Uitgegee deur: Tel: / Faks: Epos:

Transcriptie

1 Ander boeke in dié reeks Waarskuwing!! Alle regte voorbehou volgens die Suid-Afrikaanse kopiewet. Geen gedeelte van hiedie boek mag gereproduseer word deur fotokopiëring of enige ander metode sonder skriftelike verlof van die uitgewer en skrwer nie. Enige persoon wat enige ongemagtige optrede uitoefen in verhouding met hierdie publikasie mag onderhewig wees aan kriminele vervolging en siviele eise teen beskadiging. Saamgestel deur: A. Olivier Uitgegee deur: Tel: / Faks: Epos: Graad 12 Fisiese Wetenskappe Teorie en Werkboek Boek 2 (Chemie) bestaan uit twee dele. Deel 1 behandel Organiese Chemie waar deel 2 Energie b Chemiese Reaksies, Tempo van Chemiese Reaksies, Chemiese Ewewig, Elektrochemie asook Sure en Basisse behandel.

2 INHOUDSOPGAWE Hoofstuk 1 Onderwerp 1 MEGANIKA VEKTORE IN TWEE DIMENSIES Resultant Van Loodregte Vektore -Hersiening Van Belangrike Konsepte Van Graad 1 -Die Resultant Van Twee Loodregte Vektore -Die Resultant Van Meer As Twee -Verwantskap Tussen Drie Nie-Linieêre Kragte In Ewewig -Ontbinding Van N Vektor In Loodregte Komponente Bl 1 Bl 6 Bl 12 Bl 23 Bl 38 Hoofstuk 2 NEWTON SE WETTE EN TOEPASSING DAARVAN. Verskillende Soorte Kragte -Voorwerpe Op n Skuinsvlak Statiese En Kinetiese Wrwing -Netto Krag Newton Se Eerste Bewegingswet Newton Se Tweede Bewegingswet Newton Se Derde Bewegingswet Bl 5 Bl 61 Bl 65 Bl 87 Bl 95 Bl 13 Bl 137 Hoofstuk 3 NEWTON SE UNIVERSELE GRAVITASIEWET. Verskillende Soorte Kragte Bl 143 Hoofstuk 4 GEOMETRIESE OPTIKA Onderwerp 2 GOLWE KLANK EN LIG Weerkaatsing Refraksie Grenshoeke En Totale Interne Weerkaatsing Twee - En Driedimensionele Golffronte -Diffraksie Van Lig Bl 164 Bl 167 Bl 183 Bl 195 Bl 23

3 Hoofstuk 5 Coulomb Se Wet Elektriese Velde Hoofstuk 6 ELEKTROSTATIKA Onderwerp 3 ELEKTRISITEIT EN MAGNETISME ELEKTROMAGNETISME Magneetveld Van n Elektriese Stroom Farada Se Wet Hoofstuk 7 ELEKTRIESE STROOMBANE Elektriese Stroombane En Ohm Se Wet -Resistors In Serie En Parallel Drwing En Energie Bl 213 Bl 24 Bl 254 Bl 264 Bl 284 Bl 297 Bl 313

