Inleiding kwantummechanica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Inleiding kwantummechanica"

Transcriptie

1 Inleiding kwantummechanica BIP-0306 door C.A. Vriezinga & F.J. Vergeldt Leerstoelgroep Biofysica Wageningen University September 010

2

3 Inleiding kwantummechanica BIP-0306 door C.A. Vriezinga & F.J. Vergeldt Verplicht voor BSc Moleculaire levenswetenschappen Leerstoelgroep Biofysica Wageningen University September 010 (7 e druk)

4

5 VOORWOORD Het onderwijselement Inleiding kwantummechanica (BIP-0306), voorheen Wis- en natuurkunde voor moleculaire levenswetenschappen, heeft tot doel studenten moleculaire levenswetenschappen voor te bereiden op het vak Principes van molecuulbouw en chemische binding (BIP-0806) en op meer indirecte wijze op het vak Spectroscopie (BIP-31306). In deze vakken staat het kwantum karakter van de fysica centraal. Dit vak beoogt een brug te slaan tussen de klassieke, newtoniaanse natuurkunde en de moderne, kwantum fysica en een inleiding te geven in de kwantummechanica. Hiervoor komen drie aspecten aan bod: 1. Kwantummechanica, ook wel golfmechanica genoemd, vertoont veel karakteristieken die we ook aantreffen in de klassieke theorie van reële golven. De analogie tussen de kwantummechanische golffunctie en reële golven is vaak treffend. Kennis van de reële golftheorie vormt een belangrijke ondersteuning om inzicht te verwerven in het gedrag van kwantummechanische golffuncties. Dit betekent dat zaken als golfvergelijking, lopende golf, staande golf, dispersie et cetera binnen het kader van de reële golftheorie ontwikkeld worden en de samenhang met het kwantummechanische analogon besproken wordt. Een specifiek thema wordt gevormd door de interactie tussen een geladen object en een elektromagnetisch veld. Ook hier wordt de klassieke theorie ontwikkeld en in samenhang gebracht met de kwantumtheorie van genoemde interactie. Dit alles is technisch van aard. Het betekent dat de student zich een nieuw stukje theorie eigen moet maken, waarover geen twijfel mogelijk is en waarvan de beheersing eenvoudig te testen is.. In feite is de ontwikkeling van de kwantummechanica een wanhopige poging geweest om microscopische verschijnselen te verklaren binnen de fysica van de macroscopische fenomenen. Deze poging is jammerlijk mislukt. Sommige wetten van de kwantum fysica sluiten op geen enkele wijze aan bij welk macroscopisch fenomeen dan ook. We moeten op een andere manier leren denken. Om begrip te krijgen is het echter belangrijk dat we iets kunnen zeggen over het waarom van dat andere denken. De discussie rond dit thema was van meet af aan aanwezig bij de geboorte van de kwantummechanica in 196 en duurt voort tot op de huidige dag. In snel tempo wordt in dit dictaat de student geconfronteerd met een aantal problemen en mogelijke verklaringen. De bedoeling van dit alles is dat de student meedenkt om op die manier zich het andere denken eigen te maken en ook om enig inzicht te krijgen in wat kwantummechanica eigenlijk is. Een ieder, die zich op dit onderwerp stort, zij echter gewaarschuwd. There was a time when the newspapers said that only twelve men understood the theory of relativity. I do not believe that there ever was such a time... On the other hand, I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics.... Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, But how can it be like that? because you will get down the drain into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that. R.P. Feynman The Character of Physical Law (1967, page 19) i

6 3. Het tweede deel (hoofdstuk 9 13) van dit vak is een inleiding in de kwantummechanica met het accent op de wiskundige aspecten. Dit deel bespreekt de structuur van de kwantummechanica in zijn wiskundige formulering. Aan de hand van vooral eendimensionale systemen wordt dit geïllustreerd. Voor het begrip wordt herhaalde malen teruggegrepen naar deel 1 van dit vak. Dit diktaat bevat een aantal onderdelen uit het oude wiskundedictaat Analyse T33 door A. Arnoldussen van der Lugt en O.A. van Herwaarden. Dit geldt in het bijzonder voor 11.1 t/m 11.3, die vrijwel letterlijk zijn overgenomen Januari 005 C.A. Vriezinga Bij wijze van experiment is de 5e druk van deel 1 opgemaakt in LATEX. Enkele fouten zijn verwijderd en andere wellicht gecreëerd. Voor de 6e druk is ook deel is opgemaakt in LATEX en zijn beide delen samengevoegd tot een geheel. Bij de 7e druk is de historische opdeling in twee delen verwijderd. Verder is de opmaak veranderd en zijn fouten verwijderd. Commentaar en suggesties voor verbeteringen worden op prijs gesteld. Augustus 010 Frank Vergeldt ii

7 Inhoudsopgave 1 De lopende golf Determinisme Deeltjes of golven De lopende golf Naar rechts of naar links Lichtgolven en intensiteit De bolgolf Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk Licht als golfverschijnsel 11.1 De complexe rekenwijze Het principe van Huygens Fraunhofer interferentie aan N spleten Fraunhoferbuiging aan een spleet Fraunhoferdiffractie aan N spleten Scheidend vermogen Het scheidend vermogen van een tralie Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk Licht als deeltjesverschijnsel De zwarte stralingskromme Het foto-elektrisch effect De Broglie één spleet en fotonen De onzekerheidsrelatie van Heisenberg Scheidend vermogen (deeltjes) Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk Het golf-deeltjes gedrag bij elektronen Twee spleten en elektronen Meten is weten? Uit onzekerheid volgt onzekerheid Het Compton effect De EPR-paradox Het projectiepostulaat De Kat van Schrödinger Scholen De golffunctie Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk iii

8 5 De golfvergelijking De klassieke golfvergelijking Staande golven Gekoppelde slingers Dispersie De klassieke golfvergelijking voor driedimensionale systemen De Schrödingervergelijking Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk Het elektromagnetische veld en fotonen Het elektromagnetisch veld Gepolariseerd licht en fotonen Fotonspin De kwantummechanische beschrijving van spin Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk De oscillator De harmonische oscillator De aangedreven harmonische oscillator De kwantummechanische oscillator Het vibratiespectrum van CO Moleculaire vibraties Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk De dipooloscillator Het veld van de dipooloscillator De energiestroom van de dipooloscillator Verstrooiing Elektrische dipoolovergangen De oude kwantummechanica Vraagstukken hoofdstuk Antwoorden hoofdstuk Schrödingervergelijking en waarschijnlijkheid De tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking De tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking Het vrije deeltje Waarschijnlijkheid en waarschijnlijkheidsdichtheid De waarschijnlijkheidsstroomdichtheid Vraagstukken hoofdstuk Eendimensionale systemen De potentiaalsprong (E < V 0 ) De potentiaalsprong (E > V 0 ) De potentiaalberg De potentiaalput De harmonische oscillator Vraagstukken hoofdstuk iv

9 11 Enkele formele aspecten van de kwantummechanica Orthonormale stelsels Operatoren Observabelen Het eigenwaarde-postulaat Het golfpakket Vraagstukken hoofstuk De interpretatie in de kwantummechanica Het superpositie principe Gemiddelde en standaarddeviatie Onzekerheidsrelaties Vraagstukken hoofdstuk Diversen Ontaarding Postulaten van de kwantummechanica Vraagstukken hoofstuk A Goniometrie 167 B Gemiddelden 169 C Fourieranalyse 171 D De klassieke golfvergelijking voor transversale uitwijkingen. 173 E De klassieke golfvergelijking voor longitudinale uitwijkingen 177 F Taylorreeks 179 G Natuurconstanten en conversiefactoren 181 v

10 vi

11 Hoofdstuk 1 De lopende golf 1.1 Determinisme In zijn Philosofiae Naturalis Principia Mathematica formuleerde Newton in 1686 zijn gedachten over de mechanica en zwaartekracht. Het gedrag van ieder massief object of planeet kan met deze theorie exact worden verklaard en voorspeld. Als het ooit mogelijk zou zijn om de exacte positie en snelheid van elk deeltje in het heelal te kennen, dan zou het tevens mogelijk zijn om met de grootst mogelijke nauwkeurigheid de toekomst van elk deeltje en daarmee van het heelal te voorspellen. De theorie laat geen ruimte over voor onzekerheid of toeval. We noemen zo n theorie een deterministische theorie. Zo er een onzekerheid is, komt deze voort uit onwetendheid. Het is in de praktijk ondoenlijk om van elk deeltje positie en snelheid te bepalen, daarvoor zijn er te veel. Ook is het niet mogelijk om een meting volkomen exact uit te voeren door de beperkingen van het meetapparaat (meetfouten). Dit alles is echter een technische aangelegenheid. Bij het voortschrijden van de techniek zullen we van steeds meer deeltjes, steeds exacter positie en snelheid kunnen bepalen. Binnen de modellen van Newton is er geen mechanisme aanwezig dat ons verhindert om in principe die onzekerheid op te heffen. Dit maakt de theorie van Newton deterministisch. 1. Deeltjes of golven De theorieën van Newton werden in hoge mate bevestigd door het experiment. Gelet op dit succes is het niet verwonderlijk dat Newton ook het gedrag van licht probeerde te verklaren in termen van deeltjes. Lichtstralen worden tenslotte waargenomen als rechte lijnen en de manier waarop licht wordt teruggekaatst in een spiegel lijkt sprekend op de wijze, waarop een bal door een harde muur wordt teruggekaatst. Newton nam aan dat het licht bestond uit een stroom van deeltjes, die hij corpuscula noemde. Met deze theorie was hij in staat de breking van licht aan het grensvlak tussen twee media, bijvoorbeeld water en lucht te verklaren. In dit model hebben de corpuscula in de optisch dichtere substantie (water) de grootste snelheid. Een tijdgenoot van Newton was de Nederlandse fysicus Christiaan Huygens. Hij was van mening dat licht geen deeltjesverschijnsel, maar een golfverschijnsel was. Licht zou zich in de vorm van een golf voortplanten in de ruimte, ongeveer zoals watergolven in het water zich voortplanten. Zijn golftheorie leverde een net zo bevredigende verklaring voor weerkaatsing en breking van het licht als de deeltjestheorie. Volgens de golftheorie was echter de snelheid van het licht in de optisch dichtere substantie het kleinst. Het was in die tijd technisch niet mogelijk om via een beslissend experiment uit te maken wie gelijk had. Vanwege de gevestigde autoriteit van de grote fysicus Newton hechtte men meer waarde aan de deeltjestheorie dan aan de golftheorie. In de 17e en 18e eeuw waren er maar weinig mensen, die de golftheorie serieus namen. In het begin van de 19e eeuw werden de rollen omgedraaid. De diffractie experimenten van Young en Fresnel toonden overduidelijk aan dat licht een golfverschijnsel was. Als dan ook nog eens Maxwell rond 1860 aantoont dat licht een elektromagnetische golf is, lijkt de triomf van de golftheorie compleet. Aan het eind van de 19e eeuw is er niemand meer, die niet gelooft dat licht een golfverschijnsel is. Wanneer dan ook Einstein in 1905 een model introduceert, waarin licht een deeltjesstroom is, ondervindt hij veel scepsis. Uiteindelijk blijkt dat het licht beschreven moet worden als een soort mengsel van deeltjes en golven. In de volgende paragrafen zal dit besproken worden. 1

12 1.3 De lopende golf Beschouw een homogene, wrijvingsloze snaar, horizontaal opgesteld in een gravitatievrije ruimte, waarvan het linkeruiteinde gekoppeld is aan een trillingsmachine. De machine beweegt het uiteinde op en neer volgens de formule Acosωt. A noemen we de amplitude, ω is de hoek- of circelfrequentie of simpelweg frequentie en t de tijd. We kiezen een assenkruis. De x-as leggen we langs de snaar in rust. Op de plaats x = 0 staat de trillingsmachine. Nadat we de trillingsmachine hebben aangezet, zien we hoe zich in de snaar een golf voortplant van de machine af (zie figuur 1.1). Figuur 1.1: Een lopende golf We wachten totdat de gehele snaar, die oneindig lang is, gevuld is met een zich voortplantende cosinusgolf. In die situatie en niet eerder (!) gaan we kijken. In de praktijk kan men volstaan met een snaar van eindige afmeting, waarbij aan het eind een energieabsorberend-systeem gekoppeld is, zodat op geen enkele wijze reflectie mogelijk is. We zien hoe ieder snaardeeltje op en neer gaat, analoog aan de beweging van de trillingsmachine. Geen enkel snaardeeltje beweegt naar rechts. Anderzijds zien we hoe de golftoppen zich wel naar rechts verplaatsen. Die beweging correspondeert dus niet met de beweging van een materieel object. We maken een foto op moment t 1 en even later op moment t : Figuur 1.: De lopende golf op twee tijdstippen Beschouwen we een punt A, dan voert die dezelfde beweging uit als punt B, punt C, enz. (de y-component van hun positie en hun snelheid zijn op ieder moment gelijk). We zeggen: A, B, C, enz. zijn met elkaar in fase. Beschouwen we nu enige tijd later (op t ) de situatie, dan zie we dat A op t in fase is met A op t 1. De fase heeft zich verplaatst. Daarom noemen we de voortplantingssnelheid van één cosinusgolf, die de hele snaar heeft opgevuld, de fasesnelheid, symbool v f. Geef de uitwijking y van een snaardeeltje op de plaats x, op het moment t, aan met het symbool ψ(x,t). Het punt x = 0 zal enige tijd geleden dezelfde beweging uitgevoerd hebben als het snaardeeltje op de plaats x. Die enige tijd is gelijk aan x v f (zie figuur 1.3). We weten dat de oorsprong een beweging uitvoert volgens Acosωt. In de oorsprong staat immers de tril-

13 Figuur 1.3: Bij opstellen ψ(x,t) voor een golf naar rechts lingsmachine. In formule: ) [ )] ( ψ(x,t) = ψ (0,t xvf = Acos ω (t xvf = Acos ωt ωx ) v f Voer in de afkorting: k = ω v f (1.1) met k het circelgolfgetal of gewoon golfgetal. We vinden: ψ(x,t) = Acos(ωt kx) (1.) Voegen we aan k het symbool λ toe volgens k = π λ, dan blijkt uit substitutie in de golffunctie dat λ de kortste afstand is tussen twee punten (bijvoorbeeld A en B), die met elkaar in fase zijn. λ noemt men de golflengte. Zie tabel 1.1 voor een overzicht, inclusief enige omzettingsformules en nomenclatuur. Tabel 1.1: Omzettingsformules en nomenclatuur Een in de richting van de +x-as lopende cosinusgolf wordt beschreven met de formule: ψ(x,t) = Acos(ωt kx) ψ(x,t) = uitwijking of golffunctie ω = (hoek)- of (cirkel)frequentie A = amplitude of amplitudo k = (cirkel)golfgetal ω = πν ν = frequentie ν = 1 T T = periode of trillingstijd k = πσ σ = golfgetal σ = 1 λ λ = golflengte De dimensie van ν is s 1 of Hz (Hertz). De dimensie van ω is rad s 1 of s 1. 1 Het voorvoegsel hoek of cirkel bij de benoeming van ω en k laat men in de praktijk vaak weg. We zullen dat in dit dictaat ook doen. Dit kan leiden tot verwarring! Nu de fysische betekenis van ω en k bekend is, kunnen we afkorting (1.1) opvatten als de definitie van fasesnelheid. Dat is dan ook gebruikelijk. Daarom, per definitie geldt: de fasesnelheid v f ω k (1.3) 3

14 Met enige omzettingen is vergelijking (1.3) te herleiden tot: λ = v f T (1.4) hetgeen te onthouden is als: afstand is snelheid maal tijd. 1.4 Naar rechts of naar links Vervangen we in voorgaande afleiding van de naar rechts lopende golf de +x-as door de x-as, dan gaat (1.) over in ψ(x,t) = Acos(ωt + kx) (1.5) onder voorwaarde dat ω, k en v f positief blijven. Draaien we vervolgens die x-as over een hoek van 180 (met de y-as als rotatieas, dan mogen we (1.5) interpreteren als een golf, die naar links loopt, dat wil zeggen in de richting van de negatieve x-as. Aldus: naar rechts: naar links: ψ = Acos(ωt kx) = Acos( ωt + kx) ψ = Acos(ωt + kx) = Acos( ωt kx) Als de tekens voor ωt en kx verschillen dan loopt de golf naar rechts (+x-as). Als de tekens gelijk zijn dan loopt de golf naar links ( x-as). Het is nuttig dit te onthouden! Mocht men dit vergeten zijn, dan is het vrij eenvoudig om bij gegeven golffunctie aan te tonen of de golf naar rechts of naar links loopt. We geven een voorbeeld. Vraag: Loopt de golf Acos( ωt kx) naar rechts of naar links? Antwoord: Beschouw een snaardeeltje op de plaats x, moment t en een naburig snaardeeltje op de plaats x + x, op een iets later tijdstip t + t, dus t > 0. x kan zowel positief als negatief zijn. Neem aan dat beide deeltjes met elkaar in fase zijn. Zie bijvoorbeeld punt A en punt A in figuur 1.. In fase zijn met elkaar betekent dat de uitwijking ψ en de snelheid dψ dt van het ene punt gelijk zijn aan die van het andere punt. In formules: de uitwijking: Acos( ωt kx) = Acos[ ω(t + t) k(x + x)] de snelheid: Hieraan is voldaan, indien: ofwel ωasin( ωt kx) = ωasin[ ω(t + t) k(x + x)] ωt kx = ω(t + t) k(x + x) + nπ n = 0, ±1, ±,... x = ω k t + nπ k = ω t + nλ k Kies x kleiner dan de golflengte, dan x = ω k t. Omdat ω en k altijd positief zijn en we t positief gekozen hebben, betekent dit dat x negatief is, dus het naburige punt dat even later hetzelfde gaat doen als het deeltje op de plaats x, ligt links van x, dus de golf beweegt naar links. N.B. De fasesnelheid kiezen we altijd positief, ook al loopt de golf naar links. Meestal kiest men voor een naar rechts lopende golf de uitdrukking: ψ = Acos( ωt + kx) en voor een naar links lopende golf : ψ = Acos( ωt kx) 4

15 1.5 Lichtgolven en intensiteit De lichtgolf kan op analoge wijze als de transversale golf in een snaar beschreven worden, bijvoorbeeld als: ψ(x,t) = Acos( ωt + kx) (1.6) We doen voorlopig geen uitspraak over de vraag wat ψ(x,t) bij een lichtgolf voorstelt. De fasesnelheid van de lichtgolf is gelijk aan de lichtsnelheid c. In vacuüm is c vrijwel gelijk aan m s 1. Wanneer we het linkeruiteinde van een snaar even op en neer bewegen, dan zal die oscillatie zich voortplanten in de snaar en aan het rechteruiteinde iets in beweging kunnen brengen, met andere woorden de energie heeft zich verplaatst. We spreken van energiestroom, dit is de energie die per seconde een dwarsdoorsnede passeert. Voor systemen met een ruimtelijke uitgebreidheid, bijvoorbeeld geluidsgolven in lucht, spreken we van energiestroomdichtheid, dit is de energie die per seconde door één vierkante meter dwarsdoorsnede stroomt. Bij licht noemen we dit intensiteit. We poneren de vuistregel: DE INTENSITEIT IS EVENREDIG MET DE UITWIJKING IN HET KWADRAAT Voor de intensiteit I van golf (1.6) kan dan geschreven worden: I = A cos ( ωt + kx) (1.7) Van belang is ook de intensiteit gemiddeld in de tijd. Het gemiddelde van oscillerende functies nemen we altijd door te integreren over één periode en te delen door die periode. Het gemiddelde van een cosinus of sinus is nul, omdat de functie net zo vaak boven als onder de t-as zit, maar het gemiddelde van cos of sin is niet gelijk nul, maar gelijk aan 1. Het is goed dit te onthouden. Voor het formele bewijs wordt verwezen naar appendix B. Zodoende vinden we: I = A Stel dat we een uitwijking ψ hebben, die geschreven kan worden als de superpositie van de golven ψ 1 t/m ψ n, dus: (1.8) ψ = ψ 1 + ψ + + ψ n (1.9) Indien alle golven ψ 1 t/m ψ n, dezelfde voortplantingsrichting hebben, geldt voor de totale intensiteit: I = (ψ 1 + ψ + + ψ n ) (1.10) Ook hier is weer de vuistregel van toepassing, dus eerst de uitwijkingen ψ 1 t/m ψ n optellen en dan pas kwadrateren. Om misverstanden te voorkomen, vermelden we dat de vuistregel niet van toepassing is op golven, die tegen elkaar inlopen. Stel we hebben een ψ, lopend naar links, dan geldt wel ψ = ψ 1 + ψ, maar voor de intensiteit geldt: I = ψ 1 ψ (1.11) Formule (1.10) nader uitgewerkt voor twee golven ψ 1 en ψ, dus in dezelfde richting lopend, geeft: of I = ψ 1 + ψ + ψ 1 ψ (1.1) I = I 1 + I + kruisterm (1.13) 5

16 I 1 is de intensiteit behorende bij golf ψ 1, analoog I. We zien: de totale intensiteit is in het algemeen niet gelijk aan de som van de intensiteiten van iedere golf afzonderlijk. Dit gedrag is kenmerkend voor golven. Ter illustratie berekenen we de somintensiteit van twee identieke golven ψ 1 = Acos( ωt + kx) en ψ = Acos( ωt + kx), beide naar rechts bewegend langs de x-as. Substitutie in (1.1) geeft: I = A cos ( ωt + kx) + A cos ( ωt + kx) + A cos ( ωt + kx) = 4A cos ( ωt + kx) (1.14) De intensiteit van de somgolf is vier maal zo groot als de intensiteit van één afzonderlijke golf en niet twee maal. Ook gemiddeld in de tijd is de intensiteit van de somgolf ( ( ) = A ) vier maal groter dan de gemiddelde intensiteit van één golf. De factor vier in plaats van twee wordt veroorzaakt door de = A kruisterm ψ 1 ψ. In de deeltjesfysica komen we geen kruistermen tegen. Ter illustratie nemen we in plaats van een golf een stroom van identieke blauwe deeltjes, die op vaste onderlinge afstand met constante snelheid langs de x-as naar rechts bewegen. De energiestroom is dan gelijk aan de kinetisch energie van één deeltje, vermenigvuldigd met het aantal deeltjes dat per seconde een dwarsdoorsnede passeert. Tussen de blauwe deeltjes zetten we rode deeltjes met een massa en snelheid identiek aan die van de blauwe (zie figuur 1.4). Figuur 1.4: Twee deeltjesstromen Het behoeft nauwelijks betoog, dat de energiestroom van de totale deeltjesstroom, de rode en de blauwe samen, nu twee maal zo groot is, niet vier maal. De aanwezigheid van kruistermen in de golftheorie of, zo men ook wel zegt, het interferentiegedrag van golven, is de grote boosdoener in alle pogingen een golfgedrag te vertalen in een deeltjesgedrag. Het idee van Einstein uit 1905, dat licht een stroom van deeltjes is, staat bijna haaks op het idee dat licht een golfverschijnsel is. 1.6 De bolgolf Voor de lineaire golf A cos( ωt + kx) is de gemiddelde intensiteit onafhankelijk van de plaats. De energie schuift langs de x-as op naar rechts. Een laserstraal is een redelijk voorbeeld van dit soort licht. Een andere situatie doet zich voor, wanneer we een puntvormige lamp hebben, die naar alle kanten op isotrope wijze licht uitzendt (zie figuur 1.5). In dat geval moeten we de golf beschrijven volgens: ψ(r,t) = Acos( ωt + kr) r (1.15) Figuur 1.5: De bolgolf Zo n golf noemen we een bolgolf. Hierbij is de r de radius. Deze is altijd positief. De lamp kan geen golven uitzenden in de richting van de negatieve r-as, want die is er niet. Dit betekent niet dat er geen golven 6

17 kunnen voorkomen evenredig met cos( ωt kr), dus golven die naar de lamp toelopen, maar dergelijke golven worden veroorzaakt door reflectie van de uitgaande golf of worden gegenereerd door een andere lamp. De reden waarom bolgolven een factor r in de noemer hebben, in tegenstelling tot eendimensionale golven, is de volgende. Beschouw de totale energie die door een (denkbeeldige) bol gaat, met straal r 1 en de lamp als middelpunt. Die energie is gelijk aan de intensiteit vermenigvuldigd met het bol oppervlak. W = A cos ( ωt + kr 1 ) r1 4πr1 = 4πA cos ( ωt + kr 1 ) (1.16) Met als gemiddelde vermogen: W = πa Gemiddeld in de tijd is W constant, dat wil zeggen onafhankelijk van de straal van de bol. Dit moet uiteraard. Het kan niet zo zijn dat door een bol met straal r gemiddeld meer energie gaat dan door een bol met straal r 1, want dat zou betekenen dat tussen r 1 en r extra energie geproduceerd wordt. De energie die van de lamp uitgaat, wordt gelijkmatig over de ruimte uitgesmeerd. Dit is de reden waarom bolgolven een factor r in de noemer hebben. 7

18 Vraagstukken hoofdstuk Beschouw een trillingsmachine gekoppeld aan een snaar, in stationaire toestand. De machine staat op de plaats x = 0 en beweegt volgens Asinωt. In de snaar hebben we een lopende golf volgens ψ = Asin(ωt kx). De frequentie is Hz en de golflengte bedraagt 10cm. (a) Teken de golf als functie van de plaats x op de momenten t = 0, T 16, T 8, 3T 16 en T 4. (b) Hoe groot is de hoekfrequentie, het golfgetal en de fasesnelheid. (c) Hoeveel tijd loopt het snaardeeltje op de plaats x = λ achter op de beweging van de trillingsmachine. (d) Als op t < 0 machine en snaar in rust zijn en de machine op t = 0 wordt aangezet, hoe lang duurt het dan voordat het snaardeeltje op de plaats x = λ in beweging komt? 1. De vergelijking voor een bepaalde golf is ψ = A sin[π(x 100t)], waarin A = 10 cm. Bereken (a) de amplitude, (b) de golflengte, (c) de frequentie, (d) de fasesnelheid van de golf. Maak een schets van de golf en geef daarin de amplitude en de golflengte aan. Loopt de golf in de richting van de +x-as of in de richting van de x-as? 1.3 Beschouw een snaar waarin zich een golf voortplant volgens ψ = Asin(ωt kx). Gegeven: ω = 5s 1, k = 100m 1 en A = cm. (a) Bereken frequentie ν, de periode, de golflengte, het golfgetal en de fasesnelheid. (b) Bereken de maximale snelheid van een snaardeeltje. (c) Bereken de maximale versnelling van een snaardeeltje. (d) Op een gegeven moment heeft een snaardeeltje de uitwijking nul. Hoe lang duurt het voordat de uitwijking gelijk is aan de amplitude. 1.4 In 1.3 van het dictaat staat: We vinden: ψ(x,t) = Acos(ωt kx). Voegen we aan k het symbool λ toe volgens k = π λ, dan blijkt uit substitutie in de golffunctie dat λ de kortste afstand is tussen twee punten, die met elkaar in fase zijn. Bewijs dit. 1.5 Toon aan dat de golf Asin(ωt + kx + ϕ) naar links loopt. 1.6 Twee lichtgolven met gelijke amplitude, fasesnelheid en frequentie, en met een faseverschil π 4, lopen in dezelfde richting. (a) Bewijs dat de resultante een lopende golf is met dezelfde fasesnelheid en frequentie. (b) Bereken de verhouding tussen de gemiddelde intensiteit van de somgolf en de som van de gemiddelde intensiteiten van beide golven afzonderlijk. 1.7 Toon aan dat het licht van n identieke golven, die met elkaar in fase zijn, lopend in dezelfde richting, n maal zo helder is dan het licht van dezelfde golven, maar die nu volkomen met elkaar uit fase zijn. 8

19 1.8 Onder zomerse omstandigheden kunnen wolken zeer helder wit zijn. Een wolk bestaat uit kleine waterdruppels. Iedere druppel bevat miljoenen watermoleculen. Onder invloed van het zonlicht gaat ieder molecuul licht uitzenden (verstrooiing). Ieder molecuul gedraagt zich als een trillingsmachine. Vat een druppel op als een rij trillingsmachines, allen met elkaar in fase. Leg nu uit waarom de wolken zo helder kunnen zijn. Maak een schatting van de grootte van zo n waterdruppel in een wolk, als we voor de gemiddelde golflengte van wit licht 500nm nemen. 1.9 Twee harmonische golven met gelijke amplitude en frequentie lopen met gelijke snelheid in tegengestelde richting. (a) Bepaal de resulterende golfbeweging. Maak een tekening van de uitwijking op de momenten t = 0, T 8, T 4, 3T 8 en T. (b) Bepaal de intensiteit van de somgolf, aannemende dat de golven lichtgolven zijn. Maak een tekening van de intensiteit op dezelfde momenten als bij a. (c) Op welke plaatsen is de intensiteit maximaal? (d) Bepaal de gemiddelde intensiteit van de somgolf. (e) Is deze golfbeweging te vertalen in deeltjesstromen? 1.10 Geef een fysisch argument waarom een bolgolf omgekeerd evenredig is met de radius Twee bronnen A en B zenden ieder een gelijke bolgolf uit. (a) Bereken de gemiddelde intensiteit van het licht op de plaats P als het faseverschil tussen de bronnen constant is in de tijd en gelijk aan nul. (b) Dezelfde vraag voor de situatie dat er geen constant faseverschil is tussen A en B maar een faseverschil dat op willekeurige wijze voortdurend varieert. 9

20 Antwoorden hoofdstuk (b) ω = 4π s 1, σ = 0,1cm 1 en v f = 0cm s 1. (c) 1s. (d) Deze vraag is formeel niet te beantwoorden (zie 1.3). 1. (a) A = 10cm. (b) λ = 0,5m. (c) ν = 100Hz. (d) v f = 50m s 1. De golf loopt in in de richting +x-as. 1.3 (a) ν = 3,98Hz, T = 0,5s, λ = 6,8cm, σ = 15,9m 1 en v f = 5cm s 1. (b) v max = 50cm s 1. (c) a max = 1,5m s. (d) 63ms. 1.6 (a) Acos ( ) ( ) π 8 cos ωt kx + π 8. (b) 1, diameter 0,5 µm. 1.9 (a) Acoskxcosωt. (b) A sinkxsinωt. (c) x = λ 8, 3λ 8 en 5λ 8. (e) in ieder geval wel voor I. 10

21 Hoofdstuk Licht als golfverschijnsel.1 De complexe rekenwijze In de volgende paragrafen zullen we herhaalde malen cosinussen en/of sinussen bij elkaar op moeten tellen. Dat vereist doorgaans een grote bekwaamheid in de goniometrie. Daarom zijn er andere methoden ontwikkeld die sneller werken of meer inzicht geven. Als voorbeeld behandelen we de volgende superpositie van twee cosinussen. ψ = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + A cos(ωt + ϕ ) (.1) Dit kunnen twee trillingen of oscillaties zijn met verschillende amplitude en een zeker faseverschil. Het kunnen ook twee golven zijn, indien we voor ϕ 1 schrijven kx 1 en voor ϕ iets soortgelijks. In beide gevallen zijn we geïnteresseerd in de amplitude van de som ψ. Het gaat er dus om (.1) om te zetten in een product van een amplitude maal iets van een cosinus of sinus of wat dan ook. Het is bij voorbaat niet gezegd dat dit altijd mogelijk is, maar we gaan het gewoon proberen. Eerst proberen we het langs goniometrische weg. Daartoe is in appendix A een lijst opgenomen van goniometrische betrekkingen, die mogelijk van nut zijn. Met de betrekking cos(α + β) = cosα cosβ sinα sinβ (.) is (.1) om te zetten in: kort af: ψ = A 1 cosωt cosϕ 1 A 1 sinωt sinϕ 1 + A cosωt cosϕ A sinωt sinϕ ψ = (A 1 cosϕ 1 + A cosϕ )cosωt (A 1 sinϕ 1 + A sinϕ )sinωt B 1 = A 1 cosϕ 1 + A cosϕ en B = A 1 sinϕ 1 + A sinϕ ψ = B 1 cosωt B sinωt Haal B 1 buiten haakjes en schrijf voor B B 1 = tanβ (zie hulpfiguur hierna) ψ = B 1 (cosωt tanβ sinωt) Schrijf voor tanβ = sinβ cosβ en haal 1 cosβ ψ = B 1 (cosωt cosβ sinωt sinβ) cosβ Met (.) is dit te schrijven als: ψ = B 1 cos(ωt + β) cosβ buiten haakjes. 11

22 Uit het hulpfiguur hiernaast halen we cosβ cosβ = B 1 B 1 + B Hulpfiguur De amplitude is nu bekend, namelijk B 1 cosβ B 1 + B = (A 1 cosϕ 1 + A cosϕ ) + (A 1 sinϕ 1 + A sinϕ ) = A 1 + A + A 1 A (cosϕ 1 cosϕ + sinϕ 1 sinϕ ) = A 1 + A + A 1 A cos(ϕ 1 ϕ ) waarbij gebruik is gemaakt van de betrekking cos(α β) = cosα cosβ + sinα sinβ (.3) Uiteindelijk vinden we: ψ = A 1 + A + A 1A cos(ϕ 1 ϕ )cos(ωt + β) (.4) Deze berekening illustreert hoe lastig een goniometrische uitwerking in het algemeen is. Het kan eenvoudiger. Daartoe is een rekentruc ontwikkeld, die bekend staat als de complexe rekenwijze. Beschouw een oscillatie of golf ψ = Acos(ωt + ϕ). Deze kan geschreven worden als het reële deel van de complexe functie Ψ = A[cos(ωt + ϕ) + isin(ωt + ϕ)] (.5) Bij vaste t is een complexe functie niks anders dan een complex getal. Alle rekenregels ontwikkeld in de complexe getallentheorie zijn van toepassing op complexe functies. Zo geldt bijvoorbeeld e iα = cosα + isinα (.6) Hiermee is (.5) ook te schrijven als Ψ = Ae i(ωt+ϕ) = Ae iωt e iϕ (.7) De grootheid Ae iϕ noemen we de complexe amplitude ˆΨ, dus ˆΨ = Ae iϕ en Ψ = ˆΨe iωt (.8) De rekentruc komt erop neer dat we van iedere cosinus (of sinus, want sinωt = cos [ ωt π ] ) een complexe oscillatie maken. Binnen de complexe wereld wordt een probleem nader uitgewerkt, waarna via een inverse transformatie teruggekeerd wordt tot de reële wereld. We geven een voorbeeld. Gevraagd wordt de som ψ van de volgende cosinussen: ψ = A(cosωt + ϕ) + Acos(ωt ϕ) met A > 0 (.9) Maak van de cosinussen complexe e-machten. De som wordt dan ook complex. Ter onderscheiding schrijven we voor de complexe som de hoofdletter Ψ. Ψ = Ae iωt e iϕ + Ae iωt e iϕ (.10) 1

23 Ψ = Ae iωt (e iϕ + e iϕ ) (.11) Werk het vraagstuk in deze complexe vorm nader uit. Ψ = Ae iωt (cosϕ + isinϕ + cosϕ isinϕ) = Ae iωt cosϕ (.1) Keer terug tot de reële wereld door het reële deel te nemen. Re(Ψ) = ψ = Re(Ae iωt cosϕ) = AcosϕRe(cosωt + isinωt) = Acosϕ cosωt (.13) Dat dit antwoord correct is, kan men inzien door (.9) direct uit te werken met de goniometrische formule: cos p + cosq = cos p + q cos p q (zie appendix A) Dat in dit voorbeeld de rekentruc op zo n eenvoudige wijze toepasbaar is, komt omdat de som van de reële delen gelijk is aan het reële deel van de som. We hebben aan (.9) de imaginaire delen toegevoegd, toen de optelling uitgevoerd en vervolgens de imaginaire som genegeerd door het reële deel te nemen, dus eigenlijk hebben we, op een nogal vreemde manier, de som bepaald van (.9) en dat was uiteraard de opzet. Bij optellen of aftrekken mag je blind iedere component in de complexe stand verheffen, de zaak bij elkaar optellen of aftrekken en na afloop het reële deel nemen. Ook bij integraties mag je dit doen, want integreren is een soort sommeren. Wat ook goed gaat zijn de differentiaties. Bijvoorbeeld wordt de afgeleide naar de tijd gevraagd van ψ = Acos(ωt +ϕ). Het antwoord is uiteraard Aω sin(ωt +ϕ). Via de complexe rekenwijze: dψ dt = d( Ae iωt e iϕ) dt = iω ( Ae iωt e iϕ) = iωψ iωψ = iωa[cos(ωt + ϕ) + isin(ωt + ϕ)] Bepaal het reële deel dψ dt = ωasin(ωt + ϕ) Dus het klopt. Het enige waarbij je moet uitkijken zijn vermenigvuldigingen, omdat Re(Ψ 1 )Re(Ψ ) Re(Ψ 1 Ψ ) Wanneer we ons oorspronkelijke probleem (.1) op dezelfde wijze proberen op te lossen, zoals gedaan bij probleem (.9), zullen we spoedig vastlopen in de goniometrie, maar er bestaat gelukkig een alternatief. Iedere complexe functie Ψ is te schrijven als: Ψ = Ψ e iθ (.14) met Ψ de modulus en θ het argument van Ψ. Nemen we van (.14) het reële deel dan ontstaat de reële functie ψ ψ = Ψ cosθ (.15) Hieruit lezen we af dat de amplitude van de reële functie ψ gelijk is aan de modulus van de complexe Ψ. Zijn we alleen maar geënteresseerd in de amplitude, dan is het voldoende om alleen de modulus te bepalen. Toegepast op (.1) geeft: Ψ = A 1 e iωt e iϕ 1 + A e iωt e iϕ Ψ = A 1 e iωt e iϕ 1 + A e iωt e iϕ 13

24 Ψ = Re(Ψ) + Im(Ψ) = Ψ Ψ met Ψ de complex geconjugeerde of complex toegevoegde van Ψ ( ) Im(Ψ) θ = arctan Re(Ψ) omdat (Ψ 1 + Ψ ) = Ψ 1 + Ψ en omdat (eiα ) = e iα (amplitude) = Ψ Ψ = ( A 1 e iωt e iϕ 1 + A e iωt e iϕ )( A 1 e iωt e iϕ 1 + A e iωt e iϕ ) = A 1 + A 1 + A 1 A [ e i(ϕ 1 ϕ ) + e i(ϕ ϕ 1 ) ] = A 1 + A + A 1 A cos(ϕ 1 ϕ ) (.16) In overeenstemming met (.4). Om didactische redenen is in het voorgaande een complexe functie steeds met een hoofdletter Ψ en een reële functie met een kleine letter ψ weergegeven. In de praktijk doet men dat zelden of nooit. Men gebruikt alleen het symbool ψ. Uit de tekst blijkt vanzelf of we te doen hebben met de complexe of reële functie. Vanaf nu zullen we dat in dit dictaat ook doen. Naast het (relatieve) rekengemak van de complexe rekenwijze zijn er twee belangrijke argumenten om zoveel aandacht aan de complexe rekenwijze te besteden. In de eerste plaats wordt in de gehele fysische literatuur een oscillatie of golf vrijwel altijd complex weergegeven. Zonder kennis van de complexe rekenwijze is die literatuur ontoegankelijk! In de tweede plaats is de golffunctie uit de kwantummechanica in sommige gevallen identiek aan een complex geformuleerde oscillatie of golf. We komen hier nog op terug.. Het principe van Huygens Wanneer licht op een scherm valt met een nauwe opening dan zal het licht niet rechtlijnig door de opening gaan en op het opvangscherm een keurig schaduwbeeld vormen. Integendeel, het licht buigt na de opening af. We noemen dat verschijnsel buiging. Het treedt op bij iedere situatie waarin een golffront verminkt wordt door randen, obstakels, openingen etcetera. Het bijbehorende lichtbeeld op een opvangscherm noemen we het buigingspatroon. Ook weten we dat twee of meer golven afkomstig van verschillende bronnen elkaar kunnen uitdoven of versterken. Dat verschijnsel treedt bijvoorbeeld op wanneer we een golffront laten invallen op een scherm met meerdere openingen. Dit verschijnsel staat bekend als interferentie en het bijbehorende lichtbeeld op het opvangscherm wordt het interferentiepatroon genoemd. Buiging en interferentie tezamen noemen we diffractie. Huygens had als eerste een voortplantingstheorie voor golven ontwikkeld. Hij zei: ieder punt van een golffront is op te vallen als een secundaire lichtbron die (uitsluitend in voorwaartse richting ) een bolgolf uitzendt. De omhullende van al die secundaire bolgolven is het nieuwe golffront enige tijd later. Fresnel en Kirchhoff hebben dit principe van Huygens mathematisch onderbouwd en verder uitgewerkt. Één van hun resultaten is de volgende: Gegeven een puntvormige lichtbron P o die een bolgolf A e iωt e ikr r uitzendt (complexe formulering). Dan wordt de complex geformuleerde golf ψ(p) op een plaats P achter een scherm met een opening gegeven door de volgende formule: iωt ia ψ(p) = e λ S e ik(r+s) rs (cosα + cosβ) ds (.17) figuur.1 verklaart de symbolen. De formule staat bekend als de diffractieformule van Fresnel-Kirchhoff. Formule (.17) is niet exact, maar voor praktische doeleinden ruim voldoende. Indien P o in en P in + staat, spreken we van Fraunhoferbuiging. In alle andere gevallen van Fresnelbuiging. Voor Fraunhoferbuiging zijn α en β constanten over het integratieoppervlak en kunnen dus voor de integraal gehaald worden. 14

