Betekenis I: Semantiek Marieke Schouwstra 21 mei
De studie van betekenis Semantiek: de studie van betekenis in taal 17.1, 17.2, 17.3, vandaag Pragmatiek: de studie van betekenis in taalgebruik delen van H21 en H24, volgende sessie Niveau s: 1. Woordbetekenis lexicale semantiek 2. Betekenis van constituenten/zinnen compositionele semantiek 3. Betekenis van discourse pragmatiek
Compositionele semantiek Compositionele semantiek: modelleren hoe de betekenis van een constituent of een zin is opgebouwd uit de betekenissen van de individuele woorden/morfemen.
Vandaag 1. Doelstellingen 2. 1e orde predikaatlogika en model-theoretische interpretatie 3. De rol van de lambda-calculus
Doelstellingen
1e doelstelling: betekenis / wereld Semantiek vult de relatie tussen de betekenis van een zin en de wereld in dat wat we de betekenis (of betekenisrepresentatie) noemen moet vergeleken kunnen worden met dingen die we van de wereld weten dit komt vaak neer op zeggen dat semantiek waarheids-conditioneel is als we de feiten van de wereld kennen, dan kunnen we mbv de betekenis van een zin beslissen of de zin waar is of niet
Zin, betekenis, wereld, kennis
1e doelstelling: betekenis / wereld Je kent de betekenis van S als je weet in welke omstandigheden de zin waar en in welke ze onwaar is Frege (taalfilosofie) betekenis = waarheidscondities betekenis waarheidswaarde
2e doelstelling: betekenis / taal betekenissen abstraheren weg van het talige niveau Taal is vaak ambigu Betekenissen zijn vrij van ambiguiteit Een ambigue zin heeft dus meerdere niet-ambigue betekenissen Soms drukken verschillende zinnen dezelfde gedachten uit Die zinnen hebben dan allemaal precies dezelfde betekenis
3e doelstelling: betekenis / redeneren betekenissen geven de basis voor redeneren met taal Alle mensen zijn sterfelijk Socrates is een mens Socrates is sterfelijk Er bestaan redeneer-relaties tussen natuurlijke taalzinnen Die relaties moeten weerspiegeld worden in redeneer-relaties tussen betekenissen
4e doelstelling: betekenisrepresentatie / expressiviteit de betekenis van elke mogelijke zin in een taal moet semantisch uitgedrukt kunnen worden
FOPL en interpretatie in een model
Model-theoretische interpretatie Het idee: interpreteer een zin relatief aan een model van de wereld Deze modellen zijn formele objecten Net zoals betekenissen formele objecten zijn, zg. denotaties De formele objecten zijn gebaseerd op een bepaald domein: de individuen en entiteiten waarover gesproken kan worden
Voorbeeld Model M Het bijbehorende domein D: {j,p,m,s} talige expressie denotatie in M Jan Piet Marie Suzan lui j p m s {j,m} De zin Marie is lui is waar in M als de denotatie van Marie een element is in de denotatie van lui. De waarheidswaarde van Marie is lui is dus relatief aan een model (waarheidsconditioneel)
Wat kun je allemaal model-theoretisch uitdrukken? Individuen / entiteiten Jan j de tafel waar ik naar wijs t Jan s glimlach g het kabinet k de bos bloemen b Eigenschappen: verzamelingen lui {j,m,k} ligt in bed {j,m} Belgische vrouw {m} Relaties: verzamelingen n-tallen verliefd op { j,m, m,p } ouder dan { m,j, m,p } geven { m,b,j, j,b,p }