4

5 Hoofstuk 1 VEKTORE IN TWEE DIMENSIES RESULTANT VAN LOODREGTE VEKTORE HERSIENING VAN BELANGRIKE KONSEPTE VAN GRAAD 1 In Graad 1 het j kennis gemaak met skalare en vektore. Kom ons hersien kortliks die belangrikste konsepte aangaande skalare en vektore. Skalare is fisiese hoeveelhede wat slegs grootte besit. Vektore is fisiese hoeveelhede wat grootte en rigting besit. Sekere skalare is net getalle (numeriese waardes) soos 1, 2, 3, ens. sonder eenhede. In Natuurwetenskappe spesifeer ons skalare meer volledig met 'n getal en die toepaslike eenhede soos 'n massa van 2 kg, 'n spoed van 5 m.s -1 en lading van 2 C. Ons kan skalaarhoeveelhede optel en aftrek, net soos ons met gewone getalle doen. Bvoorbeeld, 'n afstand van 14 m + 13 m = 27 m en 'n spoed van 2 m.s -1-4 m.s -1 = 16 m.s -1. Fisiese hoeveelheid SKALAARHOEVEELHEDE Hoeveelheid simbool SI-eenheid van meting Simbool vir eenheid td t sekonde s massa m kilogram kg afstand D meter m spoed v meter per sekonde m.s -1 lading Q coulomb C 'n Vektorhoeveelheid word met 'n getal (numeriese waarde) 'n eenheid en 'n rigting aangedui. Bvoorbeeld 'n snelheid van 4 m.s -1 na regs, 'n krag van 2 N Oos-waards en 'n verplasing van 1 m opwaarts. As ons vektore optel, moet ons die rigting van elke vektor in ag neem. Wanneer twee persone 'n krat in dieselfde rigting stoot, is die uitwerking nie dieselfde as wanneer hulle in die teenoorgestelde rigting stoot nie. Fisiese hoeveelheid VEKTORHOEVEELHEDE Hoeveelheid simbool SI-eenheid van meting Simbool vir eenheid verplasing meter m snelheid v meter per sekonde m.s -1 versnelling a meter per sekonde kwadraat m.s -2 krag F newton N gewig w newton N 'n Vektorhoeveelheid word deur 'n reguit ln en 'n plpunt voorgestel. grootte stert Dele van 'n vektor kop - Die lengte van die lnstuk stel die grootte van die vektorhoeveelheid voor. - Die plpunt stel die rigting van die vektorhoeveelheid voor. - Die beginpunt van die vektor word die stert genoem en die eindpunt (waar die pl is) word die kop genoem. Skaal: 1 cm = 1 N N 5 N Oos 'n vektordiagram genoem. Vir beide skalare en vektore word letters van die alfabet gebruik. Maar omdat vektore (wat grootte en rigting het) verskil van skalare (wat slegs grootte het) is die notasie verskillend. Skalare word met gewone letters geskrf bvoorbeeld: m vir massa en D vir afstand. Vektore word met vetgedrukte letters geskrf, bvoorbeeld F vir krag, of in gewone letters met 'n pltjie bo-op, bvoorbeeld F vir krag. gewone letters geskrf. Bv. F vir die grootte van 'n krag. MEGANIKA 1

6 In Graad 1 het ons vektore in een dimensie (langs 'n reguit ln) voorgestel. Die gebruik van positiewe en negatiewe vektore is nuttig wanneer daar met vektore in een dimensie gewerk word. Wanneer ons een rigting as positief aandui moet die teenoorgestelde rigting dan as negatief aangedui word. of Oos as "positief" neem, dan is na links of Wes "negatief." of Noord as "positief" neem, dan is afwaarts of Suid "negatief". In Graad 11 kk ons na vektore in twee dimensies. Daar bestaan nou verskeie maniere om die rigting van 'n vektor aan te dui. Daar is drie metodes wat ons kan gebruik om rigting aan te dui. Wes (1) Peiling 'n Verwsingsln (hulpln) word as noord gekies met 'n hoek van. Alle hoeke word dan direk gemeet deur regsom ( tot 36 ) of kloksgews vanaf die verwsingsln te meet. Figuur 1 toon hoe hierdie metode gebruik kan word om die volgende rigtings voor te stel: A = rigting 3 of peiling van 3 B = rigting 12 of peiling van 12 C = rigting 27 of peiling van 27 D = rigting 32 of peiling van 32 (2) Kompasrigtings B hierdie metode maak ons gebruik van die windrigtings, noord, suid, oos en wes. Figuur 2 toon hoe hierdie metode gebruik kan word om die volgende rigtings voor te stel: A = 6 oos van noord, of N 6 O B = 2 wes van suid of S 2 W C = 3 wes van noord of N 3 W (3) - en -asse Wanneer die - en die -asse gebruik word om rigtings mee aan te dui, word die hoek gemeet t.o.v. die -as. Verder moet dit duidelik wees of die hoek bo of onder die -as is, en of die hoek t.o.v. die positiewe of die negatiewe -as gemeet is. Figuur 3 toon hoe hierdie metode gebruik kan word om die volgende rigtings voor te stel: A = 3 bo die positiewe -as B = 45 onder die positiewe -as C = 37,5 onder die negatiewe -as op af links Noord Suid C Wes regs Oos Ons beskrf teenoorgestelde rigtings as "+" en "-". D B C (Noord) 3 Noord 3 2 Suid A 12 Figuur 1 6 Figuur 2 B A Oos A antwoord te kr wat dieselfde effek as die twee of meer afsonderlike vektorhoe- die resultant (of resultante vektor R) genoem. Die resultant van 'n aantal vektore is die enkele vektor wat dieselde uitwerking (effek) het as die oorspronklike vektore saam. - 37,5 C 3 45 B Figuur 3 Die resultant van twee of meer kragte F 1 en F 2 kan as 'n vektorvergelking geskrf word: F R = F 1 + F 2. Onthou dat die grootte sowel as die rigting van elke vektor in ag geneem moet word. Twee kragte F 1 van 1 N oos en F 2 F R = F 1 + F 2 = 1 N + 7 N = 17 N oos. F 2 met s stert aan die kop van kragvektor F 1 tert-aan-kopmetode genoem. F 1 = 1 N F 2 = 7 N oos as positief F R = 17 N oos 2 ONDERWERP 1

