Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces volgt (Engelse titel: Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process) Verslag ten behoeve van het Delft Institute of Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door R.W.B. VAN DER WEIJST Delft, Nederland Juli 2013 Copyright c 2013 door R.W.B. van der Weijst. Alle rechten voorbehouden.

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Prijsbepaling Parijse optie met onderliggende waarde die een sprong-diffusie proces volgt (Engelse titel: Parisian Option Pricing When the Underlying Security Price Follows a Jump-Diffusion Process ) R.W.B. VAN DER WEIJST Technische Universiteit Delft Begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh Overige commissieleden Prof.dr.ir. A.W. Heemink Dr. J.G. Spandaw Juli, 2013 Delft

Samenvatting Een Europese calloptie is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs, de uitoefenprijs, te kopen op de expiratiedatum. Een barrieroptie is een exotische optie waarbij de uitbetaling afhangt van het raken van koers van de onderliggende waarde van de barrière gedurende de looptijd. Bij Parijse barrieropties is het ook nog van belang hoe lang de excursie boven (of onder) de barrière is voor een knock-in dan wel een knock-out. De prijsbepaling van barrieropties, die van groot belang is in de financiële wereld, wordt dus bepaald door het prijsproces van de onderliggende waarde, waarbij niet enkel de prijs van de onderliggende waarde op het moment van expiratie, maar gedurende het hele prijsproces van belang is. Dit prijsproces kan worden gezien als een sprong-diffusieproces, waarbij het model gebruikmaakt van een aantal sprongen dat Poisson verdeeld is. In deze scriptie wordt de risiconeutrale prijs van opties bepaald met de Monte-Carlomethode die het gemiddelde neemt van de waarde van opties bij verschillende onafhankelijke prijsprocessen. Dit geeft een zuivere schatting van de optieprijs bij de sprong-diffusieprocessen. Bij de simulatie van een prijsproces voor het schatten van de prijs van een standaard barrieroptie kunnen effectprijzen worden berekend op verschillende tijdstippen en dan kan worden berekend of de barrière is geraakt gedurende een interval tussen twee tijdstippen. Voor de prijsbepaling van een Parijse optie zijn raaktijden van de barrière van belang. De exittijd op een bepaald moment, het laatste tijdstip voor dat moment waarop de barrière geraakt is evenals de raaktijden kunnen worden berekend voor een prijsproces zonder drift. Het aanpassen van de kansruimte zorgt ervoor dat het mogelijk is simulaties zonder drift te genereren die leiden tot een schatter, waarbij de koers van de onderliggende waarde wel drift heeft. Uit de resultaten blijkt dat stratificatie naar het aantal sprongen variantiereductie oplevert. Eveneens blijkt uit de resultaten dat het aantal sprongen van invloed is op de optieprijs en op de rekentijd. v

Voorwoord Een jaar of tien, elf moet ik zijn geweest toen ik de beurskoersen in de krant ging bijhouden. s Ochtends de krant openslaan, het nieuws lezen en de indices bijhouden was een standaard doordeweeks ochtendritueel. Aandelen waren de eerste financiële producten die me bezig hielden, later kwamen daar ook obligaties en opties bij. De passie voor het analyseren van patronen en structuren is een belangrijk aspect waarom ik Technische Wiskunde ben gaan studeren. Patronen en structuren zijn overal terug te vinden in de natuur en in de samenleving en wiskunde duidt verbanden aan en probeert inzicht te geven in structuren. De interesse voor de finaniciële markten, waar eveneens patronen en structuren in te herkennen zijn is nooit verdwenen en heeft er toe geleid deze scriptie te schrijven. Deze scriptie vormt het sluitstuk van de bachelor Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit Delft. Hierbij dank ik mijn begeleider Dr.ir. J.H.M. Anderluh voor zijn ondersteuning bij het tot stand komen van deze publicatie. Verder rest mij niets dan u veel leesplezier toe te wensen. R.W.B. van der Weijst vii

