blik was, wordt duidelijk als je je realiseert dat dit slechts enkele jaren na de uitvinding van de transistor was, en meerdere jaren vóór de ontwikkeling van de eerste elektronische chip. Feynman dacht ook na over de manier waarop de atomair precieze technieken zouden kunnen worden omgezet in massaproductie. Hij liet zich hierbij deels inspireren door de biologie. Dit belangrijke punt komt in onze masterclass aan de orde in Hoofdstukken 5 en 7. Feynmans droom is verder uitgewerkt door diverse op de toekomstige technologie gerichte organisaties. Een van de bekendste daarvan is het Foresight Institute. Op de website van deze organisatie word je op de hoogte gehouden van de laatste ontwikkelingen op het gebied van de nanotechnologie. Bovendien vind je hier ook links naar enkele goed leesbare, algemene (web)-boeken, waarin wordt uitgelegd hoe de huidige techniek stap voor stap kan worden verfijnd naar massaproductie met controle op de schaal van nanometers. 8
Figuur 1.10. Richard P. Feynman (1918 1988) wordt beschouwd als de grondlegger van de nanotechnologie. http://www.zyvex.com/nanotech/feynman.html 1.4 Verder in deze masterclass Veel van de verschijnselen die bij de nanotechnologie optreden zijn doorspekt met kwantummechanische effecten. Na deze inleiding zullen we ons daarom eerst, in Hoofdstuk, uitgebreid verdiepen in de kwantummechanica. Gewapend met deze nieuwe kennis kunnen we de werking begrijpen van de rastertunnelmicroscoop, die in deze masterclass een van de hoofdrolspelers is, en waarmee we in Hoofdstuk 3 nader kennis zullen maken. In Hoofdstuk 4 dalen we stapje voor stapje af in afmetingen naar het domein van de nanometer en proberen we ons een voorstelling te maken van de bizarre veranderingen in de fysische eigenschappen van materialen die tijdens die afdaling optreden. Misschien wel de belangrijkste verandering betreft de elektrische geleiding van materialen, die op nanometerschaal de wet van Ohm niet meer volgt. Dit belangrijke effect vormt het onderwerp van Hoofdstuk 6. Hoofdstuk 5 gunt ons een atomair gevoelige blik op de oppervlakken van diverse materialen. Hierbij zullen we zien dat materialen aan de buitenkant vaak onverwachte structuren vertonen, en dat op de oppervlakken veel spontane beweging van atomen optreedt. In Hoofdstuk 5 komen we ook al de eerste serieuze vingeroefeningen tegen met het atoom voor atoom manipuleren van de materie. Tenslotte, werpen we in Hoofdstuk 7 een blik in de toekomst van de nanotechnologie. Op het gevaar af verzeild te raken in de science fiction speculeren we over de stormachtige ontwikkelingen die we in de komende jaren mogen verwachten binnen de nanotechnologie. 9
10
Spoedcursus Kwantummechanica.1 Deel 1 Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it. Niels Bohr.1.1 Inleiding Aan het eind van de negentiende eeuw was de natuurkunde stevig gegrondvest op drie belangrijke pijlers, drie theoretische bouwwerken. Met deze theorieën was men zeer succesvol in de beschrijving van vrijwel alle tot dan toe waargenomen natuurverschijnselen. De eerste pijler was gelegd door Newton, en later werd zijn theorie uitgebreid door vele grote namen, waaronder Hamilton en Lagrange. Dit bouwwerk wordt gevormd door wat wij nu de klassieke mechanica noemen. De klassieke mechanica beschrijft de beweging van voorwerpen onder invloed van krachten, en of dit nu koffiekopjes of planeten zijn maakt niet uit. De gevonden wetmatigheden bleken allemaal fantastisch te kloppen, bijvoorbeeld in de voorspelling van de details van de beweging van de planeten in ons zonnestelsel. De tweede pijler betreft de wetten die elektromagnetische verschijnselen beschrijven, en deze wetten hebben de meest algemene en compacte vorm gekregen door het werk van Maxwell. Maar er zijn veel wetenschappers die belangrijke bijdragen hebben geleverd aan deze theorie, waaronder Coulomb, Faraday, Ampère, en nog vele andere. De wetten zoals Maxwell deze formuleerde, beschrijven de statische elektrische en magnetische verschijnselen zoals de elektrische velden ten gevolge van een bepaalde verdeling van