13.1 Kansberekeningen [1]

13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) B.v. P(3 of 4 gooien met dobbelsteen) = P(3) + P(4) Complementregel: P(gebeurtenis) = 1 P(complement gebeurtenis) B.v. P(6 gooien met dobbelsteen) = 1 P(geen 6 gooien) Productregel: Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt: P(G 1 en G 2 ) = P(G 1 ) P(G 2 ) B.v. P(3 gooien met blauwe en 4 met rode dobbelsteen) = P(3B) P(4R) 1

13.1 Kansberekeningen [1] Herhaling kansberekeningen: Gunstige uitkomsten tellen: Maak een rooster en schrijf de gunstige uitkomsten op. B.v. Doe dit bij een beperkt aantal uitkomsten zoals het gooien met 2 dobbelstenen. Vaasmodel gebruiken: Bij het trekken zonder teruglegging gebruik je combinaties om kansen te berekenen. B.v. Bij het pakken van knikkers uit een vaas zonder deze terug te leggen. Binomiale verdeling: Deze gebruik je wanneer je hetzelfde kansexperiment een aantal keer herhaalt en Maar twee uitkomsten hebt (succes of mislukking) B.v. Je pakt 10 keer twee knikkers uit een vaas en ligt deze elke keer terug. 2

13.1 Kansberekeningen [1] Voorbeeld 1: In een vaas zitten 8 rode, 6 witte en 3 zwarte knikkers. Iemand pakt 12 keer drie knikkers uit de vaas en legt deze telkens weer terug. Bereken de kans dat vier keer twee rode knikkers gepakt worden: Stap 1: Bereken de kans op het pakken van twee rode knikkers (X) P(X = 2) = 8 9 2 1 0,370 17 3 [Pakken zonder teruglegging = vaasmodel] Stap 2: Bereken de kans dat vier keer twee rode knikkers gepakt worden. P(X = 4) = binompdf(12, 0.370, 4) 0,230 [Herhalen = binomiaal] 3

13.1 Kansberekeningen [1] Voorbeeld 2: In een vaas zitten 8 rode, 6 witte en 3 zwarte knikkers. Iemand pakt drie knikkers uit de vaas en legt deze telkens weer terug. Hij gaat ermee door totdat hij drie rode knikkers pakt. Bereken de kans dat hij vijf keer drie knikkers pakt. Dit betekent dat de eerste vier keer niet drie rode knikkers (M) gepakt worden en dat de vijfde keer drie rode knikkers (S) gepakt worden. P(vijf keer drie knikkers pakken) = P(MMMMS) Stap 1: Bereken P(S) en P(M) 8 3 P(S) = 0,082 P(M) = 1 P(S) = 1 0,082 = 0,917 17 3 Stap 2: Bereken P(MMMMS) P(MMMMS) = (0,917) 4 0,082 = 0,058 4

13.2 Kansmodellen [1] Voorbeeld: Bij een bedrijf werken twaalf personen. Elke persoon heeft 13 minuten per uur een kopieerapparaat nodig. Op de afdeling staan drie kopieerapparaten. Bereken de kans dat er op een willekeurig moment meer personen moeten kopiëren dan er kopieerapparaten zijn. Stap 1: De kans dat iemand op een willekeurig moment aan het kopiëren is is: 13/60. Dit wordt aan alle personen (12) gevraagd. Stap 2: Je hebt nu een binomiaal kansexperiment met n = 12 en p = 13/60 X = het aantal personen dat moet kopiëren Stap 3: Bereken P(X > 3) = 1 P(X 3) = 1 binomcdf(12, 13/60, 3) 0,251 5

13.3 De normale verdeling [1] Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme rechts van 22. Op de GR: 2ND VARS DISTR 2:normalcdf( ENTER Invullen: 22, 10 99, 20, 3.2) ENTER Opp = normalcdf(22, 10 99, 20, 3.2) 0.266 Dus: normalcdf(linkergrens, rechtergrens, gemiddelde, standaardafwijking) 6