Inhoudsopgave Samenvatting Voorwoord v vii Introductie 1 I Opties 3 I.0.1 Nomenclatuur.................................. 4 I.0.2 Barrieroptie en Parijse optie.......................... 5 II Prijsproces van de onderliggende waarde 7 II.1 Geometrische Brownse beweging........................... 7 II.1.1 Sprongen.................................... 8 II.1.2 Rente...................................... 8 II.1.3 Risico-neutraal................................. 8 III Algoritme van de standaard barrieroptie 9 III.1 Monte-Carlomethode.................................. 9 III.2 Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter................... 9 III.3 Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out barrieroptie.......... 11 III.3.1 Geval 1, Geen sprongen............................ 11 III.3.2 Geval 2, een m aantal sprongen........................ 12 III.3.3 Geval 3, meer dan m sprongen........................ 14 IV Verandering van de kansmaat 15 IV.1 Kansruimte....................................... 15 IV.2 Radon-Nikodym afgeleide............................... 15 IV.3 Girsanov transformatie................................. 16 V Eigenschappen van het prijsproces 18 V.1 Raaktijd barrière.................................... 18 V.2 Simulatie exittijd.................................... 20 V.3 Acceptatie-Rejectie methode.............................. 20 V.4 Soorten Parijse opties................................. 21 VI Algoritme van een Parijse optie 22 VI.1 Stratificatie....................................... 27 VII Resultaten 28 viii

VII.1 Variantie....................................... 28 VII.2 Down-and-In..................................... 29 VII.2.1 Gestratificeerde methode.......................... 31 VII.3 Down-and-Out.................................... 32 VII.4 Up-and-In....................................... 33 VII.5 Up-and-Out...................................... 34 Conclusie 36 Discussie 37 ix

Introductie Derivatives are financial weapons of mass destruction Warren Buffet Deze uitspraak van het Orakel van Omaha in zijn jaarlijkse brief aan aandeelhouders wees op de catastrofale risico s die Buffet voor kopers, verkopers en voor de economie als geheel, in derivaten zag. De snelle groei van de handel in derivaten de laatste jaren, die de Amerikaan zorgen baarde, heeft het aantal wiskundigen dat bezig is met het bepalen van de waarde en de risico s van opties flink doen toenemen. Opties zijn een type derivaten, financiële producten waarvan de waarde afgeleid is van een onderliggende waarde. Een onderliggende waarde is daarbij een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Er zijn vele speciale opties die in vakjargon bekend staan als exotische opties, barrieropties zijn er hier een van. Een voorbeeld van een type barrieroptie is een optie die zijn waarde verliest indien de koers van de onderliggende waarde de barrière raakt. Vele wiskundigen hebben zich bezig gehouden met de prijsbepaling van opties. Zo publiceerden Fischer Black en Myron Scholes de bekende naar hun vernoemde formule reeds in 1973 in The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Myron Scholes kreeg hiervoor in 1997 de Prijs van de Zweedse Bank voor economie ter nagedachtenis aan Alfred Nobel, beter bekend als de Nobelprijs voor de Economie. Deze scriptie richt zich op de prijsbepaling van barrieropties in continue tijd, waarbij de koers van de onderliggende waarde een sprong-diffusie proces volgt. Behalve algoritmes voor de schatting van de prijs van standaard barrieropties wordt ook een algortime voor een speciaal type barrieroptie, de Parijse optie beschreven. De koers van de onderliggende waarde en de risicovrije rente zijn in dit model bepalend voor de uiteindelijke waarde van de optie op het tijdstip van uitgifte. Tenzij expliciet beschreven verwijst optie naar een calloptie. Waar in dit artikel over effectprijs of aandeelprijs gesproken wordt kan ook het algemenere onderliggende waarde worden gelezen. Schatting en (prijs)bepaling van de optieprijs worden als synoniemen gebruikt. In de financiële wereld waar derivaten op grote schaal worden verhandeld zijn accurate modellen voor de prijsbepaling van opties van groot belang. Het feit dat opties veelvuldig worden verhandeld en dat hier veel geld in omgaat maakt dat pragmatische modellen veelgevraagd zijn. Deze scriptie is opgebouwd uit een zeven tal hoofdstukken. In Hoofdstuk I bevat een algemene introductie in financiële opties, de standaard barrieroptie en de Parijse optie. Hoofdstuk II beschrijft hoe een prijsproces van een onderliggende waarde tot stand komt. In hoofdstuk III wordt beschreven hoe met de methode van Monte-Carlo een risico-neutrale prijs bepaald kan worden voor een optie aan de hand van de in het vorige hoofdstuk beschreven prijsproces. Vervolgens wordt een standaard en een gestratificeerd model van de prijsbepaling van een barrieroptie beschreven. Hoofdstuk IV verklaart de verandering van de kansmaat, zodat gerekend kan worden met een brownse beweging zonder drift. Genoemde verandering is nodig, daar uit een brownse 1

