1 Het begrip functie Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Het begrip functie Inleiding Verkennen Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden. Uitleg www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Het begrip functie Uitleg Opgave 1 Bekijk de eerste pagina van de Uitleg. Voor de windmolen met wieken van 10 m geldt P(v) = 0,052v 3. Daarin is P het vermogen in kw en v de windsnelheid in m/s. a) Bereken P(6) betekent: A - Bereken de functiewaarde bij invoerwaarde v = 6. B - Bereken de invoerwaarde bij functiewaarde v = 6. C - Bereken de functiewaarde als P = 6. D - Bereken de invoerwaarde als P = 6. b) Bereken P(6). Bekijk nu de tweede pagina van de Uitleg. c) Windsnelheden van 0 tot 15 m/s komen in de kustgebieden regelmatig voor. Breng het deel van de grafiek van P dat daarbij hoort in beeld op je grafische rekenmachine. Welke waarden voor P horen daar bij? d) Voor welke waarde van v geldt: P(v) = 300? Licht het antwoord toe. Opgave 2 Neem nu een windmolen met wieklengte 20 m. a) Welk voorschrift geldt nu voor P als functie van v? b) Bereken P(10). c) Breng de grafiek in beeld voor windsnelheden vanaf 0 tot en met 20 m/s. Welke vensterinstellingen heb je nodig om de complete grafiek in beeld te krijgen? d) Bij welke windsnelheid in km/h is het vermogen 40 kw? Opgave 3 Bekijk de derde pagina van de Uitleg. a) Geef nog een voorbeeld waaruit blijkt dat de formule x 2 + y 2 = 100 geen functievoorschrift is. b) Schrijf deze formule in de vorm y = c) Door welke twee functievoorschriften y 1 en y 2 kun je de formule vervangen? d) Breng nu de grafieken van deze twee functies in beeld. Welke vensterinstellingen gebruik je? e) Bereken y 1 (5) en y 2 (5). STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 1
Theorie en voorbeelden www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Het begrip functie Theorie Bekijk eerst de Theorie. Opgave 4 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = x 2 4x Welke van deze uitspraken zijn waar? A - f(4) is een invoerwaarde B - f(10) = 60 betekent dat het punt (60;10) op de grafiek ligt. C - f(x) = 5 heeft twee oplossingen. D - Bij elke waarde van x hoort precies één waarde van y. Opgave 5 Bekijk nog eens de functie f met voorschrift f(x) = x 2 4x. a) Bereken de nulwaarden van f. b) Welke nulpunten heeft de grafiek van f? c) Los op: f(x) = 5. Opgave 6 In Voorbeeld 1 vind je de posttarieven van 2007. a) Bepaal T(15). b) Als je weet hoe zwaar een brief is, weet je voor hoeveel euro aan postzegels je er op moet plakken. Klopt dat? Leg uit. c) Als je ziet voor hoeveel euro aan postzegels er op een brief zit, weet je hoe zwaar hij is. Klopt dat? Leg uit. d) Welke oplossingen heeft de vergelijking: T(G) = 1,32? e) Is G een functie van T? Verklaar je antwoord. Opgave 7 In Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 kun je zien wanneer een verband tussen twee variabelen een functie is. Bij welke van deze grafieken is y een functie van x? A B STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 2
C D Opgave 8 Bekijk in Voorbeeld 3 waarom het berekenen van nulpunten voordat je de functie in beeld brengt op je grafische rekenmachine belangrijk is. Gegeven zijn de functies f(x) = x 2 130 en g(x) = 3x. a) Breng de grafieken van f en g in beeld met de standaardinstellingen voor het venster van je grafische rekenmachine. Krijg je veel te zien? b) Bereken de nulpunten van de grafiek van f. De grafiek van f is een parabool, wat is de top van deze parabool? c) Pas je vensterinstellingen zo aan, dat deze punten nog in beeld komen. Schrijf de bijbehorende instellingen op. d) Breng nu ook de grafiek van g in beeld. Hoeveel snijpunten hebben beide grafieken? e) Bepaal met je grafische rekenmachine de snijpunten van beide grafieken. Bereken deze snijpunten ook algebraïsch. Opgave 9 Gegeven de functies y 1 = (x 2 4)(x 2 9) en y 2 = x 2 x + 6. a) Bereken van beide functies de nulpunten. b) Breng nu beide grafieken in beeld. Schrijf op welke vensterinstellingen je gebruikt om alle nulpunten en toppen in beeld te krijgen. c) Bepaal alle snijpunten van beide functies in twee decimalen nauwkeurig. Verwerken Opgave 10 Gegeven is de functie f(x) = 8 4x + x 3. a) Bereken f(3). b) Bereken de x-waarden waarvoor f(x) = 8. c) Bij welke vensterinstellingen krijg je de nulpunten en de toppen van de grafiek van f in beeld? d) Hoort bij elke waarde van x precies één waarde van y? Of kun je tegenvoorbeelden vinden? e) Hoort bij elke waarde van y precies één waarde van x? Of kun je tegenvoorbeelden vinden? STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 3
