Donkere Atomen in het Licht

Transcriptie

1 Donkere Atomen in het Licht Paul Martijn Visser en Gerard Nienhuis 1 Koelen met licht De interactie tussen straling en materie is de basis van veel van de processen die plaatsvinden op atomaire schaal tot aan astronomische ruimte- en tijdschalen. In de natuurkunde wordt door materie uitgezonden straling geanalyseerd om de samenstelling van de atomen in de materie te ontrafelen en om atomaire processen te bestuderen. Sinds de uitvinding van de laser is het mogelijk om licht niet alleen te gebruiken om atomen te observeren, maar ook om op gedetailleerde wijze atomen te manipuleren. Snelle atomen kunnen worden afgeremd en gekoeld. In optische vallen worden atomen permanent opgesloten. Voor koude atomen gaan quantummechanische effecten van de beweging een rol spelen. Een standaard configuraties voor manipulatie van atomen is een lichtveld bestaande uit een aantal laserbundels die als vlakke golven expi ~ k~x beschreven kunnen worden. Fotonen in een vlakke golf hebben een goed bepaalde energie h! en impuls h ~ k. De bundels drijven één of meer atomaire overgangen. Gestimuleerde absorptie en emissie van fotonen verplaatst energie van de ene lichtgolf naar de andere. Omdat de bundels verschillende richtingen opstaan, zal het atoom bij dit proces een netto impulsverandering ondergaan. De snelheid van het atoom kan dus met een aantal bundels gemanipuleerd worden. Bij deze coherente uitwisseling van fotonen is het systeem gesloten, zodat de totale energie constant is en er geen koeling optreed. Koeling kan alleen plaatsvinden als de atomen een dissipatieve interactie ondergaan, zodat er netto energie afgevoerd kan worden. In laserkoeling wordt de dissipatie geleverd door spontane emissie van fotonen. In combinatie met gestimuleerde absorptie van fotonen uit laserbundels kan spontane emissie een wrijvingskracht leveren die de atomen afremt van een willekeurige beginsnelheid naar stilstand. Er zijn verschillende mechanismen die tot zo n wrijvingskracht aanleiding kunnen geven, die elk een ander snelheidsbereik hebben. Dissipatie gaat echter altijd gepaard met fluctuaties. De afname van entropie van de atomen moet immers gecompenseerd worden door een grotere toename van entropie van het lichtveld. Nu wordt de richting van een spontaan uitgezonden foton door het toeval bepaald. Hierdoor ondervindt de snelheid van het atoom fluctuaties tengevolge van de terugstoot die het uitgezonden foton op het atoom uitoefent. De wrijvingkracht remt het atoom af, terwijl de fluctuaties het atoom weer in beweging zetten. De balans tussen de wrijving en fluctuaties bepaald de gemiddelde snelheidsspreiding van de atomen en daarmee de temperatuur. Omdat fotonen behalve impuls ook een spin-impulsmoment hebben verandert niet alleen de snelheid van een atoom bij de absorptie en emissie van een foton, maar ook de richting van het inwendige impulsmoment, de oriëntatie. De richting of polarisatie van het elektromagnetische veld bepaalt hoe atomen gepolariseerd worden. Bij een spontane emissie is de verandering van rotatie weer door toeval bepaalt omdat het uitgezonden foton zowel linksom als rechtsom kan draaien. De absorptie verandert de draairichting van het atoom steeds dezelfde kant op. Na een klein aantal absorptie- en emissierondes staat de oriëntatie van het atoom gelijk in dezelfde richting als die van het veld. Dit proces is optisch pompen. Beweging en oriëntatie van atomen en licht blijken sterk van elkaar af te hangen. Deze samenhang geeft aanleiding tot interessante effecten.

