GeoGebra 1e en 2e graad

GeoGebra 1e en 2e graad WI-0097-01 Nascholing ICT-wiskunde Paul Decuypere, Ria Vandermeersch, Jozef Van Remoortere Werkgroep Integratie van de Informatica in de Wiskunde 2007 Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel

Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel GeoGebra 1e en 2e graad WI-0097-01 Nascholing ICT-wiskunde Paul Decuypere, Ria Vandermeersch, Jozef Van Remoortere Werkgroep Integratie van de Informatica in de Wiskunde - 2007 http://wiskunde.vvkso.net D/2007/7841/003 Alle rechten voorbehouden. Behoudens de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, op welke wijze ook, zonder de uitdrukkelijke voorafgaande en schriftelijke toestemming van het VVKSO.

Inhoud 1 Inleiding...7 2 Het openingsscherm van GeoGebra...8 2.1. De knoppenbalk...9 2.2. De menubalk...11 3 Meetkunde met GeoGebra...13 3.1. Constructies in GeoGebra uitvoeren, objecten verbergen...13 3.2. De eigenschappen van objecten aanpassen...15 3.3. De opmaak van een object kopiëren naar een ander object...16 3.4. Hoeken...17 3.5. Dynamische tekeningen in GeoGebra...18 3.6. Verwijderen van objecten...18 3.7. Een lijnstuk met een gegeven lengte tekenen - een hoek met een gegeven grootte tekenen...18 3.8. Controles uitvoeren met de knop Relaties tussen objecten...20 3.9. Transformaties...21 3.9.1 Puntspiegeling...21 3.9.2 Spiegeling rond een rechte...22 3.9.3 Rotatie met centrum over bepaalde hoek...22 3.9.4 Verschuiving over een vector...22 3.10. Homothetie...22 3.11. Speciale lijnen in een driehoek...23 3.11.1 Bissectrices...23 3.11.2 Hoogtelijnen...23 3.11.3 Middelloodlijnen...23 3.11.4 Zwaartelijnen...23 3.12. Regelmatige veelhoeken...24 3.13. Tekst tekst gecombineerd met formules...24 3.13.1 Voorbeeld en werkwijze...24 3.13.2 Eigenschappen van Tekst...26 3.14. LaTex Formules...27 3.14.1 LateX formules rechtstreeks met GeoGebra...27 3.14.2 LateXformules via MathType...28 3.15. De stappen van een constructie tonen...28 3.16. Meetkundige Plaatsen...30 3.17. Gebruik van schuifknoppen...31 3.18. Gebruik van aanvinkvakjes...33 3.19. Gebruik van macro s...34 3.19.1 Macro voor het tekenen van het zwaartepunt van een driehoek... 35 3.19.2 Macro s beheren...35 3.19.3 Macro s openen...36 3.19.4 Aanpassen van de knoppenbalk...36 3.20. Opties instellen voor hoekeenheid en aantal decimalen...37 3.21. Het tekenvenster verplaatsen, in- en uitzoomen...37 3.22. Figuren overbrengen naar Word...38

3.23. Dynamisch werkblad als Webpagina...39 3.24. Opslaan en openen van bestanden...39 3.25. Afdrukken...39 3.26. Oefeningen...40 4 Analytische meetkunde met GeoGebra...41 4.1. Gebruik van het rooster...41 4.2. Verschillende manieren om objecten in te voeren...42 4.3. Verschillende manieren om objecten te wijzigen...42 4.4. De coördinaten van punten gebruiken in de definitie van andere punten, tekst aan een lijnstuk koppelen...43 4.5. De helling van een rechte...44 4.6. De instellingen voor de x- en de y-as...45 4.7. Oefeningen...46 5 Functies...47 5.1. De grafiek van een functie tekenen...47 5.2. Een punt tekenen op de grafiek van een functie...47 5.3. Een deel van een functie tekenen een functie stuksgewijs definiëren...48 5.4. Nog enkele commando s i.v.m. functies...48 5.5. Invloed van parameters op de grafiek van een functie...49 5.6. Toepassingen...50 5.6.1 Opstellen van een puntentabel van een functie...51 5.6.2 Bespreking van een elementaire functie...52 5.6.3 Transformaties van grafieken...53 5.6.4 Controle van oefeningen op tweedegraadsfuncties...54 5.6.5 Minimum- en maximumproblemen...54

