Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als we deze driehoeken op elkaar passen dan stellen we vast dat : hoekpunt M... met hoekpunt A. Daarom noemen we M en A overeenkomstige hoekpunten. Ook... en... zijn overeenkomstige hoekpunten. Ook... en... zijn overeenkomstige hoekpunten. Overeenkomstige hoekpunten bepalen overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden. Vermits de driehoek ABC en de driehoek MNP elkaar volkomen kunnen bedekken, zijn de overeenkomstige zijden... en de overeenkomstige hoeken...
- 90 Dus: A ˆ =... en AB =... B ˆ =... en BC =... C ˆ =... en AC =... Opgave: Welke driehoek is congruent met ABC?. Merk op: Dit geldt uiteraard voor alle andere veelhoeken. Bij congruente veelhoeken zijn de overeenkomstige zijden... en de overeenkomstige hoeken... Opgave: Welke rechthoek is congruent met de rechthoek ABCD. Welk parallellogram is congruent met het parallellogram ABCD.
- 91 2. Congruente driehoeken: Om na te gaan of twee driehoeken congruent zijn, moet je eigenlijk telkens zes grootheden controleren. We onderzoeken of het niet kan volstaan aan te tonen dat drie grootheden van twee driehoeken gelijk zijn om te besluiten dat beide driehoeken zouden congruent zijn. Er zijn zes mogelijkheden: 1. 2. 3.
4. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) - 92 5. 6. Besluit: Enkel bij voorbeeld...,... en... zijn de driehoeken congreuent Uit de voorbeelden blijkt dat het niet om het even welke drie voorwaarden volstaan om zeker te zijn dat de driehoeken congruent zijn. Elke drie voorwaarden die wel voldoende zijn om te mogen besluiten dat twee driehoeken congruent zijn, vormen een congruentiekenmerk.
- 93 3. Congruentiekenmerken van een driehoek Eerste congruentiekenmerk: ZZZ Als de drie zijden van een driehoek gelijk zijn aan de drie zijden van een andere driehoek, dan zijn die twee driehoeken congruent. Voor ABC en A B C geldt: AB BC AC = = = A' B' B' C' A' C' ABC A' B' C' Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Als twee driehoeken twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben, dan zijn ze congruent. Voor ABC en A B C geldt: AB = A' B' ) ) B = B ' AC = A' C' ABC A' B' C'
- 94 Derde congruentiekenmerk : HZH Als twee driehoeken één zijde en de aanliggende hoeken gelijk hebben, dan zijn ze congruent. Voor ABC en A B C geldt: ) A = A' AB = A' B' ) ) B = B' ABC A' B' C' Gevolg: congruentiekenmerk 4 Twee driehoeken zijn congruent als paargewijs één zijde even lang is en één aanliggende hoek en de overstaande hoek even groot zijn. Voor ABC en A B C geldt: ) A = A' AB = A' B' ) ) C = C' ABC A' B' C'
- 95 a. Bijzonder congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek Rechthoekige driehoeken hebben een stapje voor: ze hebben allemaal minstens één hoek gelijk, namelijk de rechte hoek. Zo kan je afleiden dat een rechthoekige driehoek slechts aan twee voorwaarden moet voldoen om congruent te zijn. Als twee rechthoekige driehoeken de schuine zijde en één rechthoekszijde gelijk hebben dan zijn ze congruent. Voor ABC en A B C geldt: ABC is rechthoekig in A A' B' C' is rechthoekig in A' a = a' en b = b' ABC A' B' C' Bewijs : zie boek pag 119 Opgave : boek pag 120 nr. 1 Wegens welk congruentiekenmerk zijn volgende figuren congruent? a.
b. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) - 96 c. d. e.
- 97 Opgave zie boek pag 121 nr.2 : Waarom zijn de gekleurde driehoeken congruent? a. b. c. d.
e. Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) - 98 Opgave : boek pag 122 nr.7 In een parallellogram ABCD trekken we de loodlijnen uit B en D op de overstaande zijden. De voetpunten noemen we E en F. Bewijs: ABE CDF
Opgave: boek pag 122 nr.8 : - 99 Voor een parallellogram ABCD construeren we: a. Het punt E zó dat A het midden is van [ BE ] b. Het punt F zó dat C het midden is van [ DF ] Bewijs : EAD FCB
- 100 Opgave: boek pag 122 nr. 9 In een ruit ABCD trekken we met A als middelpunt een cirkel die [ BC ] en [ ] in E en F. Bewijs: ABE ADF CD snijdt Samenvatting: Congruente figuren zijn figuren die Congruentiekenmerken voor driehoeken : Eerste congruentiekenmerk : ZZZ Tweede congruentiekenmerk : ZHZ Derde congruentiekenmerk : HZH Gevolg: 4 e congruentiekenmerk ZHH Congruentiekenmerk voor een rechthoekige driehoek de... zijde en één... moeten gelijk zijn.
