Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix In deze grafische voorstelling zie je steden die met elkaar verbonden zijn door de Thalys. Onderstaande stamboom geeft een beeld van de familierelatie hebben als kind bij onze koninklijke familie. In deze voorbeelden vertonen de grafische voorstellingen dezelfde kenmerken.
Elke voorstelling is een verzameling knooppunten die onderling verbonden zijn door takken of wegen. Deze grafische voorstelling noemen we een graaf. Fietsroutenetwerk kent succes In de provincie West-Vlaanderen zijn de voorbije twaalf maanden meer dan 00 000 kaarten van het fietsroutenetwerk verkocht. Het fietsroutenetwerk laat fietsers toe de streek te verkennen. Daarbij stapt men af van circuits in lusvorm. In de plaats daarvan wordt een spinnenweb van fietsroutes opgesteld. Zo krijgen de fietsers de mogelijkheid om van de ene route naar de andere over te schakelen. Daarvoor heeft men 7 kaarten opgesteld en hun knooppunten wijzen de weg. In de hele provincie zijn er 648 knooppunten waarvan 20 in het Brugse Ommeland, 67 in de Leiestreek en 25 in de Westhoek. De bewegwijzering van de verschillende routes heeft één miljoen euro gekost. Bron: de Standaard 25.07.06 Verbindingsmatrix In een graaf kunnen knooppunten al of niet verbonden zijn. Het is mogelijk de getekende graaf voor te stellen door een matrix waarbij we de volgende afspraak maken: - minstens één rechtstreekse verbinding tussen twee knooppunten duiden we aan met, - als er geen rechtstreekse verbinding is tussen twee knooppunten schrijven we 0. De matrix van de graaf ziet er dan als volgt uit. naar A B C D van A 0 B 0 C 0 0 D 0 0 0 De matrix waarbij de bovenstaande afspraak geldt, noemen we een verbindingsmatrix. Uit deze verbindingsmatrix lees je onmiddellijk af dat - A met drie andere knooppunten verbonden is, - B en C met twee andere knooppunten verbonden zijn en B met zichzelf verbonden is, - D met één knooppunt verbonden is. Deze matrix is een vierkante matrix waarvan de elementen boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan de overeenkomstige elementen onder de hoofddiagonaal. Een verbindingsmatrix is dus een symmetrische matrix. 2
2 Directe-wegenmatrix De getekende graaf stelt verkeerswegen voor met vier knooppunten. Tussen de punten A en C zijn er twee wegen waarvan één met eenrichtingsverkeer. In het knooppunt B is er een weg getekend die in hetzelfde punt terugkomt. Zo n weg noemen we een lus. Tussen B en D en tussen C en B zijn er alleen gerichte wegen aangeduid. Ook hier is het mogelijk de gerichte graaf voor te stellen door een matrix. In de matrix geven we weer hoeveel wegen er zijn van het ene knooppunt naar het andere. De matrix van de gerichte graaf ziet er dan als volgt uit. naar A B C D van A 0 0 B 0 C 2 0 D 0 0 0 Deze matrix noemen we een directe-wegenmatrix. Overgangsmatrix In ons land werd op juli 200 de energiemarkt vrij gemaakt. Naast Electrabel (E) kwamen er andere energieleveranciers bij (A) zoals Nuon, Luminus, Ecopower,.... De liberalisering van de energiemarkt had tot doel dat elke klant vrij zijn eigen elektriciteitsleverancier kon kiezen. De volgende graaf bestaat uit de knooppunen E en A. De bijbehorende getallen stellen de overstap voor van klanten van de ene naar de andere leverancier. We veronderstellen hier dat 85% van de Electrabelklanten hun leverancier trouw blijven en dat 2% van de klanten van de nieuwe energieleveranciers na jaar terugkeert naar Electrabel. Van deze situatie tekenen we de gerichte graaf. We stellen de matrix op waarbij de elementen de kans op overgang weergeven. naar E A van E 0,85 0,5 A 0,02 0,98 Deze matrix noemen we een overgangsmatrix. Bij een overgangsmatrix is de som van de matrixelementen van eenzelfde rij gelijk aan. Omdat we met kansen werken is de som van de elementen op eenzelfde rij gelijk aan.
