Blackman: de impact van terugkoppeling op nodeimpedanties Stefan Cosemans (stefan.cosemans@esat.kuleuven.be) http://homes.esat.kuleuven.be/~scoseman/basisschakelingen/
Overzicht Impedantie op een node definitie Implicatie: polen in transferfunctie Impact van feedback op de nodeimpedantie Een voorbeeld Blackman 2
Impedantie op een node De ingangsimpedantie of uitgangsimpedantie van een terminal i is de parameter die het lineaire verband aangeeft tussen v_i en i_i wanneer de exitatie voor alle andere terminals op 0 wordt gezet (zie slides 'van circuit naar signaalverwerkingsblokken') De impedantie op een node (=de impedantie tussen deze node en de AC-grond) kan dan bepaald worden door in gedachte deze node naar buiten te brengen, of er dus een extra terminal (hier 'test' genoemd) aan te verbinden. De impedantie op de node is de impedantie van deze ingebeelde terminal. 3
Impedantie op een node Dankzij het superpositie-principe (waarbij de a staat voor de stap waarin we enkel naar de invloed van i_test kijken en alle andere onafhankelijke bronnen op 0 stellen) vinden we direct dat R test = v test, a i test, a = i test, a R 1 Z 2 i test, a =R 1 Z 2 4
Impedantie op een node Herinner je dat de impedantie van een terminal kan afhangen van de manier waarop de andere (de echte) terminals worden ge-exiteerd onafhankelijke spanningsbron, onafhankelijke stroombron, lastweerstand of een comlexere afhankelijke stroombron of afhankelijke spanningsbron. Ga in het voorbeeld eens na wat de nodeimpedantie wordt wanneer je de uitgang beschouwt als stroomuitgang (en dus exiteert met een spanningsbron) 5
Implicatie: polen in transferfuncties Wanneer we een schakeling analyseren worden in een eerste analyse de (ongewenste maar onvermijdelijke) capaciteiten op alle knopen meestal verwaarloosd. We bekomen dan een signaalverwerkingsblok zoals afgebeeld in de figuur, en lezen af: v uit =A 1 A 2 v in A F A 2 v inout R uit, 3 i uit 6
Implicatie: polen in transferfuncties We willen daarna in een tweede stap nagaan wat het effect is van de capaciteiten die we eerst verwaarloosd hebben. De transferfunctie wordt nu (de uitgangsweerstand samen met de last vormt een impedantie-deler) v uit =v in A 1 Z c, p1 Z c, p1 R uit, 1 A 2 Z c, p2 Z c, p2 R uit,2 Z c, L Z c, L R uit,3 v inout A F Z c, p1 Z c, p1 R uit,1 A 2 Z c, p2 Z c, p2 R uit, 2 Z c, L Z c, L R uit, 3 7
Implicatie: polen in transferfuncties Elk van de termen Z_c / ( Z_c + Ruit ) levert een pool op in de transferfunctie, immers Z c Z c R uit = 1 j C 1 j C R uit = met f k = 1 2 R C 1 1 j R C = 1 1 j f f k Bemerk dat ipv R_{uit} in deze formules in het algemene geval (wanneer er ook een ingangsweerstand is voor het volgende blok) de node-impedantie staat. 8
Implicatie: polen in transferfuncties Niet al de polen in deze transferfunctie zijn echter relevant De pool bij de laagste frequentie wordt de dominante pool van het systeem genoemd. Deze bepaalt de bandbreedte van het systeem. Voor frequenties boven deze pool daalt de versterking van de schakeling met 20dB/decade ten gevolge van deze pool, immers 20 log 10 1 1 j f f k 20 log 10 f k f = 20 log 10n voor f =n f k Polen die veel hoger liggen dan deze frequentie hebben geen significante impact op het gedrag van het systeem, aangezien hun impact op de transferfunctie enkel wezenlijk is waar er reeds een extreem grote verzwakking aanwezig is. Om te weten welke capaciteiten moeten worden meegerekend, berekenen we eerst de uitgangs- en ingangsweerstanden. We bepalen dan de frequentie van alle polen, maar werken alleen verder met de polen die relevant zijn voor het systeem 9
Overzicht Impedantie op een node definitie Implicatie: polen in transferfunctie Impact van feedback op de nodeimpedantie Een voorbeeld Blackman 10
Impact van feedback op de node-impedanties Wanneer we in het voorbeeld v_inout aan v_uit koppelen (en dus de terugkoppel-lus sluiten), dan veranderen we het type exitatie aan de terminals van ons systeem, en daardoor zullen ook de impedanties op de knopen wijzigen, bijvoorbeeld. v test,1,a =i test,1,a R uit,1 A 1 0 A F V uit,a v test, 1,a =i test, 1,a R uit,1 A F v n2, a v test,1, a =i test,1, a R uit, 1 A F A 2 v test, 1,a 11
v test,1,a =i test,1,a R uit,1 A 1 0 A F V inout, a v test,1,a =i test,1, a R uit, 1 A F v n2,a v test, 1,a =i test,1,a R uit,1 A F A 2 v test,1, a Impact van feedback op de node-impedanties R node,1, closedloop = v test,1,a R uit,1 = = R node1,openloop in dit geval i test,1,a 1 A F A 2 1 loop gain 12
Overzicht Impedantie op een node definitie Implicatie: polen in transferfunctie Impact van feedback op de nodeimpedantie Een voorbeeld Blackman 13
Blackman de formule van Blackman laat toe om de impedantie tussen twee willekeurige knopen te berekenen in een schakeling met terugkoppeling. In praktijk zijn we meestal geinteresseerd in de impedantie tussen een node en de ac grond. Z x,met feedback =Z x, zonder feedback 1 A F short 1 A F open met volgende definities: Z x, zonder feedback de impedantie tussen de nodes wanneer de terugkoppelingslus is doorgeknipt. In het vorig voorbeeld betekent dat v inout =0 A F short = de loopgain (of lusversterking) wanneer de twee knooppunt kortgesloten worden. indien de impedantie naar de grond wordt berekend is deze steeds 0. A F open = de loopgain (of lusversterking) wanneer het knooppunt open gelaten wordt. Indien de impedantie naar de grond wordt bepaald komt is dit de welbekende loopgain 14
Blackman - voorbeeld We willen de impedantie op node n1 bepalen. Dit is impedantie tussen node n1 en de ac-grond. 15
Blackman - voorbeeld Voor het bepalen van de impedantie zonder feedback openen we de feedback lus terug. We zetten alle onafhankelijke bronnen op 0 en vinden (superpositie, beschouw enkel de i_test,1 bron). Z x, zonder feedback =R uit,1 16
Blackman - voorbeeld Voor het bepalen van de loopgain wanneer de twee nodes worden kortgesloten (hier n1 en de ac grond), wordt node n1 met de grond verbonden. Dan is v_n1=0, dus ook v_n2=0 en v_uit=0. De loopgain is dan ook 0 A F short =0 17
Blackman - voorbeeld Indien een impedantie naar de grond wordt bepaald, moet voor het bepalen van de loopgain met open node niets aan het circuit veranderd worden. De onafhankelijke bronnen worden weer 0 gesteld, en we vinden A F open = A F A 2 18
Blackman - voorbeeld Blackman's formule geeft dan: 1 0 R n1 naar grond, met feedback =R n1 naar grond, zonder feedback 1 A F A 2 19