ONTWIKKELING VAN HET FUNCTIEBEGRIP IN DE TWEEDE GRAAD

ONTWIKKELING VAN HET FUNCTIEBEGRIP IN DE TWEEDE GRAAD BEGRIPPENKADER De onafhankelijk veranderlijke en de afhankelijk veranderlijke. Als twee grootheden met elkaar in verband staan: noemt men de grootheid waarvoor men de waarden kiest de onafhankelijk veranderlijke. noemt men de grootheid waarvan men de waarden bepaalt de afhankelijk veranderlijke. Een functie is een verband tussen twee veranderlijken zo dat bij elke waarde van de onafhankelijk veranderlijke hoogstens één waarde van de afhankelijk veranderlijke behoort. Een functie kan op drie manieren voorgesteld worden: - Tabel: voor een (meestal) beperkt aantal waarden van x kan je de overeenstemmende waarde van y aflezen. - Grafiek: voor een grote reeks waarden van x kan je, bij benadering, de overeenstemmende waarde van y aflezen. - Functievoorschrift: voor elke waarde van x kan je de overeenstemmende waarde van y berekenen. Invoerwaarde en functiewaarde In het functievoorschrift f(x) = y : is x de invoerwaarde, de x-waarde of het origineel is y de functiewaarde of het beeld van x Het verloop van een functie. - Een functie is stijgend in een interval als: in dat interval bij toenemende waarden van x de functiewaarden groter worden. - Een functie is dalend in een interval als: in dat interval bij toenemende waarden van x de functiewaarden kleiner worden. - Een functie is constant in een interval als: in dat interval bij toenemende waarden van x de functiewaarden gelijk zijn. Domein en bereik van een functie. De verzameling van alle getallen x waarvoor de functiewaarde bestaat noemen we het domein van de functie. De verzameling van alle functiewaarden van een functie noemen we het bereik van de functie. Opmerking: in opgaven bij concrete situaties wordt vaak gewerkt met een praktisch (of realistisch) domein waarbij dan ook een praktisch beeld hoort. Extreme waarden (maximum, minimum) 1

Nulwaarde (nulpunt). Een nulwaarde is een x-waarde of origineel waarvoor de functiewaarde gelijk is aan nul; - grafisch is deze te vinden door het eerste coördinaatgetal te bepalen van snijpunt(en) van de grafiek met de x-as; - in de tabel te vinden door y-waarden te zoeken die gelijk zijn aan nul en daarvan de bijhorende x-waarde af te lezen; - algebraïsch te vinden door het oplossen van f(x)=0. WAAROM ICT GEBRUIKEN? Het begrip functie kan van bij de aanvang een ruimere invulling krijgen: minder uitsluitend nadruk op de formule (vergelijking, voorschrift) maar ook meer aandacht voor de grafiek en tabellen (koppels, functiewaarden). De drie aspecten van het functiebegrip formule / voorschrift (vergelijking), tabel / koppels en grafiek worden dus toegankelijker (snel beschikbaar). Als een grafiek of tabel sneller ter beschikking is, kunnen bepaalde vragen omtrent het verloop veel vroeger aan bod komen: bijvoorbeeld de vraag naar het maximum bij een functie van de tweede graad hoeft niet tot het tweede leerjaar van de tweede graad te wachten. Het maken van een grafiek of tabel met de hand vraagt veel tijd. Als leerlingen een grafische rekenmachine bij de hand hebben is het beter haalbaar om een grafiek of een tabel te maken. Een verantwoorde keuze van de venster instellingen blijft noodzakelijk. Bij praktische problemen wordt er vaak met een beperkt domein en bereik gewerkt hoewel dit niet altijd geëxpliciteerd wordt. Het inzien van deze beperkingen is belangrijk voor het bepalen van de instellingen van het venster en het interpreteren van de grafiek. Technieken voor het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden kunnen in een ander daglicht komen te staan. Vaardigheden zoals schattend rekenen, lezen van grafieken, schetsen van grafieken, grafisch benaderen van nulpunten, grafisch benaderen van snijpunten, van extreme waarden, zullen aan belang winnen. Dat je snelle feedback kan krijgen bij gebruik van ICT is een belangrijk aspect van het gebruik. ICT kan frequent als controlemiddel ingeschakeld worden. 2

