combinaties te berekenen.

Een roosterdiagram is een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit twee mogelijkheden (uit-thuis, wel-niet) moet kiezen. Een kortste route bestaatuit een aantal stappen : n. Daarvan worden k stappen horizontaal gezet en de rest, n-k stappen, verticaal. De routes naar een bepaald eindpunt verschillen alleen in de volgorde waarin de stappen worden gezet. Het aantal kortste routes vind je door het aantal ( ) n combinaties te berekenen. k 1. Geef van de volgende telproblemen aan wat de keuzemogelijkheden zijn. (a) In een doos zitten twee rode en vier witte ballen. Hoeveel verschillende kleurpatronen kun je met die ballen, op een rij achter elkaar, leggen? (b) Van een test met twaalf vragen maak je er acht goed. 2. Op hoeveel verschillende manieren kun je in het schema hiernaast het woord PIANOSPEL lezen? 3. Ab en Bert moeten het aantal kortste routes van punt P naar punt R in het rooster hiernaast vinden. Ab zegt : Een route bestaat uit tien stappen waarvan vijf stappen naar rechts. ( ) Het aantal routes van punt P naar 10 punt R is dus = 252. 5 Bert zegt : Ik knip het rooster bij punt Q in stukken en tel in ieder stuk het aantal routes. Ik kom dan op 120 routes uit. Hoe doet Bert dat? Wie heeft gelijk? Welke fout maakt de ander? 4. De uitslag van de hockeywedstrijd tussen Kampong en Klein-Zwitserland is 6-4. (a) Hoeveel scoreverlopen kunnen leiden tot deze uitslag? (b) De ruststand was 2-2. Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er mogelijk via deze ruststand? 1

5. Bepaal bij de getekende roosters het aantal kortste routes van punt P naar punt Q. 2

1. Tine heeft twee vazen. In vaas A zitten zes rode en vier witte knikkers en in vaas B drie rode en zeven witte. Ze trekt aselect uit elke vaas één knikker. (a) Hoeveel takken heeft het bijbehorende boomdiagram? (b) Je kunt het boomdiagram vereenvoudigen door de takken van dezelfde uitkomst samen te nemen, zoals hiernaast te zien is. Neem het boomdiagram over en schrijf bij elke tak het aantal knikkers dat erbij hoort. (c) Bereken van elke uitkomst hoe vaak deze voorkomt. (d) Bereken P (RR), P (RW ), P (W R) en P (W W ). 2. Hieronder is het diagram uit de vorige opgave nogmaals getekend. Langs de takken die horen bij vaas A staan de bijbehorende kansen. (a) Leg uit waarom bij de tak met wit 0,4 staat en bij de tak met rood 0,6. (b) Neem het diagram over en zet de overige kansen bij de takken. (c) Waarom is de bewering P (RW ) = 0,6 + 0,7 onjuist? (d) Laat zien dat je de kans op gebeurtenis RW krijgt door de kansen langs de takken met elkaar te vermenigvuldigen. (e) Ga na dat je de kansen P (W R) en P (W W ) ook met vermenigvuldigen van kansen kunt berekenen. Vul de kanskolom verder in. Een kansdiagram is een vereenvoudigd boomdiagram met kansen langs de takken. In een kansdiagram kun je de kans op een route berekenen door de kansen langs de takken van die route met elkaar te vermenigvuldigen. 1