1 Inleiding GeoGebra is een wiskundepakket dat meetkunde, algebra en analyse combineert. Het pakket werd ontwikkeld door Markus Hohenwarter aan de Universiteit van Salzburg voor het wiskundeonderwijs in de middelbare scholen. GeoGebra mag gratis gebruikt en verspreid worden. Op de website lezen we: Enerzijds is GeoGebra een dynamisch meetkundepakket. Je kan constructies uitvoeren met punten, vectoren, lijnstukken, rechten en kegelsneden en je kan deze tekenobjecten daarna dynamisch wijzigen. Anderzijds kunnen functies, vergelijkingen en coördinaten rechtstreeks worden ingevoerd. Met GeoGebra is het dus ook mogelijk om met variabelen te werken voor getallen, te rekenen met vectoren en punten, afgeleiden en integralen van functies te berekenen en er zijn ook commando's voorzien om bv. nulpunten of extrema te berekenen Je kan GeoGebra online gebruiken via Webstart op http://www.geogebra.at of je kan ervoor opteren om het programma eerst te downloaden en daarna offline te openen. Kies hiervoor in de linkerkolom voor Webstart of voor Download. Met GeoGebra Webstart zal het programma automatisch gestart worden. Kies je voor Download GeoGebra, dan kan je GeoGebra installeren op je pc en heb je geen internetverbinding nodig. Bemerk: op de computers moet wel Java 1.4.2 (of een latere versie) geïnstalleerd zijn. Anders moet je eerst Java downloaden (op deze pagina is ook een link voorzien om Java te installeren). Op het ogenblik van schrijven van deze cursus zijn we aan versie 3.0 van het programma. Eigenlijk is dit nog een betaversie, maar ze is toch al heel stabiel. Het zou wel kunnen dat in de definitieve versie kleine verschillen opduiken met wat in deze nota s besproken wordt. VVKSO 2007-2008 7

2 Het openingsscherm van GeoGebra GeoGebra volledig met assenstelsel, algebravenster en invoerveld. KNOPPENBALK MENUBALK ALGEBRA- VENSTER TEKENVENSTER INVOERVELD Ingeval met een pure meetkundige tekening gewerkt wordt, kan het algebravenster gesloten worden, en wordt ook beter het assenkruis verborgen (eventueel ook het invoerveld). We krijgen dan een venster als volgt: 8 VVKSO 2007-2008

2.1. De knoppenbalk Hier vind je, zoals in Cabri, verschillende groepen waarmee je constructies kan uitvoeren. Je selecteert een groep door op het driehoekje rechts onderaan het icoon te klikken. Als je de linkermuisknop ingedrukt houdt, en je beweegt de muispijl over de iconen van de groepen, kan je alle mogelijke keuzen overlopen. De verplaatsknop kun je best na elke bewerking terug activeren. In GeoGebra kun je die knop activeren door erop te klikken, maar ook door op de Esc-toets te drukken. Verplaatsgroep Verplaatsen: vrije punten kunnen versleept worden. Roteren: eerst het centrum van de rotatie aanduiden, dan zijn de vrije punten te roteren door te slepen. Puntengroep Hiermee kunnen punten getekend worden. Lijnengroep Tekenen van objecten die uit rechte lijnen bestaan. Constructiesgroep Hier vind je knoppen waarmee je basisconstructies zoals loodlijnen, evenwijdigen, enz kan tekenen. VVKSO 2007-2008 9

Veelhoekengroep Krommengroep Cirkels, cirkelbogen en sectoren, kegelsneden Meetgroep Met de knoppen in deze groep kan je metingen uitvoeren: hoeken, afstanden, oppervlakte en helling. Transformatiesgroep Allerleigroep Hier vind je knoppen die in geen enkele andere groep thuis horen. Je vindt er knoppen voor het invoegen van schuifknoppen, aanvinkvakjes, teksten, afbeeldingen, maar ook voor de controle van relaties tussen objecten. 10 VVKSO 2007-2008