beweging zonder drift enkele eigenschappen afgeleid kunnen worden die gebruikt worden voor de prijsbepaling van een Parijse optie. Deze eigenschappen en de afleiding daarvan staan beschreven in hoofdstuk V. In Hoofdstuk VI wordt een algoritme beschreven om de prijs van een Parijse optie te bepalen. Het einde van dit hoofdstuk bevat een uitleg van een gestratificeerde schatter. Hoofdstuk VII beschrijft de gevonden resultaten van de methoden voor de prijsbepaling van de Parijse barrieroptie. Na deze hoofdstukken sluit het artikel af met de conclusie en de discussie. Op de bijgevoegde cd zijn implementaties te vinden in de softwareomgeving Matlab c (R2013a, The MathWorks, Natick, USA). De prijsbepaling van een Up-and-Out barrieroptie is hiermee mogelijk evenals de prijsbepaling van de vier soorten Parijse barrieropties beschreven in deze scriptie. Ook is de implementatie van de beschreven gestratificeerde Parijse optie schatter te vinden op de cd. In het README-bestand staat beschreven hoe de implementaties gebruikt kunnen worden voor de berekening van verschillende type opties met naar wens gekozen parameters. 2

I Opties De handel in financiële derivaten, producten die vaak tot doel hebben te speculeren of risico te dekken, heeft de laatste decennia een hoge vlucht genomen. Halverwege de zestiende eeuw ontstond in Amsterdam een systeem waarin particulieren schulden konden aangaan en deze schulden konden verhandelen. De eerste aandelen werden in Amsterdam verhandeld, deze waren van de Verenigde Oost-Indische Compagnie. De welvaart die in de Gouden Eeuw was ontstaan leidde tot de vraag naar luxe producten zoals tulpen, die rond 1550 in West Europa werden geïntroduceerd. Het aantal kopers oversteeg het aantal aanbieders waardoor de prijs van tulpen de pan uit rees. Speculanten begonnen met het sluiten van contracten, waarbij de verkoper van een contract de verplichting had om tulpenbollen te leveren in de volgende lente. Er waren ook contracten waarbij de koper verplicht werd tot afname van de bollen in de lente, deze vorm van zakendoen stond destijds bekend onder windhandel en noemt men nu optiehandel. De prijzen van tulpenbollen stegen tot recordhoogtes, zo werd èèn Viceroi, een paarswitte papegaaitulp, verhandeld voor 2.500 gulden. Deze tulpenmanie kwam aan zijn einde op 3 februari 1637 toen de prijzen enorm daalden. Dit moment wordt wel gezien als de eerste financiële zeepbel. De handel in opties nam pas echt zijn toevlucht, nadat opties in 1973 op de Chicago Board Options Exchange (CBOE) verhandeld werden. Voordat het begrip optie wordt gedefinieerd worden de volgende twee begrippen verklaard: Onderliggende waarde - Een goed waar waarde aan toegeschreven kan worden. Dit kunnen bijvoorbeeld aandelen in een bedrijf zijn, grondstoffen, valuta of onroerend goed. Derivaat - Een derivaat is een financieel instrument dat is afgeleid van een onderliggende waarde id est de waarde van een derivaat is afhankelijk van de bijbehorende onderliggende waarde. Het begrip optie wordt nu als volgt gedefinieerd: Optie - Een optie is een derivaat. Het is een recht om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te kopen of verkopen op een specifieke datum of in een specifieke periode. Een summiere lijst van aanverwante begrippen wordt nu gegeven in de nomenclatuur. 3