25 Figuur.1: Buiging volgens Fresnel-Kirchhoff Ook r en s uit de noemer spelen in de integratie nauwelijks een rol. Indien een vlak golffront evenwijdig aan de opening invalt, dan heeft ieder punt uit de opening dezelfde r, dan kan ook e ikr voor het integraalteken gehaald worden. Met al deze benaderingen houden we een zeer simpele vergelijking over voor de bepaling van ψ(p). Vervangen we de integratie door een sommatie over alle punten van de opening, dan krijgen we, met weglating van irrelevante factoren: ψ(p) = e iωt e iks n n Het is met deze formule dat we enige diffractiepatronen zullen uitwerken. (.18).3 Fraunhofer interferentie aan N spleten Gegeven een scherm met N spleten, ook wel tralie genoemd. Loodrecht op het papier is iedere spleet oneindig groot; in het vlak van het papier is iedere spleet oneindig klein (zie figuur.). De onderlinge afstand tussen de spleten is p. Een vlak golffront valt in op een scherm, zodat in alle spleten dezelfde fase heerst. We kijken naar de som van alle secundaire golven die onder een hoek ϕ uittreden (zie figuur.). Figuur.: Fraunhofer interferentie aan N spleten De uitwijking van de golf, afkomstig van spleet 1 op een afstand x 0 zal gelijk zijn aan ψ 1 = Acos( ωt +kx 0 ). Hierbij is x 0 de afstand van spleet 1 tot het scherm, waar de stralen elkaar snijden. Het scherm staat zeer ver 15

26 weg, waardoor de stralen die bijeenkomen in het snijpunt vrijwel evenwijdig lopen. De uitwijking van de golf afkomstig van spleet is dan ψ = Acos[ ωt + k(x 0 + x)]. Die golf legt een langere weg af en daarom is die golf niet in fase met golf 1. De som van alle golven wordt dan: ψ = Acos( ωt + kx 0 ) + Acos( ωt + kx 0 + kx) + Acos( ωt + kx 0 + kx) + Maken we dit complex, dan ontstaat er: ψ = Ae iωt [ e ikx 0 + e ikx 0 e ikx + e ikx 0 e ikx + + e ikx 0 e i(n 1)x] (.19) Dit is te schrijven als: ψ = Ae iωt e ikx 0 [1 ] + e iδ + e iδ + + e (N 1)iδ met δ = kx = πx λ π psinϕ = λ (.0) We hebben hier een meetkundige reeks met reden e iδ. De som van n termen van een meetkundige reeks is in formule: Alhier: s n = a 1 rn 1 r a = 1 e term; r = reden (.1) ψ = Ae iωt e ikx 0 1 einδ 1 e iδ (.) ψ = Ae iωt e ikx (1 cosnδ) isinnδ 0 (1 cosδ) isinδ Voor complexe getallen geldt: z 1 z = z 1 z en zodat, z 1 z = z 1 z (1 cosnδ) isinnδ ψ = A (1 cosδ) isinδ (1 cosnδ) + sin Nδ = A (1 cosδ) + sin δ en (.3) e iα = 1 (.4) 1 cosnδ = A 1 cosδ Bedenk ) 1 cosδ = sin ( δ ) sin( Nδ ψ = A ) sin( δ (.5) De amplitude van de reële ψ is gelijk aan de modulus van de complexe ψ. De gemiddelde intensiteit is evenredig met de amplitude in het kwadraat, zodat we mogen schrijven: ) I = A sin ( Nδ sin ( δ ) 16 (.6)

27 I is uiteraard geen absolute, maar een relatieve maat voor de intensiteit. Uit formule (.6) valt af te lezen dat I = 0 als sin Nδ = 0 dus voor: δ = 0, π N, 4π N, 6π N,... Met (.0) volgt hieruit x = 0, λ N, λ N, 3λ N,... Dit geldt zolang niet tegelijkertijd de noemer ook nul is. Dat betekent dat δ = 0 afvalt als minimum. Uit een limietbeschouwing voor δ 0 volgt I = N A Er zijn meer punten die afvallen. Nemen we als voorbeeld N = 5. Minima als: δ = π 5, 4π 5, 6π 5, 8π 5, 10π 5, 1π 5,..., 0π 5,... Voor δ = 10π 5, 0π 5,... enz. is ook de noemer nul. Uit een limietbeschouwing volgt dat I voor die punten ook gelijk is aan N A. Deze punten corresponderen met x = λ, λ,... Dit is iets dat we van tevoren hadden kunnen bedenken. Als het weglengteverschil tussen twee naburige lichtstralen gelijk is aan een gehele golflengte zullen al de N golven elkaar versterken en zal de intensiteit N keer groter zijn dan van één golf. Voor N = 5 gaat I als functie van δ er als volgt uitzien: Figuur.3: Interferentiepatroon voor N = 5. De nevenmaxima liggen niet exact midden tussen de minima. De hoofdmaxima zijn eenvoudig te vinden (het weglengteverschil tussen twee naburige stralen is een geheel aantal malen de golflengte), maar voor de minima en nevenmaxima is het prettig dat we formule (.6) achter de hand hebben. We zien dat er 3 nevenmaxima zijn voor een scherm met 5 spleten. Dat zijn dus twee minder. Dit blijkt een algemene regel te zijn. Regel: VOOR N SPLETEN ZIJN ER (N ) NEVENMAXIMA Dus voor N = zijn er geen nevenmaxima, alleen maar hoofdmaxima. Voor N = 1000 (een tralie, zie ook.7) zijn er 998 nevenmaxima. In de praktijk zijn die 998 nevenmaxima met het blote oog niet te zien. Niet altijd treden er meerdere hoofdmaxima op. Immers x moet de waarde λ kunnen aannemen. Voor p < λ hebben we alleen een 0 e orde hoofdmaximum en nevenmaxima. Merk op dat de intensiteit niet afneemt naarmate δ, ofwel x, ofwel ϕ groter is. In het echt is dat natuurlijk wel het geval, omdat de energie verspreid wordt over een groter oppervlak. Het is de factor s uit de noemer van (.17) die we constant hadden genomen, maar dat is hij natuurlijk niet. 17

28 .4 Fraunhoferbuiging aan een spleet Gegeven een scherm met één spleetvormige opening, breedte b. Loodrecht op het papier heeft de spleet oneindige afmetingen. Een vlak golffront valt in, zodat alle punten in de spleet gelijke fase hebben (zie figuur.4). Figuur.4: Fraunhoferbuiging aan een spleet In gedachten verdelen we de spleet in N punten. We gaan kijken naar de som van alle secundaire golven die onder een hoek ϕ uittreden. Gelijk voorgaande geldt: ( ) Nδ I = A sin ( ) sin δ met δ = kx = πx λ πd sinϕ = λ d is de afstand tussen twee naburige gedachtenpunten. Er geldt: (N 1)d = b. Voor N en d 0 geldt dan: Nd = b. Zodat: sin Nδ ( ) ( ) πnd sinϕ πbsinϕ = sin = sin λ λ Voor d 0 : sin δ ( ) πd sinϕ = sin πd sinϕ λ λ Dit resulteert in I = A b sin d Voer in ( πbsinϕ λ πbsinϕ λ ) β = πbsinϕ = ky λ β is dus het faseverschil tussen onder- en bovenkant van de spleet. ( ) I = A b sin β d β Voor β 0 : I = A b d = I 0 18 (.7)

29 Wat tenslotte leidt tot ( ) sin β I = I 0 (.8) β Uitdoving treedt op indien het weglengteverschil y tussen boven en onderkant van de spleet gelijk is aan een geheel aantal golflengten. Dat is eenvoudig in te zien. Stel y = λ. Verdeel de spleet in twee helften. Iedere straal uit de bovenste helft valt altijd te combineren met een straal uit de onderste helft met een weglengteverschil van λ. Paarsgewijs zullen de stralen elkaar uitdoven. Voor y = λ verdeel je de spleet in 4 gelijke stukken en combineer je telkens een straal uit één stuk met een straal uit een ander stuk die een weglengteverschil van λ heeft. Enzovoort. In tekening: Voor b < λ is er geen uitdoving. Figuur.5: Fraunhoferbuigingspatroon van een spleet.5 Fraunhoferdiffractie aan N spleten N spleten met spleetbreedte b geven het patroon: I(ϕ) = I 0 N sin ( β β ) ( ) sin Nδ ) sin( δ (.9) met I 0 = nulde-orde hoofdmaximum, dus I voor ϕ = 0. β = πbsinϕ ; b = spleetbreedte λ δ = π psinϕ ; p = periode tralie = afstand tussen twee spleten λ Voor b << λ krijgen we patronen zoals figuur.3, zij het dat I afneemt naarmate ϕ groter is. 19

30 Voorbeeld: ( N = geeft I = I 0 sin β In tekening, voor b < λ: β ) cos ( δ ) Figuur.6: Diffractie bij twee spleten voor b < λ..6 Scheidend vermogen In de voorgaande paragrafen hebben we steeds gekeken naar de superpositie van golven, waarvan amplitude, frequentie en fase niet verandert in de tijd. Het verband tussen de golven ligt vast. We spreken van coherente bronnen. Voor twee coherente bronnen geldt: I = (ψ 1 + ψ ) = ψ 1 + ψ + ψ 1 ψ (.30) en voor de gemiddelde intensiteit I = I 1 + I + ψ 1 ψ (.31) De kruisterm in (.31) zal i.h.a. niet nul zijn, waardoor de interferentie ontstaat. Er bestaan echter lichtbronnen die geen vaste golf uitzenden. De amplitude en fase wisselen voortdurend in de tijd. We noemen dit natuurlijk licht, omdat de zon dit soort licht uitzendt. Ook een gloeilamp doet dit. Voor de superpositie van twee van zulke incoherente bronnen geldt ook (.30) en (.31), maar omdat ψ 1 en ψ niet gecorreleerd zijn in de tijd, zal de kruisterm gemiddeld in de tijd nul zijn. Dus voor incoherente bronnen hebben we: I = I 1 + I (.3) Zo zal het buigingspatroon van twee incoherente puntbronnen B 1 en B gelijk zijn aan de som van het buigingspatroon van B 1 en dat van B (zie figuur.7). Indien we B 1 en B zeer dicht bij elkaar brengen, vervaagt op het detectiescherm (somintensiteit) het patroon van twee min of meer afzonderlijke lichtvlekjes. Er ontstaat één grote lichtvlek. Het is niet meer mogelijk dit te interpreteren als zijnde afkomstig van twee puntbronnen. Het onderscheid tussen B 1 en B is verloren gegaan. Lord Rayleigh stelde: Indien het 1e minimum van B 1 samenvalt met het hoofdmaximum van B, dan is er nog juist scheiding mogelijk (zie figuur.7). In formule: sinϕ 0 = λ b of ϕ 0 = λ b (kleine hoeken!) 0

31 Figuur.7: Het criterium van Rayleigh De hoek θ tussen de bronnen, gezien vanuit de spleet, is dan gelijk aan ϕ 0. Scheidend vermogen θ = λ b (.33) ( ) Dit wil zeggen: voor θ < λ b is er geen scheiding meer mogelijk. Deze keuze staat bekend als het criterium van Rayleigh. In plaats van scheidend vermogen spreekt men ook wel van oplossend vermogen of resolutie. Voor ronde openingen met diameter D geldt: θ = 1, λ D (.34) Bijvoorbeeld: pupilopening van oog D = mm (bij helder weer). De gemiddelde λ van de zon is ongeveer 550nm, geeft θ = 0, rad. Algemeen stelt men voor het oog: θ = 1 boogminuut voor absoluut scherp zien θ = boogminuut voor duidelijk zien θ = 4 boogminuut voor gemakkelijk zien 1rad = ,8 = 3438 = 10 5 Met de symbolen voor graden, voor boogminuten en voor boogseconden. Het scheidend vermogen van een apparaat stelt een beperking aan de details die je nog kunt zien, maar het is een technisch probleem. Uit formule (.33) kun je aflezen dat je het scheidend vermogen kunt verbeteren door de diameter groter te maken (spiegeltelescoop) of door de golflengte kleiner te maken (elektronenmicroscoop). In principe bestaat er geen onzekerheid. De fysica is nog steeds deterministisch. De onzekerheid die hier een rol speelt vloeit voort uit onwetendheid..7 Het scheidend vermogen van een tralie Het criterium van Rayleigh wordt ook gebruikt om een uitspraak te doen over het onderscheid tussen twee golflengten λ en λ 1 van golven, afkomstig van één bron, die via een tralie of rooster (dit is een scherm met N spleten) op een opvangscherm vallen. Iedere golflengte heeft zijn eigen patroon van hoofdmaxima en nevenmaxima. Als λ en λ 1 niet veel van elkaar verschillen zullen de hoofdmaxima iets ten opzichte van elkaar verschoven zijn. 1

32 Figuur.8: Criterium van Rayleigh voor het onderscheid tussen λ en λ 1 bij een tralie. Het m e orde hoofdmaximum voor λ 1 treedt op bij x = psinϕ = mλ 1. Voor onderscheid eisen we dat dit samenvalt met het eerste minimum rechts van het m e orde hoofdmaximum van λ. Dit treedt op voor x = psinϕ = mλ + λ N. We krijgen dan: Noem mλ 1 = mλ + λ N ofwel λ 1 = λ + λ dan m(λ + λ) = mλ + λ N λ λ = 1 mn (.35) (.35) noemen we de resolutie van een tralie. N is het aantal spleten en m is de orde van een hoofdmaximum. Als we maar één spleet hebben, kunnen we daar ook een scheidend vermogen aan toekennen voor het onderscheid tussen λ en λ 1. We hebben nu een centraal maximum met zijlobben. Zie figuur.9. Figuur.9: Het criterium van Rayleigh voor het onderscheid tussen λ en λ 1 bij één spleet. Het m e maximum voor λ 1 treedt ongeveer op bij x = bsinϕ = mλ 1 + λ 1 met m = 1,, 3,... We eisen dat dit samenvalt met het eerste minimum rechts van het m e maximum voor λ, dus voor x = (m + 1λ. Met λ 1 = λ + λ geeft dit (m + 1 )(λ + λ) = (m + 1)λ ofwel λ λ = 1 m + 1 (.36)

33 We zouden dit het scheidend vermogen van één spleet kunnen noemen. De afbuighoek ϕ kan nooit groter zijn dan π, ofwel x < b. Dit stelt een grens aan m. Voor een minimum van de golf λ hadden we x = (m+1)λ, zodat (m + 1)λ < b, ofwel m < ( b λ 1). Het scheidend vermogen van één spleet heeft geen enkel praktisch nut. Indien je wilt onderscheiden tussen λ en λ 1, kun je veel beter een tralie nemen. Het is echter wel belangrijk om te zien dat er in principe bij één spleet ook een resolutie optreedt en dat die resolutie beter wordt ( λ kleiner), indien we de spleetbreedte b groter maken, zodat m groter kan worden. 3

34 Vraagstukken hoofdstuk.1 Bepaal met behulp van de complexe rekenwijze de som van: ψ = acos(ωt + ϕ) acos(ωt ϕ) Controleer uw antwoord door het vraagstuk op goniometrische wijze op te lossen.. Toon aan dat toepassing voor de complexe rekenwijze ter bepaling (a) van x = acosωt + bsinωt leidt tot de uitdrukking: X = e iωt [a ib] (b) Het reële deel van een willekeurige complexe functie X is altijd te schrijven als Re(X) = x 0 cosα met [ ] Im(X) x 0 = X en α = arg (X) = arctan Re(X) Toon aan dat voor de x uit onderdeel a geldt: ( x = a + b cos ωt arctan b ) a.3 Toon met de complexe rekenwijze aan dat: x = 3 n=0 ( Acos ωt nπ 6 ook geschreven kan worden als ( x = 3,35 Acos ωt π ) 4 Bedenk: som van een meetkundige reeks ) s n = a 1 rn 1 r met a = eerste term en r = reden; n 1.4 Toon aan: Re(ψ 1 )Re(ψ ) Re(ψ 1 ψ ) met ψ 1 en ψ willekeurige complexe functies..5 Gegeven een spanningsbron, aangesloten op een elektrisch circuit. De bronspanning wordt gegeven door v(t) = ˆvcosωt De stroom door de bron is gelijk aan i(t) = îcos(ωt + ϕ) De wisselstroomtheorie leert dat het door de bron afgegeven vermogen gelijk is aan P = vi. In een publicatie vinden we echter de merkwaardige uitdrukking P = 1 Re(V I). Wat is hier gebeurd en wat is de fysische betekenis van de laatste uitdrukking?.6 (a) Hoe ziet formule (.17) uit het dictaat er in reële vorm uit? 4

35 (b) Hoe groot is de uitwijking van de golf in de spleet?.7 Voor twee oneindig smalle spleten geldt: ( ) δ I = 4A cos met δ = kx = (a) Teken I als functie van δ. (b) Teken I als functie van z (y z). (c) Laat zien dat uitdoving optreedt bij x = λ, 3λ, 5λ,... en dat maxima optreden bij x = 0, λ, λ,... π psinϕ λ.8 Gegeven drie oneindig smalle spleten, onderlinge afstand p. (a) Bereken langs goniometrische weg de intensiteit op het opvangscherm. Gebruik appendix A van het diktaat. (b) Bereken met behulp van de complexe rekenwijze de gemiddelde intensiteit op het opvangscherm. (c) Vergelijk uw uitkomsten met de algemene formule ( sin I = A δn sinδ ) (d) Maak een grafiek van I als functie van x. x = weglengte verschil tussen twee naburige stralen..9 Voor buiging aan één spleet geldt: met I = I o ( sin β β β = πbsinϕ λ ) = ky y = weglengte verschil tussen onderste en bovenste straal. (a) Teken de grafiek I als functie van y voor de situatie b > λ. (b) Teken de grafiek I als functie van z (zie opg..7.), ook weer voor de situatie b > λ. (c) Teken de grafiek I als functie van y voor b = λ..10 Er geldt: I = I 0 N ( sin β β ) ( sin Nδ sin δ Neem N =, b = λ en p = 0λ. Teken I als functie van β. ) 5

36 .11 Twee palen hebben loodrecht op de kijkrichting een onderlinge afstand van 1 meter. Bereken de maximale afstand van paal tot oog, waarbij de palen nog duidelijk gescheiden worden waargenomen..1 Stel één paal heeft een diameter van 10cm. Bereken de maximale afstand van paal tot oog, waarbij linker- en rechterkant van de paal nog duidelijk gescheiden worden waargenomen..13 Twee even heldere sterren vormen een hoek van één boogseconde. Stel dat een golflengte van 5, m wordt gebruikt. Wat is de kleinste diameter van een telescoopobjectief, waarmee men deze sterren kan onderscheiden? Gegevens: θ = 1, λ D ; 1rad = ,8..14 Vlakke monochromatische golven met λ = 6, m vallen loodrecht in op een vlak transmissierooster met 500 lijnen per mm. Bepaal de afbuigingshoeken voor het eerste-, tweede- en derde-orde maximum..15 Veronderstel dat het spectrum van het zichtbare licht valt tussen golflengten m en m. Bereken voor loodrechte inval op een vlak rooster met 6000 lijnen per cm de hoekafmetingen van het eerste- en tweede-orde spectrum..16 Een transmissierooster van 4 cm lengte heeft 4000 lijnen per cm. Bereken het scheidend vermogen voor een golflengte van 5, m in de eerste orde. Zal het rooster de twee lijnen met golflengten 5, m en 5, m (de natrium D-lijnen) scheiden?.17 Dezelfde vragen als bij opgave.16, maar nu voor één spleet. Hoe groot moet m minimaal zijn, opdat scheiding tussen de D-lijnen mogelijk is? Hoe groot is dan de spleetbreedte? 6

37 Antwoorden hoofdstuk.5 Blijkbaar is overgestapt op de complexe schrijfwijze, volgens V = ˆve iωt en I = îe iϕ e iωt P = 1 Re( ˆve iωt îe iϕ e iωt ) = 1 Re(ˆvîe iϕ ) = 1 ˆvîcosϕ Vergelijk met P = vi = ˆvîcosωt cos(ωt + ϕ) Neem hiervan het gemiddelde, dus P = ˆvî 1 T T 0 cosωt cos(ωt + ϕ) dt = 1 ˆvîcosϕ De complexe uitdrukking moeten we interpreteren als het gemiddeld in de tijd afgegeven vermogen..6 (a) (b) ψ = A λ S cos( ωt + kr + ks + π ) (cosα + cosβ) ds rs ψ = Acos( ωt + kr) r.7 (a) (b) δ = π psinϕ λ π ptanϕ λ met tanϕ = z y z = δλy π p 7

38 .8 (c) I (hfd. max) = 9A I (nevenmax) = A.9 (a) (b) y = afstand tussen schermen. (c) 8

39 ,7km m ,8 cm..14 Afbuigingshoek eerste-orde maximum = 17,5 ; Tweede-orde maximum = 36,9 ; Derde-orde maximum = 64,..15 Afbuigingshoek eerste-orde maximum = 10,7 ; Tweede-orde maximum = 8,4..16 Het scheidend vermogen is λ λ = 16000; Het rooster kan de natrium D-lijnen scheiden..17 Het scheiden vermogen voor een spleet is λ λ = 1 3 ; De spleet kan de natrium D-lijnen niet scheiden; m moet minimaal 500 zijn; De spleetbreedte b is dan 0,3nm. 9

40 30

41 Hoofdstuk 3 Licht als deeltjesverschijnsel 3.1 De zwarte stralingskromme Voorbij het midden van de 19e eeuw bereikt de golftheorie zijn hoogtepunt, wanneer Maxwell aantoont dat licht een elektromagnetische golf is. Aan het eind van de 19e eeuw is er niemand meer, die niet gelooft dat licht een golf is. Men had een rotsvast vertrouwen in de fysica en meende dat deze vrijwel klaar was. In 1900 schrijft William Thomson (lord Kelvin): De fysica lijkt mij volmaakt harmonisch en een afgerond geheel. Hij schrijft echter ook dat in relatie tot de theorie van het licht er nog twee wolken zijn, die een totaal inzicht verduisteren. Deze waren: 1. Het negatieve resultaat van het experiment van Michelson en Morley.. De discrepantie tussen waarneming en theorie in relatie tot de zwarte stralingskromme. Dit had Thomson verbluffend goed gezien, alleen bleken de wolken uit te groeien tot orkanen. De eerste orkaan veegt de mechanica en gravitatietheorie weg en stelt daarvoor in de plaats de relativiteitstheorie (Einstein, 1905). De tweede orkaan verandert de totale klassieke fysica in kwantum fysica (196). De eerste aanzet tot de kwantum fysica wordt gegeven door Planck in Hij komt met een theoretische verklaring van de zwarte stralingskromme (zie figuur 3.1). Hij leidt af: M λ = πhc λ 5 1 e hc λkt 1 (3.1) met h = 6, J s de constante van Planck, een natuurconstante. Figuur 3.1: De zwarte stralingskromme In zijn afleiding vat Planck de atomen op als oscillerende ladingen (zie figuur 3.). Een oscillerende lading zendt een elektromagnetische golf uit (denk aan antenne). Figuur 3.: Een oscillerende lading zendt een EM-golf uit Om tot de correcte stralingskromme te komen, was Planck genoodzaakt de energie van de oscillator te kwantiseren. Slechts veelvouden van hν zijn toegestaan, waarbij ν de frequentie is van de oscillator. In de 31

42 klassieke fysica is de oscillatorenergie evenredig met de amplitude in het kwadraat. De kwantum hypothese impliceert dan dat niet alle amplitudes zijn toegestaan (zie figuur 3.3). Figuur 3.3: Slechts bepaalde amplitudes zijn toegestaan Er ontstaat een zeer merkwaardig beeld, waarvan Planck zich nadrukkelijk gedistantieerd heeft. Hij zag zijn kwantum hypothese als een wiskundige truc. Voor de volledigheid zij hier reeds vermeld dat het beeld, zoals geschetst in figuur 3.3, niet goed is. Bij een volledige kwantummechanische beschrijving van een harmonische oscillator is het beeld van de trillende massa vervaagd, maar die berekening kon pas opgezet worden in 196. P.S. In plaats van h werkt men vaak met h (spreek uit, h streep). Er geldt h = h π. Men noemt h wel de constante van Dirac. De energie van de oscillator is dan volgens Planck te schrijven als: E n = nhν = n hω n = 1,, 3,... (3.) 3. Het foto-elektrisch effect Voor Einstein was de kwantum hypothese van Planck meer dan een wiskundige truc. Als de oscillator van Planck energie verliest of energie opneemt, dan gebeurt dit altijd in de vorm van een energiepakket ter grootte hν. Dit bracht Einstein op het idee dat licht bestaat uit een stroom van deeltjes (fotonen, kwanta, energiepakketten) met ieder deeltje een energie hν. Met deze hypothese kon Einstein een merkwaardig verschijnsel verklaren. Wanneer men licht (röntgenstralen) instraalt op een metaal oppervlak, dan zal het licht elektronen uit het oppervlak vrijmaken. Men noemt dit het foto-elektrisch effect (zie figuur 3.4). Figuur 3.4: Het foto-elektrisch effect Het merkwaardige is nu dat dit niet lukt, indien het licht een frequentie heeft beneden een voor het metaal karakteristieke drempelfrequentie, ook al is de intensiteit van dat licht zeer groot. Men had hier geen verklaring voor, totdat Einstein kwam in Zijn oplossing is zeer simpel. Hij stelt dat licht een stroom van fotonen is. Ieder foton heeft de energie E = hν = hω 3 (3.3)

43 Hierbij is de ν de frequentie van het licht, opgevat als golf. Slechts één foton kan één elektron vrijmaken. Om een elektron los te slaan moet de energie van het foton groter zijn dan de bindingsenergie Φ van het elektron. Ofwel hν > Φ. Hieruit volgt dat er een drempelfrequentie is: ν drempel = Φ h Alle energie, die het foton meer bezit dan Φ, komt ten goede aan de kinetische energie van het elektron 1 mv = hν Φ Een grote intensiteit correspondeert in de visie van Einstein met een grote fotonenstroom, dus veel fotonen die per seconde een dwarsdoorsnede passeren. Als dat licht een frequentie heeft beneden de drempelfrequentie is geen enkel foton in staat een elektron los te maken. Het opvoeren van de intensiteit helpt dan niet. Niet iedereen was gelukkig met het werk van Einstein. We citeren Planck (1910): dat de theorie van het licht eeuwen teruggeworpen zou worden, tot de tijd toen de volgelingen van Newton en Huygens elkaar bestreden met de deeltjes- en golftheorie. Alle vruchten van Maxwell s gigantische arbeid zouden verloren gaan door een kwantisatie van energie toe te staan, en dat alles ter wille van enkele nog dubieuze speculaties. Pas in 191 krijgt Einstein de Nobelprijs voor bovengenoemd werk. 3.3 De Broglie We maken een sprong in de geschiedenis, waarbij we de ontwikkeling van het atoommodel overslaan. In 191 komt De Broglie met de stelling dat niet alleen fotonen, maar ook elektronen een energie hν bezitten. Daarnaast bezitten elektronen en fotonen een impuls p, die te schrijven is als: p = h λ = hk (3.4) Een elektron is dus ook een soort golf met een ν en een λ. Bij het foton komen ν en λ overeen met de frequentie en golflengte van het licht, opgevat als elektromagnetische golf. We laten de geschiedenis nu even rusten en gaan in op de principes en daarbij behorende moeilijkheden van de kwantummechanica. We doen dit aan de hand van gedachte-experimenten. Deze gedachte-experimenten en bijbehorende discussies zijn pas ontwikkeld na voltooiing van de kwantummechanica in 196 en duren voort tot op de huidige dag. 3.4 één spleet en fotonen We bekijken opnieuw buiging van licht aan één spleet. Ter hoogte van het opvangscherm zetten we een detector neer, die in staat is de energiepakketjes of fotonen van Einstein te registreren (zie figuur 3.5). Als detector nemen we een fotonelektron multiplier, aangesloten op een luidspreker. Iedere keer als een foton de detector treft horen we een click. De detector zetten we neer op een vaste plaats en laten hem daar een tijd staan. Het eerste wat opvalt, is dat we altijd dezelfde click horen. We horen nooit een 1 click of 3 4 click e.d., het is altijd dezelfde click. Dit impliceert dat er geen 1 of 3 4 e.d. fotonen bestaan. Een foton is blijkbaar ondeelbaar. Ook treden er geen dubbele of drievoudige clicks op, afgezien van die momenten waarop toevallig twee of drie fotonen de detector tegelijkertijd bereiken. Indien we het vermogen van de lamp opvoeren, horen we meer clicks per tijdseenheid, maar ook hier altijd dezelfde click, onder voorwaarde dat de frequentie ν van het uitgezonden licht constant blijft. Het meest intrigerende is echter dat de clicks zich niet volgens een vast patroon in de tijd manifesteren. Het geluid dat we horen is een zeer onregelmatige opvolging van clicks, vergelijkbaar met het geluid dat een Geigerteller voortbrengt. 33

44 Figuur 3.5: Eén spleet en fotonen We tellen een aantal keren het aantal clicks per tijdseenheid, bijvoorbeeld per minuut, en nemen daarvan het gemiddelde. Dit gemiddelde zetten we uit in een grafiek als functie van de positie van de detector op het opvangscherm. Daarna verplaatsen we de detector en bepalen op een andere plaats het gemiddeld aantal clicks per tijdseenheid. Ook dat zetten we uit in de grafiek. Als we dat voor alle plaatsen gedaan hebben, ontstaat de grafiek zoals weergegeven in figuur 3.5. Het blijkt dat deze grafiek identiek is aan het buigingspatroon van de gemiddelde intensiteit, berekend op basis van de golftheorie. Zie figuur.5. Gelet op dit experiment is het onmogelijk om met zekerheid te zeggen waar en wanneer een foton het opvangscherm zal treffen. Wel is het mogelijk een uitspraak te doen over de waarschijnlijkheid, waarmee een zekere plaats van het scherm, door een foton getroffen zal worden. De waarschijnlijkheidscurve wordt bij dit experiment gegeven door het buigingspatroon. Deze zogenaamde waarschijnlijkheidsinterpretatie is afkomstig van Max Born. Om te illustreren hoe diep deze waarschijnlijkheidsinterpretatie afwijkt van ons dagelijks denken, nemen we een opstelling waarbij de lamp zeer zwak is en pas een nieuw foton afschiet, indien het voorgaande foton door de detector geregistreerd is. We mogen dit opvatten als een herhaling van telkens hetzelfde experiment, namelijk de uitzending en registratie van één foton. Hetzelfde resultaat verkrijgen we nu, wanneer we niet werken met één opstelling, maar met een groot aantal identiek geprepareerde opstellingen die allen per opstelling slechts één foton afvuren op hetzelfde moment. Hoewel de uitgangspositie bij iedere opstelling dezelfde is, zal het gedrag van ieder foton weer anders zijn. Bij de ene opstelling zal het opvangscherm vroeg getroffen worden op de plaats hier, bij de andere opstelling zal het opvangscherm laat getroffen worden op de plaats daar, enzovoort. Er is een grote mate van willekeur en onregelmatigheid, hoewel de uitgangspositie dezelfde was! We kunnen slechts in termen van waarschijnlijkheid iets zeggen over het gedrag van één foton. Deze waarschijnlijkheidsinterpretatie wordt ons opgelegd door de natuur, daar kunnen we niet onderuit. De onzekerheid aangaande het tijdstip en de plaats, waar het foton het opvangscherm zal treffen, komt niet voort uit onwetendheid, zoals besproken in 1.1. Deze onzekerheid is niet door verbetering van meetapparatuur op te heffen. We noemen dit wel onzekerheid voortkomend uit onbepaaldheid. Dit betekent dat het deterministisch wereldbeeld verlaten wordt. 3.5 De onzekerheidsrelatie van Heisenberg We bekijken opnieuw buiging van fotonen aan één spleet en proberen het gedrag van een foton in deeltjestermen te formuleren. Daartoe nemen we aan dat het foton een traject aflegt van bron naar detector, zoals getekend in figuur 3.6. Zo n traject is niet waarneembaar. Het is een denkbeeldig traject. In dit plaatje verandert de richting van de impuls van het foton. De grootte van de impuls verandert niet, omdat de golflengte van licht niet verandert bij buiging en de grootte van de impuls gecorreleerd is aan de golflengte volgens De Broglie s formule. Na de spleet heeft het foton een impuls p x = psinϕ, met ϕ de afbuighoek. Uit het buigingspatroon (zie figuur 3.7) volgt dat de meeste fotonen een afbuiging ϕ krijgen liggend tussen ϕ 0 en +ϕ 0. 34

45 Figuur 3.6: Een denkbeeldig traject van een foton tussen bron en detector Figuur 3.7: De meeste fotonen krijgen een afwijking ϕ 0 < ϕ < +ϕ 0 Voor deze fotonen geldt: p x max = psinϕ 0 Uit (.7) volgt dat het eerste minimum optreedt bij sinϕ 0 = λ b, dus p x max = pλ b Substitutie van De Broglie s formule p = h λ geeft p x max = h b Schrijf voor p x max = p x en voor b = x, dan ontstaat x p x = h (3.5) p x is een maat voor de spreiding in de impuls, corresponderend met de fotonen die een afbuiging krijgen tussen ϕ 0 en +ϕ 0. We kunnen een andere spreiding kiezen, bijvoorbeeld alle fotonen met een afbuiging tussen ϕ 0. In dat geval gaat (3.5) over in: en +ϕ 0 x p x = h (3.6) 35

46 Zo zijn er meerdere mogelijkheden. Afhankelijk van de definitie van x en p x is in het algemeen (dus niet alleen voor het één-spleet experiment) af te leiden: x p x h of x p x h of x p x h (3.7) Ze staan bekend als de onzekerheidsrelaties van Heisenberg. De fysische betekenis is de volgende. Als een deeltje een positie heeft tussen x x x en x+ (dat wil zeggen x is de onbepaaldheid in de positie van het deeltje), bezit het een impuls liggend tussen p x p x en p x + p x, waarin het verband tussen p x en x gegeven wordt door één van de relaties (3.7), afhankelijk van de definitie van de onbepaaldheid x en de onbepaaldheid in de impuls. De relatie impliceert dat hoe groter x, des te kleiner p x en omgekeerd. Met andere woorden, informatie omtrent de plaats van het deeltje wordt verkregen ten koste van de kennis van zijn impuls. Hoe nauwkeuriger onze kennis van de plaats van het deeltje, des te onnauwkeuriger is onze informatie omtrent zijn impuls en omgekeerd. Dit wordt geïllustreerd door het één-spleet experiment. Hoe kleiner de spleetbreedte (= x), des te breder is het buigingspatroon (corresponderend met p x ). Het is mogelijk om in zijn algemeenheid af te leiden dat geldt, waarbij p x en x standaarddeviaties zijn. We zullen dit later behandelen. Ook voor de y en z richting bestaan soortgelijke relaties. In de kwantummechanica werken we meestal met de volgende onzekerheid relaties: x p x h ; y p y h ; z p z h (3.8) Voor de beschrijving van het één spleet experiment is het echter handiger om gebruik te maken van x p x h, omdat dan x gelijk is aan de spleetbreedte. 3.6 Scheidend vermogen (deeltjes) In.6 is het begrip scheidend vermogen besproken, gebaseerd op de golftheorie. Als we uitgaan van een deeltjesbeeld, waarbij de bronnen B 1 en B fotonen uitzenden, verandert er niet veel. Het interferentiepatroon wordt nu opgebouwd met fotoninslagen. Het criterium van Rayleigh voor het gescheiden waarnemen van B 1 en B blijft gehandhaafd. Figuur 3.8: Van welke bron is een foton afkomstig? Indien we weten dat er twee bronnen zijn, is de onzekerheid in het onderscheid afgeleid van het interferentiepatroon, een technische kwestie. Hoe gevoeliger onze intensiteitmeters, des te nauwkeuriger kunnen we aangeven hoe groot de hoek ϕ is. Deze onzekerheid is dus gebaseerd op onwetendheid. Anders ligt het echter met de registratie van één foton, stel op de plaats A (zie figuur 3.8). Dit foton kan afkomstig zijn van B 1 of B. Gelet op de plaats A is het waarschijnlijker dat het foton afkomstig is van B, maar absolute zekerheid is onmogelijk. We hebben hier een onzekerheid gebaseerd op onbepaaldheid. Indien de bronnen B 1 en B zeer dicht bij elkaar liggen, is de waarschijnlijkheid ongeveer 50%, zodat het onderscheid ten aanzien van de herkomst van het foton verloren gaat. 36

47 Vraagstukken hoofdstuk De energie van een harmonische oscillator (massa-veer systeem) is gelijk aan 1 mω x0 met massa m, hoekfrequentie ω en amplitude x o = 10cm. Voor de demonstratie-oscillator, gebruikt tijdens het college, is gemeten dat m = 1355g en dat 10 perioden 1,5s. duren. Volgens Planck is de energie van een harmonische oscillator gekwantiseerd. Stel dat de amplitude van 10cm behoort bij het kwantumgetal n. Bereken de amplitude bij n + 1. Hoe groot is het verschil tussen de amplitude bij n + 1 en bij n. Is dat meetbaar? Zie ook appendix F. 3. Bereken volgens 1 mω x0 = nhν de amplitude van een oscillerend elektron in de grondtoestand n = 1 en in de eerste aangeslagen toestand n =. Hoe groot is nu het verschil in amplitude? Is dat meetbaar? Neem als periode T = 1,5s. 3.3 Beschouw een elektron als een deeltje met snelheid v. Bereken het verband tussen de fasesnelheid en ν met behulp van E = hν en p = h λ. 3.4 Elektronen die door een elektrische spanning V versneld zijn, krijgen een energievermeerdering ev. Voor een normaal elektronenkanon (bv. een TV) geldt V V. Bereken de De Broglie-golflengte van zulke elektronen. Hoe groot moet dan een spleet zijn, opdat merkbare diffractie optreedt? Kent u zulke spleten? 3.5 Pas de onzekerheidsrelatie van Heisenberg toe op een man van 80kg, die met een snelheid van 5km h 1 door een deuropening met een breedte van 80cm, loopt. Bereken de onzekerheid in de snelheid van de man na passage van de deuropening. 3.6 Gegeven één spleet, breedte b. Bereken I voor ϕ = ϕ 0, voor kleine hoeken; ϕ 0 = hoek van 1 e minimum. Hoe moeten we I interpreteren in termen van kansberekening? Schrijf in formulevorm op wat de genormeerde kans is om een deeltje aan te treffen op het opvangscherm tussen de waarde z 1 en z. U hoeft de formule niet uit te werken. 3.7 Bepaal de natuurlijke lijnbreedte λ van een spectraallijn voor t = s, voor λ = 600nm. Hoe lang is het bijbehorende golftreintje en wat is de fysische betekenis hiervan in relatie tot het fotonmodel? 37

48 Antwoorden hoofdstuk x 0 1, m. 3. A grondtoestand = 6,79mm, A eerste aangeslagen toestand = 9,60mm en A =,81mm. 3.3 v f = 1 v. 3.4 Spleetbreedte in de orde van tienden van Å s. Dergelijke breedtes vind je in kristalroosters (röntgendiffractie). 3.5 v m s I = 0,4I 0, I geeft de kansdichtheid, De genormeerde kans wordt gegeven door: P(z 1,z ) = z z 1 + I dz. I dz 3.7 λ = m en l golftrein = 3m. 38

49 Hoofdstuk 4 Het golf-deeltjes gedrag bij elektronen 4.1 Twee spleten en elektronen Een elektronenkanon schiet elektronen af op twee spleten. De spleten hebben een zekere breedte. Als detector bij het opvangscherm nemen we een elektronmultiplier. Figuur 4.1: Twee spleten en elektronen De elektronen blijken zich net zo te gedragen als de fotonen uit 3.4. Dus de elektronen worden altijd geregistreerd als hele eenheden, nooit registreren we bijvoorbeeld een half elektron. Indien we het vermogen van het elektronenkanon opvoeren, arriveren er meer elektronen per tijdseenheid. De elektroninslagen geschieden onregelmatig in ruimte en tijd. Het gemiddeld aantal inslagen per tijdseenheid uitgezet als functie van de positie van de detector bij het opvangscherm vormt een fraaie interferentiekromme, analoog aan het diffractiepatroon van figuur.6. Voor de beschrijving van dit gedrag ligt het voor de hand om ook aan elektronen een golf toe te kennen. We kunnen voor de bepaling van de frequentie en golflengte dankbaar gebruik maken van E = hν en p = h λ, waarbij E en p de energie en impuls zijn van het elektron bij het verlaten van het elektronenkanon. We noemen de som van alle golven die bij spleet 1 uittreden en in de detector bij elkaar komen ψ 1 en alle golven die bij spleet uittreden en bij dezelfde detector bij elkaar komen ψ. Dan geldt voor de inslagcurve P 1 : P 1 = ψ 1 + ψ (4.1) Het is hierbij essentieel dat ψ 1 en ψ complex geformuleerd zijn. In het verleden hebben we de complexe schrijfwijze gebruikt als een wiskundige truc om reële golven te beschrijven. Het blijkt dat we in de kwantummechanica een golffunctie ψ altijd op complexe wijze moeten weergeven. Het reële deel alleen is onvoldoende. Dit geldt bijvoorbeeld ook voor de diffractie-experimenten met fotonen. Het is in de kwantummechanica niet toegestaan van de complexe ψ het reële deel te nemen teneinde een koppeling tot stand te brengen met de reële meetbare wereld. Dat gaat op een andere manier. Dit betekent dat een foton dus niet gerepresenteerd kan worden door een reële elektromagnetische golf. In de kwantummechanica bestaan in 39

