Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen. Elk onderdeel is een aantal punten waard, dat vet gedrukt is aangegeven. Het totaal aantal punten is 00. Er zijn vragen in drie categorieën: reproductie, T toepassing, I inzicht. Schrijf je naam, studentnummer en studierichting op elk blad dat je inlevert. Motiveer steeds je antwoorden: een los antwoord zonder uitleg is niet voldoende. Elke berekening dient van een toelichting te worden voorzien. () [] Gegeven zijn vier gebeurtenissen A, A, A, A 4 met kansen P(A ), P(A ) 5, P(A ) 4, P(A 4). (a) [] Laat zien dat P(A A A A 4 ) 9. 0 (b) [4] Geef voorbeelden, aan de hand van een Venn-diagram, waaruit blijkt dat de ondergrens en de bovengrens bereikt kunnen worden. () [] Zij A de gebeurtenis dat de ijssalon morgen open is. Zij B i, i,, de gebeurtenis dat morgen de maximale temperatuur 0 + 0i graden Celsius is. Het weerbericht meldt dat P(B ) en P(B ). De eigenaar van de ijssalon meldt dat P(A B ) en P(A B 4 ). 4 (a) [5] Bereken P(A). (b) [5] Bereken P(B A) en P(B A). () [] Zij X de continue stochast met kansdichtheidsfunctie { x, 0 x, f X (x) Zij Y (X ).
(a) [8] Bereken de cumulatieve kansverdelingsfunctie F Y en met behulp daarvan de kansdichtheidsfunctie f Y. (b) [4] Bereken E(Y ). (c) [4] Bereken var(y ). (4) [I] Zij X, Y het paar discrete stochasten met gezamenlijke kansmassafunctie, k, l N, p X,Y (k, l) π (k + l ) (a) [4] Zijn X, Y identiek verdeeld? Zijn X, Y onafhankelijk? (b) [4] Bereken de kansmassafunctie p Z van Z X + Y. (c) [8] Geef een formule voor P(X > Y ). Bereken deze kans vervolgens tot en met twee decimalen achter de komma nauwkeurig. (5) [] Het paar continue stochasten (, S) heeft gezamenlijke kansdichtheidsfunctie { e f,s (r, s) s, 0 < r < s <, Zij (U, V ) (e, e S ). (a) [8] Bereken de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f U,V. Hint: Bepaal eerst de Jacobiaan van de inverse van de transformatie T : (r, s) (u, v) (e r, e s ). (b) [] Bereken E(UV ). () [T] Zijn X, Y discrete stochasten met kansmassafunctie p X (k) { ( )k, k N, 0, elders, p Y (l) {, l,, Veronderstel dat X, Y onafhankelijk zijn. (a) [5] Bereken de kansmassafunctie p Z van Z XY. (b) [5] Bereken de kansgenererende functie G Z. Wat is de convergentiestraal? (7) [T] Zij X (X n ) n N0 de Markovketen met toestandsruimte S {,,, 4} en
overgangsmatrix P 0 p 0 p p 0 p 0 0 p 0 p p 0 p 0, waar p [0, ] een parameter is. (a) [4] Voor welke waarden van p is X irreducibel, respectievelijk, is X aperiodiek? (b) [4] Bereken de invariante kansverdeling π (π, π, π, π 4 ). (c) [4] Voor welke waarden van p is π reversibel? (8) [I] Neem twee -zijdige dobbelstenen. Werp de twee dobbelstenen en noteer hun uitkomst. Kies daarna willekeurig één dobbelsteen, werp die dobbelsteen en noteer de uitkomst van beide dobbelstenen. Herhaal dit laatste kansexperiment. (a) [4] Laat zien dat de aldus gegenereerde rij van paren van uitkomsten X (X n ) n N0 een Markovketen vormen. (b) [4] Wat is de toestandsruimte S van X? Wat is de overgangsmatrix P van X? (c) [8] Zij Y n de som van het paar uitkomsten na n worpen. Is Y (Y n ) n N0 een Markovketen?
