tripels van Pythagoras Jaap Top BI-RuG & DIAMANT 9 en 10 en 11 april 2019 (collegecarrousel, Groningen) 1
Over natuurlijke getallen en Pythagoras: c b a a 2 + b 2 = c 2 2
Oplossingen in natuurlijke getallen (dus a, b, c uit 1, 2, 3, 4, 5, 6,......) zijn er heel veel: (3, 4, 5) (6, 8, 10) (5, 12, 13) (99, 20, 101) (400235, 472668, 619357) (1008996235, 1533526668, 1835695357) 3
Voorbeelden in een patroon : (99, 20, 101) (9999, 200, 10001) (999999, 2000, 1000001) (99999999, 20000, 100000001) (9999999999, 200000, 10000000001) (dus steeds bij de voorste twee 9 s erbij, bij de middelste een extra 0, en bij de achterste twee 0-en erbij) Opgave: bedenk waarom inderdaad in elke rij van dit patroon geldt dat a 2 + b 2 = c 2 4
Zulke drietallen (a, b, c) van positieve gehele getallen met a 2 + b 2 = c 2 noemen we tripels van Pythagoras Pythagoras was een Griekse filosoof die tussen ongeveer 570 v.chr. en 495 v.chr. leefde 5
buste van Pythagoras in het Vaticaan museum 6
tripels van Pythagoras werden al bekeken meer dan 1000 jaar voordat Pythagoras leefde: zo is er een kleitablet, afkomstig uit de zuid-oost punt van het huidige Irak, waarop 15 zulke tripels in spijkerschrift staan de kleitablet (Plimpton 322, genoemd naar de Amerikaanse uitgever/filantroop George Arthur Plimpton die de tablet in 1936 schonk aan Columbia University waar deze nog steeds is) dateert uit de periode 1900 v.chr. tot 1600 v.chr. 7
vijftien rijtjes (c 2 /a 2, b, c) bovenste: b = 119, c = 169 dus a = 120 vierde rij: b = 12709, c = 18541 dus a = 13500 de elfde rij: b = 45, c = 75 en dus a = 60. In dit geval alles delen door 15 geeft een kleinere en bekende: (a, b, c ) = (4, 3, 5) 8
Hoe maken we alle tripels van Pythagoras? Definitie: Een tripel van Pythagoras (a, b, c) heet primitief als a en b geen deler d > 1 gemeenschappelijk hebben Dus (3, 4, 5) is primitief, maar (6, 8, 10) is het niet, en (60, 25, 65) ook niet 9
Geldt voor een tripel van Pythagoras (a, b, c) dat a = d a en b = d b met d > 1, dan is c 2 = a 2 + b 2 = d 2 (a 2 + b 2 ), dus c 2 is deelbaar door d 2. Daaruit volgt dat c deelbaar is door d, oftewel c = d c voor een natuurlijk getal c Bijgevolg is dan a 2 + b 2 = c 2, dus door vermenigvuldigen met d krijgen we (a, b, c) uit het kleinere tripel (a, b, c ) Voorbeeld: (6, 8, 10) en (15, 20, 25) krijgen we uit (3, 4, 5) 10
Nu nog alle primitieve tripels van Pythagoras maken (de overigen krijgen we door alles te vermenigvuldigen met d = 2, 3, 4, 5,...) Stelling: Is (a, b, c) een primitief tripel van Pythagoras, dan is één van de getallen a, b even en de andere oneven 11
Stelling: Is (a, b, c) een primitief tripel van Pythagoras, dan is één van de getallen a, b even en de andere oneven Bewijs: Is (a, b, c) zo n primitief tripel, dan zijn a, b niet allebei even (want anders hadden ze 2 als gemeenschappelijke deler) Ze kunnen ook niet beide oneven zijn, want als a = 2k + 1 en b = 2l + 1 voor gehele getallen k, l, dan c 2 = a 2 + b 2 = 4k 2 + 4k + 4l 2 + 4l + 2. Hier zie je dat c 2 even is, en dus is c dat ook. Maar ook zie je dat c 2 niet deelbaar is door 4, terwijl het kwadraat van een even getal natuurlijk wel door 4 deelbaar is! Conclusie: a, b beide oneven is onmogelijk Dus is een van beide even en de andere oneven 12
Afspraak: in een primitief tripel van Pythagoras eisen we vanaf nu (door zonodig a en b te verwisselen) dat a oneven is, en b even. Dus goede primitieve tripels [kleitablet]: (119, 120, 169) (3367, 3456, 4825) (4601, 4800, 6649) en geen goede: (4,3,5) (b niet even); (6,8,10) (niet primitief); (1,2,3) (a 2 + b 2 c 2 ). 13