50 het algemeen geen reële golven. De kwantummechanica is een theorie over deeltjes. De kwantummechanica zegt bijvoorbeeld iets over de kans om een elektron of foton op een bepaalde plaats te vinden. De veel gehoorde term golfdeeltjes-dualisme betekent niet dat in het ene geval het systeem zich gedraagt als een golf en in een andere situatie zich manifesteert als deeltje. Het systeem manifesteert zich altijd als een deeltje, alleen voor de beschrijving van het gedrag van een deeltje heb je elementen uit de klassieke golftheorie nodig. Zoals uit de diffractie-experimenten blijkt, is de kwantummechanica geen normale deeltjes theorie á la Newton. Indien we bij het twee spleten experiment spleet afsluiten, ontstaat een buigingskromme P 1 = ψ 1, zijnde het normale buigingspatroon van één spleet. Zo kunnen we ook spleet 1 dicht maken en dan ontstaat P = ψ. Een en ander is weergegeven in figuur 4., waarbij het opvangscherm niet al te ver van de spleten verwijderd is, dus geen Fraunhoferbuiging. Er geldt uiteraard: P 1 P 1 + P (4.) De ongelijkheid wordt veroorzaakt door de interferentie bij beide spleten open. In een normale deeltjestheorie hebben we die interferentie niet. Indien we de twee spleten beschieten met macroscopische deeltjes (bijvoorbeeld knikkers) geldt wel P 1 = P 1 + P (4.3) We zien hier opnieuw, zoals ook al geconstateerd in 1.5, dat de interferentie de grote boosdoener is om een golfgedrag te vertalen in een macroscopisch deeltjesgedrag. Aan de andere kant zien we dat bij opheffing van een bepaalde interferentie de elektronen zich min of meer gedragen als knikkers. Figuur 4.: De interferentiekromme bij spleet 1 open/ dicht en andersom. 4. Meten is weten? In een normale deeltjestheorie gaat het elektron in figuur 4.1 of door spleet 1 of door spleet. Mogen we dat nu ook zeggen? Stel dat we een elektron detecteren bij de bron en even later horen inslaan in de detector bij het opvangscherm, mag je dan zeggen dat het elektron door spleet 1 of spleet gegaan is? Dit lijkt een uitermate logische uitspraak. Deze uitspraak mag dan wel uitermate logisch zijn, toch blijft het een vreemde zaak, want stel dat het elektron door spleet 1 gaat, dan moet het op de één of andere manier voelen, ruiken enz. dat spleet ook open staat, want als spleet dicht is dan moet het elektron een bijdrage leveren aan de curve ψ 1 in plaats van de curve ψ 1 + ψ. We zouden graag zien dat het elektron in tweeën splitst, waarbij de ene helft door spleet 1 en de andere helft door spleet gaat, maar helaas, zie vorige paragraaf, halve elektronen zijn nog nooit gevonden. Dus als de uitspraak al waar is, dan zit je nog steeds met een groot mysterie. We gaan eerst controleren of de uitspraak waar is. Zolang je niet kijkt, valt er eigenlijk geen zinnig woord over te zeggen. Daarom plaatsen we achter het scherm met de twee spleten een krachtige lamp. Zie figuur

51 Figuur 4.3: De elektronen worden met de lamp gedetecteerd De gedachte is nu als volgt. Indien een elektron door spleet 1 gaat zal het door de lamp uitgezonden licht verstrooid worden door het geladen elektron, resulterend in een flits ter hoogte van spleet 1. Je kunt voor de eenvoud ook zeggen dat een foton uitgezonden door de lamp in botsing komt met het elektron en afbuigt naar de waarnemer. Zien we dus een flits bij spleet 1 dan weten we dat het elektron door spleet 1 gegaan is. Zien we daarentegen een flits bij spleet dan is het elektron door spleet gegaan. Dit systeem blijkt in de praktijk uitstekend te werken (het is natuurlijk de praktijk van een gedachteexperiment), maar helaas ontstaat nu niet de interferentiekromme P 1, maar de curve P 1 + P van figuur 4.. Indien we de curve tekenen van alle inslagen waar een flits bij 1 aan vooraf ging, ontstaat P 1. Analoog kunnen we P tekenen. De nu ontstane situatie komt overeen met de situatie van spleet 1 open/spleet dicht en andersom. De elektronen gedragen zich min of meer als knikkers. Dit is niet interessant. We willen de curve P 1 hebben en een uitspraak of een elektron door 1 of door gegaan is. Om dit te bereiken vervangen we de sterke lamp door een veel zwakkere. Mogelijk helpt dit. Er ontstaat nu de curve van figuur 4.4c. Een nadere analyse toont aan dat die curve is opgebouwd uit het patroon P1 1, zijnde alle elektronen gezien bij 1, het patroon P1, zijnde alle elektronen gezien bij en de curve P1 1. De curve P1 1 wordt gevormd door alle elektronen die niet gezien zijn, die geen flits gegeven hebben. Een zwakke lamp betekent dat er weinig fotonen per tijdseenheid worden uitgezonden. Sommige elektronen kunnen nu de lamp passeren zonder in botsing te komen met een foton. De niet geziene elektronen vormen de interferentiekromme, zodat we nog niks weten. Figuur 4.4: Elektronen detectie met een zwakke lamp Gelukkig bestaat er nog een derde mogelijkheid. Misschien wordt een elektron in zijn beweging verstoord door de botsing met een foton, waardoor het elektron in plaats van P 1 de kromme P 1 of P gaat opbouwen. Indien we zorgen voor minder harde botsingen zou het interferentiegedrag wel eens gehandhaafd kunnen blijven. Een minder harde botsing verkrijgen we, indien we de energie van hν het foton verminderen, ofwel 41

52 indien we de frequentie ν van het lamplicht verkleinen. Dit werkt! In figuur 4.5 is het interferentiepatroon getekend bij verschillende frequenties. Figuur 4.5: Het interferentiepatroon bij verschillende lichtfrequenties Bij zeer kleine ν hebben we flitsen en een bijna perfect interferentiepatroon P 1. Nu weten we hoe het zit! Helaas, bij kleine ν of grote λ, is het scheidend vermogen van het optische meetapparaat (oog, kijker, microscoop), waarmee naar de flitsen 1 en gekeken wordt zeer slecht (zie.6 en 3.6). Bij zeer kleine ν is het onmogelijk om uit te maken of een flits afkomstig is van spleet 1 of spleet. Het is weer mislukt en zo gaat het altijd. Wat je ook verzint, nimmer zul je weten door welke spleet een elektron gaat, gekoppeld aan een fraai interferentiepatroon P 1. Als je het een beetje weet, dus een waarschijnlijkheidsuitspraak daarover kunt doen, zal het bijbehorende interferentiepatroon daaraan aangepast zijn. We worden hier geconfronteerd met het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. Het hele verhaal verloopt in feite analoog aan het besprokene in 3.5. Noem de onzekerheid in de positie van het elektron, dat wil zeggen onzekerheid ten aanzien van spleet 1 of spleet, noem dat x. Kies binnen het interferentiepatroon een bandbreedte waarbinnen de meeste elektronen inslaan en druk dat uit in een spreiding van de impuls, dus p x dan zal bij de juiste definitie van x en p x het vast wel mogelijk zijn om af te leiden: x p x h Terug naar ons oorspronkelijke probleem. Mag je nu wel of niet zeggen dat een elektron of door spleet 1 of door spleet gegaan is? Welnu, het experiment heeft aangetoond: Als je meet, dan mag het. Als je niet meet, dan...? Dan mag het dus niet, zei Bohr. Dan mag het dus wel, zei Einstein. 4.3 Uit onzekerheid volgt onzekerheid Is het nu echt onmogelijk om de elektronen te zien zonder het interferentiepatroon P 1 te verstoren? Het scheidend vermogen van een optisch apparaat, waarmee naar de flitsen gekeken wordt, is in formule gelijk aan θ = λ b met b de spleetopening (diameter) van het optische apparaat. Wanneer ik bij grote λ, dus kleine ν, dat wil zeggen bij zachte tikjes, zodat het interferentiepatroon P 1 gehandhaafd blijft, de b ga vergroten, neemt de resolutie toe (θ wordt kleiner) en zal een situatie ontstaan, waarbij ik weet door welke spleet het elektron gaat, zonder dat P 1 verstoord is. Dit lijkt een keihard argument en is zonder kennis van andere onzekerheidsrelaties zeer steekhoudend. Het punt is namelijk dat een onzekerheidsrelatie slechts bewezen kan worden door gebruik te maken van een andere onzekerheidsrelatie. In de voorgaande paragraaf werd dit al geïllustreerd. De onzekerheidsrelatie (Kennis van doorgang door 1 of )/(interferentiepatroon) wordt in stand gehouden door de onzekerheidsrelatie x p x h voor fotonen, die door een opening x van het optisch apparaat gaan. Daarom is om bovengenoemd argument te weerleggen, kennis nodig van onzekerheidsrelaties. Het gaat hier om een relatie, die we nog niet kennen. Deze luidt: E t h 4 (4.4)

53 De fysische betekenis is afhankelijk van het verschijnsel, waar je de relatie op wil toepassen. Praat je over emissie van een foton door een atoom, dan is E de onzekerheid in de energie van het foton en t de onzekerheid in het moment, waarop het foton uitgezonden wordt. Met E = hν is (4.4) om te zetten in een relatie voor golven. We krijgen dan: ν t 1 (4.5) De interpretatie is de volgende. In het golfbeeld zendt een atoom gedurende t seconden een golf uit, die zich verplaatst met de lichtsnelheid c. De lengte van zo n golftrein (of golfpakket of golfgroep) is dan c t meter. In de praktijk is t ongeveer s, zodat een atoom golftreinen uitzendt met een lengte van ongeveer c t = ( m s 1) ( s ) = 3m. Bij natuurlijk licht worden de golftreinen niet volgens een vast patroon in de tijd uitgezonden, maar op onregelmatige wijze. Een golf-trein of -pakket bezit niet één frequentie. Alleen een mooie golf van de vorm ψ = Acos( ωt + kx), zich uitstrekkend van tot +, bezit één frequentie. Volgens de Fourieranalyse is een golfpakket te schrijven als een superpositie van mooie golven, die zich allen uitstrekken van tot +, die dus per stuk wel één frequentie hebben (zie appendix C). Een golfpakket bezit dus meerdere frequenties. Niet alle mooie golven leveren een even belangrijke bijdrage in de opbouw van het golfpakket. Er is een dominerende golf, dus een dominerende frequentie ν, en een groep golven met een frequentie liggende tussen ν ± 1 ν die voor het grootste deel het golfpakket opbouwen. ν noemen we de bandbreedte van het golfpakket. Dit is de ν die in (4.5) genoemd wordt. Dit is de reden waarom bij spectroscopische metingen nimmer een oneindig smalle spectraallijn wordt waargenomen, maar altijd een spectraallijn met een zekere breedte, die minimaal gelijk is aan ν. We spreken van de natuurlijke lijnbreedte. In fotontaal betekent dit dat er een kans bestaat om ergens in het golfpakket een foton aan te treffen. Een foton heeft een vaste energie E, maar we weten niet precies hoe groot die is. Het meest waarschijnlijk is de energie hν, met ν de frequentie van de dominerende golf, maar ook hν 1 is mogelijk, waarbij ν 1 globaal ergens in het interval ν ± 1 ν ligt, meestal zodanig dat de waarschijnlijkheid afneemt naarmate ν 1 dichter bij de rand van het interval ligt. De exacte waarschijnlijkheidsdistributie is afhankelijk van de vorm van het golfpakket (gaussverdeling, cosinustrein, blokpuls, enz.). Wat heeft dit alles voor consequenties voor de registratie van de flitsen van figuur 4.5? Welnu, zo n flits of foton kunnen we dus opvatten als een golfpakket. Zo n golfpakket komt aan bij de opening of spleet van het optische instrument, waarmee we de flitsen registreren, en wat gebeurt er dan? Simpel, een golfpakket is opgebouwd uit een hele reeks mooie golven en we weten wat een mooie golf doet bij een spleet. Het buigingspatroon van het golfpakket wordt de superpositie van het buigingspatroon van de mooie golven, waaruit het pakket is opgebouwd. Vanwege het beperkt scheidend vermogen (zie eind.7) is het niet mogelijk om aan een foton dat ergens inslaat op het opvangscherm van het optische instrument één golflengte of frequentie toe te kennen. Het kan zijn dat dit specifieke foton meehelpt de curve ν 1 op te bouwen, maar het is ook niet uitgesloten dat het een foton is behorende bij de curve van ν. Dit soort overwegingen krijgen we. We weten het niet precies. Je kunt hooguit zeggen dat de frequentie ergens ligt in het interval ν ± 1 ν waarbij die ν overeenkomt met λ uit (.36) volgens ν = ν λ c, gebaseerd op λ = c ν (4.6) Vergelijking (4.6) volgt uit een foutenberekening. Die ν kunnen we kleiner maken. Dit gebeurt namelijk als we de spleetbreedte b groter maken (zie eind.7). Het groter maken van b is dus niet zonder gevolgen. Bij grote b wordt de onzekerheid in de energie E = h ν per foton of flits kleiner. Dit betekent volgens E t h dat t gaat toenemen. t is de spreiding in de tijd in het moment, waarop het foton geregistreerd wordt in de detector. Dit gebeurt voor ieder foton, of dat nu afkomstig is van spleet 1 of spleet, dat maakt niet uit. Stel dat er kort na elkaar twee flitsen worden uitgezonden, flits a en flits b. Door de grote t, die optreedt bij de registratie van de flitsen in het optisch instrument, kan het gebeuren dat de mogelijke aankomsttijden van flits a en flits b elkaar overlappen, met andere woorden de kans bestaat dat flits b eerder aankomt dan flits a. Dit leidt ertoe dat het niet meer mogelijk is om de inslag van een elektron te correleren met de inslag van een foton. Oh zeker, we weten exact van welke spleet een foton afkomstig is (b groot!), maar we weten 43

54 niet meer of dat foton nu ontstaan is door een botsing met het eerste of met het tweede elektron. Er ontstaat precies dezelfde situatie, zoals beschreven in 4., waarbij we b constant hielden, maar λ vergrootten. Zo gaat het altijd. Wat men ook verzint, met voldoende kennis van onzekerheidsrelaties is ieder argument tegen het bestaan van die relaties te weerleggen. Uit onzekerheid volgt onzekerheid. 4.4 Het Compton effect In de voorgaande paragrafen hebben we de interactie tussen een elektron en een foton beschreven als een soort botsingsproces. In het begin van deze eeuw was die opvatting ondenkbaar. Einstein stond met zijn idee over lichtquanta of fotonen bijna geheel alleen! In die situatie komt verandering, wanneer in 193 Compton aantoont dat de wisselwerking tussen licht en vrije elektronen te beschrijven is als een botsingsproces tussen twee deeltjes. Hij stelde daarbij het invallende licht voor als een foton, bewegend met de lichtsnelheid c langs de z-as. Dit foton botst met een stilstaand elektron. Na de botsing schieten elektron en foton elk een bepaalde kant uit. Het wegschietende foton correspondeert dan met het verstrooide licht (zie figuur 4.6). Figuur 4.6: Verstrooiing van licht aan vrije elektronen volgens Compton De ingewikkelde interactie tussen een elektromagnetisch veld en een vrij elektron, wordt gereduceerd tot een simpel botsingsprobleem. Zoals ieder botsingsproces is dit te analyseren met behulp van de behoudswetten van impuls en energie. Vanwege het feit dat vóór de botsing er alleen maar impuls is in de richting van de +z-as, moeten de banen van de wegschietende deeltjes en de z-as in één vlak liggen. Dat vlak is in bovenstaand figuur getekend. Het is voldoende de getekende tweedimensionale situatie te analyseren. Nu doet zich een klein probleem voor. De snelheid van het foton is zo groot, dat alleen een relativistische aanpak verantwoord is. Daarom poneren we de formules voor energie en impuls zoals afgeleid door Einstein. E = mc en p = mv met m = m 0 (4.7) 1 v c Hierbij is m 0 de zogenaamde rustmassa en v de snelheid van de deeltje. E en p zijn te combineren door eliminatie van v. Dit geeft: E = p c + m 0c 4 (4.8) Een foton heeft altijd de snelheid c, dus v = c in (4.7). Dit geeft E = m 0c 0. Wil E toch een eindige waarde hebben, dan kan dat alleen maar als m 0 = 0. Conclusie: de rustmassa van een foton is 0. Dan ontstaat de uitdrukking E = 0 0. Dit kan van alles zijn, maar de kwantummechanica leert dat de energie van het foton gelijk is aan hω. Uit (4.8) volgt dan voor de impuls van het foton: p = E c = hω c. Met ω = ck gaat dit over in p = hk, in overeenstemming met de bewering van De Broglie (zie 3.3). Dan nu de botsing (zie fig 4.7). We geven de impuls van het foton even aan met de letter q. impulsbehoud x : 0 = qsinθ psinϕ qsinθ = psinϕ (4.9) 44

55 Figuur 4.7: Botsing tussen foton en stilstaand elektron. impulsbehoud z : q = qcosθ + pcosϕ q qcosθ = pcosϕ (4.10) energiebehoud : E + m 0 c = E + E e (4.11) De energie van het elektron voor de botsing is gelijk aan m 0 c, omdat het stilstaat. m 0 is de rustmassa van het elektron. E e is de energie van het elektron na de botsing. (4.9) en (4.10) gekwadrateerd en opgeteld geeft: Substitueer Dit geeft: (q qcosθ) + (qsinθ) = p q = E c ; q = E c ; c p = E e m 0 c 4 (E E cosθ) + (E sinθ) = E e m 0 c 4 (4.1) Elimineer uit (4.11) en (4.1) de energie E e. Dit geeft uiteindelijk: 1 E 1 E = 1 (1 cosθ) (4.13) m 0 c Dit is in het verband tussen de energie van het foton voor en na de botsing. Met E = hω = hc λ dit om te zetten in een verband tussen golflengten. λ λ = h (1 cosθ) m 0 c λ λ = h m 0 c sin θ hc en E = is λ (4.14) (4.15) De golflengte van het verstrooide licht hangt af van de richting, waarin verstrooid wordt. Dit verschijnsel wordt het Compton effect genoemd, naar de Amerikaanse fysicus A.H. Compton, die in het begin van de jaren 0 dit het eerst waarnam en onderzocht. h De factor m 0 c kort men vaak af tot λ c en noemt men de Compton golflengte. Interessant is de vraag of we dit resultaat ook langs klassieke weg gevonden zouden hebben. De factor h in formule (4.14) of (4.15) wijst er al op dat dit waarschijnlijk niet mogelijk is. Zelfs wanneer we het elektron bombarderen met een groot aantal fotonen (wat bij de experimenten van Compton zeker het geval was), verdwijnt de factor h niet uit de formule. Statistische manipulaties helpen niet. We hebben hier een typisch kwantum mechanisch effect, dat met de klassieke fysica niet verklaarbaar is. 45

56 Figuur 4.8: Verstrooiing van licht aan vrije elektronen 4.5 De EPR-paradox In het twee spleten experiment met de elektronen en de lamp ( 4.) hebben we gezien dat de botsing van een foton met een elektron leidt tot een verstoring van het interferentiepatroon. Hoe harder de botsing, des te groter de verstoring. Dit suggereert dat de botsing de oorzaak is van de verstoring, maar anderzijds constateerden we een directe relatie tussen de gemeten informatie aangaande spleet 1 of spleet en het interferentiepatroon. Is de mate van botsing direct gecorreleerd met de hoeveelheid informatie aangaande 1 of of zijn ze onafhankelijk van elkaar? De beschikbare informatie wordt geformuleerd in de relatie van het scheidend vermogen θ = λ b van het optisch instrument. Stel we hebben bij die λ en b een zeker interferentiepatroon. Nu gaan we λ en b allebei twee maal zo klein maken, zodat θ niet verandert. Onze informatie aangaande de positie van de spleten blijft dan ongewijzigd, maar de botsingen zullen harder zijn. Op grond van de botsingen verwachten we dan een deeltjesachtig patroon, maar op grond van θ alleen verwachten we geen wijziging van het oorspronkelijke interferentiepatroon. We zijn echter iets vergeten. Een kleinere b betekent een kleinere t, zodat er toch meer informatie is dan op grond van θ alleen gesteld mag worden. Dus ook via de informatielijn krijgen we een deeltjesachtig patroon. Het ziet ernaar uit dat er een gedegen koppeling bestaat. Het is Einstein (Podolsky en Rosen) die middels de zogenaamde EPR-paradox vraagtekens zet bij die koppeling. Eigenlijk was het de Amerikaan Bohm die in 1951 de EPR-paradox gebruikt om op dat koppelingsprobleem te wijzen. Einstein was meer geïnteresseerd in de vraag naar de werkelijkheid. Met zijn paradox toonde hij aan dat je toch kan praten over de dingen, al meet je ze niet. Sinds de publicatie van de oorspronkelijke EPR-paradox in 1935, zijn er vele varianten op bedacht. We spreken van verschillende versies. Ter wille van ons verhaal volgt nu de EPR-paradox, versie Vriezinga. Daartoe plaatsen we over de lamp een kapje, zodat de fotonen uitsluitend botsen met de elektronen die door gat 1 gaan. We richten de opstelling zodanig in dat er bijna 100% informatie beschikbaar is. De spleten zijn goed van elkaar te onderscheiden en ook bestaat er een goede correlatie tussen flits en elektroninslag. De bovenste elektronen zullen een deeltjesachtig patroon P 1 geven. Daar is niets vreemds aan. De vraag is: wat doen de onderste elektronen? Wanneer we een elektroninslag constateren zonder voorafgaande flits, dan weten we dat het elektron door gat gegaan is. Omdat we dat weten moet hij een deeltjesgedrag gaan vertonen, maar de onderste elektronen ondervinden geen botsingen met fotonen! Dus: wat doen die onderste elektronen? De kwantummechanica leert dat de onderste elektronen gedrag P vertonen. Dit is ook bevestigd in experimenten (uiteraard andere experimenten dan hier beschreven). Op basis van deze EPR-paradox is er geen koppeling. Hiermee zitten we goed in de problemen. We weten dat fotonen iets met elektronen doen. We weten zelfs hoe dat gebeurt (zie 4.4). Het kan niet zo zijn dat in figuur 4.9 P 1 gelijk is aan P. In werkelijkheid is dat ook niet het geval. De curve P 1 wijkt iets af van P, omdat de bovenste elektronen aangetikt zijn door de fotonen. Dat geldt eigenlijk ook voor de curven van figuur 4.3, 4.4 en 4.5. De echte curven wijken iets af van de getekende, vanwege de botsing tussen foton en elektron. Ons doel was niet om met de fotonen het gedrag van de elektronen te verstoren. Ons doel was om te meten of een elektron door spleet 1 of door spleet ging. 46

57 Om te meten moet het meetapparaat in wisselwerking treden met het object. Net als in de klassieke fysica treedt er dan een verstoring op van de oorspronkelijke situatie. Stel dat we in een elektrisch circuit de spanning Figuur 4.9: De EPR-paradox, versie Vriezinga willen meten over een weerstand. We moeten dan een voltmeter aanbrengen over de weerstand, wat tot gevolg heeft dat de stroom- en spanningsverdeling in het circuit anders wordt. Deze verstoring kunnen we in principe zo klein maken als we zelf willen door een voltmeter te nemen met een steeds grotere inwendige weerstand. We kunnen ons voorstellen dat in het ideale geval we 100% informatie krijgen zonder dat het systeem door de meetactie verstoord is. We noemen dat een ideale meting. Zo hebben we stilzwijgend bij de interactie tussen foton en elektron aangenomen dat die interactie het gedrag van de elektronen in klassieke zin nauwelijks beïnvloedt, maar dat we wel informatie verkrijgen. De meetactie is een ideale meting. Ondanks het feit dat we in dit kwantum mechanisme systeem te maken hebben met een ideale meting treedt er toch een grote verstoring op van het oorspronkelijke interferentiepatroon. Als we niet meten dan zal een elektroninslag meehelpen de curve P 1 (zie figuur 4.1) op te bouwen, maar als we wel meten dan maakt de inslag deel uit van curve P 1 of P (zie figuur 4., 4.3 of 4.9). Bij niet meten wordt de toestand van het elektron bij het opvangscherm gerepresenteerd door de golffunctie: ψ = ψ 1 + ψ (4.16) Hierbij is ψ 1 de som van alle golven afkomstig van spleet 1. Analoog ψ. Meten we dat het elektron door spleet 1 gaat dan verandert de oorspronkelijke ψ en hebben we: ψ = ψ 1 (4.17) Meten we dat het elektron door spleet gaat, dan krijgen we: ψ = ψ (4.18) Deze wijziging van de ψ als gevolg van een ideale meting staat bekend als de collapse of the wavefunction. Ook spreekt men wel van de reductie of filtering van de golffunctie. Onduidelijk is hoe dat gebeurt. Bij een ideale meting wordt het te meten object nauwelijks aangeraakt. Uit de EPR-paradox (figuur 4.9) blijkt duidelijk dat aanraking ook niet noodzakelijk is. Dus hoe kan dit? De discussie over deze zaak duurt voort tot op de huidige dag. Tot slot van deze paragraaf bespreken we een tweetal termen, die veelvuldig opduiken in de literatuur. We illustreren deze termen aan de hand van figuur 4.9. Ondanks het feit dat we de onderste elektronen uit figuur 4.9 niet aanraken, vindt er toch een wijziging plaats van het gedrag. Er is geen directe oorzaak aanwijsbaar. Daarom zeggen we dat de kwantummechanica een niet-causaal karakter heeft. Als we dit mechanistische denken doortrekken, dus als we veronderstellen dat voor iedere wijziging van gedrag een mechanisme aanwezig moet zijn, dan moet er dus iets zijn dat het gedrag van de onderste elektronen beïnvloedt. Met dit geheimzinnige mechanisme is iets heel bijzonders aan de hand. Het gedrag van 47

58 het elektron wordt niet bepaald door de letterlijke aanwezigheid van de lamp, maar door het criterium of de lamp wel of niet brandt. Stel nu dat we op het allerlaatste moment, terwijl het elektron vlak bij het scherm met de twee spleten is, besluiten om de lamp uit of aan de zetten, dan moet het signaal van dat geheimzinnige mechanisme (redelijkerwijs afkomstig van de schakelaar, waarmee we de lamp bedienen) een zeer hoge snelheid hebben. Misschien kunnen we ons voorstellen, dat die signaalsnelheid zelfs groter is dan de lichtsnelheid, al valt dit binnen onze versie van de EPR-paradox niet hard te maken. Andere versies, bijvoorbeeld die van Bohm, tonen echter overduidelijk aan dat die signaalsnelheid soms groter moet zijn dan de lichtsnelheid. We noemen een theorie, waarbinnen snelheden optreden groter dan de lichtsnelheid, een niet-lokale theorie. Daarom vinden we in de literatuur de uitspraak: de kwantum mechanica vertoont een niet-lokaal gedrag. 4.6 Het projectiepostulaat In 1931 wordt door Von Neumann voorgaande collapse geformaliseerd door aan de kwantummechanica een extra postulaat toe te voegen, het zogenaamde projectiepostulaat. Dit postulaat is een wat algemenere en meer wiskundige formulering van hetgeen in voorgaande paragraaf over de collapse gezegd is. De noodzakelijkheid van dit extra postulaat wordt door menigeen bestreden. Volgens hen bevat de kwantummechanica voldoende elementen om het projectiepostulaat overbodig te maken, doch anderen staan op het standpunt dat zonder projectiepostulaat de kwantummechanica incompleet is. Alsof dit nog niet voldoende discussiestof heeft doen opwaaien, gaat Von Neumann in zijn interpretatie van het collapse gebeuren nog verder, veel verder! We illustreren dit weer aan de hand van het twee spleten experiment met de lamp. Stel dat we een verstrooid foton middels het optische instrument op een fotografische plaat laten vallen. Het foton gaat dan een interactie aan met een molecuul van de fotografische emulsie. We zijn nu verplicht middels een tweede meting de juiste positie van de fotoninslag (het zwarte puntje op de fotografische plaat) te meten, bijvoorbeeld met een optische taster. Stel dat de taster het meetresultaat weergeeft middels de uitslag van een wijzer. Om de uitslag van de wijzer af te lezen, moeten we een derde meetproces uitvoeren, enzovoort. Deze ketting van meetprocessen kan slechts eindigen in de hersens van de waarnemer, waar het op de één of andere geheimzinnige wijze deel gaat uitmaken van het Gedankliche Innerleben des Individuums. Dan pas en daar treedt de collapse op. Aldus Von Neumann. Het behoeft geen betoog dat niet iedereen het met deze visie van Von Neumann eens is. Aan de andere kant kent Von Neumann vandaag de dag een grote groep aanhangers, onder wie niet de eerste de beste fysici. In de visie van Von Neumann geschiedt de collapse instantaan. Voor Von Neumann en zijn vrienden is dit mogelijk geen probleem, maar andere fysici kijken of ze water zien branden, want instantane processen komen in de fysica niet voor. 4.7 De Kat van Schrödinger Misschien wel het meest bekende verhaal dat de moeilijkheden met betrekking tot de interpretatie van de kwantummechanica illustreert, is het verhaal van de kat van Schrödinger, net als de EPR-paradox daterend uit Het verhaal gaat als volgt. Neem een volkomen afgesloten kamer. De waarnemer is buiten en kan op geen enkele manier informatie verkrijgen over hetgeen er in de kamer gebeurt. In de kamer is een atoom dat één foton uitzendt. Het foton valt op een halfdoorlatende spiegel. Als het foton rechtdoor gaat, wordt het door een detector geregistreerd, dat middels een elektronisch trigger systeem een geweer afvuurt, met als resultaat een dode kat. Wordt het foton bij de halfdoorlatende spiegel gereflecteerd dan blijft de kat in leven. Volgens de kwantum- mechanica mogen we het gedrag van het foton bij de spiegel niet beschrijven met een klassieke óf-óf redenering. Vergelijk dit experiment met het twee spleten experiment. Bij de twee spleten moet je een foton of elektron beschrijven als de superpositie van twee golven. Dat geldt hier ook. Dus de toestand van het foton na de spiegel is een interferentietoestand. Omdat we niet weten wat er binnen gebeurt (we hebben geen informatie!), blijft die interferentietoestand gehandhaafd, met als resultaat dat de kat in een interferentietoestand komt van dood en levend. Wanneer de waarnemer nu de deur van de kamer opent is er volop informatie beschikbaar en wijzigt 48

59 Figuur 4.10: De Kat van Schrödinger zich de toestand van de kat in helemaal dood of helemaal levend. Die wijziging zou dan veroorzaakt moeten worden door de fotonen, die de kamer binnenvallen na opening van de deur. Commentaar wordt aan de lezer overgelaten. P.S. In veel beschrijvingen (dit is eigenlijk de oorspronkelijke beschrijving van Schrödinger) van de Kat-van- Schrödinger-paradox is het atoom, dat een foton uitzendt, inclusief de halfdoorlatende spiegel, vervangen door een radioactief atoom, waarvan we weten dat de kans op verval in bijvoorbeeld een uurtijds gelijk is aan 50%. Het geweer is vaak voor alle zekerheid vervangen door een flesje cyaankali, dat kapot geslagen wordt, indien het atoom daadwerkelijk in dat uur vervalt. Verder verloopt het verhaal analoog aan bovenstaand verhaal. 4.8 Scholen In de voorgaande paragrafen zijn een aantal mysterieuze zaken aan de orde gekomen. Daarin kwam ook duidelijk naar voren dat niet iedereen het met elkaar eens is en dat deze situatie voortduurt tot op de dag van vandaag. De discussie over de interpretatie van de kwantummechanica heeft langzamerhand het karakter aangenomen van een strijd tussen scholen. In onderstaande volgen nu zeer kort, zeer onvolledig en zeker geen recht doende aan welke school dan ook, een aantal meningen over de interpretatie van de kwantummechanica. 1. De bekendste en meest verbreide interpretatie is die van de Kopenhaagse school (Bohr, Heisenberg, Born en anderen). Deze stelt onder andere: Het is zinloos om aan een systeem een eigenschap toe te voegen als je die niet meet. Het is volstrekt nutteloos om je af te vragen of bij het twee spleten experiment een elektron door spleet 1 of door spleet gaat, zolang je dat niet meet. Als je niet meet bestaat er geen eigenschap het elektron gaat door 1 of. Aanvankelijk stond Bohr op het standpunt dat een grootheid van een systeem alleen wel gedefinieerd is, wanneer het systeem in directe interactie is met het meetapparaat, waarmee de betreffende grootheid gemeten wordt. In ons voorbeeld komt dat neer op de eis: alle elektronen moeten door de fotonen aangeraakt worden. Onder invloed van het EPR-argument (figuur 4.9) moest Bohr zijn standpunt over directe interactie herzien en verving hij dat door de term relationele interactie.. Een merkwaardige school is die van de kwantumlogica. Zij stelt dat ons logisch denken gebaseerd is op waarneming. Een voorbeeld van een logische redenering is: Alle mensen zijn sterfelijk /Socrates is een mens /conclusie: Socrates is sterfelijk. Aan deze logische redenering gaat de waarneming vooraf dat alle mensen sterfelijk zijn en dat Socrates behoort tot het menselijk ras. Onze normale logica is gebaseerd op waarnemingen op macroscopisch niveau. Op microscopisch niveau verlopen de zaken echter totaal anders. Op basis van die verschijnselen is een nieuw soort logica ontworpen: de kwan- 49

60 tumlogica. Het is volstrekt onjuist om met macroscopische logica naar microscopische verschijnselen te kijken, zo stelt deze school. 3. Een school die zich mag verheugen in een groeiende populariteit, is die van de veel-werelden-interpretatie, in 1957 ontwikkeld door Everett, doctoraalstudent van Wheeler. Everett s interpretatie luidt dat de golffuncties, waarvan de interactie op kwantumniveau meetbare interferentie oplevert, niet inéénstorten. Zij zijn allemaal even werkelijk en bestaan naast elkaar. Wat er gebeurt als we een meting verrichten op het kwantumniveau, is dat we door het proces van waarneming gedwongen worden om één van de alternatieven uit te kiezen en deze maakt dan deel uit van wat wij als de werkelijke wereld beschouwen. De andere golffuncties verdwijnen niet, maar blijven in een andere parallelle wereld bestaand. In plaats van de collapse hebben we nu een splitsing. 4. Uiteraard is er ook een school van wat ik maar zal noemen, de pragmatici. Zij benadrukken datgene wat bij echte experimenten gemeten wordt en analyseren een echte meting. Voor gedachteexperimenten is bij hun weinig plaats, indien deze niet in realiteit uitvoerbaar zijn. Zij stellen dat bij een echte meting een microscopisch object altijd in interactie treedt met een macroscopisch meetapparaat. Zo n interactie leidt, vanwege het macroscopische karakter van het meetapparaat, altijd tot een reductie van de golffunctie. Daar heb je je collapse, zo stellen zij. Dit komt erop neer dat in het twee spleten experiment met de lamp, de collapse veroorzaakt wordt door de botsing tussen elektronen en fotonen, met de aantekening dat die lamp vervangen moet worden door een echt macroscopisch meetapparaat. 5. Een belangrijke stroming wordt gevormd door de aanhangers van de verborgen variabelen. Dit vormt geen homogeen gezelschap. Zij hebben ook weer hun eigen scholen en subscholen. Hun werk is enigszins te vergelijken met dat van Boltzmann en anderen, die door de introductie van atomen en moleculen (verborgen variabelen!) de fenomenologische thermodynamica een corpusculaire grondslag gaven. Door de introductie van verborgen variabelen in de kwantummechanica hoopt men de mysteriën te kunnen verklaren. Tot zover een greep uit de vele ideeën, die er momenteel leven. Bovenstaande is een zeer grove weergave van een paar basisideeën. Een nadere uitwerking van die ideeën met al hun subtiele details (bijvoorbeeld in woordkeus!) en hun wiskundige fundering zou een apart college vergen en laten we daarom achterwege. Niet onvermeld mag blijven dat het gros van de natuurkundigen niet of nauwelijks geïnteresseerd is in de mysteriën, zo ze al erkennen dat die er zijn. In de praktijk werkt de kwantummechanica uitstekend. Zo men al in staat is het probleem van de interpretatie op te lossen, dan zal dat niets veranderen aan de meetresultaten. Sterker nog: al die fraaie interpretatie-ideeën zijn niet testbaar! 4.9 De golffunctie In 4.1 kunt u lezen dat ψ 1 en ψ complex geformuleerde golffuncties zijn. Om u enig idee te geven volgt hier de kwantummechanische golffunctie van een vrij deeltje met welbepaalde energie E en impuls p, bewegende langs de x-as: ψ = ψ 0 e iet h e ipx h (4.19) Met de substituties E = hω en p = hk staat hier: ψ = ψ 0 e iωt e ikx (4.0) Dit zou de functie ψ 1 kunnen zijn met als x-as de verbindingslijn tussen spleet 1 en de detector. De kwantummechanische berekening van de kansdichtheid P voor N oneindig smalle spleten, verloopt exact hetzelfde als in.3 is weergegeven, met uitzondering van de stap van reëel naar complex en van complex naar reëel. De kwantummechanische golffuncties zijn intrinsiek complex. Dat imaginaire deel hebben we nodig en mag niet weggelaten worden. Het gaat hier niet om een rekentruc. De overgang van complexe toestandsfunctie 50

61 naar reële meetwaarden verloopt via een aantal recepten. Zo is bijvoorbeeld de kansdichtheid om een deeltje aan te treffen op een plaats x, moment t, gelijk aan: P(x,t) = ψ = ψ ψ (4.1) Voor een vrij deeltje bewegend langs een x-as, beschreven met (4.0) levert dit op P(x,t) = ψ0, met andere woorden de kans om een deeltje aan te treffen op de x-as op moment t is onafhankelijk van x en t. Dus de theorie voorspelt dat x = en t =. Dit illustreert weer de onzekerheidsrelatie, omdat we hadden gesteld E is welbepaald ( E = 0) en p is welbepaald ( p = 0). Bij de diffractie-experimenten is het niet zo moeilijk om, naar analogie met de klassieke golftheorie, de kwantummechanische golffunctie te raden. Die analogie ontbreekt, indien we bijvoorbeeld de golffunctie willen hebben, corresponderende met een elektron dat rond de kern draait. Wat ontbreekt tot dusverre is een generator van de kwantummechanische golffunctie. In de klassieke golftheorie is er wel zo n generator. In de volgende paragrafen gaan we die klassieke generator nader bekijken, opdat we inzicht krijgen in het karakter en de oplossingen van de kwantummechanische generator. 51

62 Vraagstukken hoofdstuk Gegeven: Het twee spleten experiment met elektronen, inclusief lamp. De bewering luidt: het is onmogelijk om een uitspraak te doen over 1 of met behoud van interferentiepatroon. Oppositie (gehoord in collegezaal): dat is niet waar! Je moet de opstelling gewoon anders inrichten. Gebruik twee lampen met verschillende golflengten, bijvoorbeeld een rode en een blauwe lamp. Zie tekening. Zien we een rode flits dan weten we dat het elektron door 1 gegaan is en bij een blauwe flits kan onze conclusie niet anders luiden dan dat het elektron door gegaan is. Net als in het dictaat gedaan is, mogen we aannemen dat de golflengte zo groot zijn (dus de botsingen tussen fotonen en elektronen zo zacht) dat het interferentiepatroon gehandhaafd blijft. In tegenstelling tot de opstelling met één lamp hebben we nu niet te maken met een slechtere resolutie, zodanig dat we niet meer weten of de flits afkomstig is van 1 of, want het is ondenkbaar dat een rode flits afkomstig is van en een blauwe flits afkomstig van 1. Kunt u dit weerleggen? 4. Gegeven: λ λ = h m e c sin θ (Compton-effect) (a) Bereken het maximum van λ λ dat kan optreden. (b) Stel dat het foton wegschiet onder een hoek θ = π rad. Bereken λ, de hoek ϕ waaronder het elektron wegschiet en de snelheid van het elektron na de botsing, als λ = m is. 4.3 Dit is een opgave voor de liefhebbers van fysica. Gegeven het twee spleten experiment met elektronen en de lamp. Toon aan dat de botsing tussen foton en elektron de beweging van het elektron nauwelijks verstoort. Neem aan dat het foton verstrooid wordt, zoals aangegeven in de tekening. Neem λ = m en v = 0, c. 4.4 Onderzoekers van de universiteiten van Innsbruck en Stanford stelden zich een situatie voor waarbij de aanwezigheid van een uiterst lichtgevoelige bom moet worden vastgesteld: één foton is al voldoende om de bom te laten ontploffen. Het lijkt dus een onmogelijke opdracht, maar voor wie slim gebruikt maakt van rare kwantummechanische effecten, blijft zelfs in totale duisternis niets onopgemerkt. Daartoe hebben de onderzoekers onderstaande opstelling bedacht. 5

63 Het systeem bestaat uit twee beamsplitters BS1 en BS, twee spiegels S1 en S, en twee fotondetectors D1 en D. Bij A komt één foton het systeem binnen. De beamsplitters zijn zodanig gedimensioneerd dat een golf een fasesprong van 3π rad maakt bij transmissie. Bij reflectie aan spiegels of beamsplitters krijgt de golf een fasesprong van πrad. Voorts zijn deze beamsplitters zodanig ontworpen dat de gemiddelde intensiteit van de invallende bundel licht voor de helft rechtdoor gaat en voor de andere helft gereflecteerd wordt. Stellen we de amplitude van de invallende bundel bij A gelijk aan ψ 0, dan is de amplitude van de doorgaande en gereflecteerde bundel gelijk aan ψ 0, omdat de gemiddelde intensiteit evenredig is met de amplitude in het kwadraat. Ditzelfde gebeurt bij BS. (a) Bekijk eerst de situatie dat bij A een reële lichtgolf (laserstraal met miljoenen fotonen) binnentreedt. Bereken de gemiddelde intensiteit van het licht in D1 en D bij af- en aanwezigheid van de bom. Werk hier met reële cosinus functies, alhoewel de complexe rekenwijze hier niet verboden is. (b) We hebben geen lichtstraal, maar slechts één foton. Dat betekent dat we voor de beschrijving van dit proces verplicht(!) gebruik moeten maken van de kwantummechanische golffunctie. Bij A hebben we bijvoorbeeld ψ = ψ 0 e iωt e ikx 0, waarbij x 0 de positie is van A langs de baan van 53