OPLOSSINGEN () (a) De bovengrens volgt uit de ongelijkheid P(A A A A 4 ) P(A ) + P(A ) + P(A ) + P(A 4 ), de ondergrens uit de ongelijkheid P(A A A A 4 ) max { P(A ), P(A ), P(A ), P(A 4 ) }. (b) De bovengrens wordt bereikt door A, A, A, A 4 disjunct te kiezen, de ondergrens door te kiezen A A A A 4. () (a) Bereken (b) Bereken P(A) P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) 4 () (a) Bereken, voor y [0, ], P(B A) P(A B ) P(B ) P(A) P(B A) P(A B ) P(B ) P(A) 4 7 4 7 + 7. 4 7, 7. F Y (y) P(Y y) P ( (X ) y ) P ( y + X y + ) y+ y+ f X (x) dx [ z( z)] z y+ y+ y z y ( x) dx y ( y z) dz y ( y) + y ( + y) y. Het is verder evident dat F Y (y) 0 voor y 0 en F Y (y) voor y. Na differentiëren volgt { f Y (y) F Y (y), y (0, ), y (b) Bereken E(Y ) yf Y (y) dy 0 [ y dy y/] y. y0 4
(c) Idem geldt E(Y ) y f Y (y) dy 0 y/ dy [ 5 y5/] y y0 5, en derhalve var(y ) E(Y ) E(Y ) 4. 5 9 45 (4) (a) Vanwege symmetrie geldt p X p Y, dus zijn X, Y identiek verdeeld. Omdat p X,Y p X p Y zijn X, Y niet onafhankelijk. (b) De som Z X + Y heeft kansmassafunctie p Z (m) π {k+l m} p X,Y (k, l) π m k N l N k m π m, m N. (c) Vanwege symmetrie geldt P(X > Y ) P(X Y ) [ ] P(X Y ) [ ]. π (k ) k N De gevraagde benadering krijgen we door de som na k af te breken. Omdat [ (/π )( + )] 0... en (/π )5 0.004..., is het antwoord P(X > Y ) 0.. (5) (a) De transformatie T gegeven door (u, v) T (r, s) (e r, e s ) is een bijectie met inverse T gegeven door (r, s) T (u, v) (log u, log v). De Jacobiaan van T is de determinant J(u, v) r u s u r v s v Volgens de Jacobi formule geldt dus dat u 0 0 v (uv). ( ) f (U,V ) (u, v) f (,S) r(u, v), s (u, v) J(u, v) { v (uv), < u < v <, 5
(b) Er volgt E(UV ) De integraal divergeert. du dv uv f (U,V ) (u, v) du u dv v. () (a) De kansmassafunctie van Z XY wordt gegeven door p Z (m) {klm} ( )k [ ( )m + {m even} ( )m/], m N, k N l, (b) De kansgenererende functie van Z is G Z (s) s m p Z (m) ( s)m + ( s ) m m N s s + De convergentiestraal van G Z is. m N s s, s C. (7) (a) De toestandsruimte S kun je zien als de punten van een vierkant die kloksgewijs geordend zijn. De overgangskansen zijn zo dat sprongen met de klok mee kans p hebben en sprongen tegen de klok in kans p. Daardoor is X voor alle waarden van p irreducibel en voor geen enkele waarde van p aperiodiek (de periode is voor p (0, ) en 4 voor p 0, ). (b) De invariante verdeling is een oplossing van de vergelijking π πp met π + π + π + π 4. Omdat X irreducibel is, is de oplossing uniek. Dit geeft het stelsel vergelijkingen π ( p)π + pπ 4, π ( p)π + pπ, π ( p)π 4 + pπ, π 4 ( p)π + pπ, dat π (,,, ) als unieke oplossing heeft voor alle p. 4 4 4 4 (c) De Markovketen is reversibel dan en slechts dan wanneer p. Alleen dan geldt dat π p ij π j p ji voor alle i < j 4. (8) (a) De Markoveigenschap volgt uit het feit dat, voor elke n N 0, de kansverdeling van X n+ alleen maar afhangt van X n. Immers, een van de twee dobbelstenen wordt niet geworpen en de uitkomst van de worp met de andere dobbelsteen is toevallig. m N
(b) De toestandsruimte is de overgangsmatrix is S {,,,,,,,, }, p (ij)(k,l), k i, l j of k i, l j,, k i, l j, (c) Wanneer X n (Xn, Xn), dan geldt Y n Xn + Xn. Omdat informatie verloren gaat door de sommatie, is Y géén Markovketen. Bijvoorbeeld de toestand Y n 4 correspondeert met X n {(, ), (, ), (, )}. Er geldt echter P ( X n+ x X n (, ) ) {, x (, ), (, ), (, ), (, ),, x (, ),, x (, ), (, ), (, ), (, ), P ( X n+ x X n (, ) ) {, x (, ), en derhalve P ( Y n+ y X n (, ) ) {, y,, 5,,, x 4, P ( Y n+ y X n (, ) ) {, x, 4, 5, 0, x,. De kansverdeling van Y n+ hangt dus niet alleen maar van de waarde van Y n af. 7