13.3 De normale verdeling [1] Voorbeeld 2: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte rechts van de grens a is 0,15. Bereken deze grens. Let op: InvNorm is de oppervlakte links van een bepaalde grens. In dit geval Is de oppervlakte links van grens a = 1 0,15 = 0,85 Op de GR: 2ND VARS DISTR 3:invNorm( ENTER Invullen: 0.85, 1800, 40) ENTER Grens = invnorm(0.85, 1800, 40) 1841 7

13.3 De normale verdeling [1] Voorbeeld: Normale verdeling met μ = 28 en σ = onbekend. De oppervlakte Rechts van 23 is 0,83. Bereken de standaardafwijking. Er moet gelden normalcdf(23, 10 99, 28, σ) = 0,83 Met de GR: Y1 = normalcdf(23, 10 99, 28, σ) Y2 = 0,83 en INTERSECT Het antwoord is nu 5,24 [Let op grenzen van assen!!] 8

13.3 De normale verdeling [2] Voorbeeld 1: Een artikel wordt geproduceerd in twee fasen: De productietijd X van fase I is normaal verdeeld met μ x = 180 en σ x = 2 De productietijd Y van fase II is normaal verdeeld met μ x = 23 en σ y = 1 Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd Z (X + Y) van minder dan 200 seconden? In dit voorbeeld zijn er twee onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen waarvan je de som neemt. Deze som Z is ook een normaal verdeelde toevalsvariabele met: μ z = μ x + μ y en 2 2 Z x y Wanneer je van twee onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen het verschil neemt geldt: μ z = μ x - μ y en 2 2 Z x y 9

13.3 De normale verdeling [2] Voorbeeld 1: Een artikel wordt geproduceerd in twee fasen: De productietijd X van fase I is normaal verdeeld met μ x = 180 en σ x = 2 De productietijd Y van fase II is normaal verdeeld met μ y = 23 en σ y = 1 Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd Z (X + Y) van minder dan 200 seconden? Z is normaal verdeeld met gemiddelde μ z en standaardafwijking σ z : μ z = μ x + μ y = 180 + 23 = 203 en 2 1 5 2 2 2 2 Z x y 10

13.3 De normale verdeling [2] Voorbeeld 1: Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd Z (X + Y) van minder dan 200 seconden? Opp = normalcdf(-10 99, 200, 203, 5) 0,090 Dus 0,09 100% = 9,0% heeft een productietijd van minder dan 200 seconden. 11

13.3 De normale verdeling [3] Voorbeeld 1: Een artikel wordt geproduceerd in drie fasen: De productietijd X van fase I is normaal verdeeld met μ x = 180 en σ x = 2 De productietijd Y van fase II is normaal verdeeld met μ y = 23 en σ y = 1 De productietijd Z van fase III is normaal verdeeld met μ z = 10 en σ z = 0,5 Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd T (X + Y + Z) van minder dan 210 seconden? In dit voorbeeld zijn er drie onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen waarvan je de som neemt. Deze som T is ook een normaal verdeelde toevalsvariabele met: μ t = μ x + μ y + μ z en 2 2 2 T x y z Wanneer je van n onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen (X 1, X 2, X 3,, X n ) de som neemt geldt: μ T = μ x1 + μ x2 + + μ xn en 1 2... 2 2 2 T x x xn 12

13.3 De normale verdeling [3] Voorbeeld 1: Een artikel wordt geproduceerd in drie fasen: De productietijd X van fase I is normaal verdeeld met μ x = 180 en σ x = 2 De productietijd Y van fase II is normaal verdeeld met μ y = 23 en σ y = 1 De productietijd Z van fase III is normaal verdeeld met μ z = 10 en σ z = 0,5 Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd T (X + Y + Z) van minder dan 210 seconden? T is normaal verdeeld met gemiddelde μ t en standaardafwijking σ t : μ t = μ x + μ y + μ z = 180 + 23 + 10 = 213 en 2 1 0, 5 5, 25 2 2 2 2 2 2 t x y z 13

