TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Golven & Optica 3AA70 Dinsdag 23 juni 2009 van 14.00 tot 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 4 vraagstukken en 5 pagina s met formules. Bij dit tentamen is het gebruik van een rekenmachine toegestaan, maar mag geen notebook gebruikt worden. De uitslag wordt op StudyWeb bekend gemaakt. Opgave 1: Vissenkom V -3R 2R G 1 C G 2 -R 0 R z We beschouwen een bolvormige glazen vissenkom met straal R, gevuld met water (zie bovenstaande figuur). Het centrum C van de kom bevindt zich op z = 0. De brekingsindex van het water n water =4/3 en de brekingsindex van de omringende lucht n lucht =1. Het glas is zo dun dat lichtbreking door het glas verwaarloosd kan worden. Een voorwerp V staat op z = 3R, d.w.z. op een afstand 2R van de kom. We onderzoeken eerst breking door het bolle lucht-water grensvlak G 1 op z = R. a. Bereken de z-positie van het brandpunt van het bolle lucht-water grensvlak G 1 voor een lichtbundel die van buiten op de kom schijnt. Een vis kijkt vanuit de kom naar het voorwerp V buiten de kom. b. Bepaal de afbeelding van V door het bolle lucht-water grensvlak G 1 door middel van een grafische stralenconstructie. Maak een nette tekening. Geef aan welke karakteristieke stralen u hiervoor gebruikt heeft. Is het beeld reëel of virtueel? Is de afbeelding van V vergroot of verkleind? Staat de afbeelding van V rechtop of ondersteboven? c. Bereken de vergrotingsfactor, het teken van de vergroting en de z-positie van de afbeelding van V door het bolle lucht-water grensvlak G 1. We onderzoeken nu de afbeelding van V door de gehele vissenkom: eerst breking door het bolle lucht-water grensvlak G 1 op z = R, gevolgd door breking door het holle lucht-water grensvlak G 2 op z = R.
d. Bereken de z-positie van de afbeelding van V. Bepaal de aard van de afbeelding (reëel of virtueel), de vergrotingsfactor en het teken van de vergroting van de afbeelding. e. Ter plaatse van het centrum C van de kom wordt een spiegel geplaatst, loodrecht op de z-as. Bereken nu de z-positie van de afbeelding van V, de aard van de afbeelding, de vergrotingsfactor en het teken van de vergroting van de afbeelding.
Opgave 2: Diffractierooster x b a f R L CCD Een parallelle, monochromatische lichtbundel met golflengte λ=1 µm valt loodrecht op een (transmissie)diffractierooster R (zie bovenstaande figuur). Het rooster bestaat uit N=10 parallelle spleten met onderlinge afstand a=0.1 mm en spleetbreedte b<<a (10 krasjes in een verzilverd glasplaatje). Het resulterende diffractiepatroon wordt met een lens L met brandpuntsafstand f=100 mm op een CCD camera afgebeeld. De afstand tussen de lens en de CCD chip is gelijk aan de brandpuntsafstand f. We beperken ons tot diffractiehoeken waarvoor de paraxiale benadering gebruikt mag worden. a. Geef een uitdrukking voor de diffractiehoek θ m van de m e orde en ook voor de positie x m van de afbeelding van de m e orde op de CCD chip. Druk x m en θ m uit in m, f, λ, N en a. b. Geef een uitdrukking voor de irradiantie I als functie van positie x op de CCD chip in termen van f, λ, N en a. Bereken de verhouding tussen de irradianties van het primaire maximum op x=0 en het eerstvolgende secundaire maximum. Neem daarbij aan dat het secundaire maximum halverwege 2 minima ligt. Schets een grafiek van I als functie van positie x (in mm). Laat de grafiek gaan tot en met het 2 e orde maximum. c. We willen golflengteverschillen ter grootte van λ=10 nm kunnen oplossen. Wat is de laagste orde waarin dat kan? Maak een schets van de diffractiepatronen rond die orde bij λ=1 µm en bij λ+ λ =1.01 µm. Maak duidelijk aan de hand van de schets waarom in deze orde de twee golflengtes net opgelost kunnen worden. De eindige afmeting van de CCD pixels moet uiteindelijk ook in rekening gebracht worden. d. De pixels van de CCD chip hebben een afmeting in de x-richting van 20 µm. Kunnen golflengteverschillen van λ=10 nm bij λ=1 µm nog steeds opgelost worden in de zelfde orde? Licht uw antwoord toe.