7 F 1 1 N oos maar F 2 nou 7 N wes, kies ons die rigting oos as positief, dan is die rigting wes negatief. F 2 is in die teenoorgestelde rigting as F 1 en ons noem F 2 die negatiewe vektor, sodat: F R = F 1 + F 2 = (+1 N) + (-7 N) = 3 N oos. F 2 met s stert aan die kop van kragvektor F 1, maar in die teenoorgestelde rigting te teken. oos as positief F R = 3 N oos F 1 = 1 N F 2 = 7 N Ons dui altd die resultante vektor aan met die getal wat s grootte verteenwoordig, die korrekte eenheid en die korrekte rigting. HERSIENING VAN BELANGRIKE KONSEPTE VAN GRAAD 1 1. Verduidelik die begrippe en gee drie voorbeelde van elk: skalaar- en vektorhoeveelheid. Skalaar : Vektor : 2. Neem (NOORD) as verwsingsln (hulpln). 3. Gebruik lne van 4 cm met n plpunt b elk om die volgende rigtings op dieselfde assestelsel aan te dui: A = rigting 45 ; B = rigting 11 C = rigting 18 ; D = rigting 33 Dui die vier windrigtings op die volgende assestelsel aan. Gebruik lne van 4 cm met 'n plpunt b elk om die volgende rigting op dieselfde assestelsel aan te dui: A = 6 W van N ; B = Suid-Oos C = 35 S van W ; D = 55 N van O 4. Beskrf elk van die rigtings A, B en C in Vraag 2 asook A, C en D in Vraag 3 in terme van 'n hoek gemeet ten opsigte van die postiewe- of negatiewe -as. Vir Vraag 2: Vir Vraag 3: A = B = C = MEGANIKA A = C = D = 3

8 5. Beskou die skets: 5.1 Gee die rigtings van A, B, C en D kloksgews gemeet vanaf die (noord) verwsingsln. (noord) A = A B = C = D 65 3 D = 5.2 Gee die rigtings van A, B, C en D in terme van 'n skerp hoek en die basiese windringting. 27 (wes) 9 (oos) A = B = C = C (suid) B D = 6. Wat word bedoel met die resultant van vektore? 7. 'n Krag F 1 van 5 N en 'n krag F 2 van 3 N werk gelktdig in op 'n voorwerp. Die rigting van die kragte kan na willekeur gewsig word. 7.1 Wanneer sal hierdie kragte hul grootste resultant hê? 7.2 Bevestig jou antwoorde in Vraag 7.1 deur die resultant van hierdie kragte te bepaal deur 'n akkurate stert-aankop-vektordiagram te gebruik. Gebruik 'n skaal van 1 mm:1 N. 7.3 Toets jou antwoord in Vraag 7.2 deur 'n vektorvergelking te gebruik. 7.4 Wanneer sal hierdie kragte hul kleinste resultant hê? 7.5 Bevestig jou antwoorde in Vraag 7.4 deur die resultant van hierdie kragte te bepaal deur 'n akkurate stert-aanskop-vektordiagram te gebruik. Gebruik 'n skaal van 1 mm:1 N. 7.6 Toets jou antwoord in Vraag 7.6 deur 'n vektorvergelking te gebruik. 4 ONDERWERP 1

9 van al die kragte tdens n toutrekkompetisie soos Gebruik 'n skaal van 1 mm:1 N. 6 N 4 N 5 N 7 N 3 N 9. Die volgende kragte werk op 'n voorwerp in: F A = 4,5 N afwaarts; F B = 3,2 N afwaarts en F C = 11,5 N opwaarts. Bepaal die resultant van die drie kragte deur 'n kop-aan-stert-vektordiagram te gebruik. Toets ook jou antwoord deur 'n vektorvergelking te gebruik. 1.Twee kragte, F 1 en F 2 word op 'n krat uitgeoefen soos aangetoon. F 1 is 15,5 N na regs. Gebruik 'n sketsvektordiagram asook 'n vektorvergelking om F 2 te bereken as die resultant van die twee kragte 7,3 N is. F 1 = 15,5 N F 2 MEGANIKA 5