- 101 4. Hoogtelijnen van een driehoek (boek pag 126) : De uit een hoekpunt op de zijde noemen we een hoogtelijn van die driehoek. Besluit: de rechte AD is een... het lijnstuk [ AD ] is het... de lengte AD is een... Eigenschap: De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het 5. Middelloodlijnen van een driehoek ( boek pag 127) Een middelloodlijn van een driehoek is een.. van die... Een driehoek heeft... middelloodlijnen.
- 102 Eigenschap: De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in punt. Dus: OA... OB... OC Bijgevolg is dit punt het middelpunt van een cirkel die door de drie... gaat: de... 6. Bissectrices (deellijn) van een driehoek ( boek pag 127) Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een... van die driehoek. Een driehoek heeft... bissectrices. Eigenschap: De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in punt. Dit punt ligt op gelijke afstand van de dragers van de zijden. ID... IE... IF Bijgevolg is dit punt het middelpunt van een... die de drie zijden... : de...
Taak: Maak de volgende constructies ( zie ook CABRI) - 103 a. De drie hoogtelijnen: d. De drie hoogtelijnen b. De drie bissectrices en incirkel: e. De drie bissectrices en incirkel: c. De drie middelloodlijnen en de omcirkel: f. De drie middelloodlijnen en de omcirkel:
- 104 Opgave : boek pag 128 nr. 36 Een driehoek ABC heeft H als hoogtepunt. Bepaal de hoogtepunten van de driehoeken ABH,AHC en HBC Hoogtepunt ABH :... Hoogtepunt AHC :... Hoogtepunt HBC :... Wat merk je?...... Opgave: boek pag 128 nr. 38 Voor een driehoek ABC geldt: De drie bissectrices snijden elkaar in het punt I. Bereken BIC ˆ, CIA ˆ en AIˆ B ) ˆ o o o A = 80, B = 60 en C = 40 ˆ............
7. Bissectricestelling ( boek pag 129) - 105 De rechte AD is een bissectrice van ABC. Meet de volgende lijnstukken in cm [ AB ],[ AC ],[ BD ] en [ DC ] AB AC BD DC =... =... =... =... BD Bereken : =... DC AB AC =... Besluit: BD DC... AB AC We noemen dit de bissectricestelling: Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken waarvan de lengten evenredig zijn met de lengten van de aanliggende zijden. of met symbolen: ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC BD DC = AB AC
- 106 Bewijs: ( boek pag 129) Laat uit D een loodlijn neer op AB en noem het voetpunt E Laat uit D een loodlijn neer op AC en noem het voetpunt F We weten DE... DF Construeer het hoogtelijnstuk [ AG ] AG is de hoogte van ABC is ook de hoogte van is ook de hoogte van Opp ABD = Opp ABD = Opp ADC = Opp ADC = Opp ABD Opp ADC = Opp ABD Opp ADC = Besluit:
- 107 Opgave: boek pag 130 nr 42 De bissectrices door het hoekpunt A van ABC snijdt de zijde [ BC ] in een punt D. Gegeven is : Bereken : AB AC = 8 cm, BD = 4,5 cm, DC = 3cm Opgave: boek pag 130 nr. 44 Voor een ABC geldt: BC = 18 en AB = AC = 41 De bissectrice van Bˆ snijdt het hoogtelijnstuk [ AD ] in E. Bereken : AE, ED
7. Zwaartelijnen van een driehoek (boek pag 130) - 108 Een rechte die door het gaat en door het.. van de... zijde noemen we een... van die driehoek. Een zwaartelijn is dus een... Het lijnstuk begrensd door het hoekpunt en het midden van de overstaande zijde noemen we het... Een driehoek heeft... zwaartelijnen. Besluit: de rechte AM is een... het lijnstuk [ AM ] is... Eigenschap: De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het 8. Merkwaardige rechten van een gelijkbenige driehoek (boek pag 131) De symmetrieas van een gelijkbenige driehoek is tevens.van de basis en.,... en... door de top.
- 109 Eigenschap: Construeer de zwaartelijnstukken : [ AM ], [ BN ] en[ CP ] Geef het zwaartepunt de naam z. Meet nu en noteer de lengte van volgende lijnstukken: AZ =... en ZM =... BZ CZ =... en ZN =... =... en ZP =... Welke verhouding kan je vinden tussen de eerste meting en de tweede meting AZ en ZM :... BZ en ZN :... CZ en ZP :... Besluit: Het zwaartepunt verdeelt elk zwaartelijnstuk in twee lijnstukken waarvan het ene dubbel zo lang is als het andere.