I.0.1 Nomenclatuur Call-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te kopen op een eveneens vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode. Put-optie - Een optie die het recht geeft om een onderliggende waarde tegen een vooraf bepaalde prijs te verkopen op een vooraf bepaalde datum of in een vooraf bepaalde periode. Uitoefenprijs - De vooraf bepaalde prijs waartegen de optiehouder een onderliggende waarde kan kopen (call) of verkopen (put). Schrijver - De schrijver van de optie is de persoon die de optie verkoopt. Houder - De houder ven een optie is de persoon die de optie koopt. Uitoefenen - Het uitoefenen van de optie houdt in dat de houder van de optie de onderliggende waarde koopt of verkoopt van de schrijver. Expiratiedatum - De expiratiedatum is de laatste datum, waarop een optie kan worden uitgeoefend. Looptijd - Het tijdsinterval tussen het schrijven van de optie en de expiratiedatum. Het uitoefenen van opties kan binnen een bepaalde periode of enkel op één moment. Indien ze enkel uitgeoefend kan worden aan het eind van de looptijd op de expiratiedatum worden ze Europese optie genoemd. Wanneer het mogelijk is de optie uit te oefenen of elk moment voor de expiratiedatum, dan worden ze Amerikaanse optie genoemd. Er worden drie situaties onderscheiden bij opties met betrekking tot de koers van de onderliggende waarde in verhouding met de uitoefenprijs. Figuur I.1 geeft de opbrengst van een optie weer. Dit is de waarde van de optie min de prijs van de optie. In-the-Money De koers van de onderliggende waarde is hoger (lager bij een put-optie) dan de uitoefenprijs van de call-optie. Het uitoefenen van deze optie levert geld op. At-the-Money De koers van de onderliggende waarde is exact gelijk aan de uitoefenprijs van de call-optie (of put-optie). Het uitoefenen van deze optie levert geen geld op. In figuur I.1 is dit bij de uitoefenprijs K. Out-of-the-Money De koers van de onderliggende waarde ligt lager (hoger bij een putoptie) dan de uitoefenrpijs, de call-optie heeft dan geen waarde. Het uitoefenen van deze optie zou geld kosten. Dat is niet verplicht, dus wordt de optie niet uitgeoefend en is hij waardeloos. 4

Figuur I.1: Winst/verlies van een optie met S de koers van de onderliggende waard en met K de uitoefenprijs I.0.2 Barrieroptie en Parijse optie Een Parijse optie is een exotische optie, een optie die complexe financiële structuren bevat in tegenstelling tot de standaard vanilla optie. Het is een type barrieroptie (van het Engelse barrier dat barrière betekent), een optie die pas kan worden uitgevoerd (of juist niet meer kan worden uitgevoerd) als de koers van de onderliggende waarde de vooraf vastgestelde barrière heeft aangeraakt. Er bestaan vier soorten barrieropties, de Up-and-Out, Up-and-In, Down-and-Out en Down-and-In optie. Bij een in-optie kan de optie alleen worden uitgevoerd na een knock-in. Een out-optie kan niet meer worden uitgevoerd na een knock out. Bij de Up-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie boven (up) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. En bij de Down-optie vindt er een knock-in of knock-out plaats, nadat er een excursie onder (down) de barrieère is geweest van een vooraf bepaalde lengte. Bij een standaard barrieroptie is deze lengte van de excursie niet van belang, het aanraken van de barrière is dan voldoende voor een knock-in dan wel een knock-out. Bij de Parijse optie moet de prijs van de onderliggende waarde wel boven of onder de barrière blijven voor een vooraf bepaalde periode, voordat de optie juist wel (of juist niet meer) uitgeoefend kan worden. Hierbij kan het vereist zijn dat de periode boven of onder de barrière aaneengesloten is voor de periode. 5

Het wel of niet meer kunnen uitoefenen van de optie na het raken of eronder/erboven blijven van de barrière wordt aangeduid met de volgende twee begrippen: knock-in - De optie kan uitgevoerd worden na de knock-in (bij Up-and-In- en bij Downand-In-opties). knock-out - De optie kan niet meer uitgevoerd worden na de knock-out (bij Up-and-Outen bij Down-and-Out-opties). Figuur I.2 laat zien wanneer een knock-out plaatsvindt bij een Up-and-Out barrieroptie en bij een Up-and-Out Parijse optie. In dit artikel zal enkel worden gekeken naar callopties. Bij de Parijse opties zullen de vier bovengenoemde typen worden beschreven, waarbij de periode boven of onder de barrière voor een knock-in of een knock-out aaneengesloten moet zijn. Figuur I.2: Knock-out bij een Parijse en standaard barrieroptie 6