Nog even dit! Ook in de aardrijkskunde spelen overgangsmatrices een belangrijke rol. In deze disciplines worden ze migratiematrices, of nog, bevolkingsmatrices genoemd (zie opdrachten). DENES KÖNIG (884-944) De Hongaarse wiskundige Denes König (884-944) was de eerste die systematisch onderzoek deed naar grafen. Hij studeerde in Budapest en Göttingen en behaalde zijn doctoraat in 907. In dat jaar vervoegde hij het lerarenkorps van de Technische Hogeschool in Budapest. In Göttingen werd König beïnvloed door de lezingen van Minkowski in verband met het vierkleurenprobleem, een typisch grafenprobleem. Deze lezingen wekten de interesse van König voor de grafentheorie. Zijn boek Theorie der endlichen und unendlichen Graphen werd gepubliceerd in 96 en droeg in belangrijke mate bij tot de groeiende belangstelling voor de grafentheorie wereldwijd. Opdracht Stel de verbindingsmatrix op die behoort bij elke graaf... 2. 4. 4
Opdracht 2 Gegeven.. 2. 4. Gevraagd. Stel van elke graaf de verbindingsmatrix op. 2. Stel van elke graaf de directe-wegenmatrix op. Opdracht Hieronder zie je enkele voorbeelden van netwerken uit de informatica. Sternetwerk Ringnetwerk Elk apparaat is met een centraal punt verbonden. Busnetwerk Alle apparaten zijn verbonden door een ononderbroken ring. Boomnetwerk Elke apparaat is door juist één verbinding aangesloten op een volgende. De apparaten zijn vertakt verbonden. Gevraagd : Stel de verbindingsmatrix op voor elk van de bovenstaande netwerken. 5
Opdracht 4 Stel de verbindingsmatrix op van volgend elektrisch schema. 2 Twee- en driestapsverbindingen, Markovketen Een vertegenwoordiger van een firma moet dagelijks een aantal bedrijven bezoeken. Naargelang zijn agenda moet hij in de voormiddag in Mechelen of Brussel zijn. Op de middag wordt hij verwacht in Lier of Antwerpen. Hij beëindigt in de avond zijn bezoeken ofwel in Turnhout, Westerlo of Hasselt. - Onderstaand schema stelt het aantal reisroutes voor tussen de verschillende steden. Je kunt ook het aantal reisroutes voorstellen met behulp van hun directewegenmatrix. 6
naar L A van M 0 B 2 naar T W H van L 2 A 0 0 - We onderzoeken het aantal reisroutes die de vertegenwoordiger heeft om van Mechelen naar Turnhout, naar Westerlo en naar Hasselt te rijden. - We doen hetzelfde voor de reisroutes van Brussel naar Turnhout, naar Westerlo en naar Hasselt. Deze routes noemen we tweestapsverbindingen en kun je voorstellen door onderstaand schema en de bijbehorende matrix. naar T W H van M 2 B 4 2 We plaatsen de verschillende mogelijkheden in een boomdiagram. De getallen bij de takken geven het aantal directe wegen aan. Het bedoelde aantal tweestapsverbindingen kun je als volgt bepalen. 7
naar L TenA T L W ena W L HenA H van M 2+ 0 0 + 0 0 + 0 B 2 2+ 0 2 + 0 2 + naar L TenA T L W ena W L Hen A H 0 Je stelt vast dat deze matrix het product is van de matrices en 2 2. 0 0 De vertegenwoordiger heeft vanuit Mechelen twee mogelijkheden om naar Turnhout, één mogelijkheid om naar Westerlo en één mogelijkheid om naar Hasselt te rijden. Vanuit Brussel heeft hij vier mogelijkheden om naar Turnhout, twee mogelijkheden om naar Westerlo en drie mogelijkheden om naar Hasselt te rijden. 