10 DIE RESULTANT VAN TWEE LOODREGTE VEKTORE Ons kan vektore op 'n Cartesiese vlak teken. Die Cartesiese vlak is 'n stelsel asse wat met mekaar loodreg b die oorsprong (;) kruis. Die horisontale as (-as) is positief regs en negatief links van die oorsprong en die vertikale as (-as) is positief bokant en negatief onderkant die oorsprong. R is 'n vektor in die horisontale ringting. R is 'n vektor in die vertikale rigting. Daar is twee metodes om hierdie twee loodregte vektore op 'n Cartesiese vlak voor te stel, naamlik hulle stert-aan-kop te teken of om hulle stert-aan-stert te teken. Metode 1 : Stert-aan-kop metode Begin b die oorsprong en teken vektor R in die -rigting. Teken vektor R in die -rigting vanaf die kop van R, sodat die twee vektore stert-aan-kop geteken is. - oorsprong 'n Cartesiese vlak. Metode 2 : Stert-aan-stert metode Begin b die oorsprong en teken vektor R in die -rigting. Teken vektor R in die -rigting ook vanaf die oorsprong, sodat die twee vektore stert-aan-stert geteken is. R R - R - R Die resultant vektor R van twee of meer vektore is die enkele vektor wat dieselde effek as die oorspronklike vektore saam het. Daar is twee metodes om die resultante vektor R van twee vektore R en R wat reghoekig op mekaar inwerk te kan bepaal, naamlik die: Stert-aan-kop-metode en Stert-aan-stert-metode. 1. Stert-aan-kop-metode R volgens skaal. R volgens skaal deur s stert aan die punt van R te plaas. R se stert met R se kop om die resultante vektor R te lewer. R met liniaal en die rigting () van R met 'n gradeboog. van die resultant te bepaal. ) van R volgens die metodes wat j geleer het om rigting aan te dui. Die stert-aan-kop-metode wat gebruik word om twee vektore op te tel, word ook soms die driehoekmetode genoem, want die resultant vorm die derde s van 'n driehoek. R R 2. Stert-aan-stert-metode R volgens skaal. R volgens skaal en begin b dieselfde oorsprong as R (d.w.s. begin b die stert van R ). allel aan R en R te teken, met dieselfde lengtes. R as die hoekln (diagonaal) van die reghoek,begin b die sterte van R en R. R met 'n liniaal en die rigting () van R met 'n gradeboog. die resultant te bepaal. ) van R volgens die metodes wat j geleer het om rigting aan te dui. R R Die stert-aan-stert metode wat gebruik word om twee vektore op te tel, word ook soms die parallelogrammtode genoem, want dit vorm 'n parallelogram. - R - R 6 ONDERWERP 1

11 II. Bepaal van die resultante vektor deur bereking 1. Stert-aan-kop-metode volgens skaal) met vektore R en R stertaan-kop. R. tussen R en R aan. 2. Stert-aan-stert-metode volgens skaal) met vektore R en R stertaan-stert. R. tussen R en R aan. Ons gebruik R wanneer ons in die algemeen na 'n resultante vektor verws. F R gebruik as na 'n restante krag verws word. - R R R Grootte van die resultante vektor R Gebruik die Stelling van Pthagoras om die grootte van die resultante vektor R te verkr: R 2 = R R Rigting van die resultante vektor R Gebruik die trigonometrie om die rigting van die resultante vektor R te verkr: R tan = R In Graad 11 gebruik ons voorbeelde wat kragvektore en verplasingsvektore insluit om die grootte en rigting - R R R Beskrf die rigting () van R volgens die metodes wat j geleer het om rigting aan te dui Voorbeeld 1 Twee kragte F 1 van 8 N oos en F 2 van 4 N noord word gelktdig op (1) Teken 'n sketsdiagram ('n vektordiagram nie volgens skaal) van die kragvektore op 'n Cartesiese vlak. van die resultant van hierdie twee kragte deur gebruik te maak van die stert-aan-stert-metode. Antwoord (1) (noord) (2) Skaal: 1 mm :1 N (d.w.s. 1 mm:1 N) - F 2 = 4 N noord F 1 = 8 N oos Grootte: F R = [89 (mm) 1 N] = 89 N Rigting: = 27 bo die positiewe -as cm F 2 = 4 N noord F 1 = 8 N oos Die grootte en rigting van die resultante krag: F R = 89 N, 27 bo die positiewe -as (of, 27 noord van oos of O 27 N) (of, rigting (peiling) 63 ) F 2 = 4 N noord cm F R F 1 = 8 N oos MEGANIKA 7