II Prijsproces van de onderliggende waarde II.1 Geometrische Brownse beweging De koers van een aandeel of andere onderliggende waarde kan worden beschreven met een wiskundig model dat bekend is onder de naam Brownse beweging. In dit hoofdstuk wordt deze beweging afgeleid en beschreven. Het is belangrijk op te merken dat een Brownse beweging een continue beweging is. Voor het vinden van een model voor een aandeelprijs S, moet rekening worden gehouden met het volgende: Volatiliteit - De mate van bewegelijkheid van de koers van een onderliggende waarde. (Stochastische) Drift - De gemiddelde verandering in de tijd in een stochastisch proces. De drift wordt als µ geschreven. De volatiliteit als σ. De prijs van de onderliggende waarde is hier weergegeven als S in formulevorm geeft dit de volgende stochastische differentiaalvergelijking: ds = Sµdt + SσdW (t)) (II.1) Waarbij de stochast W(t) N(0,t). Om te kijken naar de relatieve verandering van de koers van de onderliggende waarde wordt de formule herschreven als: ds S Dit staat bekend als de Brownse beweging. = µdt + σdw (t) (II.2) Het oplossen van deze stochastische differentiaalvergelijking geeft: S(t) = s 0 e µt+σn(0,t) (II.3) Met het definiëren van N(t) N(µt, σt) kan dit worden geschreven als: S(t) = s 0 e N(t) (II.4) 7

II.1.1 Sprongen Als we stellen dat er ook sprongen kunnen plaatsvinden is deze beweging niet meer continu. Tussen twee sprongen in is de beweging natuurlijk nog wel steeds continu. Het aantal sprongen in de modellen in deze scriptie wordt gesteld als Poisson verdeeld met parameter λ. In figuur II.1 is een prijsproces van een onderliggende waarde met sprongen weergegeven. Figuur II.1: Enkele prijsprocessen met sprongen II.1.2 Rente In plaats van beleggen in opties kan men geld op de bank zetten. Voor het wiskundig model in deze scriptie wordt gesteld dat de bank een constante rente r geeft en er hierbij geen enkel risico is. Dus het plaatsen van een bedrag op de bank resulteert na verloop van tijd automatisch in een toename veroorzaakt door de rente. Het bedrag b 0 op tijdstip t = 0 resulteert dus in het bedrag b t op tijdstip t. De samengestelde interest is in formulevorm gegeven door: e rt d 0 = d t (II.5) Nu geldt andersom dat indien de optieprijs aan het eind van de looptijd bekend is, dit verdisconteerd dient te worden om de prijs op het moment van schrijven van de optie te verkrijgen, aangezien men het geïnvesteerde bedrag ook op de bank had kunnen zetten tegen de risicovrije rente. De waarde van de optie aan het begin van de looptijd moet dan ook worden vermenigvuldigd met de inverse van e rt, die e rt is. II.1.3 Risico-neutraal De verwachting van S(t) = s 0 e N(t) is gegeven door: s 0 e µt+ 1 2 σ2 (II.6) Voor de risico-neutrale prijsbepaling van opties moet de verwachting gelijk zijn aan de risicovrije rente. Dit in combinatie met de sprongen geeft een uitdrukking voor de drift: µ = r 1 2 σ2 + λ λe[j] (II.7) 8

III Algoritme van de standaard barrieroptie III.1 Monte-Carlomethode Voor het bepalen van de prijs van een optie wordt gebruik gemaakt van de Monte-Carlomethode. Deze bestaat eruit om aandeelpaden die onafhankelijk verdeeld zijn te simuleren, bij elk aandeelpad de waarde van de optie te berekenen en dan een gemiddelde nemen te van deze waarden om op een prijs uit te komen. De volgende formule geeft de methode weer voor het schatten van E[f(X)], waarbij X een aandeelpad is dat een Brownse beweging volgt met sprongen en waarbij f de functie is die de uitbetaling geeft bij een aandeelpad: 1 N N f(x i ) i=1 (III.1) Uit de wet van de grote aantallen volgt dat deze schatter van E[f(x i )] zuiver is id est de formule convergeert ) naar E[f(x i )] voor N. De centrale limietstelling geeft dat de fout dan N (0, σ2 N verdeeld is. III.2 Prijs van een Up-And-Out barrieroptie schatter De waarde van een Up-and-Out barrier calloptie (UOC) kan worden berekend met de formule: UOC = e rt E[(S(T) K) + 1 τb >T ] (III.2) Waarbij T= Expiratiedatum r= rente S(t)= De gesimuleerde prijs van de onderliggende waarde op tijdstip t 9