2 1.1 Optische roosters Door interferentie van de verschillende vlakke golven hangt de polarisatie van het veld af van de positie. Door het optisch pompproces zullen de atomen op dezelfde manier gepolariseerd worden als het veld. Bij een klein aantal geschikt gekozen bundels is het lichtveld periodiek. Het resulterende atomaire rooster is dan ook periodiek gepolariseerd. Lichtgolven kunnen aan dit polarisatierooster gereflecteerd worden. Dit proces kan worden beschouwd als niet-lineare menging van de invallende golf met de golven van het optische rooster. Een ander effect van het licht op het atoom is een verschuiving van de interne energiewaarden. De sterkte van deze verschuiving hangt af van de intensiteit en de polarisatie van het licht. Een lichtveld dat met de plaats varieert, genereert zo potentialen voor atomen. De beweging in de verschillende potentialen is onafhankelijk. Door optisch pompen kunnen atomen wel van de ene in een andere potentiaal terechtkomen. Bij een geschikte keuze van het systeem zullen atomen voornamelijk van de maxima van de ene naar de minima van de andere potentiaal gepompt worden. Spontaan uitgezonden fotonen dragen het verschil in potentiele energie weg. Atomen moeten voortdurend tegen de potentiaalbarrière opklimmen, waarbij ze kinetische energie verliezen. Dit heet het Sisyphuseffect. Uiteindelijk zullen de koud geworden atomen in de minima blijven steken en de top niet meer halen. Met laserkoeling kunnen we de atomen dus vangen op posities waar de intensiteit of polarisatie een uiterste waarde passeert. Zo ontstaat een rooster waarin niet alleen de polarisatie, maar ook de dichtheid van atomen de structuur van het veld volgt. Dit heet een optisch rooster. Deatomen vormen dus een soort kristal met een roosterafstand bepaald door de golflengte van het licht. 1. Donkere toestanden In bepaalde stralingsovergangen blijken atomen niet meer geëxciteerd te kunnen worden als ze eenmaal door optisch pompen in dezelfde richting draaien als de fotonen in het lichtveld. Als we het lichtveld ontbinden in circulaire polarisaties ~E(x) = (x)~ ++(x)~+ (1) dan kan bijvoorbeeld de toestand (x) j +(x) i + q 3 ji + +(x) (x) j+i () in een j =! j = overgang niet aangeslagen worden. De excitatie van een naburig paar subniveau s interfereert steeds destructief. Omdat de atomen dan geen licht meer kunnen uitzenden noemt men deze toestand donker. In de donkere toestand is de lichtverschuiving van de interne niveau s nul. Hierdoor treedt er geen wrijvingskracht op. Koeling lijkt dus niet mogelijk en men zou een polarisatierooster zonder dichtheidsvariaties verwachten. In feite is zowel de koeling als de roostervorming in donkere toestanden juist zeer efficient. In een lichtveld waarin de polarisatie ruimtelijk varieert, zal een atoom in beweging niet voortdurend donker zijn. Alleen stilstaande atomen blijven in de donkere toestand. Bewegende atomen kunnen nog spontane fotonen uitzenden, die de snelheid doen fluctueren. In aanwezigheid van een donkere toestand worden atomen dus niet door een kracht naar snelheid nul gedreven, maar ze kunnen wel door diffusie bij lage snelheden terecht komen. Een spontaan foton kan één atoom precies tot stilstand brengen. Eenmaal in rust is het atoom permanent donker, zodat de toestand bevroren is. Er is als het ware een val in de impulsruimte bij p =. Het aantal atomen met lage snelheid neemt zo alleen maar toe en het gas wordt gekoeld. In dit koelschema worden de fluctuaties dus uitgebuit, in plaats van dat ze het koeleffect reduceren. Om te zien welke effecten er nog meer bij zeer lage energieën optreden moet behalve de polarisatie ook de beweging van het atoom quantummechanisch beschreven worden.

