Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: mengsels 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen. 2. Oefeningen uit vorige examens 1997 Juni Vraag 9 Als de volgende zoutoplossingen 1 en 2 (NaCl in water) gemengd worden, welke van de mengsels A, B, C of D heeft dan een NaCl-concentratie die groter is dan 9 g/l? A. oplossing 1: 0.5 liter met 10 g/l NaCl oplossing 2: 4,5 liter met 8 g/l NaCl B. oplossing 1: 2 liter met 15 g/l NaCl oplossing 2: 3 liter met 5 g/l NaCl C. oplossing 1: 3 liter met 15 g/l NaCl oplossing 2: 2 liter met 5 g/l NaCl D. oplossing 1: 4.5 liter met 10 g/l NaCl oplossing 2: 0,5 liter met 0 g/l NaCl 1997 Augustus Vraag 5 Als de volgende suiker-in-water oplossingen 1 en 2 gemengd worden, welke van de mengsels heeft dan een suikergehalte dat kleiner is dan 45 g/l? A. oplossing 1:4 liter met 50 g/l suiker oplossing 2: 1 liter met 25g/l suiker B. oplossing 1: 3liter met 70 g/l suiker oplossing 2: 2 liter met 5 g/l suiker C. oplossing 1: 2 liter met 105 g/l suiker oplossing 2: 3 liter met 5 g/l suiker D. oplossing 1: 0.5 liter met 360 g/l suiker oplossing 2: 4,5 liter met 10 g/l suiker dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2
2000 Juli Vraag 1 Hoeveel liter van een glucose-oplossing met 70 mmol/l glucose moet men toevoegen aan 2 liter glucose-oplossing met 2 mmol/l glucose om een glucose-concentratie van 10 mmol/l te bekomen? A. minder dan 0,22 liter B. 0,22 liter of meer, maar minder dan 0,24 liter C. 0,24 liter of meer, maar minder dan 0,26 liter D. 0,26 liter of meer 2001 Augustus Vraag 3 Een bioloog heeft voor een experiment met muizen een voedselmengsel nodig dat, buiten andere stoffen, bestaat uit 23g proteïne; 6,2 g vet en 16g vocht. Hij beschikt over mengsels met de volgende samenstelling: Proteïne (%) vet (%) vocht (%) Mengsel 1 20 2 15 Mengsel 2 10 6 10 Mengsel 3 15 5 5 Welke van de volgende hoeveelheden van mengsel 1 moet de bioloog gebruiken om, in combinatie met gepaste hoeveelheden van mengsel 2 en 3, het gevraagde voedselmengsel te bekomen? A. 30 g B. 40 g C. 50 g D. 60 g 2002 Juli Vraag 8 Een bioloog heeft voor een experiment met muizen een voedselmengsel nodig dat, buiten andere stoffen, bestaat uit 28g proteïne; 7 g vet en 15g vocht. Hij beschikt over mengsels met de volgende samenstelling: Proteïne (%) vet (%) vocht (%) Mengsel 1 20 0 10 Mengsel 2 20 10 20 Mengsel 3 30 10 10 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 3
Welke van de volgende hoeveelheden van mengsel 3 moet de bioloog gebruiken om, in combinatie met gepaste hoeveelheden van mengsel 1 en 2, het gevraagde voedselmengsel te bekomen? A. 30 g B. 40 g C. 50 g D. 60 g 2008 Augustus Vraag 1 Men heeft 3 geldbuideltjes. Samenstelling 5 stukken van 0,5 euro; 3 stukken van 0,2 euro en 2 stukken van 0,1 euro 4 stukken van 0,5 euro; 2 stukken van 0,2 euro en 3 stukken van 0,1 euro 3 stukken van 0,5 euro; 