Opmaakgroep Hier vind je knoppen die te maken hebben met de opmaal van het tekenvenster en objecten. Nieuw in Geogebra versie 3 is dat het nu ook mogelijk is om macro s te maken! In tegenstelling tot bij Cabri, gebeurt dit niet via een knoppengroep, maar wel via het menu Macro s. Helemaal rechts in de knoppenbalk zijn er nog 2 knopjes: ongedaan maken en opnieuw. Deze 2 opties vind je ook terug in de menubalk onder Bewerken. 2.2. De menubalk Afhankelijk van wat je aan het doen bent en welke instellingen gekozen zijn, kunnen de menu s bijkomende keuzen bevatten of juist minder keuzen bevatten. Bestand Bij Exporteren kan je schermafdrukken maken om te gebruiken in een tekstverwerker. Maar je kan je bestand ook exporteren als html pagina. Er wordt ook een lijst getoond met de recent gebruikte bestanden. Bewerken Met Eigenschappen krijg je een overzicht van alle getekende objecten en hun eigenschappen (die je hier ook kan wijzigen). VVKSO 2007-2008 11

Beeld Hier kunnen de assen / het rooster in de figuur aan of uit gezet worden. Het algebravenster en het invoerveld kunnen getoond of verborgen worden. Idem voor de hulpobjecten in het algebravenster en de commandolijst in het invoerveld. Een constructie kan stap voor stap overlopen worden, er kan een lijst met de instructies uit een constructie getoond en afgedrukt worden. Opties Macro s Nieuw in versie 3: deze mogelijkheid om macro s te maken. Venster Help Er kunnen verschillende tekeningen tegelijkertijd geopend zijn in GeoGebra door telkens een nieuw venster te openen. Help bij het gebruik van GeoGebra. Link naar de website van GeoGebra, naar het forum en naar de Wiki van GeoGebra. 12 VVKSO 2007-2008

3 Meetkunde met GeoGebra Voorlopig werken we enkel meetkundig. Coördinaten en vergelijkingen komen in een volgend deel aan bod. Open GeoGebra en verberg assenkruis, invoerveld en algebravenster via de menukeuze Beeld. We hebben een leeg tekenblad en beginnen aan een eerste opgave. 3.1. Constructies in GeoGebra uitvoeren, objecten verbergen We tekenen een parallellogram (m.b.v. de definitie: een vierhoek met twee evenwijdige zijden). Teken twee lijnstukken [AB] en [AC] (de derde groep in de knoppenbalk: Lijnstuk tussen twee punten). Alle objecten die getekend worden, krijgen automatisch een naam. Die naam is altijd via het algebravenster terug te vinden. Nu is er een instelling mogelijk om die namen meteen bij het tekenen van die objecten te tonen, of wel om die namen juist niet weer te geven in de figuur. Die keuze zit in het menu Beeld > Labels. Je krijgt dan volgende mogelijkheden: Bij de keuze uitgeschakeld worden nooit namen op de figuur geplaatst. Bij de keuze Alle nieuwe objecten worden bij alle nieuwe objecten die je tekent de naam op de figuur weergegeven. Bij Automatisch maakt GeoGebra zelf een keuze: meestal wordt de naam geplaatst, soms niet (bijvoorbeeld: bij het tekenen van een veelhoek, worden de hoeken en de zijden benoemd, maar niet de veelhoek zelf). Bij Enkel nieuwe punten worden in de figuur alleen de namen van de objecten punten weergegeven (bijvoorbeeld: bij het tekenen van een veelhoek, worden alleen de hoekpunten van een naam voorzien, niet de zijden en niet de veelhoek zelf). Om de naam van een object achteraf te wijzigen, volstaat het om het object aan te klikken; typ dan direct de naam die je wil, en meteen wordt een dialoogvenster geopend waar je de nieuwe naam verder kunt afwerken. Het is ook mogelijk om objecten van een naam te voorzien die een index bevat. Bijvoorbeeld voor punten: A 1 A 2 A 3 enz. Je geeft die naam dan in met een underscore: A_1, A_2, A_3 Moet in die index een langere tekst dan één teken, dan moet je die tekst na de underscore tussen accolades plaatsen. Zo resulteert A_{12} in de naam A 12 en B_{geprojecteerd} in B geprojecteerd Om namen die verborgen zijn toch weer te geven of omgekeerd namen die getoond worden toch te verbergen, kun je op verschillende manieren te werk gaan. * Om de naam van één object te tonen of te verbergen, kun je rechts klikken met de muis op het object. Zet dan Toon label aan of uit. * Om namen van meerdere objecten in één keer te tonen of te verbergen, zijn er weer verschillende mogelijkheden. VVKSO 2007-2008 13