K= Uitoefenprijs τ B = inf{t > 0 : S(t) B} Het eerste tijdstip waarop S(t) groter of gelijk is aan de barrière Indien de prijs van de onderliggende waarde op twee tijdstippen onder de barrière ligt, is de kans bekend dat de koers van de onderliggende waarde in de tussentijd de barrière heeft aangeraakt. [7] Als X(t) een Brownse beweging is met drift µ, volatiliteit σ en met max(a, b) < c met a, b, c, R dan: ( ) (c a)(c b) P(u, c, a, b) P(sup(X(t) > c X(0) = a, X(u) = b) = exp 2 uσ 2 (III.3) Met X(t) de waarde van X op tijdstip t [0, u] [7] Indien de beginwaarde X(0) en de eindwaarde X(u) bekend zijn kan men dus de kans berekenen op dat X(t) het interval (0, u) boven de barrière is geweest. Het algoritme simuleert nu onafhankelijke prijsprocessen en geeft de bijbehorende uitbetaling. De Monte-Carlomethode geeft dan een schatting van de prijs van de optie gebaseerd op de verschillende prijsprocessen. Per prijsproces worden nu eerst het aantal sprongen en vervolgens de bijbehorende sprongtijden bepaald. Beginnend op tijdstip t = 0 met prijs van de onderliggende waarde S(0) = s 0 kan nu de prijs van de onderliggende op het moment van de eerstvolgende sprong (of het einde van de looptijd) t = JT 1 gesimuleerd worden met S(JT 1 ) = s 0 e N. Hierbij is N standaard normaal verdeeld met verwachting µjt 1 en met variantie σ 2 JT 1. Als de nieuwe prijs S(JT 1 ) boven de barrière ligt heeft er een knock-out plaatsgevonden en is de optie waardeloos geworden. Indien dat niet het geval is kan de kans worden bepaald dat de prijs van de onderliggende waarde toch de barrière heeft geraakt in tussenliggende tijd. Met een trekking uit de uniforme verdeling en deze kans wordt bepaald of de prijs van de onderliggende waarde inderdaad deze barrière heeft geraakt. Als dat het geval is, is de optie Out-of-the-Money. Indien dit niet zo is kan het algoritme worden herhaald tot aan het einde van de looptijd. Wanneer er tot op de expiratiedatum geen knock-out heeft plaatsgevonden wordt de optiewaarde behorend bij dit koersproces bepaald door: (S(T) K) + (III.4) Op de bijgevoegde cd is een implementatie van dit algoritme te vinden, de prijs van een Upand-Out barrieroptie met gekozen variabelen kan dan worden bepaald. 10

III.3 Gestratificeerde schatter prijs van een Up-And-Out barrieroptie Het stratificieren van deze schatter naar het aantal sprongen is mogelijk en dit kan variantiereductie geven en/of de rekentijd verkorten voor het verkrijgen van een even nauwkeurige schatter. Een gestratificeerd algortime onderscheidt drie gevallen voor het aantal sprongen N(T): Geval 1, Geen sprongen Geval 2, een m aantal sprongen Geval 3, meer dan m sprongen De verwachte opbrengst van de optie is dan gegeven door: E[UOC] = q m=0 = E[UOC N(T) = m]p m +E[UOC N(T) > q]p q (III.5) Met λt (λt)m P m = P(N(T) = m) = e m! P q = P(N(T) > q) De q moet zo gekozen worden dat P q klein genoeg is. Hier is q gekozen, zodat geldt: q λt + 3 λt (III.6) Het aantal onafhankelijke prijsprocessen dat gesimuleerd wordt voor de prijsbepaling van de optie is nu per sprongaantal (aantal P i ) afgerond op een geheel getal bij i sprongen. Waarbij aantal staat voor het totaal aantal runs voor de prijsbepaling van de optie. De Monte-Carlomethode geeft dan weer de uiteindelijke prijsbepaling gebaseerd op alle gesimuleerde onafhankelijke prijsprocessen. De simulatie bij de drie situaties die worden onderscheiden wordt nu nader verklaard. III.3.1 Geval 1, Geen sprongen In dit geval is de waarde van de optie analytisch te berekenen. Zoals beschreven door Rubinstein [10] geldt dan: UOC = s exp ((µ + σ 2 /2 r)t)((φ(d1) Φ(d2)) (B/s) (2(1+µ/σ2 )) (Φ(d3) Φ(d4))) K exp( rt)(φ(d5) Φ(d6)) (B/s) (2µ/σ2 )) (Φ(d7) Φ(d8)) (III.7) d5 = (ln(b/s 0 ) µt)/(σ T) d6 = (ln(k/s 0 ) µt)/(σ T) d1 = d5 σ T 11