2 Twee- en driestapsverbindingen De directe-wegenmatrix van de getekende gerichte graaf ziet er als volgt uit: naar A B C van A 0 0 B C 0 2 0 Als je van A naar B gaat en vervolgens van B naar C dan spreken we van een tweestapsverbinding van A naar C. Zo is van C via de gerichte weg naar B en dan van B naar A een tweestapsverbinding van C naar A. Van A naar B en vervolgens van B naar A is een tweestapsverbinding van A naar A. Van B naar B en vervolgens van B naar B is een tweestapsverbinding van B naar B. Onderstaand schema stelt de tweestapsverbindingen voor tussen de verschillende knooppunten. 8
Uit deze figuur kunnen we het aantal tweestapsverbindingen met de bijbehorende matrix afleiden. naar A B C van A B 4 C 2 2 2 Uit kun je afleiden dat deze matrix het product is van de gegeven directe wegenmatrix met zichzelf, of nog deze matrix is het kwadraat van 0 0 de matrix. 0 2 0 9
Als je van A naar B, van B naar C en tenslotte van C naar B gaat dan spreken we van een driestapsverbinding van A naar B. Zo is van C naar B, van B naar B en van B naar A een driestapsverbinding van C naar A. Van B naar B, van B naar B en vervolgens van B naar B is ook een driestapsverbinding van B naar B. Volgen we dezelfde redenering als bij de tweestapverbindingen dan is naar A B C van A 4 de matrix die het aantal driestapsverbindingen weergeeft B 4 7 4 C 2 8 2 We stellen vast dat deze matrix de derdemacht is van de directe 0 0 wegenmatrix. 0 2 0 Voorbeelden van driestapsverbindingen Van A naar A is er driestapsverbinding, namelijk van A naar B, van B naar B en dan van B naar A. Van A naar B zijn er 4 driestapsverbindingen, namelijk - van A naar B, van B naar B en van B naar B, - van A naar B, van B naar C en van C naar B, - van A naar B, van B naar C en van C via de gerichte weg naar B, - van A naar B, van B naar A en van A naar B. Enz. Markovketen We hernemen de graaf met de bijbehorende overgangsmatrix waarbij de overstap beschreven wordt van klanten Electrabel naar andere leveranciers Nuon, Luminus, Ecopower,... en omgekeerd (zie blz. ). naar E A van E 0,85 0,5 A 0,02 0,98 Bij de aanvang van de liberalisering van de energiemarkt telt Electrabel 2960000 klanten. De andere leveranciers hebben op dat ogenblik 70000 klanten. Aan de hand van de gegevens kunnen we berekenen hoeveel klanten Electrabel en de andere leveranciers na jaar, na 2 jaar, enz... zullen hebben. 0
- Na jaar Voor Electrabel is dat 2960000 0,85 + 70000 0,02 = 257400. De andere leveranciers hebben dan 2960000 0,5 + 70000 0,98 = 52600 Het aantal klanten na jaar kun je ook berekenen met matrices als volgt: 0,85 0,5 [ 2960000 70000] = [ 257400 52600. 0,02 0,98 ] Je ziet dat in dit product de overgangsmatrix als tweede factor voorkomt. - Na 2 jaar 0,85 0,5 0,85 0,5 257400 52600 2960000 70000. 0,02 0,98 0,02 0,98 [ ] = [ ] = [ 250042 879958] - Als je jaar na jaar volgens deze prognose het aantal klanten berekent van Electrabel en van de andere energieleveranciers bekom je de volgende resultaten. 2 Bij Electrabel is er elk jaar een steeds kleinere afname van het aantal klanten. Bij de andere energieleveranciers is er elk jaar een steeds kleinere toename van het aantal klanten. Uiteindelijk zal de toestand evolueren naar een stabiele eindsituatie met 56 47 klanten voor Electrabel en 2 67 529 klanten voor de andere leveranciers. Dit is een voorbeeld van een Markovketen.