- Klik rechts met de muis op één van die objecten. Kies voor Eigenschappen. In het venster dat nu verschijnt, kun je in de linker kolom eerst de objecten selecteren waarvoor de wijziging moet gebeuren (door de <CTRL>- toets in te drukken en te klikken met de linker muisknop op de verschillende objecten). Vervolgens zet je in het tabblad Basis weer de keuze Toon label aan of uit. - Kies in de knoppenbalk voor de meest rechtse knop en daarin voor de keuze Klik nu in de figuur op de objecten waarvan de naam moet getoond of verborgen worden. Een verborgen naam wordt onmiddellijk getoond, een getoonde naam wordt onmiddellijk verborgen. Een gelijkaardige werkwijze bestaat ook om de objecten te verbergen of te tonen (zie hieronder). Gebruik in de vierde groep van de knoppenbalk de optie Evenwijdige rechte. Teken door C een evenwijdige aan AB en door B een evenwijdige aan AC. We bepalen het snijpunt van de twee rechten: gebruik de knop Nieuw Punt of Snijpunt(en) van twee objecten (groep 2). Beweeg de muispijl in de omgeving van het snijpunt van twee evenwijdige rechten (de twee rechten zullen dikker getekend worden), en klik dan. Het snijpunt wordt nu aangeduid. Bemerk: het snijpunt D wordt in een andere kleur getekend omdat dit een afhankelijk punt is. Bij de uiteindelijke tekening van het parallellogram moeten deze evenwijdige rechten niet getoond worden. We verbergen de beide rechten nu. We hebben hiervoor dezelfde mogelijkheden als bij het tonen of verbergen van een label. * Om de rechten één voor één te verbergen, kun je achtereenvolgens op beide rechten met de rechter muisknop klikken en in het menu dat verschijnt kiezen voor Toon Object (dit stond aan, en wordt nu uit gezet). * Om dit voor beide rechten in één keer te doen, zijn er twee mogelijkheden. - Klik met de rechter muisknop op één van beide rechten en kies voor Eigenschappen. Mocht dit niet meteen zo zijn, kies dan het tabblad Basis. Selecteer in de linkerkolom de beide rechten c en d (selecteer met de linker muisknop terwijl de <CTRL>- toets ingedrukt wordt). Zet het vinkje naast Toon Object uit. 14 VVKSO 2007-2008

- Kies in de meest rechtse knop van de knoppenbalk voor Toon/Verberg object Een object dat zichtbaar was, wordt hiermee verborgen; een object dat verborgen was, wordt hiermee getoond. Zolang deze menukeuze nog aan staat, zie je de verborgen objecten in een iets dikkere weergave. Maar als een andere menukeuze geselecteerd wordt, zijn verborgen objecten wel degelijk onzichtbaar. We tekenen tenslotte het parallellogram als veelhoek: activeer de knop Veelhoek (derde groep), klik achtereenvolgens op A, B, D en C en sluit de veelhoek af door terug op A te klikken. 3.2. De eigenschappen van objecten aanpassen Als de knop Verplaatsen (groep 1) aanstaat, kunnen de punten A, B en C versleept worden. Ook de namen bij de punten kunnen versleept worden. Zoals we de tekening opbouwden, staan de namen van de punten C en D nu in een verkeerde volgorde. We kunnen dus beter de namen wijzigen (zie ook eerdere uitleg). Ga met de muispijl boven het punt C staan en typ de nieuwe naam D. Bevestig met OK. Bemerk: het oorspronkelijke punt D in de tekening is nu D 1 genoemd. Wijzig dan de naam van het punt D 1 in C. De naam van het parallellogram kan ook weergegeven worden (of was dat al, naargelang de instellingen in het menu Opties > Labels). Maar als label kan in plaats van een naam ook een waarde (of naam + waarde) weergegeven worden. Bij een veelhoek zoals dit parallellogram, is de waarde de oppervlakte. Maar afhankelijk van het object zal deze waarde iets anders zijn (bij een lijnstuk is de waarde de lengte, bij een punt is de waarde de coördinaat enz). Om de weergave van het label te wijzigen, klik je met de rechter muisknop op het object. Kies dan voor Eigenschappen. Bij het tabblad Basis kun je de instellingen voor het weergeven van het label aanpassen. VVKSO 2007-2008 15