d2 = d6 σ T d3 = d5 (2ln(B/s 0 ) + σ 2 T)/(σ T) d4 = d6 (2ln(B/s 0 ) + σ 2 T)/(σ T) d7 = d5 (2ln(B/s 0 ))/(σ T) d8 = d6 (2ln(B/s 0 ))/(σ T) Waarbij Φ de standaard normale distributie functie is. III.3.2 Geval 2, een m aantal sprongen Indien er wel sprongen zijn is de waarde niet analytisch te berekenen. De verwachting van UOC onder de voorwaarde dat er m sprongen zijn is hier: E m [UOC] = E[UOC N(T) = m] (III.8) Bij de simulatie hiervan wordt eerst de grootte van de m-sprongen, genoteerd als J m, gesimuleerd. Verder wordt J gedefinieerd als J = m n=1 J n De intrinsieke waarde van de optie is enkel positief (UOC > 0) indien K < S(T) < B. Er geldt daarom: E[UOC J] = E[UOC J, K < S(T) < B]P m (K < S(T) < B J) ( K = E[UOC J, K < S(T) < B]P J < S(T) < B ) J = E[UOC J, K < S(T) < B] Het is nu uit te rekenen wat [ ( ln( B Φ [ Φ s 0 J ) µt σ T ( ln( B s 0 J ) µt σ T ) Φ (III.9) ) ( ln( K s Φ 0 J ) µt )] σ T ( ln( K )] s 0 J ) µt σ is. Voor het berekenen van T E[UOC J, K < S(T) < B], worden eerst de sprongtijden JT berekend. Met JT i is de tijd behorend bij sprong i. Dit wordt gedaan door m keer onafhankelijk uniform te trekken uit [0, T]. Vervolgens worden de tijden geordend van laag naar hoog. Verder wordt JT 0 = 0 en JT m+1 = T gegeven. Dit geeft S(T) e X i = S(JT i) S(JT i 1 ) (III.10) m+1 S(T) = s 0 e i=1 X i (III.11) Alle X i s zijn onafhankelijke random variabelen met verwachting µ(jt i JT i 1 ) en met variantie σ 2 (JT i JT i 1 ) Definieer Y = m+1 X i, dan is de verwachting van Y gelijk aan µt en de variantie i=1 σ 2 T Verder is Y geconditioneerd. Het moet aan de voorwaarde voldoen, zodat K J < S(T) < B K B J. Dus Y moet tussen ln( s 0 J ) en ln( s 0 J ) liggen. Om dit te bewerkstelligen wordt eerst Y gegenereerd, waaruit vervolgens de X i s worden bepaald. Het volgende lemma maakt duidelijk hoe de X i s gekozen worden na het genereren van Y 12