Nu alle goede primitieve tripels maken: is (a, b, c) er eentje, dan voldoet x = a/c, y = b/c aan x 2 + y 2 = 1 met andere woorden: ( a c, c b ) is een punt op de eenheidscirkel (x 2 + y 2 = 1), met beide coördinaten breuken, en beide coördinaten positief 14
Gegeven Q = (r, s) op de eenheidscirkel met r, s > 0 en r, s breuken, neem de lijn l door Q en P = (0, 1) l Q = (r, s) P = (0, 1) Dan l: y = hx 1, met helling h = s+1 r een breuk, en 1 < h < 15
Q = (r, s) l P = (0, 1) Omgekeerd: neem als helling een breuk h met 1 < h < en daarbij de lijn l: y = hx 1 door P = (0, 1) We kijken waar (behalve in P ) deze lijn de eenheidscirkel snijdt: een snijpunt (x, y) voldoet aan { y = hx 1 x 2 + y 2 = 1 16
Vul y = hx 1 in in de vergelijking x 2 + y 2 = 1, dat geeft dus (1 + h 2 )x 2 2hx = 0 x 2 + (hx 1) 2 = 1, Een oplossing is x = 0, en daarbij hoort y = hx 1 = 1: zo vinden we het snijpunt P = (0, 1) weer De andere oplossing voldoet aan (1+h 2 )x 2h = 0, dus x = 2h 1+h 2 Daarbij hoort y = hx 1 = h 2h 1+h 2 1 = 2h2 1+h 2 1+h2 1+h 2 = h2 1 1+h 2 Snijpunt dus Q = (r, s) = ( ) 2h 1+h 2, h2 1 1+h 2 17
Conclusie: de punten Q = (r, s) op de eenheidscirkel met r, s > 0 breuken krijg je, door een breuk h > 1 te nemen en dan Q = (r, s) = ( 2h 1+h 2, h2 1 1+h 2 ) y = hx 1 Q = ( 2h 1+h 2, h2 1 1+h 2) P = (0, 1) 18
We gaan nu van zo n breuk h > 1 via het punt Q op de cirkel naar een primitief tripel van Pythagoras Schrijf h = t/n (teller gedeeld door noemer) met t, n geheel en positief. De eis h > 1 betekent dat t > n We mogen en zullen aannemen, dat deze breuk niet verder te vereenvoudigen is. Dus: er is geen gehele d > 1 die zowel t als n deelt. Substitueer h = t/n in r = 2h 1+h 2 en in s = h2 1 1+h 2: 19
dat levert en r = 2t/n 1 + (t/n) 2 = 2tn n 2 + t 2, s = (t/n)2 1 1 + (t/n) 2 = t2 n 2 n 2 + t 2. De eigenschap r 2 + s 2 = 1 vertaalt zich, door vermenigvuldigen met (n 2 + t 2 ) 2, in (2tn) 2 + (t 2 n 2 ) 2 = (t 2 + n 2 ) 2 Dus (2tn, t 2 n 2, t 2 + n 2 ) is een tripel van Pythagoras! Voor welke t, n is hier een goed primitief tripel (a, b, c) van te maken? 20
We hebben (2tn, t 2 n 2, t 2 + n 2 ) met t > n > 0 gehele getallen en t/n niet verder te vereenvoudigen Dan zijn t en n niet beide even (want anders was t/n wél verder te vereenvoudigen) Zou van t, n er één even en één oneven zijn, dan is t 2 n 2 oneven. Dus in dat geval krijgen we zeker geen goed primitief tripel Wat overblijft, is het geval dat t, n beide oneven zijn. In dit geval is t 2 n 2 even, dus elk van a, b, c is dat. Nieuw tripel: (tn, (t 2 n 2 )/2, (t 2 + n 2 )/2) Claim: deze is primitief en goed 21
Stelling: Zijn t > n > 0 geheel en t, n niet beide oneven en niet beide deelbaar door een d > 1, dan is (tn, (t 2 n 2 )/2, (t 2 + n 2 )/2) een primitief goed tripel, en alle primitieve goede tripels krijg je zo Bewijs: per constructie is het een tripel van Pythagoras. Omdat a = tn oneven is, moet dan wel b = (t 2 n 2 )/2 even zijn. Zou het tripel niet primitief zijn, dan was er een priemgetal p dat zowel a = tn als b = (t 2 n 2 )/2 deelt. Maar als p het product tn deelt, dan deelt p ofwel t, ofwel n, maar niet beide. En dus kan p ook niet t 2 n 2 delen, dus evenmin b. Einde bewijs. 22
We kunnen nu alle tripels van Pythagoras maken, en nu gaan we dat een beetje meer systematisch doen Namelijk, door op een geordende manier alle breuken h = t/n met t, n oneven en positief en h > 1, oftewel t > n te construeren Op een heel andere manier dan we hier zullen doen, werd dit voor het eerst gevonden in 1934 door de Zweed B. Berggren en daarna opnieuw in 1963 door de Nederlander F.J.M. Barning Notatie: We schrijven Q on teller als noemer oneven >1 voor de breuken t/n > 1 met zowel 23