4 stukken van 0,2 euro en 5 stukken van 0,1 euro Een man neemt 12 geldbuideltjes, met van elke soort minstens 1. I totaal heeft men dan 49 stukken van 0,5 euro en 37 stukken van 0,1 euro. Hoeveel stukken van 0,2 euro heeft hij dan in het totaal? A. 31 B. 35 C. 36 D. 37 2009 Juli Vraag 7 Je hebt een oplossing van 20% en een van 5%. Hoeveel moet je van oplossing 1 gebruiken om een mengsel te krijgen van 10 cl van 15,5%? A. 3cl B. 4cl C. 5cl D. 7cl 2011 Juli Vraag 10 We beschikken over een onbeperkte hoeveelheid alcoholoplossing A van onbekende concentratie. 10 liter 60% alcoholoplossing B. Om 30 liter 40% alcoholoplossing te bekomen kan men de 10 liter van oplossing B aanlengen met oplossing A. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 4
Hoeveel bedraagt de alcoholconcentratie van alcoholoplossing A? A. 30% B. 25% C. 20% D. 15% 2011 Augustus Vraag 10 Hoeveel ml van een oplossing met een concentratie van 50% moet men toevoegen aan 15 ml van een andere oplossing met een concentratie van 40% om een oplossing te bekomen met een concentratie van 46% A. 10 ml B. 20 ml C. 22,5 ml D. 25 ml 2012 Juli Vraag 8 versie 1 In de ziekenhuisapotheek zijn twee actieve stoffen A en B beschikbaar als mengsels. Men beschikt over een stock van 2 soorten mengsels, mengsel 1 en mengsel 2. De samenstelling van deze twee mengsels is in de volgende tabel weergegeven. Mengsel 1 Mengsel 2 A 20% 5% B 10% 15% De apotheker mengt een hoeveelheid mengsel 1 met een andere hoeveelheid mengsel 2. Hij bekomt een nieuw mengsel met 80 mg actieve stof A en 50 mg actieve stof B. Welke hoeveelheid van dit nieuwe mengsel bekomt hij dan? A. 640 mg B. 460 mg C. 880 mg D. 560 mg 2012 Juli Vraag 8 versie 2 In de ziekenhuisapotheek zijn twee actieve stoffen B1 en B2 beschikbaar als mengsels. Men beschikt over een stock van 2 soorten mengsels, mengsel 1 en mengsel 2. De samenstelling van deze twee mengsels is in de volgende tabel weergegeven. dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 5
Mengsel 1 Mengsel 2 B1 20% 5% B2 10% 15% De apotheker mengt 80 mg van mengsel 1 met 50 mg van mengsel 2. Hoeveel bedraagt de totale massa actieve stof in dit nieuwe mengsel? A. 24 mg B. 28 mg C. 34 mg D. 52 mg 2012 Augustus Vraag 10 In de afdeling voedingssupplementen beschikt men over twee basismengsels. Mengsel 1 bevat 20% proteïne en 1% vet Mengsel 2 bevat 15% proteïne en 7% vet Na het samenvoegen van de twee mengsels heeft men 52g mengsel, waarvan 10g proteïnen. Welke massa vet bevindt zich in het mengsel? A. 0,64 g B. 0,84 g C. 1,00 g D. 1,12 g 2014 Juli Vraag 6 We beschikken over drie geconcentreerde zuuroplossingen: Oplossing 1: 40% Oplossing 2: 30% Oplossing 3: 80% We gebruiken 50 liter van oplossing 1, z liter van oplossing 2, en a liter van oplossing 3 om 100 liter oplossing van 39% te bekomen. Hoeveel van oplossing 3 heeft men dan gebruikt? A. 6 liter B. 8 liter C. 10 liter D. 12 liter dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 6
