Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts bestorven in het feit dan onze gedachten eindig zijn. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid
Onderwerpen Zelfreferentie en paradoxen Afsluitingen (H11) Aftelbare verzamelingen Oneindige verzamelingen en het Hilberthotel Overaftelbaar en verder Continuumhypothese Robinson getallen Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 1
Netwerken met zelfreferentie E = x E x E 1 0 1 1 0 0 E = x E x E 1?? 0 1 De leugenaarparadox: Z = Z Z Z 0?? 1?? De paradox van Löb: M = G(M) B Voor een rationele gelover geldt: P = G(P) G(M) M 0?? 1 1 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 2
Afsluitingen Definition 1. [Afsluiting]. Als R een relatie is dan is de kleinste relatie die R bevat en bovendien: 1. reflexief is, de reflexieve afsluiting van R : r(r) 2. symmetrisch is, de symmetrische afsluiting van R : s(r) 3. transitief is, de transitieve afsluiting van R : t(r) Proposition 1.. Als R een relatie is dan is: 1. R = r(r) desda R reflexief is. 2. R = s(r) desda R symmetrisch is. 3. R = t(r) desda R transitief is. Bovendien: r(r(r)) = r(r) s(s(r)) = s(r) t(t(r)) = t(r) Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 3
A = 0 0 0 1 0 1 0 1 0 r(a) = 1 0 0 1 1 1 0 1 1 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 4
s(a) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 t(a) = 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 5
Theorem 1. Als R een relatie is opsen E = {(x,x) : x S} dan: (r) r(r) = R E (s) s(r) = R R (t) t(r) = R k Lemma 1. k=1 1. Als R reflexief is dan ook s(r) en t(r). 2. Als R symmetrisch is dan ook r(r) en t(r). 3. Als R transitief is dan ook r(r) en s(r). Theorem 2. Voor elke relatie R op S is tsr(r) de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Bewijs: 1. ( ): r(r) is reflexief. idem s(r) en t(r)... 2. ( ): Beschouw de equivalentiereatie R, zodat R R r(r) r(r ) = R Dus: sr(r) s(r ) = R En dus: tsr(r) t(r ) = R Dus tsr(r) is de kleinste equivalentierelatie die R bevat. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 6
Aftelbaarheid & het Hilberthotel Definition 2. P is aftelbaar. Proposition 2. Twee verzamelingen A en B zijn even groot als er een bijectie bestaat van A naar B. Theorem 3. N is even groot als P, dus N is aftelbaar. f : P N gedefinieerd als f(n) = n 1 is een bijectie. Theorem 4. Z is aftelbaar. { 2n +1 indien n 0 f(n) = 2n indien n < 0 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 7
Aftelbaarheid Theorem 5. Q is aftelbaar. P = N = Z = Q Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 8
Overaftelbare verzamelingen Theorem 6. FUN(P, {0,1}) is niet-aftelbaar. Bewijs met Cantor s diagonaalargument: Stel F = FUN(P, {0, 1}) is aftelbaar. Dan is F te schrijven als de verzameling: F = {f 1, f 2,...} (Welordenings principe) f n (x) \x 1 2 3 4 5... f 1 (x) 0 0 0 1 0... f 2 (x) 1 1 0 0 0... f 3 (x). 0 1 1 0 1........ Beschouw nu de functie f op P: { f 0 indien f n (n) = 1 (n) = 1 indien f n (n) = 0 f kan niet in deze lijst voorkomen. Dus F is niet aftelbaar. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 9
Theorem 7. Het interval [0,1) is niet-aftelbaar. x d 1 d 2 d 3 d 4 d 5... 0, d 11 d 21 d 31 d 41 d 51... 0, d 12 d 22 d 32 d 42 d 52... 0, d 13.. d 23. d 33. d 43. d 53.... Beschouw het getal gevormd door de decimalen van de diagonaal: 0,d 11 d 22 d 33... Definieer: d ki = { 0 indien d ki = 9 d ki +1 anders In deze opsomming komt het getal 0,d11 d 22 d 33... niet voor. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 10
Theorem 8. Het interval (0,2) is even groot als het interval (0,1). De functie f(x) = 2 x is een bijectie van (0, 1) naar (0, 2). Theorem 9. R is even groot als het interval (0,1). De functie f(x) = 2x (1+2 x ) is een bijectie van (0,1) naar R. Theorem 10. Het interval [0, 1) is even groot als het interval (0,1). Probleem is de afbeelding van 0. De truc is om een oneindige reeks uit (0,1) te isoleren, b.v.: 1 2, 1 3, 1 4,... en beeld die af op 0, 1 2, 1 3, 1 4,... Stel: { 1 } C = (0,1) \ n : n = 1,2,3,... Dan is f een bijectie van (0,1) naar [0,1). f(x) = 0 indien x = 1 2 1 n 1 indien x = 1/n voor een n 3 x indien x C Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 11
Proposition 3. FUN(P, B) = P(P) = (0,1) = [0,1) = (0,2) = R Theorem 11.. 1. Deelverzamelingen van aftelbare verzamelingen zijn aftelbaar. 2. De vereniging van aftelbaar veel aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Bewijs: 1. m.b.v. het welordeningsprincipe. 2. m.b.v. het diagonaalsgewijze aftellen Voorbeeld 1. [Q is aftelbaar] Q is de verzameling van aftelbare verzamelingen A n met: A n = { m n : m Z } Q = is aftelbaar volgens stelling 11. n P A n Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 12
Voorbeeld 2. [De verzameling woorden van een taal] Als Σ een eindig alfabet van een taal is en Σ de verzameling van alle woorden van die taal, dan is Σ aftelbaar. Stel Σ k is de (eindige) verzameling van alle woorden met lengte k. Dan is: Σ = Σ k Voorbeeld 3. [Tekort aan computerprogramma s] Computerprogramma s zijn eindige strings van een eindig alfabet. Het aantal computerprogramma s is aftelbaar. Het aantal irrationale getallen, zoals 17 of π/3 is overaftelbaar. Niet alle irrationale getallen kunnen dus door een computerprogramma berekend worden. Voorbeeld 4. [Alle paden in een oneindige graaf] Als E de aftelbare verzameling ribben is van een oneindige graaf en P de verzameling van alle paden in de graaf, dan is P aftelbaar. k=0 Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 13
Transfiniete cardinaalgetallen Definition 3. [Alef-nul]. De cardinaliteit van P is ℵ 0, dus: P = ℵ 0 ℵ 0 +x = ℵ 0 ℵ 0 x = ℵ 0 ℵ x 0 = ℵ 0 2 ℵ 0 ℵ 0 Definition 4. [Alef-één]. De cardinaliteit van R is ℵ 1 ( R = P(N) = ℵ 1 ) Met: ℵ 1 = 2 ℵ 0 ℵ 1 +x = ℵ 1 ℵ 1 x = ℵ 1 ℵ x 1 = ℵ 1 2 ℵ 1 ℵ 1 Vraag1. Is er ook een verzameling ter grootte van 2 ℵ 1 = ℵ2? Hypothese 1. [Continuum hypothese]. Er liggen geen cardinaalgetallen tussen ℵ 0 en ℵ 1. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 14
Robinson s niet-standaard getallen Vraag 2. Zijn er ook oneindige getallen? Z in perspectief Stel er is een transfiniet getal ω. Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 15
Maar je hebt ook: ω 1, ω, ω +1, ω +2,... Er is dus ook een copie van Z rondom ω. Maar dergelijke copieën zijn er ook rond 2 ω, 1 2 ω,... Discrete Structuren Week 8: Oneindigheid 16