3 Quantumbeweging en zwarte toestanden Zodra de impulsspreiding van het atoom van de orde van de impuls van één foton is, is de golffunctie uitgebreider dan de optische golflengte en kunnen we niet meer spreken van een gelocaliseerd deeltje. Quantummechanisch kan een spontane emissie gezien worden als een meting van de positie van het atoom. Het effect op de golffunctie is een reductie tot een gebiedje ter grootte van de optische golflengte. Alleen met donkere toestanden kunnen dus coherentielengtes groter dan de golflengte en impulsen beneden de één-foton waarde bereikt worden. De voorgaande klassieke beschouwing is dan niet meer geldig. In het speciale geval dat het lichtveld bestaat uit twee tegengestelde lopende golven van linksen rechts-circulair gepolariseerd licht, dus met (x) = e ikx ; +(x) =+e +ikx wordt met een quantum van impuls altijd ook een quantum van impulsmoment geabsorbeerd of geëmitteerd. We kunnen dan aan elke interne toestand in het grondniveau of het aangeslagen niveau een vaste impuls toekennen, namelijk jmijp + m hki ; waarbij m = j :::+j het Zeeman subniveau nummert. Zonder spontane emissies kan een atoom deze familie van toestanden niet verlaten. Aan de interne niveaus van de donkere toestand () kunnen we dus impulsen toekennen, volgens q + j ijp hki + 3 jijpi + + j+ijp + hki : De verschillende termen hebben een verschillende kinetische energie. Hierdoor zullen de amplitudes bij evolutie defaseren zodat de toestand niet donker blijft. Semiklassiek zagen we dat alleen stilstaande atomen permanent donker zijn. We zien nu dat quantummechanisch, zelfs voor p =, de donkere toestand niet stationair is. In een overgang met j = 1! j = 1of j=! j= 1 is de donkere toestand j (p)i = j 1ijp hki + +j+1ijp + hki : Nu is deze toestand wel stationair voor p =, met kinetische energie h k =m. Dit noemen we de zwarte toestand. Merk op dat de golffunctie van de zwarte toestand en het elektrische veld hxj ()i = e ikx j 1i + +e +ikx j+1i ~E(x) = e ikx ~ + +e +ikx ~+ precies gelijk zijn. Voor een 1! 1 overgang geldt dit in feite voor elke mogelijke veldconfiguratie [1]. In één dimensie is bijvoorbeeld hxj i = (x)j 1i + +(x)j+1i (3) de zwarte toestand. De polarisatie en de intensiteit van de atomaire golffunctie zijn gelijk aan die van het veld (1). In aanwezigheid van een zwarte toestand is het koelproces ook effectief in het quantummechanische regiem. Deze elegante methode blijkt in de praktijk zeer efficient te zijn. Men kan temperaturen bereiken in de orde van 1nK [].

4 .1 Adiabatische beweging Hoewel er ook andere interne toestanden meespelen, zullen atomen door optisch pompen voornamelijk in de donkere toestand verkeren. Als de lichtverschuiving van de andere interne toestanden voldoende groot is wordt bij lage snelheden ook coherente Landau-Zener-koppeling onwaarschijnlijk. Dit betekent dat het atoom voortdurend in de donkere toestand blijft, zodat de totale toestand gegeven is door Z j i = dx (x)j;xi : (4) De interne donkere toestand j;xi is evenredig met () of (3) maar dan genormeerd. De scalaire golffunctie (x) beschrijft dan de beweging van het atoom, waarbij de inwendige toestand de x- afhankelijke donkere toestand is. Hoewel de lichtverschuiving in de donkere toestand afwezig is, is de evolutie van de golffunctie toch niet triviaal. Een effectieve Hamiltoniaan voor de beweging van (x) wordt verkregen door de kinetische energie-operator op de toestand (4) te laten werken en de component in de donkere toestand eruit te pikken. Zo vinden we H 1 (x) = m h ;xjp j i : (5) De kinetische energie-operator werkt behalve op (x) ook op de donkere toestand j;xi. Dit geeft interactietermen in de effectieve Hamiltoniaan die geschreven kunnen worden als een vectorpotentiaal ~ A en een scalaire potentiaal V [3] H 1 = m ~ P + ~ A +V : (6) Deze termen zijn evenredig met de gradiënt van de interne toestand j;xi en zijn kwadraat. In de 1! 