Opgave 3: Polarisatoren We beschouwen de opstelling zoals geschetst in de figuur hierboven. Ongepolariseerd licht uit een bron met irradiantie I 0 valt op een tweetal lineaire polarisatoren P 1 en P 2. De doorlaat-as (polarisatierichting) van P 1 staat parallel aan de x-as; de doorlaat-as van P 2 staat parallel aan de y-as (loodrecht op het papier). Tussen P 1 en P 2 kan polarisatie-optiek A geplaatst worden. a. Als lineair gepolariseerd licht op een polarisator valt waarvan de doorlaat-as een hoek θ maakt met de polarisatierichting, dan wordt volgens de wet van Malus een 2 fractie cos θ van de irradiantie doorgelaten. Leid de wet van Malus af, gebruik makend van het vectorkarakter van licht. Bij ongepolariseerd licht is iedere polarisatiehoek θ even waarschijnlijk. Gebruik de wet van Malus om de irradiantie te berekenen van het licht dat door polarisator P 1 komt. b. Hoe groot is irradiantie I eind na P 2 als er niets tussen P 1 en P 2 geplaatst wordt? We kiezen nu voor A een lineaire polarisator, waarvan de doorlaat-as een hoek θ maakt met de x-as. Wat is de polarisatierichting van het door A doorgelaten licht? Leid een uitdrukking af voor I eind als functie van θ. We kiezen nu voor A een vertragingsplaat. Het materiaal waaruit plaat A bestaat heeft een brekingsindex n t voor licht gepolariseerd in de t-richting (de trage as) die groter is dan de brekingsindex n s voor licht gepolariseerd in de s-richting (de snelle as). De t-as staat loodrecht op de s-as. c. Hoe dik moet vertragingsplaat A minimaal zijn om als ½-lambda plaat te fungeren voor een gegeven golflengte λ? Leg uit dat een ½-lambda plaat de polarisatierichting van lineair gepolariseerd licht spiegelt in de s-as of de t-as. Bepaal de hoek tussen x-as en t-as waarvoor I = I / 2. eind 0
Opgave 4: Sterren kijken 20 mm D We beschouwen het oog als een bol met een diameter van 20 mm, met daarin een pupil met diameter D (zie bovenstaande figuur). In het duister neemt de pupildiameter toe tot D = 8 mm. Een astronome bestudeert de nachtelijke sterrenhemel met het blote oog. Twee sterren draaien op 2 lichtjaar afstand om elkaar heen met een onderlinge afstand gelijk aan 10 AE (1 AE = 1 Astronomische Eenheid = de afstand van de Aarde tot de zon = 8 lichtminuten = de afstand die licht in 8 minuten aflegt; 8 c = 3 10 m/s ). De sterren zenden voornamelijk licht uit met een golflengte van λ = 500 nm. a. Neem aan dat de brekingsindex van de oogvloeistof gelijk is aan 1. Laat zien door berekening dat de astronome de twee sterren net kan onderscheiden. Hoe groot is de afstand (in µm) tussen de twee sterren in de afbeelding op haar netvlies? De astronome besluit een telescoop in te schakelen om de sterren beter te kunnen onderscheiden. De telescoop bestaat uit een objectief met brandpuntsafstand f ob =1 m en een oculair met een brandpuntsafstand f ob = 5 cm met een instelbare onderlinge afstand L. b. Waarom is voor een ongeaccomodeerd oog (zonder afwijkingen) de optimale afstand tussen objectief en oculair gelijk aan L = fob + foc? Laat zien d.m.v. een grafische stralenconstructie dat de hoekvergroting van de telescoop dan gelijk is aan M = fob / foc. Hoe groot is nu de afstand (in µm) tussen de twee sterren in de afbeelding op het netvlies van de astronome? c. Geef twee redenen waarom de diameter van het objectief liefst groot moet zijn. Het oculair is juist een lens met een kleine diameter. Welke twee overwegingen, die betrekking hebben op het waarnemen van lichtzwakke objecten, spelen een rol bij de keuze van de diameter van het oculair?