12 Voorbeeld 2 Susan stap eers 5 km in die rigting (in die positiewe -rigting) waarna s koers verander en dan 8 km in die rigting 9 (in die positiewe -rigting) stap. (1) Teken 'n sketsdiagram (vektordiagram nie volgens skaal) om die twee verplasings wat Susan ondergaan het en haar resultante verplasing voor te stel deur gebruik te maak van die stert-aan-kop-metode. Benoem dit volledig. (2) Bereken die grootte en rigting van Susan se resultante verplasing. Antwoord (1) (2) Grootte van R R 2 = R R Rigting van R R = 8 km = (5 km) 2 + (8 km) 2 R tan = = 25 km km 2 R R = 5 km = 89 km 2 8 m = 5 m R = 9,4 km R = 1,6 Susan se resultante verplasing, = tan -1 (1,6) R = 9,4 km rigting 58 - = 58 (of, 58 oos van noord of N 58 O) (of, 32 bo die positiewe -as RESULTANT VAN TWEE LOODREGTE VEKTORE 1. Verduidelik die begrippe: Cartesiese vlak : Loodregte vektore : Stert-aan-kop-metode : Stert-aan-stert-metode : 8 ONDERWERP 1

13 2. Twee kragte van 12 N elk word gelktdig op 'n krat uitgeoefen soos in die 2.1 Teken 'n sketsdiagram van die kragvektore op 'n Cartesiese vlak. 12 N 12 N twee kragte deur gebruik te maak van die stert-aan-stert-metode. 3. Kragvektore P en Q is volgens skaal geteken op die Cartesiese vlak hieronder getoon. Bereken: -as 3.1 die grootte van vektor P in krageenhede die rigting van vektor Q kloksgews vanaf die positiewe -as gemeet. Vektor Q Vektor P as -4 MEGANIKA 9

14 4. Twee newtontrekskale word gebruik om kragte uit te oefen op 'n houtblok 4. 1 Neem die lesings van die kragte op die twee trekskale en teken die kragte op 'n Cartesiese vlak. 1 N N Teken 'n sketsvektordiagram (nie volgens skaal 4.3 Bereken die grootte en rigting van die twee nie) van die twee kragte en hulle resultant. kragte se resultant. 5. 'n Seun op s branderplank beweeg 15 m reg wes, waarna h van rigting veranderen dan 7 m reg noord beweeg. Teken die twee verplasings op 'n Cartesiese vlak en bereken dan die seun se resultante verplasing relatief tot die horisontale vlak. 1 ONDERWERP 1

15 6. 'n Boot wat oor 'n rivier van 8 m breed geroei word, word 5 m stroomaf gespoel teen die td wat dit die oorkanste oewer bereik Bepaal die resultante verplasing van die boot deur middel van 'n noukeurige skaaldiagram. Maak gebruik van die kop-aan-stert-metode. 7. 'n Horisontale en vertikale krag werk op 'n voorwerp in. Die horisontale krag is op 8 N vasgestel. die grootte van die vertikale krag asook die hoek tussen die resultant en horisontale krag indien die grootte van die resultant 1 N is. 8. 'n Horisontale en vertikale krag werk op 'n voorwerp in. Die vertikale krag is op 5 N vasgestel. Bereken die grootte van die horsontale krag asook die hoek tussen die resultant en horisontale krag indien die grootte van die resultant 9 N is. MEGANIKA 11