Hier zijn drie functies, waarvan we laten zien dat ze Q on >1 weer binnen Q on >1 afbeelden: f 3+ : x x + 2, f 23 : x 2 + 1 x, f 12 : x 2 1 x. 24
Bijbehorende grafieken: f 3+ en f 23 en f 12 25
Als x > 1, dan f 3+ (x) = x + 2 > 3. Vandaar de naam. En zijn t, n oneven, dan f 3+ ( n t ) = n t + 2 = t+2n n, dus beeldt f 3+ de getallen in Q on >1 weer op getallen in Qon >1 af Als x > 1, dan geldt 0 < 1 x < 1, en daarom ligt f 23(x) = 2 + 1 x tussen 2 en 3, en f 12 (x) = 2 1 x tussen 1 en 2 Verder is voor t, n oneven f 23 ( n t ) = 2 + n t = 2t+n t f 12 ( n t ) = 2 n t = 2t n t en Zo zie je dat ook deze functies Q on >1 weer binnen Qon >1 afbeelden 26
Voor het beeld van de drie functies zien we dus: Elke t/n in Q on >1 met t/n > 3 zit in het beeld van f 3+ (het is namelijk het beeld van t 2n n ), maar zo n t/n zit niet in het beeld van de andere twee functies Elke t/n in Q on >1 met 2 < t/n < 3 zit in het beeld van f 23 (het is namelijk het beeld van t 2n n ), maar zo n t/n zit niet in het beeld van de andere twee functies Elke t/n in Q on >1 met 1 < t/n < 2 zit in het beeld van f 12 (het is namelijk het beeld van 2n t n ), maar zo n t/n zit niet in het beeld van de andere twee functies Er blijft nog precies één getal in Q on >1 over, namelijk 3 = 3 1. Die is niet het beeld van een getal uit Q on >1 onder een van de drie functies 27
Observatie: voor elke t, n oneven en geheel met t > n > 0 (dus t/n in Q on >1 ) geldt, dat in f 3+(t/n) en in f 23 (t/n) en in f 12 (t/n) ofwel de teller, ofwel de noemer ook voorkomt in t/n. En de ander van teller/noemer is strict groter dan de andere in t/n In formules: f 3+ ( n t ) = t+2n n, en t + 2n > t; f 23 ( t n ) = 2t+n t, en 2t + n > n; f 12 ( t n ) = 2t n t, en 2t n > n. Combineer dit met wat we over het beeld van de drie functies weten: 28
Stelling: Elke t/n 3 in Q on >1 is het beeld van een k/l uit Qon >1 onder precies één van de drie functies f 3+, f 23, f 12. Hier komt k of l ook voor als teller of noemer in t/n, en de ander van het paar (k, l) is strict kleiner dan de ander van het paar (t, n) Zo kan je van een t/n in Q on >1 de teller en noemer steeds kleiner maken... tot je uitkomt bij 3 29
voorbeeld: 111 49 f 49 23 13 f 3+ 23 13 f 13 12 3 f 3+ 7 3 f 23 3 30
9 7 19 7 17 5 21 13 31 13 23 5 19 11 25 11 17 3 15 11 29 11 25 7 27 17 41 17 31 7 23 13 29 13 19 3 13 9 23 9 19 5 17 11 27 11 21 5 13 7 15 7 9 7 5 13 5 11 3 11 7 17 7 13 3 9 5 11 5 7 5 3 7 3 5 3 31
Van Q on >1 naar goede primitieve tripels: t/n (a, b, c) = ( tn, t2 n 2, t2 + n 2 2 2 met dus tn = a, t 2 = b + c, en n 2 = c b. Dan ( f 3+ ( n t ) = t+2n n levert tn + 2n 2, (t+2n)2 n 2 2, (t+2n)2 +n 2 ) 2, en dat is (a 2b + 2c, 2a b + 2c, 2a 2b + 3c), ( f 23 ( n t ) = n+2t t levert nt + 2t 2, (n+2t)2 t 2 2, (n+2t)2 +t 2 ) 2, en dat is (a + 2b + 2c, 2a + b + 2c, 2a + 2b + 3c), ( f 12 ( n t ) = 2t n t levert 2t 2 nt, (2t n)2 t 2 2, (2t n)2 +t 2 ) 2, en dat is ( a + 2b + 2c, 2a + b + 2c, 2a + 2b + 3c). ), 32
(a 2b + 2c, 2a b + 2c, 2a 2b + 3c) f 3+ (a, b, c) f 23 (a + 2b + 2c, 2a + b + 2c, 2a + 2b + 3c) f 12 ( a + 2b + 2c, 2a + b + 2c, 2a + 2b + 3c) 33
Het basiselement in Q on >1 is 3 = 3/1, en daarbij hoort het tripel (3, 4, 5) Hieruit zijn ze dan allemaal te maken, hier een begin: 34
(5, 12, 13) (3, 4, 5) (21, 20, 29) (15, 8, 17) (7, 24, 25) (55, 48, 73) (45, 28, 53) (39, 80, 89) (119, 120, 169) (77, 36, 85) (33, 56, 65) (65, 72, 97) (35, 12, 37) 35
36