Een Markovproces is een proces waarbij de toestand in een volgende periode enkel afhangt van de overgangsmatrix en van de huidige toestand. Door berekeningen met steeds hogere machten van de overgangsmatrix bekomt men een Markovketen. Er is een evolutie naar een stabiele eindsituatie als na een aantal periodes de toestandsgetallen niet meer wijzigen. ANDREI ANDREYEVICH MARKOV (856-922) Markov werd geboren op 4 juni 856 in Ryazin in Rusland. Vanaf 876 studeerde hij aan de universiteit van Sint-Petersburg, waar hij in 886 professor werd. Aanvankelijk hield hij zich bezig met de getaltheorie en de analyse. Onder invloed van zijn leermeester Pafnuty Chebyshev concentreert hij zich na 900 op de kanstheorie. In deze periode ontstonden de Markovprocessen en de Markovketens. Een Markovproces is een stochastisch proces waarvan de toekomstige waarschijnlijkheidsverdeling enkel afhangt van het huidig moment en van de huidige toestand van het proces en onafhankelijk is van hoe die huidige toestand bereikt werd. Een Markovketen is het resultaat van één of meer Markovprocessen. Het werk van Markov lanceert de theorie van stochastische processen. In 92 was Norbert Wiener de eerste die zich mathematisch bezighield met een continu Markovproces. De basis voor een algemene theorie werd in de jaren dertig door Andrei Kolmogorov gelegd. Markov en Kolmogorov waren beiden ook poëzieliefhebbers. Markov stierf op 20 juli 922 in Sint-Petersburg in Rusland. Opdracht De volgende graaf geeft een overzicht van de verschillende mogelijkheden om vanuit twee bergdorpjes A en B het punt E bovenaan de berg te bereiken. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om van A naar E te gaan? Om van B naar E te gaan? Los dit op met behulp van directe-wegenmatrices. 2
Opdracht 2 Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om in 2 stappen van A naar E te gaan? Om in 2 stappen van A naar F te gaan? Bereken dit met beperkte directewegenmatrices. Opdracht 4 4 8 7 8 In deze gerichte graaf lees je af dat over een periode van vijf jaar /4 van de stadsbevolking in de stad blijft wonen en dat /4 ervan verhuist naar het platteland. Slechts /8 van de plattelandsbevolking verhuist naar de stad en 7/8 blijft op het platteland wonen.. Stel de gegevens voor met behulp van een migratiematrix. 2. Veronderstel dat er in de stad miljoen mensen wonen en op het platteland 7 miljoen. Bereken met behulp van matrices de nieuwe bevolkingsaantallen in de stad en op het platteland na 5 jaar.. Als je veronderstelt dat dezelfde evolutie zich opnieuw voordoet de volgende vijf jaar, bereken dan de bevolkingsaantallen na 0 jaar. Opdracht 4 Men bestudeerde gedurende de laatste drie jaar het migratiegedrag van een bevolking in drie gebieden A, B en C. Het schema stelt de verschillende migraties voor. Gevraagd. Stel de migratiematrix M op. 2. Aanvankelijk waren er in A 500 000 inwoners, in B 750 000 en in C 50 000. Bereken de nieuwe bevolkingsaantallen in A, B en C na drie jaar. Welk gebied heeft een bevolkingsaangroei? 75 % 8 % 8% 60 % 0 % 0 % 7% 22 % 40 %
Opdracht 5 Bepaal. de directe-wegenmatrix van deze graaf, 2. de matrix die alle tweestapsverbindingen van deze graaf voorstelt,. de matrix die alle driestapsverbindingen van deze graaf voorstelt. Opdracht 6 Een mythisch land bestaat uit drie provincies Adventura (A), Fantasia (F) en Utopia (U) met een totale populatie van 24 000 personen, 6 000 inwoners in Adventura, 8 000 in Fantasia en 0 000 in Utopia. Per decreet werd vastgelegd dat op het einde van elk jaar alle bewoners naar een andere provincie moeten verhuizen en dit volgens de volgende migratiematrix. van A naar A F U F U 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0. Maak de bijbehorende gerichte graaf van deze migratiematrix. 