64 het foton ten opzichte van een oorsprong. Bereken op kwantummechanische wijze de kans om een foton aan te treffen in detector D1 en D bij afwezigheid van de bom. Omdat de totale kans gelijk 1 moet zijn, bent u in staat om de onbekende amplitude ψ 0 te berekenen. We noemen dit het normeren van de golffunctie. Doe dit. (c) Bereken op kwantummechanische wijze de kans om een foton aan te treffen in D1 en D als er wel een bom is. Bereken ook de kans om een foton aan te treffen bij de bom. Normeer weer uw golffunctie. (d) Leg uit dat er dus een mogelijkheid bestaat de aanwezigheid van de bom vast te stellen zonder ontploffing. Als we vooraf weten dat er 50% kans bestaat dat de bom aanwezig is, hoe groot is dan de totale kans om een foton te detecteren in D1, in D en de kans op plof. 54

65 Antwoorden hoofdstuk Om een uitspraak te doen over de golflengte van het licht, heb je een detectiesysteem nodig dat de golflengte meet. Denk aan lopende golven in een snaar. Je kunt je voorstellen dat je gedurende een tijd t het aantal golftoppen telt dat het oppervlak A passeert. Stel het zijn er N. De golf heeft de lichtsnelheid c. In de tijd t is er dan gepasseerd een golf met lengte c t. Die lengte moet dan gelijk zijn aan Nλ. Aldus vinden we: λ = c t N. Deze conclusie is fout. Eén golflengte is slechts toe te voegen aan een golf, die zich uitstrekt van tot +. Dat betekent dat t oneindig moet zijn. Een oneindig lange meettijd t betekent dat de correlatie tussen flits en elektroninslag verloren gaat. Daarom moeten we t eindig kiezen. Bij eindige t passeert er een golftrein. Volgens de Fourieranalyse is die golftrein op te bouwen uit zeer veel golven, allen met verschillende λ, allen zich uitstrekken van tot +. Er is dus niet één λ, maar er zijn er zeer veel. We krijgen een distributie van λ s rond bijvoorbeeld λ rood. Zo ook voor λ blauw. We kunnen slechts met zekere waarschijnlijkheid aangeven wat de bijbehorende golflengte is. Bij kleine t, zodat er een grote correlatie is tussen flits en elektroninslag, zal er een grote λ zijn. Bedenk ω t h en E = hv = hc λ. E E = λ λ λ hc E = λ λ = λ λ hc λ blauw en λ rood zullen elkaar overlappen bij kleine t, en het wordt steeds moeilijker om aan te geven of het foton nu rood is of blauw, kortom we weten ook in deze opstelling niet van welke spleet het foton afkomstig is. 4. (a) 4, m. (b) λ = 5000, m, φ = 45 en 7400km h (a) I(D1 met bom) = ψ 0 en I(D met bom) = 0. I(D1 zonder bom) = ψ 0 en I(D zonder bom) = ψ (b) P(D1) = ψ0, P(D) = 0 en ψ 0 = 1. (c) P(D1) = ψ 0 4, P(D) = ψ 0 4, P(bom) = ψ 0 en ψ 0 = 1. (d) P(D1) = 6,5%, P(D) = 1,5% en P(plof) = 5%. 55

66 56

67 Hoofdstuk 5 De golfvergelijking 5.1 De klassieke golfvergelijking Beschouw een homogene, wrijvingsloze snaar, horizontaal opgesteld langs een x-as, in een gravitatievrije ruimte. Ieder snaardeeltje kan op en neer bewegen. Dat noemen we een transversale oscillatie. De beweging van een materieel deeltje wordt in de klassieke mechanica beschreven met de wet F = m a. Passen we dat toe op een snaardeeltje, dan ontstaat de bewegingsvergelijking voor transversale oscillaties: ψ(x,t) x = ρ S ψ(x,t) t (5.1) Hierbij is ψ(x,t) de transversale uitwijking op moment t van een snaardeeltje dat in rust zich bevindt op de plaats x. S is de spankracht en ρ de dichtheid van de snaar in rust. Voor de afleiding van (5.1) wordt verwezen naar appendix D. Naast de transversale beweging kan een snaardeeltje ook langs de x-as een heen en weer gaande beweging uitvoeren. Dat noemen we een longitudinale oscillatie. Voor longitudinale uitwijkingen geldt: ψ (x,t) x = ρ S + ba 0 ψ(x,t) t (5.) Hierbij is ψ(x,t) de longitudinale uitwijking langs de x-as op moment t van een snaardeeltje dat in rust zich bevindt op de plaats x. S en ρ zijn weer de spankracht en dichtheid van de snaar in rust. Voor de betekenis van de term ba 0 wordt verwezen naar appendix E, waar (5.) wordt afgeleid. Vergelijking (5.1) en (5.) hebben wiskundig gezien dezelfde vorm. Allebei hebben ze een tweede afgeleide naar plaats en tijd en een constante evenredigheidsfactor. Een vergelijking met deze vorm noemen we een klassieke golfvergelijking. De klassieke golfvergelijking heeft geen pasklare oplossing. Een snaar of strak gespannen touw kan op vele manieren bewegen. Natuurlijk, een cosinus beweging is mogelijk, maar óók een of andere bobbel, die zich voortplant langs de snaar of wat dan ook. Dit impliceert dat er niet een recht-toe-recht-aan wiskundige techniek beschikbaar is, die aan de algemene oplossing van (5.1) of (5.) genereert. We kunnen slechts in algemene termen iets zeggen over de oplossing. Iedere oplossing moet een functie zijn met als argument (x vt) of (x + vt), waarbij v een positieve constante is. De algemene oplossing is dan de som van de beide deeloplossingen (superpositie principe): ψ(x,t) = g(x vt) + h(x + vt) (5.3) g en h zijn volstrekt willekeurige functies, bijvoorbeeld (x vt), of e x vt of Acos(x + vt) enzovoort. Dat (5.3) als oplossing van (5.1) of (5.) voldoet, volgt uit substitutie. Dat levert gelijk de waarde van v. Het blijkt dat (5.3) een algemene oplossing is van (5.1) mits v = S ρ. Hiermede is de klassieke golfvergelijking te schrijven als: ψ x = 1 ψ v t (5.4) 57

68 Wat is de fysieke betekenis van v? Beschouw een willekeurige functie of bobbel g(x vt) op een bepaalde plaats x 1 en bepaald moment t 1. Beschouw dezelfde functie, maar dan op de plaats x = x 1 + x en een tijdstip t = t 1 + t. De functie g(x vt ) = g(x 1 + x vt 1 v t) is gelijk aan g(x 1 vt 1 ), indien v = x t. Dit geldt voor iedere x en t en daarmee is v de snelheid waarmee de bobbel g(x vt) zich verplaatst in de richting van de positieve x-as. De oplossing g(x vt) moeten we blijkbaar interpreteren als een functie die zich onvervormd met snelheid v naar rechts (+x-as) verplaatst. v noemen we de voortplantingssnelheid. Deze is, zoals we gezien hebben voor transversale uitwijkingen gelijk aan S ρ. Analoog is aan te tonen dat we h(x + vt) moeten interpreteren als een functie, die met de snelheid v met (v > 0), naar links beweegt. Figuur 5.1: Een bobbel verplaatst zich onvervormd met snelheid v. Als concreet geval hebben we in 1.3 de lopende golf ψ = Acos( ωt + kx) besproken. Dit is een functie van het type g(x vt). Voor een lopende golf hadden we de fasesnelheid gedefinieerd volgens (1.3): v f ω k ω en k zijn echter niet onafhankelijk van elkaar. Substitutie van Acos( ωt + kx) in (5.1) levert het verband op tussen ω en k. Dit verband staat bekend als de dispersierelatie van het medium. Alhier vinden we: S ω = k (5.5) ρ Delen door k geeft volgens (1.3) de fasesnelheid. Deze is gelijk aan S ρ. De fasesnelheid is dus gelijk aan de snelheid v, waarmee een willekeurige bobbel zich in het medium voortplant. Er is in media, beschreven met de klassieke golfvergelijking, geen onderscheid tussen fasesnelheid en voortplantingssnelheid. Dat komt omdat een bobbel onvervormd blijft. De bobbel gaat zich niet verspreiden, oplossen, divergeren. Daarom spreken we in dit geval van een niet-dispergerend medium. Het begrip fasesnelheid krijgt pas betekenis bij dispergerende media. 5. Staande golven Beschouw een snaar, zonder demping, met eindige lengte L. De bewegingsvergelijking voor deze snaar is (5.1). Bij de afleiding van (5.1) is immers stilzwijgend aangenomen dat er geen demping is. (5.1) geldt alleen maar voor ongedempte systemen. Evenzo hebben we ons bij de afleiding van (5.1) niet druk gemaakt om de randen van het systeem. We keken naar een willekeurige beweging van de snaar. Hoe de randen de willekeurigheid nader inperken gaan we nu bekijken. In ieder geval moet de oplossing de volgende structuur hebben (5.3): ψ(x,t) = g(x vt) + h(x + vt) Dit is de superpositie van twee tegen elkaar inlopende golven. Daarbij kan het best zo zijn dat één van de golven ontbreekt, zie de vorige paragraaf, maar voor een snaar met eindige afmetingen, waarbij reflecties 58

69 aan de randen bij voorbaat niet zijn uitgesloten, hebben we beide golven nodig. Stel dat we een naar rechts lopende golf hebben volgens ψ = ψ 0 cos( ωt +kx). Deze golf zal aan het rechtereind van de snaar terugkeren. Bij reflectie treedt in het algemeen een fasesprong op, stel α, zodat de gereflecteerde golf te schrijven is als ψ = ψ 0 cos( ωt kx + α). Deze golf zal bij het linkereind van de snaar opnieuw gereflecteerd worden. Daarbij moet de fasesprong zodanig zijn dat we de oorspronkelijke golf ψ 0 cos( ωt + kx) terugkrijgen. Hiermee voorkomen we dat we eindeloos gaan zigzaggen. Dit betekent dat aan het linker einde een fasesprong moet optreden van α. Indien linker- en rechtereind van de snaar op dezelfde wijze begrensd worden moet de fasesprong links gelijk zijn aan die bij rechts. Daaruit volgt dat α slechts twee waarden kan aannemen, namelijk 0 of π, omdat een fasesprong van +π gelijk is aan een fasesprong van π. Een fasesprong van 0 radialen correspondeert met een snaar met losse einden. De fasesprong van π radialen treedt op bij een snaar die aan de randen is ingeklemd, omdat de heen en teruggaande golf op de plaats van inklemming elkaar moeten compenseren. We werken de beweging uit voor de ingeklemde snaar. De uitwijking op zekere plaats x, moment t is gelijk aan (complexe schrijfwijze): ψ(x,t) = ψ 0 e iωt e ikx + ψ 0 e iωt e ikx e iπ Bekend is: e iπ = cosπ + isinπ = 1 zodat In reële taal: ψ(x,t) = ψ 0 e iωt e ikx ψ 0 e iωt e ikx ψ(x,t) = ψ 0 e iωt (e ikx e ikx ) = iψ 0 e iωt sinkx ψ(x,t) = ψ 0 sinkxsinωt (5.6) Hieruit lezen we af: ieder snaardeeltje oscilleert met frequentie ω en amplitude ψ 0 sinkx. De amplitude hangt af van de positie van het snaardeeltje. Zo n beweging noemen we een staande golf. We kunnen (5.6) ook op een andere, meer abstracte wijze vinden. De beweging moet een oplossing zijn van (5.1). Daartoe proberen we een oplossing van het type ψ(x,t) = A(x)cos(ωt + ϕ). In deze oplossing zit al de kennis dat de uitkomst een staande golf is, alleen de nadere vorm van A(x) ontbreekt nog. Substitutie van deze probeeroplossing geeft een nieuwe differentiaalvergelijking. d A(x) dx + ω ρ A(x) = 0 (5.7) S Deze vergelijking wordt op wiskunde behandeld. Ook in 7.1 wordt nader op de vergelijking ingegaan. We kiezen als oplossing de vorm A(x) = Asinkx + Bcoskx met k = ω ρ S (5.8) Vanwege k = ω ρ S (dit is de dispersierelatie) moeten we k interpreteren als het golfgetal. Vandaar het symbool k. Een mogelijke staande golf heeft de structuur ψ(x,t) = [Asinkx + Bcoskx]cos(ωt + ϕ) (5.9) Dit lijkt niet op (5.6). De vorm is veel algemener, omdat we ons nog niet hebben uitgesproken over de randen. Dit is een algemeen verschijnsel in de fysica. Een elementaire aanpak werkt vaak sneller, geeft meer inzicht, maar de resultaten zijn beperkter. Een meer abstracte, wiskundige, zo u wilt formalistische aanpak leidt tot antwoorden met een breed geldigheidsgebied, maar het zicht op wat men eigenlijk aan het doen is, gaat sneller verloren. Vergelijking (5.9) moet overgaan in (5.6) indien we de randvoorwaarden substitueren. Voor de ingeklemde snaar hebben we de randvoorwaarden ψ(0,t) = 0 en ψ(l,t) = 0, omdat op de plaats x = 0 en de plaats x = L de snaar ingeklemd is. Substitutie van ψ(0,t) = 0 in (5.9) geeft: ψ(0,t) = Bcos(ωt + ϕ) = 0 B = 0 59

70 omdat het voor iedere t moet gelden. We houden over ψ(x,t) = Asinkxcos(ωt + ϕ) (5.10) Dit is op de irrelevante fasefactor na, gelijk aan (5.6). De fasefactor is irrelevant omdat we bij de elementaire aanpak net zo goed als uitgangspunt hadden kunnen nemen de golf ψ 0 cos( ωt + kx ϕ π ). Dit uitgangspunt leidt tot (5.10). Er is nog een tweede randvoorwaarde, namelijk ψ(l,t) = 0. Deze randvoorwaarde moeten we nog substitueren in (5.6) of (5.10). Werken we verder met de iets meer algemene uitdrukking (5.10), dan geeft dat ψ(l,t) = AsinkLcos(ωt + ϕ) = 0 voor alle t Hieraan is voldaan indien sinkl = 0, zodat k n = nπ L voor n = 1,, 3,... Voor n = 0 krijgt men de triviale nuloplossing (de snaar beweegt niet) en telt daarom niet mee. Negatieve waarden voor n zijn niet toegestaan, omdat k = π λ altijd positief is. Bij iedere k hoort een ω. Het verband wordt gegeven door de dispersierelatie, zodat de bijbehorende frequenties gelijk zijn aan S ω n = k n ρ = nπ S L ρ We vinden de volgende trillingswijzen (of modes): Voor n = 1 : ψ 1 (x,t) = A 1 sink 1 xcos(ω 1 t + ϕ 1 ); Voor n = : ψ (x,t) = A sink 1 xcos(ω 1 + ϕ ); Voor n = 3 : ψ 3 (x,t) = A 3 sin3k 1 xcos(3ω 1 t + ϕ 3 ); enzovoort. In onderstaand figuur zijn enkele modes of staande golven weergegeven. Figuur 5.: Enkele modes of staande golven van een ingeklemde snaar. Men spreekt van de grondtoon (n = 1) en zijn hogere harmonischen (n ). Duidelijk zijn in de tekening buiken en knopen te herkennen. Vanwege het lineaire karakter van (5.1) is de algemene oplossing een superpositie van de mogelijke oplossingen: ψ(x,t) = n=1 A n sink n xcos(ω n t + ϕ n ) (5.11) met k n = nπ L en ω n = k n S ρ, A n en ϕ n volgen uit de beginvoorwaarden. 60

71 Figuur 5.3: Een medium bestaande uit gekoppelde slingers. 5.3 Gekoppelde slingers Alle systemen beschreven met de klassieke golfvergelijking (bijvoorbeeld golven in een snaar, geluidsgolven in lucht) zijn niet dispergerend. Een willekeurige bobbel zal zich onvervormd in dat medium voortplanten. Het in 5.1 zorgvuldig gedefinieerde begrip fasesnelheid had slechts academische waarde, omdat de fasesnelheid gelijk was aan de voortplantingssnelheid van een willekeurige bobbel. Het begrip fasesnelheid krijgt pas betekenis in een dispergerend medium. Als voorbeeld van een dispergerend medium nemen we een groot aantal slingers, lengte l, met daaraan een massa m. De massa s zijn onderling gekoppeld door middel van veren, veerconstante b, lengte a. Zie de figuur. We nummeren de massa s en beschouwen massa nummer n in een willekeurige situatie. We kijken naar zeer kleine longitudinale uitwijkingen. Dan zal massa nummer n een netto veerkracht ondervinden, die bij benadering gelijk is aan b(ψ n+1 ψ n ) b (ψ n ψ n 1 ). Vanwege de slingerbeweging in het gravitatieveld werkt er nog een extra kracht op de massa, gelijk aan mgsinθ n = mgψ n l. Deze component van de gravitatiekracht ligt vrijwel in het verlengde van de veerkracht en mag daarom scalair bij de veerkracht worden opgeteld (we geven toe dat het systeem enigszins gekunsteld is). Aldus vinden we voor de totale naar rechts werkende kracht: b(ψ n+1 ψ n ) b(ψ n+1 ψ n ) mgψ n l = m d ψ n dt (5.1) Figuur 5.4: Hulpfiguur voor het opstellen van F = ma. Dit is de bewegingsvergelijking voor de n e massa. We gaan gelijk over op de continue limiet door middel van reeksontwikkeling (zie appendix D). ψ(x,t) t = ω 0 ψ(x,t) + ba m ψ(x,t) g x met ω 0 = l (5.13) 61

72 Iedere vergelijking met deze structuur wordt wel genoemd een golfvergelijking van het type Klein-Gordon. Dit is dus ook een golfvergelijking. Een golfvergelijking is de bewegingsvergelijking van golven in een medium. Het staat niet bij voorbaat vast dat een lopende golf ψ 0 cos( ωt + kx) een oplossing is van deze differentiaalvergelijking. Dat moeten we proberen. Daartoe gaan we heel bewust, niet alleen uit gemakzucht, over op de complexe rekenwijze. We substitueren ψ 0 e iωt e ikx en vinden: ω = ω0 + ba m k (5.14) Hier staat ω als functie van k. Zo n relatie noemden we een dispersierelatie. Vergelijking (5.14) is de dispersierelatie van de gekoppelde slingers. De factor ba m is een positieve reële constante en korten we af met α. Gooi de vergelijking enigszins om, dan staat er k = 1 α (ω ω 0 ) Nadere wiskundige uitwerking geeft k = ± 1 ω α ωo (5.15) (5.16) Nu dient zich iets merkwaardigs aan. k is het golfgetal en gelijk aan π λ. Het symbool λ staat voor golflengte en dat is een meetbare, reële positieve grootheid. k is dan ook reëel en positief en daarom kan (5.16) met het minteken niet voldoen. Evenzo mag ω niet kleiner zijn dan ω 0, want dan wordt het getal onder de wortel van (5.16) negatief en dat mag niet. Voor ω < ω 0 heeft (5.13) ook geen oplossing. Het minteken en de situatie ω < ω 0 moeten we niet toestaan, want dat heeft geen fysische betekenis. Dit nu moeten we nooit te snel roepen. Denk aan het uitgangspunt: de substitutie van ψ 0 e iωt e ikx in (5.13). Indien k negatief en reëel is, staat daar ψ 0 e iωt e i k x. Dit is fysisch interpreteerbaar als een golf die naar links loopt met positieve golflengte λ = π k. De oplossing met het minteken in (5.18) heeft dus wel degelijk een fysische betekenis. Indien ω kleiner is dan ω 0 wordt k zuiver imaginair: k = ± i ω0 α ω (5.17) Kort dit af tot k = ±iγ. Substitutie in de complex geschreven golf geeft: ψ(x,t) = ψ 0 e iωt e γx en ψ(x,t) = ψ 0 e iωt e +γx (5.18) In reële taal staat hier ψ(x,t) = ψ 0 e γx cosωt en ψ(x,t) = ψ 0 e +γx cosωt (5.19) Dit zijn staande golven, waarvan de amplitude toe of afneemt met toenemende x. Dit zijn dus correcte oplossingen van (5.13). In de praktijk zullen we deze functies aantreffen aan de randen van het dispergerende medium. Indien we slinger nummer 1, uiterst links in het medium, aandrijven met een frequentie kleiner dan ω 0, ontstaat er de volgende linkergrafiek: Figuur 5.5: Aandrijving beneden de afsnijfrequentie ω 0 6

73 De oplossing ψ 0 e +γx cosωt is een staande golf, waarvan de amplitude toeneemt met toenemende x-as. Dat kan fysisch gezien nooit mogelijk zijn, zeggen relatief veel auteurs van fysische boeken, laten we die maar vergeten. Niks ervan, wij vergeten niks. Dat minteken moeten we associëren met een golf die van rechts komt, dus de oplossing met toenemende amplitude ontstaat wanneer we de meest rechts gelegen slinger aandrijven. Zie het rechterplaatje van bovenstaand figuur. Dit soort randverschijnsel doet zich bijvoorbeeld voor wanneer licht invalt op bepaalde niet transparante stoffen. Het licht zal exponentieel afnemend in de materie binnendringen. Het is dus niet zo dat bij reflectie van licht aan zo n stof het licht zich gedraagt als een tennisbal, die tegen een muur gegooid wordt. Indien de dikte van het materiaal maar klein genoeg is, zal het materiaal zelfs enigszins transparant zijn. Dit is ook geconstateerd, bijvoorbeeld aan goudfolie. Het is te vergelijken met het tunneleffect uit de kwantummechanica. In de elektronica zou men ω 0 een afsnijfrequentie noemen omdat dit verschijnsel toegepast kan worden voor het filteren van een signaal. Een nadere kwantitatieve uitwerking van de situatie ω < ω 0 doet wel het rekenwerk, maar niet het inzicht toenemen en laten we daarom verder rusten. 5.4 Dispersie In deze paragraaf beperken we ons ten aanzien van de gekoppelde slingers tot de situatie ω > ω 0. Ook een negatieve k staan we niet meer toe. Wenst men aan te geven dat een golf naar links loopt dan gebruikt men maar k, met k positief, in plaats van k, met k negatief. Voor ω > ω 0 is een oplossing van (5.15) de lopende golf ψ 0 cos( ωt + kx) en het verband tussen ω en k wordt gegeven door de dispersierelatie. k = 1 ω α ω0 (5.0) Uit de dispersierelatie volgt de fasesnelheid, gedefinieerd volgens (1.3). v f = ω k = α (5.1) 1 ω 0 ω We zien dat de fasesnelheid afhankelijk is van de frequentie. Dit betekent dat de voortplantingssnelheid van een lopende golf, waarmee het hele medium gevuld is, groter is naarmate de frequentie groter is. Iedere golf krijgt een aparte behandeling, afhankelijk van zijn frequentie. Dit noemen we dispersie. Een willekeurige functie ψ(x, t) is volgens de Fourieranalyse te schrijven als een superpositie van golven met alle mogelijke waarden voor ω en k. Ieder van die golven strekt zich uit over het hele medium, zo dat de voortplantingssnelheid van één golf gelijk is aan diens fasesnelheid. Voor niet dispergerende media is de fasesnelheid een constante, zodat alle golven zich met dezelfde snelheid voortplanten. De som van al die golven, dit is de willekeurige functie ψ(x, t) zal zich dan met dezelfde snelheid voortplanten. Een bobbel verplaatst zich met de fasesnelheid onvervormd langs de x-as. Bij dispergerende media hebben de golven van elkaar verschillende fasesnelheden. De superpositie daarvan zal geen bobbel opleveren die zich onvervormd verplaatst. Er treedt vervorming op. In de praktijk zien we hoe een bobbel uitgesmeerd wordt over de x-as. De letterlijke betekenis van dispersie is uitsmeren, verdelen, verspreiden. Ter illustratie beschouwen we twee lopende golven, met verschillende frequenties, zich uitstrekkend over het gehele medium. ψ(x,t) = Acos( ω 1 t + k 1 x) + Acos( ω t + k x) (5.) voor alle x en alle t. Met de gonioformule cos p + cosq = cos p q p+q cos is ψ(x,t) te herschrijven [ ψ(x,t) = Acos (ω 1 ω ) t + (k ] [ 1 k ) x cos (ω 1 + ω ) t + (k ] 1 + k ) x Voer enkele afkortingen in. (5.3) ω 1 ω = ω mod ; k 1 k = k mod ; ω 1 + ω = ω gem en k 1 + k = k gem (5.4) 63

74 mod staat voor modulatie en met gem bedoelen we gemiddeld. ψ(x,t) = Acos( ω mod t + k mod x) cos( ω }{{} gem t + k gem x) }{{} Amplitude Golf (5.5) Indien ω 1 en ω weinig van elkaar verschillen zal ook het verschil k 1 k gering zijn, dus de met k mod corresponderende golflengte λ mod zal groot zijn, in ieder geval groter dan λ gem. Er ontstaat de volgende figuur 5.6. Figuur 5.6: Een zweving De stippellijn is de langzaam variërende amplitude Acos( ω mod t +k mod x). De doorgetrokken lijn is ψ(x,t), dus het systeem zoals we hem zien op een bepaald tijdstip. Dit noemen we een zweving. Indien we in gedachten even aannemen dat de amplitude constant blijft, verplaatst de gehele golf zich met de snelheid: v gem = ω gem k gem = ω 1 + ω k 1 + k (5.6) De amplitude blijft niet constant, maar verplaatst zich ook, met snelheid v mod = ω mod k mod = ω 1 ω k 1 k (5.7) Indien v gem = v mod schuift de hele figuur onvervormd op naar rechts. Dit gebeurt bij niet-dispergerende media. Immers voor een niet-dispergerend medium geldt ω = v f k met v f constant voor alle ω. Substitutie in (5.6) en (5.7) geeft v gem = v f en v mod = v f. Anders wordt het, indien v f frequentie afhankelijk is. (5.6) wordt dan: v gem = v f 1k 1 + v f k k 1 + k (5.8) Nu kunnen we dit bij een gegeven dispersierelatie nader uitwerken, maar het zal niemand verbazen, indien we stellen dat het antwoord ongeveer v f 1 of v f zal zijn, omdat ω 1 ω, dus k 1 k. Bij een dispergerend medium zal v gem ongeveer gelijk zijn aan de fasesnelheid van één van de lopende golven, voor ω 1 ω. Voor (5.7) schrijven we v mod = ω k Daar ω 1 vrijwel gelijk is aan ω mogen we hier ook voor schrijven (Taylorreeks zie appendix F): v mod = dω dk Nader uitgewerkt met dispersierelatie (5.0) geeft (5.9) (5.30) α k v mod = = α k ω0 + α k ω = α v f (5.31) 64

75 Figuur 5.7: Een golfpakket of golfgroep De modulatiesnelheid is niet gelijk aan de fasesnelheid. De beweging van de amplitude blijft achter bij de actuele verplaatsing van de golf (voor v f > α) en in het algemeen zal daardoor vervorming optreden. Hebben we slechts een stukje van de gemoduleerde golf (een golfpakket of groep) zoals in onderstaand figuur is weergegeven, dan is het, gelet op het voorgaande, aannemelijk dat de snelle fluctuaties als het ware uit het golfpakket ontsnappen Het golfpakket wordt breder en lager, het smeert zich uit. We krijgen dispersie. Dit is geen bewijs, omdat de wiskundige beschrijving van een stukje van de gemoduleerde golf, beslist niet gelijk is aan (5.). Denk aan Fourieranalyse. We hebben het slechts aannemelijk gemaakt. Het golfpakket wordt niet alleen lager en breder, het verplaatst zich ook. Dat gebeurt met de modulatiesnelheid (5.30). De modulatiesnelheid behoudt bij golfpakketten of andere bobbels zijn fysische betekenis. We noemen het de groepssnelheid en het is gedefinieerd volgens (5.30), dus v gr = dω dk (5.3) De groepssnelheid is zoiets als de snelheid, waarmee de omhullende van een golfpakket zich verplaatst. Een waarnemer, ver weg op de x-as van voorgaand figuur, zal op een gegeven moment constateren dat er iets aankomt. De zogenaamde forerunners dienen zich aan, maar het duurt enige tijd voordat de bulk van de energie, die zich verplaatst met de groepssnelheid, bij hem is. Dit verschijnsel heeft zijn analoog in de kwantummechanica. Onder bepaalde omstandigheden is het geoorloofd een zich verplaatsend deeltje voor te stellen als een golfpakket. Men kan bewijzen dat de snelheid van het deeltje, zoals gedefinieerd in de klassieke mechanica, gelijk is aan de groepssnelheid van het golfpakket. Maar vanwege de forerunners bestaat er in de kwantummechanica een eindige kans dat een waarnemer het deeltje eerder detecteert dan klassiek mogelijk zou zijn. We beperken ons verder tot de klassieke fysica, want daar zijn problemen genoeg. Neem formule (5.1). De fasesnelheid in het medium gekoppelde slingers is α v f = 1 ω 0 ω Indien ω slechts weinig afwijkt van ω 0 zal de fasesnelheid zeer groot zijn, zelfs groter dan de lichtsnelheid. Volgens de relativiteitstheorie van Einstein is de maximale snelheid van een object de lichtsnelheid. Groter kan niet. Hoe zit het dan met die fasesnelheid? Daartoe moeten we beseffen dat de fasesnelheid alleen gedefinieerd is voor een medium die in zijn totaliteit reeds gevuld is met een lopende golf. Men neme een slinger, men zoeke de dichtstbijzijnde slinger op die daarmee in fase is. De afstand daartussen noeme men λ. Vermenigvuldig λ met de frequentie v van een slinger en men heeft de fasesnelheid v f = λv = ω k. Het begrip fasesnelheid zegt dus niet iets over de snelheid waarmee de ruimte zich heeft opgevuld met een cosinus. Het feit dat de slinger op een afstand λ van de eerste slinger in fase is met die eerste slinger, wil niet 65

76 zeggen dat de beweging van de eerste slinger zich met een snelheid v f heeft voortgeplant. Er bestaat geen oorzakelijk verband. De fasesnelheid is daarom geen echte snelheid, in de zin dat het informatie overdraagt. Maar, met welke snelheid wordt dan wel de beweging (= informatie) van de eerste slinger doorgegeven aan het systeem? Dat gebeurt met de groepssnelheid v gr. En zoals we uit formule (5.31) kunnen aflezen is v gr eindig, namelijk maximaal gelijk aan α (voor ω = ). Wanneer we op moleculair niveau gaan werken, kunnen we α uitdrukken als een functie van de elektromagnetische wisselwerking tussen de moleculen en zal blijken dat α c. Dus de groepssnelheid is altijd kleiner of gelijk aan c, zoals de relativiteitstheorie vereist. 5.5 De klassieke golfvergelijking voor driedimensionale systemen We gaan kijken naar de golfvergelijking en zijn oplossing voor het twee- en driedimensionale analogon van de snaar. Het uitgangspunt voor de golfvergelijking voor het eendimensionale systeem, de snaar, was een rij van gekoppelde massa s en veren. Het ligt voor de hand als uitgangspunt voor het tweedimensionale systeem een vlak te nemen opgevuld met massa s en veren. Zie figuur 5.8. Figuur 5.8: Een tweedimensionaal rooster van massa s en veren De transversale uitwijking is in de z-richting. Het is duidelijk dat een willekeurige massa n niet alleen van zijn naaste veren parallel aan de x-as een kracht ondervindt, maar ook van zijn naaste veren parallel aan de y-as. Een inventarisatie van krachten en vervolgens met behulp van een reeksontwikkeling de limiet voor a 0, alles analoog aan appendix D, geeft de golfvergelijking: ψ t = v [ ψ x + ] ψ y (5.33) Men zou verwachten dat een uitbreiding van het tweedimensionale massa-veer systeem tot een ruimtelijk rooster van massa s en veren het driedimensionale analogon van de snaar gaat opleveren. Dit is niet het geval, want stel dat de uitwijking ψ in de z-richting is, dan leveren de z-veren longitudinale krachten in plaats van transversale krachten. Vanwege de analogie willen we in drie richtingen transversale krachten. Het massa-veer systeem laat ons in dit geval in de steek, maar het is in het geheel niet moeilijk je voor te stellen dat ook de z-veren een transversale kracht geven en dan wordt bijna per definitie de golfvergelijking in drie dimensies: ψ t = v [ ψ x + ψ y + ] ψ z 66 (5.34)

77 Zoals gezegd kan ψ geen ruimtelijke uitwijking meer voorstellen, maar er zijn vele andere parameters die je voor ψ kunt nemen, bijvoorbeeld temperatuur, elektrisch veld e.d. Voeren we in de nabla-operator met = ( x, y, z ) = = = ( x, y, z ) ( x, y, z ) = x + y + z = de operator van Laplace (in het Engels: Laplacian), is de golfvergelijking te schrijven als: ψ t = v ψ (5.35) In cilindercoördinatoren x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = z: ψ t = v [ 1 ψ r ϕ + ψ r + 1 ψ r r + ] ψ z (5.36) In bolcoördinaten x = r cosϕ sinθ, y = r sinϕ sinθ, z = r cosθ: ψ t = v [ 1 r r r r + 1 r sinθ θ sinθ θ + 1 r sin θ ] ϕ ψ (5.37) We voeren in een golfvector k = (k x, k y, k z ) met grootte gelijk aan het golfgetal k en richting gelijk aan de voortplantingsrichting van een golf. Merk op dat de componenten van de golfvector negatief kunnen zijn. Analoog aan oplossing (5.3) van de eendimensionale klassieke golfvergelijking is de algemene oplossing van (5.34) een superpositie van de volgende functies ψ = ψ( ωt + k x x + k y y + k z z) = ψ( ωt + k r) (5.38) De verzameling van punten met gelijke fase op één en hetzelfde tijdstip noemen we een golffront. Stel ik heb twee golven, beide lopende in de k-richting en voor een zeker punt P 1 is het bijbehorende argument ωt + k r 1 en voor een punt P is het argument ωt + k r. Deze punten hebben op moment t gelijke fase als k ( r 1 r ) = 0, dus voor r k De punten liggen in een vlak loodrecht op de voortplantingsrichting. We spreken van een vlakke golf. Schrijven we dus voor een golf ψ = ψ( ωt + k r) voor iedere r dan moet dat een vlakke golf zijn. Een ander bijzonder geval is de bolgolf: alle punten met gelijke fase liggen op een bol rond de oorsprong. De bolgolven zijn alleen functies van r, niet van θ en ϕ. De bijbehorende golfvergelijking is: ψ t = v [ ψ r r + ] ψ r met als algemene oplossing (5.39) ψ = g( ωt + kr) r + De bolgolf is besproken in 1.6. h( ωt kr) r met ω k = v (5.40) 5.6 De Schrödingervergelijking Het is interessant om te zien hoe de klassieke golfleer de stoot gegeven heeft tot het ontstaan van de kwantummechanica, terwijl men achteraf moest vaststellen dat deze theorieën eigenlijk weinig gemeen hebben. Ter verklaring van de zwarte stralingskromme had Planck (1900) de hypothese ingevoerd dat de stralingsbron, dat is het atoom, gekwantiseerde energieniveaus heeft, met een energieverschil E = hν. Hierin is h 67

78 een constante, de constante van Planck, gelijk aan 6, J s. ν Is de frequentie van het uitgezonden licht. Met h = h π kunnen we ook schrijven E = hω. Het was Einstein (1905) die hieruit de simpele conclusie trok dat het licht dan op te vatten was als een stroom van deeltjes (fotonen) met energie hω. De volgende stap was om niet alleen aan fotonen, maar ook aan materiële deeltjes zoals elektronen en protonen een energie hω toe te kennen. Het was tenslotte De Broglie (191) die deze gedachte omzette in zijn beroemde formule p = hk. Dus aan de impuls p van een deeltje wordt een golfgetal k toegevoegd. Toen lag de weg open voor een vergelijking van ω met k. Immers klassiek geldt voor een deeltje dat de totale energie de som is van de kinetische energie p m en de potentiële energie V. In formule: E = p m +V (5.41) Nu is het de gewoonte in de kwantummechanica om de totale energie van een systeem weer te geven met het symbool H. We noemen dat de klassieke Hamiltoniaan. Zo ontstaat: H = p m +V Substitutie van E = H = hω en p = hk geeft (5.4) hω = h k m +V (5.43) Hier staat ω als functie van k, dus dit is een dispersierelatie en bij een dispersierelatie hoort een golfvergelijking, zo dacht Schrödinger. Nu is er geen eenduidige wijze om van een dispersierelatie tot een golfvergelijking te komen. Om dat te kunnen moet je de oplossing van de golfvergelijking kennen, maar zoals we al gezien hebben heeft een golfvergelijking vele oplossingen. Het is een kwestie van redeneren en proberen, waarbij uiteindelijk de overeenstemming met experimentele resultaten de doorslag moet geven. Wij komen tot een goede golfvergelijking, indien we als golf stellen. ψ = Ae iωt e ikx + Be iωt e ikx (5.44) Dus lopende golven naar rechts en links, complex geformuleerd. Eenmaal differentiëren naar t en tweemaal naar x geeft ω en k. ψ t = iωψ ω = i ψ ψ t (5.45) ψ x = k ψ k = 1 ψ ψ x (5.46) Substitutie in de dispersierelatie geeft de Schrödingervergelijking (196): i h ψ t = h ψ m x +V ψ (5.47) Schrödinger was er heilig van overtuigd dat hij hiermede een golfvergelijking had voor zogenaamde materiegolven en dat de vergelijking interpreteerbaar was in termen van de klassieke golfleer. Echter, drie maanden voor het ontstaan van de Schrödingervergelijking, had Heisenberg reeds een bruikbare kwantummechanica (de zogenaamde Matrixmechanica) geformuleerd, waarbij hij helemaal niet uitgegaan was van de klassieke golfleer. Alhoewel Schrödinger er binnen de kortste keren in slaagde aan te tonen dat de theorie van Heisenberg gelijkwaardig was aan de zijne, moest hij tenslotte toegeven dat een interpretatie in termen van de klassieke golfleer slechts een deel van de waarheid was. We hebben hier te maken met een nieuwe theorie: de kwantummechanica. Bovenstaande mag u beslist niet opvatten als een afleiding van de Schrödingervergelijking. Immers op basis van de dispersierelatie zijn vele golfvergelijkingen mogelijk en in het echt heeft Schrödinger zijn vergelijking ook niet op deze wijze gevonden. Dat de Schrödingervergelijking de enig juiste is, wordt bevestigd 68

79 door het experiment. De Schrödingervergelijking is een basisvergelijking in de fysica, zoals F = ma ook een basisvergelijking is. Zij kennen geen afleiding. De Schrödingervergelijking wordt later uitgebreid behandeld, zodat we er nu niet te veel over willen zeggen. Slechts één ding: de vergelijking is dispergerend! Kijk maar naar de dispersierelatie (5.43). Stellen we ons een vrij deeltje (dat wil zeggen V = 0) voor als een golfpakket, dan zal dat golfpakket in de loop van de tijd uitgesmeerd worden. De onzekerheid met betrekking tot de plaats van het deeltje zal toenemen. 69

80 Vraagstukken hoofdstuk 5 De golfvergelijking 5.1 Gegeven de klassieke golfvergelijking voor een homogene snaar: ψ x = ρ ψ S t Toon aan, door middel van substitutie, dat ψ(x,t) = g(x vt) + h(x + vt) een algemene oplossing is, onder de conditie dat v = S ρ. 5. In een medium loopt de golf ψ(x,t) = ψ 0 cos( ωt kx) (a) Laat zien dat de golf naar links loopt, dat wil zeggen in de richting van de negatieve x-as. Wat is zijn voortplantingssnelheid? (b) Toon aan dat de golf geschreven kan worden als een functie h(x + vt). 5.3 (a) Geef in woorden weer hoe men, uitgaande van een gegeven golfvergelijking, de dispersierelatie van het medium kan vinden. (b) Voer dit proces uit voor de volgende golfvergelijking: ψ x = ρ ψ S t 5.4 (a) Geef in woorden weer hoe men, uitgaande van een gegeven golfvergelijking, de fasesnelheid van een lopende golf kan vinden. (b) Voer dit proces uit voor de volgende golfvergelijking: ψ x = ρ ψ S + ba 0 t 5.5 Transversale oscillaties in een snaar zijn onderworpen aan de vergelijking: ψ x = ρ ψ S t Longitudinale oscillaties in een snaar zijn onderworpen aan de vergelijking: ψ x = ρ ψ S + ba 0 t De aardkorst gedraagt zich bij benadering als zo n snaarmedium. Ergens diep in de aardkorst gebeurt iets, waardoor kortstondig longitudinale en transversale oscillaties worden opgewekt. Ieder huis is, uit de aard der zaak, vooral gebouwd om krachten in verticale richting op te vangen. Bestaat er voor de bewoners van een huis, gelegen pal boven het centrum van genoemde aardbeving, een ontsnappingsmogelijkheid? Staande golven 5.6 Gegeven een homogene snaar, onderworpen aan de klassieke golfvergelijking (5.1). In ontspannen toestand heeft de snaar een lengte van 1m, een diameter van 0,5mm en een dichtheid van 9g cm 3. Aan het linkereind bevestigt men een trillingsmachine, die transversaal oscilleert volgens ψ = ψ 0 sinωt vanaf t 0. Om de snaar op spanning te brengen leidt men deze over een pin en hangt aan het rechtereind een massa van 10kg. Onder invloed van de massa rekt de snaar uit over een afstand van 10,4cm. De afstand tussen machine en pin is 1m. Zie figuur. Voor de beantwoording van de vragen mag u gebruik maken van alle formules uit het dictaat. Stel g = 10m s. 70

