Een model voor een lift

Een model voor een lift

2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2

Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13 Extra oefening... 15 3 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 3

Achtergrondinformatie Auteur: Fred Lauwers, flauwers@barlaeus.nl Doelgroep: Wiskunde B, vwo 4, begin van het schooljaar Voorkennis: Natuurkunde klas 3: de bewegingsvergelijkingen Waaruit bestaat het materiaal? Een bundel lesmateriaal, dat zelfstandig doorgewerkt kan worden. Ook de antwoorden zijn beschikbaar. Wat was de aanleiding om dit te ontwerpen? De oplevering van een nieuwe wolkenkrabber in Shanghai, waarvan informatie over maximale snelheid, versnelling en verandering van versnelling beschikbaar kwam. Wat zijn de ervaringen met dit materiaal? De aanpak met grafieken helpt bij het begrijpen. Dat werkt beter dan het aanleren van trucjes. aldus Lars. 4 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 4

1. Inleiding Bij de oplevering van de Shanghai Tower in 214 werd de volgende tekst gepubliceerd: De Shanghai Tower is de op een na hoogste wolkenkrabber in de wereld, met een architectonische hoogte van 632 meter. De toren is uitgerust met 's werelds snelste lift, die een snelheid van 18 m/s kan bereiken. Diverse media meldden dat de top bereikt wordt in iets minder dan 36 seconden, maar dat is overdreven. Ten eerste, de bovenste verdieping van het gebouw bevindt zich op een hoogte van 565,4 meter. Ten tweede, om ongelukken met zwangere vrouwen te voorkomen, is de maximaal toegestane versnelling 1,25 m/s 2. Ten derde, voor het comfort van de passagiers, is een maximale jerk toegestaan van 2,5 m/s 3. Je kunt je afvragen, op basis van deze gegevens, wat de minimale tijd is die het een lift kost om de bovenste verdieping te bereiken? In dit verhaal is sprake van de zogenaamde jerk, de mate van verandering van de versnelling (de afgeleide van de versnelling), waar in het geval van deze lift een voorwaarde aan is gesteld. In deze opdracht gaan we ontdekken wat deze jerk is, en hoe je ermee kunt rekenen. De toren, die na een paar jaar bouwen in 214 gereed kwam, heeft overigens meer mooie eigenschappen: zo is de vorm dusdanig dat de wind er optimaal omheen waait. 5 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 5

6 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 6

Model 1, oriëntatie De totale hoogte van de Shanghaitoren is 632 meter, maar de bovenste echte verdieping bevindt zich op een hoogte van 565,4 meter. De toren bevat de snelste lift ter wereld (op het moment van oplevering in 214), met een topsnelheid van 18 m/s. Neem eens aan dat de lift gedurende het gehele transport naar boven met zijn maximumsnelheid van 18 m/s beweegt. 1. Bereken hoe lang het duurt om de bovenste verdieping te bereiken. Deze aanname is een beetje onrealistisch, omdat de lift tijd nodig heeft om op zijn maximale snelheid te komen, en om bij aankomst van de maximale snelheid af te remmen tot m/s. De snelheidsvermeerdering noemen we versnelling. Versnelling: mate waarin de snelheid v verandert per tijdseenheid. De eenheid van versnelling is m/s 2. Voor de versnelling wordt gewoonlijk de letter a gebruikt. Voorbeeld: We bekijken de volgende situatie. De versnelling bedraagt 1,25 m/s 2 bij het versnellen en 1,25 m/s 2 bij het afremmen. Zie de figuren hieronder: links de versnelling, rechts de snelheid. De versnelling duurt telkens 3 seconden. Na 3 seconden is de snelheid dus toegenomen van m/s tot 3,75 m/s. Daarna blijft de snelheid 3 seconden lang constant op 3,75 m/s, waarna de snelheid afneemt tot m/s. Gevolg: als de versnelling a constant is, verandert de snelheid v lineair. 7 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 7

2. Gegeven de versnellingsgrafiek hieronder. Teken de bijbehorende snelheidsgrafiek. 3. Gegeven de snelheidsgrafiek hieronder. Teken de bijbehorende versnellingsgrafiek. 8 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 8