2. Bereken de bevolkingsaantallen in elk van de drie provincies na 0 jaar.. Bereken de bevolkingsaantallen in elk van de drie provincies na 20 jaar, na jaar, na 2 jaar, na jaar. Wat kan je besluiten? Opdracht 7 Een weermodel stelt voorop dat de kans dat in België - een droge dag gevolgd wordt door een droge dag 65 % is, - een droge dag gevolgd wordt door een dag met neerslag 5 % bedraagt, - een dag met neerslag gevolgd wordt door een dag met neerslag 90 % is, - een dag met neerslag gevolgd wordt door een droge dag 0 % bedraagt.. Stel de gerichte graaf op en vul de bijbehorende overgangsmatrix voor dit weermodel aan. naar droog neerslag van droog neerslag 2. Veronderstel dat het vandaag (dag 0) droog is. Dit geven we weer met de matrix [ 0 ]. Bereken de kans dat: - het overmorgen opnieuw droog is, - we na week nog altijd een droge dag hebben, - we na maand nog altijd van droog weer kunnen genieten. 4
. Ga na dat de Markovketen uit punt 2. evolueert naar een stabiele eindsituatie. 4. Herneem de berekening uit punt 2. met de veronderstelling dat het vandaag een 0. dag met neerslag is die we weergeven met de matrix [ ] Evolueert deze Markovketen ook naar een stabiele eindsituatie? 5. De matrix bij deze stabiele eindsituatie geeft de kansen weer op een droge dag of op een dag met neerslag en is onafhankelijk van het weer op de startdag. Welk is in België op lange termijn de kans op een droge dag? Welk is in België op lange termijn de kans op een dag met neerslag? 5
.5 Leslie-matrix.5. Vleermuizenpopulatie Al enkele jaren loopt een onderzoek naar de vleermuizenpopulatie in de mergelgrotten in de omgeving van Maastricht. Om na te gaan hoe de aantallen evolueren maakt men om de twee jaar een inventaris van de populatie van de kleine hoefijzerneus. Bij dit onderzoek beperkt men zich tot de vrouwelijke populatie om de modellen niet onnodig te verzwaren. Dit zijn de resultaten. (Gegevensbron: Wageningen Universiteit, university for life sciences) - De vrouwelijke vleermuizen worden ingedeeld in drie groepen: N is de groep van de vleermuizen tussen 0 en 2 jaar, T is de groep van de vleermuizen vanaf 2 en jonger dan 4 jaar, V is de groep van de vleermuizen van 4 jaar en ouder. - Bij de start van het onderzoek (periode 0) telt men: 60 vleermuizen in groep N, of nog, N(0) 60, 270 vleermuizen in groep T, of nog, T(0) 270, 80 vleermuizen in groep V, of nog, V(0) 80, - Enkel de vleermuizen uit groep T zijn vruchtbaar. Gemiddeld brengen de vrouwtjes uit deze groep 2/ vrouwelijke jongen groot. - De kans dat een vleermuis twee jaar oud wordt en dus naar groep T overgaat is 6. De kans dat een tweejarige vleermuis vier jaar wordt is. De kans dat een vleermuis uit groep V na twee jaar nog leeft is. Vanuit deze gegevens berekenen we het aantal vleermuizen in elke groep na periode (na 2 jaar): 2 N() 80 270 T() 60 6 60 N 6 T V V() 50 270+ 80 2
We stellen de evolutie van de aantallen van de eerste perioden schematisch voor. Stel N(n) het aantal vrouwelijke vleermuizen van nul tot twee jaar na n perioden. Stel T(n) het aantal vrouwelijke vleermuizen van twee tot vier jaar na n perioden. Stel N(n) het aantal vrouwelijke vleermuizen van vier jaar en ouder na n perioden. periode 0 (start van het onderzoek) periode (na twee jaar) periode 2 (na vier jaar) periode (na zes jaar) aantal in groep N aantal in groep T aantal in groep V N(0) 60 T(0) 270 V(0) 80 N() 80 T() 60 V() 50 N(2) 2 60 40 N() 2 0 20 T(2) 6 80 0 T() 6 40 6,67 Deze populatie kan eenvoudig gemodelleerd worden met de matrix 2 A 0 0 6 0 0 0. V(2) 60+ 50 70 V() 0+ 70, Op de eerste rij van A lees je de vruchtbaarheid van elke groep af. Op de tweede rij van A lees je van elke groep de kans af om na periode tot groep T te behoren: - de overlevingskans van groep N is 6, - van groep T blijft er geen enkele vleermuis in groep T, dus is de kans 0, - van groep V gaat er uiteraard geen enkel exemplaar naar groep T, dus is de kans 0. Op de derde rij van A lees je van elke groep de kans af om na periode tot groep V te behoren: - er gaat na periode geen enkele vleermuis uit groep N over naar groep V, dus is de kans 0, - van groep T gaat er van de populatie over naar groep V, - van groep V overleeft van de populatie en blijft dus in groep V. De matrix A is een Leslie-matrix.