81 (a) De machine wekt in de snaar een golf op. Na hoeveel seconden heeft de kop van de golf de pin bereikt? (b) De frequentie ν van de machine is gelijk aan 50Hz. Bereken de golflengte van de golf. (c) De snaar is een paar maal om de pin gedraaid, zodanig dat bij de pin volledige reflectie optreedt. Teken de snaar op 4ms, 6ms en 8ms na het aanzetten van de machine. (d) Na 8ms wordt de machine uitgeschakeld. Teken de snaar op t = 10ms. (e) Wat voor soort beweging voert de snaar uit voor t > 8ms? Hoe lang zal deze beweging duren? Correspondeert de beweging met de grondtoon van de snaar? 5.7 Het linkereind van een snaar is ingeklemd. Aan het rechtereind bevindt zich een massaloos ringetje dat wrijvingsloos om een verticale staaf kan bewegen. Het rechtereind noemen we een vrij uiteinde. Per definitie werken op een vrij uiteinde geen transversale krachten, dat wil zeggen: ( ) ψ F y (x,t) = S = 0 voor x = L x De golfvergelijking van de snaar is: ψ x = ρ ψ S t (a) Bepaal de golflengten en frequenties van de grondtoon en de eerste twee boventonen. (b) Geef in een figuur de situatie voor deze drie modes weer. 5.8 Is de dispersierelatie voor staande golven anders dan voor lopende golven? 5.9 In het dictaat is aangetoond dat de algemene oplossing van de klassieke golfvergelijking voor een ingeklemde snaar gelijk is aan: ψ(x,t) = n=1 A n sink n xcos(ω n t + ϕ n ) (5.48) 71

82 met k n = nπ L en ω n = k n S ρ Dispersie Anderzijds wordt in het dictaat beweerd dat de algemene oplossing van de klassieke golfvergelijking altijd de structuur heeft: S ψ(x,t) = g(x vt) + h(x + vt) met v = (5.49) ρ Toon aan dat (5.48) te schrijven is in de vorm van (5.49) Waaraan kan men direct zien of een medium dispergerend of niet-dispergerend is? 5.11 Iedereen weet dat zilver uitstekend geschikt is voor het maken van spiegels. Ook is algemeen bekend dat men elektrische installaties kan afschermen van radiogolven door ze te omgeven met een metalen omhulsel (coaxkabels). Verder weet men dat radargolven door metalen gereflecteerd worden (detectie van vliegtuigen). Iets minder bekend is dat metalen slechts moeizaam röntgenstralen tegenhouden (dikke platen lood). Dit alles wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van vrije elektronen in een metaal. Men kan aantonen dat de dispersierelatie van metalen voor elektromagnetische straling in eerste benadering de volgende vorm heeft: ω = ω 0 + c k met ω 0 = Ne ε 0 m met N het aantal vrije elektronen per volume eenheid. (a) Wat is het verband tussen golflengte en frequentie van elektromagnetische stralen in vacuüm? (b) Zilver heeft ongeveer 5, vrije elektronen per m 3. Bereken de afsnijfrequentie van zilver. (c) Röntgenstralen hebben in vacuüm een golflengte liggende tussen 0,01 en 10nm. Is zilver transparant voor röntgenstralen? (d) De indringdiepte is gedefinieerd als de afstand waarvoor de amplitude van een golf is afgenomen van A tot Ae 1. Bereken de indringdiepte van rood licht (650nm) en blauw licht (450nm). (e) Een half doorlatende spiegel is voorzien van zo n dun laagje zilver dat de helft van de intensiteit van het opvallende licht door het zilver wordt doorgelaten. Stel dat dit het geval is voor geel licht (580nm). Hoe dik moet de laag zilver zijn? Verwaarloos de reflectie die optreedt bij de overgang van zilver naar vacuüm. (f) Als we door deze spiegel naar wit licht kijken, wat verwacht je dan voor de kleur van het licht. 5.1 De brekingsindex n is gedefinieerd als n = c v, met c = lichtsnelheid in vacuüm en v = lichtsnelheid in medium. Voor de brekingsindex van glas is afleidbaar: n = 1 + Ne ε 0 m(ω 0 ω ) met: N = aantal glasatomen per volume-eenheid; e = lading elektron; m = massa elektron; ω 0 = eigenfrequentie van een oscillerend elektron in het glas; ω = frequentie van het licht. 7

83 (a) De eigenfrequentie ω 0 van glaselektronen ligt in het ultraviolet. Toon aan dat voor zichtbaar licht de lichtsnelheid in het glas altijd kleiner is dan c. Gegeven: In vacuüm λ U.V. 00nm; λ blauw 400nm; λ rood 800nm. Welke kleur heeft de grootste brekingsindex? (b) Toon aan dat voor röntgenstralen (in vacuüm λ 10nm) de snelheid v groter is dan c. Volgens Einstein bestaat er geen snelheid groter dan c. Wat voor soort snelheid is v dan? (c) Toon aan dat de groepssnelheid van het licht in glas altijd kleiner is dan c. (d) Bereken v indien ω gelijk is aan ω 0. Hoe zou u dit interpreteren? 5.13 Een kurk drijft op een wateroppervlak, waarover een sinusvormige golf zich voortplant. De golflengte is 10m en de amplitude 0,10m. Voor het wateroppervlak geldt de dispersierelatie: v f = g k kγ ρ Hierin is ρ de dichtheid en γ de oppervlaktespanning, welke voor water 7 10 N m 1 is; g = 10m s ; ρ = kg m 3. Bereken de maximale snelheid van de kurk In een stalen staaf loopt een longitudinale golf, opgewekt door een oscillator, gekoppeld aan een uiteinde. Voor een staaf geldt de klassieke golfvergelijking: δ ψ(z,t) δt = Y ρ δ ψ(z,t) δz met Y de elasticiteitsmodulus (N m ) en ρ de massa per lengte-eenheid (kg m 1 ). Voor staal geldt: Y =, N m ; ρ = 7, kg m 3. Voor de staaf geldt verder: (a) Bepaal de dispersierelatie. diameter = 4mm; amplitudo van de trilling = 0,1mm; frequentie = 10Hz. (b) Bereken de vergelijking van de golf in de staaf. De klassieke golfvergelijking gaat alleen op als er geen sprake is van zijdelingse vervorming. Houden we hier rekening mee, dan vinden we voor de fasesnelheid: v f = (1 π µ R Y λ ) ρ met µ de constante van Poisson en R de straal van de staaf. (c) Bepaal de groepssnelheid en druk deze uit in de fasesnelheid. (d) Bespreek de verandering van v f en v gr als functie van R λ. kwantummechanica 5.15 Beschouw een vrije deeltje, massa m, snelheid v. Onder een vrij deeltje verstaat men in de kwantum mechanica een deeltje zonder potentiële energie. In de klassieke fysica geldt dat de totale energie E = 1 mv. Volgens Einstein (E = hω) en de Broglie (p = hk). Kan dit omgezet worden in een soort dispersierelatie voor golven. Toon aan dat niet de fasesnelheid, maar de groepssnelheid correspondeert met de snelheid v van het klassieke deeltje. 73

84 5.16 In de relativistische mechanica geldt voor een vrij deeltje het volgende verband tussen energie en impuls: E = p c + m 0c 4 Hierin is c de lichtsnelheid en m 0 de rustmassa. Leidt op analoge wijze als in 5.6 van het dictaat, de bijbehorende golfvergelijking af. Welke naam zou u aan die golfvergelijking geven? Heeft uw golfvergelijking een afsnijfrequentie? Zo ja, hoe groot is die dan? 74

85 Antwoorden hoofdstuk 5 Staande golven 5.6 (a) t = 4ms. (b) λ = 1m. (c) en (d) 5.7 (a) (e) Een staande golf die lang voortbestaat; Het is de 1 e boventoon. grondtoon: λ 0 = 4L, ω 0 = π L S ρ ; 1 e boventoon: λ 1 = 1 3 λ 0, ω 1 = 3ω 0 ; e boventoon: λ = 1 5 λ 0, ω = 5ω 0. Dispersie 5.11 (a) λ = ct. (b) ω 0 1, s 1. (c) ja. (d) δ rood =, m en δ blauw =, m. (e) dikte = 78,8Å. (f) groenachtig. 5.1 (a) n rood < n blauw. (b) v = fasesnelheid. (d) absorptie ,5m s 1. 75

86 5.14 (a) ω = Y ρ k. (b) ψ(x,t) = cosπ(10t 1, x). Y (c) v gr = 3v f ρ Klein-Gordon-vergelijking: en ψ t = ψ c x m 0 c4 h ψ ω afsnij = m 0c h. 76

87 Hoofdstuk 6 Het elektromagnetische veld en fotonen 6.1 Het elektromagnetisch veld In de klassieke theorie van de elektrodynamica is een geladen object de bron van een elektromagnetisch veld (EM-veld). Men kan bewijzen dat in een ruimte zonder bronnen het elektrisch veld E moet voldoen aan de klassieke golfvergelijking. E = 1 c E t met E = E(x,y,z,t) (6.1) Dit zijn drie vergelijkingen, ieder van de vorm (5.3). Een wisselend elektrisch veld is nooit alleen, maar wordt altijd vergezeld door de magnetische inductie B. Dit B-veld heeft een grootte gelijk aan E c. De richting van B is zodanig dat bij draaiing van E naar B over de kleinste hoek dit volgens de kurkentrekkerregel de voortplantingsrichting oplevert. De c uit (6.1) is de lichtsnelheid, waarvoor te schrijven is: c = 1 ε0 µ 0 (6.) met ε 0 = permittiviteit van het vacuüm = 8, C N 1 m ; µ 0 = permeabiliteit van het vacuüm = 1, m kg C. Substitutie van deze getallen geeft de bekende lichtsnelheid van m s 1 in het vacuüm. In plaats van magnetische inductie kan men ook werken met het magnetisch veld H. Voor het vacuüm geldt: B = µ 0 H (6.3) Zowel het elektrisch veld als de magnetische inductie (of magnetisch veld) staan loodrecht op de voortplantingsrichting. Het vacuüm gedraagt zich voor elektromagnetische golven (EM-golven) als een snaar met transversale oscillaties. Longitudinale EM-golven zijn niet mogelijk. In figuur 6.1 is een eendimensionale EM-golf getekend, zich voortplantend langs de x-as. Deze golf is een mogelijke oplossing van de vergelijking E y (x,t) x = 1 c E y (x,t) t (6.4) Daarnaast zou er nog een E z met bijbehorende B y kunnen bestaan volgens: E z (x,t) x = 1 c E z (x,t) t (6.5) Stel dat E y en E z allebei vlakke golven zijn. Het totale veld E is gelijk aan E y + E z. Indien E y en E z gelijke frequenties hebben, beschrijft het uiteinde van de E-vector een ellips. We spreken van elliptisch gepolariseerd licht. Zijn bovendien de amplitudes aan elkaar gelijk en is het faseverschil gelijk aan π, dan gaat de ellips over in een cirkel: circulair gepolariseerd licht. Is het faseverschil 0 of π dan vernauwt de 77

88 Figuur 6.1: Een eendimensionale vlakke EM-golf langs de x-as. ellips zich tot een recht lijnstukje: lineair gepolariseerd licht oftewel een vlakke golf, zoals getekend in voorgaand figuur. Bestaat er helemaal geen verband tussen E z en E y dat wil zeggen de amplitude en/of fase en/of frequentie van zowel E z als E y zijn niet constant, maar veranderen voortdurend, dan spreken we van ongepolariseerd of natuurlijk licht, (bijvoorbeeld zonlicht, licht van gloeilampen). Er bestaat een materiaal (polaroid) dat slechts één trillingsrichting doorlaat. Met deze zogenaamde polarisatoren kan men op éénvoudige wijze de trillingsrichting van de golf wijzigen of ongepolariseerd licht polariseren. We poneren dat de tijdsafhankelijke energiestroomdichtheid van het elektromagnetisch veld gegeven wordt door de formule: S = E H = c ε 0 E B (6.6) De vector S wordt de Poynting vector genoemd. De absolute waarde is de grootte van de energiestroomdichtheid of intensiteit van het licht. De richting van S correspondeert met de richting van de energiestroom, dus met de voortplantingsrichting van de golf. Voor vlakke golven hebben we: S = ε 0 ce (6.7) De intensiteit is evenredig met de uitwijking in het kwadraat (zie hoofdstuk 1) Voor bolgolven gaat (6.1) over in: E r r + E r = 1 E c t (6.8) met als oplossing de geretarteerde golf: E = E ( t r ) c r 6. Gepolariseerd licht en fotonen Ongepolariseerd licht valt in op een stukje polaroid, waarvan de doorlaatrichting de x -as is. Alleen het veld lineair gepolariseerd langs de x -as wordt doorgelaten. We noemen dit filter een polarisator (zie figuur 6.). Na de polarisator hebben we lineair gepolariseerd licht, waarvan het elektrisch veld oscilleert langs de x -as. Voor de polarisator zijn alle trillingsrichtingen in gelijke mate aanwezig. Van iedere richting wordt alleen de component van het elektrisch veld langs de x -as doorgelaten. Als de gemiddelde intensiteit voor de polarisator gelijk is aan I 0, resulteert dit in een gemiddelde intensiteit na de polarisator gelijk aan I 0, ongeacht de polarisatie-as (= de doorlaatrichting) van de polarisator (zie figuur 6.3). Het gepolariseerde veld E 1 filteren we opnieuw met een stukje polaroid (dit noemen we de analysator), waarvan de polarisatie-as gelijk is aan de x-as. Alleen de component van E 1 langs de x-as wordt doorgelaten. Noemen we de hoek tussen x- en x -as θ, dan is het veld na de polarisator gelijk aan E = E 1 cosθ. De andere component loodrecht op de doorlaatrichting E 1 sinθ wordt door de polarisator geabsorbeerd. Stel 78 (6.9)

89 Figuur 6.: Ongepolariseerd licht valt in op een polarisator met polarisatie-as x. Figuur 6.3: Polarisator en analysator. het veld E 1 = A 1 cos( ωt + kz), dan geldt E = A 1 cosθ cos( ωt + kz + δ). Die δ is een faseverschuiving, veroorzaakt door het passeren van het polaroid. Deze is verder niet belangrijk. Waar het om gaat, is dat de amplitude van het veld gereduceerd wordt met een factor cosθ. Eerder hebben we al geleerd dat de intensiteit evenredig is met de uitwijking in het kwadraat en dat daarom de gemiddelde intensiteit evenredig is met de amplitude in het kwadraat. Zo vinden we voor de gemiddelde intensiteit na de analysator: I = I 1 cos θ (wet van Malus) (6.10) Desgewenst kan men de gemiddelde intensiteiten exact uitrekenen door toepassing van vergelijking (6.7). Stel θ = 30. De cos30 = 1 3. Dan ontstaat het intensiteitsprofiel zoals in figuur 6.4. De polarisator absorbeert I 0 van de invallende energie en vervolgens wordt door de analysator daarvan 1 4 geabsorbeerd. Totale absorptie 5I 0 8. Totale transmissie 3I 0 8. Nu het fotonenmodel. Stel er valt slechts één foton in op de polarisator. Wat gebeurt er met dat foton? De intensiteit is evenredig met het aantal fotonen dat per seconde een dwarsdoorsnede passeert. Dat zou betekenen dat de helft van het foton geabsorbeerd en de andere helft doorgelaten wordt, maar dat kan uiteraard niet, want halve fotonen bestaan niet. We hebben hier weer een interpretatie in termen van kansen. Bij de polarisator bestaat er 50% kans op transmissie en ook 50% kans op absorptie van het foton. Bij de analysator heeft het foton een kans van 3 4 op transmissie en 1 4 op absorptie. Voor het systeem resulterend in een totale transmissie kans van 3 8 en een totale absorptie kans van

90 Figuur 6.4: Gemiddelde intensiteiten voor θ = 30. Door de polarisatie van het EM-veld mee te nemen in onze beschouwingen, ontstaat binnen het fotonenmodel weer een nieuw terrein voor rare kwantummechanische effecten. Figuur 6.5: Door toevoeging van een extra filter passeren meer fotonen het systeem. In figuur 6.5 hebben we aanvankelijk alleen maar een polarisator en analysator, waarvan de polarisatieassen loodrecht op elkaar staan. Geen enkel foton zal dit systeem passeren. Voegen we echter een derde polarisator toe, waarvan de polarisatie-as niet samenvalt met die van polarisator of analysator, dan wordt het systeem weer gedeeltelijk transparant. Twee filters houden alles tegen, maar drie filters laten fotonen door. In veldtermen volkomen begrijpelijk, maar in deeltjestermen toch wel een beetje vreemd. Een schitterende illustratie van het vreemde gedrag vinden we in de kwantumwisser (quantum eraser) (zie figuur 6.6). Het licht kan via twee paden van de bron (een laser) naar de detector D1 en D gaan. BS1 en BS zijn beamsplitters. S1 en S zijn spiegels. P1, P, P3 en P4 zijn polarisatoren. We noemen dit wel een Mach- Zehnder interferometer. De beamsplitters zijn perfecte splitters, dus de intensiteit van de invallende golf wordt netjes gehalveerd. In fotonentaal: de helft van het aantal invallende fotonen gaat rechtdoor, de andere helft wordt gereflecteerd. We bekijken eerst het licht dat in detector D1 terechtkomt. Het licht dat via het bovenste pad (via S1) naar D1 gaat, ondergaat dezelfde faseverschuiving als het licht via het onderste pad (via S). Voor beide paden hebben we 1 transmissie bij BS, 1 reflectie aan BS, 1 spiegeling aan S en ze doorlopen beide polarisatoren. De golven zijn in fase met elkaar. Zonder polarisatoren krijgen we in D1 interferentie van twee identieke golven. We moeten eerst de golven optellen en daarna kwadrateren om de intensiteit te berekenen. In formule: E som = E 1 + E E som = (E 1 + E ) (6.11) Hierbij is E 1 (E ) het veld in de buurt van de detector D1 dat het bovenste (onderste) pad gevolgd heeft. In fotonentaal weten we niet welk pad het foton gevolgd heeft, dus interferentie. Nu voegen we polarisator P1 en P toe, waarvan de polarisatie-assen loodrecht op elkaar staan. P1 polariseert bijvoorbeeld langs de x-as (in het papier) en P langs de y-as (loodrecht op het papier). De z-as is dan het 80

91 Figuur 6.6: De kwantumwisser. optische pad. Polarisator P3 is afwezig. Het licht dat nu in D1 komt, bestaat uit twee elektrische velden loodrecht op elkaar. Voor het somveld krijgen we (stelling van Pythagoras): E som = E 1 + E (6.1) Hierbij is E 1 (E ) weer het veld in de buurt van de detector D1 dat het bovenste (onderste) pad gevolgd heeft. Deze zijn vanwege de lichtverzwakking en fasesprong van de polarisatoren niet identiek aan die van (6.11), maar daar gaat het hier niet om. Het gaat erom dat we hier nu eerst moeten kwadrateren en daarna optellen om de intensiteit te vinden. In kwantumtaal hebben we hier te maken met een collapse van de golffunctie. Blijkbaar is er iets bekend, want een collapse treedt op als er in principe informatie beschikbaar is. Hier kennen we het pad dat een foton gevolgd heeft, want ieder foton is gepolariseerd. Het heeft een x of een y polarisatie. Deze polarisatie is bij detector D1 in principe meetbaar. Detector D1 meet dat niet, want dat is een fotocel, een intensiteitsmeter. Het gaat erom dat je in principe iets kunt meten. Je zou detector D1 kunnen vervangen door een analysator met x-polarisatie. Gaat het foton daar doorheen, dan weet je dat dit foton het bovenste pad gevolgd heeft. Komt er niets doorheen, dan moet het een y-foton geweest zijn, dat het onderste pad gevolgd heeft. In principe is kennis aanwezig en dat is bepalend. Nu voegen we polarisator P3 toe, wiens polarisatie-as een hoek θ met de y-as maakt. 81

92 We moeten nu de projectie nemen van E 1 en E op de polarisatie-as van P3. Dit geeft: ( π ) E som = E 1 cos θ + E cos(θ) (6.13) De intensiteit bij de detector is dan evenredig met: ( Esom = E1 cos π ) ( π ) θ + E cos (θ) + E 1 E cos θ cos(θ) (6.14) Als θ gelijk is aan 45, kunnen we schrijven: E som = 1 ( E 1 + E + E 1 E ) = 1 (E 1 + E ) (6.15) Nu is het weer: eerst optellen, daarna kwadrateren. Door toevoeging van P3 onder 45 wordt de informatie over het pad van het foton gewist. Immers ieder 45 foton zal bij een analysator zich voor de helft manifesteren als een x-foton en voor de andere helft als een y-foton. Tot zover het principe van de kwantumwisser. Als voorbeeld hoe je aan dit soort systemen kunt rekenen, werken we het één en ander nader uit. Stel we hebben in (6.1): E 1 = ˆ E 1 cos( ωt + kz + γ) en E = ˆ E cos( ωt + kz + γ), want ze hadden gelijke fase. Dan vinden we met (6.7) voor de intensiteit in D1: ] I zonder P3 = ε 0 cesom = ε 0 c[ E ˆ 1 cos ( ωt + kz + γ) + Eˆ cos ( ωt + kz + γ)) (6.16) Bepalen we hiervan het tijdsgemiddelde, dan levert dit op: I zonder P3 = 1 ε 0c( ˆ E 1 + ˆ E ) = I 1 + I (6.17) want het tijdsgemiddelde van de cosinus kwadraat functie is een half (zie appendix B). Nu voegen we polarisator P3 toe, wiens polarisatie-as een hoek van 45 met de y-as maakt. Met (6.15) ontstaat; I met P3 = 1 ] 0c[ ε E ˆ 1 cos ( ωt + kz + γ) + Eˆ cos ( ωt + kz + γ) + Eˆ 1 Eˆ cos ( ωt + kz + γ) (6.18) Gemiddeld in de tijd: I met P3 = 1 ( ) 1 ε 0c E ˆ E ˆ + Eˆ 1 Eˆ = 1 I I + 1 ε 0cEˆ 1 Eˆ (6.19) Als ˆ E 1 = ˆ E, wat bij onze perfecte beamsplitters zeker het geval zal zijn, ontstaat: I met P3 = I zonder P3 = I 1 (6.0) De intensiteit verandert niet door toevoeging van P3. Dat is begrijpelijk, want voor P3 hebben we lineair gepolariseerd licht onder 45. Filter P3 laat alles door. Filter P3 doet niks met het veld. Dit verandert overigens niets aan het principe van de kwantumwisser. Het principe komt nog duidelijker naar voren bij detector D, als we aannemen dat tussen E 1 en E een faseverschil is van 180. Zonder polarisatoren krijgen we in D uitdoving. Met P1 en P wordt de interferentie opgeheven en dus ook de uitdoving. Het fotonpad is nu bekend. Toevoeging van P4 onder 45 geeft weer uitdoving. De informatie is gewist. 8

93 6.3 Fotonspin In de voorgaande paragraaf spraken we vrijelijk over de polarisatie van een foton. Nu is een foton een deeltje en om daar een veldrichting aan toe te kennen is lichtelijk vreemd. Eerst moeten we beseffen dat er in feite geen ongepolariseerd licht bestaat. Een gloeilamp bestaat uit een verzameling thermisch verhitte atomen Het ene moment zendt atoom A gedurende ongeveer s een golftrein uit met zekere polarisatie, het andere moment zendt atoom B een golftrein uit waarvan de polarisatie i.h.a. niet gelijk is aan die van A. Er ontstaat een stroom van golftreinen, waarvan de gemiddelde polarisatie gelijk nul is. Als de polarisatie sneller varieert dan we kunnen detecteren, spreken we van ongepolariseerd licht, maar iedere golftrein op zichzelf is gepolariseerd. Een golftrein had iets te maken met een foton, dus ieder foton moet een eigenschap bezitten, die correspondeert met gepolariseerd licht in de klassieke fysica. Een ongepolariseerd foton komt niet voor, maar wat is dat in deeltjes taal? Daartoe moeten we weten dat circulair gepolariseerd licht een impulsmoment bezit. Circulair gepolariseerd licht kunnen we (klassiek) opgebouwd denken uit de superpositie van twee loodrecht op elkaar staande oscillaties. Stel dat we een puntlading q in een circulair gepolariseerd veld brengen, dan ondervindt de lading een kracht q E, die te ontbinden is in een kracht qe x langs de x-as en een kracht qe y langs de y-as. De puntlading gaat oscilleren langs x- en y-as, en de resultante daarvan is een cirkelbeweging van de puntlading. De lading krijgt een impulsmoment. Op grond van de behoudswet van impulsmoment moet het licht voordat het bij de stilstaande lading aankwam, een impulsmoment gehad hebben. Conclusie: circulair gepolariseerd licht bezit een impulsmoment. Dit betekent dat een foton, corresponderende met circulair gepolariseerd licht, ook een impulsmoment heeft, m.a.w. er draait iets. Nu weten we niet goed wat er bij een foton (of elektron of andere elementair deeltje) draait, zodat we die eigenschap een nieuwe naam gegeven hebben, namelijk spin. Circulair gepolariseerd licht kan op twee manieren voorkomen: linksomdraaiend en rechtsomdraaiend. Deze kreten zeggen niets, omdat het er maar vanaf hangt vanaf welke kant men tegen de draaiende E-vector aankijkt. Daarom spreekt men van right-hand-circular (RHC) licht en van left-hand-circular (LHC) licht. Met RHC bedoelt men: krom de vingers van de rechterhand in de draairichting van de E-vector, dan wijst de duim de voortplantingsrichting aan. Analoog LHC voor de linkerhand. In de kwantummechanica zegt men: een RH-foton bezit spin+1, een LH-foton bezit spin-1. Een LH-foton bezit een even groot, tegengesteld gericht impulsmoment. Iedere polarisatie is te schrijven als de superpositie van RH- en LH-licht. Daarom correspondeert de macroscopische eigenschap polarisatie van het licht met de microscopische eigenschap spin van het foton. De spin van de fotonen manifesteert zich in de macroscopische fysica als gepolariseerd licht. De macroscopische of klassieke fysica ontstaat in dit geval door een heleboel fotonen te nemen en daar statistiek mee te bedrijven. 6.4 De kwantummechanische beschrijving van spin Er zijn oneindig veel polarisaties mogelijk, zodat men in eerste instantie zou kunnen denken dat er ook oneindig veel soorten fotonen zijn. Dat is ook zo, maar iedere polarisatie is op te bouwen uit bijvoorbeeld twee loodrecht op elkaar staande oscillaties, zoals we in 6.1 gezien hebben. Het is daarom voldoende aan het foton twee zogenaamde basistoestanden toe te kennen. Er bestaat een grote mate van vrijheid in de keuze van de basistoestanden. Zo kun je als basistoestanden RH en LH licht nemen, maar bijvoorbeeld ook een oscillatie langs de x-as en langs de y-as. (In de kwantum mechanica kiest men altijd de z-as als as van voortplanting.) Iedere polarisatietoestand is dan te schrijven als de superpositie van twee basistoestanden. Eerder hebben we gezien hoe we de toestand van een foton bewegend langs de z-as kwantummechanisch schreven als: ψ = ψ 0 e iet h e ipzz h = ψ 0 e iωt e ikz (6.1) waarbij de E in de formule natuurlijk niet het veld, maar de energie van het foton is. Stel dit foton is lineair gepolariseerd langs de x-as. Dan moeten we aan (6.1) iets toevoegen. We doen dat hier even cryptisch. We voegen toe een zogenaamde ket-vector x. (Dit komt uit de Dirac- of bracket-notatie. Daar kennen we ook een bra-vector, bijvoorbeeld x ). Zo ontstaat voor ons foton, lineair gepolariseerd langs de x-as: ψ = ψ 0 e iωt e ikz x (6.) 83

94 Deze ket-vector x is geen golf. Immers, als je bijvoorbeeld x- en y-gepolariseerde velden bij elkaar optelt ontstaat een nieuwe polarisatie toestand (elliptisch gepolariseerd licht) en niet een vreemde interferentietoestand van polarisaties. Aan spin voegen we geen golf toe. Bekijken we systemen waarbij de impuls van het foton constant blijft, dan kunnen we de voorfactor uit (6.) weglaten. Kiezen we x en y als polarisatie basisvectoren dan wordt de toestand x van het foton uit figuur 6.3 na de polarisator geschreven als: x = cosθ x + sinθ y (6.3) De modulus in het kwadraat van de factor voor een basistoestand wordt geïnterpreteerd als de kans om bij meting die specifieke basistoestand te vinden. Dus de kans om een foton aan te treffen in de toestand x is gelijk aan cos θ = cos θ en de kans op y is gelijk aan sin θ. De som van de kansen moet uiteraard gelijk 1 zijn. Dat is hier het geval. Is dit niet het geval, dan moeten we het rechterlid van (6.3) vermenigvuldigen met een zogenaamde normeringsfactor. De meting aangaande de vraag of we te maken hebben met een x of y foton wordt in figuur 6.3 daadwerkelijk uitgevoerd door de analysator. Stel we vinden dat na de meting de nieuwe toestand van het foton gelijk x. Dit is de befaamde collapse van de golffunctie. We kunnen bij deze filtering het meetproces beschrijven met de basisvergelijking uit de kwantummechanica: de Schrödingervergelijking (SV). Het is zeer wel mogelijk om met behulp van de SV de interactie te beschrijven tussen een foton x en de moleculen van de analysator. In dit geval is de collapse van de golffunctie ogenschijnlijk geen geheimzinnige gebeurtenis. Het punt is dat de meetopstelling, wat we daar ook voor kiezen, gebaseerd is op de gedachte dat een x - foton eigenlijk een x - of een y -foton is. Stel dat de meting een x -foton oplevert, dan worden we eigenlijk bevestigd in het idee dat vóór de meting er al een x -foton was. Dat is zeer gevaarlijk om dat te zeggen, zo kunnen we her en der lezen, want als je niet meet of je meet wat anders (draai bijvoorbeeld de analysator een kwartslag), dan vind je wat anders. Akkoord, maar voor dat ene specifieke foton, bij die ene specifieke meetopstelling, dat na de meting de toestand x oplevert, mag ik dat toch wel zeggen? Dat is niet testbaar, is het volgende tegenargument. Daarin hebben ze gelijk, want om te controleren of we voor de meting een toestand x hebben, moeten we voor de analysator een meetapparaat neerzetten met alle gevolgen van dien. De meetopstelling uit figuur 6.3 vertoont EPR-achtige trekken. Je kunt zeggen: de analysator doet niets met een x -foton. Een x -foton wordt gewoon doorgelaten. Ook een berekening met de SV tussen x -foton en de moleculen van de analysator geeft geen nieuwe inzichten, omdat je een vertaalslag moet maken naar meetbare grootheden. Eén van de conclusies zal zijn: de kans dat een x -foton de ideale analysator passeert is 100%. In de vertaling naar een interpreteerbaar beeld heb ik vóór de meting reeds een x - of een y - foton. In dat beeld doet het ideale meetapparaat niets, het verandert de toestand x of y niet. Het geeft alleen maar uitsluitsel of je te maken hebt met een x - of een y -foton. Alleen al de aanwezigheid van het meetapparaat verandert de kwantummechanische uitdrukking x in de klassieke interpretatie: er is een x - of een y -foton aanwezig. Naar mijn overtuiging is de collapse geen fysisch proces. De aanwezigheid van meetapparatuur creëert randvoorwaarden. De collapse is niks anders dan het aanbrengen van extra randvoorwaarden. Hiermee is het verhaal natuurlijk niet ten einde. De volgende vraag is bijvoorbeeld: waarom werkt het zo in de kwantummechanica en niet in de klassieke mechanica of elektrodynamica? De meest bekende versie van de EPR-paradox is die van Bohm. Toegepast op fotonen luidt het verhaal als volgt. Een bron emitteert twee fotonen, die zich van elkaar verwijderen (zie figuur 6.7). Figuur 6.7: EPR-paradox, versie Bohm. 84

95 Door de wijze waarop de fotonen gecreëerd worden, moeten ze een gelijke circulaire polarisatie toestand hebben. Dit betekent dat als foton 1 een polarisatie heeft langs de x-as, is foton gepolariseerd langs de y-as. Net als bij het twee spleten experiment of de halfdoorlatende spiegel moeten we de toestand van het systeem beschrijven als een superpositie van twee basistoestanden. In formule ψ = i ( x 1 y + y 1 x ) (6.4) Als de doorlaat-as van polarisator A de x-as is en we meten met de detector daadwerkelijk dat foton 1 polarisator A gepasseerd is, dan zal volgens het projectie postulaat de nieuwe toestand gelijk zijn aan x 1 y, met andere woorden, foton heeft een y-polarisatie, hoewel foton niet beroerd wordt door enig meetinstrument. Meten we even later de polarisatie toestand van foton met polarisator B, dan blijkt inderdaad dat foton een y-polarisatie heeft. Aan dit soort opstellingen wordt daadwerkelijk gemeten, vooral met het doel het niet-lokale karakter van de kwantummechanica experimenteel te bevestigen. 85

96 Vraagstukken hoofdstuk 6 Het elektromagnetisch veld 6.1 In vacuüm zonder bronnen moet het EM-veld voldoen aan: E = 1 c E t (a) Leidt de dispersierelatie af uit de golfvergelijking. (b) Zal een EM-golftrein in de loop der tijd uitgesmeerd worden? (c) In de kwantum mechanica stelt men zich een deeltje, dus ook een foton, graag voor als een golfpakket van materiegolven. In het algemeen zal zo n golfpakket gaan dispergeren. Is dat in strijd met uw antwoord onder (b)? Zie vooral ook opgave De rustmassa m 0 van een foton is nul. 6. Toon aan, uitgaande van de formule (6.6) voor de Poyntingvector, dat voor de intensiteit van lineair gepolariseerd licht geschreven kan worden: S = ε 0 ce 6.3 Het elektrisch veld van een vlakke elektromagnetische golf in vacuüm wordt voorgesteld door E z = E x = 0 en E y = E 0 cos(ωt kx) waarin E 0 = 0,5V m 1 en v = Hz. (a) Bepaal de golflengte, de polarisatietoestand en de richting waarin de golf loopt. (b) Bereken de magnetisch inductie van de golf. (c) Bereken de gemiddelde intensiteit van de golf. 6.4 De formule B = ± E c geldt alleen voor lopende vlakken golven! (a) Gegeven de staande golf: E x (z,t) = Acosωt coskz. Toon aan dat het bijbehorende veld H gelijk is aan: H y = A sinωt sinkz µ 0 c (b) Maak een schets van de situatie op de tijden t = 0, T 8 en T Gegeven: S = c ε 0 E B (a) Toon aan dat I (ψ 1 + ψ ) voor twee vlakke lichtgolven ψ 1 en ψ, beide lopend naar rechts. (b) Toon aan dat I ( ψ 1 ψ ) voor twee vlakke lichtgolven ψ1 en ψ, waarbij ψ 1 naar rechts en ψ naar links loopt. Gepolariseerd licht en fotonen 6.6 Toon aan dat twee loodrecht op elkaar staande vlakken EM-golven met gelijke frequentie, ongelijke amplitude en een faseverschil van 0 of π, tezamen lineair gepolariseerd licht geven. 6.7 De volgende combinatie van golven geeft circulair gepolariseerd licht. ( E x = Acos(ωt kz) en E y = Acos ωt kz + π ) (a) Toon aan dat de grootte van het elektrisch veld in ieder punt z van de z-as, op ieder moment t, gelijk is aan A. 86

97 (b) Maak een schets van de ronddraaiende E-vector op de plaats z = 0 op verschillende tijdstippen. (c) Is dit RHC of LHC licht? (d) Bepaal de grootte van de bijbehorende magnetische inductie en geef in een schets zijn positie weer ten opzichte van de ronddraaiende E-vector. 6.8 De volgende combinatie van golven geeft circulair gepolariseerd licht. ( E x = Acos(ωt kz) en E y = Acos ωt kz π ) Is dit RHC of LHC licht? 6.9 Indien we het LHC licht zoals beschreven in opgave 6.7 en het RHC licht zoals weergegeven in opgave 6.8 combineren, wat voor soort licht ontstaat er dan? 6.10 Lineair gepolariseerd licht valt in op een polarisator, waarvan de doorlaatrichting een hoek θ maakt met het polarisatievlak van het licht. Zie figuur. Bepaal de intensiteit van het licht vóór en na de polarisator met behulp van formule (6.7) uit het dictaat. Bepaal ook hun verhouding Lineair gepolariseerd licht in het yz-vlak valt in op een polarisator-analysator combinatie. Zie voor de oriëntaties de figuur. (a) Bereken de verhouding tussen de intensiteit van het doorgelaten licht en het invallende licht. (b) Beschrijf wat er gebeurt met één invallend foton. 6.1 Beschrijf met formules het principe van de kwantumwisser bij detector D van figuur 6.6. uit het dictaat, aannemende dat de golven E 1 en E die bij D aankomen 180 uit fase zijn. 87

98 Antwoorden hoofdstuk 6 Het elektromagnetisch veld 6.3 (a) λ = 3m; Lineair gepolariseerd licht in de richting van de +x-as. 1 (b) B z = cos(ωt kx) [ V s m = Wb m ]. (c) S = 3, J m s 1. Gepolariseerd licht en fotonen 6.7 (c) LHC. 6.8 RHC. 6.9 lineair gepolariseerd licht I 1 = ε 0 ce, I = ε 0 ce cos θ en I I1 = cos θ 6.11 (a) I I0 = (b) Een foton heeft kans 1 4 om de polarisator te passeren; Een foton heeft kans 3 4 om de analysator te passeren; Een foton heeft kans = 3 16 om het stelsel te passeren. 88

99 Hoofdstuk 7 De oscillator 7.1 De harmonische oscillator Als voorbeeld van een harmonische oscillator beschouwen we een horizontaal opgestelde massa aan een veer. De veer is aan een vaste wand bevestigd. De massa beweegt wrijvingsloos over een volkomen gladde tafel (zie figuur 7.1). Figuur 7.1: Het massa-veer systeem als harmonische oscillator. Een oscillator noemen we harmonisch, wanneer de terugdrijvende kracht recht evenredig is met de uitwijking. In formule: F = bx (wet van Hooke) (7.1) met x de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand x = 0 en b de veerconstante of bindingssterkte. De bewegingsvergelijking wordt: of kortaf zodat bx = m d x dt (7.) d x dt + b m x = 0 ω 0 = b m d x dt + ω 0 x = 0 (7.4) de karakteristieke vergelijking wordt dan: λ + ω 0 = 0 λ = ±iω 0 met als oplossing: (7.3) x = a 1 e iω 0t + a e iω 0t (7.5) 89

100 met e iα = cosα + isinα is dit te schrijven als x = (a 1 + a )cosω 0 t + i(a 1 a )sinω 0 t kortaf a 1 + a = b 1 en i(a 1 a ) = b dit geeft: x = b 1 cosω o t + b sinω 0 t (7.6) In de wiskunde zijn b 1 en b onbepaalde complexe integratieconstanten. Dit is niet het geval in de fysica. In de fysica moet x reëel zijn. Substitutie van de beginvoorwaarden (bijvoorbeeld op t = 0 geldt x = 0 en v = v 0 ), leidt automatisch tot een reële b 1 en b. Daar hoeven we dus niet zelf aan te denken. We hebben hier niet te maken met de rekentruc, waarbij we bewust overgaan op de complexe schrijfwijze en we na afloop het reële deel nemen. In de fysica is (7.6) de oplossing van de bewegingsvergelijking (7.4) met b 1 en b reële constanten. We kunnen (7.6) ook anders schrijven. Dat gaat als volgt: ( x = b 1 cosω 0 t + b ) sinω 0 t b 1 Stel b b 1 = tanϕ = sinϕ cosϕ dan wordt: x = b 1 cosϕ (cosϕ cosω 0t sinϕ sinω 0 t) met x 0 = b 1 cosϕ wordt dit: x = x 0 cos(ω 0 t + ϕ) (7.7) Zo hebben we voor differentiaalvergelijking (7.4) drie oplossingen gevonden: 1. x = a 1 e iω 0t + a e iω 0t. x = b 1 cosω o t + b sinω 0 t 3. x = x 0 cos(ω 0 t + ϕ) De differentiaalvergelijking van het type (7.4) zijn we eerder tegengekomen bij de staande golven (vergelijking 5.7). Toen kozen we als oplossing de vorm, zie vergelijking (5.8). In de kwantummechanica zullen we type (7.4) ook vele malen tegen komen. Dan kiezen we voor oplossingsvorm 1. Hier bij de harmonische oscillator is het handig vorm 3 als oplossing te gebruiken. Dus we hebben voor de uitwijking x: x = x 0 cos(ω 0 t + ϕ) b x 0 noemen we amplitude en ω 0 = m noemen we eigenfrequentie of natuurlijke frequentie van de oscillator. ϕ heet de fase. De snelheid van de massa volgt uit (7.7): v = dx dt = x 0ω 0 sin(ω 0 t + ϕ) T = 1 mv = 1 mx 0ω 0 sin (ω 0 t + ϕ) (7.8) De potentiële energie volgt uit de definitie van potentiële energie. V = F x dx = bx dx = 1 bx + K 90

101 Kies V = 0 voor x = 0, dan is K = 0. V = 1 bx = 1 bx 0 cos (ω 0 t + ϕ) (7.9) De totale energie is dan: E = T +V = 1 mx 0ω 0 sin (ω 0 t + ϕ) + 1 bx 0 cos (ω 0 t + ϕ) = 1 mx 0ω 0 = 1 bx 0 (7.10) b waarbij gebruik gemaakt is van ω 0 = m. De totale energie is constant en evenredig met de amplitude in het kwadraat (zie figuur 7.). Figuur 7.: De potentiële en totale energie als functie van de uitwijking van een harmonische oscillator. 7. De aangedreven harmonische oscillator We gaan het massa-veer systeem aandrijven door de wand heen en weer te bewegen (zie figuur 7.3). Figuur 7.3: De aangedreven harmonische oscillator. De veer is uitgerekt over de afstand x z, zodat de terugdrijvende kracht gelijk is aan b(x z). Invullen in F = ma geeft b(x z) = m dx dt 91