geladen deeltjes, of het magnetisch veld ten gevolge van een elektrische stroom. Daarbovenop beschrijven ze de wisselende velden van radiogolven en zelfs van het zichtbare licht. De derde pijler, tenslotte, werd gevormd door de warmteleer, of thermodynamica, die oorspronkelijk ontwikkeld was door Carnot om een beschrijving te kunnen geven voor een optimaal efficiënte stoommachine. De theorie bleek zeer breed toepasbaar voor alle verschijnselen waar warmte een rol speelt. Bovendien was men in staat, voornamelijk dankzij Boltzmann, om een microscopische verklaring van de thermodynamica te geven in termen van de statistische beweging van atomen, en die beweging gebeurt dan onder invloed van de mechanische wetten à-la-newton. Dit resultaat was een triomf van de wetenschap, en versterkte het vertrouwen dat men aan het eind van de negentiende eeuw had dat alle natuurverschijnselen uiteindelijk terug te voeren zouden zijn op de wetten van Newton en Maxwell. Zo stonden de natuurkundigen aan het begin van de twintigste eeuw vol zelfvertrouwen, in de overtuiging dat het niet lang zou duren voordat men alle fundamentele problemen in de natuurkunde had begrepen. Deze zelfvoldaanheid werd in zeer korte tijd tenietgedaan door een aantal waarnemingen die met geen mogelijkheid in termen van de oude theorieën waren te beschrijven. We willen niet te lang stil staan bij deze waarnemingen omdat ons dat te ver van ons pad af zou leiden, maar voor de geïnteresseerde lezer geeft Appendix A1 hiervan een korte beschrijving. Zorgvuldig analyseren van deze waarnemingen leidde in de eerste drie decennia van de twintigste eeuw tot twee enorm belangrijke doorbraken. De ene is voor het grootste deel toe te schrijven aan Albert Einstein, en staat bekend als de Relativiteitstheorie. Een prachtige theorie met zeer verstrekkende consequenties, maar daar willen we het hier niet over hebben. De tweede theorie is de Kwantummechanica, en deze is voor onze cursus van groot belang. Met deze theorie willen we daarom wat nader kennis maken. 11
.1. De golf-deeltje paradox De grootste namen uit de natuurkunde van het begin van de twintigste eeuw probeerden uit alle macht de verschijnselen te verklaren in termen van de toen bekende en geaccepteerde wetten. De wetten van Newton en Maxwell werkten zo goed dat men niet graag bereid was toe te geven dat er iets mis mee was. Grote natuurkundigen, waaronder Niels Bohr, Albert Einstein, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger en vele anderen, hebben daar jarenlang mee geworsteld. De problemen die de experimenten beschreven in de Appendix A1 opwierpen werden nog versterkt door nieuwe experimenten, waaronder de verstrooiïng van elektronen door licht, uitgevoerd door Compton, en de experimenten van Franck en Hertz. De resultaten van deze experimenten dwongen deze grote mannen uiteindelijk tot capitulatie: de oude theorieën moesten op de helling. De beschrijvingen voorgesteld door Planck voor de straling van een zwart lichaam, door Einstein voor het foto-elektrisch effect en door Bohr voor de spectraallijnen, waren onacceptabel binnen de oude theorieën omdat er zeer vreemde aannames gemaakt moesten worden. Maar ze wezen allemaal in de richting van een zelfde soort nieuwe theorie. Het heeft echter tot 197 geduurd voordat die er was. In dat jaar kwamen de belangrijkste onderzoekers op dit gebied bijeen op een historische conferentie, de Solvay conferentie gehouden in België. Daar werd uiteindelijk besloten dat het niet anders kon dan dat men de nieuwe theorie moest aanvaarden, en men beschreef hoe deze er in grote lijnen uit moest zien. Om de botsing van een elektron met een lichtdeeltje (foton) te beschrijven had Einstein voorgesteld om aan een foton een impuls p = hν / c = h / λ toe te kennen. Hierbij gebruikte hij de natuurcontante h die al door Planck was ingevoerd voor de verklaring van de straling van een zwart lichaam. i Het verschil tussen golven en deeltjes leek daarmee te vervagen, en in vervolg op deze lijn van redeneren stelde Louis De Broglie voor om ook aan deeltjes een golflengte toe