.5.2 Leslie-matrix Een Leslie-matrix is een populatievoorspellingsmatrix die beschrijft hoe de aantallen levende wezens die in de huidige periode de verschillende deelpopulaties uitmaken de populatiesamenstelling in een periode later bepalen. Het is een speciaal soort overgangsmatrix. Leslie-matrices worden gebruikt om voorspellingen te doen over de omvang en opbouw van populaties, uitgaande van de veronderstelling dat de beschreven processen lineair verlopen en de gevonden constanten gelijk blijven. Een Leslie-matrix voor n verschillende deelpopulaties is een n n-matrix die er uitziet als volgt: v v2 v vn 2 vn vn p 0 0 0 0 0 0 p 2 0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p n 2 0 0 0 0 0 0 p n p n vruchtbaarheidsfactor van elke groep p is de overlevingskand van groep p 2 is de overlevingskand van groep 2 p is de overlevingskand van groep p n 2 is de overlevingskand van groep n 2 p n is de overlevingskand van groep n en p n is de overlevingskand van groep n.5. Gebruik van een Leslie-matrix We bestuderen opnieuw de vleermuizenpopulatie. N(0) - De populatie bij de start noteren we met de matrix X(0) T(0) V(0) 60 270 80. - De populatie na periode noteren we met de matrix X() 80 60 (zie schema). 50 Deze populatie kan je ook berekenen door gebruik te maken van de matrix 2 0 A 0 6 0 0 0. 6 X() A X(0) 0 0 2 0 0 0 80 80 60 50 60 270
- De populatie na 2 perioden is X(2) 40 0 70 (zie schema). Ook deze aantallen kan je berekenen met behulp van de matrix A. 2 X(2) = A X() 0 0 6 0 0 0 Of nog, 50 40 0 70 80 60 X(2) A X() A A X(0) A 2 X(0) 0 9 0 9 0 0 0 9 60 270 80 40 0 70. 8 9 - De populatie na 6 perioden wordt dan: 6 0 2 0 0 0 2 X(6) A X(5) A 2 X(4)... A 6 X(0) 0,498 0,704 2,0988. - De populatie na 7 perioden: X(7) A 7 X(0) 0,2469 0,082 0,820. 60 270 80 Na 7 perioden, of nog, na 4 jaar is de populatie vleermuizen per klasse kleiner dan. De kans dat er dan nog vleermuizen rondfladderen is relatief klein. Nog even dit! Je merkt op dat de matrix die de aantallen van de deelpopulaties weergeeft als tweede matrix voorkomt in de producten. Om na te gaan of het probleem ligt bij de voortplanting of eerder bij de overlevingskansen bepalen we het procentueel aandeel van elke klasse tegenover de totale populatie. Of nog, we bekijken de kans dat een vleermuis binnen een periode tot groep N, tot groep T of tot groep V behoort. - Bij de start 60+270+80 60 270 80 0,4444 44,44 % van de vleermuizen behoort tot groep N 0,, % van de vleermuizen behoort tot groep T 0,2222 22,22 % van de vleermuizen behoort tot groep V