3. Het boomdiagram hiernaast hoort bij een tenniswedstrijd waarbij er best of three gespeeld wordt. Gunnar (G) en Sven (S) spelen tegen elkaar. Neem aan dat de kans dat Gunnar een set wint bij elke set 0,8 is. (a) Hoe groot is de kans dat Sven een set wint? (b) Neem het boomdiagram over en maak er een kansdiagram van. (c) Bereken P (GG), P (GSG) en P (GSS). (d) Bereken P (SGG), P (SGS) en P (SS). 4. Op grond van de eigenschappen van het bloed worden de mensen ingedeeld in vier bloedgroepen. De verdeling van de Nederlanders over de bloedgroepen zie je hiernaast. In een ziekenhuis wordt van twee mensen bloed geprikt om de bloedgroep vast te stellen. (a) Teken een kansdiagram voor de bloedgroep van deze twee mensen. (b) Bereken de kans dat beiden bloedgroep O hebben. bloedgroep A B AB 0 percentage 43 9 3 45 5. In een land is 28% van de inwoners linkshandig. In een kantoorboekhandel komen achter elkaar twee klanten binnen. (a) Bereken de kans dat beide klanten linkshandig zijn. (b) Hoe groot is de kans dat de eerste klant linkshandig is en de tweede niet? (c) Bereken de kans dat alleen de tweede klant linkshandig is. (d) Bereken de kans dat geen van beiden linkshandig is. (e) Controleer dat de som van de voorgaande kansen 1 is. 6. Offringa handelt in geluidsapparatuur. Hij verkoopt drie typen walkmans : Easy, Hype en Comfort. Op grond van de verkoopcijfers, zie de tabel, gaat hij uit van een kans 0,3 dat een verkochte walkman van het type Easy is. (a) Bereken de kans dat Offringa eerst een Easy verkoopt en daarna een Comfort. (b) Bereken de kans dat achtereenvolgens een Easy, een Hype en een Comfort wordt verkocht. (c) Hoe groot is de kans dat vijf walkmans van het type Comfort na elkaar worden verkocht? merk verkoop in % Easy 30 Hype 20 Comfort 50 Ook bij kansdiagrammen is het niet altijd handig om een volledig diagram te tekenen. Vaak is het voldoende om alleen de takken te tekenen van de gevraagde gebeurtenissen of een begin te maken met het tekenen van takken. 2

7. Hiernaast staat een kanstol met P (A) = 1 4, P (B) = 1 2 en P (C) = P (D) = 1 8 (a) Bereken de kans op vijf keer een A draaien. (b) Hoe groot is de kans dat je twintig keer achter elkaar een B draait? (c) Bereken de kans op geen enkele A in zestien keer. (d) Bereken de kans dat bij veertien keer draaien de eerste twee keer een A, de laatste twee keer een B zijn en de andere keren geen A of B. 8. Een secretaris moet na elkaar acht personen opbellen. Uit ervaring weet hij dat de kans dat iemand in gesprek is gelijk is aan 0,24. (a) Hoe groot is de kans dat van alle acht personen alleen de laatste persoon in gesprek is? (b) Bereken de kans dat alleen de eerste en de laatste persoon in gesprek zijn. (c) Bereken de kans dat minstens twee personen niet in gesprek zijn. (d) Het bellen kun je simuleren door het trekken van knikkers uit een vaas, waarna na elke trekking de knikkers worden teruggelegd. Hoeveel knikkers zijn er minimaal nodig? 9. Naast de indeling in bloedgroepen wordt in het OAB systeem nog onderscheid gemaakt in rhesuspositief en rhesusnegatief. De rhesusfactoren komen in alle bloedgroepen in gelijke mate voor. De gegevens over bloedgroep en rheesusfactor vind je in de tabel. (a) Welk percentage van de bevolking is A/Rh? (b) Hoe groot is de kans dat een willekeurige Nederlander O/Rh + is? (c) Welke combinatie van bloedgroep en rhesusfactor is zeldzaam? A B AB O Rh + 85 Rh 15 43 9 3 45 100% 10. Een rivier verdeelt zich zoals in de figuur te zien is. (a) Welk percentage van het water bij A stroomt langs D? En welk percentage langs E? (b) Verder stroomafwaarts komt het water dat langs D en E gaat weer bij elkaar in een meer. Welk percentage van het water bij A komt in het meer? 3