te kennen via dezelfde relatie, p = h / λ. De golflengte wordt dus langer naarmate het deeltje langzamer beweegt. Daarnaast wordt de golflengte langer naarmate het deeltje lichter wordt. Vraag.1. Bereken de golflengte van een elektron dat beweegt met een kinetische energie gelijk aan de thermische energie ii k B T bij kamertemperatuur. Bereken ook de golflengte van een waterstofatoom met een kinetische energie behorend bij een temperatuur van 1 Kelvin. Tot slot, bereken de golflengte van een middenklasse auto met een snelheid van 10 km/h. Beredeneer in welke gevallen de golflengte een waarneembare consequentie zal hebben. Alle, naar klassieke begrippen, uitheemse ingrediënten werden tot een geheel gesmeed en dit werd de kwantummechanica, die een theoretische beschrijving geeft van het gedrag van elementaire deeltjes, waaronder de elektronen. De theorie breekt met het traditionele onderscheid tussen golven en deeltjes. Deze theorie is vaak strijdig met onze intuïtie, een intuïtie die gevormd is door onze ervaringen uit het dagelijks leven, waarin we niet geconfronteerd worden met microscopische verschijnselen. We mogen ons er dus eigenlijk niet al te zeer over verbazen dat de microscopische wereld beheerst wordt door wetmatigheden die ons bijzonder vreemd voorkomen. In die microscopische wereld kan men een elektron opvatten als een deeltje, dat we op een bepaald moment op een bepaalde plaats kunnen aantreffen, maar eveneens kunnen we het beschrijven als een golf die zich uitstrekt over bijvoorbeeld het gehele stuk metaal waarin het zich bevind, en waarvan de plaats dus onbepaald is. Welk van deze beide gezichtspunten van toepassing is hangt af van de vraag die we stellen, ofwel hangt af van welke eigenschap van het elektron gemeten wordt. i De waarde van de constante van Planck is h = 6,66076 10 Js. ii Atomen bewegen harder naarmate de absolute temperatuur T groter is. Omdat atomen een bepaalde snelheid hebben, hebben ze ook een kinetische energie. Deze energie wordt verhoogd en verlaagd door de temperatuur te variëren. Deze kinetische energie van de atomen heet thermische energie. 1 34
Het idee dat een elektron zowel als golf alsook als deeltje beschreven kan worden komt ons zeer vreemd voor. Van een biljartbal kunnen we zeggen dat deze een duidelijk bepaalde plaats heeft op elk moment in de tijd. Daarnaast kennen we het verschijnsel van een druppel die in een vijver valt en die een golfpatroon veroorzaakt dat zich over de gehele vijver uitstrekt. Maar we kunnen ons geen voorstelling vormen van een object dat die twee eigenschappen in zich verenigt. Niettemin is de kwantummechanica in staat, in elk geval in mathematische vorm, een synthese van deze eigenschappen te vormen die niet alleen de juiste voorspellingen geeft voor onze experimentele waarnemingen, maar ook de grenzen aangeeft van wat we met onze waarnemingen kunnen bepalen. Het gedrag van een elektron wordt binnen deze theorie beschreven door de wiskundige vergelijking, die naar de Oostenrijkse natuurkundige Schrödinger is vernoemd, en die in principe alles beschrijft wat we over het elektron kunnen zeggen. De Schrödingervergelijking zal hieronder gegeven worden, en we zullen enkele voorbeelden behandelen waarop deze van toepassing is. Maar voordat we hieraan beginnen, willen we eerst het tegen-intuïtieve aspect van de theorie wat nader bekijken..1.3 Het twee-spleten experiment van Young: fotonen Een van de zeer beroemde experimenten in de golfoptica is het experiment van Young (zie Figuur.1). Bij dit experiment wordt licht, met een golflengte λ, afkomstig van een puntbron door twee spleten gestuurd. Het licht valt daarna op een scherm. Nu meten we de intensiteit van het licht langs de x- richting. De lichtintensiteit is een maat voor de hoeveelheid licht die, per seconde op een bepaalde plaats op het scherm valt. Als λ << d << L wordt een interferentiepatroon op het scherm zichtbaar. De functie die deze intensiteitverdeling beschrijft is, I x d = 4 I 0cos π (.1) λ L Figuur.1. Het twee-spletenexperiment van Young. Het licht van een puntbron valt van grote afstand opeen scherm met twee spleten D en E die op een korte afstand d van elkaar liggen. Het licht dat door de spleten komt valt op een tweede scherm dat op afstand L van het eerste scherm staat. De intensiteit van het licht dat wordt waargenomen als functie van de plaats x op het scherm vertoont een patroon van maxima en minima als gevolg van de interferentie van het licht dat door elk van de twee spelen is gevallen. 13