- Na periode 80+60+50 80 60 50 0,465 0,58 0,846 - Na periode 2 40+0+70 40 0 70 0,2857 0,24 0,5 - Na periode 6 0,7682 0,498 0,704 2,0988 0,667 0,250 0,708 - Na periode 7,522 0,2469 0,082 0,820 0,24 0,074 0,74 We stellen vast dat er vooral vergrijzing van de vleermuizenbevolking optreedt. Het probleem zit dus bij de voortplanting. Onderzoeksopdracht Om de vleermuizenpopulatie voor uitsterven te behoeden, kan men, in theorie, het aantal jongen per periode vergroten. Om te onderzoeken wat het effect is van de verhoogde voortplanting vermenigvuldigen we de eerste rij van de matrix A met 2. Bepaal nu opnieuw de populatiesamenstelling en de grootte ervan na, 2, 0, en 20 perioden. Is de kleine hoefijzerneus op deze manier nog steeds bedreigd? LESLIEMATRIX De bioloog P.H. Leslie introduceerde in 945 in zijn artikel On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics een matrixmodel dat de populatie van planten en dieren voorspelt. Zijn studies waren een vervolg op het werk dat verricht is in het Bureau of Animal Population van de Oxford Universiteit. In zijn populatievoorspellingsmatrix, later Leslie-matrix genoemd, zijn alle elementen gelijk aan nul uitgezonderd de elementen van de bovenste rij en de elementen van de diagonaal onmiddellijk onder de hoofddiagonaal. Hogere machten van een Leslie-matrix geven informatie over de bewegingen tussen leeftijdscategorieën na verloop van meerdere omloopstijden. OPDRACHTEN: -5
Opdrachten Rendieren op het eiland South Georgia In 9 hebben walvisvaarders uit Noorwegen op het eiland South Georgia in het zuidelijk deel van de Atlantische Oceaan 0 rendieren losgelaten. Gedurende meer dan 40 jaar ging het zeer goed met deze populatie. In 958 waren er zelfs drieduizend rendieren. Vanaf dan neemt het aantal rendieren af. De vrouwelijke rendieren worden onderverdeeld in drie groepen: - groep : de rendieren tussen 0 en jaar, - groep 2: de rendieren van jaar, - groep : de rendieren van 2 jaar en ouder. Voor 958 nemen we aan dat er 750 rendieren tot groep behoorden, 500 tot groep 2 en 200 rendieren tot groep. R is de Leslie-matrix die de populatie om de twee jaar modelleert. V(0) is de matrix die de aantallen weergeeft van de drie groepen in 958. 0 0,45 0,9 R 0,7 0 0 V(0) 0 0,68 0, 750 500 200. Leg uit wat de matrixelementen van R betekenen. 2. Bereken V(), V(2), V(), V(0), V() en V(20).. Bekijk na de periode, 2,, 0, en 20 het procentueel aandeel van elke klasse ten opzichte van de totale populatie. 4. Sterft de rendierpopulatie uit door een te lage voortplantingscoëfficiënt of is de overlevingskans te klein? 2 Zebra s in Afrika In een wildpark in Afrika worden om de 5 jaar de zebra s geteld. De merries worden ingedeeld in drie leeftijdsklassen. We noemen M de groep van de merries van 0 tot en met 4 jaar, M 2 de groep vanaf 5 jaar tot en met 9 jaar en M de merries van 0 jaar en ouder.