102 ofwel m d x + bx = bz dt Neem voor z = z 0 cosωt m d x dt + bx = bz 0 cosωt Gebruik (7.3). Dit resulteerd in: d x dt + ω 0 x = ω 0 z 0 cosωt (7.11) Probeer als oplossing x = x 0 cosωt, dit geeft: ofwel ω x 0 cosωt + ω 0 x 0 cosωt = ω 0 z 0 cosωt ( ω + ω0 ) x0 = ω0 z 0 Dit levert: x 0 = ω 0 z 0 ω + ω 0 (7.1) De oplossing wordt: x = ω 0 z 0 ω + ω0 cosωt Voor ω < ω 0 is de amplitude positief: x = ω 0 z 0 ω0 cosωt ω (7.13) Voor ω > ω 0 wordt de amplitude negatief, maar een amplitude kiezen we nooit negatief, dus het minteken gaan we in de cosinusterm onderbrengen. ω > ω 0 x = ω 0 z 0 ω ω0 cos(ωt π) (7.14) Voor ω = ω 0 wordt voor het ongedempte systeem de amplitude oneindig groot. We spreken van amplitude resonantie en resonantiefrequentie ω 0. Voor de volledigheid is in figuur 7.4 ook de amplitude en fase weergegeven van een gedempte harmonische oscillator, die beschreven wordt door de bewegingsvergelijking m d x dt + k dx + bx = bz dt (7.15) In het algemeen kunnen we stellen dat amplitude resonantie optreedt, wanneer je aandrijft met een frequentie in de buurt van de eigenfrequentie van het systeem. 9

103 Figuur 7.4: Amplitude en fasekarakteristieken van de ongedempte en gedempte harmonische oscillator. 7.3 De kwantummechanische oscillator In 5.6 hadden we de eendimensionale Schrödingervergelijking afgeleid: i h ψ t = h ψ m x +V ψ (5.47) Passen we dit toe op een harmonische oscillator, dan moeten we voor V de potentiële energie invullen van de klassieke harmonische oscillator. Die kennen we. Er geldt: V = 1 bx = 1 mω 0 x b m want de eigenfrequentie ω 0 is gelijk aan Zo ontstaat de SV voor de harmonische oscillator. i h ψ t = h ψ m x + 1 mω 0 x ψ (7.16) We gaan deze vergelijking later oplossen. Op dit moment is van belang dat voor stationaire oplossingen dit leidt tot kwantisatie van de energie. ( E n = n + 1 ) hω 0 (7.17) Hierbij is n het zogenaamde vibratie kwantumgetal. Dus de energie van een harmonische oscillator is gekwantiseerd. Slechts discrete waarden van de energie kunnen voorkomen. Had Planck dat ook niet gezegd? Planck zei: E n = n hω 0. Die Planck was zo gek nog niet. Er is slechts een klein, maar opmerkelijk verschil. De kwantummechanica leert dat de energie van een harmonische oscillator niet nul kan zijn. Er is een minimale energie van 1 hω o. We noemen dit de nulpuntsenergie. Dus zelfs bij het absolute nulpunt heeft een vaste stof, op te vatten als een verzameling oscillerende moleculen, nog een zekere energie. 93

104 Voorts leert de kwantummechanica dat er alleen overgangen mogelijk zijn volgens de selectieregel n = ±1. Dit betekent dat de oscillator alleen een foton met energie hω o kan emitteren of absorberen. Nu is dit niet helemaal juist. Er is ook nog de onzekerheidsrelatie van Heisenberg E t h, die aanleiding geeft tot de natuurlijke lijnbreedte van een spectraallijn (zie 4.3). We mogen zeggen: indien je een oscillator aandrijft met een EM-veld met een frequentie in de buurt van de eigenfrequentie van de oscillator heb je een zeer grote kans op een kwantumsprong. De oscillator gedraagt zich in zeker zin als een aangedreven klassieke oscillator. In figuur 7.5 zijn de vibratie-energieniveaus weergegeven. We zien dat de afstand tussen de niveaus niet kleiner wordt met toenemend kwantumgetal. Figuur 7.5: De vibratie energie niveaus met emissie-overgangen van de harmonische oscillator. 7.4 Het vibratiespectrum van CO Als illustratie berekenen we het vibratiespectrum van CO. Het uitgangspunt is een klassiek systeem. We komen tot heel redelijke resultaten, wanneer we als uitgangspunt kiezen twee massa s verbonden door een veer. Er is natuurlijk geen veer, maar iets anders dat zich manifesteert als een soort veer. Figuur 7.6: Het klassieke uitgangspunt ter beschrijving van een vibrerend CO molecuul. Dit is een harmonische oscillator. De twee massa s oscilleren rond hun zwaartepunt. De eigenfrequentie ω o is gelijk aan b µ met µ de gereduceerde massa (zie Natuurkunde MW) 1 µ = 1 m m (7.18) Voor de energie geldt: ( E n = n + 1 ) hω 0 met n = 0, 1,, 3,... 94

105 met de selektieregel n = ±1 Dit betekent dat bij iedere overgang er altijd een foton vrijkomt of geabsorbeerd wordt met energie hω o. Hierbij is ω 0 de frequentie van het uitgezonden of geabsorbeerde licht. We zien dat alle overgangen slechts één emissie- of absorptielijn opleveren. Het zuivere vibratie-spectrum bestaat uit één lijn! Deze lijn ligt in het infrarood. In de praktijk komen we nimmer een zuiver vibratiespectrum tegen. Het molecuul roteert namelijk ook nog en de vibratie en rotatie zijn strikt genomen niet onafhankelijk van elkaar te beschouwen. Daardoor komt er door de wisselwerking tussen vibratie en rotatie niet één lijn voor de dag, maar een groepje van dicht bij elkaar gelegen lijnen, die men tezamen wel een band noemt. Op deze complicatie gaan we hier niet nader in. 7.5 Moleculaire vibraties We gaan kijken naar longitudinale oscillaties van lineaire moleculen. Hierbij doen we alsof tussen de atomen veertjes zitten. Er zijn natuurlijk geen veertjes, maar iets anders dat zich manifesteert als een soort veertjes. Voor twee deeltjes systemen hebben we geleerd (Natuurkunde MW) dat de massa s oscilleren rond hun zwaartepunt. x c = m 1x 1 + m x m 1 + m (7.19) waarbij x 1 en x de posities zijn van massa m 1 en m op de x-as. Voorts weten we dat we in alle formules uit 7.1 de massa m moeten vervangen door de gereduceerde massa µ, gedefinieerd als: 1 µ = 1 m m (7.0) Zodat de eigenfrequenties gelijk zijn aan: ω 0 = b µ (7.1) De amplituden verhouden zich omgekeerd evenredig met de massa. De grootste massa heeft de kleinste amplitude en omgekeerd. In formule: A 1 = m 1 (7.) m A De massa s zullen tegen elkaar in bewegen, zodat: ψ 1 = A 1 cos(ω 0 t) ψ = A cos(ω 0 t) (7.3) Hiermee is alles bekend en is er geen reden om deze formules op een andere wijze nog eens af te leiden, ware het niet dat de wijze waarop (7.18) tot en met (7.0) zijn afgeleid in Natuurkunde MW niet toepasbaar is bij lineaire moleculen met meer dan twee atomen. Daarvoor is een standaard techniek ontwikkeld, die we nu zullen bespreken. Om te laten zien hoe deze techniek werkt, beginnen we met een twee atomig molecuul. Dat moet dan bovenstaande formules opleveren. Vervolgens laten we zien hoe de techniek werkt bij een drie atomig molecuul. Voorbeeld 1. Vibratiemodes van CO Stel op F = ma voor iedere massa: { +b(ψ ψ 1 ) = m 1 d ψ 1 dt b(ψ ψ 1 ) = m d ψ dt (7.4) 95

106 Stel oplossing: ψ 1 = A 1 cosωt en ψ = A cosωt. Dit geeft: {( b + m1 ω ) A 1 + ba = 0 +ba 1 + ( b + m ω ) A = 0 (7.5) Dit stelsel vergelijkingen heeft een niet-triviale oplossing als: b + m 1ω b b b + m ω = 0 ( b + m 1 ω )( b + m ω ) b = 0 m 1 m ω b(m 1 + m ) = 0 ω = b(m 1 + m ) m 1 m Dit is gelijk b µ met µ = gereduceerde massa. Substitutie van ω in (7.3) en (7.4) geeft: A = m 1 m A 1. In tekening: Voor C = 1 en O = 16 wordt A = 3 4 A 1 Ter controle: Het zwaartepunt moet op zijn plaats blijven, dus: m 1 A 1 + m A = 0 Dit klopt dus. Voorbeeld. Vibratiemodes van CO Stel op F = ma voor iedere massa d b(ψ ψ 1 ) = m ψ 1 1 dt d b(ψ ψ 1 ) + b(ψ 3 ψ ) = m ψ dt d b(ψ 3 ψ ) = m ψ 3 1 dt (7.6) 96

107 Stel oplossing: ψ 1 = A 1 cos(ωt); ψ = A cos(ωt); ψ 3 = A 3 cos(ωt). Dit geeft: ( b + m1 ω ) A 1 + ba = 0 ba 1 + ( b + m ω ) A + ba 3 = 0 ba + ( b + m 1 ω ) A 3 = 0 (7.7) Dit stelsel heeft een niet-triviale oplossing als: b + m 1 ω b 0 b b + m ω b 0 b b + m 1 ω = 0 ω ( b + m 1 ω )( bm 1 bm + m 1 m ω ) = 0 ω 1 = b m 1 en ω = b(m 1 + m ) m 1 m Substitutie van ω 1 en ω in (7.6) geeft: voor mode 1 met ω 1 : A = 0 A 3 = A 1 voor mode met ω : A = m 1A 1 m A 3 = A 1 Ter controle: voor iedere mode moet gelden: m 1 A 1 + m A + m 1 A 3 = 0. Dit klopt dus. 97

108 Vraagstukken hoofdstuk 7 De ongedempte harmonische oscillator 7.1 Beschouw een horizontaal opgesteld massa-veer systeem. Het losse uiteinde van de veer is verbonden met een onbeweegbare wand. Het systeem is ongedempt. We trekken de massa van 10g twee centimeter uit zijn evenwichtsstand en laten daarna los. De massa gaat oscilleren met een frequentie v gelijk aan 1,5Hz (Hz = Hertz = s 1 ). (a) Bereken de bindingssterkte van de veer. (b) Bepaal de positie en snelheid van de massa 4 seconden na het loslaten. (c) Wat is de maximale snelheid van de massa? (d) Hoe groot is de totale energie van deze oscillator? 7. Een zuiver kristal kan opgevat worden als een rooster van atomen, die op gelijke afstand van elkaar liggen. De atomen hebben een massa van kg en voeren een eenvoudige harmonische beweging uit met frequentie Hz. Als de thermische energie van één atoom J is, bereken dan: (a) de amplitude van de trilling van elk atoom en (b) de maximale snelheid van elk atoom tijdens de trilling. 7.3 Stel de bewegingsvergelijking op voor een ongedempte slinger. Toon aan dat voor kleine uitwijkingen de slinger zich gedraagt als een harmonische oscillator. Wat is zijn eigen frequentie? 7.4 Toon aan dat de eigenfrequentie van een massaveer systeem, verticaal opgehangen in het zwaartekrachtsveld, gelijk is aan die van het horizontaal opgestelde systeem. Vergelijk ook de energie. 7.5 Beschouw een massa m opgespannen tussen twee identieke veren, die ieder verbonden zijn aan een vaste wand. Er is geen zwaartekracht. Een ontspannen veer heeft een lengte a o, een gespannen veer heeft in rust een lengte a. Zie figuur. Stel de bewegingsvergelijking op voor longitudinale oscillaties. Wat is de positie van de massa als functie van de tijd? 7.6 Beschouw het systeem uit opgave 7.5. Stel de bewegingsvergelijking op voor zeer kleine transversale oscillaties. Los de vergelijking op en vergelijk uw antwoord met dat van opgave Gegeven het systeem uit opgave 7.5. Leidt af dat voor een willekeurige oscillatie (dat wil zeggen zowel longitudinaal als transversaal) voor zeer kleine x en y de beweging gegeven wordt door x = x 0 cos(ω 0 t + ϕ 1 ) en y = y 0 cos(ω 0 t + ϕ ) met ω0 = b(1 a 0 a ) m. Wat voor soort baan beschrijft de massa? (Een afleiding voor de baan wordt niet gevraagd). 7.8 Beschouw een aangedreven, ongedempt harmonische oscillator. Bepaal T, V en E = T +V. Voor welke aandrijffrequentie ω is E maximaal? 98

109 De kwantumoscillator 7.9 Het infraroodspectrum van CO vertoont bij ongeveer 170cm 1 een band. Dit is het golfgetal σ. Bereken de bindingssterkte van CO. Gegeven: C = 1 en O = 16; 1 atomaire massaeenheid = 1 1 massa C1 = 1, kg Zoutzuur (HCl) is een twee-atomig molecuul. We kunnen dit molecuul opvatten als een harmonische oscillator, analoog aan twee massa s verbonden door een veer. De veer bestaat in het geval van HCl (ionenbinding) uit de elektrostatische aantrekking en een afstoting om te verhinderen dat de atomen elkaar te dicht naderen. De potentiële energie die hier bij hoort, wordt in benadering gegeven door: e V (r) = 4πε 0 r + a r 9 Met r de afstand tussen de massamiddelpunten van de atomen en a een constante. (a) Bepaal de onderlinge kracht tussen de atomen. Herkent u een deel van de kracht? Voor welke waarden van r is de kracht afstotend, of aantrekkend? Gegeven: F = V (b) Maak een schets van de potentiële energie V (r) uitgezet tegen de afstand r. (c) Bereken de afstand r 0 tussen de twee atomen in de evenwichtssituatie als de dissociatieenergie van HCl in ionen 4,43eV is. (d) Het systeem kan rond het evenwichtspunt r o oscilleren. Toon aan dat voor kleine uitwijkingen de oscillatie harmonisch is met een veerconstante gelijk aan ( d ) V dr r 0 Ontwikkel daartoe de potentiële energie in een reeks rond het evenwichtspunt. Gegeven: Taylorreeks: f (r 0 + h) = f (r 0 ) + 1 ( ) d f h + 1 ( d ) f 1! dr r 0! dr h + r 0 (e) Bepaal de eigenfrequentie van HCl in eerste benadering als de massa s. Gegeven: m H = 1, kg; m Cl = 5, kg. (f) Teken in uw schets van onderdeel b. de totale energie van het molecuul, indien het een oscillatie uitvoert. (g) Bepaal de verhouding tussen de amplitude van Cl en H. (h) Kwantiseer dit model door aan uw grafiek van onderdeel b de vibratie energieniveaus toe te voegen. Bereken ook de golflengte van het vibratie spectrum. Wat voor soort licht is dit? De starre rotor 7.11 Het twee atomige roterende molecuul. Het meest simpele model van een twee-atomig roterend molecuul is de starre rotor, dat wil zeggen twee bolletjes onderling verbonden door een massaloze stijve stang. In dit model hebben de deeltjes geen onderlinge wisselwerking. Het kost geen enkele moeite de atomen vanuit het oneindige dichter bij elkaar te brengen. Het systeem bezit dus geen potentiële energie. De rotatie-energie is uitsluitend kinetische energie. De kwantummechanica leert dat de rotatieenergie gekwantiseerd is volgens: T = h 8π l(l + 1) met l = 0, 1,, 3,... J J is het totale traagheidsmoment. 99

110 (a) Toon aan dat het impulsmoment gelijk is aan L = h l(l + 1). (b) Het molecuul kan energie opnemen of afgeven volgens de selectieregel l = ±1. Bepaal de hoeveelheid energie die vrijkomt bij een overgang van l + 1 naar l. (c) Absorptie of emissie van energie gaat in de vorm van een foton met energie hv; v = frequentie van de straling. Stel een uitdrukking op voor de frequenties van de geëmitteerde straling. (d) In de spectroscopie werkt men vaak met het golfgetal σ in plaats van de frequentie v. Het golfgetal is gedefinieerd als σ = 1 λ = v c, met λ = golflengte en c = eindsnelheid. Stel een uitdrukking op voor de golfgetallen van de geëmitteerde straling. Toon aan dat in het spectrum de emissielijnen op gelijke afstand van elkaar liggen. (e) Als praktijkvoorbeeld kijken we naar het rotatiespectrum van CO. Bepaal eerst van dit molecuul de gereduceerde massa. Gegeven: 1 atomaire massa-eenheid = 1 1 massa C1 = 1, kg; C = 1 en O = 16. (f) Uit metingen aan CO blijkt dat het molecuul een equidistant lijnenspectrum heeft in het verinfrarood. Enkele lijnen: σ = 19,, 3,065, 6,907 en 30,748cm 1. Bereken de gemiddelde afstand tussen de lijnen. (g) Maak een schatting van de onderlinge afstand tussen het C- en het O-atoom. (h) Bepaal voor ieder van de gegeven emissielijnen het bijbehorende kwantumgetal l. Het zal blijken dat l niet echt geheeltallig is, maar daar op een systematische wijze van afwijkt. Wat is hiervan de oorzaak? (i) Stel de SV op in bolcoördinaten van een starre rotor. Moleculaire vibraties 7.1 Bepaal de vibratiemode van NO; N = 14; O = Bepaal de vibratiemodes van N O; N = 14; O =

111 Antwoorden hoofdstuk 7 De ongedempte harmonische oscillator 7.1 (a) b = 0,888N m 1. (b) x(4) = cm, v(4) = 0cm s 1. (c) v max = 18,8 10 m s 1. (d) V + T = 1, J. 7. (a) x 0 =, m. (b) v max = 547m s (b) ω 0 = g l. 7.5 x = x 0 cos(ω 0 t + ϕ) met ω 0 = 7.6 y = y 0 cos(ω 1 t + ϕ) met ω 1 = 7.7 Een ellips. 7.8 Voor de kinetische energie: ω4 0 z 0 ω T = 1 m ( ω 0 ω ) sin ωt; Voor de potentiëele energie: en V = 1 b ω 4 0 z 0 ( ω 0 ω ) cos ωt; b m. b(1 a 0 a ) m. T +V = 1 m ω0 4z [ 0 ( ω 0 ω ) ω 0 cos ωt + ω sin ωt ] ; resonantie voor ω = ω 0. De kwantumoscillator 7.9 b = 1, N m (a) F = e 4πε 0 r + 9a r 10 ; de eerste term is de aantrekkende Coulombkracht; (b) evenwicht voor r 0 = [ 36πaε0 e ] 1 8 wanneer r > r 0 is er aantrekking; wanneer r < r o is er afstoting. 101

112 (c) r 0 =,9Å. (d) ω =, rad s 1. (g) x Cl x H = 0,03. (h) Een band rond λ = 8767nm in het infrarood. De starre rotor 7.11 (b) T = h (l+1) 4π J. (c) v = h (l+1) 4π J. (d) σ = h (l+1) en σ = h 4π cj (e) µ = 11, kg. (f) σ = 3,84 10 m 1. (g) r = 1,13Å. 4π cj. (h) l = 3,99, 4,990, 5,988, en 6,985. (i). i h ψ t [ = h 1 mr sinθ ( sinθ ψ ) + 1 θ θ sin θ ] ψ ϕ met ψ = ψ(ϕ,θ,t) Moleculaire vibraties 7.1 ω = b µ y met µ = 7,47 atomaire massa-eenheden; A = 0,875A ω 1 = 0,1b, A = 1,9A 1 en A 3 = 0,8A 1. ω = 0,07b, A = 0,06A 1 en A 3 = 0,93A 1. 10

113 Hoofdstuk 8 De dipooloscillator 8.1 Het veld van de dipooloscillator In het vacuüm zonder bronnen moet het elektromagnetisch veld voldoen aan de klassieke golfvergelijking, zie 6.1. Het vacuüm zonder bronnen gedraagt zich als een homogene snaar. Bij de snaar hebben we ons niet druk gemaakt om de koppeling tussen bron en golven in de snaar. Bij de aanwezigheid van een trillingsmachine konden we op elementaire wijze afleiden tot welke golven dit leidde in het medium, zie 1.3. Dit gaat niet zo eenvoudig bij het elektromagnetisch veld. De oorsprong van elektromagnetische golven is een versneld bewegende lading, dus de lading verplaatst zich in het medium, waarin het golven opwekt. Met andere woorden: de bron staat niet stil, zoals bij de snaar. Erger nog: de versnelde beweging van de lading zelf is de bron. De lading moet versneld bewegen, want anders is er geen bron. De koppeling tussen een bewegende lading en het bijbehorende veld is buitengewoon gecompliceerd. Maar er is wel een benadering mogelijk. Wanneer de beweging van de lading langzaam en geleidelijk verloopt en de verplaatsing klein is, dan zal op grote afstand van de lading, het lijken alsof de bron min of meer stilstaat. In dat geval wordt het elektrisch veld E θ (t) in een punt P gegeven door de formule: E θ (t) = q 4πε 0 rc a θ ( t r ) c Zie figuur 8.1 voor de interpretatie van deze formule. (8.1) Figuur 8.1: Het veld van een versneld bewegende lading. Getekend is de baan van een puntlading q. Op het moment t r c bevind q zich in A, op moment t zit q op de plaats B. Hoewel in de figuur de afstand AP aangeduid wordt met r, wordt met r in de formule eigenlijk bedoeld de effectieve of gemiddelde afstand van de baan van q tot het punt P. Omdat de verplaatsing van q klein is (AB is klein) en omdat P zeer ver verwijderd is, geldt AP BP r. Met a θ wordt bedoeld de component van de versnelling a van de puntlading q, loodrecht op AP. Omdat een verstoring van het elektrische veld zich met eindige snelheid c voortplant, duurt het enige tijd alvorens het veld van q bij P is aangekomen. Daarom wordt het veld in P op moment t bepaald door de versnelling a θ van q op moment t r c. Vanwege 103

114 ( het minteken in de formule is de richting van E θ (t) tegengesteld aan die van a θ t r c). Merk op dat een stilstaande lading volgens deze formule geen veld om zich heen heeft. Dat is niet in strijd met de wet van Coulomb, omdat de formule een benadering is en alleen maar het veld beschrijft dat evenredig is met 1 r. Alle andere velden evenredig met 1 worden in de formule verwaarloosd onder het motto: die zijn praktisch nul r vergeleken met het 1 r veld. Een elementaire afleiding van formule (8.1) is niet mogelijk, maar we kunnen wel proberen de oorsprong van de vergelijking aanschouwelijk te maken (zie figuur 8.). Stel we hebben een stilstaande lading q in punt A. Figuur 8.: Een lading verplaatst zich zeer snel van A naar B. Rond A bevindt zich dan een radiaal Coulombveld E A. Vervolgens verplaatsen we q van A naar B en zetten daar de lading weer stil. Rond B bevindt zich dan eveneens een radiaal Coulombveld E B. Ten gevolge van het verplaatsen van de lading van A naar B moet het oude veld E A in de loop der tijd omgezet worden in het nieuwe veld E B. Daarvoor is nodig een extra veld E θ. Het veld E θ is een soort correctieveld dat met de lichtsnelheid op pad gaat en overal waar het aankomt, het oude veld E A omzet in het nieuwe veld E B. We zien dat E θ kleiner is, naarmate r groter is. Eveneens is uit de figuur af te lezen dat het correctieveld evenredig is met sinθ dus met de projectie van AB loodrecht op r. Tot slot is af te lezen dat de richting van E θ tegengesteld is aan de geprojecteerde verplaatsingsrichting van A naar B. Meer mag men uit de figuur niet aflezen. Er mag zeker niet aan gerekend worden. Het is slechts een hulpmiddel dat alleen maar correct is, in zoverre het niet strijdig is met formule (8.1). We gaan de formule toepassen op een oscillerende lading q (zie figuur 8.3). Figuur 8.3: Een oscillerende lading met veld. Stel de lading oscilleert langs de x-as volgens x = x 0 cosωt, dan is de versnelling gelijk aan ω x 0 cosωt. 104

115 De versnelling op moment t r c is dan ω x 0 cosω(t r c ). De projectie van a loodrecht op de r-as geeft een extra factor sinθ. Aldus: E θ (t) = qx 0ω (t 4πε 0 rc sinθ cosω r ) (8.) c Voer in het golfgetal volgens c = ω k. E θ (t) = qx 0ω sinθ cos(ωt kr) (8.3) 4πε 0 rc Definieer een dipoolmoment p volgens: p = qx (8.4) dus Dit levert p = qx 0 cosωt = p 0 cosωt met p 0 = qx 0 (8.5) E θ (t) = p 0 sinθ 4πε 0 r ( ω c ) cos(ωt kr) (8.6) We zien hoe vanuit de oorsprong een soort geretardeerde bolgolf cos(ωt k r ) r zich uitbreidt over de ruimte, alleen deze bolgolf is niet bol-symmetrisch. De amplitude van E θ is evenredig met sinθ. Voor θ = 0 is E θ ook nul. De oscillator straalt niet in de richting van zijn verplaatsing. Een wisselend E-veld is nooit alleen. Hij is altijd vergezeld van een wisselend B-veld volgens: B θ (t) = E θ (t) c = p 0 sinθ ( ω ) cos(ωt kr) (8.7) 4πε 0 rc c B θ staat loodrecht op E θ zodanig dat draaien van E θ naar B θ over de kleinste hoek de voortplantingsrichting oplevert, dit is de +r-as. 8. De energiestroom van de dipooloscillator Geponeerd was dat de energiestroom per oppervlakte eenheid gelijk is aan: S = c ε 0 E B Poynting vector (6.6) Voor lineair gepolariseerd licht gaat dit over in: S = cε 0 E (6.7) Een versneld bewegende lading heeft per richting lineair gepolariseerd licht. We gaan de totale hoeveelheid uitgezonden energie per seconde berekenen. Daartoe beschouwen we op grote afstand van de lading een boloppervlak en rekenen uit de energiestroom door die bol (zie figuur 8.4). De door de gearceerde band uitgezonden energie is gelijk aan: cε 0 E θ (opp. band) = cε 0 E θ πr sinθ dθ De totale energiestroom P = cε 0 π θ=0 E θ πr sinθ dθ Substitutie van (8.1) met verwaarlozing van het retardatie effect geeft: P = cε 0 π 0 q a sin θ 16π ε0 r c 4 πr sinθ dθ = q a π 8πε 0 c 3 sin 3 θ dθ 0 105

116 Figuur 8.4: Bij de berekening van de energiestroom door een bol. met π 0 levert dit sin 3 θ dθ = π 0 ( 1 cos θ ) d(cosθ) = 4 3 P = q a 6πε 0 c 3 (8.8) Relatie (8.8) staat bekend als de formule van Lamor. Voor de elektrische dipooloscillator, oscillerend volgens x = x 0 cosωt, hebben we a = x 0 ω cosωt, zodat P = q x 0 ω4 cos ωt 6πε 0 c 3 (8.9) Gemiddeld in de tijd wordt dit: P = q x 0 ω4 1πε 0 c 3 (8.10) De oscillator verliest energie. De alhier berekende energiestroom geldt voor de situatie dat de amplitude x o van de lading q constant blijft. Blijkbaar hebben we hier te maken met een oscillator van het type: aangedreven en gedempt, zie 7.. Uiteraard is er aandrijving, want een lading q gaat niet uit zichzelf oscilleren. Een mogelijke aandrijving is een extern wisselend E-veld. Plaats de lading in een oscillerend E-veld, dan zal de lading gaan bewegen in het ritme van dat externe E-veld. Uiteraard is er demping, hoe kan er anders energie verloren gaan? 8.3 Verstrooiing Wanneer licht op een verzameling moleculen valt, kunnen er drie dingen gebeuren. 1. Het licht wordt geabsorbeerd. De EM-energie wordt omgezet in moleculaire warmtebeweging.. Het licht wordt geabsorbeerd en met dezelfde frequentie weer uitgezonden. 3. Het licht wordt geabsorbeerd en opnieuw uitgezonden als zichtbaar licht met lagere frequentie als het aangeboden licht. Dit noemen we fluorescentie. Vrijwel alle interacties tussen licht en materie kunnen verklaard worden door de atomen of moleculen op te vatten als kleine oscillatoren. Dit geldt zowel in de klassieke fysica als in de kwantum fysica. Een voorbeeld van het onder. genoemde effect is verstrooiing, dat kan optreden bij een stof in de gasvormige fase. Het aangeboden licht wordt geabsorbeerd en daarna in alle richtingen weer uitgezonden. 106

117 Figuur 8.5: Verstrooiing. We nemen aan dat het atoom zich enerzijds gedraagt als een elektrische dipooloscillator, waarvoor we hadden afgeleid, P = q x 0 ω4 1πε 0 c 3 (8.11) en anderzijds als een aangedreven gedempte harmonische oscillator. In de praktijk is de demping verwaarloosbaar, zodat we voor de amplitude x 0 kunnen schrijven: x 0 = ω 0 z 0 ω 0 ω (7.1) Voor het massa-veer systeem is bz 0 de amplitude F 0 van de aandrijvende kracht en ω0 = b m, zodat ω 0 z 0 te schrijven is als F 0 m. Alhier is de aandrijvende kracht gelijk qe(t) met amplitude qe 0. We moeten in (7.1) ω0 z 0 vervangen door qe 0 m. Substitutie van (7.1) in (8.11), geeft P = q 4 E0 ω 4 1πε 0 m c 3 ( ω 0 ω ) (8.1) Het vermogen van het verstrooide licht is afhankelijk van de aandrijffrequentie ω. Luchtmoleculen hebben een eigenfrequentie ω o die veel groter is dan de frequenties van het zichtbare licht. Het door luchtmoleculen verstrooide zonlicht heeft dan een intensiteit evenredig met ω 4 of met λ 4. Voor de verhouding van de intensiteit van verstrooid rood licht en verstrooid blauw licht kunnen we schrijven: P r P b = [ λb λ r ] 4 = [ ] 4 = 1 4,4 (8.13) Dus het blauwe licht wordt ongeveer 4 maal zo sterk verstrooid als het rode licht. Dit is de reden waarom de lucht blauw is, zolang we niet tegen de zon inkijken. Kijken we tegen de zon in, dan zien we het oorspronkelijke zonlicht (dit is wit), waar vooral de blauwe component uitgehaald is, zodat de zon wat geel lijkt. Staat de zon zeer laag, bij zonsopgang of zonsondergang, dan moet het zonlicht een relatief dikke laag van de atmosfeer doorlopen alvorens het aardoppervlak bereikt is, waardoor zeer veel blauw licht verstrooid wordt en de zon rood lijkt. We noemen deze vorm van verstrooiing Rayleighverstrooiing. 8.4 Elektrische dipoolovergangen In 8. werd één trillende lading een elektrische dipooloscillator genoemd. Dat is een wat merkwaardige naam, omdat we maar één lading hebben. Een echte elektrische dipool bestaat uit een positieve en negatieve lading op korte afstand van elkaar. Drijven we zo n echte dipooloscillator aan met een elektrisch veld, dan zullen de oscillaties van de positieve en negatieve lading met elkaar uit fase zijn. Het door de trillende ladingen gegenereerde veld zal op grote afstand hetzelfde karakter hebben als het veld van één enkele oscillerende lading. Vandaar de naam dipoolveld ook als we maar één lading hebben. We maken onderscheid tussen het dynamisch dipoolmoment p = qx met x de uitwijking van de oscillerende lading en het permanente dipoolmoment. Dit laatste is voor een verzameling puntladingen q i gedefinieerd als p = q i r i (8.14) 107

118 Figuur 8.6: Een echte elektrische dipooloscillator met veld. met r i de afstand van een zelf te kiezen oorsprong tot een stilstaande puntlading q i. Zo heeft de dipool uit figuur 8.6 een permanent elektrisch dipoolmoment gelijk aan p = q a, waarbij a een vector is wijzend van de negatieve naar de positieve lading. De lengte a van de vector is gelijk aan de onderlinge afstand tussen de ladingen. Een voorbeeld van een molecuul met een permanent dipoolmoment is HCl. Ten gevolge van de ionbinding H + Cl is er een zekere permanente ladingverdeling met een dipoolkarakter. Een molecuul hoeft niet noodzakelijkerwijs lineair te zijn om een permanent dipoolmoment te bezitten. Andere voorbeelden van moleculen met een permanent dipoolmoment zijn H O en NH 3. Is de atomaire bouw van het molecuul symmetrisch, dan bezit het geen permanent dipoolmoment, bijvoorbeeld O of CO. Het lineaire molecuul CO kan volgens de wetten van de mechanica, dus F = ma en CO is een massa-veermassa-veer-massa systeem, op drie onafhankelijke manieren oscilleren, ieder met een eigenfrequentie. We noemen dat modes (zie figuur 8.7) Figuur 8.7: De vibratiemodes van CO. Berekenen we het stralingsveld van vibratiemode ω 1, dan vinden we netto het nulveld. Wanneer het CO molecuul op de één of andere manier, bijvoorbeeld door botsingen, is aangeslagen en oscilleert volgens vibratiemode ω 1, dan kan CO niet terugkeren naar de grondtoestand onder uitzending van een foton en omgekeerd is het niet mogelijk door instraling van een EM-veld, ook al heeft het de juiste resonantiefrequentie ω 1 het molecuul CO in die vibratietoestand te krijgen. Vibratiemode ω 1 koppelt niet met een EM-wisselveld. We zien hier de oorsprong van de selectieregels in de kwantummechanica. Het centrale idee is dat het totale dipoolmoment bij een oscillatie niet nul mag zijn, opdat een kwantum sprong kan optreden. Dit idee geldt niet alleen ten aanzien van het vibratiespectrum, maar ook voor het rotatiespectrum en het spectrum behorende bij elektronovergangen. Het is toegestaan bij een kwantumsprong van een elektron te denken aan een oscillator, die even in trilling gebracht wordt. Ter herinnering: zo n trilling duurt ongeveer seconden en resulteert in golftaal in een golftreintje met een lengte van ongeveer 3 meter. In de kwantummechanica wordt voor een elektron met lading q in een eendimensionaal systeem het dipoolmoment gedefinieerd als q ϕmxϕ n dx (8.15) Hierbij zijn ψ m en ψ n de oplossingen van de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking, corresponderende met eigenwaarden E m en E n van de energie. Het matrixelement x mn = m x n = ϕmxϕ n dx (8.16) 108

119 kunnen we interpreteren als de gemiddelde positie van het elektron bij een overgang van E m naar E n. Is die gemiddelde positie gelijk aan nul, dan hebben we blijkbaar te maken met een soort oscillator, waarvan het stralingsveld netto gelijk nul is, analoog aan de vibratiemode ω 1 van CO. Dus het idee achter de berekening van die matrixelementen x mn is deze. Stel dat het systeem oscilleert, wat is dan het dipoolmoment gedurende die oscillatie? Is dat nul (dus x mn = 0), dan is zo n oscillatie blijkbaar niet mogelijk door koppeling met een EM-veld en derhalve verboden. Berekening van x mn voor alle m en n leidt tot de selectieregels voor elektrische dipoolovergangen. In de QED (kwantum elektrodynamica) wordt afgeleid dat de overgangswaarschijnlijkheid van een toestand m naar een toestand n onder emissie of absorptie van elektrische dipoolstraling met energie hω = W m W n gegeven wordt door T mn = e ω 3 3πε 0 hc 3 x mn (8.17) Het gemiddeld uitgezonden vermogen is dan gelijk aan P = hωt mn = e ω 4 3πε 0 c 3 x mn (8.18) Vergelijken we dit met de klassieke dipooloscillator, in het bijzonder met formule (8.11) uit 8.3, dan komen we tot de gevolgtrekking, dat het elektron zich tijdens de overgang als een elektrische dipool gedraagt, met frequentie ω en amplitude x mn. 8.5 De oude kwantummechanica We pikken nu de draad van de geschiedenis weer op, die we in 3.3 verlaten hadden, toen De Broglie in 191 zei: p = h λ. Van meet af aan was alle inspanning gericht op de ontwikkeling van een atoommodel. Alle discussies over twee spleten experimenten en het meetproces zijn van latere datum en duren voort tot op de huidige dag. De uitspraak van De Broglie bleek bijzonder nuttig te zijn om het eerste primitieve model van het waterstofatoom te onderbouwen. Dit primitieve model en de gedachtewereld die daar achter zit, staat bekend als de oude kwantummechanica. Deze werd ontwikkeld door Bohr. Dit atoommodel van Bohr is incorrect. Het juiste model ontstaat door uitwerking van de Schrödingervergelijking, die we in een volgend hoofdstuk zullen behandelen. Toch geeft het atoommodel van Bohr een redelijk inzicht in de bouw van het H-atoom. Het model is bovendien zeer simpel en illustreert een aantal problemen, wanneer je kwantumfysica confronteert met klassieke fysica. Figuur 8.8: Het H-atoom: een elektron draaiend rond een kern. Het uitgangspunt van het H-atoommodel van Bohr is een elektron draaiend rond een kern (zie figuur 8.8). Bohr stelde de eis dat één cirkelgang van het elektron in golftaal overeenkwam met een geheel aantal maal n de De Broglie golflengte van het elektron. In formule: πr = nλ (8.19) 109

120 Met behulp van (3.4) geeft dit: πr = n h p pr = n h π = n h Omdat het om een circelvormige baan gaat is het impulsmoment (draai-impuls) L = r p gelijk aan rp. Dus de eis kwam neer op: L = rp = n h met n = 1,,3,... (8.0) Het impulsmoment is gekwantiseerd. Bohr stelde vervolgens dat voor een cirkelbeweging de aantrekkende kracht (de Coulombkracht) gelijk moet zijn aan de centripetale kracht, dus: 1 e 4πε 0 r = m ev r (8.1) Met de kwantisatie eis rp = rm e v = n h = nh π volgt door eliminatie van v de straal van een elektronbaan. r = ε 0n h πm e e (8.) komt dit voor de grondtoestand (n = 1) overeen met r = 0, m. We noemen dit de straal van Bohr. Dit geeft ons een idee van de grootte van het H-atoom. Voor de snelheid geldt: v = n h m e r = e ε 0 nh (8.3) Voor de grondtoestand komt dat overeen met v =, 10 6 m s 1. Dit is een aanzienlijke snelheid, maar ongeveer honderd maal zo klein als de lichtsnelheid ( m s 1 ), zodat de boven gehanteerde nietrelativistische aanpak verantwoord is. De totale energie van het atoom is gelijk aan: E = T +V = 1 m ev e 4πε 0 r = 1 ( ) e ( m e e πme e ) ε 0 nh 4πε 0 ε 0 n h = m ee 4 8ε0 n h m ee 4 4ε0 n h = m ee 4 8ε 0 n h (8.4) Voor de grondtoestand is dit gelijk aan E =, J, wat gelijk is aan 13,6eV. Dit impliceert dat de ionisatie energie van het H-atoom minimaal 13,6 ev moet zijn, hetgeen in overeenstemming is met het experiment. Voorts stelde Bohr dat het atoom kan overgaan van de ene toestand n naar de andere n onder emissie of absorptie van een foton. Energetisch wordt dit proces weergegeven in de formule van Bohr: E n E n = hν (8.5) Een en ander wordt vaak weergegeven in een energie- of termdiagram (zie figuur 8.9). We zien dat bij toenemend kwantumgetal de afstand tussen de energieniveaus steeds kleiner wordt. Bij grote kwantumgetallen is die afstand zo klein dat je vrijwel kunt spreken van een continue overgang van het ene niveau naar het andere. Dit komen we ook tegen in de klassieke fysica. De klassieke fysica kent geen discrete kwantumsprongen. Daarom kun je in sommige boeken de uitspraak tegenkomen dat voor grote kwantumgetallen de kwantummechanica over gaat in klassieke fysica. 110

121 Figuur 8.9: Termdiagram met emissie-overgangen. Een ander punt is, dat in de klassieke elektrodynamica een versneld bewegende lading elektromagnetische straling uitzendt en daardoor energie verliest. Toegepast op het elektron, cirkelend rond de kern, zou dit betekenen dat het elektron in zeer korte tijd ( s) volgens een spiraalbaan op de kern zou ploffen. Bohr was zich van dit probleem bewust en stelde als oplossing dat dit gewoon niet gebeurt. We onderscheiden verschillende series spectraallijnen. Daartoe schrijven we met ν = c λ vergelijking (8.5) als: 1 λ = 1 hc ( E n + E n) = m ee 4 ( 1 8ε0 h3 c n 1 ) n We voeren in de Rydberg constante: R = m ee 4 8ε 0 h3 c (8.6) (8.7) Invullen van de getallen die boven staan onder (8.), geeft R = 1, m 1. De numerieke waarde van de Rydberg constante was uit spectroscopische metingen reeds bekend, lang voordat Bohr met zijn atoommodel kwam. De theoretische verklaring van dit getal met (8.7) was de triomf van het atoommodel van Bohr. We schrijven (8.6) als 1 λ = R ( 1 n 1 n ) (8.8) Door verschillende waarden voor n te nemen ontstaan de verschillende series spectraallijnen. Ze zijn genoemd naar hun ontdekker. Lynman series n = 1 n =,3,4,... ultraviolet Balmer series n = n = 3,4,5,... zichtbaar licht Paschen series n = 3 n = 4,5,6,... infrarood Brackett series n = 4 n = 5,6,7,... infrarood Pfund series n = 5 n = 6,7,8,... infrarood Het was de Zwitser Balmer, die in 1885 als eerste het regelmatige patroon in de spectraallijnen in het zichtbare gebied ontdekte. De formule voor de Balmer series staat dan ook bekend als de formule van Balmer. 111