met I 0 de intensiteit op het scherm als één spleet gesloten is. Op het scherm bestaat dus een patroon van lichte en donkere strepen. We verklaren dit als een gevolg van constructieve en destructieve interferentie. De intensiteit van het licht is een afgeleide grootheid; we moeten rekenen met de veldsterkten van het elektromagnetische veld (de intensiteit is evenredig met het kwadraat van de elektrische veldsterkte). In het punt P ( x = 0, symmetrisch t.o.v. de spleten) interfereren de golven constructief want de weglengte tussen de bovenspleet en P is gelijk aan die tussen de onderspleet en P. De veldsterkte in P is dus tweemaal zo groot als dat hij zou zijn als maar één spleet openstond. Om de veldsterkte in het punt Q (coördinaat x ) te berekenen moeten we kijken naar het weglengteverschil = DQ EQ (zie Figuur.1). Als = λ / is er destructieve interferentie in Q en dus is daar de veldsterkte gelijk aan nul; als = λ is er constructieve interferentie in Q. We zien dus dat we steeds het veld uitrekenen als som van twee velden (afkomstig van de twee bronnen) die onderling een plaatsafhankelijk faseverschil hebben. Door dit faseverschil is er variatie in de sterkte van het totale veld en dus van de totale intensiteit. Deze variatie is afgebeeld in Figuur.. Figuur.. Het interferentiepatroon als functie van de plaats x langs het scherm. I/I 0 Tot zover is de beschrijving van de waarneming helemaal gegeven in termen van golven. Maar de kwantummechanica zegt ons dat licht bestaat uit deeltjes, de fotonen. Als je aan fotonen denkt, denk je aan energiepakketjes en niet aan velden. Om het twee-spleten experiment netjes uit te voeren in de context van fotonen wil je eigenlijk met maar één foton tegelijk werken. Je moet dan de lichtintensiteit heel sterk verminderen naar een extreem lage waarde. Het lijkt dan logisch te zeggen dat het foton maar door één spleet gaat, òf door de bovenste òf door de onderste. Einstein vond dit vanzelfsprekend en argumenteerde als volgt: "Stel het foton gaat door de bovenste spleet. Dan maakt het niet uit of ik de onderste spleet bedek of niet''. De lichtverdeling achter één spleet ziet er echter heel anders uit dan die voor twee spleten. Als je met de redenering van Einstein meedenkt, zou je moeten concluderen dat er bij zeer lage lichtintensiteit geen interferentiepatroon overblijft. Je kunt het twee-spletenexperiment voor zeer lage intensiteit in de praktijk uitvoeren. Wat je dan ziet, is dat één foton inderdaad geen interferentiepatroon oplevert maar om een triviale reden. Eén foton kan maar één korrel op een film zwarten. Máár, wanneer je dit experiment gedurende lange tijd voortzet met steeds maar één foton tussen bron en scherm dan verschijnt op den duur het interferentiepatroon van Young. Einsteins redenering gaat dus niet op, en zelfs een enkel foton heeft dus nog golfeigenschappen. Kun je dan nog wel zeggen dat het foton door de ene of de andere spleet gaat? Het antwoord is nee! Je moet concluderen dat het foton altijd door beide spleten gaat! Wat kun je dan nog wel zeggen in termen van fotonen? Hierna zullen we laten zien dat het optische interferentiepatroon van lichtgolven mag worden beschouwd als een waarschijnlijkheidsverdeling voor de positie van de fotonen op het scherm. Daar waar de golfoptica destructieve interferentie voorspelt komen ook werkelijk geen of heel weinig fotonen terecht. 14 xd/ λ L
