CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening of toelichting op gebruik van de grafische rekenmachine zien hoe het antwoord verkregen is. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik geen tipp-e o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toegestaan bij het tekenen van grafieken. Bij het tentamen kunt u gebruik maken van een (grafische) rekenmachine van een type dat goedgekeurd is voor het Centraal Eamen Wiskunde van het vwo. Overige hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toegestaan. Op bladzijde 3 is een lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen afgedrukt. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op www.ccv.nl vindt u vanaf eind deze week: de uitwerkingen van dit tentamen; de stand van zaken van de correctie van het tentamen. U wordt dringend verzocht om de Open Universiteit niet te bellen of te mailen over uw uitslag. Deze wordt zo spoedig mogelijk naar u opgestuurd. Te behalen punten per onderdeel: Opgave 3 4 5 a 6 6 6 6 6 b 7 3 3 7 8 c 7 5 d 6 7 e 5 Totaal 3 9 0 6 Cijfer = behaald aantal punten 0 +
Gegeven de functie f () = 4 3 3 4 6 pt a Bereken eact de -coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f. 7 pt b Bereken eact de waarden van p waarvoor geldt dat de lijn y = p raakt aan de grafiek van f. (ln )p Voor p > 0 worden de functies g p gegeven door g p () =. 6 pt a Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van g () = ln en g () = (ln ) en toon aan dat alle functies g p elkaar snijden in deze twee punten. 3 pt b Toon aan dat voor iedere p > 0 de functie G p () = functie g p. Neem in het vervolg van deze vraag p =. Dan geldt dus (ln )p+ p + een primitieve is van de g p () = g () = ln. pt c Bepaal het domein van de functie g. 6 pt d Bereken algebraïsch de maimumwaarde van g. 5 pt e Bereken algebraïsch de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van g, de -as en de lijn = e. 3 In de figuur hiernaast ziet u een driehoek ABC met zwaartelijn AP. Q ligt op het verlengde van AP. Er geldt: AQ = AP. 6 pt a Toon aan dat de driehoeken ABC en QCB congruent zijn. A C P Stel dat (in tegenstelling tot in de figuur hierboven) AP naast zwaartelijn ook hoogtelijn van de driehoek ABC is. 3 pt b Toon aan dat in dat geval AP ook bissectrice van hoek A is. B Q pagina van 3
4 Hiernaast ziet u de grafiek van de functie y f () = sin 3. Punt A is het punt op de grafiek van f waarvoor geldt A = 3 π. 6 pt a Bereken de helling van de grafiek van f in punt A eact en stel een vergelijking op voor de raaklijn aan de grafiek in dit punt. De functie g wordt gegeven door g() = cos. 7 pt b Bereken eact alle oplossingen op het interval [0,π] van de vergelijking f () = g() De verticale gestreepte lijn is de lijn = 6 π. De grafiek van f, de -as en de lijn = 6π sluiten twee vlakdelen in. V is het meest linkse van deze twee vlakdelen. 7 pt c Bereken eact de oppervlakte van vlakdeel V. O V 5 Hiernaast ziet u de grafieken van de functies f () = 3e en g() = e 4. y 6 pt a Bereken eact voor welke het verschil f () g() maimaal is. y = p Vlakdeel V wordt ingesloten door de -as, de y-as en de grafiek van g. 8 pt b Bereken eact de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wordt gewenteld rond de -as. Een horizontale lijn y = p met p > 0 snijdt de grafiek van f in het punt F en de grafiek van g in het punt G. Het verschil van de -coördinaten van deze punten ( F G ) is een functie van p. Deze functie noemen we A(p). f O 5 pt c Toon aan dat voor deze functie geldt: g A(p) = ln p ln p + 4 ln 3 7 pt d Los de vergelijking A(p) = 0 eact op en gebruik uw antwoord om de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f en g te berekenen. pagina van 3