11. In elk van de vazen A en B zitten 20 rode en 5 witte knikkers. Je wilt weten hoe groot de kans is op één rode en één witte knikker als je uit elke vaas een knikker pakt. (a) Teken een kansdiagram van de twee trekkingen. (b) Stel dat je dit experiment 1000 keer wilt simuleren. Geef aan welke getallen je in het diagram hiernaast in de lege vakjes kunt verwachten. (c) Waarom is de kans op één rode en één witte knikker gelijk aan P (RW ) + P (W R)? In een kansdiagram kan een gebeurtenis vaak langs verschillende routes ontstaan. Je krijgt de kans op die gebeurtenis door de kansen op elk van deze routes bij elkaar op te tellen. 12. Jouke weet dat hij bij het boogschieten zeven van de tien keer de roos raakt. In een wedstrijd mag hij vier keer schieten. (a) Teken een kansdiagram van de vier schoten. (b) Bereken de kans dat Jouke drie keer de roos raakt. (c) Hoe groot is de kans dat hij alleen de eerste en de vierde keer de roos raakt? (d) Bereken de kans dat hij ten hoogste drie keer de roos raakt. Bij vragen over meer dan, ten minste en ten hoogste kun je gebruik maken van het feit dat de som van complementaire kansen 1 is. De complementaire kansen zijn vaak eenvoudiger te berekenen dan de gevraagde kansen. 13. Bij een aantal vierkeuzevragen weet je drie vragen niet en daarom gok je steeds het antwoord. (a) Bereken de kans op meer dan één fout. (b) Hoe groot is de kans op ten hoogste twee fouten? 14. Bij een batterijenfabriek worden de geproduceerde batterijen getest. Als ze goed (G) zijn worden ze verpakt. Zijn ze defect (D), dan worden ze gerecycled. Bij de fabriek is bekend dat gemiddeld genomen 15% van de batterijen defect is. Er worden aselect vier batterijen gepakt en getest. (a) Bereken P (DDGG) en P (DGDG). (b) Hoeveel volgorden zijn er waarbij er twee goede en twee defecte batterijen worden gepakt? (c) Bereken de kans op twee goede en twee defecte batterijen. (d) Bereken de kans op ten minste één defecte batterij. 4

15. Een drachtige leeuwin werpt meestal twee welpen. Het komt echter ook voor dat er slechts één welp of zelfs drie welpen worden geworpen. Hoe vaak dat voorkomt kun je in de tabel aflezen. (a) Hoe groot is de kans op ten minste vier welpen in drie worpen? (b) Bereken de kans op ten hoogste zeven welpen in drie worpen. aantal % welpen 1 20 2 50 3 30 Veel kansexperimenten kun je vertalen in het model van een vaas met knikkers. Je kunt de knikkers op allerlei manieren uit de vaas trekken. 16. In een vaas zitten 20 rode en 8 witte knikkers. Cees trekt twee knikkers en legt die na elke trekking terug. Govert trekt ook twee knikkers, maar laat de knikker na elke trekking uit de vaas. (a) Bereken in beide gevallen de kans op RW. (b) Hoe groot is in beide gevallen de kans op W W? (c) Gilles trekt in één greep twee knikkers uit de vaas. Is het mogelijk de kans op RW te berekenen? Leg uit waarom. Bij het vaasmodel zijn twee manieren waarop je aselect knikkers kunt trekken : trekken met teruglegging. Bij elke trekking zijn de kansen hetzelfde. trekken zonder teruglegging. Door elke trekking veranderen de kansen langs de takken daarna. 17. Uit een vaas met vier rode en vijf witte knikkers worden twee knikkers gepakt. (a) Bereken de kans op een witte en een rode knikker bij trekken met teruglegging. (b) Herhaal onderdeel a met trekken zonder teruglegging. (c) Herhaal onderdeel a met trekken in één greep. 18. Ayoub doet aan schieten. Zijn moyenne is 0,6, dat wil zeggen dat hij met gemiddeld 3 van de 5 schoten de roos treft. Hij doet voor een proef drie schoten. (a) Wat voor vaasmodel kun je hier gebruiken? (b) Bereken de kans op mis-raak-raak. (c) Op hoeveel manieren kan Ayoub één van de drie schoten missen? Bereken in elk van deze gevallen de kans hierop. (d) Bereken de kans op een misser bij één van de drie schoten. 5