16 DIE RESULTANT VAN MEER AS TWEE I. OPTEL VAN KO-LINEÊRE VEKTORE Twee of meer vektore wat in een dimensie optree d.w.s. wat in dieselfde reguit ln voorkom, word ko-lineêre vektore genoem. Ko-lineêre vektore kan in dieselfde rigting of in die teenoorgestelde rigting met mekaar behalwe vektor E. Ons gaan nou leer hoe om ko-lineêre horisontale vektore en ko-lineêre vertikale vektore op 'n Cartesiese vlak voor te stel en die resultant van hierdie vektore te bepaal. Wanneer twee of meer vektore gelktdig in die horisontale -riging inwerk, kan ons hierdie vektore kop-aan-stert op die Cartesiese vlak teken en stel hulle die ko-lineêre horisontale vektore voor. In Figuur 1 hieronder is F 1 en F 2 twee kragvektore (ko-lineêre kragte) wat gelktdig in die horisontale -riging inwerk. Figuur 1 Figuur 2 Figuur 3 A C A,B, C en D is ko-lineêre horisontale vektore. A en B is ko-lineêre vektore in dieselfe rigting. C en D is ko-lineêre in die teenoorgestelde rigting. B D E - F 1 F 2 F 2 R = F 1 + F 2 Netto of resultante horisontale kragvektor R. F 2 R = F 1 + F 2 - F 1 F 1 F 2 - F 1 Ko-linieêre kragte voorgestel op 'n Cartesiese. Netto of resultante vertikale kragvektor R. Op dieselfde manier wanneer twee of meer vektore gelktdig in die vertikale -riging inwerk, kan ons hierdie vektore kop-aan-stert op die Cartesiese vlak teken en stel hulle die ko-lineêre vertikale vektore voor. In Figuur 1 hierbo is F 1 en F 2 twee kragvektore (ko-lineêre kragte) wat gelktdig in die vertikale -riging inwerk. Nou voeg ons die ko-lineêre horisontale vektore bmekaar deur al die vektore in die horisontale rigting (d.w.s. parallel op die -rigting) bmekaar tel om die netto of resultante horisontale vektor R te bepaal (ook genoem die netto -komponent), soos in Figuur 2 hierbo. Die netto horisontale kragvektor of netto -komponent van die twee kragte F 1 en F 2 is dan: R = F 1 + F 2 Net so voeg ons die ko-lineêre vertikale vektore bmekaar deur al die vektore in die vertikaal rigting (d.w.s. loodreg op die -rigting) bmekaar tel om die netto of resultante vertikale vektor R te bepaal (ook genoem die netto -komponent), so in Figuur 3 hierbo. Die netto vertikale kragvektor of netto -komponent van die twee kragte F 1 en F 2 is dan: R = F 1 + F 2 Nadat ons die netto horisontale vektor (netto -komponent) R en die netto vertikale vektor (netto -komponent) R word. Daar is twee metodes waarop ons die twee vektore R en R op die Cartesiese vlak kan teken. R Metode 1 : Stert-aan-stert metode Begin b die oorsprong en teken vektor R in die -rigting. Teken vektor R in die -rigting ook vanaf die oorsprong, sodat die twee vektore stert-aan-stert geteken is. Metode 2 : Stert-aan-kop metode Begin b die oorsprong en teken vektor R in die -rigting. Teken vektor R in die -rigting vanaf die kop van R, sodat die twee vektore stert-aan-kop geteken is. R - R - R 12 ONDERWERP 1

17 Die resultant vektor R van twee of meer vektore is die enkele vektor wat dieselde effek as die oorspronklike vektore saam het. Daar is twee metodes om die resultante vektor R van twee vektore R en R wat reghoekig op mekaar inwerk te kan bepaal, naamlik die: Stert-aan-kop-metode en Stert-aan-stert-metode. 1. Stert-aan-kop-metode R volgens skaal. R volgens skaal deur s stert aan die punt van R te plaas. R se stert met R se kop om die resultante vektor R te lewer. R met 'n liniaal en die rigting () van R met 'n gradeboog. van die resultant te bepaal. ) van R volgens die metodes wat j geleer het om rigting aan te dui. Die stert-aan-kop-metode wat gebruik word om twee vektore op te tel, word ook soms die driehoekmetode genoem, want die resultant vorm die derde s van 'n driehoek. R R 2. Stert-aan-stert-metode R volgens skaal. R volgens skaal en begin b dieselfde oorsprong as R (d.w.s. begin b die stert san R ). allel aan R en R te teken, met dieselfde lengtes. R as die hoekln (diagonaal) van die reghoek,begin b die sterte R van en R. R met 'n liniaal en die rigting () van R met 'n gradeboog. van die resultant te bepaal. ) van R volgens die metodes wat j geleer het om rigting aan te dui. R R Die stert-aan-stert metode wat gebruik word om twee vektore op te tel, word ook soms die parallelogrammetode genoem, want dit vorm 'n parallelogram. - R - R II. Bepaal van die resultante vektor deur bereking 1. Stert-aan-kop-metode volgens skaal) met vektore R en R stertaan-kop. R. tussen R en R aan. 2. Stert-aan-stert-metode volgens skaal) met vektore R en R stertaan-stert. R. tussen R en R aan. R R - R - R Grootte van die resultante vektor R Gebruik die Stelling van Pthagoras om die grootte van die resultante vektor R te verkr: R 2 = R 2 + R 2 Rigting van die resultante vektor R Gebruik die trigonometrie om die rigting van die resultante vektor R te verkr: R R R tan = R Beskrf die rigting () van R volgens die metodes wat j geleer het om rigting aan te dui Ons kk nou na die volgende voorbeelde wat kragvektore en verplasingsvektore insluit om die grootte en rigting van die resultant van ko-lineêre horisontale vektore en ko-lineêre vertikale vektore te bepaal. MEGANIKA 13