Het wijzigen van de eigenschappen van een object kan altijd op dezelfde manieren gebeuren: * door te klikken met de rechter muisknop op het object, krijg je een snelmenu waar alvast een paar instellingen mogelijk zijn (naam wijzigen, object verbergen, label tonen of verbergen). * alle eigenschappen van een object bewerken, kan altijd door te klikken met de rechter muisknop op het object, en dan te kiezen voor Eigenschappen. Een keer je in dat venster zit van eigenschappen, kun je in de linker kolom overigens heel gemakkelijk een ander object aanduiden waarvan dan weer de eigenschappen te bewerken zijn. Klikken we dus met de rechter muisknop op het gekleurde gebied van het parallellogram, en kiezen we voor Eigenschappen, dan kunnen nog verschillende eigenschappen aangepast worden. We geven nog een paar voorbeelden. De opvulkleur van het parallellogram en de kleur van de zijden aanpassen doe je door te kiezen voor het tabblad Kleur. In het tabblad Stijl kun je de lijndikte en de lijnsoort van de zijden van de vierhoeken instellen, en bij de Vulling kun je de intensiteit van de vulling aanpassen. Je kan de opmaak van de zijden van het parallellogram ook afzonderlijk wijzigen (dus niet mee met de instellingen van de veelhoek). Klik daarvoor in de linkerkolom (bij de lijst van de objecten) op een van de zijden van het parallellogram (of klik de vier zijden een voor een aan terwijl de <CTRL>- toets ingedrukt gehouden wordt als de opmaak voor alle zijden mag gebeuren). In dat venster Eigenschappen is onderaan links ook altijd een knop te vinden om het object te verwijderen. 3.3. De opmaak van een object kopiëren naar een ander object Stel dat in het voorgaande punt als label bij één van de zijden de waarde (dus lengte) aangeduid is, en dat daar ook een gepaste lijndikte, kleur en soort gekozen is. Als dit niet in één keer voor de andere zijden gebeurd is, dan moet je die instellingen achteraf nog doen voor de andere zijden van het parallellogram. Maar dit kan dan weer veel eenvoudiger gebeuren door in de laatste groep van de knoppenbalk de keuze Stijl kopiëren te kiezen. Ga nu eerst naar de zijde waar je de lengte bij gezet hebt, klik op het getal, ga dan achtereenvolgens naar de andere zijden en klik. 16 VVKSO 2007-2008

3.4. Hoeken Kies in de knoppenbalk voor Hoek (zesde groep). Duid nu achtereenvolgens drie punten aan van het parallellogram. Het middelste punt is het hoekpunt; als de punten in tegenwijzerzin aangeklikt worden, krijgen we een binnenhoek, anders een buitenhoek. Iets eenvoudiger is het om de twee benen van de hoek aan te klikken. De volgorde van klikken is weer van belang. Door te klikken in tegenwijzerzin krijg je een binnenhoek, anders een buitenhoek. Om de hoekgrootte in plaats van de naam van de hoek te tonen: plaats de muispijl in het gekleurde gebied van de hoekaanduiding en klik met de rechtermuisknop. Kies weer voor Eigenschappen en wijzig de keuze bij Toon Label in waarde. Wordt er toch een buitenhoek getoond (leerlingen zullen dit ongetwijfeld voor hebben als ze een hoek tekenen), dan kan toch de binnenhoek bekomen worden als volgt. Vraag weer de eigenschappen van de hoek op, en kies voor het tabblad Geavanceerd. Zet de keuze hoeken tussen 0 en 360 toelaten af. In het tabblad Stijl van de eigenschappen van de hoek kunnen weer de lijndikte, de lijnsoort en de grootte van de boog veranderd worden. In het tabblad Kleur kan de kleur van de vulling getoond worden, in het tabblad Vulling kan de intensiteit van de vulling veranderd worden. In het tabblad Markering kan de manier van markeren van de hoek gekozen worden. Met de knop Kopieerstijl uit de laatste groep van de knoppenbalk kan je deze instellingen overbrengen naar de andere hoekaanduidingen. Als je in de eerste groep van de knoppenbalk de knop Verplaatsen aanzet, kan je de aanduidingen van de hoekgrootten verplaatsen (in plaats van te werken met de eigenschappen). Je kunt ook in één keer alle hoeken van het parallellogram weergeven. Activeer hiervoor eerst de knop Hoek en klik daarna op de veelhoek. Alle hoeken worden gemarkeerd. Let op het volgende. Als je bij het tekenen van de veelhoek de hoekpunten in wijzerzin doorlopen hebt, dan worden de buitenhoeken van de veelhoek getoond. Heb je de hoekpunten in tegenwijzerzin doorlopen, dan worden de binnenhoeken getoond. VVKSO 2007-2008 17