13.3 De normale verdeling [3] Voorbeeld 1: Hoeveel procent van de artikelen heeft een totale productietijd T (X + Y + Z) van minder dan 210 seconden? Opp = normalcdf(-10 99, 210, 213, 5,25) 0,095 Dus 0,095 100% = 9,5% heeft een productietijd van minder dan 210 seconden. 14

13.4 De n-wet [1] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Bereken de kans dat het gewicht van deze 10 blikken minder is dan 4985 gram. Het totale gewicht van deze 10 blikken (X som = X + X + + X) is nu normaal verdeeld met: μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = 10 μ x = 10 500 = 5000... 10 10 2 10 2 2 2 2 2 2 Xsom x x x x Wanneer je een steekproef met een grootte van n neemt geldt: De som (X som = X + X + + X) van deze steekproef is normaal verdeeld met: μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = n μ x en... n n 2 2 2 2 Xsom x x x x x 15

13.4 De n-wet [1] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Bereken de kans dat het gewicht van deze 10 blikken minder is dan 4985 gram. μ Xsom = 5000 en σ Xsom = 10 2 Opp = normalcdf(-10 99, 4985, 5000, 10 2) = 0,00886 16

13.4 De n-wet [2] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Het totale gewicht van deze 10 blikken (X som = X + X + + X) is nu normaal verdeeld met: μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = 10 μ x = 10 500 = 5000... 10 10 2 10 2 2 2 2 2 2 Xsom x x x x Het gemiddelde gewicht van deze 10 blikken ( is ook normaal verdeeld met: x som 10 x x x 10 10 x som 10 x x x 10 10 10 Algemeen: Bij een steekproef van grootte n geldt: X X = steekproefgemiddelde) normaal verdeeld met en x x x x n 17

13.4 De n-wet [2] Voorbeeld 1: Van een blik erwten uit een pallet is het gewicht X normaal verdeeld met μ x = 500 en σ x = 2. Er wordt nu een steekproef van 10 blikken uit deze pallet genomen. Bereken de kans dat het steekproefgemiddelde ( X ) minder dan 1.5 van μ x afwijkt X is normaal verdeeld met 500en x x x x n 2 10 P(498.5 < X< 501.5) = normalcdf(498.5, 501.5, 500, 2/ 10) 0,982 18

13.5 Discrete en continue verdelingen [1] Continue toevalsvariabele Y: Alle waarden zijn mogelijk Kansverdeling is een vloeiende kromme; Bv.: Lengte van mannen, Gewicht van vrouwen, alles wat normaal verdeeld is; P(Y < 5) = P(Y 5). Discrete toevalsvariabele X: Alleen een aantal losse waarden zijn mogelijk; Kansverdeling is een histogram; Bv.: Aantal auto s op een weg per minuut, De schoenmaat van volwassenen; P(X < 5) = P(X 4). 19

13.5 Discrete en continue verdelingen [1] Als we een discrete toevalsvariabele X benaderen door een continue toevalsvariabele Y geldt: P(X < 5) = P(X 4) = P(Y 4,5) Algemeen: P(X k) = P(Y k + 0,5) 20

13.5 Discrete en continue verdelingen [1] Voorbeeld: Het aantal auto s X per uur op een weg is te benaderen door een normaal verdeelde toevalsvariabele Y met μ Y = 53,8 en σ Y = 8,7. Gedurende een uur wordt het aantal auto s op de weg geteld. Bereken in hoeveel procent van de gevallen er minder dan 45 auto s per uur worden geteld. P(X < 45) = P(X 44) = P(Y 44,5) = normalcdf(-10 99, 44.5, 53.8, 8.7) 0,143 21

13.5 Discrete en continue verdelingen [2] Binomiale verdeling: Discrete verdeling; X = aantal keer succes als je een kansexperiment n keer uitvoert; p = kans op succes per keer. n p k (1 p ) n k P(X = k) = k ; De verwachtingswaarde E(X) = np; De standaardafwijking x np(1 p) Er geldt: Een binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan benaderd worden door een normaal verdeelde toevalsvariabele Y met μ Y = np en Y np(1 p) als geldt: np > 5 en n(1-p) > 5 [Dus n moet voldoende groot zijn] 22