.1.4 Het twee-spleten experiment van Young: elektronen Als we het postulaat van De Broglie uit.1. serieus nemen, moet het ook mogelijk zijn een tweespleten experiment met elektronen uit te voeren. Zulke experimenten zijn ook gedaan (zie Figuur.3). Het resultaat komt volledig overeen met de optische variant. Ook hier kunnen we de elektronenstroom verminderen totdat er maar één elektron aanwezig is. Ook hier lijkt de positie waar elk individueel elektron terechtkomt zuiver door toeval bepaald. Als we echter naar het resultaat van een groot aantal elektronen kijken dan krijgen we het interferentiepatroon terug. Het golfkarakter is dus iets wat aan elk individueel elektron kleeft. Figuur.3. Resultaten van een twee-spetenexperiment met elektronen bij toenemend aantal elektronen. Als weinig elektronen het apparaat hebben doorlopen, herken je geen patroon. Hun ruimtelijke verdeling lijkt willekeurig. Het interferentiepatroon wordt pas duidelijk als voldoende elektronen hebben meegedaan. 15
. Deel..1 De Schrödingervergelijking Voor de merkwaardige experimentele resultaten die aanleiding gaven tot het zoeken naar een nieuwe theorie is dus een prachtige beschrijving gevonden die bekend staat als de kwantummechanica. Het gedrag van een deeltje wordt beschreven door een zogenaamde golffunctie, die niet beschrijft waar het deeltje zich werkelijk bevindt op elk gegeven tijdstip, maar die de waarschijnlijkheid beschrijft om het deeltje op een bepaald punt aan te treffen wanneer we daar gaan kijken. De wetenschappers die deze theorie hebben geconstrueerd hebben dus een zeer belangrijke concessie moeten doen om een sluitende theorie te krijgen: de theorie is namelijk niet deterministisch. Dat wil zeggen dat uit een meting van de positie en snelheid van een deeltje op een bepaalde tijd, geen absolute voorspellingen gedaan kunnen worden over waar we het deeltje in de toekomst zullen aantreffen. We kunnen alleen de waarschijnlijkheid voorspellen, en deze wordt beschreven door de golffunctie. De golffunctie, die we zullen aanduiden met de griekse letter ψ, kan worden gevonden als oplossing van de Schrödingervergelijking. Hoe is Erwin Schrödinger aan zijn formule gekomen? Een groot deel is raden geweest. Maar niet zomaar raden, want de theorie moest aan strikte voorwaarden voldoen. Onder andere besloot Schrödinger op grond van de resultaten van De Broglie dat hij moest uit gaan van een beschrijving van deeltjes als golven. Verder moest hij eisen dat, voor systemen die groot genoeg zijn, kwantumeffecten geen rol kunnen spelen. Immers, uit onze ervaring uit het dagelijks leven weten we dat kwantummechanica geen rol speelt op de schaal waarop wij leven. We moeten dus eisen dat we de bekende resultaten van de wetten van Newton terugvinden wanneer de afmetingen groot worden. Bohr heeft deze belangrijke eis aan de theorie heel duidelijk geformuleerd en dit staat bekend als het Correspondentieprincipe van Bohr. De theorie moet dus een uitbreiding zijn van de bekende wetten, en ze niet volledig vervangen. Laten we eerst het resultaat van het werk van Schrödinger bekijken, en dan gaan we ermee aan de slag. Het grootste probleem dat we moeten overwinnen is te leren begrijpen wat de formules betekenen. Om de discussie niet nodeloos ingewikkeld te maken beschrijven we het gedrag van een deeltje met massa m dat slechts in één dimensie (de x-richting) kan bewegen. Voor zo'n deeltje ziet de Schrödingervergelijking er als volgt uit: d ψ ( x) dx = Cψ ( x) (.) Dit is een differentiaalvergelijking, en dat mag je ook verwachten want golven zijn over het algemeen oplossingen van differentiaalvergelijkingen. De golffunctie ψ (x) is de oplossing van de vergelijking, die we zoeken. Het linker lid van de vergelijking zegt dat we deze golffunctie twee maal naar de plaatscoördinaat x moeten differentiëren, en het resultaat daarvan moet dan weer diezelfde golffunctie opleveren, maar dan vermenigvuldigd met een factor C. Om de Schrödingervergelijking compleet te maken moeten we nog zeggen wat die factor C is, en voor de gevallen die we hier zullen bespreken is dit een constante met een waarde m C = ( E ) (.3) D V In deze vergelijking komen een aantal natuurconstanten voor: de massa van het deeltje, m, en de constante van Planck die in dit geval geschreven wordt als D = h / π. Verder is V potentiële energie van het deeltje en E de totale energie. De factor C is dus evenredig met het verschil tussen de totale 16