3.5. Dynamische tekeningen in GeoGebra Een krachtige eigenschap van een programma als GeoGebra, is de dynamiek in de tekeningen. Verplaats bijvoorbeeld één van de hoekpunten van het parallellogram. Alle getekende objecten passen zich aan de nieuwe situatie aan. We merken bijvoorbeeld dat de overstaande hoeken steeds gelijk zijn, om het even waar die hoekpunten liggen. Zo kunnen eigenschappen op een intuïtieve manier aan leerlingen getoond worden, op een manier die met bord en krijt natuurlijk niet mogelijk is. De objecten die kunnen versleept worden, zijn ofwel de vrije objecten ofwel de objecten die rechtstreeks afhangen van vrije objecten. Wordt bijvoorbeeld een driehoek getekend, dan zijn de hoekpunten van de driehoek alle drie vrije objecten. Zij kunnen dus versleept worden. De zijden van de driehoek zijn objecten die rechtstreeks van de punten (vrije objecten) afhangen. Ook zij kunnen elk afzonderlijk versleept worden. De driehoek zelf is ook een object dat rechtstreeks afhangt van de punten (vrije objecten). Ook de driehoek kan dus op zijn geheel versleept worden. Maar tekenen we in de driehoek bijvoorbeeld de bissectrices, dan kunnen die bissectrices niet versleept worden: die hangen niet meer rechtstreeks af van de vrije objecten (hoekpunten). 3.6. Verwijderen van objecten Er zijn ook hier verschillende methodes. * Gebruik het eigenschappenvenster van objecten, en kies daar links onderaan voor Verwijderen. * Activeer de Verplaatsknop, klikken op dit object en daarna op Delete. * Om meerdere objecten te verwijderen: activeer de Verplaatsknop en klik met de <Ctrl>-toets ingedrukt de verschillende objecten aan. Daarna klikken we nog op Delete. * Een andere werkwijze (nieuw vanaf versie 3.0) om verschillende objecten te verwijderen, is de volgende. Zorg dat de pijlknop geactiveerd is. Duid nu met de linker muisknop (door slepen) een rechthoek aan waarbinnen de elementen liggen die mogen gewist worden. Klik dan op de toets Delete. Deze werkwijze kan natuurlijk alleen maar gebruikt worden als de elementen die moeten verwijderd worden, binnen zo n gebied gelegen zijn. 3.7. Een lijnstuk met een gegeven lengte tekenen - een hoek met een gegeven grootte tekenen Opdracht: teken een ruit waarvan één van de hoeken gelijk is aan 52, en de zijden gelijk zijn aan 4 cm. Teken een punt A 18 VVKSO 2007-2008