2014 Augustus Vraag 6 We maken een mengsel van 3 oplossingen: oplossing 1 bevat 30% alcohol en hiervan nemen we 28 liter, van oplossing 2 nemen we 52 liter en van oplossing 3 nemen we 20 liter. We bekomen dan een mengsel van 55% alcohol. Wanneer we nu de hoeveelheden van oplossing 1 en 3 omwisselen krijgen we een mengsel van 59,8%. Hoeveel % alcohol heeft oplossing 2 dan? A. 50% B. 55% C. 60% D. 68% dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 7
3. Oplossingen oefeningen 1997 Juni Vraag 9 Gegeven: zoutoplossingen 1 en 2 (NaCl in water) gemengd worden Gevraagd: welke van de mengsels A, B, C of D heeft een NaCl-concentratie die groter is dan 9 g/l? A. oplossing 1: 0.5 liter met 10 g/l NaCl oplossing 2: 4,5 liter met 8 g/l NaCl B. oplossing 1: 2 liter met 15 g/l NaCl oplossing 2: 3 liter met 5 g/l NaCl C. oplossing 1: 3 liter met 15 g/l NaCl oplossing 2: 2 liter met 5 g/l NaCl D. oplossing 1: 4.5 liter met 10 g/l NaCl oplossing 2: 0,5 liter met 0 g/l NaCl Oplossing A: 0,5 + 4,5 liter bevat 0,5.10 + 4,5.8 = 41 g Dat is een concentratie van 41/5 <9 Oplossing B: 2+3 liter bevat 30+15 = 45 g Dat is een concentratie van 45/5 = 9 Oplossing C: 2+3 liter bevat 45+10 = 55 g Dat is een concentratie van 55/5>9 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 5 Gegeven: Meng oplossing 1 en 2 van de volgende suiker-in-water oplossingen 1 A. oplossing 1:4 liter met 50 g/l suiker oplossing 2: 1 liter met 25g/l suiker B. oplossing 1: 3liter met 70 g/l suiker oplossing 2: 2 liter met 5 g/l suiker C. oplossing 1: 2 liter met 105 g/l suiker oplossing 2: 3 liter met 5 g/l suiker D. oplossing 1: 0.5 liter met 360 g/l suiker oplossing 2: 4,5 liter met 10 g/l suiker dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 8
Gevraagd: Welke van de mengsels heeft suikergehalte kleiner dan 45 g/l? Bij mengsel A: 4 + 1 liter bevat 4,5 + 1,25 = 225 g De concentratie is dan 225/5 = 45 Bij mengsel B: 3 + 2 liter bevat 3,70 + 2,5 = 220 g De concentratie is dan 220/5 = 44 Antwoord B 2000 Juli Vraag 1 Gegeven: mengsel van een glucose-oplossing met 70 mmol/l glucose en 2 liter glucoseoplossing met 2 mmol/l glucose. Glucose-concentratie: 10 mmlol/l Gevraagd: hoeveel liter van glucose-oplossing met 70 mmol/l glucose gebruiken om glucoseconcentratie van 10 mmol/l te bekomen? (x.70 + 2.2)/(x+2) = 10 70x + 4 = 10(x+2) 70x + 4 = 10x + 20 60x = 16 x = 16/60 = 0,266 Antwoord D 2001 Augustus Vraag 3 Gegeven: Bioloog beschikt over mengsels met de volgende samenstelling: Proteïne (%) vet (%) vocht (%) Mengsel 1 20 2 15 Mengsel 2 10 6 10 Mengsel 3 15 5 5 Voedselmengsel 23 g proteïne, 6,2 g vet en 16 g vocht dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 9