energie en de potentiële energie, en dat verschil is de kinetische energie. De factor C is dus evenredig met de kinetische energie. De vergelijking beschrijft alle situaties voor een deeltje dat in één richting kan bewegen. De informatie over het specifieke probleem dat we willen beschrijven komt op twee plaatsen de vergelijking binnen. Op de eerste plaats gebeurt dat via de massa m van het deeltje, dat bijvoorbeeld een elektron zou kunnen zijn met massa m e = 9,1 10-31 kg. Op de tweede plaats komt deze informatie de vergelijking binnen via de potentiële energie V (x), die bijvoorbeeld zou kunnen worden beschreven door de elektrische potentiële energie van een elektron dat wordt aangetrokken door een proton zoals het geval is in een atoom, zodat V ( x) = (1/ 4πε 0)( e / x). We zullen ons hier echter beperken tot problemen waarbij de potentiële energie constant is... Een vrij deeltje: potentiële energie nul. Om een beter beeld te krijgen van de betekenis van de vergelijking bekijken we enkele bijzondere situaties. Om te beginnen nemen we een geval waarbij de potentiële energie overal nul is, V ( x) = 0. We beginnen met een oplossing te zoeken voor de differentiaalvergelijking (.). Wanneer C constant is de oplossing vrij eenvoudig, een mogelijke oplossing is namelijk ψ ( x ) = sin( kx). (.4) Laten we dat eens controleren. De eerste keer differentiëren van ψ (x) geeft dan dψ ( x) d x = d sin( kx) = k cos( kx). (.5) d x We hebben hierbij gebruik gemaakt van de kettingregel, waarbij we eerst sin( y ) naar y differentiëren, en dit vervolgens vermenigvuldigen met de afgeleide van y = kx naar x. Bij de tweede keer differentiëren gebruiken we dat sin( y) de afgeleide van cos( y ) is, zodat ψ ( x) = k ψ ( x). (.6) dx d De golffunctie ψ ( x ) = sin( kx) is dus inderdaad een oplossing die aan de Schrödingervergelijking (.) voldoet, wanneer k gelijk is aan C. Wanneer we dan bedanken dat C gegeven wordt door (.3), met V ( x) = 0 dan vinden we een relatie tussen deze parameter k en de energie E, D k m = E (.7) We zien dus dat de oplossing van de Schrödingervergelijking inderdaad een golf is, in dit geval een eenvoudige sinusgolf. De golflengte λ van de golf wordt bepaald door de afstand tussen twee maxima van de golf, waarvoor dus geldt dat k λ = π. Vraag.. (1) Voldoet ψ ( x ) = Asin( kx) ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0? () Voldoet ψ ( x ) = sin( kx + ϕ), met ϕ een constante fase, ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0? (3) Voldoet ψ ( x ) = cos( kx) ook aan de Schrödingervergelijking met V ( x) = 0? 17
..3 Impuls, snelheid en golflengte van het deeltje Om nu een natuurkundige betekenis aan deze wiskundige relaties te kunnen toekennen moeten we aannemen dat de golflengte λ de De Broglie golflengte voorstelt, waarvoor geldt dat λ = h / p. Met k λ = π volgt dan dat p = h / λ = hk / π = Dk. Dit suggereert dus dat we D k moeten opvatten als de impuls p van het deeltje. Dat klopt dan ook mooi met vergelijking (.7) waaruit dan volgt dat 1 E = p / m = mv, de klassieke kinetische energie (immers, in dit geval hebben we V ( x) = 0 gekozen, zodat de totale energie gelijk is aan de kinetische energie). We zien dus dat een lage kinetische energie overeenkomt met een lange golflengte, een hoge energie met een korte golflengte...4 Deeltje met kinetische energie nul We hebben nu het geval bekeken waarbij de potentiële energie nul is. Omgekeerd kunnen we een geval bekijken waarvoor de kinetische energie nul is. De totale energie is dan gelijk aan de potentiële energie, en dus moet C in (.3) gelijk aan nul zijn. Aangezien we hebben gevonden dat k gelijk is aan C vinden we dan dat het deeltje een impuls p = Dk gelijk aan nul heeft, en dus een oneindig lange golflengte. Inderdaad, voor een kinetische energie gelijk aan nul is ook de impuls, en dus de snelheid, gelijk aan nul...5 Interpretatie van de golffunctie Het onwennige aspect de Schrödingervergelijking is de bijzondere vorm van de