Lemma 1. Laat X i met i = 1,..., n onafhankelijke normale random variabelen zijn. Met verwachting µ i en met variantie σ i. Definieer Y = n X i. Laat X1 de verdeling van X 1 hebben onder de voorwaarde Y = y. En laat voor i > 1, X i de verdeling van X i hebben on de voorwaarde X 1,...X i 1, dan X i is een normale random variabele met verwachting i=1 µ i + σ2 (Y i 1 j=1 X j n j=1 µ j ) nj=1 σ 2 j en met variantie σ 2 i ( 1 σ 2 i nj=1 σ 2 i ) Bewijs. De distributie van X i onder de voorwaarde: n i 1 X j = y X j j=1 j=1 Is gelijk aan de distributie van X i onder de voorwaarde X 1 = x 1,..., X i 1 = x i 1, Y = y Het lemma geldt nu, omdat de joint distributie van X i en van n X j bivariaat normaal is met correlatie σ i n j=1 σ2 j. Als Y bepaald is met verwachting µt en met variantie σ 2 T conditioneel op het feit dat het tussen ln(k/s 0 J) en ln(b/s 0 J) ligt. Dan kan nu met behulp van dit lemma, gegeven Y, de X 1 tot en met X m gegenereerd worden. Noteer Si = S i 1 e X i de waarde van S net voor de sprong en noteer S i = Si J i de prijs van de onderliggende waarde net na de sprong. Verder geldt S 0 = s 0. Indien niet alle waarden van Si en S i onder de barrière liggen is de waarde van de optie bij dit aandeelpad nul. Als deze waarden wel allen onder de barrière liggen moet nog worden gekeken of de barrière overschreden is tussen twee sprongen in. Dit is te berekenen met de formule gegeven bij III.3. Noteer met α n de conditionele kans dat de barrière niet is overschreden op het interval [JT i 1, JT i ] dan is de uitbetaling van het bijbehorende prijsproces gegeven door: j=1 e rt (S(T) K) + [Φ ( ln( B sj ) µt ) ( ln( K σ sj Φ ) µt )] m+1 T σ α n T n=1 (III.12) Merk hierbij op dat door term m+1 n=1 α n er eigenlijk niet één specifiek aandeelpad wordt gesimuleerd maar dat de optie met kans 1 m+1 n=1 α n waardeloos is en dus met nul vermenigvuldigd kan worden. En met de kans m+1 [ ( ) ( )] n=1 α n dat het de waarde e rt (S(T) K) + heeft. De factor ln( B ln( K Φ Φ is tot slot de kans waaronder het aandeelpad conditioneel sj ) µt σ T gesimuleerd is. sj ) µt σ T 13

III.3.3 Geval 3, meer dan m sprongen Om E[UOC N(T) > q] te simuleren, wordt per prijsproces het aantal sprongen Z uit de verdeling van het aantal sprongen getrokken onder de voorwaarde dat Z > q geldt. Vervolgens wordt de methode Geval 2 gevolgd met een Z aantal sprongen. Zo wordt E[UOC N(T) > q] geschat op basis van verschillende UOC onder de voorwaarde dat N(T) = Z voor Z die per prijsproces kan verschillen. 14

IV Verandering van de kansmaat Voor het berekenen van de raaktijd van de barrière evenals voor het berekenen van de exittijd, het moment waarop het prijsproces voor het laatst de waarde van de barrière heeft gehad, is het van belang dat de koers van de onderliggende waarde als een Brownse beweging zonder drift beschreven kan worden. Genoemde tijden zijn van belang voor het bepalen van de prijs van een Parijse optie. De hieronder beschreven verandering van de kansmaat zorgt ervoor dat de raaktijd en exittijd berekend kunnen worden aan de hand van een prijsproces zonder drift, hoewel het daadwerkelijke prijsproces wel drift vertoont. IV.1 Kansruimte Als (Ω, F,P) een kansruimte van een experiment is, dan is daar een kansmaat op te definiëren. Hierbij is Ω de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment. Verder is de filtratie F gedefinieerd als de verzameling van alle mogelijke gebeurtenissen, waarbij een gebeurtenis een deelverzameling van Ω is. Er geldt dat F de structuur van een σ-algebra heeft. Tot slot is P een functie P : F [, ] Als het onderstaande bovendien geldt is dit een kansmaat: P(Ω) = 1 P( i=1 f i) = i=1 P(f i ) voor elke disjuncte rij f 1, f 2,... in F IV.2 Radon-Nikodym afgeleide De verwachting van een continue functie h(z) op de continue stochast Z gedefinieerd op kansruimte (Ω, F, Q) met kansdichtheidsfunctie g, geeft de volgende verwachting ten opzichte van kansmaat Q: E Q [h(z)] = h(z)g(z)dz met verdelingsfunctie Q(Z z) = z g(x)dx voor z R Een nieuwe kansmaat is nu te definiëren: [ ] f(z) f(z(k)) P(A) = E Q 1 A = g(z) g(z(k)) dq(k) (IV.1) k A 15