18 Voorbeeld 3 te op 'n krat uitoefen. Drie horisontale kragte: F 1 = 35 N oos, F 2 = 25 N oos en F 3 = 3 N wes, en drie vertikale kragte: F 4 = 5 N noord, F 5 = 3 N noord en F 6 = 4 N suid. (1) Teken 'n sketsdiagram van die kragte op 'n Cartesiese vlak. (2) Teken 'n diagram van die netto vertikale krag (netto -komponent) F en die netto horisontale krag (netto -kompoponent) F. Teken die resulant F R van F en F op die diagram. (Gebruik die stert-aan-stert-metode.) (3) Bereken die grootte en rigting van die resultante F R van die kragte. Antwoord (1) F 5 = 3 N F 3 = 3 N F 4 = 5 N (2) F = F 1 + F 2 + F 3 = 35 N + 25 N + (-3 N) = 3 N oos F 5 = 3 N F 6 = 4 N F 1 = 35 N F 2 = 25 N F = F 4 + F 5 + F 6 = 5 N + 3 N + (-4 N) = 4 N noord F 4 = 5 N - F 3 = 3 N F 6 = 4 N F 1 = 35 N F 2 = 25 N F = 4 N - F R F = 3 N (3) Grootte van F R 2 F R = F F = (4 N) 2 + (3 N) 2 = 1 6 N N 2 = 2 5 N 2 F R = 5 N Rigting van F R F tan = F 4 N = 3 N = 1,33 = tan -1 (1,33) (of rigting (peiling) 36,9 ) (of O 53,1 N of N 36,9 O) (of, 53,1 bo die positiewe -as) = 53,1 Die grootte en rigting van die resultante krag: F R = 5 N, 53,1 noord van oos Voorbeeld 4 'n Seun stap 1 m reg noord, dan 3 m reg oos, staan vir 'n oomblik stil en loop nog 2 m reg oos, dan 4 m reg suid en 'n verdere 13 m reg wes. (1) Teken 'n sketsdiagram van die seun se veraplasing op 'n Cartiesiese vlak. (2) Bereken netto verplasing (netto komponent) van die seun se verplasing in die noord-suid-ringting (vertikaal). (3) Bereken netto verplasing (netto komponent) van die die seun se verplasing in die oos-wes-ringting (horisontaal). (4) Teken 'n akkurate vektordiagram volgens skaal (1 mm : 1 m) van die seun se netto verplasing noord en s netto verplasing suid. Bepaal deur akkurate meting die grootte en rigting van s verplasing ten opsigate van die beginpunt. (Gebruik die stert-aan-kop-metode.) 14 ONDERWERP 1

19 Antwoord (1) (noord) (2) Netto verplasing vertikaal F (of vertikaal) = R 1 + R 5 = 1 m + (-4 N) = 6 m noord R 1 = 1 m noord (3) Netto verplasing horisontaal - R 4 = 13 m wes R 5 = 4 m noord R 2 = 3 m oos R 3 = 2 m oos F (of horisontaal) = R 2 + R 3 + R 4 = 3 m + 2 m +(-13 m) = -8 m d.w.s. 8 m wes (4) Skaal: 1 mm = 1 m F (of vertikaal) = 6 m noord R F (of horisontaal) = 8 m wes (noord) Grootte: R = [1 (mm) 1 m] = 1 m Rigting: = 36 noord van wes Die grootte en rigting van die resultante verplasing vanaf die beginpunt: R = 89 N, 36 noord van wes (of, W 36 N of N 54 W) (of, rigting (peiling) 36 ) (of, 36 bo die negatiewe -as) 1. Verduidelik die begrip ko-lineêre vektore. OPTEL VAN KOLINEÊRE VEKTORE F 1 = 4 N oos, F 2 = 5 N oos en F 3 = 3 N oos, en drie vertikale kragte: F 4 = 4 N noord, F 5 = 35 N suid en F 6 = 45 N wes. 3.1 Teken 'n sketsdiagram van die kragte op 'n Cartesiese vlak. F 4 = 4 N F 1 = 4 N F 3 = 3 N F 5 = 35 N F 6 = 45 N F 2 = 5 N MEGANIKA 15