GEBRUIK GRM ( TI 83/TI 84) Wat wil je? Hoe doe je dat? Formule / Voorschrift invoeren Tabel laten zien Aanpassen van de tabel (settings) Grafiek laten tekenen [Y=] [TABLE] [TBLSET] TblStart: x-startwaarde ΔTbl: interval tussen 2 opeenvolgende x-waarden Auto: automatisch tonen van de waarden Ask: waarden ingeven in tabel Indpnt: onafhankelijke veranderlijke Depend: afhankelijke veranderlijke [GRAPH] Vensterinstellingen kiezen/aanpassen - Manueel (bij praktische problemen) - Automatisch via standaardvensters Volgen van punten op een grafiek Snijpunten van grafieken Grafisch (benaderend) aflezen [WINDOW] Xmin, Xmax, [ZOOM] [Zdecimal], [Ztrig],[Zstandard], [Zoom In], [TRACE] [TRACE], eventueel [ZOOM], [ZOOM BOX], Numeriek bepalen via grafiek Vanuit tabel [CALC], [intersect] [TABLE], eventueel [TBLSET] Extreme waarden Grafisch (benaderend) aflezen Numeriek bepalen Vanuit tabel Nulwaarde(n)/Nulpunt(en) Grafisch (benaderend) aflezen Numeriek bepalen Vanuit tabel Bewerkingen met functies Een functie opvragen [TRACE] [ZOOM] [CALC] [minimum/maximum] [TABLE] eventueel [TBLSET] [TRACE] [ZOOM] [CALC] [zero] [TABLE] eventueel [TBLSET] [VARS] [Y-VARS] 1:FUNCTION 3

AANDACHTSPUNTEN Vraag ook aan de leerlingen welk soort grafiek ze verwachten te bekomen bij een gegeven verband vooraleer ze de grafiek tekenen met GRM ( schatten ). Voorbeeld (als demonstratie) [Y=] kies het toestandsteken (-) i.p.v. het bewerkingsteken - vraag de leerlingen welke grafiek ze verwachten(o.m.verloop) en dan [GRAPH] [X,T,q,n] [(-)] [2] wordt verwerkt als -2x Hecht voldoende belang aan het expliciteren van de wiskundige terminologie bij het beantwoorden van vragen (functiewaarde, origineel, nulpunt, maximum, oplossen van de vergelijking/ongelijkheid, ). REELE FUNCTIES EN ALGEBRA OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN Voorbeeld 1 Uit een examen voor het tweede leerjaar van de tweede graad (leerlingen beschikken over een GRM tijdens het examen) Los op: 3 x ² + 1 x ² 4 1 2 6 6 Welke oplossingsweg wordt hier verwacht? Gebruik daarom vaste formuleringen (zie verder). Voorbeeld 2 Van een brug over een 60 meter brede rivier is de hoogte y (in meter) gegeven door het volgende verband: y = 0,02x 2 + 18. Hierbij is x de afstand (in meter) tot het midden van de rivier. Een boot heeft een hoogte van minstens 10 meter nodig om onder de brug door te kunnen varen. Op welk deel van de rivier kan de boot de brug passeren? 4

OVERZICHT Vergelijkingen van de eerste graad Eerstegraadsfuncties (met link naar GRM) Los op: 2 x + 5 = 0 Stel f(x) = 2 x + 5 Bepaal het nulpunt van f(x) Hoe? Ø algebraïsch Ø grafisch : grafiek tekenen; [CALC] [ZERO] Ø in tabel Los op: 2 x + 5 = 8 3x Stel f(x) = 2x + 5 en g(x) = 8 3x Wanneer is f(x) = g(x)? Hoe? Ø algebraïsch Ø grafisch: grafieken tekenen; [CALC] [INTERSECT] Ø in tabel (eventueel via invoeren van f(x) g(x)) Los op: 2 x + 5 = 17 Stel f(x) = 2 x + 5 Voor welke waarde van x is f(x) = 17? Hoe? Ø algebraïsch Ø grafisch: grafiek tekenen + grafiek van y = 17; [CALC] [INTERSECT] Ø in tabel Andere functies Los op: f(x) = 0 Bepaal een nulpunt van f(x) Hoe? Ø grafisch: grafiek tekenen; [CALC] [ ZERO] Ø in tabel Los op : f(x) = g(x) Wanneer is f(x) = g(x)? Hoe? Ø grafisch: grafieken tekenen; [CALC] [INTERSECT] Ø in tabel (eventueel via invoeren van f(x) g(x)) Los op: f(x) = a Voor welke waarde(n) van x is f(x) = a? Hoe? Ø grafisch: grafiek tekenen + grafiek van y = a; [CALC] [INTERSECT] Ø in tabel Analoog voor ongelijkheden, functies van de tweede graad enz. 5