Hoe praten we over model-theoretische objecten? 1e orde predikaat-logika (FOPL) basis van de hedendaagde formele semantiek Het idee: Talige grammaticale expressies vertalen naar welgevormde formules in FOPL FOPL heeft zelf een semantiek Die semantiek kent aan FOPL-expressies model-theoretische objecten toe
Samenvatting tot nu toe
FOPL-syntaxis: Termen Een term is één van de volgende dingen: Een constante zoals j, p, k,... (die staan voor dingen als eigennamen, bepaalde beschrijvingen, etc.) Variabelen zoals x, y, z,... (die staan voor onbepaalde objecten)
FOPL-syntaxis: Overige constanten Een predikaat-constante is een constante die plaatsig is 1-plaatsig: L, V, M, staande voor lui zijn, vrouw zijn, man zijn 2-plaatsig: VL, H, staande voor haat, is verliefd op 3-plaatsig: G, staande voor geeft
FOPL-syntaxis: Atomaire formules Een atomaire formule is de combinatie van een n-plaatsige predikaat-constante met n termen als argument. L(j) V (j) H(j, m) G(j, m, b)
FOPL-syntaxis: Formules Een atomaire formule is een formule Als ϕ en ψ formules zijn dan ook ϕ ψ Als ϕ en ψ formules zijn dan ook ϕ ψ Als ϕ en ψ formules zijn dan ook ϕ ψ Als ϕ een formule is dan ook ϕ Als α een variabele is en ϕ een formule dan ook αϕ Als α een variabele is en ϕ een formule dan ook αϕ
Vertaling naar FOPL Natuurlijke taal FOPL of en, maar niet als-dan eigennaam niet-plaatsige constante nomen 1-plaatsige constante intransitief werkwoord 1-plaatsig predikaatconstante transitief werkwoord 2-plaatsig predikaatconstante ditransitief werkwoord 3-plaatsig predikaatconstante onbepaald lidwoord kwantificatie met telwoorden kwantificatie met alle, elke, iedere kwantificatie met bepaald lidwoord verschrikkelijk moeilijk, gaan we niet op in
Voorbeelden Natuurlijke taal FOPL Jan is lui L(j) Jan is niet lui L(j) Jan is lui maar Piet niet L(j) L(p) Jan of Piet is lui L(j) L(p) Jan haat Marie maar Marie haat niet Jan H(j, m) H(m, j)
Variabelen en Kwantificatie universele kwantor: (alle(s), elke, iedere(en),... ) existentiële kwantor: (een, minstens één, iets, iemand, ) gekwantificeerde formules xs(x) elk ding heeft eigenschap S xs(x) minstens één ding heeft eigenschap S de kwantor bindt een variabele door het binden van die variabele wordt de open propositie S(x) een gesloten propositie (een propositie zonder vrije variabelen) (in S(x) is x vrij, maar in xs(x) is x gebonden)
Voorbeelden Natuurlijke taal Jan haat een luie vrouw Alle mensen zijn sterfelijk Niet iedere professor haat een vrouw FOPL x[l(x) V (x) H(j, x)] x[m(x) S(x)] x[p(x) y[v (y) H(x, y)]]
restrictie en zijn van zichzelf onbeperkt (hele domein) xq(x) er is minstens één element in het domein dat Q is (een andere manier om te zeggen dat Q niet leeg is) xq(x) alle elementen in het domein zijn Q (een andere manier om te zeggen dat D = Q) maar meestal willen we de kwantoren beperking tot een bepaalde verzameling. Laat M voor de eigenschap mens staan: Iemand slaapt: x(m(x) S(x)) Iedereen slaapt: x(m(x) S(x)) beperking: M(x) beperking: M(x) let op: de bij en de bij
goede vertalingen Iemand slaapt: x(m(x) S(x)) (de doorsnede van de mensen en de slapers is niet leeg) Iedereen slaapt: x(m(x) S(x)) (de mensen zijn een deelverzameling van de slapers) verkeerde vertalingen Iemand slaapt: x(m(x) S(x)) wanneer waar? Iedereen slaapt: x(m(x) S(x)) wanneer waar?
