NN31545.063 INSTITUUT VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING NOTA 63, d. d. 15 juni 1964 Eenvoudige proef schema's ten behoeve van de Sinderhoeve met de bijbehorende analyses I. G. M. Brück D '"^ S * AA *f Postbus r " v^ n 67 0AE w afien Nota's van het Instituut zijn in principe interne communicatiemiddelen, dus geen officiële publikaties. Hun inhoud varieert sterk en kan zowel betrekking hebben op een eenvoudige weergave van cijferreeksen, als op een concluderende discussie van onderzoeksresultaten. In de meeste gevallen zullen de conclusies echter van voorlopige aard zijn omdat het onderzoek nog niet is afgesloten. Aan gebruikers buiten het Instituut wordt verzocht ze niet in publikaties te vermelden. Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut in aanmerking. U'1 ^ CENTRALE LANDBOUWCATAIOGUS
Y,-' :
Eenvoudigeproefschema'stenbehoevevande Sinderhoevemetdebijbehorendeanalyses I.G.M. Brück Inleiding Bijhetontwerpenvaneen proefschemawordtrekeninggehoudenmetde wisselvalligheid,diederesultatenookonderoverigensgelijke proefomstandighedenvertonen.deproeflevertvolgenseengoedopgezet proefschemawaarnemingscijfers,dieeenstatistischeverwerkingtoelaten. Deze statistischeverwerkingis nuttig,alshette beoordeleneffectklein is ennietsondermeervantoevalligevariatievaltteonderscheiden.de berekeningnaakthetmogelijkhetrisico, waarmeeeenverkeerdeconclusie onderdezeonstandighedenzouwordengetrokken,vastte stellen. Isheteffectdaarentegengroot,dan kanvergelijkingvan gemiddeldenreedsovertuigendzijn. Voordestatistischeverwerkingvandewaarnemingsuitkomsten,volgens devariantie-analyse,wordtverondersteld,datalle waarnemingsuitkoncten onafhankelijketrekkingenzijnuitnormaleverdelingenmetgelijke spreiding. zijn: Debelangrijkstekenmerkenvanliggingvaneennormaleverdeling 1. hetgemiddeldeofdeverwachtingswaarde H o.devariantiecf )diehetkwadraatisvandespreidingjf Meestalzijnvaneen populatieverdelingdegroottevan H en tf onbekend, dochdoortrekkingvaneenaselectesteekproefvan nwaarnemingenuit deze populatie,dusdoorhetdoenvaneen proef,verkrijgtmenzuivere schattingenvan H i en tf, aangeduj aangeduidmet S (u) en S (<J ) of s. Deze schat- tingenworden alsvolgtberekend; 11 v 136/0664/15 L (x--x) h x -U=1 / i-1 i=1 n ' n-1 n-1 n *
-- Voorbeeld: o Stro-opbrengstenin kg, perveldvan0 m, wintertarwe 1963, gegevensverstrektdoorsinderhoeve, x 1 x? x^ X 4 x <=i x 6 X 7 x fi X 9 = = - = = = = = = 13.15 13,85 13.58 13.30 14.47 1.55 1.90 1.96 13.4 1 i-1 x 1 _ 10.00 De proefwordtopgevatalseenaselectesteekproefvan 9 waarnemingen uiteenpopulatiemetnormaleverdelingenonbekende i en tf. la ^0 s (er ) = s = 13.15V1?.85>...+13.4 = 0)555 S (tf) = s x =l 0,355 = O.57I s iseen maatvoordespreiding,diewordtgebruiktomeen betrouwbaarheidsintervalvasttestellen, waarbinnen kanwordenverwachtdat bijvoorbeeld95$ v &ndewaarnemingenzal liggen. Degrootheids-is belangrijkvoorhetvaststellen vaneen betrouwbaarheidsintervalvandeverwachtingswaarde \L. s-wordtberekenduit : x Ï- -af 1 -o. 136/0664/15/
-3- Zoisbijvoorbeeldhet 95% betrouwbaarheidsinterval van; V-t 13.33 -O.190 x.306 <ji < 13.33 +O.19O x.3o6 1.89 < H < 13.768 waarin.306de waardeisuiteent-tabel metn-1=8vrijheidsgradenen. a =0.05-yl tweezijdig. (BiometrikaTablesforstatisticians, volumei, bldz.138) Meteenrisicodusvan 5$ k & n wordenbeweerd^datdeonbekende (i vande populatieverdelingtussendegrenzen1.89en13.768zal liggen,, Deéénklasseindeling Eenaantalaselectesteekproevenvandezelfdegrootte nuit k normaalverdeeldepopulatiesmetgelijkespreiding gvormeneenschemamet eenéénklasseindeling,hetmeesteenvoudigeproefschema. Doormiddelvaneenvariantie-analysekan menopbasisvandeze k aselectesteekproevendehypothese H toetsen,datallepopulatiegemiddeldengelijkzijnaan H,dus V ^ = ^ = = hc -»* metals alternatief,de hypothese: H : minstenséénvandepopulatiegemiddeldenwijktvandeandere af. cl 136/O664/15/3