1 overgang is dit precies de gradient van de veldpolarisatie. De sterkte van ~ A en V zijn ongeveer van de één-foton-impuls en de kinetische energie van een atoom met die impuls. Het ruimtelijke gedrag wordt uitsluitend bepaald door het polarisatiepatroon van het veld. De potentialen hangen dus niet af van licht-intensiteit of frequentie. Ze worden ook wel geometrische potentialen genoemd. Wat is nu de rol van de zwarte toestand? Omdat j i een eigentoestand is van de kinetische energie-operator met eigenwaarde h k =m, is de bijbehorende golffunctie (x) volgens (5) een eigenfunctie van de de effectieve Hamiltoniaan. In het 1! 1 systeem is deze golffunctie de amplitude van het elektrische veld. Voor een veld waar de intensiteit nergens verdwijnt, vertoont de golffunctie geen knopen, waaruit we zien dat (x) de grondtoestand is van de Hamiltoniaan (6). De fysische consequentie is dat andere koelmechanismen, zoals koelen door verdamping of Sisyphuskoeling, het vangen in de zwarte toestand kunnen versterken. Uit de definitie (5) volgt ook dat de verwachtingswaarde van de kinetische energie in de toestand j ni behorende bij een eigenfunctie n(x) van H een uiterste waarde heeft [4]. In feite beschrijft de effectieve Hamiltoniaan de kinetische energie in de inwendige toestand.. Kronig-Penney-model voor atomen in staande golf In het voorgaande voorbeeld bestond het veld uit twee tegengestelde lopende golven met onderling loodrechte polarisaties. De hierbij behorende veldintensiteit is homogeen en de golffunctie (x) is dus constant. In dit geval zijn de geometrische potentialen afwezig. We beschouwen nu de algemene veldconfiguratie ontbonden in vlakke golven ~E(x) 1 i = p he ikx ~" + e +ikx ~"+ met niet-orthogonale polarisaties ~" + ~" = cos waarmee de overgang 1! 1 wordt gedreven. In dit geval is de donkere inwendige toestand identiek aan de polarisatievector. De vectorpotentiaal is

5 ~A = ~, en de scalaire potentiaal is nu V (x) = h k m sin E 4 : (7) De grondtoestandsgolffunctie in de Hamiltoniaan (6) is nu gelijk aan de veldamplitude, zodat (x) =E(x)=p 1+cos coskx : Omdat (x) een eigentoestand moet zijn van (6) verklaart dit in zekere zin de aanwezigheid van de scalaire potentiaal V (x). Opmerkelijk is dat het ruimtelijk gedrag van de potentiaal omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de lichtintensiteit, hoewel de sterkte dus niet van de intensiteit afhangt. Dit in tegenstelling tot de bekende lichtverschuivings-potentialen die evenredig zijn met de intensiteit. Voor kleine hoeken zijn de polarisaties van de lopende golven bijna gelijk en nadert het elektrisch veld naar een staande golf. De potentiaal (7) lijkt in dit geval te verdwijnen, ook al omdat de polarisatie vrijwel constant ~"++~" is. In de buurt van het intensiteitsminimum verandert de polarisatie echter snel naar ~"+ ~". In feite divergeert de potentiaal op de knopen van de staande golf en V (x) = h k m (x+na) ; (x) =p jcoskxj : n met a = =k de roosterconstante. Voor kleine wordt het systeem beschreven door een periodieke potentiaal van delta-functies, ook wel bekend als het Kronig-Penney-model [5]. Dit eenvoudige model is exact oplosbaar en geeft aanleiding tot het energie-eigenwaardenspectrum E n (p) = h k m n +( ) n ncos pa ; met n = h k 4n m ; (8) waarbij p de quasi-impuls is en n = 1;;::: de band-index. De halve bandbreedte n is een maat voor de tunneling door de delta-pieken en is evenredig met. We hebben het volgende fysische beeld van de geometrische potentiaal. In de donkere toestand heeft het atoom in feite alleen kinetische energie, gegeven door het kwadraat van