19. Op een kraslot is onder de helft van de vakjes een prijsteken verborgen. Je krast drie keer. (a) Wat voor vaasmodel kun je hier gebruiken? (b) Maak een kansdiagram. (c) In welke volgorde kun je twee keer prijs krassen? (d) Hoe groot is de kans op elk van deze volgorden? (e) Bereken de kans dat hij twee goede vakjes krast. 20. In een doos zitten twaalf batterijen waarvan er vier leeg zijn en acht vol. Karinn heeft voor haar discman vier volle batterijen nodig. Zij pakt steeds aselect zonder terugleggen een batterij uit de doos en test hem. Zodra ze vier volle batterijen heeft stopt ze. Bereken de kans dat Karin zes testen nodig heeft. 21. Een container bevat 20000 blikken met bonen met bonen. De verkoper beweert dat de partij voor 90% van kwaliteit A is. Een koper wil een steekproef van vijf blikken doen om vast te stellen of deze bewering juist is. (a) Waarom kun je hier trekken zonder terugleggen benaderen door trekken met terugleggen? (b) Bereken de kans dat één van de blikken niet van kwaliteit A is. (c) Hoe groot is de kans dat twee van de vijf blikken niet van kwaliteit A zijn? 22. Manuel gooit oneven met een dobbelsteen. Hij zegt tegen Joke dat die de uitkomst moet raden. Hoe groot is de kans dat zij juist raadt? 23. Een bedrijf heeft een steekproef van 150 personen gehouden om het verband na te gaan tussen dagelijks een sinaasappel eten en het voorkomen van een verkoudheid. In het boomdiagram zie je het resultaat. (a) Hoe groot schat je de kans dat iemand die dagelijks een sinaasappel eet toch verkouden wordt? (b) Hoe groot acht je de kans dat iemand die geen sinaasappels eet verkouden wordt? (c) Als je iemand ontmoet die aan eenzelfde steekproef meedoet en verkouden is, hoe groot schat je dan de kans dat hij een sinaasappeleter is? 6

De kans op een gebeurtenis A onder de voorwaarde dat gebeurtenis B plaatsvindt heet een voorwaardelijke kans. Notatie : P (A B). Voorbeeld Worp met dobbelsteen. G : even aantal ogen. P (2 G) = 1 3 P (G 1) = 1 24. Een nieuw geneesmiddel tegen huidziekte werd op een groep patiënten uitgeprobeerd en vergeleken met het oude geneesmiddel. In de tabel staan de resultaten. (a) Maak een boomdiagram bij deze situatie. (b) Hoe groot schat je de kans dat een patiënt binnen een week geneest onder voorwaarde dat hij het nieuwe medicijn gebruikt? (c) Hoe groot schat je de kans dat iemand binnen een week geneest terwijl hij het oude medicijn gebruikt? (d) A is de gebeurtenis dat iemand niet binnen een week geneest, B is de gebeurtenis dat iemand het oude middel gebruikt. Schat de empirische kans P (A B). binnen week genezen geneesmiddel wel niet totaal nieuw 83 17 100 oud 412 188 600 totaal 495 205 700 25. Uit een volledig spel kaarten wordt aselect een kaart getrokken. Gebeurtenis A is het trekken van een aas, Gebeurtenis B is het trekken van schoppen, Gebeurtenis C is het trekken van een klaveraas. (a) Bereken P(A) en P (A B) en verklaar waarom deze kansen gelijk zijn aan elkaar. (b) Herhaal opdracht a voor P(B) en P (B A). (c) Bereken P(C) en P (C A). waarom zijn deze twee kansen niet aan elkaar gelijk? Als voor twee gebeurtenissen A en B geldt dat : P (A B) = P (A) en P (B A) = P (B) dan heten de gebeurtenissen A en B onafhankelijk. Dit houdt in dat het optreden van B geen invloed heft op de kans op gebeurtenis A, en omgekeerd. Gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn heten afhankelijke gebeurtenissen. Voorbeeld Een kaart uit een compleet spel trekken. A : kaart is harten. B : kaart is vrouw. P (A B) = 1 4 P (A) = 1 4 P (B A) = 1 13 P (B) = 1 13 A en B zijn onafhankelijk. 26. Maak een tabel voor het werpen met twee verschillende dobbelstenen. Gebeurtenis A : beide ogentallen zijn gelijk. Gebeurtenis B : de som van de ogen is 9. (a) Bereken P (A) en P (B). (b) Onderzoek of A en B onafhankelijk zijn. 7