Gevraagd: Welke van de hoeveelheden van mengsel 1 moet de bioloog gebruiken om, in combinatie met gepaste hoeveelheden van mengsel 2 en 3, het gevraagde voedselmengsel te bekomen? Kijk binnen de kolom proteïne: om 23 g te verkrijgen moeten we 20% van mengsel 1 (=x) optellen met 10% van mengsel 2 (=y) en 15% van mengsel 3 (=z) en deze vergelijking gelijk stellen aan 23 g. Hetzelfde doen we voor vet en vocht. We krijgen dan het volgende stelsel: 0,20x + 0,10y + 0,15z = 23 0,02x + 0,06y + 0,05z = 6,2 0,15x + 0,10y + 0,05z = 16 Rij 3 rij2 : 0,13x+0,04y = 9,8 y = (9,8-0,13x)/0,04 Rij 1 rij 3: 0,05x+0,10z = 7 z = (7-0,05x)/0,10 Vul y en z in in de eerste vergelijking en los op naar x: 0,20x + 0,10 (,,, )= 0,15(,, ) = 23 0,20x +,, 9.8 -,, 0,13x +,, 7 -,.,, = 23 0,20x + 9.8-0,13x + 7 -., = 23 0,20x + -, x +, 7 -,., = 23 0,20x -, x -1,5.0,05x = 23 24,5 10,5 0,20x 0,325x 0,075x = -12-0,20x = -12 x = -12/-20 = 60 Antwoord D 2002 Juli Vraag 8 Gegeven: Bioloog beschikt over mengsels met de volgende samenstelling: dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 10
Proteïne (%) vet (%) vocht (%) Mengsel 1 20 0 10 Mengsel 2 20 10 20 Mengsel 3 30 10 10 Voedselmengsel: 28 g proteïne; 7 g vet en 15g vocht Gevraagd: Welke van de hoeveelheden van mengsel 3 moet de bioloog gebruiken om, in combinatie met gepaste hoeveelheden van mengsel 1 en 2, het gevraagde voedselmengsel te bekomen? Kijk in eerste kolom: om 28 g proteïne te verkrijgen heb je 0,20x + 0,2y + 0,3z nodig. Doe hetzelfde voor vet en vocht en je krijgt het volgende stelsel 0,2x + 0,2y + 0,3z = 28 0,1y + 0,1z = 7 0,1x + 0,2y + 0,1z = 15 Rij3 rij2 : 0,1x +0,1y = 8 0,1 x = 8-0,1y Rij 1 rij 3 en schrijf rij 2 over: 0,1x + 0,2z = 13 0,1y + 0,1z = 7 Vervang 0,1x door 8-0,1y in de eerste vergelijking: 8-0,1y + 0,2z = 13 0,1y + 0,1z = 7 0,1y + 0,2z = 5 0,1y + 0,1z = 7 Rij1 + rij2 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 11
0,3z = 12 Z: 12/0,3 = 120/3 = 40 Antwoord B 2008 Augustus Vraag 1 Gegeven: 3 geldbuideltjes met volgende samenstelling 5 stukken van 0,5 euro; 3 stukken van 0,2 euro en 2 stukken van 0,1 euro 4 stukken van 0,5 euro; 2 stukken van 0,2 euro en 3 stukken van 0,1 euro 3 stukken van 0,5 euro; 4 stukken van 0,2 euro en 5 stukken van 0,1 euro Een man neemt 12 geldbuideltjes, met van elke soort minstens 1. In totaal heeft men dan 49 stukken van 0,5 euro en 37 stukken van 0,1 euro. Gevraagd: Hoeveel stukken van 0,2 euro heeft hij dan in het totaal? Oplossing Aantal bundels van samenstelling 1 (x) + aantal bundels van samenstelling 2 (y) + aantal bundels van samenstelling 3(z) = 12 bundels Kijk naar kolom met 0,5 euro om het totaal aantal 0,5 euro s te berekenen (dat volgens zoals gegeven gelijk moet zijn aan 49): 5.x + 4.y +3.z = 49 Doe hetzelfde voor de 0,1 eurostukken: 2.x +3.y+5.z = 37 Je krijgt 3 vergelijkingen en dus volgend stelsel: x+y+z = 12 5x+4y+3z = 49 2x+3y+5z = 37 Rij 3 2.rij1 y +3z = 13 (= vgl. A) Rij 2 5rij1 -y-2z = -11 (= vgl B) Tel vgl A en vgl B op, zodat y wegvalt: z = 2 y = 13-3.2 = 7 (z invullen in vergelijking A) dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 12