de gradiënt van zijn golffunctie. Als we de interne beweging afsplitsen zoals in (4), heeft de kinetische energie een bijdrage van de scalaire golffunctie en van de interne toestand. Een langzaam atoom in de donkere toestand die het intensiteitsminimum nadert, moet kinetische energie uit zijn golffunctie overdragen naar de interne component om de snelle variatie van de polarisatie te kunnen volgen. Een atoom met onvoldoende energie wordt gereflecteerd. De benodigde interne energie is precies gegeven door de potentiaal V. Snelle variaties in polarisatie kunnen alleen optreden bij de intensiteitsminima. Inderdaad is de potentiaal (7) daar maximaal. Atomen in de donkere toestand ondervinden krachten juist daar waar er geen licht is! 3 Coherente evolutie en dissipatie De stationaire toestanden in een periodieke potentiaal np(x) zijn Blochtoestanden die geschreven kunnen worden als Fourierreeks in termen van één gelokaliseerde golffunctie n(x) voor elke energieband n e ipma n(x ma) ; np(x)= m met p de quasi-impuls. In het Kronig-Penney-model zijn deze naar Wannier genoemde toestanden gegeven door n(x) =p cosnkx als jxj < 1 a en n(x) = voor jxj > 1 a :

6 De cosinusvorm van het bijbehorende eigenwaardenspectrum (8) geeft aan dat de Hamiltoniaan in de Wannierbasis alleen naburige toestanden koppelt. De atomaire golffunctie die in de Wanniertoestand n(x) rond x = geprepareerd wordt, zal naar de andere roosterposities tunnelen volgens (x;t) = ( i) m J m (nt)n(x ma) : m Hoewel de golffunctie door tunneling breder wordt, verandert de verdeling over de Blochtoestanden bij deze coherente evolutie niet. Ook de coherentielengte blijft onveranderd. (x) V (x) b m (x a) (x) 1 (x) a a x Figuur 1: De onderste twee energiebanden in een cosinus potentiaal. In de bovenste twee figuren zijn de Wanniergolffuncties rond x = enx 1 = ageschetst, in de onderste twee zijn de Blochgolffuncties bij p = enp= 1 uit de onderste band weergegeven.

7 3.1 Spontane emissie als localisatie Alleen de zwarte toestand is een exact stationaire donkere toestand. De overige eigentoestanden van de effectieve Hamiltoniaan zijn benaderende eigentoestanden van het systeem. Landau-Zenerkoppeling geeft een kleine niet-adiabatische koppeling met het aangeslagen niveau [6]. Blochtoestanden met p 6= zullen dus wel een vervalsnelheid hebben. Bij kleine blijft krijgen we weer de vorm die past bij koppeling tussen naaste buren. Voor de onderste energieband (n = 1) geldt dan (p) = cos pa ; zodat voor de zwarte toestand () =. De parameter hangt niet alleen af van, maar in principe ook van licht-intensiteit en frequentie. Deze uitdrukking beschrijft de kans op het uitzenden van een spontaan foton vanuit de Blochtoestand p(x) in de onderste band. Met één of enkele snelle spontane emissies zal het atoom weer een inwendig donkere toestand hebben. Het effect van de spontane emissies in dit optisch pompproces is echter een detectie van de atomaire positie en een localisatie van de atomaire golffunctie. Als het koelproces zeer efficient is ingesteld kunnen we aannemen dat het atoom na optisch pompen terug komt in de onderste band. Dit is wellicht een grove oversimplificatie, maar ook een belangrijke vereenvoudiging. De localisatie kunnen we dan modelleren door een reductie tot de Wanniertoestand (x na). De bijbehorende kans op een specifieke foton detectie rond x n = na wordt bepaald door de atomaire golffunctie in de buurt van x n. Omdat het systeem na elke spontane emissie steeds weer opnieuw in een Wanniertoestand begint, wordt de evolutie gekarakteriseerd door één statistische functie, de wachttijdverdeling w m (t). Deze beschrijft de kans dat het eerstvolgende foton na detectie op x n = na, een tijdstip t later op locatie x n+m gedetecteerd wordt. In