20 2.2 Teken 'n diagram (nie volgens skaal nie) van die netto vertikale krag (netto -komponent) F en die netto horisontale krag (netto -komponent) F. Teken die resultant F R van F en F op die diagram. (Gebruik die stert-aan-stert-metode.) 2.3 Bereken die grootte en rigting van die resultante F R van die kragte. Grootte: Rigting: 3. Kragvektore F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 en F 6 is volgens skaal op die Cartesiese vlak hieronder getoon. 3.1 Bereken netto krag (netto komponent) van al die kragte in die horisontale -rigting F F 4 1 F 1 F 2 -as Bereken netto krag (netto komponent) van al die kragte in die vertikale -rigting F F Teken 'n diagram van die netto horisontale krag (netto -komponent) F en die netto vertikale krag (netto - komponent) F. Teken die resulant F R van F en F op die diagram. (Gebruik die stert-aan-kop-metode.) 16 ONDERWERP 1

21 3.4 Bereken die grootte en rigting van die resultante F R van die kragte. Grootte: Rigting: 4. 'n Seilboot vaar volgens die volgende roete uit die hawe. 5 km noord, 2 km noord, 3 km oos, 2 km oos en dan 4 km suid 4.1 Teken 'n sketsdiagram van die boot se verplasing op 'n Cartesiese vlak. W N S O 4.2 Bereken netto verplasing (netto komponent) van die boot se verplasing in die noord-suidringting (vertikaal). 4.3 Bereken netto verplasing (netto komponent) van die boot se verplasing in die oos-wesringting (horisontaal). 4.4 Teken 'n akkurate vektordiagram volgens skaal (1 mm : 1 m) van die boot se netto verplasing noord en s netto verplasing suid. Bepaal deur akkurate meting die grootte en rigting van die boot se verplasing ten opsigte van die hawe (beginpunt). (Gebruik die stert-aan-kop-metode.) MEGANIKA 17

22 II. OPTEL VAN VEKTORE WAT NIE KO-LINEÊR OF LOODREG IS NIE Soms kan verskeie vektore, bv. kragte in verskillende rigtings op 'n punt inwerk of verskeie verplasings opeenvolgend in verskillende rigtings plaasvind. Die resultante vektor van enige aantal vektore in 'n 2 dimensionele vlak (2D-vlak) word dan deur die veelhoekmetode van stert-aan-kop-optelling bepaal. (kop) van die laaste pl getrek word. resultant van net twee vektore te bepaal. Voorbeeld 5 Vier kragte van F 1 = 4 N, F 2 = 5 N, F 3 = 6 N en F 4 = 5 N werk b dieselfde punt op 'n voorwerp in rigtings van, 11, 22 en 29 onderskeidelik. Beplaal met behulp van 'n akkurate skaaltekening die grootte en rigting van hierdie kragte se resultant. Antwoord F 4 = 5 N, 29 F 1 = 4 N, F 2 = 5 N, 11 Deur middel van die veelhoekmetode van stert-aan-kop-optelling Begin met 'n klein assestelsel en teken volgens skaal 'n pl van 4 cm in die rigting om F 1 in grootte en rigting voor te stel. F 3 = 6 N, 22 F 1. Vanaf hierdie assestelsel, teken volgens skaal 'n pl van 5 cm in die rigting 11 om F 2 in grootte en rigting voor te stel. (kop) van F 2. Vanaf hierdie assestelsel, teken volgens skaal 'n pl van 6 cm in die rigting 22 om F 3 in grootte en rigting voor te stel. (kop) van F 3. Vanaf hierdie assestelsel, teken volgens skaal 'n pl van 5 cm in die rigting 29 om F 4 in grootte en rigting voor te stel. (stert) van F 1 met die eindpunt (kop) van F 4, met die pl in die rigting van F 4. resultante krag F R van die vier kragte wat op die voorwerp uitgeoefen word. (F R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 ) F R deur akkurate meting. Skaal: 1 cm = 1 N 11 Grootte van F R F 2 = 5 N F R = [3,9 cm) 1 N] = 3,9 N F 1 = 4 N 22 F R F R F 3 = 6 N Rigting van F R F 4 = 5 N Die resultante krag, F R = 3,9 N, rigting F R 6 12 (of 1 onder die negatiewe -as) (of 1 suid van wes, of W 1 S) (of 8 wes van suid, of S 8 W) = ( ) = ONDERWERP 1