Nu kan je x berekenen uit: x+y+z =12 x =12-7-3 = 3 Bereken nu het aantal stukken van 0,2 euro: 3 stukken van eerste bundels (x) + 2 stukken van tweede bundels (y) + 4 stukken van derde bundels (z) = 3.3+2.7+4.2 = 31 Antwoord A 2009 Juli Vraag 7 Gegeven: een oplossing van 20% en een van 5%. Eindmengsel van 10 cl van 15,5% Gevraagd: hoeveel van oplossing 1 gebruiken? Stel: x= hoeveelheid van mengsel 1 en y = hoeveelheid van mengsel 2 0,2x + 0,05y = 0,155.10cl X+y = 10 cl x = 10-y 0,2 (10-y) + 0,05y = 0,155.10-0,2y +0,05y = 1,55-2 -0,15y = -0.45 Y = 0,45/0,15 = 45/15 = 3 X = 10-y = 7 Antwoord D dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 13
2011 Juli Vraag 10 Gegeven: onbeperkte hoeveelheid alcoholoplossing A van onbekende concentratie. 10 liter 60% alcoholoplossing B. Om 30 liter 40% alcoholoplossing te bekomen kan men de 10 liter van oplossing B aanlengen met oplossing A. Gevraagd: alcoholconcentratie van alcoholoplossing A? Het mengsel is 30 liter waarvan 10 liter van oplossing B. Dan is er dus 30-10 = 20 liter van oplossing A. We zoeken de concentratie van oplossing A = x 30.0,40 = 20.x + 10.0,60 20x = -6 + 12 20x = 6 X = 6/20 = 0,3 = 30% Antwoord A 2011 Augustus Vraag 10 Gegeven: Concentratie van mengsel is 46%. Concentratie mengsel 1 = 50% Concentratie mengsel 2 = 40%, hoeveelheid mengsel 2 = 15 ml. Gevraagd: hoeveelheid van mengsel 1 0,5.x + 0,4.15 = 0.46.(x+15) 0,5x + 6 = 0,46x + 6,90 0,5x 0,46x = 0,90 0,04x = 0,90 C = 0,90/0,04 = 90/4 = 22,5 ml Antwoord C dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 14
2012 Juli Vraag 8 versie 1 Gegeven: twee actieve stoffen A en B beschikbaar als mengsels. Men beschikt over een stock van 2 soorten mengsels, mengsel 1 en mengsel 2. De samenstelling van deze twee mengsels is in de volgende tabel weergegeven. Mengsel 1 Mengsel 2 A 20% 5% B 10% 15% De apotheker mengt een hoeveelheid mengsel 1 met een andere hoeveelheid mengsel 2. Hij bekomt een nieuw mengsel met 80 mg actieve stof A en 50 mg actieve stof B. Gevraagd: hoeveelheid van dit nieuwe mengsel? x =hoeveelheid mengsel 1 en y = hoeveelheid mengsel 2 Opgelet: kijk naar de rijen om de hoeveelheid A en B te bekomen: 0.20x + 0.05y = 80 0,10x + 0,15 y = 50 20x + 5y = 8000 x = (8000-5y)/20 10x + 15 y = 5000 Vul in laatste vergelijking waarde van x van eerste vergelijking in: 10((8000-5y)/20 ) + 15 y = 5000 4000 2,5y +15y = 5000 12,5y = 1000 Y = 10000/125 = 2000/25 = 80 X = (8000-5.80)/20 = (8000-400)/20 = 760/20 = 380 X + y = 380+ 80 = 460 mg Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 15