de tussenliggende donkere periode is het atoom dus door m barrières getunneld. Uitgedrukt in de energieën en vervalssnelheden van de Blochtoestanden is de wachttijdverdeling [7] Z w m (t) = 1 dpe ipmap (p)e ie(p)t 1 (p)t : k Een atoom dat op tijdstip t = op het roosterunt x = begint, kan op tijdstip t worden gedetecteerd rond de positie x n = na met een waarschijnlijkheid f n (t). De relatie tussen f n (t) en w m (t) is f n (t) =w n (t)+ m Z t dsw m (s) f n m (t s) : Iteratie van deze formule geeft een sommatie over alle mogelijke realisaties. Behalve de ruimtelijke verdeling van de atomen die door spontane emissies verraden wordt, willen we ook de gemiddelde verdeling (p; t) over de onderste energiebandweten. De totale kans op een foton f (t) is, uitgedrukt in deze verdeling, gegeven door f (t) = n f n (t)= 1 k Z dp (p)(p;t) : De bij een Wanniertoestand behorende verdeling over Blochtoestanden is homogeen. Het gevolg van een spontane emissie is dat er een infinitesimale fractie in de zwarte toestand bij p = belandt. De zwarte populatie neemt dus alsmaar toe. Voor de gemiddelde waarde betekent dit dat Z t (;t) =1+ ds f(s) : Omdat de toestanden rond p = langzaam vervallen, terwijl de instroom homogeen is zal de populatie rond nul opeenhopen. Hierdoor neemt de totale emissiesnelheid in verloop van tijd af. Het blijkt nu dat deze op lange termijn wordt benaderd door r f (t) = : t

8 Zeer opmerkelijk is dat de fotondetectiesnelheid f (t) R naar nul gaat, terwijl het totaal aantal fotonen f (t)dt oneindig is. Na elk foton is dus toch een volgende te verwachten. Bovendien begint het coherente tunnelproces na elke detectie steeds van voor af aan, dus zou men denken dat het systeem zich herhaalt met een gemiddelde periode. Dit beeld is echter onjuist, want de gemiddelde wachttijd is oneindig. Er is dus geen evenwichtssituatie. Het gedrag op lange termijn van de verdeling over de energieband wordt gegeven door (p;t) = f(t) (p) als p 6= ; (;t) = r 8 t : 1 1 (p;t) t Figuur : Tijdsafhankelijk gedrag van de verdeling (p;t) over de onderste energieband voor de waarden p = tot 1 met stappen van Conclusie In een donkere toestand van een atoom in een stralingsveld met plaatsafhankelijke polarisatie verdwijnt de wisselwerking met het stralingsveld. Ook de optische potentiaal tengevolge van de lichtverschuiving is in deze toestand afwezig. We laten zien dat in zo n donkere toestand het licht wel degelijk een kracht op het atoom kan uitoefenen. Deze kracht wordt beschreven met de geometrische potentiaal, die de bijdrage beschrijft van de kinetische energie die in de plaatsafhankelijkheid van de interne toestand is opgeslagen. In periodieke velden wordt ook de geometrische potentiaal periodiek. In een specifiek geval kunnen we de dynamica van het atoom in een periodieke potentiaal eenvoudig modelleren in termen van Blochtoestanden (met een welbepaalde energie) en Wanniertoestanden (gelocaliseerd in een enkele potentiaalput).

9 Referenties [1] M.A. Ol shanii, V.G. Minogin, in: Light Induced Kinetic Effects on Atoms, Ions and Molecules, editors: L. Moi, S. Gozzini, C. Gabbanini, E. Arimondo, F. Strumia (Ets Editrice, Pisa, 199). [] A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaiser, N. Vansteenkiste, C. Cohen Tannoudji, Phys. Rev. Lett. 61, 86 (1988). [3] R. Dum, M. Ol shanii, Phys. Rev. Lett. 76, 1788, (1996). [4] U. Merzbacher, Quantum Mechanics, (Wiley, 1961,197). [5] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Solid State Physics, (Holt-Saunders,Philadelphia, 1976). [6] A.P. Kazantsev, G.I. Surdutovich, V.P. Yakovlev, Mechanical Action of Light on Atoms,(World Scientific, 199). [7] P.M. Visser, G. Nienhuis, Quantum Transport of Atoms in an Optical Lattice, to be published inphys.rev.a.