- 110 Voor nevenstaande figuur wil dit zeggen : AZ =... BZ =... CZ =... ZM ZN ZP Stelling met symbolen: [ BN ] [ CP ] ABC met zwaartelijnstukken, Z snijpunt BN en CP M snijpunt van AZ en BZ AZ AZ BZ zwaartelijn = 2 ZM = 2 ZN van ABC, CZ = 2 ZP Bewijs: We verlengen [ AZ ] met een leven lang lijnstuk : [ ZD ] In de ADC is [ ZN ] een... Dus DC... ZN en DB =... ZN (1) Dus geldt ook : DC... BZ (2) In de ABD is [ ZP ] een... Dus BD... PZ en DB =... PZ (3) Dus geldt ook : BD... CZ (4) Uit (2) en (4) volgt: BZCD is een... Dus En CD... BZ (5) BD... CZ (6) In een delen de. elkaar middendoor. BM... MC (7) en ZM... MD (8) Uit (7) volgt: AZ is een van de ABC Uit (8) volgt: ZD = 2 ZM maar : ZD = AZ (volgens constructie) AZ = 2 ZM Analoog: uit (1) en (5) => BZ... 2 ZN en uit (4) en (6) => CZ... 2 ZP
Opgave: boek pag 135 nr. 65 Een ABC heeft zwaartelijnstukken [ AM ],[ BN ],[ CP ] met : - 111 AM = 9 cm BN = 12 cm CP = 15 cm Hoe ver ligt het zwaartepunt van A, B en C?........................ Opgave: boek pag 136 nr. 67 Verleng de diagonaal [ DB ] van een parallellogram ABCD met een even lang lijnstuk [ BE ]. Wat is het punt B voor ACE? Bewijs je vermoeden.
- 112.......................................... 9. Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek (boek pag 136): Meet de lengten van de volgende lijnstukken : AM =... (zwaartelijnstuk) BC =... Welke verhouding kan je vinden? Besluit: AM =... BC De lengte van een zwaartelijnstuk naar de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is de helft van de lengte van die schuine zijde.
Stelling met symbolen: ABC met Aˆ = 90 M is het midden van Bewijs: (zie boek pag 137) o [ BC ] AM = 1 2 BC - 113 We verlengen [ AM ] met een even lang lijnstuk [ MD ] Dan is ABCD een parallellogram omdat... We kunnen zelfs zeggen dat ABCD een rechthoek is omdat... In een rechthoek zijn de... even lang Dus: AD... BC Gevolg: Voor het punt M geldt : We delen beide leden door 2: 1 1 AD... BC 2 2 maar volgens constructie geldt: AD dus : AM = 1 2 MA... MB... BC MC = 2 AM Maw: Het midden van een schuine zijde van een rechthoekige driehoek het middelpunt is van de omcirkel van die driehoek.
- 114 Opgave: boek pag 137 nr. 74 Voor een ABC verbinden we het midden M van [ AB ] met de voetpunten D en E van de hoogtelijnen uit A en B. Bewijs : MD = ME Opgave: boek pag 137 nr. 75 In de vierhoek ABCD zijn de hoeken  en Ĉ recht. Bewijs dat het midden M van de diagonaal [ BD ] even ver van A en C ligt. Bewijs dat er een cirkel door de vier punten A, B, C, D gaat.
Opgave: boek pag 137 nr. 76 Een driehoek ABC is rechthoekig in A. We geven a=20 en b = 16. Bereken de maatgetallen van de lengten van de drie zwaartelijnstukken. - 115 Opgave : boek pag 138 nr. 77 In een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van 60 o verdeelt de zwaartelijn naar de schuine zijde de driehoek in twee driehoeken waarvan de ene gelijkzijdig en de andere gelijkbenig is. Bewijs dit.........................
Bewijs aan de hand van de vorige tekening nu ook dat de sin 30 o = 2 1-116........................
Samenvatting: Soorten lijnen in een driehoek - 117 Een hoogtelijn van een driehoek is de.. uit een hoekpunt van de driehoek op de... zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het... Een middelloodlijn van een driehoek is een.. van die... De drie middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in Een bissectrice (deellijn) van een driehoek is een bissectrice van een... van die driehoek De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in punt. Een zwaartelijn is een rechte die door een gaat en door het.. van de... zijde van die driehoek. De drie zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in punt : het...