Opgave 11 Voor het gebruik van water betaal je jaarlijks 42,00 en nog 0,25 per verbruikte m 3 water. De jaarlijkse kosten K hangen af van het aantal m 3 (a) dat je verbruikt. a) Waarom is K een functie van a? b) Bereken K(100). c) Stel het functievoorschrift K(a) op. d) De meeste gezinnen betalen minder dan 500 euro per jaar voor hun waterverbruik. Hoeveel kubieke meter water gebruiken die gezinnen op zijn hoogst? Opgave 12 Gegeven zijn de functies f(x) = 100 x 2 en g(x) = x 2. a) Bereken de nulpunten en de top van de grafiek van f. b) Breng de grafieken van f en g in beeld met je grafische rekenmachine. Schrijf op bij welke vensterinstellingen de nulpunten en toppen van beide functies goed zichtbaar zijn. c) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de snijpunten van beide grafieken. Opgave 13 Gegeven de functies y 1 = 1 2 x 4 2x 2 en y 2 = x 2 + 4x. a) Bereken van beide functies de nulpunten. b) Breng nu beide grafieken in beeld. Schrijf op welke vensterinstellingen je gebruikt om alle nulpunten en toppen in beeld te krijgen. c) Bepaal alle snijpunten van beide functies in één decimaal nauwkeurig. Opgave 14 Je ziet hier vier functievoorschriften. Bepaal telkens eerst de nulpunten van de grafiek. Schrijf vervolgens de vensterinstellingen op waarbij de grafiek goed in beeld komt. a) f(x) = 100x 2 x 3 b) g(x) = 10x(x 2 100) c) h(x) = (x 10) 2 1600 d) k(x) = 200 + 1,6x Testen Opgave 15 Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: V = π r 2 h Van een bepaalde serie blikjes is bekend dat de hoogte even groot is als de diameter. Ze passen dus precies in een kubus. a) Voor deze serie blikjes is V een functie van r. Schrijf het bijpassende functievoorschrift op. b) Neem aan dat 0 r 20. Breng nu de grafiek van de functie V(r) in beeld. Schrijf de geschikte vensterinstellingen op. c) Bij welke afmetingen van de cilinder geldt: V = 1000 cm 3? STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 4
Opgave 16 Je ziet hier drie grafieken in het Oxy-assenstelsel van een grafische rekenmachine. A B C a) Bij welke van deze grafieken is y een functie van x? b) Bij welke van deze grafieken is x een functie van y? Opgave 17 Gegeven zijn de functies f(x) = 2x(x 10) 2 en g(x) = 8x. a) Bereken f(5) en f( 5) b) Bepaal de nulwaarden van f. Schrijf op bij welke vensterinstellingen de grafieken van beide functies goed in beeld komen. c) Bepaal de snijpunten van beide grafieken. STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 5
Antwoorden 1a) A b) 11,232 c) van 0 tot en 175,5 kw d) ongeveer 17,9 m/s 2a) P(v) = 0,208v 3 b) 208 c) 0 X 20 en 0 Y 1664 d) ongeveer 5,78 m/s is ongeveer 20,8 km/h 3a) x = 2 geeft y = ± 96 2 b) y = ± 100 x c) y 1(x) 2 = 100 x en y 2(x) 2 = 100 x d) standaardinstelling kan e) y 1(5) = 75 en y 2(5) = 75 4. C en D 5a) x = 0 V x = 4 b) (0,0) en (4,0) c) x = 1 V x = 5 6a) T = 0,44 b) Ja, bij elk gewicht hoort precies één tarief (boven 250 g is het geen brief). c) Nee, je weet alleen in welke gewichtscategorie de brief zit. d) 50 G < 100 e) Nee, bij elke waarde van T horen meerdere waarden van G. 7. A, C en D 8a) - b) ( 130,0) en ( 130,0) top (0, 130) c) bijvoorbeeld 15 X 15 en 130 Y 130 d) twee snijpunten e) ( 10, 30) en (13,39) 9a) van y 1: (±3,0) en (±2,0) van y 2: ( 3,0) en (2,0) c) ( 3,0), ( 1,79;4,58), (2,0) en (2,79; 4,58) 10a) f(3) = 23 b) f(x) = 8 geeft x = 0 V x = ±2 c) - d) Ja e) Nee, bijvoorbeeld bij b) heb je een tegenvoorbeeld. 11a) Bij elke waarde van a hoort precies één waarde van K. b) K(100) = 67 c) K(a) = 42 + 0,25a d) 1832 m 3 12a) (±10,0) en top (0,100) c) ( 7,07;50) en (7,07;50) 13a) van y 1: (0,0) en (±2,0) van y 2: (0,0) en (4,0) c) (0,0) en (2,3;3,9) 14a) (0,0) en (100,0) b) (0,0) en (±10,0) c) ( 30,0) en (50,0) top(10, 1600) d) ( 125,0) 15a) V = 2πr 3 c) r 5,42 16a) A en B b) B en C 17a) f(5) = 250 en f( 5) = 2250 b) x = 0 V x = 10 c) (0,0), (8,64) en (12,96) STICHTING MATH4ALL 29 SEP 2008 6