13.5 Discrete en continue verdelingen [2] Voorbeeld: Van een partij blanco DVD s blijkt één procent niet goed te werken. Bereken de kans dat bij een steekproef van 2000 DVD s tussen de 20 en 30 DVD s niet goed werken. Benadering door de normale verdeling: X = aantal kapotte DVD s X is binomiaal verdeeld met n = 2000, p = 0,01 Y is normaal verdeeld met μ Y = np = 20 en Y np(1 p) 19,8 P(20 < X < 30) = P(X 29) P(X 20) = P(Y 29,5) P(Y 20,5) = normalcdf(20.5, 29.5, 20, 19.8) = 0,439 23

13.5 Discrete en continue verdelingen [2] Voorbeeld: Van een partij blanco DVD s blijkt één procent niet goed te werken. Bereken de kans dat bij een steekproef van 2000 DVD s tussen de 20 en 30 DVD s niet goed werken. Benadering door de binomiale verdeling: X = aantal kapotte DVD s X is binomiaal verdeeld met n = 2000, p = 0,01 P(20 < X < 30) = P(X 29) P(X 20) = binomcdf(2000, 0.01, 29) binomcdf(2000, 0.01, 20) = 0,4197 24

13 Samenvatting Somregel: Als de gebeurtenissen G 1 en G 2 geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben geldt: P(G 1 of G 2 ) = P(G 1 ) + P(G 2 ) Complementregel: P(gebeurtenis) = 1 P(complement gebeurtenis) Productregel: Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt: P(G 1 en G 2 ) = P(G 1 ) P(G 2 ) Vaasmodel gebruiken: Bij het trekken zonder teruglegging gebruik je combinaties om kansen te berekenen. Binomiale verdeling: Deze gebruik je wanneer je hetzelfde kansexperiment een aantal keer herhaalt en maar twee uitkomsten hebt (succes of mislukking). Oppervlakte = normalcdf(linkergrens, rechtergrens, gemiddelde, standaardafwijking) Linkergrens = invnorm(opp., gemiddelde, standaardafwijking) 25

13 Samenvatting Deze som Z van twee onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabele is ook een normaal verdeelde toevalsvariabele met: 2 2 μ z = μ x + μ y en z x y Wanneer je van n onafhankelijke normaal verdeelde toevalsvariabelen (X 1, X 2, X 3,, X n ) de som neemt geldt: 2 2 2 μ T = μ x1 + μ x2 + + μ xn en T x1 x2... xn De som (X som = X + X + + X) van een steekproef is normaal verdeeld met: 2 2 2 2 μ Xsom = μ x + μ x + + μ x = n μ x en... n n Xsom x x x x x Bij een steekproef van grootte n geldt: X normaal verdeeld met en x x x x n 26

13 Samenvatting Continue toevalsvariabele Y: Alle waarden zijn mogelijk Kansverdeling is een vloeiende kromme; P(Y < 5) = P(Y 5). Discrete toevalsvariabele X: Alleen een aantal losse waarden zijn mogelijk; Kansverdeling is een histogram; P(X < 5) = P(X 4). Als we een discrete toevalsvariabele X benaderen door een continue toevalsvariabele Y geldt: P(X k) = P(Y k + 0,5) 27

13 Samenvatting Binomiale verdeling: Discrete verdeling; X = aantal keer succes als je een kansexperiment n keer uitvoert; p = kans op succes per keer. n p k (1 p ) n k P(X = k) = k ; De verwachtingswaarde E(X) = np; De standaardafwijking x np(1 p) Er geldt: Een binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan benaderd worden door een normaal verdeelde toevalsvariabele Y met μ Y = np en Y np(1 p) als geldt: np > 5 en n(1-p) > 5 [Dus n moet voldoende groot zijn] 28