Model 1 We bekijken het volgende model: de maximale snelheid van de lift is 18 m/s en de versnelling is precies 1,25 m/s 2. De lift gaat, zonder te stoppen, in één keer van de begane grond naar de hoogte 565,4 meter. We onderscheiden dan drie fasen: Fase 1: Fase 2: Fase 3: Fase 1 de snelheid neemt lineair toe van m/s tot 18 m/s, bij een constante versnelling van 1,25 m/s 2 de snelheid blijft zo lang mogelijk constant op deze snelheid van 18 m/s de snelheid neemt lineair af van 18 m/s tot m/s, bij een constante versnelling van 1,25 m/s 2, totdat de snelheid op 565,4 meter hoogte weer m/s is. In fase 1 geldt a(t) = 1, 25 (m/s 2 ). Dit heeft tot gevolg dat voor de snelheidsformule geldt: v(t) = 1, 25 t (m/s). 4. Bereken de tijd die nodig is om de maximale snelheid van 18 m/s te bereiken. 5. Leg uit waarom fase 1 en fase 3 even lang duren. 6. Teken een grafiek van de versnelling in fase 1 en bereken de oppervlakte onder de grafiek. Wat valt je op? 7. Teken een grafiek van de snelheid in fase 1 en bereken de oppervlakte onder de grafiek. Wat heb je nu berekend? (kijk naar de eenheden) 8. Toon aan dat de formule voor de oppervlakte onder de grafiek van de snelheid na t seconden geschreven kan worden als, 625 t 2 De afgelegde weg is dus gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van de snelheid; de snelheid is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van de versnelling. Hieruit volgt ook dat de snelheid de afgeleide is van de afgelegde weg, en de versnelling de afgeleide van de snelheid. We vatten samen: Afgelegde weg s(t) =, 625 t 2 Snelheid v(t) = 1, 25 t v(t) = s (t) Versnelling a(t) = 1, 25 a(t) = v (t) 9. Hoeveel meter heeft de lift in fase 1 dus afgelegd? 9 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 9

Fase 2 In fase 2 geldt a(t) = (m/s 2 ) en v(t) = 18 (m/s). Het is nog niet bekend hoe lang de lift met deze snelheid beweegt, dus we kunnen nog niet berekenen welke afstand met deze snelheid wordt afgelegd. Fase 3 Fase 3 lijkt op fase 1, zie vraag 5. In fase 3 geldt a(t) = 1, 25 (m/s 2 ) en v(t) = 18 1, 25 t (als je t = kiest bij het begin van fase 3, m/s). 1. Hoe lang duurt fase 3? 11. Hoeveel meter legt de lift af in fase 3? Fase 2 Nu hebben we voldoende informatie om ook fase 2 af te maken. 12. Bereken de afstand die de lift met maximale snelheid aflegt. 13. Bereken hoe lang fase 2 duurt. 14. Bereken hoeveel tijd de lift nodig heeft om van de begane grond op de hoogte van 565,4 m te komen. 1 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 1

2. Model 2, oriëntatie We gaan het model dat we tot nu toe hanteerden uitbreiden. De opdrachtgevers hebben eisen gesteld aan de versnelling: de versnelling mag niet te abrupt beginnen en stoppen. Dat is niet comfortabel en slecht voor bijvoorbeeld zwangere vrouwen. De versnelling moet rustig op- en afgebouwd worden. In het volgende model verandert de versnelling lineair tot die maximaal is, blijft dan een tijdje maximaal, en neemt daarna lineair af tot nul. Op dat moment is de snelheid maximaal. Die blijft dat enige tijd, waarna eenzelfde proces (omgekeerd, dus met negatieve versnelling) plaatsvindt om de snelheid van maximaal terug te brengen tot nul. Voorbeeld: We bekijken de volgende situatie. De versnelling neemt lineair toe van m/s 2 tot 1,25 m/s 2, blijft enige tijd op die maximale versnelling, en neemt daarna lineair af tot m/s 2. Op dat moment is de maximale snelheid van 18 m/s bereikt. Wanneer later de snelheid moet afnemen van 18 m/s naar m/s, vindt iets vergelijkbaars plaats. Zie de figuren hieronder. Gevolg: als de versnelling a lineair toeneemt is, verandert de snelheid toenemend stijgend; als de versnelling a lineair afneemt is, verandert de snelheid afnemend stijgend; als de negatieve versnelling a lineair toeneemt is, verandert de snelheid toenemend dalend; als de negatieve versnelling a lineair afneemt is, verandert de snelheid afnemend dalend. Maar we weten nog niet precies hoe die stijging en daling plaatsvindt. 11 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 11

15. Gegeven de versnellingsgrafiek hieronder. Schets de bijbehorende snelheidsgrafiek. 16. Gegeven de snelheidsgrafiek hieronder. Schets de bijbehorende versnellingsgrafiek. In dit model hebben we te maken met jerk, de mate van verandering van de versnelling. In opgave 15 nam de versnelling in,5 s lineair toe van m/s 2 tot 1,25 m/s 2. We zeggen dan dat de jerk gelijk is aan 1,25 m/s 2 /,5 s = 2,5 m/s 3. In opgave 16 was de jerk,5 s lang gelijk aan 1, m/s 2 /,5 s = 2, m/s 3. Gevolg: als de jerk j constant is, verandert de versnelling a lineair. De versnelling is dus ook gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van de jerk. Hieruit volgt ook dat de jerk de afgeleide is van de versnelling. 12 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 12