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen voor het voortentamen Wiskunde B Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige plaatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie sin(t + u) = sin t cos u + cos t sin u sin(t u) = sin t cos u cos t sin u cos(t + u) = cos t cos u sin t sin u cos(t u) = cos t cos u + sin t sin u sin t + sin u = sin t + u cos t u sin t sin u = sin t u cos t + u cos t + cos u = cos t + u cos t u cos t cos u = sin t + u sin t u pagina 3 van 3
Uitwerkingen Tentamen Wiskunde B juli 00 Opgave a f () = 4 3 9 48 f () = 8 48 De buigpunten vind je door op te lossen: f () = 0 Dit geeft: 8 48 = 0 3 8 = 0 Discriminant: D = ( 3) 4 8 = 9 + 64 = 73 Oplossingen: = 3 73 en = 3 + 73 4 4 Opgave b Er moet gelden: f () = p en f () = p f () = p geeft p = 4 3 9 48 f () = p geeft dan 4 3 3 4 = (4 3 9 48) Hieruit volgt: 4 3 3 4 = 4 4 9 3 48 3 4 6 3 4 = 0 Dit geeft: 3 ( 8) = 0 = 0 8 = 0 = 0 ( 4)( + ) = 0 = 0 = = 4 = 0 geeft p = 0 = geeft p = 4 8 9 4 + 48 = 8 = 4 geeft p = 4 64 9 6 48 4 = 80 Opgave a ln (ln ) = ln = (ln ) Dit geeft ln (ln ) = 0 ln ( ln ) = 0 ln = 0 ln = ln = 0 geeft = ; punt (,0) ln = geeft = e; punt (e, e ) Voor alle p > 0 geldt: (ln )p g p () = Opgave b = 0p = 0 en g p(e) = G p () = +p up+ met u() = ln (ln e)p e = p e = e G p() = +p (p + ) up u () = +p +p (ln )p (ln )p = Opgave c Er moet gelden: ln 0 (want je moet de wortel hiervan nemen) Dus moet gelden
Uitwerkingen Tentamen Wiskunde B juli 00 Opgave d g () = (ln ) / ln = ln ln g () = 0 ln = 0 ln ln = 0 Dit geeft ln = = e/ = e Maimumwaarde: g ( e) = Opgave e ln e / e / = g() = 0 ln = 0 ln = 0 = e [ ] e Te berekenen: g()d = G... = G (e) G () = Opgave 3a (ln e),5,5 (ln ),5,5 / e = e =,5 0,5 = 3 Uit het gegeven volgt BP = CP (de zwaartelijn uit A deelt de zijde BC middendoor). Ook geldt QP = AQ AP = AP AP = AP. Hieruit volgt dat de driehoeken ABP en QCP congruent zijn: ZHZ, de hoeken bij P zijn overstaande hoeken. Dit betekent AB = CQ. Op dezelfde manier volgt dat de driehoeken ACP en QBP congruent zijn, dus dat AC = BQ. Aangezien de zijde BC gemeenschappelijk is, volgt hieruit dat de driehoeken ABC en QCB congruent zijn volgens congruentiegeval ZZZ. Opgave 3b De driehoeken ABP en ACP zijn nu congruent, congruentiegeval ZHZ: Z: BP = CP ; H: APB = ACP = 90 ; Z: AP gemeenschappelijk. Dus BAP = CAP. Opgave 4a f () = 3 cos 3 f ( 3 π) = 3 cos( 3 3 π) = 3 cos π = 3 f ( 3 π) = sin( 3 3π) = sin π = 0 In y = a + b geldt dus y = 0, a = 3 en = 3 π Dit geeft 0 = 3 3 π + b 0 = π + b b = π De vergelijking van de raaklijn is dus y = 3 + π
Uitwerkingen Tentamen Wiskunde B juli 00 Opgave 4b f () = cos sin 3 = cos sin 3 = sin( π ) 3 Hieruit volgt = π + k π of 3 = π ( π ) + k π = π + + k π 5 Dit geeft = π + k π of = π + k π Nu volgt: = 5 π + k 4 5π of = π + k 4π Oplossingen tussen 0 en π: = 5 π; = π en = 4 5 π Opgave 4c Te berekenen: 6 π sin 3 d = [ 3 cos 3 ] 6 π 3 π 3 π... = 3 cos 7 4 π 3 cos π = 3 Opgave 5a f () g () = 0 3e e = 0 Dit geeft 3e (e ) = 0 3 e = 0 Nu volgt e = 3 = ln 3 Opgave 5b 3 = 3 + 3 g() = 0 e = 4 = ln 4 = ln 4 = ln 4 = ln ln Te berekenen: π (e 4) ln d = π e 4 8e + 6d 0... = π [ 4 e4 4e + 6 ] ln 0... = π ( 4 eln 6 4e ln 4 + 6 ln ( 4 4 + 0))... = π(4 6 + 6 ln 4 + 4) = π(6 ln 8 4 ) Opgave 5c 0 Voor punt F geldt 3e = p e = 3 p F = ln p 3 Voor punt G geldt e 4 = p e = p + 4 = ln(p + 4) = Dit geeft G = ln p + 4 ln(p + 4) Nu volgt F G = ln p 3 ln p + 4 = ln p ln 3 ln p + 4 Opgave 5d A(p) = 0 ln p ln p + 4 ln 3 = 0 ln p = ln p + 4 + ln 3 = ln(3 p + 4) Dit geeft p = 3 p + 4 Kwadrateren geeft p = 9(p + 4) p = 9p + 36 Nu volgt p 9p 36 = 0 (p )(p + 3) = 0 Enige (!) oplossing: p = De y-coördinaat van het snijpunt is dus y = p =. De -coördinaat vinden we door op te lossen f () = e = 4 = ln 4