AANDACHTSPUNT Gebruik van formuleringen bij de opdrachten LEES AF een antwoord is voldoende, een toelichting is niet noodzakelijk BEREKEN (exact of tot op decimalen nauwkeurig) het antwoord moet door berekening gevonden worden, het gebruik van de GRM is niet voldoende, kan wel als schatting of als controle TEKEN DE GRAFIEK aan de kwaliteit van de grafiek worden eisen gesteld (+ toelichting) SCHETS DE GRAFIEK kan op basis van de grafiek op de GRM, een toelichting is niet vereist LAAT DE GRAFIEK TEKENEN met GRM of met gebruik van software LOS OP MET BEHULP VAN EEN GRAFIEK OP DE GRM, (eventueel afspraken maken i.v.m. noteren van vensterinstelling) LOS ALGEBRAÏSCH OP berekeningen (tussenstappen) zijn vereist BEPAAL / LOS OP er worden geen eisen gesteld aan de manier waarop het antwoord is gevonden ; er kan een toelichting gevraagd worden HERSCHRIJF een formule omvormen om in te voeren in de GRM 6

VOORSCHRIFTEN BEPALEN BIJ EEN GEGEVEN GRAFISCHE VOORSTELLING Voorbeeld : gekend als een spookfunctie Opdracht: zoek een passend voorschrift en controleer met je GRM (Bron: Uitwiskeling, mei 1996) EXTREMUMPROBLEMEN Voorbeeld Gegeven ABCD is een rechthoek met AB = 30 en AD = 20 PQRS is een parallellogram Gevraagd Bepaal x zodat de oppervlakte van PQRS maximaal is. 7

OPDRACHTEN 1.Een boer heeft 30 meter prikkeldraad om voor zijn schapen een stuk weiland af te bakenen. Langs één zijde loopt een gracht waar hij geen afsluiting zal plaatsen. a. Geef een formule voor de oppervlakte van het weiland in functie van de breedte. b. Maak met GRM de bijhorende tabel en lees af voor welke breedte de oppervlakte gelijk is aan 92 m². Controleer door berekening. c. Laat de grafiek tekenen. Kies eerst een passende vensterinstelling. d. Lees op de grafiek af bij welke breedte de oppervlakte maximaal is. Controleer in de tabel. 2. De formule voor de oppervlakte van een bol met straal r is: A = 4π r². a. Bereken de oppervlakte van een bol met straal = 5 cm b. Verdubbel de straal. Wat gebeurt er met de oppervlakte? c. Stel het verband tussen oppervlakte en straal grafisch voor (met GRM). d. Leid een formule af waarmee je de straal onmiddellijk kan berekenen als de oppervlakte gegeven is. 3. In een regenton zit 140 liter water. De bodem van de ton is echter poreus en daardoor lekt elk uur 10 % van het nog aanwezige water weg. a. Stel een formule op voor de hoeveelheid water die de ton bevat in de loop van de tijd. b. Teken de bijhorende grafiek. c. Bepaal grafisch na hoeveel uur er minder dan 25 liter water in de ton zit. 4. De snelheid van een kabelbaan bedraagt 2 m/sec. De kabelbaan maakt een hoek van 35 met het horizontaal vlak. De kabelbaan vertrekt 1100 m boven de zeespiegel en komt toe op 1800 m. a. Druk de hoogte H (boven de zeespiegel) van de cabine uit in functie van het aantal minuten dan men onderweg is b. Kies een gepaste vensterinstelling en stel de situatie grafisch voor. c. Beantwoord met behulp van de grafiek: - Op welke hoogte is men na 7 minuten? - Na hoeveel minuten is men op 1450 m hoogte? 5. In een grot groeien een stalagmiet en een stalactiet naar elkaar toe volgens de volgende formule: stalagmiet h = 215 + 0,7 t stalactiet h = 418-1,1 t In deze formules is h de afstand in mm van de top tot de bodem en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1980. a. Kies een passende vensterinstelling en voer de formules in. b. Hoeveel mm is de afstand tussen de toppen in januari van het jaar 2000? c. Wat gebeurt er met de formule als door vandalisme een stuk van de stalactiet wordt afgebroken? d. Welke van beide stijgt / daalt het snelst? e. Hoe kan je dit grafisch zien? Hoe kan je dit zien in de formule? f. In welk jaar raken de toppen elkaar? g. Bereken in welk jaar de ruimte tussen de toppen gelijk is aan 9 cm. Controleer met de tabel. 6. a. Teken de grafieken van f(x) = x + 20 en g(x) = - 2x + 15. Kies het venster zodat je beide grafieken goed in beeld krijgt. b. Bepaal de coördinaat van het snijpunt (grafisch en door berekening) c. Voor welke waarden van x geldt dat f(x) > g(x)? 7. Los de vergelijking (ongelijkheid) functie y = 3 5 x - 5 3 5 x - 5 = ( ) - 7 3 Controleer je antwoord door een berekening. op in R door af te lezen via de grafiek van de 8