Er zijn nu verschillende methodes om een lijnstuk van 4 cm te tekenen. * Kies Cirkel met middelpunt en straal onder de knop voor tekenen van cirkels. Duid het punt A aan als middelpunt van de cirkel. Er verschijnt dan een dialoogkader waar de straal 4 kan ingegeven worden. Duid vervolgens een punt B aan op die cirkel; verberg de cirkel. [AB] is een eerste zijde van de ruit. * Kies Lijnstuk met beginpunt en gegeven lengte onder de knop van rechten. Duid het punt A aan als beginpunt van het lijnstuk. Er verschijnt dan een dialoogkader waar de lengte 4 van het lijnstuk kan ingegeven worden. Het tweede uiteinde B van het lijnstuk wordt dan getekend. Het lijnstuk [AB] wordt hierbij horizontaal geplaatst, maar de punten A en/of B zijn natuurlijk te verslepen. In het punt A tekenen we nu een tweede zijde van de ruit, zodanig dat de hoek tussen beide zijden in A gelijk is aan 52. Ook dit kan op verschillende manieren. * Kies in het menu voor hoeken het item Hoek met gegeven grootte. Klik op de zijde [AB] die al getekend is en dus het eerste been van de hoek is. Er verschijnt een dialoogkader waar je de grootte van de hoek 52 kunt ingeven. Let goed op dat de eenheid er bij staat. Je kan er ook voor kiezen om die hoek in tegenwijzerzin dan wel in wijzerzin aan te brengen. Bemerk dat het punt C dat het tweede been van de hoek bepaalt precies op een afstand 4 ligt van het punt A! Het tweede been is namelijk precies even lang genomen als het eerste been. * Je kan de hoek van 52 ook tekenen door een rotatie te gebruiken (we roteren het punt B over een hoek van 52 en A als centrum van de rotatie). De knop voor rotatie zit onder de derde laatste knop van de transformaties. Duid eerst het te roteren punt B aan, vervolgens het centrum van de rotatie A. Er komt dan een dialoogkader waar de rotatiehoek van 52 kan ingegeven worden. Op dezelfde manier als bij de vorige werkwijze kun je ook kiezen voor tegenwijzerzin of voor wijzerzin. Voltooi nu de ruit. Teken een evenwijdige door C aan AB, en een evenwijdige door B aan AC. Het snijpunt van deze evenwijdigen is het vierde punt D van de ruit. Verwissel de namen van de punten C en D. Teken tenslotte de vierhoek ABCD. VVKSO 2007-2008 19

3.8. Controles uitvoeren met de knop Relaties tussen objecten Teken eerst een willekeurige vierhoek. Teken daarna de vierhoek bepaald door de middens van de zijden van de oorspronkelijke vierhoek. We willen aantonen dat de nieuwe vierhoek een parallellogram is. Maak de figuur zoals hierboven en plaats bij elk van de zijden van de nieuwe vierhoek hun naam. (De middens van de zijden zijn onmiddellijk te tekenen met de knop Midden of middelpunt, onder de tweede knop van links op de knoppenbalk.) Ga dan naar de voorlaatste groep in de knoppenbalk en kies daar Relatie tussen 2 objecten. Klik dan op twee overstaande zijden van de nieuwe vierhoek (opgelet: nauwkeurig aanduiden!!). Je krijgt de melding dat de twee lijnstukken verschillend zijn, maar wel gelijke lengte hebben. Wil je controleren of de lijnstukken evenwijdig zijn: teken dan eerst de rechten die dragers zijn van de lijnstukken, en vraag dan de relatie tussen deze twee rechten. 20 VVKSO 2007-2008

3.9. Transformaties De knoppen om transformaties uit te voeren, bevinden zich onder de derde laatste knop. 3.9.1 Puntspiegeling We spiegelen een veelhoek ABCDEF rond een punt O: Teken eerst de veelhoek en een punt O. Activeer de knop Puntspiegeling, klik op de veelhoek en daarna op O. Om de volledige veelhoek te spiegelen, moet je middenin de veelhoek klikken je ziet dan ook dat alle zijden dikker worden. Klik je op de rand, dan wordt slechts 1 zijde dikker en enkel die zijde wordt dan gespiegeld. De gespiegelde veelhoek wordt getekend met de namen van de gespiegelde punten erbij. Wil je de namen wat groter, kies dan Opties/Lettergrootte en pas de grootte aan. Pas op: elke tekst (ook de menubalk) wordt dan aangepast. Wil je nu ook constructielijntjes van elk punt naar zijn spiegelpunt, teken dan eerst alle lijnstukjes. Klik dan met je rechtermuisknop op 1 van de lijnstukjes en kies eigenschappen. In de linkerkolom van het geopende venster zie je alle getekende objecten. Om te weten welke de naam is van de constructielijnen, klik je op één van de namen in de linkerkolom. Op de tekening wordt het aangeklikte lijnstuk geselecteerd. Zoek nu de 6 constructielijnen en selecteer ze alle 6 tegelijk door de shift-toets in te drukken. Verander daarna de lijnsoort in stippellijn. Alle constructielijnen worden nu in stippellijn getekend. Als we nu de eigenschappen van een puntspiegeling intuïtief willen aantonen aan de leerlingen, dan kunnen we lengtes en hoeken meten in de 2 veelhoeken en constateren dat die 2 aan 2 gelijk zijn. En om aan te tonen dat dit altijd klopt, kun je nu punten verplaatsen in de originele veelhoek. VVKSO 2007-2008 21