- 118 Samenvatting: Eigenschappen van de lijnen in een driehoek Bissectricestelling : Een bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de... zijde in stukken waarvan de lengten... zijn met de lengten van... zijden. ABC x is bis sec trice van Aˆ D snijpunt van x en BC BD DC = AB AC Stelling van het zwaartelijnstuk: Het zwaartepunt verdeelt elk... in twee... waarvan het ene...zo lang is als het andere [ BN ] [ CP ] ABC met zwaartelijnstukken, Z snijpunt BN en CP M snijpunt van AZ en BZ AZ AZ BZ zwaartelijn = 2 ZM = 2 ZN van ABC, CZ = 2 ZP Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek De... van een zwaartelijnstuk naar de... zijde van een rechthoekige driehoek is de... van de lengte van die schuine zijde. ABC met Aˆ = 90 M is het midden van o [ BC ] AM = 1 2 BC
- 119 Opgave: boek pag 132 nr. 52 In een parallellogram ABCD trekken we een rechte door A en het midden M van [ BC ]. Deze rechte snijdt de diagonaal [ BD ] in een punt E. Welk bijzonder punt is is E voor de ABC? Bewijs je vermoeden............. Opgave: boek pag 132 nr. 53 De ruiten ABCD, ADEF, AFGB hebben alle A als hoekpunt en elke twee ruiten hebben een zijde gemeenschappelijk. a) Welk bijzonder punt is A voor BDF?... Bewijs je vermoeden. b) Welk bijzonder punt is A voor CEG?... Bewijs je vermoeden.............
- 120
Opgave: boek pag 133 nr. 62-121 Deel a: Een piramide TABCD heeft een rechthoek ABCD als grondvlak en gelijkbenige driehoeken als opstaande zijvlakken. We noemen S het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak. Bewijs dat TS loodrecht staat op SA, SB, SC,SD. GEG : TABCD : priamide ABCDٱ is een rechthoek TAD TDC gelijkbenig TBC TAB S snijpunt van de diagonalen van het grondvlak Bewijs TB : TS SA, TS SA TS SA, TS SA 1 TAD is... =>... (1) TDC is...=>...(2) Uit (1) en (2) volgt :... Dus :... 2. TS snijdt [AC] in het midden S dus is TS de... (3) TAC is... (4) Uit (3) en (4) volgt dat TS ook de... is van de TAC dus TS... AC => TS... SA en TS...SC Analoog bewijzen voor TS SB en TS SD
deel b: Werkboek Meetkunde (cursus voor 5u wiskunde) - 122 De piramide van Cheops is een dergelijke piramide Met als grondvlak een vierkant ABCD met zijden van 236 m. De top T ligt precies 137 m boven het symmetriemiddelpunt S van het vierkant ABCD. We noemen M het midden van [ CD ]. Sonja beklimt de piramide langs [ AT ], Ingrid langs [ MT ]. a) Bereken voor ieder de af te leggen afstand. b) Bereken de hoekgrootten α en β. GEG : TABCD : priamide ABCDٱ is een vierkant AB = 216 m TS = 137 m M is het midden van [DC] Gevr: : TA =? TM =? α =? β.=? a. De lengte van de zijde die Sonja beklimt : TA en de hoek α Bepalen van de lengte van AS In het grondvlak ABCD is ACD is een rechthoekige driehoek dus :.........
- 123 Bepalen van de lengte van AT......... Bepalen van de hoek α......... b. De lengte van de zijde die Ingrid beklimt : TM en de hoek β Bepalen van de lengte van SM [ SM ] is... van ACD dus :......... Bepalen van de lengte van TM......... Bepalen van de hoek β.........
opgave: boek pag 133 nr. 63 Voor een balk ABCDA B C D geldt: AD DC DD' = = 5 5 cm cm = 10 cm - 124 In het zijvlak AA D D trekken we door D een rechte die een hoek 60 o maakt met AD en AA in een punt M snijdt. Zo trekken we ook in het zijvlak DD C C door D een rechte die de hoek van 60 o maakt met DC en CC snijdt in een punt N.. Bereken de oppervlakte van DMN. AMD. CND Want A ˆ =... AD =... A DM ˆ =... Dus : AM =... In de AA CC vinden we AM. CN en AM =...... Dus mogen we zeggen dat: AMCN is een... Dus MN =......
- 125 cos Dˆ... = MD... =... =... =... =... Uit AMD. CND volgt : MD =... =... cm Dus DMN is een driehoek In DMN nemen we het midden van de basis [ MN ]. Dan geldt DP... MN In DMN geldt: DP =... =... Opp DMN = =. =. =.
- 126