122 De waarde van de ionisatie energie en de Rydberg constante, zoals berekend met (8.4) en (8.7) blijken 0,1% van de gemeten waarden af te wijken. We komen tot een perfecte overeenkomst, indien we het H-atoom opvatten als een twee deeltjes systeem, waarbij de kern (= proton) en het elektron om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien. Deze correctie is eenvoudig aan te brengen door de massa in (8.4) en (8.6) te vervangen door de gereduceerde massa. Het atoommodel van Bohr blijkt ook op correcte wijze andere atomen met één elektron te beschrijven. Bijvoorbeeld enkelvoudig geïoniseerd helium (He + ), dubbel geïoniseerd lithium (Li + ), enzovoort. We noemen dergelijke atomen waterstofachtige atomen. De kernlading is dan Ze, met Z het atoomnummer, dit is het aantal protonen. Uitbreiding naar atomen met meer dan één elektron gaat niet. Dan schiet het model tekort. Er zijn meerdere mankementen. In de grondtoestand zou volgens Bohr het H-atoom een magnetisch moment moeten hebben. Dit blijkt in de praktijk niet het geval te zijn. In de praktijk is het H-atoom in de grondtoestand elektrisch en magnetisch neutraal en is het bolsymmetrisch. Een ander bezwaar is dat het model niet vertelt wat er met het elektron gebeurt tijdens een overgang van het ene energieniveau naar het andere. Wij kunnen met de klassieke elektrodynamische formules uit de vorige paragrafen proberen een relatie te leggen tussen de frequentie van het uitgezonden licht en de hoeksnelheid van het elektron. Het zal blijken dat dit in het algemeen niet goed werkt. Dit semi-klassieke model, dit miniatuur zonnestelsel, bleek uiteindelijk niet goed te functioneren. Een radicaal andere aanpak is nodig. Het idee van het miniatuur zonnestelsel moeten we overboord gooien. 11

123 Vraagstukken hoofdstuk 8 Verstrooiing 8.1 (a) Een watermolecuul absorbeert zonlicht en zal diezelfde hoeveelheid licht (zonder wijziging in de golflengte) in gelijke mate naar alle kanten, uitzenden. Dit heet verstrooiing. Bij dit onderdeel a. van de opgave mag u aannemen dat de watermoleculen geen onderscheid maken in de absorptie en emissie van het licht in relatie tot de golflengte. Leg uit waarom op een zomerse dag de wolken zo helder wit zijn, maar zuivere waterdamp (zonder druppels) niet eens te zien is. Bereken de gemiddelde grootte van een waterdruppel in een wolk, als we voor de gemiddelde golflengte van wit licht 500nm nemen. (b) In werkelijkheid maakt een watermolecuul wel onderscheid in de absorptie (en dus ook emissie, want absorptie = emissie) van zonlicht in relatie tot de golflengte. Het geabsorbeerd vermogen P van licht met een golflengte λ, is omgekeerd evenredig met λ 4. Dus P 1. λ 4 De golflengte van het zichtbare zonlicht loopt van 450nm (blauw) tot 650nm (rood). Leg opnieuw uit waarom op een zomerse dag de wolken helder wit zijn en niet helder blauw. Oude kwantummechanica 8. (a) In 1913 formuleert Bohr twee hypothesen ter beschrijving van het H-atoom. 1. De energie van het atoom is gekwantiseerd volgens: E n = h Rc n (n = 1,,3,...) met R = constante van Rydberg; h = constante van Planck; c = lichtsnelheid.. Het atoom kan van het ene naar het andere energieniveau springen onder uitzending van een foton (EM-straling) met frequentie ν Q, volgens: E n+1 E n = hν Q Toon aan dat voor zeer grote n geldt: ν Q = Rc n 3 = ( En ) 3 Rh 3 c (b) Klassiek gezien bestaat het H-atoom uit een kern, waar een elektron (lading e) omheen draait. Voor deze opgave mag u aannemen dat de kern stilstaat en het elektron een cirkelbaan beschrijft. Een rotatie is een versnelde beweging en daarom zal het roterende elektron volgens de wetten van de klassieke elektrodynamica elektromagnetische straling uitzenden. De frequentie ν kl van de straling is daarbij gelijk aan de omloopfrequentie van het elektron (dus het aantal rondjes dat het elektron per seconde maakt). Toon aan: ν kl = 4ε 0 e ( E) 3 m e Hierbij is E de klassieke uitdrukking voor de totale energie van het elektron. Gegeven: Coulombkracht: F C = 1 q 1 q 4πε 0 r Centripetale kracht: F centr = mv r Definitie potentiële energie: F = dv dr P.S. Bij deze berekening mag u aannemen dat het elektron in een vaste cirkelbaan met constante snelheid blijft bewegen, ook al verliest het elektromagnetische energie. 113

124 (c) Om een formule voor de constante van Rydberg te formuleren nam Bohr aan dat voor zeer grote kwantumgetallen n de frequentie ν Q, berekend volgens de kwantumhypothesen (zie opgave 8.a), gelijk moest zijn aan de ν kl, berekend volgens de klassieke fysica (zie opgave 8.b), bij gelijk energieniveau. Bepaal de constante van Rydberg, eerst in formulevorm en daarna de numerieke waarde. 8.3 Veronderstel, gelijk Bohr in zijn vroege dagen, dat het H-atoom bestaat uit een elektron dat in een cirkelbaan rond een stilstaande kern draait. In de klassieke elektrodynamica geldt dat iedere versneld bewegende lading elektromagnetische energie uitzendt volgens de formule P = q a 6πε 0 c 3 [J s 1 ] Hierbij is q de lading en a is de versnelling van de lading. Veronderstel dat deze formule van toepassing is op genoemd H-atoom model. (a) Bereken de energie die per seconde wordt uitgezonden, als gegeven is dat de kinetische energie van het elektron gelijk is aan 13,6eV en de straal van de baan 5, m is. (b) Bereken ook de uitgezonden energie per omwenteling. Gegeven: Coulombkracht: F C = mv r ; Newton: F = ma; Antwoorden hoofdstuk (a) 4, J s 1. Definitie kinetische energie: (b) J = 4, ev. T = mv. 114

125 Hoofdstuk 9 Schrödingervergelijking en waarschijnlijkheid 9.1 De tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking In 5.6 is de Schrödingervergelijking (SV) afgeleid. Het uitgangspunt was de totale energie van een klassiek systeem, de zogenaamde Hamiltoniaan. Voor een eendimensionaal systeem: H = p +V (x) m (9.1) In het algemeen kan V ook nog een functie zijn van de tijd, dus V = V (x,t). Dit is bijvoorbeeld het geval bij een harmonische oscillator, waarbij de bindingssterkte in de loop van de tijd vermindert, omdat de temperatuur toeneemt. Deze systemen laten we buiten beschouwing. Onze V is nimmer tijdsafhankelijk. Middels enig gerommel vonden we, uitgaande van (9.1) de SV in één dimensie: i h ψ t = h ψ m x +V ψ (9.) ψ(x, t) noemen we golffunctie of toestandsfunctie. De tijdsafhankelijkheid van ψ komt niet voort uit de externe tijdsafhankelijkheid van V. Ook als V alleen een functie is van x, of zelfs nul, dan hebben we toch een ψ(x,t). De SV vertelt ons wat de dynamica is van het systeem, dus het gedrag van het systeem in de tijd. Als we de SV oplossen, kennen we de toestand ψ(x,t) van het systeem. In drie dimensies hebben we als Hamiltoniaan: H = p +V (x,y,z) m (9.3) De overeenkomende SV ziet er als volgt uit: i h ψ t { = h ψ m x + ψ y + } ψ z +V (x,y,z)ψ (9.4) met ψ = ψ(x,y,z,t). Van een klassiek systeem komen we tot een SV. HET IS DAAROM TOEGESTAAN ALS UITGANGSPUNT EEN MICROSCOPISCH SYSTEEM OP TE VATTEN ALS EEN KLASSIEK SYSTEEM Let Op: Deze methode werkt alleen als er een klassiek analogon bestaat. Dus bijvoorbeeld niet bij elektronspin, want dat mogen we ons niet voorstellen als een bolletje dat om zijn eigen as roteert. 115

126 Van (9.1) komen we tot (9.) en uit (9.3) ontstaat (9.4). Van klassieke Hamiltoniaan naar de SV Dit verband is geformaliseerd: Vervang H door i h t p x door h i x p y door h i y p z door h i z t door t (vermenigvuldigen met t) x door x y door y z door z (9.5) en laat de operatoren werken op een functie ψ. Operatoren geven we aan door het identieke symbool met een dakje erboven. Zo schrijven we de x-component van de impulsoperator als ˆp x, dus ˆp x = h i x en voor de x-component van de plaatsoperator schrijven we ˆx, zodat ˆx = x (vermenigvuldigen met x). Enzovoort. Door vervanging in (9.3) ontstaat de operator ˆp x. Om te zien wat daarmee bedoeld wordt, laten we deze operator op een zogenaamde hulpfunctie f (x,y,z) werken. Dus ˆp x f = ˆp x ˆp x f = ˆp x ( h i ˆp x = h ) ( ) ( h f h f = ˆp x = x i x i x )( ) h f = h f i x x x (9.6) Analoog ˆp y en ˆp z. Zo kom je van (9.3) tot (9.4). In nable-taal: = ( x, y, z ) met operator van Laplace: ( = = = x + y + ) z (9.7) (9.8) Dit levert de tijdsafhankelijke SV: i h ψ t Voorbeeld 1. = h m ψ +V ψ (9.9) Hoe ziet de SV eruit van het H-atoom? We moeten beginnen met een klassiek model, want hoe kan je anders de klassieke Hamiltoniaan opstellen? Het enige dat we weten is dat we te maken hebben met een kern (lading +e), die we voorlopig even stil zetten, en een elektron op een afstand r van de kern, met een zekere kinetische energie. Meer mogen we niet zeggen. We mogen dus niet zeggen dat het elektron rond de kern cirkelt, want dan komen we terecht in de problematiek van de oude kwantummechanica van Bohr. Figuur 9.1: Het klassieke uitgangspunt van het H-atoom 116

127 Voor dit systeem geldt: e V = 4πε 0 r Dit moeten we omzetten met (9.5) in een SV Bedenk: (9.10) Zo ontstaat: r = x + y + z = ˆx + ŷ + ẑ = ˆr (9.11) i h ψ t { = h ψ m x + ψ y + } ψ z e 4πε 0 r ψ (9.1) In bolcoördinaten (zie bijvoorbeeld (5.37)): i h ψ [ = h 1 t m r r r r + 1 r sinθ θ sinθ θ + 1 r sin θ ]ψ φ e 4πε 0 r ψ (9.13) Dit is de SV van het H-atoom. Hierbij is m de massa van het elektron. Wil je het helemaal netjes doen, waarbij kern en elektron om hun zwaartepunt draaien, dan vervang je m door de gereduceerde massa µ. Een nadere uitwerking van deze SV volgt op het college Principes van molecuulbouw en chemische binding. Die uitwerking zal van geen enkel klassiek model een spaan heel laten. De kwantummechanica leert ons dat we te maken hebben met een kern en daarom heen een elektronenwolk. Beter gezegd: een waarschijnlijkheidsverdeling waar we het elektron kunnen aan treffen bij een meting. Er draait in ieder geval geen elektron meer in een baan rond de kern. Ook de elektronspin en kernspin zullen we met (9.1) niet vinden, want die konden we in (9.10) niet kwijt, omdat het geen klassiek analogon had. Voorbeeld. Hoe ziet de SV eruit van het roterende CO-molecuul? Klassiek gezien kunnen we ons dit voorstellen als twee bolletjes, die om hun zwaartepunt draaien. Als extra eis kunnen we nog stellen dat de stang tussen de bolletjes onrekbaar is. We noemen dit een starre rotor. Meer mogen we niet zeggen. We mogen het roterende systeem niet tekenen, zoals we in de klassieke mechanica gewend zijn, want dat suggereert dat de twee atomen in één vlak roteren en dat is een verkeerd uitgangspunt voor de SV Net zoals we bij het H-atoom geen roterend elektron mochten tekenen, want ook dat suggereert dat de beweging in één vlak is. Vanwege de starheid van de rotor is er geen potentiële energie V. We hebben alleen kinetische energie van de twee atomen. In termen van de gereduceerde massa hebben we voor de klassieke hamiltoniaan: H = p µ (9.14) Dit leidt in bolcoördinaten tot dezelfde SV als voor het H-atoom (9.13) met V = 0 en m = µ. Daar komt nog een extra eis bij, ook weer een gevolg van het starre rotor model: de afstand r tussen de atomen is constant. Stel gelijk R. Dan is de golffunctie niet meer r-afhankelijk. We houden over: i h ψ t = h µr [ 1 sinθ θ sinθ θ + 1 sin θ φ ] ψ (9.15) Ook hier laten we de nadere uitwerking over aan het college chemische binding. Voorbeeld 3. Hoe ziet de SV eruit van het vibrerend CO-molecuul? Begin met een klassiek model. Hier zijn dat twee massa-bolletjes verbonden door een veer! In dit geval geeft een tekening geen problemen, zolang we maar niks laten vibreren. Voor dit systeem geldt: V = 1 bx = 1 µω x zodat H = p µ + 1 µω x (9.16) 117

128 Figuur 9.: Het klassieke uitgangspunt van een vibrerend CO-molecuul met b de bindingssterkte van de veer en µ de gereduceerde massa. Toepassing van (9.5) geeft i h ψ t = h ψ µ x + 1 µω x ψ (9.17) Deze vergelijking zullen we later uitwerken. Het zal blijken dat er weinig meer vibreert. Ga je de zuivere vibratiespectra van CO vergelijken met de resultaten van (9.17) dan zal blijken dat het klassieke uitgangspunt niet helemaal correct is. CO gedraagt zich niet als een zuivere harmonische oscillator. Geen nood, dan vervang je het model toch door een ander model met een betere oscillator. Het klassieke uitgangspunt kunnen we aanpassen aan de gewenste resultaten, maar het blijft klassiek! Voorbeeld 4. Hoe zit het nu met atomen met meerdere elektronen? Voor twee deeltjes, bijvoorbeeld een He-atoom met stilstaande kern, hebben we: H = p 1x + p 1y + p 1z m 1 + p x + p y + p z m +V 1 (x 1,y 1,z 1 ) +V (x,y,z ) +V 3 (x 1,y 1,z 1 ;x,y,z ) (9.18) Hierbij is V 1 de potentiële energie van elektron 1 in het veld van de kern, V de potentiële energie van elektron in het veld van de kern, V 3 de potentiële energie tussen de twee elektronen. We schrijven: H = k=1 Voor n deeltjes: H = n i=1 p k m k +V (x 1,y 1,z 1 ;x,y,z ) (9.19) p i m i +V (x 1,y 1,z 1 ;...;x n,y n,z n ) (9.0) De bijbehorende SV ziet er als volgt uit: i h ψ t = h n k ψ +V ψ (9.1) k=1 m k Met V = V (x 1,y 1,z 1 ;...;x n,y n,z n ) (9.) en ψ = ψ (x 1,y 1,z 1 ;...;x n,y n,z n ;t) (9.3) Merk op dat we één basisvergelijking hebben voor n deeltjes. Voor n deeltjes hebben we één toestandsfunctie ψ. In de klassieke mechanica van Newton hebben we voor n deeltjes n basisvergelijkingen (F = ma voor ieder deeltje) en dus ook n toestandsfuncties (namelijk de positie als functie van de tijd voor ieder deeltje). 118

129 9. De tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking We werken de SV nader uit voor één deeltje: i h ψ t = h m ψ +V ψ (9.4) Oplossingen ontstaan door ψ te schrijven als een product van een functie T van t en φ van r = (x,y,z), dus: ψ = T (t)φ( r) (9.5) Substitutie geeft: i hφ dt dt deel door φt = h m T φ +V T φ (9.6) i h 1 dt T dt }{{} alleen afhankelijk van t = ) ( h 1 m φ +V φ φ }{{} alleen afhankelijk van r (9.7) Het linkerlid is alleen afhankelijk van de tijd t, het rechterlid alleen van de plaats r. Dat kan alleen maar als linker- en rechterlid gelijk zijn aan een constante. We noemen deze constante E, omdat hij correspondeert met de totale energie van het deeltje. Dit volgt bijvoorbeeld uit een dimensie-analyse. Zo ontstaan er twee vergelijkingen: i h 1 T dt dt = E en ) ( h 1 m φ +V φ φ = E (9.8) Voor het tijdsafhankelijke deel hebben we: Los op dt T = iē h dt (Scheiding variabelen) (9.9) ln T = iē h t +C 1 T = T 0 e iet h (9.30) We kiezen T 0 = 1. Het tijdsafhankelijke stuk van de golffunctie wordt dan beschreven met: T (t) = e iet h (9.31) Met E = hω kunnen we ook schrijven: T (t) = e iωt (9.3) Het plaatsafhankelijk deel wordt beschreven door: h m φ +V φ = Eφ (9.33) We voeren in de Hamilton-operator: Ĥ = h m +V Dan is (9.33) te schrijven als: Ĥφ = Eφ (9.34) (9.35) 119

130 met φ = φ(x,y,z). Merk op dat dit een eigenwaarde vergelijking is. Een eigenwaarde vergelijking is een vergelijking waarbij een operator op een functie werkt en dat geeft dan een i.h.a. complex getal maal die oorspronkelijke functie. Bij wiskunde bent u tegengekomen de eigenwaarde vergelijking als een matrix, werkend op een vector, geeft een getal maal die vector. Het oplossen van een eigenwaarde vergelijking genereert twee dingen. namelijk de functie en dat getal. Zo genereert (9.35) het eigenwaarden spectrum van de energie = de verzameling mogelijke meetuitkomsten van de energie E, met bijbehorende eigenfuncties φ( r). We zien hoe in de SV het symbool E voor de totale energie weer terugkeert. Het symbool H voor de klassieke Hamiltoniaan moet H blijven, omdat i.h.a. de Hamiltoniaan een bredere betekenis heeft dan alleen maar totale energie. 9.3 Het vrije deeltje We beschouwen het eendimensionale vrije deeltje. Figuur 9.3: eendimensionaal vrij deeltje Vrij deeltje wil zeggen geen krachten V = 0. De tijdsonafhankelijke SV ziet er als volgt uit: Los op: Kort af: h m d φ = Eφ met φ = φ(x) (9.36) dx d φ dx + me h φ = 0 (9.37) me h = k (9.38) Bedenk dat volgende De Broglie: me h = mp m h = p h = k volgens De Broglie. Dit geeft: d φ dx + k φ = 0 (9.39) Dit is een zeer bekende vergelijking, die we eerder tegengekomen zijn bij staande golven en de harmonische oscillator. De algemene oplossing is: φ(x) = Ae ikx + Be ikx (9.40) met A en B onbepaalde integratie constanten. Halen we het tijdsafhankelijke stuk T = e iωt erbij, dan ontstaat: ψ(x,t) = Ae } iωt {{ e ikx } +Be } iωt {{ e ikx } naar rechts naar links (9.41) De interpretatie is eenvoudig. We hebben de superpositie van een golf (deeltje) lopend naar rechts en een golf (deeltje) lopend naar links. Als u de theorie over de collaps goed begrepen heeft, zegt u nu: Het deeltje 10

131 bevindt zich in een interferentie toestand (Limbo), we weten niet of het deeltje naar rechts of naar links beweegt, bij meting van het teken van de impuls + of k, treedt er een collaps op en verandert het systeem in één van de eigenfuncties. Als u dit denkt, dan heeft u het helemaal door! Zo moet je zeker denken als het deeltje bijvoorbeeld tussen twee vaste wanden heen en weer kaatst, gelijk een tennisbal, maar..., bij het echt volkomen vrije deeltje, zeggen we We zijn niet helemaal onnozel. Als we goed kijken dan zien we vast wel ergens een lamp of elektronenkanon staan. Bijvoorbeeld Figuur 9.4: eendimensionaal vrij deeltje met pré-informatie Dan hebben we pré-informatie. Dan weten we gewoon dat het elektron (in dit voorbeeld) naar rechts loopt. Zonder collaps zeggen we dan dat het elektron beschreven wordt door: ψ = Ae iωt e ikx (9.4) of ook, met E = hω en p = hk: ψ(x,t) = Ae iet h e ipx h (9.43) Dit is de kwantummechanische golffunctie van een vrij deeltje dat in de richting van de +x-as loopt. Dit is de golffunctie die u herkent. Deze golffunctie hebben we gebruikt bij het twee spleten experiment, en ook bij de detectie van de lichtgevoelige bom. 9.4 Waarschijnlijkheid en waarschijnlijkheidsdichtheid Om interpretatie van een oplossing mogelijk te maken, voegen we aan de SV de volgende regel toe. Voor een eendimensionaal systeem geldt dat de waarschijnlijkheid of kans om een deeltje met golffunctie ψ(x,t) aan te treffen in het interval tussen x = a en x = b op moment t gelijk is aan x=b x=a b ψ (x,t)ψ(x,t) dx = ψ(x,t) dx (9.44) a met ψ de complex toegevoegde van ψ. Als we meten over de gehele lengte L, waarin het deeltje met zekerheid zit opgesloten, zullen we het deeltje altijd aantreffen. De kans is dan 1. Aldus ontstaat de normeringseis: ψ (x,t)ψ(x,t) dx = 1 (9.45) L De golffunctie ψ(x, t) zal een onbepaalde integratie-constante bevatten. Door de normeringseis te stellen, kunnen we die integratie-constante berekenen. We noemen dit het normeren van de golffunctie. Opdat we kunnen normeren moet gelden: ψ (x,t)ψ(x,t) dx <, dus eindig (9.46) L De integraal moet bestaan. Functies die aan deze voorwaarde voldoen, noemen we kwadratisch integreerbaar, of ook wel normeerbaar. We zullen zien dat niet alle golffuncties kwadratisch integreerbaar zijn. Het is geen vanzelfsprekendheid. We noemen de grootheid: P(x,t) = ψ (x,t)ψ(x,t) = ψ(x,t) (9.47) de waarschijnlijkheidsdichtheid of kansdichtheid. 11

132 Systemen, waarvoor geldt dat ψ(x,t) onafhankelijk is van de tijd, noemen we stationair. Immers de kans om een deeltje aan te treffen op een interval [a,b] is vandaag of morgen of volgend jaar altijd dezelfde. Voor één deeltje in een driedimensionale ruimte gaan (9.44), (9.45) en (9.47) over in: b x=a d y=c f z=e ψ(x,y,z,t) dx dy dz (9.48) Met de normeringseis: ψ(x,y,z,t) dx dy dz = 1 (9.49) ω Dan geldt: P(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t) (9.50) Voorts veronderstellen we bekendheid met de volgende onzekerheidsrelaties van Heisenberg: x p x h ; y p y h ; z p z h ; E t h (9.51) Met deze kennis kijken we opnieuw naar het vrije deeltje. We hadden: ψ(x,t) = Ae iωt e ikx De kansdichtheid wordt dan: P(x,t) = Ae iωt e ikx = A (9.5) De kansdichtheid is overal even groot en onafhankelijk van de tijd. Het systeem is stationair. Waar en wanneer we ook zullen gaan meten op de x-as, de kans om het deeltje ergens aan te treffen is overal even groot. Dit is in overeenstemming met de onzekerheidsrelaties. Als de kans overal even groot is, dan is de onzekerheid x gelijk, dus volgens x p h, is dan p = 0. Het deeltje heeft een welbepaalde impuls, dan ook volgens E = p m een welbepaalde energie, wat betekent dat E = 0, en dus volgens E t h een extreem grote t. Er bestaat complete onzekerheid over het tijdstip en de plaats om het deeltje te treffen. Nu gaan we de golffunctie normeren. Het deeltje bevindt zich op de x-as, van tot +. De normeringseis wordt: + ψ(x,t) dx = 1 (9.53) Vul in: + Ae iωt e ikx dx = + A dx = A [x] + = A = (9.54) We zien dat de golffunctie van het vrije deeltje niet-kwadratisch integreerbaar is. Het zal blijken dat voor niet-gebonden deeltjes de golffunctie niet-kwadratisch integreerbaar is. Dit is een lastige complicatie, waar we voorlopig niets mee zullen doen. 9.5 De waarschijnlijkheidsstroomdichtheid Figuur 9.5: Een doos waar knikkers in- en uitstromen. 1

133 Beschouw een doos gevuld met knikkers (geen zwaartekracht). De doos heeft langs de x-as de afmeting x en loodrecht op de x-as een oppervlak A. Zie figuur 9.5. Aan de linkerkant kunnen er knikkers de doos instromen, aan de rechterzijde is er uitstroming van knikkers. We voeren in het begrip knikker-stroomdichtheid. Dit is het aantal knikkers dat per seconde door één vierkante meter stroomt, in de richting van de +x-as, symbool j x. Verder voeren we in het begrip knikkerdichtheid. Dit is het aantal knikkers in de doos per kubieke meter; symbool ρ. De dichtheid zal een functie zijn van de tijd, dus ρ(t). Op moment t zijn in de doos ρ(t) x A knikkers aanwezig en op moment t + t hebben we ρ(t + t) x A knikkers in de doos. De stroomdichtheid is een functie van de plaats x. De stroomdichtheid op de plaats x, dus j x (x), zal i.h.a. niet gelijk zijn aan de stroomdichtheid op de plaats x + x, dus j x (x + x). In de tijd t zullen er j x (x)a t knikkers naar binnen stromen, en j x (x + x)a t naar buiten stromen. Het verschil moet gelijk zijn aan de toename van het aantal knikkers in de doos. IN UIT = aantal(t + t) aantal(t) (9.55) j x (x)a t j x (x + x)a t = ρ(t + t) x A ρ(t) x A (9.56) j x(x + x) j x (x) x neem de limietovergang: = ρ(t + t) ρ(t) t j x (x + x) j x (x) ρ(t + t) ρ(t) lim = lim x 0 x t 0 t (9.57) (9.58) d j x(x) dx = dρ(t) dt (9.59) dρ dt + d j x dx = 0 (9.60) In het algemeen is er niet alleen een knikkerstroom in de x-richting, maar ook in de y- en z-richting. Het zal geen nadere uitleg behoeven om te stellen dat we dan krijgen: ρ t + j x x + j y y + j z z = 0 (9.61) Met de nabla notatie ( ) = x, y, z en de vector j = ( j x, j y, j z ) is dit te schrijven als: ρ t + j = 0 (9.6) j noemen we de divergentie van j, zodat de wet ook voorkomt als: ρ t + div j = 0 (9.63) Dit noemen we de continuïteitsvergelijking. Ook noemen we dit wel behoudswet, alhier de behoudswet van knikkers. Er verdwijnen geen knikkers in mysterieuze putjes en er worden ook geen knikkers geboren. Een concreet voorbeeld is de behoudswet van lading, waarbij ρ de elektrische ladingsdichtheid en j de elektrische stroomdichtheid is. In de kwantummechanica hebben we de waarschijnlijkheidsdichtheid in één dimensie gedefinieerd als ψ = ψ (x)ψ(x). 13

134 Nu voegen we hier aan toe het begrip waarschijnlijkheidsstroomdichtheid, per definitie, in één dimensie: S(x,t) = h { ψ (x,t) ψ(x,t) } ψ(x,t) ψ (x,t) (9.64) mi x x Hier is een behoudswet voor af te leiden. Daartoe bekijken we: (ψ ψ) t = ψ ψ t Vermenigvuldig dit met i h: i h (ψ ψ) t Volgens (9.) geldt: i h ψ t = ψi h ψ t + ψ ψ t = h ψ m x +V ψ + ψ i h ψ t en de complex toegevoegde vergelijking, mits V is reëel: (9.65) (9.66) (9.67) i h ψ t Zo ontstaat: i h (ψ ψ) t = h ψ m x +V ψ (9.68) = h {ψ ψ im x } ψ ψ x (9.69) Bekijk vervolgens: S(x,t) x = h {ψ ψ mi x } ψ ψ x (9.70) Aldus ontstaat de behoudswet van waarschijnlijkheid : (ψ ψ) t In 3 dimensies hebben we: S(x,y,z,t) = en met ρ = ψ ψ, + S x = 0 (9.71) h { ψ ψ ψ } ψ (9.7) mi ρ t + S = 0 (9.73) 14

135 Vraagstukken hoofdstuk Beschouw een klassiek model van het enkelvoudig geïoniseerde He-atoom: een elektron (lading e) draaiend in een cirkel rond een stilstaande kern (lading +e). (a) Bereken de potentiële energie van dit systeem als gegeven is dat kern en elektron elkaar aantrekken volgens de coulombkracht F = 1 q 1 q 4πε 0 en de definitie formule van de potentiële energie, r namelijk F = V. (b) Stel de klassieke Hamiltoniaan op en zet deze om in een SV met de correspondentie-regels: H i h t p h i t t (vermenigvuldigen met) r r (c) Zet uw tijdsafhankelijke SV om in een tijdsafhankelijk deel van de golffunctie en de tijdonafhankelijke SV (d) Hoe gaat uw SV eruit zien als de kern niet stilstaat. Gegeven: 1 µ = 1 m m 9. Stel de tijdsafhankelijke en tijdsonafhankelijke SV op voor het niet-geïoniseerde He-atoom. 9.3 Toon aan dat S(x,t) een reële functie is. 9.4 Bereken de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S voor het vrije deeltje, eendimensionaal. Toon aan dat S gelijk is aan de kansdichtheid maal de klassieke deeltjessnelheid, dus: S = v A 9.5 Toon aan dat ψ = cos(kx) e iet h ook een oplossing is van de SV: i h ψ t = h m ψ x Bereken de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S. Geef een verklaring voor uw antwoord. Antwoord: S = 0 ; staande golf. 15

136 16

137 Hoofdstuk 10 Eendimensionale systemen 10.1 De potentiaalsprong (E < V 0 ) We beschouwen een deeltje met energie E dat beweegt langs een x as. Voor x < 0 is het een vrij deeltje, maar voor x > 0 komt het deeltje in een gebied, waar het een zekere potentiële energie V 0 krijgt. Figuur 10.1: De potentiaalsprong voor E < V 0. Dit staat bekend als de potentiaalsprong. Zie figuur We werken hier de situatie uit dat de kinetische energie E van het deeltje in het vrije gebied minder is dan de potentiële energie V 0. Eerst bekijken we het klassiek. Daartoe geven we de potentiaalsprong een zekere helling. Zie figuur 10.. Figuur 10.: De potentiaalsprong met helling. Er geldt bijvoorbeeld: V = V 0 x d voor 0 x d Volgens de definitieformule voor potentiële energie F = dv dx 17 zal het van links komende deeltje in het

138 interval [0,d] een terugdrijvende kracht ondervinden gelijk aan F = V 0 d (Newton) Het deeltje wordt afgeremd. De remversnelling is gelijk aan a = V 0 md (volgens F = ma) Stel dat het deeltje in het vrije gebied een snelheid v o heeft, dus E = 1 mv 0, dan zal het deeltje tot stilstand komen op moment t 1 = v 0 a (volgens v = v 0 + at). Op dat moment is het deeltje de afstand x 1 = v 0 a (volgens x = v 0 t + 1 at ) de potentiaalberg binnengedrongen. Voor x 1 kunnen we schrijven: x 1 = E d V 0. Het deeltje haalt niet eens de afstand d. Binnen het interval [0,d] komt het al tot stilstand en wordt vervolgens naar buiten gedreven, omdat de kracht F = V 0 d blijft werken. Om het wat minder abstract te maken kun je denken aan twee condensatorplaten, met daartussen een constant elektrisch veld G (Het normale symbool voor elektrisch veld is uiteraard E, maar om verwarring te vermijden, noemen het hier even G). Figuur 10.3: Condensatorplaten met homogeen elektrisch veld G, als illustratie van een potentiaalberg. Een lading q ondervindt een terugdrijvende kracht F = qg. Bij deze kracht hoort de potentiële energie V = qgx (volgens dv = F dx). Noem V 0 = qgd, dan ontstaat V = V 0 d x. Zo kun je het gebied met potentiële energie voorstellen. Terug naar ons oorspronkelijk probleem. Als we de hoek α uit figuur 10.. groter maken, neemt de terugdrijvende kracht toe, wordt zelfs bij α = 90. In dat geval dringt het deeltje de potentiaalberg niet binnen, maar wordt gereflecteerd gelijk een tennisbal die je tegen een muur slaat. Klassiek gezien is het gebied voor x > 0 verboden gebied. Daarbinnen zal je nimmer een deeltje aantreffen. Nu gaan we het probleem kwantummechanisch uitwerken. Daartoe stellen we de tijdsonafhankelijke SV op, zowel voor gebied 1 (x < 0), als voor gebied (x > 0). Voor gebied 1: h m d φ 1 dx = Eφ 1 (10.1) Dit is de vergelijking van het vrije deeltje, die we al eerder behandeld hebben. De oplossing is: φ 1 (x) = Ae ik 1x + Be ik 1x met k 1 = me h (10.) Beide golven hebben we nodig, omdat er reflectie zal optreden bij de potentiaalsprong. Voor gebied : h m d φ dx +V 0φ = Eφ (10.3) 18

139 kan omgeschreven worden tot: met d φ dx (V 0 E)m h φ = 0 (10.4) k = (V 0 E)m h (10.5) d φ dx k φ = 0 (10.6) Los op door substitutie van φ = e λx Dit geeft de karakteristieke vergelijking λ k = 0 λ = ±k, met oplossing: φ = Ce k x + De +k x (10.7) De term De k x vervalt, omdat dit zou betekenen dat de kans om het deeltje aan te treffen toeneemt met toenemende x. Dat is fysisch gezien onmogelijk (pré-informatie). Zo hebben we twee vergelijkingen: φ 1 (x) = Ae ik 1x + Be ik 1x φ (x) = Ce k x (10.8) met drie onbekende integratieconstanten A, B en C. Twee daarvan zijn te vinden uit de randvoorwaarden. We vermelden nu een belangrijke kwantummechanische eis: BIJ EEN POTENTIAALOVERGANG GELDT DAT DE GOLFFUNCTIE EN ZIJN AFGELEIDE CONTINU ZIJN. Dus links moet gelijk zijn aan rechts, en de afgeleide van links moet gelijk zijn aan de afgeleide van rechts. Er mag geen knik zijn, er is een vloeiend verloop van de golffunctie. Alhier betekent het dat op de plaats x = 0 geldt: φ 1 (0) = φ (0) én ( dφ1 dx We bepalen de afgeleiden van (10.8) ) x=0 = ( dφ dx ) x=0 (10.9) dφ 1 dx = ik 1Ae ik 1x ik 1 Be ik 1x dφ dx = k Ce k x De randvoorwaarden leveren op: A + B = C ik 1 A ik 1 B = k C (10.10) (10.11) Na enig rekenwerk vinden we: B = ik 1 + k ik 1 k A en C = ik 1 ik 1 k A (10.1) De oplossing wordt nu: φ 1 (x) = Ae ik 1x + ik 1 + k ik 1 k Ae ik 1x φ (x) = ik 1 ik 1 k Ae k x (10.13) 19

140 Voor φ 1 kunnen we schrijven: φ 1 (x) = ik ( 1 A cosk 1 x k ) sink 1 x ik 1 k k 1 met de trukendoos die we ook bij de harmonische oscillator gebruikt hebben, ontstaat: (10.14) φ 1 (x) = ik 1 ik 1 k A 1 cosα cos(k 1x + α) met tanα = k k 1 (10.15) We maken een tekening van φ 1 en φ met weglating van de gemeenschappelijke factor. Figuur 10.4: De golffunctie heeft een vloeiend verloop We zien hoe bij de overgang op de plaats x = 0 de kromme vloeiend overgaat van 1 naar, zoals geëist was. Desgewenst kunnen we de tijdsafhankelijkheid toevoegen: ψ 1 (x,t) = Ae iωt e ik 1x + Be iωt e ik 1x ψ (x,t) = Ce iωt e k x (10.16) met E = hω. De ω in gebied is gelijk aan de ω in gebied 1, omdat het deeltje overal dezelfde energie E heeft. We geven weer een nieuwe kwantummechanische regel, die we later veel algemener zullen bespreken. We kijken naar ψ 1 (x,t). De functie e ik 1x correspondeert met een naar rechts lopend deeltje (positieve impuls). Voor de functie e ik 1x staat de factor Ae iωt. Nu geldt dat de modulus in het kwadraat van de factor voor e ik 1x gelijk is aan de kans om bij meting op moment t een naar rechts bewegend deeltje te vinden. Alhier: Ae iωt = A (10.17) Analoog is de modulus in het kwadraat van de factor voor e ik1x de kans om bij meting op moment t een deeltje te vinden dat naar links loopt. Alhier: Be iωt = ik 1 + k Ae iωt ik 1 k = A (10.18) De kans om een naar rechts bewegend deeltje te vinden is gelijk aan de kans om een naar links bewegend deeltje te vinden. Dat betekent dat het deeltje 100% gereflecteerd wordt, ook al dringt het deeltje het verboden gebied in. Hij komt altijd terug. Tot slot berekenen we de kansdichtheid: ψ 1 = 4 A cos (k 1 x + α) (10.19) waarbij gebruik gemaakt is van cosα = k 1, omdat tanα = k k 1 +k k 1. ψ = 4k 1 k1 + A e k x (10.0) k Er bestaat dus een kans om het deeltje te vinden in gebied, daar waar het volgens de klassieke mechanica nooit gevonden kan worden. 130

141 10. De potentiaalsprong (E > V 0 ) Nu de situatie dat E > V 0. Zie figuur Figuur 10.5: De potentiaalsprong bij E > V 0. Het deeltje komt weer van links. Klassiek gezien zal het deeltje niet gereflecteerd worden. Het loopt in gebied gewoon door, zij het met lagere snelheid. Een deel van de energie E wordt omgezet in potentiële energie V 0, zodat aan kinetische energie in gebied resteert T = E V 0. Nu kwantummechanisch: Het is belangrijk om te weten dat bij iedere potentiaalsprong er reflecties kunnen optreden, ook al is E > V 0. Dat is een golfeigenschap. Als je een licht touw vastknoopt aan een zwaar touw en je wekt in het lichte touw lopende golven op, dan zullen die bij de knoop gedeeltelijk gereflecteerd worden. Zo ook in de kwantummechanica. We stellen weer de tijdsonafhankelijke SV op voor gebied 1 en gebied. Dat geeft, kijkend naar de vorige paragraaf, de oplossingen: met φ 1 (x) = Ae ik 1x + Be ik 1x φ (x) = Ce ik x (10.1) k 1 = me h en k = (E V 0)m h (10.) De continuïteitsvoorwaarde geeft: B = k 1 k k 1 + k A en C = k 1 k 1 + k A (10.3) Eerder hebben we gezien hoe Ae iωt de kans is om een naar rechts lopend deeltje te vinden in gebied 1, Be iωt de kans om een naar links lopend deeltje te vinden in gebied 1 en Ce iωt de kans om een naar rechts lopend deeltje te vinden in gebied. In principe is dit voldoende voor de interpretatie, maar we kunnen in dit geval een andere, meer aansprekende interpretatie formuleren. Daartoe kijken we naar de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S. In opgave 10.1 heeft u bewezen: S 1 = v 1 A v 1 B S = v C (10.4) Stellen we ons voor dat we een heleboel invallende deeltjes hebben, met dichtheid A. Dus φ is het aantal deeltjes per e kx. Ze hebben allemaal de snelheid v 1. Hoeveel deeltjes zullen dan per seconde één vierkante meter dwarsdoorsnede, loodrecht op de x-as, passeren? Het antwoord luidt v 1 A. Zie figuur Dus v 1 A is interpreteerbaar als de deeltjes-stroomdichtheid van de invallende bundel. Dan is v 1 B interpreteerbaar als de stroom-dichtheid van de gereflecteerde bundel, en v C van de doorgelaten bundel. Zo kunnen we een reflectiecoëfficient R invoeren als zijnde de verhouding tussen het aantal deeltjes dat per seconde teruggaat ten opzichte van het aantal invallende deeltjes. R = v 1 B v 1 A = ( ) k1 k (10.5) k 1 + k 131

142 Figuur 10.6: De stroomdichtheid is v 1 A Ook bestaat er een transmissiecoëfficient T als zijnde het aantal doorgelaten deeltjes ten opzichte van het aantal invallende deeltjes. T = v C v 1 A = 4k 1k (k 1 + k ) (10.6) Altijd geldt: R + T = De potentiaalberg Figuur 10.7: De potentiaalberg. In de kwantummechanica is het mogelijk dat een deeltje een potentiaalberg doorboort, ook al is zijn energie E minder dan de potentiële energie V 0 van de berg. Zie figuur 10.7 Het is analoog aan het verschijnsel dat een lichtgolf gedeeltelijk door een dunne goudfolie gaat. We noemen dit verschijnsel het tunneleffect. We moeten voor gebied 1, en 3 de tijdsonafhankelijke SV opstellen en oplossen. De oplossingen zullen zijn: φ 1 (x) = Ae ik 1x + Be ikx met k 1 = me h φ (x) = Ce k x + De k x φ 3 (x) = Fe ik 1x met k 1 = m(v 0 E) h (10.7) De e k x term in φ moet nu wel meegenomen worden, omdat de dempende e k x term bij x = a gereflecteerd zal worden. De integratieconstanten volgen uit de continuïteitsvoorwaarden bij x = 0 en x = a. Dit is een omvangrijke exercitie, die we overlaten aan het college principes van molecuulbouw en chemische binding De potentiaalput We beschouwen een deeltje in een potentiaalput tussen x = 0 en x = a. Zie figuur Buiten deze put is de V oneindig groot. Daarom is de kans om daar het deeltje aan te treffen gelijk 0, zelfs kwantummechanisch 13