De model-theoretische semantiek van FOPL Elk model kent het volgende toe: een entiteit aan een niet-plaatsige constante een verzameling entiteiten aan een 1-plaatsig predikaat een verzameling paren aan een 2-plaatsig predikaat een verzameling triples aan een 3-plaatsig predikaat P(p) is waar in M desda M(p) M(P) P(p, p ) is waar in M desda M(p), M(p ) M(P) P(p, p, p ) is waar in M desda M(p), M(p ), M(p ) M(P)
De model-theoretische semantiek van FOPL Interpretatie van logische operatoren ϕ is waar in M desda ϕ onwaar is in M ϕ ψ is waar in M desda zowel ϕ als ψ waar zijn in M ϕ ψ is onwaar in M desda ϕ en ψ beide onwaar zijn in M ϕ ψ is onwaar in M desda ϕ waar is in M en ψ onwaar in M
De model-theoretische semantiek van FOPL Interpretatie van kwantificatie xϕ is waar in M desda voor alles dat we voor x invullen in ϕ, ϕ waar is in M xϕ is waar in M desda er iets is dat we voor x in ϕ kunnen invullen zodanig dat ϕ waar is in M
De model-theoretische semantiek van FOPL M(j) = a M(L) = {a, b} M(m) = b M(H) = { b, a, a, b, a, c } M(s) = c M(B) = { c, a } L(j) L(a) L(j) L(m) L(j) H(m, j) x y[b(x, y) H(y, x)]
Redeneren met FOPL We kunnen nu bewijzen dat: x[m(x) S(x)] M(s) S(s) Elk model dat de premissen waar maakt is een model dat de conclusie waarmaakt
Samenvatting tot nu toe
Lambda calculus
Compositionaliteit Het principe van compositionaliteit De betekenis van een constituent wordt bepaald door de betekenis van de samengestelde delen en de manier waarop ze zijn samengesteld Ruwe interpretatie: semantiek = lexicale semantiek + syntaxis
Compositionaliteit De model-theoretische semantiek streeft naar compositionaliteit De betekenis van Jan houdt van Marie is gebaseerd op de betekenis van Jan, van Marie en van houden van maar ook op de manier waarop die woorden gecombineerd zijn Jan houdt van Marie Marie houdt van Jan
Compositionaliteit De interpretatie van FOPL-formules is direct compositioneel H(j, m) V (m) De interpretatie van H, j, m, en V in een model De combinatoriek bepaalt de betekenis De vertaalstap van NL naar FOPL is niet duidelijk compositioneel
Lambda-calculus Door FOPL uit te breiden met λ-notatie kunnen we expliciet over de combinatoriek van betekenissen praten Dat helpt om compositioneel te zijn Lambda s worden vaak als lastig ervaren
Functies Een functie is een relatie die aan elke waarde in het domein precies één andere waarde toekent { 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5,...} functie { 1, 2, 1, 3, 1, 4,..., 2, 3, 2, 4, 2, 5,..., 3, 4,...} relatie Bekende functies kwadraat wortel f (x) = x + 2 f (x) = x x
Functies Neem de functie f : f (x) = x + 2 Merke op: We hebben een variabele x nodig om de functie te definiëren We moeten de functie een naam geven: f We kunnen de functie alleen via de naam definiëren De naam is natuurlijk arbitrair Hebben we geen manier om de functie zelf op te schrijven? Jawel: λx.x + 2
Lambda-termen Een lambda-term drukt een functie uit en bestaat uit: Een lambda een variabele een formule waar die variabele in voorkomt λx.x + 2 λx vertelt je dat datgene dat je in de functie als argument stopt x genoemd gaat worden x + 2 laat zien welke waarde er uit komt Als f (x) = x + 2 dan f (2) = 2 + 2 = 4 In één stap: (λx.x + 2)(2) = 2 + 2 = 4
Wat lambda-termen λx.x λx.λy.y λx.4
β-reductie wordt λ-reductie genoemd in het boek Stel λx.t is een lambda term en t een geschikt argument voor T We schrijven functie-applicatie van λx.t op t als λx.t (t) of soms, om duidelijker te zijn, (λx.t )(t) Op basis van functie-applicatie kunnen we β-reductie toepassen: vervang alle voorkomens van x in T door t en verwijder de λx
β-reductie λx.x + 2(4) = β 4+2 λx.x + 2(y) = β y+2 λx.λy.x + y(2)(4) = β λy.2 + y(4) = β 2+4
Lambda s en semantiek Lambda-termen op basis van FOPL Betekenissen van expressies zijn functies is lui λx.l(x) haat λx.λy.h(y, x)
Jan haat Marie H(j, m) Jan j haat Marie λy.h(y, m) haat λx.λy.h(y, x) Marie m
Hulpliteratuur http://bit.ly/hdslambda
De grenzen van FOPL hogere orde-predikatie: Hij houdt van schaatsen H(S) Jan denkt dat hij gelukkig is D(j, G(j)) hogere orde-kwantificatie: de meeste meer dan een kwart etc. niet uit te drukken in termen van FOPL s logische operatoren