8. Gegeven is de oppervlakteformule voor een rechthoek: oppervlakte = lengte. breedte of O = l. b a. Noteer de formule als de oppervlakte gelijk is aan 24 m² b. Noteer de formule als de lengte gelijk is aan 24 m c. Welke van volgende grafieken kan horen bij a? Welke van volgende grafieken kan horen bij b? Waarom? Zet de juiste grootheden bij de assen. Controleer door de grafieken ook te laten tekenen met GRM. 9. Voor een rit in een taxi betaal je 2,5 EURO vaste kosten en 1,2 EURO per gereden km. a. Noteer de formule die het verband geeft tussen de prijs voor een taxirit (p) en het aantal gereden km (a). b. Kies een passende vensterinstelling en teken de grafiek die bij deze functie hoort. c. Waarom is deze grafiek niet in overeenstemming met de werkelijkheid? 10. Ann kan CD s lenen in de bibliotheek. Hiervoor heeft ze jaarlijks een pasje nodig dat 6 EURO kost. Per geleende CD betaalt ze 0,5 EURO. In een platenzaak in haar buurt kan ze ook CD s lenen. Een pasje voor een jaar kost daar slechts 2 EURO en per ontleende CD betaal je er 0,75 EURO. a. Bepaal grafisch welke keuze je Ann zou aanbevelen: de bibliotheek of de platenzaak? Waarom? b. Controleer door berekeningen. 11. Voer voorschriften in zodat je hetzelfde scherm bekomt als in de gegeven figuren (noteer de voorschriften; werk efficiënt). 12. Voer voorschriften in zodat je hetzelfde scherm bekomt als in de gegeven figuur (noteer de voorschriften). 9

13. Op t = 0 begint Bert te lopen met een snelheid van 2 m/s. Tussen de afgelegde weg (in m) en de snelheid (in m/s) bestaat dus volgend verband: s = 2 t. Zijn vriend Bart loopt even snel maar begint 5 seconden later te lopen. a. Teken een s-t grafiek van de activiteit van Bert. Gebruik de volgende vensterinstellingen: i. b. Welke formule hoort bij de activiteit van Bart? s = 2 (t + 5) s = 2.t + 5 s = 2. t 5 s = 2. ( t 5) Noteer eerst een antwoord en controleer dan met de GRM. 14. Een parabool snijdt de x-as in de punten (0,0) en (20,0). De y-coördinaat van de top is 4. a. Welk functievoorschrift hoort bij deze parabool? Controleer door de grafiek te tekenen. b. Lees af voor welke waarden van x de punten van de parabool boven de rechte met vergelijking y = 2 liggen. Noteer als een ongelijkheid. 15. Een bedrijf wil affiches maken met een oppervlakte van 2 m². Deze affiches worden bedrukt zodat er aan de beide zijkanten en aan de bovenkant een witte strook van 15 cm overblijft. Aan de onderkant is deze strook 25 cm breed.het bedrukte deel is een vierkant. a. Noteer een formule voor de oppervlakte als functie van de zijde. b. Maak de bijhorende tabel en bepaal met behulp van deze tabel een waarde voor de zijde waarbij de oppervlakte gelijk is aan 2 m². c. Teken dan de grafiek en controleer op de grafiek bij welke waarde(n) van z de oppervlakte gelijk is aan 2 m². (suggestie: vraag hier eerst aan de leerlingen welke grafiek ze verwachten) d. Bereken ook de waarde(n) van z waarbij de oppervlakte gelijk is aan 2 m². 16. In een bakkerij wordt op een winterdag de temperatuur gegeven door de formule T = -t² + 8t + 10. Hierin is T de temperatuur in C en t is de tijd in uren met t = 0 om 5 uur ( s morgens). Bereken de temperatuur om 6 uur en om 11 uur (in de voormiddag). Noteer de formule zodat je ze kan gebruiken voor het tekenen van de grafiek. Kies passende vensterinstellingen. Teken de grafiek en controleer je antwoorden. Bepaal grafisch hoe laat het is als de temperatuur zijn hoogste stand bereikt en controleer dan door berekening. Als het 24 is of warmer is het niet meer zo aangenaam om te werken. Bepaal met behulp van de GRM tussen welke tijdstippen dit het geval is. Op een zomerdag is de temperatuur in de bakkerij telkens 5 C hoger dan op een winterdag. Geef dan de formule voor T. Vind je de gegeven formule die de temperatuur weergeeft op een winterdag realistisch? 17. Los volgende ongelijkheid op door het tekenen van de grafieken van de bijhorende eerste- en tweedegraadsfunctie: x² - 3 x + 4 < 7 2x 10