3.9.2 Spiegeling rond een rechte We kiezen hier de knop lijnspiegeling. De werkwijze is volledig identiek als bij een puntspiegeling. 3.9.3 Rotatie met centrum over bepaalde hoek Voor een rotatie hebben we een figuur, een centrum en een hoek nodig. Teken een vierhoek en een centrum O. Activeer nu de knop Rotatie met centrum over bepaalde hoek, klik op de vierhoek en dan op O. Daarna opent zich een venster om de hoekgrootte in te geven. Geef de grootte in, bv. 30, kies voor tegenwijzerzin en klik op OK. We hebben dit al gebruikt in het voorbeeld onder 3.7. Als je een dynamisch beeld wil krijgen door de hoek van de rotatie te verhogen, moet je als volgt tewerk gaan: - teken een veelhoek en een centrum O - maak een schuifknop deze vind je onder de 4de knop van rechts. Kies voor hoek en pas eventueel de stapgrootte aan. De schuifknop krijgt de naam α - activeer nu de knop Rotatie, klik op de veelhoek, op O en vul dan in het venstertje als hoek α in door achteraan op α te klikken. - Nu kun je met de verplaatsknop het punt over de schuifknop slepen en krijgen we een dynamische rotatie. 3.9.4 Verschuiving over een vector Hiervoor moet je eerst een figuur en een vector tekenen. Om de figuur te verschuiven, klik je eerst op de figuur en daarna op de vector. 3.10. Homothetie Bij een homothetie teken je eerst een figuur en een punt, activeer de knop Homothetie en klik achtereenvolgens op de figuur en het punt. Geef dan nog de factor van de homothetie in in het venster dat geopend wordt. Ook hier kun je eerst de factor ingeven als schuifknop om dan op een dynamische manier de betekenis en de eigenschappen te laten zien. 22 VVKSO 2007-2008

3.11. Speciale lijnen in een driehoek. 3.11.1 Bissectrices Teken een driehoek ABC. Met de knop Bissectrice in de groep Constructies tekenen we de bissectrices als volgt: de bissectrice in het punt A vinden we door achtereenvolgens C, A en dan B aan te klikken of in de omgekeerde volgorde. Belangrijk is dat we het punt A als middelste punt aanklikken. Je kan de hoeken natuurlijk ook aanduiden door de benen van de hoek aan te duiden, maar in dat geval worden de twee bissectrices van de hoek getekend. Het snijpunt D bepalen we met de knop. Als we nu één van de hoekpunten verplaatsen, worden de bissectrices mee verplaatst en zien we dat ze mekaar nog steeds snijden in 1 punt. Je kunt ook laten zien dat het punt D op alle 3 de bissectrices ligt als volgt: klik op de knop Relatie tussen twee objecten en klik eerst op D en dan op de eerste bissectrice. De volgende tekst verschijnt: Je kunt dit nu herhalen voor de andere 2 bissectrices 3.11.2 Hoogtelijnen We tekenen de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde met de knop. We merken: de 3 hoogtelijnen snijden mekaar ook in 1 punt, ook als 1 van de hoeken stomp is en dat hoogtepunt buiten de driehoek valt. 3.11.3 Middelloodlijnen Kies de knop Middelloodlijnen en klik op één van de zijden van de driehoek 3.11.4 Zwaartelijnen. Om een zwaartelijn te tekenen, moeten we eerst het midden van de zijde kennen. Bepaal het midden van een lijnstuk (of tussen 2 punten) in GeoGebra met de knop Midden uit de groep Punten. Verbind dan een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde (halfrechte of lijnstuk). VVKSO 2007-2008 23