Model 2 We bekijken het volgende model: de maximale snelheid van de lift is 18 m/s, de maximale versnelling is 1,25 m/s 2 en de jerk is 2,5 m/s 3. De lift gaat, zonder te stoppen, in één keer van de begane grond naar de hoogte 565,4 meter. We onderscheiden nu zeven fasen: Fase 1: Fase 2: Fase 3: Fase 4: de versnelling neemt lineair toe van m/s 2 tot 1,25 m/s 2, bij een constante jerk van 2,5 m/s 3 de versnelling is constant 1,25 m/s 2, de jerk is m/s 3, de snelheid neemt lineair toe de versnelling neemt lineair af van 1,25 m/s 2 tot m/s 2, bij een constante jerk van 2,5 m/s 3 de versnelling en jerk zijn (m/s 2 en m/s 3 ), de snelheid is (constant) 18 m/s Fase 5: Fase 6: Fase 7: de negatieve versnelling neemt lineair toe van m/s 2 tot 1,25 m/s 2, bij een constante jerk van 2,5 m/s 3 de versnelling is constant 1,25 m/s 2, de jerk is m/s 3, de snelheid neemt lineair af de negatieve versnelling neemt lineair af van 1,25 m/s 2 tot m/s 2, bij een constante jerk van 2,5 m/s 3 Fase 1 17. Leg uit waarom de fasen 1, 3, 5 en 7 even lang duren. In fase 1 geldt j(t) = 2, 5 (m/s 3 ). Dit heeft tot gevolg dat voor de versnellingsformule geldt: a(t) = 2, 5 t (m/s 2 ). 18. Bereken de tijd die nodig is om de maximale versnelling van 1,25 m/s 2 te bereiken. 19. Teken een grafiek van de jerk in fase 1 en bereken de oppervlakte onder de grafiek. Wat valt je op? 2. Teken een grafiek van de versnelling in fase 1 en bereken de oppervlakte onder de grafiek. Wat heb je nu berekend? 21. Toon aan dat de formule voor de oppervlakte onder de grafiek van de versnelling na t seconden geschreven kan worden als 1, 25 t 2. 13 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 13

We weten nu: Jerk j(t) = 2, 5 j(t) = a (t) Versnelling a(t) = 2, 5 t a(t) = v (t) Snelheid v(t) = 1, 25 t 2 v(t) = s (t) We weten nu dus ook welke vorm de gebogen delen in de snelheidsgrafieken in oriëntatie 2 hebben, namelijk kwadratisch (dus delen van parabolen). We weten nog niet wat de afgelegde weg is na,5 s. Maar we weten wél dat de afgelegde weg na,5 s juist de oppervlakte onder de grafiek van de snelheid op t=,5 s is. De oppervlakte onder een (deel van een) parabool is echter lastig te berekenen, maar we weten wel dat de afgeleide van de formule voor de afgelegde weg de formule voor de snelheid is! 22. Leg uit dat voor de formule voor de afgelegde weg geldt: s(t) =,125 t 3 en bereken daarmee 3 s(,5). Kortom: Afgelegde weg s(t) =,125 t 3 3 Fase 2 23. Leg uit waarom de fasen 2 en 6 even lang duren. In fase 2 geldt j(t) = (m/s 3 ) en a(t) = 1, 25 (m/s 2 ). Aan het begin van fase 2 zijn de afgelegde weg en de snelheid niet meer nul, zoals aan het begin van fase 1. De formules die we gebruiken voor de afgelegde weg en de snelheid in deze fase veranderen daardoor: Afgelegde weg Snelheid s(t) = s(, 5) + v(, 5) t + 1 2 2 a(, 5) t =, 52 +,3125 t + 1 2 2 1, 25 t v(t) = v(, 5) + a(, 5) t =,3125 +1, 25 t Met t= aan het begin van fase 2. We weten welke begin- en eindsnelheid bij deze fase horen. 24. Bereken daarmee hoe lang fase 2 duurt. 14 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 14

Voor de berekening van de in deze fase afgelegde weg is het niet handig de in fase 1 afgelegde weg te betrekken, dus we gebruiken de volgende formule: Afgelegde weg s(t) =,3125 t 1 2 2 1, 25 t 25. Bereken welke afstand er in fase 2 wordt afgelegd. Fase 1 7 Door gebruik te maken van de symmetrie in het systeem (zoals in het model zonder jerk ook al werd gedaan), is het nu mogelijk het gehele probleem op te lossen. 26. Bereken de tijd die nodig is om de bovenste verdieping te bereiken. Extra oefening Bekijk de volgende tabel en beantwoord daarna de vragen. 27. Bereken hoe lang lift B erover doet om op een hoogte van 4 m te komen. 28. Bereken de maximale snelheid van lift E, als die gebruikt wordt voor hoogten van 35 meter en daar 5 seconden over doet. 29. Bereken de maximale versnelling van lift F, als die gebruikt wordt voor hoogten van 35 meter en daar 5 seconden over doet. 3. Bereken de maximale jerk van lift G, als die gebruikt wordt voor hoogten van 35 meter en daar 5 seconden over doet. 15 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 15