In 970 waren er 200 M -merries, 88 M 2 -merries en 6 M -merries. Het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen uit de groepen M,M 2 en M zijn respectievelijk 0,; en in een periode van 5 jaar. Het percentage overlevende merries na 5 jaar voor de groep M is 66 %, voor de groep M 2 is dat 60 % en voor de groep M gaat het over 20 %.. Stel de Leslie-matrix op. 2. Welke is de vermoedelijke samenstelling van de zebrapopulatie in 975, in 2005 en in 2020?. Hoeveel merries zijn er in 970, in 975, in 2005 en in 2020? 4. Geef voor elk van deze jaartallen het procentueel aandeel van elke klasse tegenover de totale populatie. 5. Stabiliseert de verdeling zich over de drie klassen? Plantenpopulatie We onderzoeken de jaarlijkse samenstelling van een tweejarige plantensoort. Om de evolutie na te gaan verdelen we deze soort in drie ontwikkelingsstadia: - groep Z is de groep van de zaden, - groep E is de groep van de éénjarigen die zich nog niet voortplanten, - groep R is de groep van de tweejarigen of de reproductieve planten. Veronderstel dat men in het beginstadium 00 zaden, 0 eenjarige planten en tweejarige plant vond. Een jaar later vond men 0 6 zaden, was er éénjarige plant en ook tweejarige plant.. Stel de Leslie-matrix op. 2. Bereken de populatiesamenstelling na, 2, 5, 0 en jaar.. Stabiliseert de verdeling zich over de drie klassen na verloop van tijd? 4. Wat is de kans dat een zaadje uitgroeit tot een volwassen plant? 4 Neushoorns in Zuid-Afrika We onderzoeken de evolutie van de neushoornpopulatie in Zuid-Afrika om de tien jaar. De neushoorns verdelen we in vijf groepen: - groep : de neushoorns tussen 0 en 0 jaar, - groep 2: de neushoorns vanaf 0 jaar en jonger dan 20 jaar, - groep : de neushoorns vanaf 20 jaar en jonger dan 0 jaar, - groep 4: de neushoorns vanaf 0 jaar en jonger dan 40 jaar, - groep 5: de neushoorns vanaf 40 jaar.
Bij de start van het onderzoek telt men: 50 neushoorns in groep, 26 neushoorns in groep 2, 20 neushoorns in groep, 5 neushoorns in groep 4, neushoorns in groep 5. R is de Leslie-matrix die de populatie om de 0 jaar modelleert. 0 R 0,2, 0 0,7 0 0 0 0 0 0,6 0 0 0 0 0 0,8 0 0 0 0 0 0,. Leg uit wat de matrixelementen van R betekenen. 2. Voorspel de populatie na 0, 20, 0 en 40 jaar.. Ziet de toekomst voor de neushoorns er rooskleurig uit? 5 De knobbelzwaan in Nederland In een project uitgevoerd door personeel van het Centrum voor biometrie aan de universiteit van Wageningen, wordt de populatieontwikkeling van de knobbelzwaan in Nederland weergegeven met een matrixmodel. Men onderscheidt zes stadia in de ontwikkeling van de zwanen: S is de groep van de eieren en de pasgeborenen, S 2 is de groep van de jonge zwanen, S is de groep van de net niet volwassen zwanen, S 4 is de groep van de volwassen zwanen, S 5 is de groep van de oudere zwanen, S 6 is de groep van de bejaarden.
De matrix A beschrijft de situatie voor de knobbelzwanen in Nederland tijdens de normale jaren met een niet zo strenge winter. De matrix B beschrijft de populatieontwikkeling tijdens de jaren met een strenge winter. 0 A 0 0,5,5 0,64 0 0 0 0 0 0 0,6 0,5 0 0 0 0 0 0,2 0,80 0 0 0 0 0 0,05 0,8 0 0 0 0 0 0,04 0 B 0 0 0,5 0,64 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,6 0 0 0 0 0 0,04 0,69 0 0 0 0 0 0,0 0,69 0 0 0 0 0 0,0 Omdat de zes stadia niet even lang duren, zijn deze populatievoorspellingsmatrices geen Leslie-matrices. Om het verschil tussen de normale en de strenge winters na te gaan, nemen we als beginwaarde bijvoorbeeld 00 individuen in elk van de zes groeistadia.. Bereken de zwanenpopulatie na 0 normale winters. 2. Bereken de zwanenpopulatie als er eerst 9 normale winters zijn en daarna één strenge winter.. Bereken de zwanenpopulatie na 0 strenge winters. 4. Vergelijk de bekomen resultaten.