kinetische energie en het feit dat we het deeltje beschrijven met een golffunctie. Hoe moeten we die golffunctie nu interpreteren? We gebruiken hier de analogie met de intensiteit van de lichtgolven in het interferentieexperiment van Young: de waarschijnlijkheid W om het deeltje aan te treffen op een plaats x wordt gegeven door het kwadraat van de golffunctie Ψ (x) op die plaats, ( Ψ( )) W ( x) = x. (.8) Voor een algemene oplossing ψ ( x ) = Asin( kx + ϕ) ligt daarmee dan gelijk de amplitude A vast, want de totale waarschijnlijkheid om het deeltje waar dan ook aan te treffen moet natuurlijk gelijk aan 1 zijn. Wanneer L de totale lengte is van de ruimte waarin het deeltje zich beweegt dan vinden we A = / L. Dit wordt geïllustreerd in Figuur.4. (Ψ(x)) A 0 0 x L Figuur.4. Omdat de totale waarschijnlijkheid om het deeltje ergens te vinden 1 moet zijn, en omdat we deze waarschijnlijkheid gelijk willen stellen aan ( Ψ (x)), moeten we het oppervlak onder de grafiek bepalen en dit gelijk stellen aan 1. Aan de grafiek kun je zien dat dit oppervlak ongeveer de helft is van de breedte van de grafiek, L, maal de hoogte, A. Door de integraal uit te rekenen kun je laten zien dat dit de exacte oplossing is. 18
..6 Doordringen in het verboden gebied Uit de klassieke natuurkunde, waarmee de natuurkunde van vóór de kwantummechanica wordt bedoeld, is het volgende gedrag van voorwerpen bekend: Een voorwerp dat een kinetische energie E kin heeft wordt afgeremd wanneer het aanloopt tegen een stijgende potentiële energie en het voorwerp komt tot stilstand zodra de kinetische energie volledig is omgezet in potentiële energie. Wanneer we wrijving verwaarlozen, dan kunnen we een kogel vertikaal omhoog schieten en deze bereikt een hoogte H die gegeven wordt door de kinetische energie bij aanvang, mgh=e kin (hierin is m de massa van het voorwerp en g de valversnelling). Hoger kan het voorwerp bij gegeven kinetische energie nooit komen. In de kwantummechanica is dit niet meer waar, en dit volgt direct uit de Schrödingervergelijking () zoals we nu zullen laten zien. Vraag.3. Maak een grafiek van de potentiële energie als functie van de hoogte H, voor een kogel die vertikaal wordt afgeschoten met een snelheid van 100 m/s. Teken in dezelfde grafiek de totale energie van de kogel als functie van de hoogte. Geef in de grafiek aan wat het hoogste punt is dat de kogel zal bereiken. Zoals gebruikelijk mag wrijving worden verwaarloosd. Stel we hebben een elektron met energie E dat zich vrij kan bewegen in een ruimte met potentiële energie V = 0, zoals links van het punt x = 0 in de schematische voorstelling van Figuur.4. Wat gebeurt er rechts, waar V = V 0 > E? In dat gebied kunnen we de Schrödingervergelijking schrijven als d Ψ( x) m = ( E V d x D 0 ) Ψ( x) (.9) De vergelijking lijkt op het probleem van.. van een deeltje in een ruimte met potentiële energie nul, maar nu met een effectieve negatieve energie E V0. Het feit dat de energie negatief is, betekent dat de sinusfunctie geen oplossing meer vormt voor deze differentiaalvergelijking. E V = 0 V = V 0 x=0 Figuur.4. Een schematische voorstelling van potentiële energie nul, links van x=0, naar een hoge potentiële energie, rechts van x=0. Vraag.4. Bekijk de Schrödingervergelijking (.9) voor een potentiële energie V 0, die constant is voor alle waarden van de plaats x. Waarom is een sinusfunctie geen goede oplossing meer wanneer de energie E kleiner is dan V 0? Dat de sinusfunctie geen oplossing meer is, is misschien niet zo verrassend, want we zouden verwachten dat het deeltje helemaal niet kan doordringen in het gebied rechts van x = 0 in Figuur.4, aangezien zijn energie niet toereikend is. Het verrassende is dat er wel degelijk andere oplossingen van de vergelijking (.9) bestaan in dat gebied, namelijk 19