18. Gegeven : Door welk soort grafiek wordt y 3 voorgesteld? Noteer een antwoord vooraleer de GRM te gebruiken. Teken de grafieken (standaardinstelling) in één figuur. Merk op dat de grafiek van y 3 de x-as snijdt in punten waar ook y 1, resp. y 2 de x-as snijden. Geef hiervoor een verklaring. Wat merk je op voor de ligging van y 1 en y 2 op de plaatsen waar de grafiek van y 3 boven de x- as ligt? Geef hiervoor een verklaring. 19. Gegeven: a. Maak een schets van de productgrafiek van de voorgestelde grafieken. b. Stel de voorschriften op voor de functies die horen bij de voorgestelde grafieken. c. Teken de productgrafiek met de GRM. Controleer met je schets. 21. Een leraar wiskunde was in zijn jonge jaren een goede verspringer. Eén van zijn sprongen werd gegeven door volgende formule: h = - 16 1 a² + 2 1 a. Hierin is a de horizontale afstand vanaf de afzet (in meter) en h de hoogte (in meter). a. Kies een passende vensterinstelling en voer de formule in. b. Bepaal op 2 verschillende manieren: - na hoeveel meter de leraar weer met beide benen op de grond landde; - de maximale hoogte van de leraar tijdens de sprong. 22. Teken de grafieken van f(x) = x. De grafiek wordt 2 naar rechts en 3 naar omhoog verschoven. Noteer het functievoorschrift dat hoort bij de verschoven grafiek. Controleer door de grafiek te laten tekenen met GRM. Analoog voor g(x) = 1 x 11

23. Laat de grafieken tekenen van f(x) = (x - 3)² - 2 en g(x) = x + 4 + 2 Hoeveel snijpunten hebben deze grafieken? Benader de coördinaat van het(de) snijpunt(en). Hoeveel snijpunten zijn er als je in het voorschrift van f 3 vervangt door 1? Noteer eerst je antwoord en controleer dan met GRM Hoeveel snijpunten zijn er als je in het voorschrift van g +2 vervangt door - 2? Noteer eerst je antwoord en controleer dan met de GRM. 24. Een kubus heeft ribbe x. We bekijken van deze kubus drie modellen: een draadmodel D, gemaakt van draad met een massa van 0,45 g/cm een holmodel P, gemaakt van plexiglas met een massa van 1,2 g/cm² een massief model M, gemaakt van hout met een dichtheid van 0,75g/cm³ a. Noteer voor deze drie modellen de massa als een functie van x. b. Schets de grafiek die hoort bij elk model ( neem bv. x ]0,5[). c. Laat in één figuur de grafieken tekenen. d. Onderzoek met behulp van GRM of er waarden zijn van x waarvoor D en P (idem D en M, idem P en M) dezelfde massa hebben. Zo ja, voor welke waarde van x en voor welke massa. 25. Op zijde [AB] van rechthoek ABCD is er een verplaatsbaar punt P. Lijnstuk [PC] verdeelt de rechthoek in twee figuren. Hun oppervlaktes zijn afhankelijk van AP = x. Stel de functievoorschriften op. f(x) = opp trapezium = g(x) = opp driehoek = dom f = bld f = dom g = bld g = Voor x = hebben beide figuren eenzelfde oppervlakte van. Maak deze berekening algebraïsch en controleer met je GRM. 12