27. In de tabel staan voor een bepaald schoolvak de landelijke percentages voldoenden en onvoldoenden op het schoolexamen en het centraal schriftelijk examen. (a) Hoe groot schat je voor dit vak de kans dat een willekeurige leerling met een voldoende voor het schoolonderzoek een onvoldoende haalt voor het centraal schriftelijk examen. (b) Adelheid heeft een voldoende voor haar schoolonderzoek gehaald. Geldt voor haar de kans uit het vorige onderdeel? (c) Je komt een onbekende tegen die een voldoende haalde voor het centraal schriftelijk examen. Hoe groot je de kans dat hij een onvoldoende had voor het schoolonderzoek? (d) Vind jij de gebeurtenissen onvoldoende socijfer en onvoldoende examencijfer onafhankelijk? Geef een berekening en verklaar je antwoord. schoolexamen CSE onvold. vold. totaal onvold. 18% 11% 29% vold. 5% 66% 71% totaal 23 77% 100% Niet alleen bij telproblemen ook bij het berekenen van kansen kan een rosterdiagram een goed hulpmiddel zijn. 28. In het rooster hiernaast is een serie van zes wedstrijden tussen twee honkbalteams, team A en team B weergegeven. Gelijkspel is niet mogelijk, bij elke wedstrijd is er dus een winnaar. De teams zijn ongeveer even sterk, de kans dat een team wint is dus ongeveer gelijk aan 0,5. De kans op de serie ABBBAB is gelijk aan : (0, 5) 6. (a) Bereken de kans op de serie ABABAB. (b) Als team A sterker is dan team B, verandert de kans op de serie ABABAB. Wordt deze kans groter of kleiner? Beredeneer je antwoord. (c) Neem aan dat de kans dat team A een wedstrijd wint gelijk is aan 0,6. Hoe groot is nu de kans op de serie ABABAB? (d) Bereken in dat geval ook de kans op de serie ABBBAA. (e) Op hoeveel manieren kan de eindstand 3-3 bereikt worden? Hoe groot is de kans op deze eindstand? 29. Twee volleybalteams spelen oefenwedstrijden van steeds vijf sets. De kans op setwinst voor team A is 70%. Je wilt de kans weten dat team A met 3-2 wint. (a) Teken een roosterdiagram dat bij deze situatie past. (b) Teken in dit rooster één route naar de uitslag 3-2. (c) Bereken de kans op deze route. (d) Bereken het aantal kortste routes die naar de uitslag 3-2 gaan. (e) Bereken de kans dat team A met 3-2 wint. 8

Hoe gebruik je een rooster om een kans te berekenen? Teken een rooster en daarin het punt P dat bij de gevraagde kans past. Teken één route naar het punt P. Bereken de kans op die route Bereken het aantal kortste routes naar P. De gevraagde kans is het aantal routes maal de kans op één zo n route. 30. Dammer Wiersma speelt een simultaan van acht partijen. De kans dat hij een partij wint is 0,8. Bereken de kans dat Wiersma vijf van de acht partijen wint. 31. Zet in het rooster een pion op punt S(0,0). Dan gooi je vier keer met een munt. Bij kop verschuif je de pion een stap naar rechts, bij munt een stap naar boven. (a) Bereken de kans dat je bij een letter O uitkomt. (b) Bereken de kans dat je bij een letter L uitkomt. (c) Je speelt dit spel vier keer en noteert elke keer de letter waar je uitkomt. Bereken de kans dat zo het woord LOOD ontstaat. 32. Je hebt drie gloeilampen nodig en pakt deze uit een magazijnstelling. Van de gloeilampen in het magazijn is bekend dat 10% defect is. (a) Teken een rooster. Zet langs de horizontale as defect en langs de verticale as goed. (b) Het pakken van een lamp komt overeen met het doen van een stap in het rooster. Hoe groot is bij elk knooppunt de kans dat je naar boven gaat? (c) Bereken de kans op twee defecte lampen. (d) Bereken de kans op minstens twee defecte lampen. 9