-4- Voorbeeld: Stro-opbrengetcnin kg,perveldvan0 m, wintertarwe1963, gegevens verstrektdoor Sinderhoeve,. Beregend j=1 Onberegend j= Totaal 1 13.15 1.6 3 4 13.85 13.58 13.30 11.37 11.11 1.11 5 6 7 8 14.47 1.55 1.90 1.96 10.77 1.34 1.13 9.99 9 13.4 10.35 i=1 n 10.00 10.43.43 I6O.6O4O 1171.9967 774.6007 i=1 n 1600.0000 II65.767 765.767 i=1 / n X. 3 13.33 11.38 i- ^s1#36 Hiergeldt nu: V ^1 ~* H a : ^ / n n = 9 k = I36/O664/15/4
-5- Onder de nulhypothese,namelijk wanneer inderdaad alle populatie gemiddelden gelijk zijn, volgen de steekproefgemiddelden x. (j =1,,...,k) eennormalekansverdeling met verwachtingswaarde P en variantie <&-, X ai = _* x n Metbehulp van deze formule kan menuit dewaargenomen k steekproef- gemiddelden de variantie Ö van de enkele waarneming berekenen.een zui- vereschattervan tf- volgt uit: x endus X s (tf). al ±± v x 7 x K. I s = n s- X X (ï.-x) k-1 waarin X = algemeen gemiddelde ofniveau van alle k x nwaarnemingen. Voorbeeld: X - 1 Q 4^ = 1.36 kend uit : Een zuivere schatter vano* is deuitdrukking n s- diewordt bere- X K. n s- =,.^=" 1 "_. x ' k-1 j=1 J - x) X 136/0664/15/5
-6- waarvandeteller kanwordenherleid tot: n i /ie. k f 14 *-j\ (1 x i) (Z x ) - (Zjkl (Z x i + Z* + + Z x k) n n + + n = netto kwadraatsom tussen de steekproeven met (k-1vrijheidsgraden. Hierin is ==* ten voor niveau. ï'i X 1 + Z X + ** + li\f de correctieterm of som van kwadrank nk Denettokwadraatsomtussendesteekproeven kandus worden berekend uitde kolomtotalen =somvandewaarnemingenpersteekproef,en is het nietnoodzakelijkomallex.'safzonderlijkte berekenen. J Voorbeeld; Nettokwadraatsomtussendesteekproeven is: 1600.0000 +1165.767-1, 8 4^ =17.1503met 1 vrijheidsgraad. Indien H juist is, is r - duseenzuivereschattervan Cr ook wel aangeduidmet ^ ofdevariantietussendesteekproeven.. _17-150Î s t ~ 1 Verondersteld is,datalle kpopulatieverdelingendezelfdeo* bezitten. Desteekproefvarianties B (j =1,,...,k) zijn danalleschattingenvan dezelfde ~, zodatmeneentweedezuivereschattingvanif verkrijgtuit het,methetaantalvrijheidsgradenvanelke 6 gewogengemiddeldevan». J 8-f of in formule: v k 1 (n 1-1) s «-J=1 J s '= bofdevariantiebinnendesteekproeven. k ' 136/0664/15/6 X (n j " 1)
-7-. o Zijnden'salle. gelijk,dangaat & h overinhetgewonegemiddelde vandevarianties s.namelijk J ë =.1=1 J é k (n_ 1} waarvandeteller =denettokwadraatsombinnendesteekproevenof desomvan kwadratenvoortoevalmet k (n-1) vrijheidsgraden. Voorbeeld: Somvan kwadratenvoortoeval is: 160.6040 +1171.9967-1600.0000-1165-767 = 8.8335 met x8= 16 vrijheidsgraden. dus ^.B^p. 0. 551 Uitalle k x nv/aarnemingenvolgtnogeenderdekwadraatsomnamelijk detotalenetto kwadraatsom: vrijheidsgraden. Voorbeeld: 160.6040 +1171.9967-748.6169 =5.9838met 18-1 «17 vrijheidsgraden. Tussendedriebehandeldekwadraatsommenbestaatdevolgendebetrekking:
-8~ totalenettokwadraatsom =nettokwadraatsomtussendesteekproeven +kwadraatsomvoor toeval. De kwadraatsomvoortoevalwordtmeestalverkregendooraftrekking vandenetto kwadraatsom tussendesteekproevenvandetotalenetto kwadraatsom. Voordeberekeningvandevariantie-analysezijndus nodigj 1. sommenpersteekproef.totalesomvanallewaarnemingen 3. kwadratenvandezesommen 4.somvan kwadratenvanallewaarnemingen Voorbeeld; Dekwadraatsomvoortoevalis : 5.9838-17.1503 =8.8335 met 17-1=16 vrijheidsgraden, Menvindtdus schattingenvan # namelijk: <*l =17.1503en 3^ = O.55I, o zodatwanneer H geldtintevensbeideschattingenvan * onafhankelijk vanelkaarzijn,degrootheid s,een F verdelingvolgtmetv.. =k-1en - v = k (n-1) vrijheidsgraden. < dus. - "0.551 ^' b *16 a b De kpopulatieverdelingenbezittendezelfde *, dusookindien H nietjuist-ouzijn, blijft & eenzuivereschattingvan tf, de populatie gemiddeldenzijndanechternietgelijkendesteekproefgemiddeldenbezit ten kansverdelingen,dienietalledezelfdeverwachtingswaarden hebben. 136/O664/15/8
-9- Dientengevolgezale.systematischhogerewaardenaannemen s. Erdient dusrechtséénzijdigteworden getoetst. Bijeendrempelwaarde a zal H danwordenverworpen, indien; Vande Fverdelingbestaantabellenmet <x = 0.001,0.005,0.010, 0,05, 0.05,0.10en0.5- Voorbeeld: P ( F 16 < 51, 6 )"^ * 01 menverkrijgtnuhetvolgendeschemavoorde variantie-analyse:,,.. Kwadraat- Vrijheids- 0 /tf\ -, Bonvanvariantie ^,, S. ( Q ) F P som graden ' Tussendesteekproeven 17.1503 ï 17.1503 31.06 <0.001 Binnendesteekproeven 8.8335 16 0.551 Totaal 5.9838 17 Denulpothese H = H wordthierverworpenmeteen cnb*strouwbaaxheid, die kleinerisdan 0,1$. Ofïïel hetberegeningseffectblijktsystematischhogerteliggenmet eenrisicovan0,1$ (1op1000 gevallen). Vectorvoorstelling Dewaarnemingscijfersinhetschemavandeéénklasseindeling kunnen ookworden topgevat alseenvectorinde k x ndimensionaleruimte,v/aarvan: N =deelruimtevanniveaumet 1 dimensie B =deelruimtevanzuiverbehandelingseffectmet (k-1) dimensies T =deelruimtevantoevalmet k (n-1) dimensies 136/0664/15/9
-10- zè,dat N, B en Tonderlingloodrechteruimtenzijn. Dewaarnemingsvector x kanwordenontbondenin 3onderlingloodrechte componentenrespectievelijk x, x # en x, terwijl x + x # = x H B T N B B x Doorprojectievan xopderuimten Nen B verkrijgtmendesomvan kwadratenvoorniveauenzuiverbehandelingseffect (correctietermen netto kwadraatsomtussende steekproeven). Vanwegedeloodrechtheidgeldt : Voorbeeld: - ~~" ""*.*V ~. il. T N i * B /13-15 1.6 r 13.85 11.37 x = \13.4 10.35 x = N.43 18??? Al en x^ = j? x18-748.6l69 N 18* \ ; / 136/0664/15/10
-11- O 1 1-1 ; 1 O \ ; o 1 1-1 X = B 10.00; 9 10.45 9 en x # = B x - x B N 1L51 18 ] M 0 / \ 0 1 1-1/ c» - ^'V x18-17.150 B 18' x - 774.6007 dus x -774.6OO7-748.6169-17.150 = 8.8335 T metdimensies 18-1 1 =16 Volgensdehoofdstellingvandevariantie-analyse geldt : (x - H ). -<* ^, waarindt =dimensievanruimte T ~T T dt maarvandetoevalsruimte isdeverwachtingswaarde«0 dus ^T = 0 en x c'it T dt s ( tf ).-1. S^^p = 0>551 16 dt s (tf) = 0.743 Omtetoetsenofde behandelingsgemiddeldensignificant Y«rscM1en stelt mende nulhypothese: I36/O664/15/II
-1- erisgeen behandelingseffect 1 in H ge * enindien H geldt,zal deruimte B evenals Teentoevalsruimtezijnen danis : B 0 0 0 ^ ^ maar (x* - u *) *» tf K *»waarindb =dimensievanruimte B B B " C; db dus Bovendien x «, #A. ^/ T dt y B ~ db * * Omdat B en Tloodrechteruimtenzijn,zijn B en Tstochastisch onafhankelijken geldt: / * V / *,%/db Cf A #/db B oo db x /dt tf X /dt T dt * F* 5 dt Deverhoudingvandegemiddeldekwadraatsommenisonder H een verwezenlijkingvande Fstochastiek: 1 _ 17.150/ 1 _ 31 06 *16-8.8355/16 " * 1,üb Uit S (ö ) kannogeenvariatiecoëfficiëntworden berekend,die vaakalsmaatvoordespreidingwordt gebruikt. Devariatiecoëfficié'ntwordtberekendals volgt: Variatiecoëfficiënt = 10 S ( tf ) = \\'\ c =6.01 * n 1.36 Ditbetekentdatdespreidinguitgedruktin procentenvanhetniveau 6.01bedraagt. Bijgelijkeaantallenwaarnemingenperbehandelingsklassewordtde schattingvancf minimaal,zodatdaneenzonauwkeurigmogelijkeschattingvanhetbehandelingseffectwordtverkregen. I36/O664/15/1