Ψ ( x) = B exp( κ x), òf Ψ ( x) = Bexp( κ x). (.10) De vorm van deze functies staan weergegeven in Figuur.5. Dit zijn natuurlijk niet echt golven, maar het zijn functies die snel groeien of uitdempen voor toenemende x. Door invullen van (.10) in (.9) vinden we voor κ κ = m( V0 E ) / D (.11) 4.0 functiewaarde 3.5 3.0.5.0 1.5 e x 1.0 0.5 e -x 0.0 0 1 3 4 positie x Figuur.5. De oplossingen van de Schrödingervergelijking in een gebied waar de potentiële energie groter is dan de energie van het deeltje wordt gegeven door e-machten met een positieve of een negatieve exponent. De eerste van de twee oplossingen in (.10) kunnen we buiten beschouwing laten, want die zou erop duiden dat het steeds waarschijnlijker wordt om het deeltje aan te treffen naarmate we verder naar rechts gaan. (Deze oplossing is van belang voor andere situaties, bijvoorbeeld wanneer zich ergens verder naar rechts een gebied bevindt waar V = 0, en waar de deeltjes dan vandaan komen.). We hebben dus een oplossing gevonden van de Schrödingervergelijking in een gebied waar ze niet zouden mogen komen volgens de klassieke natuurkunde. We moeten de oplossing van de golffunctie rechts en links van x = 0 nog netjes aan elkaar plakken. De wiskunde staat voor de geïnteresseerden uitgewerkt in Appendix A, en het resultaat van deze berekening voor de golffunctie staat weergegeven in Figuur.6...7 Tunnelen De theorie voorspelt dus het volgende: een deeltje dat vrij kan bewegen, maar in contact komt met een potentiële energieberg die hoger is dan zijn beschikbare kinetische energie, kan toch in die berg doordringen, maar de waarschijnlijkheid om het deeltje op een afstand x aan treffen neemt exponentieel af met de afstand. We spreken hier van tunnelen: het deeltje graaft zich als het ware een tunnel door de barrière, maar komt niet ver wanneer de barrière maar hoog genoeg is. Tot zover was dit puur theorie, afgeleid van de eigenschappen van de Schrödingervergelijking. Het verassende is dat dit effect ook in werkelijkheid optreedt. Met name de STM, die uitgebreid in het volgende hoofdstuk ter sprake komt, is gebaseerd op dit verschijnsel, en het zal daar uitgebreider worden besproken. 0
Figuur.6. De oplossingen van de Schrödingervergelijking rond het punt waar de potentiële energie over gaat van nul (links van x = 0) naar een waarden die groter is dan de energie van het deeltje zelf (rechts van x = 0). Het onderste deel van de figuur toont de energie en potentiële energie als functie van de positie. Het bovenste deel toont de golffunctie, als oplossing van de Schrödingervergelijking. De sinusgolf links sluit glad verlopend aan op de exponentieel afnemende oplossing rechts. 1
.3 Deel 3: Kwantummechanisch model voor metalen.3.1 Deeltje in een put Om wat meer inzicht te verwerven in de kwantummechanica zullen we de theorie uit de vorige paragrafen toepassen op een betrekkelijk eenvoudig probleem: een deeltje met massa m in een ééndimensionale put. Dit probleem zal ook dienen als basis voor een eenvoudige beschrijving van de eigenschappen van elektronen in metalen. Verder zal het van pas komen bij de bespreking van enkele verschijnselen uit de nanofysica. We beginnen met een potentiaalput met oneindig hoge wanden. We schrijven de Schrödingervergelijking weer in de vorm: d Ψ( x) = CΨ( x), d x m met C = ( E V ). (.1) D De put wordt dan beschreven door de vorm van de potentiële energie (zie ook Figuur.7), V ( x) = 0, V ( x) =, voor 0 x a; elders. (.13) Energie 0 a x Figuur.7. Vorm van de potentiële energieput waarin de elektronen worden opgesloten. In de gearceerde links van x=0 en rechts van x=a is de potentiële energie oneindig hoog..3. Buiten de put Voor x > a of x < 0 (de gearceerde gebieden in de figuur) is de potentiële energie oneindig hoog, en daar is dus ook C oneindig groot. We hebben gezien dat de golffunctie van een deeltje exponentieel afvalt in een gebied waar de potentiële energie hoger is dan de beschikbare kinetische energie van het deeltje. De golffunctie valt sneller af naarmate het verschil tussen kinetische en potentiële energie groter is. Het deeltje heeft natuurlijk geen oneindig grote energie en dus zal de golffunctie oneindig snel afvallen in het gebied buiten de put. Met andere woorden: Voor x > a of x < 0 moet gelden dat Ψ( x ) = 0. Dat klinkt inderdaad redelijk: de waarschijnlijkheid om het deeltje links van 0 of rechts van