2012 Juli Vraag 8 versie 2 Gegeven: actieve stoffen B1 en B2 beschikbaar als mengsels. Men beschikt over een stock van 2 soorten mengsels, mengsel 1 en mengsel 2. De samenstelling van deze twee mengsels is in de volgende tabel weergegeven. Mengsel 1 Mengsel 2 B1 20% 5% B2 10% 15% Hoeveelheid mengsel 1: 80 mg Hoeveelheid mengsel 2: 50 mg Gevraagd: totale masse actieve stof in dit nieuwe mengsel? Bereken massa actieve stof B1 0,20. 80 + 0.05.50 = 18,5 Bereken massa actieve stof B2 0.10.80 + 0,15.50 = 15,5 Totale massa actieve stof = 18,5 + 15,5 = 34 mg Antwoord C 2012 Augustus Vraag 10 Gegeven: twee basismengsels. Mengsel 1 bevat 20% proteïne en 1% vet Mengsel 2 bevat 15% proteïne en 7% vet Na het samenvoegen van de twee mengsels heeft men 52g mengsel, waarvan 10g proteïnen. Gevraagd: massa vet in het mengsel? De som van de massa s van de mengsels = 52 g. Stel x = massa mengsel 1 en y =massa mengsel 2. Dus krijgen we volgend stelsel: x + y = 52 0,20x + 0,15y = 10 dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 16
20x + 20y = 52. 20 20x + 15y = 1000 5y = 1040 1000 y = 8 x = 52 8 = 44 massa vet: 0,01.x + 0,07 y 0,44 + 0,56 = 1 g Antwoord C 2014 Juli Vraag 6 Gegeven: We beschikken over drie geconcentreerde zuuroplossingen: Oplossing 1: 40% Oplossing 2: 30% Oplossing 3: 80% We gebruiken 50 liter van oplossing 1, z liter van oplossing 2, en a liter van oplossing 3 om 100 liter oplossing van 39% te bekomen. Gevraagd: Hoeveel van oplossing 3 heeft men dan gebruikt? 50.0,40 + z.0,30 +a.0,80 = 100.0,39 50 + z + a = 100 200 + 3z + 8a = 390 50 + z + a = 100 3.rij2 aftrekken van rij 1: 50 + 5a = 90 a = 8 liter Antwoord B 2014 Augustus Vraag 6 Gegeven: Oplossing 1: concentratie (c1) = 30% en volume (v1) = 28 liter Oplossing 2: concentratie (c2) onbekend = x en volume (v2) = 52 liter dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 17
Oplossing 3: concentratie (c3) onbekend = y en volume (v3) = 20 liter Bij verwisseling van hoeveelheden bij oplossing 1 en 3 wordt de concentratie 59,8% Gevraagd: Concentratie van oplossing 2 wanneer hoeveelheden van oplossing 1 en 3 verwisseld zijn. Formule voor concentratie c = Een concentratie van 55% verkrijgen we door 28 liter van mengsel 1 (met concentratie 30%) met 52 liter van mengsel 2 en 20 liter van mengsel 3 te vermengen. Dus: 0,55 = (28. 0,30 + 52.x + 20.y )/ 28+52+20 0,55 = (8,4 + 52x + 20y)/100 55 = 8,4 +52x + 20y 46,6 = 52x + 20y Een concentratie van 59,8% verkrijgen we door 20 liter van mengsel 1 (met concentratie 30%) met 52 liter van mengsel 2 en 28 liter van mengsel 3 te vermengen. Dus: 0,598 = (20. 0,30 + 52x + 28y)/100 0,598 = (60 + 52x + 28y)/100 59,8 = 6 + 52x + 28y 53,8 = 52x + 28y We krijgen nu een stelsel met twee vergelijkingen: 53,8 = 52x + 28y 46,6 = 52x + 20y 53,8 46,6 = 52x + 28 y (52x - 20 y) 7,2 = 8y Y = 0,90, dus concentratie van mengsel 3 is 90% Vul nu y in in één van de vergelijkingen om x te bekomen: 53,8 = 52x + 28. 0,90 53,8 25,2 = 52x 28,6 = 52x dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 18
X = 0,55 Concentratie van mengsel 2 is 55% Antwoord B dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 19