143 Figuur 10.8: De potentiaalput. (zie opgave 10.3). Voor x 0 en x a geldt φ = 0. Het deeltje heeft een energie E. De tijdsonafhankelijke SV wordt: en h m d φ dx = Eφ (10.8) d φ dx + me h φ = 0 (10.9) Vereenvoudig dit tot: d φ dx + k φ = 0 met k = me h (10.30) Dit is de vergelijking voor het vrije deeltje, dus: φ(x) = Ae ikx + Be ikx (10.31) Als enige continuïteitsvoorwaarde hebben we dat voor x = 0 en x = a de φ gelijk nul moet zijn. Dit geeft: 0 = A + B 0 = Ae ika + Be ika (10.3) De eerste vergelijking geeft B = A. Substitueer dit in de tweede vergelijking. e ikα e ikα = 0 sinka = 0 k n = nπ a voor n = 1,,3,... (10.33) We werken alleen met positieve k s. Het golfgetal is gequantiseerd, dus ook de energie E volgens (10.3). We vinden: E n = h k n m = n π h ma n = 1,,3,... (10.34) De bij E n horende golffunctie is: φ n (x) = Ae ik nx Ae ik nx = iasink n x (10.35) Wiskundig gezien zijn we bezig met het oplossen van de eigenwaarde vergelijking van de energie. Deze genereert het eigenwaarde spectrum van de energie (10.34), met bijbehorende energie-eigenfuncties (10.35). Inclusief de tijdsafhankelijkheid ontstaan de volgende stationaire energietoestanden: ψ n (x,t) = ia n e ient h sin ( nπx a ) n = 1,,3,... (10.36) 133

144 De normeringseis levert op: a 0 a ψ n (x,t) dx = φ n (x) dx Kies A reëel dan volgt 0 a ( = 4 A sin nπx ) dx 0 a a { ( )} = A nπx 1 cos dx a 0 = A a eis 1 A = 1 a A = 1/ a (10.37) De genormeerde energie-eigenfuncties zijn dan: φ n (x) = i ( nπx ) sin a a Voor de kansdichtheid vinden we: ψ n (x,t) = φ n (x) = a sin ( nπx a voor n = 1,,3,... (10.38) ) (10.39) We tekenen de φ n met weglating van de imaginaire voorfactor, en ook tekenen we de kansdichtheid (zie figuur 10.9). Merk op de analogie met staande golven in een snaar, die aan beide zijden is ingeklemd. Figuur 10.9: Schets van golffunctie (a) en kansdichtheid (b) bij de potentiaalput De harmonische oscillator Zie ook 6.3. De tijdsonafhankelijke SV ziet er als volgt uit: en h m d φ dx + 1 mω x φ = Eφ (10.40) d φ dx + me m ω x h φ = 0 (10.41) 134

145 Noem me = k en h mω h = λ dan ziet de vergelijking er dus zo uit: d φ dx + ( k λ x ) φ = 0 (10.4) Deze vergelijking heeft als oplossing: ( E n = n + 1 ) hω n = 0,1,,3,... φ n (x) = C n e 1 λx H n (x ) (10.43) λ Waarbij H n de polynomen van Hermite zijn, waarvoor geldt: H n (y) = ( 1) n e y ( e y) (n) (10.44) et symbool (n) betekent de n e afgeleide. De 0 e afgeleide betekent geen afgeleide. We vinden: H 0 (y) = 1 H 1 (y) = y H (y) = 4y (10.45) enzovoort De veeltermen (of polynomen) van Hermite zijn de oplossingen van de differentiaal vergelijking van Hermite: d f dy y d f + n f = 0 (10.46) dy We tonen aan door middel van substitutie dat φ n (x) een oplossing is van: d φ dx + (k λ x )φ = 0 dφ dx = λxc ne λx H n (x λ) +C n e λx dh n (x λ) dx d φ dx = ( λ + λ x )C n e λx H n λxc n e λx Substitutie, met weglating van de factor C n e λx geeft: d H n dx λx dh n dx + (k λ)h n = 0 Ga over op de variabele y = x λ d H n dy y dh ( ) n k dy + λ 1 H n = 0 dh n dx +C ne λx k me h 1 = λ mω h 1 = E hω 1 = ( n + 1 ) hω 1 = n hω Zo ontstaat de differentiaal vergelijking van Hermite: d H n dy y dh n dy + nh n = 0 waarvan we weten dat de H n de oplossingen zijn. 135 d H n dx

146 Stel dat het deeltje zich bevindt in een energie-eigentoestand. De normeringseis wordt dan: dus ψ n (x,t) dx = φ n (x) dx = 1 (10.47) ( C n e λx Hn x ) λ dx = 1 + C n e λx Hn λ ( x ) ( λ d x ) λ = 1 + C n e y Hn (y) dy eis 1 λ (10.48) Bij wiskunde heeft u geleerd: de integraal van Gauss : + e y dy = π (10.49) Zo krijgen we voor n = 0: 1 + C 0 e y 1 dy = 1 C 0 π = 1 (10.50) λ λ Daaruit volgt C 0 = In het algemeen geldt: ( ) λ λ 1/4 π C 0 = (10.51) π ( ) 1 1/ C n = n n! λ 1/4 (10.5) π We maken een schets van golffunctie en kansdichtheid. Figuur 10.10: Schets van golffunctie en kansdichtheid van de harmonische oscillator We maken onderscheid tussen gebonden en niet-gebonden systemen. De potentiaalput en de harmonische oscillator zijn voorbeelden van gebonden systemen. We hebben gezien dat daar quantisatie optreedt en dat de golffuncties kwadratisch integreerbaar zijn. Het vrije deeltje, de potentiaalsprong en potentiaalberg zijn voorbeelden van niet-gebonden systemen. Daar is geen quantisatie en de normering gaf problemen. 136

147 Vraagstukken hoofdstuk 10 De vragen hebben betrekking op het systeem beschreven in Gegeven formule (10.16) toon aan dat de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid S geschreven kan worden als: S = v 1 A v 1 B met v 1 de klassieke snelheid in gebied Bereken S in gebied 1 en gebied. Antwoord: 0, Bespreek wat er gebeurt met de kansdichtheden, de golffuncties, de randvoorwaarden, als V 0 oneindig groot wordt Gegeven: ψ (x,t) = Ce iωt e ik x Toon aan: S = v C met v de klassieke snelheid Beschouw onderstaande potentiaalsprong. We hebben een invallend deeltje, komend van rechts, dus lopend naar links, met energie E. U krijgt als enige gegevens de volgende formules: en i h ψ t S = = h m ψ +V ψ h (ψ ψ ψ ) ψ mi De rest moet u uit het hoofd weten! Bereken, zowel voor E < V 0 en E > V 0 : (a) De golffunctie ψ(x,t), maak daarvan een schets; (b) De kansdichtheid; (c) De waarschijnlijkheidsstroomdichtheid; (d) De reflectie- en transmissiecoëfficiënt; (e) Geef de verschillen aan met de klassieke mechanica Beschouw onderstaande potentiaalkuil Gegeven: h d φ m +V φ = Eφ met het tijdsafhankelijke deel e iet dx h Een deeltje valt in, komende van links, met energie E > V

148 (a) Bereken de eigenfunctie ϕ voor de drie gebieden, voorlopig in termen van onbepaalde integratieconstanten, uitgaande van de tijdsonafhankelijke SV. Let op: mogelijk kent u de oplossingen uit uw hoofd. De oplossingen zonder meer opschrijven wordt echter niet gehonoreerd. De bedoeling is dat u aantoont in staat te zijn wiskundig een differentiaalvergelijking op te lossen. Toon dat drie keer aan. (b) Om de formules te vereenvoudigen is gegeven dat de energie van het deeltje E = 4 3 V 0. Met dit gegeven is aantoonbaar dat k = k 1, waarbij k het golfgetal is in gebied en k 1 het golfgetal is in gebied 1. Toon dit aan. (c) Verder is gegeven (ook weer terwille van vereenvoudiging van formules) dat de breedte van de potentiaalkuil a = λ 4, waarbij λ de golflengte is in de kuil, met k = π λ. Maak hiervan gebruik door te bedenken e ika = cosk a + isink a =... Bereken nu de onbepaalde integratieconstanten van uw ϕ s. (d) Bereken de reflectiecoëfficiënt R en de transmissiecoëfficiënt T van het systeem. Hierbij mag u gebruik maken van het gegeven dat voor ψ = e iωt (Ae ikx + Be ikx ) geldt S = v A v B Bereken H 3 (y) en laat zien dat H 3 (y) een oplossing is van de differentiaalvergelijking van Hermite voor n = 3. Antwoord: H 3 = 8y 3 1y Bereken C 1 en C, met als uitgangspunt (10.43), (10.44), (10.49) en uiteraard de normeringseis. Controleer uw antwoord met behulp van (10.5). 138

149 Hoofdstuk 11 Enkele formele aspecten van de kwantummechanica 11.1 Orthonormale stelsels Er bestaat een sterke analogie tussen vectoren en de golffuncties van de kwantummechanica. Beschouw twee n-dimensionale vectoren x en y uit de reële vectorruimte: x = (x 1,x,...,x n ) y = (y 1,y,...,y n ) dan wordt het inwendig product gedefinieerd als: ( x, y) x 1 y 1 + x y x n y n = n 1 x i y i (11.1) De lengte x van een vector volgt uit: ( x, x) = x = n 1 x i x = n 1 x i (11.) Is ( x, y) = 0, dan noemen we de vectoren x en y orthogonaal (staan loodrecht op elkaar). Zijn de getallenrijen {x i } en {y i } complex (complexe vectorruimte), dan moeten we het inwendig product aanpassen: ( x, y) = x 1y 1 + x y x ny n = Hierdoor is de lengte: n 1 x i y i (11.3) x = (x,x) = x 1 x 1 + x x x nx n (11.4) Ook voor complexe functies, zoals die in de kwantummechanica voorkomen, introduceren we een inwendig product. Zo is het inwendig product tussen de functie f (x) en de functie g(x), gedefinieerd op een interval [a,b] gelijk aan: b ( f (x),g(x)) f (x)g(x) dx (11.5) a De som van (11.3) is vervangen door een integraal. In plaats van lengte spreken we over de norm van de functie. Het kwadraat van de norm is gelijk aan: b ( f, f ) = f = f (x) f (x) dx (11.6) a 139

150 De dubbele strepen brengen we aan om verwarring te vermijden met de absolute waarde van f (x). Als geldt: ( f,g) = 0 (11.7) dan noemen we de functies orthogonaal. In gewoon Nederlands: f staat loodrecht op g, dus f g. Dit ziet er nogal abstract uit en daarom geven we een voorbeeld. Gegeven: f (x) = 1 en g(x) = x op het interval [a, b] = [ 1, 1]. Nu is en +1 f = ( f, f ) = 1 1 dx = dus f = 1 +1 g = (g,g) = x x dx = 1 3 dus g = 3 +1 ( f,g) = 1 x dx = 0 1 Dus, dus f en g zijn orthogonaal op het interval [ 1,+1]. Schetsen we echter de grafieken van f en g dan zien we dat de booglengten resp. zijn en ; de hoek tussen f en g is π 4 (zie figuur 11.1). Figuur 11.1 Norm en orthogonaliteit heeft dus niets te maken met de booglengte en de hoek tussen functies. Het is een abstracte beschrijving van functies in termen van vectoren. U moet tegen die functies aankijken alsof het vectoren zijn. Als u wat wil tekenen, dan tekent u: g = 3 0,8 f = 1,4 Figuur 11. Die parallel met vectoren trekken we verder door. Een vectorruimte V kan worden opgespannen door een set basisvectoren { v 1, v,..., v n }. Dat betekent dat elk element v van V op precies één manier kan worden geschreven als de lineaire combinatie van basiselementen: v = c 1 v 1 + c v c n v n (11.8) Zo n stelsel noemen we een volledig stelsel. Indien de basisvectoren loodrecht op elkaar staan, dus ( v i, v j ) = 0 voor i j, spreken we van een volledig orthogonaal stelsel. Hebben de basisvectoren ook nog eens de lengte 1, dan noemen we het een volledig orthonormaal stelsel. In dat laatste geval kunnen we c i lezen als de lengte van de projectie van v op de v i -as. Vermenigvuldiging van (11.8) links en rechts met v i levert op: ( v i, v) = c k ( v i, v k ) + c i ( v i, v i ) = c i (11.9) i k 140

151 In tekening, twee dimensionaal f = c 1 v 1 + c v Figuur 11.3 Analoog kunnen we een functieruimte opspannen door een set basisfuncties {φ i }, zodat een willekeurige functie uit die functieruimte te schrijven is als: f = c 1 φ 1 + c φ c n φ n (11.10) Als (φ i,φ j ) = 0 voor i j, noemen we dit stelsel orthogonaal. Hebben de basisfuncties de norm 1, dus φ i = (φ i,φ i ) = 1, dan noemen we het stelsel orthonormaal. Voor een orthonormaal stelsel geldt: en c i = (φ i, f ) = de projectie van f op φ i (11.11) f = n 1 In tekening, tweedimensionaal c i De stelling van Parsival (11.1) f = c 1 φ 1 + c φ Figuur 11.4 In bovenstaande mag de dimensie n ook oneindig zijn. We zeggen dan dat n aftelbaar is, oneindig groot. In de kwantummechanica hebben we te maken met twee soorten ruimten: de complexe vectorruimte (deze is bijvoorbeeld nodig voor de beschrijving van spin) en de complexe functieruimte. We beperken ons voorlopig tot de complexe functieruimte. 11. Operatoren In de complexe functieruimte definiëren we de operator Â. Bijvoorbeeld de impulsoperator ˆp x = h i we reeds kennen. We beschouwen alleen lineaire operatoren, dus: x, die Â(α f + βg) = αâ f + βâg (11.13) Voor alle f en g uit een bepaalde functieruimte, waarbij α en β complexe constanten zijn. Hebben we twee operatoren  en ˆB dan zal in het algemeen  ˆB niet gelijk zijn aan ˆB Â. We voeren in de commutator: [Â, ˆB ]  ˆB ˆB (11.14) Is de commutator nul, dan heten  en ˆB verwisselbaar. Uiteraard is de commutator zelf weer een operator. Rekenen met commutatoren gaat eenvoudig; er gelden bijvoorbeeld de volgende rekenregels: [Â, ˆB ] = [ ˆB, ] (11.15) 141

152 [Âα, ˆB ] = α [ Â, ˆB ] (11.16) met α een complexe constante. In de functieruimte kunnen we een eigenwaarde vergelijking formuleren:  f = λ f (11.17) Dus de operator werkt op een functie f en dat geeft dan een in het algemeen complex getal λ, maal die oorspronkelijke functie f. λ noemen we de eigenwaarde en f de eigenfunctie. Het oplossen van de eigenwaarde vergelijking genereert de eigenwaarden en de eigenfuncties. We zijn in de kwantummechanica reeds een eigenwaarde vergelijking tegengekomen, namelijk de tijdsonafhankelijke SV Ĥφ = Eφ (11.18) De eigenwaarde is de energie E. Deze kan niet complex zijn. In de kwantummechanica geldt dat de eigenwaarde een reëel getal moet zijn. Een reëel getal kan negatief zijn, al is dit bij de energie uiteraard niet het geval. Het reëel zijn van de eigenwaarden legt een eis op aan de operatoren in de kwantummechanica. Daartoe introduceren we de operator Â. Dit heet de complex geadjungeerde van operator Â. Per definitie: ( f,g ) = ( f,â g ) (11.19) voor alle f en g, waarvoor de producten gedefinieerd zijn. Is  =  dan heet  een hermitische of zelfgeadjungeerde operator. Dus een operator is hermitisch als geldt: ( f,g ) = ( f,âg ) (11.0) Belangrijke eigenschappen van hermitische operatoren zijn: Eigenschap 1: De eigenwaarden van een hermitische operator zijn reëel. Stel  is hermitisch en  f = λ f, dan geldt: ( f, f ) = (λ f, f ) = λ ( f, f ) maar ook ( f, f ) = ( f,â f ) = ( f,λ f ) = λ ( f, f ) omdat λ ( f, f ) = λ ( f, f ) moet nu of λ = λ of ( f, f ) = 0. Dit laatste kan niet voor een eigenfunctie. Dus volgt: λ = λ, ofwel λ is reëel. Eigenschap : Eigenfuncties van de hermitische operator die behoren bij verschillende eigenwaarden zijn onderling loodrecht. Bewijs: Zij  hermitisch,  f = λ f en Âg = µg met λ µ. Nu is ( f,g ) = (λ f,g) = λ ( f,g) maar ook ( f,g ) = ( f,âg ) = ( f, µg) = µ ( f,g). Omdat λ ( f,g) = µ ( f,g) en bovendien λ µ moet ( f,g) = 0 zijn, ofwel f en g zijn orthogonaal. 14

153 Eigenschap 3: Zijn  en ˆB beide hermitisch en is bovendien [ Â, ˆB ] = 0, dan is ook het product  ˆB hermitisch. Bewijs: ( ˆB f,g ) = ( ˆB f,âg ) = ( f, ˆBÂg ) = ( f,â ˆBg ) dus ( ˆB ) =  ˆB. Eigenschap 4: Een niet-hermitische operator ˆT kan worden geschreven als ˆT =  + i ˆB, waarin  en ˆB hermitisch zijn. Bewijs: Stel dan is ˆT + ˆT =  en ˆT ˆT = i ˆB ˆT =  + i ˆB.  is hermitisch, omdat ( ( ) 1 ( f,g = ˆT + ˆT ) ) ( f,g = f, 1 ( ˆT + ˆT ) ) g ( = f, 1 ( ˆT + ˆT ) ) g = ( f,âg ) dus  =  ˆB is hermitisch, omdat ( ˆB f,g ) ( 1 ( = ˆT ˆT ) ) f,g = 1 (( ˆT ˆT ) f,g ) i i ( = f, 1 ( ˆT ˆT ) ) ( g = f, 1 ( ˆT ˆT ) g i i dus ˆB = ˆB ) ( = f, 1 ( ˆT ˆT ) ) g = ( f, ˆBg ) i 11.3 Observabelen In de kwantummechanica wordt aan iedere meetbare fysische grootheid A, zoals energie, impuls, impulsmoment enzovoort, een lineaire hermitische operator  toegevoegd (vaak observabele genoemd) volgens de regel (coördinaten representatie): ( A(x,y,z; p x, p y, p z )  x,y,z; h i x, h i y, h i ) z (11.1) korter geformuleerd: ( A( r; p)  r, h ) i (11.) 143

154 Dit geldt voor één deeltje. Hebben we N deeltjes, dan geldt: A( r 1, r,..., r n ; p 1, p,..., p n ) Â ( r 1,..., r n ; hi 1, hi,..., hi ) n (11.3) Waar het op neer komt is: x blijft x, y blijft y, z blijft z (vandaar de naam coördinaten representatie) en p x wordt h i x, enzovoort. Zo hebben we klassiek: H = p +V ( r) m Pas de regel toe en er ontstaat: Ĥ = h m +V ( r) Dit hebben we reeds bekeken en gebruikt. We tonen nu aan dat ˆx en ˆp x hermitisch zijn. Wil ˆx hermitisch zijn, dan moet gelden: (x f,g) = ( f,xg) (11.4) Stel dat het interval, waarop de functies f en g gedefinieerd zijn, loopt van tot +, Dan: (x f,g) = x f g dx = x f g dx = f xg dx = ( f,xg) (11.5) Dit was een flauw bewijs. Het impliceert dat iedere reële functie V (x,y,z) ook hermitisch is. Bewijs: (V f,g) = + V (x,y,z) f g dx dy dz = V (x,y,z) f g dx dy dz = f V (x,y,z)g dx dy dz = ( f,v g) (11.6) Met opzet hebben we een deeltje in een driedimensionale ruimte beschouwd. U mocht eens gaan denken dat de wereld slechts ééndimensionaal is. Veel lastiger is het bewijs dat de impulsoperator p x hermitisch is. Dus te bewijzen: ( h i ) d f dx,g = ( f, h i Links staat de integraal + ( ) h d f g dx i dx en rechts + f h i dg dx dx dg dx ) Op het eerste gezicht nogal verschillend. Gaan we het linkerlid partieel integreren, dan komt er [( ) + h g] i f + ( h ) dg i f dx dx De functie f (x) en g(x) zijn kwadratisch integreerbaar. 144 (11.7)

155 Er geldt dan + f (x) dx <, zodat lim x ± f (x) = 0. Dan is ook de stokterm [( ) + h g(x)] i f (x) = 0 Verder is ( h ) = + h i i zodat inderdaad het rechterlid te voorschijn komt: + + f h i dg dx dx Opmerking: In de afleiding is te zien dat de constante i in de impulsoperator essentieel is voor het hermitisch zijn van de operator. Alleen d dx is dus niet hermitisch en correspondeert daarom ook niet met een fysische grootheid. Een operator die we nog niet kennen, is die we toevoegen aan het impulsmoment L = r p (11.8) Volgens de regels is de bijbehorende operator een vector-operator. ˆ L = r h i (11.9) Uitgewerkt per component staat hier: L ˆ e 1 e e 3 = x y z h i x h i y h i z ˆL x = h ( y i z z ) e 1 y ˆL y = h ( z i x x ) e z ˆL z = h ( x i y y ) e 3 x (11.30) Zo kunnen we ook aan L een operator toevoegen: ˆL = ˆL x + ˆL y + ˆL z (11.31) Zo is bijvoorbeeld: ˆL x f = ˆL x ˆL x f = h ( y z z )( y f y z z f ) y ( = h y ( y f ) y ( z f ) z z z z y y ( = h y f z y f y yz f z y z f z zy f y z + f z y ) = h ( y f z y f y yz f y z z f z + z f y ( y f ) + z ( z f z y y ) )) (11.3) 145

156 11.4 Het eigenwaarde-postulaat Eén van de postulaten van de kwantummechanica luidt, dat je aan iedere meetbare fysische grootheid A een hermitische operator  kunt toevoegen (observabele). Formuleer voor deze operator een eigenwaarde vergelijking, aldus: Âφ Ai = A i φ Ai (11.33) met A i een reëel getal. Het oplossen van deze eigenwaarde vergelijking genereert de verzameling eigenwaarden A i (het eigenwaarde spectrum). Deze A i zijn gelijk aan de mogelijke meetuitkomsten bij meting van de observabele  van het systeem. Ook worden de eigenfuncties φ gegenereerd. Bij iedere eigenwaarde A i hoort een eigenfunctie φ Ai. Indien bij één eigenwaarde A i meerdere eigenfuncties bestaan, bijvoorbeeld n, spreken we van n-voudige ontaarding. Over die eigenwaarden en eigenfuncties heeft u een aantal eigenschappen geleerd. We herhalen de belangrijkste eerste twee eigenschappen. Eigenschap 1: De eigenwaarden van een hermitische operator zijn reëel. Eigenschap : Eigenfuncties van een hermitische operator die behoren bij verschillende eigenwaarden, zijn onderling loodrecht. We voegen hier een belangrijke eigenschap aan toe. Zie ook opgave Eigenschap 5: Indien [ Â, ˆB ] = 0 bezitten  en ˆB gemeenschappelijke eigenfuncties en omgekeerd 1. Bewijs: gegeven  en ˆB bezitten gemeenschappelijke eigenfuncties. Dan kan elke eigenfunctie gespecificeerd worden door twee indices, n.l. de eigenwaarde A i van  en B j van ˆB. Âφ Ai B j = A i φ Ai B j ˆBÂφ Ai B j = A i ˆBφ Ai B j = A i B j φ Ai B j ˆBφ Ai B j = B j φ Ai B j  ˆBφ Ai B j = B j Âφ Ai B j = B j A i φ Ai B j Trek af: ( ˆB  ˆB ) φ Ai B j = 0 Hieraan is voldaan voor alle functies uit het volledige stelsel als geldt [ ˆB, ] = 0 of [Â, ˆB ] = 0. Dus bewezen: indien er sprake is van gemeenschappelijke eigenfuncties, dan geldt [Â, ˆB ] = 0.. Nu omgekeerd. Dus gegeven: [ Â, ˆB ] = 0. Stel ˆBφ B j = B j φ B j (Geen ontaarding) dan  ˆBφ B j = ˆBÂφ B j  ( B j φ B j ) = ˆB ( Âφ B j ) B j (ÂφB j ) = ˆB ( Âφ B j ) omdraaien geeft de eigenwaarde vergelijking: ˆB ( Âφ B j ) = B j (ÂφB j ) dus Âφ B j is een eigenfunctie van ˆB, behorende bij de eigenwaarde B j. Geen ontaarding wil zeggen dat bij iedere eigenwaarde B j er slechts één eigenfunctie φ B j hoort, op een constante factor na. Er moet dus gelden: Aφ B j = constante φ B j. Noem die constante A i Âφ B j = A i φ B j en hiermee is φ B j ook een eigenfunctie van Â. 146

157 11.5 Het golfpakket We illustreren voorgaande formele aspecten van de kwantummechanica aan de hand van een vrij deeltje. We hadden het eigenwaarde probleem: h m d φ(x) dx = Eφ(x) (11.34) Dit leverde, bij de eigenwaarde E, de volgende eigenfunctie op: φ = φ 0 e ikx (11.35) met E = hω; p = hk;e = p /m Bekijk nu eens de eigenwaarde vergelijking van de impuls: ˆpφ p (x) = pφ p (x) (11.36) Uitgeschreven: h i dφ p (x) dx = pφ p (x) (11.37) Los op! Door scheiding van de variabelen: dφ p φ p = dx ip h (11.38) Dit geeft na integratie en omschrijven φ p = φ 0,p e ipx h (11.39) met p = hk, staat hier: φ p = φ 0,p e ikx (11.40) Dit zijn dezelfde eigenfuncties als voor de energie (11.35). Dus energie en impuls hebben (alhier!) gemeenschappelijke eigenfuncties. Dat moet ook, want er geldt: [ h m d dx, h i ] d = 0 (11.41) dx Nu hebben we eerder gezien dat de eigenfuncties van de energie of impuls (voor dit vrije deeltje) niet kwadratisch integreerbaar zijn. Dat is lastig. Om dit probleem te omzeilen voeren we een ander soort normering in. Sluit het deeltje op in een willekeurig grote, maar eindige lengte L op de x as, gecentreerd in de oorsprong en eis dat φ(x) voldoet aan periodieke randvoorwaarden, dat wil zeggen φ(x + L) = φ(x) (11.4) In tekening: Figuur

158 Dit impliceert dat k niet langer willekeurig is, maar alleen discrete waarden kan hebben. We eisen: e ik(x+l) = e ikx (11.43) Dit geldt wanneer: e ikl = 1 coskl + isinkl = 1 dus coskl = 1 en sinkl = 0 zodat Waarmee: k n L = n π k n = πn L φ n (x) = φ 0 e ik nx (11.44) (11.45) Hiermee kunnen we de eigenfuncties van de impuls normeren. We eisen: L φn φ n dx = 1 (11.46) L uitgewerkt: L L φn e iknx e +iknx dx = φ 0 x +L L = φ 0 L = 1 Zodat φ 0 = 1 L De genormeerde eigenfuncties van de impuls zijn dan: φ n (x) = 1 L e ik nx (11.47) (11.48) met k n = πn L voor n = 1,,3,... Met deze kunstgreep kunnen we ook aantonen dat de eigenfuncties behorende bij verschillende eigenwaarden van de impuls p n en p m, orthogonaal zijn, zoals eigenschap van een hermitische operator vereist. +L L φ n (x)φ m (x) dx = +L 1 L L e ik nx 1 e ikmx dx L = 1 e i(k m k n )x dx L 1 = e i(k m k n )x d{i(k m k n )x} Li(k m k n ) [ ] 1 + L = il(k m k n ) ei(k m k n )x L ( e i(k m k n ) L e i(k m k n ) L 1 = il(k m k n ) = L(k m k n ) sin(k m k n ) L = sinπ (m n) = 0 L(k m k n ) ) (11.49) 148

159 Op deze wijze hebben we een orthonormaal stelsel eigenfuncties van de impuls gecreëerd. Inclusief de tijdsafhankelijkheid hebben we voor een naar rechts lopend vrij deeltje met welbepaalde energie E en impuls p de volgende golffunctie: ψ(x,t) = e iωt 1 L e ikx (11.50) Nu is de tijdsafhankelijke SV lineair, dat wil zeggen als ψ 1 en ψ oplossingen zijn, dan ook αψ 1 + βψ, met α en β constanten. In het algemeen hebben we als oplossing: ψ(x,t) = A 1 e iω 1t 1 L e ik 1x + A e iω t 1 L e ik x +... (11.51) Dit is geen stationaire oplossing. Bij continue k s, bijvoorbeeld liggend tussen k o ε en k o + ε ontstaat: ko +ε ψ(x,t) = A(k)e i(kx ωt) dk (11.5) k o ε Dit is een golfpakket, waarvan we weten dat het een groepssnelheid V gr = dω dk en een fase-snelheid V f = ω k bezit. Ook weten we dat dit golfpakket dispergeert, omdat de bijbehorende dispersierelatie E = p m, dus hω = h k m ons dat leert. Maar het is geen golf, maar een deeltje, dus moet er nog iets verteld worden. 149

160 Vraagstukken hoofdstuk Kies: f (x) = x,g(x) = x,h(x) = 1;x [ 1,1] Bepaal: f, g en h. Bepaal ook (g,h). Antwoord: 5 ; 3 ; en Zelfde als opgave 11.1, maar nu voor x [0,1]. Antwoord: 1 5 ; 1 3 ; 1 en f (x) = e ix, g(x) = e ix/ ; x [ π,π]. Bereken: f, g en f + g Bereken ook: ( f,ig) en (ig, f ). Antwoord: π; π; π + ; 4i en 4i 11.4 Toon aan dat sinx en cosx loodrecht op elkaar staan op het interval [0,π] 11.5 Toon aan (11.11) en (11.1), uitgaande van (11.10) 11.6 Bewijs de volgende rekenregels: (a) ((  + ˆB ) f,g ) = (  f,g ) + ( ˆB f,g ) (b) (  f,g ) = ( g,â f ) 11.7 Als  en ˆB twee operatoren zijn, dan geldt: [Â, ˆB ] =  [ Â, ˆB ] + [ Â, ˆB ]  Ga dit na. Als bovendien geldt dat [ Â, ˆB ] = Â, wat wordt dan een eenvoudige gedaante van [ Â, ˆB ]? 11.8 Twee operatoren  en ˆB zijn verwisselbaar.  heeft een eigenfunctie f, waarvoor geldt  f = λ f. Ga na, dat nu ook ˆB f een eigenfunctie is van Â, voor dezelfde λ Voor twee operatoren ˆP en ˆQ geldt: [ ˆP, ˆQ ] = ˆQ. Verder is ˆP f = λ f ( f eigenfunctie van P). Toon aan dat ˆQ f eigenfunctie is van P. Voor welke eigenwaarde? Antwoord: λ Ga de volgende eigenschappen na: (a) (  ± ˆB ) =  ± ˆB (b)  =  (c) (ia) = iâ (d) (  ˆB ) = ˆB   en ˆT zijn operatoren,  is hermitisch. Toon aan dat ook ˆT  ˆT hermitisch is. In de volgende opgaven mag u gebruik maken van de kennis dat ˆx, ŷ, ẑ en ˆp x, ˆp y, ˆp z hermitische operatoren zijn Toon aan dat ˆx ˆp x + ˆp x ˆx een hermitische operator is Toon aan dat de Hamilton operator Ĥ = h m +V (x) hermitisch is. dx d 150

161 11.14 Ga na dat ˆL x, ˆL y en ˆL z hermitisch zijn Ga na dat [ˆL x, ˆL y ] = i hˆl z en bereken: [ˆL y, ˆL z ] en [ˆL z, ˆL x ] Antwoord: i hˆl x ; i hˆl y Bereken [ˆL x,y ] Antwoord: i hz Bereken [ˆL, ˆL z ] met gebruikmaking van de resultaten van opgave Antwoord: De operator Û heeft de eigenschap ÛÛ = 1. Voor de operator  en een zekere functie f 0 geldt  f = λ f. Toon aan dat λ eigenwaarde is van de operator ˆB = Û ÂÛ en bepaal een eigenfunctie, die erbij hoort. Antwoord: U f. 151

162 15

163 Hoofdstuk 1 De interpretatie in de kwantummechanica 1.1 Het superpositie principe We hebben een observabele A met eigenwaarde A i en eigenfuncties φ Ai, dus Âφ Ai = A i φ Ai. We schrijven een willekeurige toestand als een superpositie van eigenfunctie: ψ(x,t) = c 1 (t)φ A1 + c (t)φ A + c 3 (t)φ A (1.1) Dit heet het superpositie principe. De φ Ai zijn genormeerd, dus φ Ai = 1 (zie figuur 1.1). Figuur 1.1: Het superpositie principe in beeld. De interpretatie is de volgende. We hebben een oneindig aantal identiek geprepareerde opstellingen. Van iedere opstelling gaan we op moment t de observabele A meten. Dan vinden we bij de ene opstelling A 4, bij de andere A 86, en weer een andere A, enz. Sommige waarden komen vaker voor. De kans om A i te meten is gelijk aan c i (t). Na de meting stort de golffunctie in (collaps). Stel we meten A 1, dan zal na de meting het systeem zich bevinden in de toestand φ A1. In schema: opstelling opstelling opstelling meetwaarde A 1 A A 3... kans c 1 (t) c (t) c 3 (t)... collaps φ A1 φ A φ A3... De som van alle kansen moet 1 zijn, dus: c i (t) = 1 (1.) 153

164 Hieraan is voldaan als ψ (x,t) genormeerd is, dus als geldt: + ψ (x,t)ψ(x,t) dx = 1 (1.3) Bewijs: ψ ψ dx = = (c 1φ1 + c φ +...)(c 1 φ 1 + c φ +...) dx c 1 φ1 φ 1 dx + c φ φ dx + c 1c φ1 φ dx +... = c 1 (φ 1,φ 1 ) + c (φ,φ ) c 1c (φ 1,φ ) +... = c i Terug naar ons golfpakket, geschreven als som: ψ(x,t) = A 1 e iω 1t 1 L e ik 1t + A e iω t 1 L e ik x +... (1.4) We nemen aan dat de functie ψ genormeerd is. We kunnen schrijven: ψ(x,t) = A 1 e iω 1t φ 1 + A e iω t φ +... (1.5) met φ i de genormeerde eigenfunctie van de impuls, behorende bij eigenwaarde p i. Formule (1.5) is nu uitgeschreven gelijk (1.1). Nu ga ik van dit vrije deeltje (het is maar één deeltje) de impuls meten. Wat zal ik vinden? Een mogelijke waarde is p 1 of p, of p 3, of... Ik weet niet wat het wordt, maar ik kan wel zeggen wat de kans is om p 1 te vinden. Deze is namelijk: A1 e iω 1t = A 1 Stel ik meet echt p 1, dan is na de meting het deeltje in de eigentoestand φ 1 (collapse of the wave function). Een bijzonder geval is onze oorspronkelijke stationaire oplossing van het vrije deeltje: ψ(x,t) = e iωt 1 L e ikx De ψ(x,t) is reeds genormeerd. Ik meet de impuls. Dan vind ik altijd p (= hk), behorende bij de eigenfunctie eikx L. Met welke kans? Met de kans e iωt = 1, dus altijd, zoals reeds gezegd. Treedt er een collapse op? Nee! We zitten al in een eigentoestand. 1. Gemiddelde en standaarddeviatie Ter introductie van de begrippen gemiddelde en standaarddeviatie kijken we naar het volgende experiment. Er is een examen kwantummechanica geweest. Uw examinator moet dit nakijken en cijfers vaststellen. Geheel in de geest van de kwantummechanica gaat dit als volgt. Uw examinator loopt met de examenwerken in de hand een trap op, 10 treden hoog. Daarna gooit hij de stapel examenwerken naar beneden. Het werk dat op de laagste tree blijft liggen, krijgt het cijfer 1, op de één na laatste twee krijgt een, enzovoort. Zo ontstaat voor de 30 deelnemers de volgende distributie. Er zijn dus 6 deelnemers met cijfer 7, met cijfer 9, enzovoort. het gemiddeld cijfer < s >= N is i N (1.6) In dit geval geeft dat < s >= 5,83 De kans op een 6 is 7/30, de kans op een 9 is /30, enzovoort. 154

165 Figuur 1.: Distributie van cijfers over de deelnemers. We kunnen ook schrijven: ) Ni < s >= ( s i = N (kans op s i ) s i (1.7) Vervolgens willen we een maat hebben voor de spreiding van de cijfers. Een of andere grootheid s, waarvan je kan zeggen dat de meeste cijfers liggen in het interval tussen < s > 1 s en < s > + 1 s. Die s is een soort maat voor de breedte van de piek. Daartoe is ingevoerd: de variantie van s = (s i < s >) N i N (1.8) de standaarddeviatie s = variantie van s (1.9) Voor de variantie nemen we het verschil tussen een cijfer en het gemiddelde cijfer, dus s i < s >. Dit kwadrateren we, opdat er altijd iets positiefs uitkomt. We geven het een gewichtsfactor N i N. Zo heeft in ons voorbeeld het cijfer 4 de gewichtsfactor 5/30. Stel dat niet 5 maar slechts deelnemers een 4 gehaald zouden hebben. Dan zou de gewichtsfactor /30 geweest zijn, resulterend in een kleinere s, dus in een scherpere piek, maar dat moet dan ook. Vandaar de gewichtsfactor. We hebben gekwadrateerd, dus de variantie heeft de verkeerde dimensie. We moeten de wortel nemen uit de variantie als maat voor de piekbreedte. Dit is onze standaarddeviatie. We kunnen ook schrijven: variantie s = (kans op s i )(s i < s >) (1.10) Voor ons voorbeeld: variantie s = 3,14 standaard deviatie s = 3,14 = 1,77 In de kwantummechanica hebben we ook cijfers (eigenwaarden) met bijbehorende kans. Voor systeem ψ = c 1 φ 1 + c φ +... met {φ i } eigenfuncties van operator  hebben we: We definiëren: de gemiddelde waarde van A of verwachtingswaarde van A: < A >= ψ Âψ dx (1.11) de variantie van A =< (  < A > ) > (1.1) 155

166 Figuur 1.3: Kansverdeling van de eigenwaarden A i en de standaarddeviatie van A: A = variantie A (1.13) mits ψ en φ genormeerd. We bewijzen dat < A > = = = ψ Âψ dx = (kans op A i ) A i (c 1φ 1 + c φ +...)Â(c 1 φ 1 + c φ +...) dx (c 1φ 1 + c φ +...)(c 1 A 1 φ 1 + c A φ +...) dx want φ i is eigenfunctie van Â, dus Âφ i = A i φ i = c 1 A 1 φ1 φ 1 dx + = A 1 c 1 φ1 φ 1 dx+a c } {{ } 1 c A φ φ dx c 1c A φ1 φ dx φ φ dx c 1c A φ1 φ dx+... } {{ } } {{ } 1 0 want φ i is genormeerd en ze staan loodrecht op elkaar, dus (φ i,φ i ) = 1 en (φ i,φ i ) = 0 voor i j. Dus de uitdrukking < A >= = c i A i = (kans op A i ) A i (1.14) ψ Âψ dx = ( ψ,âψ ) is volkomen in overeenstemming met het normale begrip gemiddelde. Zo is eveneens te bewijzen. variantie A =< (  < A > ) >= (kans op A i )(A i < A >) (1.15) dus de kwantummechanische variantie en standaarddeviatie zijn volkomen in overeenstemming met de normale begrippen variantie en standaarddeviatie. 1.3 Onzekerheidsrelaties Indien twee observabelen commuteren, dus [ Â, ˆB ] = 0, dan bezitten  en ˆB gemeenschappelijke eigenfuncties. Dit impliceert dat A en B met oneindige precisie tegelijkertijd scherp gemeten kunnen worden. Immers het systeem bevindt zich na meting van bijvoorbeeld A in de eigentoestand φ Ai met eigenwaarde A i. Dit is 156

167 ook een eigenfunctie van B met bijvoorbeeld de eigenwaarde B j. Zodoende vinden we op één moment zowel A i als B j. Als voorbeeld kijken we naar het naar rechts lopende vrije deeltje ψ(x,t) = A 1 e ivω 1t 1 L e ik 1x + A e iω t 1 L e ik x +... (1.16) Stel we meten de energie. Dan vindt er een reductie plaats van de golffunctie, bijvoorbeeld naar e ik x L. De bijbehorende eigenwaarde van de energie is dan E = h k m. Hiermee ligt ook de impuls vast, volgens p = me = hk, omdat alleen positieve k s meededen in dit verhaal. Indien [ Â, ˆB ] 0, kunnen de met deze observabelen corresponderende fysische grootheden niet gelijktijdig willekeurig scherp worden gedefinieerd. Men kan het volgende bewijzen. Indien [Â, ˆB ] = iĉ (1.17) is Ĉ een hermitisch operator en geldt: A B 1 < Ĉ > (1.18) Hierbij zijn A en B de standaarddeviaties. Dit passen we toe op de operatoren ˆx = x en ˆp x = h d i dx. Er geldt: [ ˆx, ˆp x ] = i h (1.19) Zodat x p x h (1.0) Analoog is afleidbaar: y p y h en z p z h De relatie E t h volgt niet direct uit bovenstaande, omdat de tijd geen observabele is. In dit verband moet ook het begrip complementariteit genoemd worden. In navolging van Bohr zeggen we dat positie en impuls complementair zijn, omdat de exacte kennis van de positie (impuls) impliceert dat alle mogelijke meetuitkomsten van de impuls (positie) even waarschijnlijk zijn. Voor ons vrije deeltje, beschreven middels (11.5), het golfpakket, ontstaan de volgende plaatjes. Figuur 1.4: Schematisch gedrag van een golfpakket. 157

168 Vraagstukken hoofdstuk Bewijs (1.15) 1. Gegeven de potentiaalput: Gegeven: Ĥφ = Eφ, dus h d φ +V φ = Eφ m dx (a) Bewijs dat de genormeerde eigenfuncties van de energie gelijk zijn aan: φ n (x) = i ( nπx ) sin voor n = 1,,3,... a a (b) Eigenschap zegt: Eigenfuncties van een hermitische operator die behoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal. Toon aan: (φ n,φ m ) = 0 voor n m (c) Voeg het tijdsafhankelijke deel e iωt toe aan uw energie eigenfuncties. Hoe groot is de kans om bij een meting een deeltje te vinden dat naar rechts (links) loopt? Antwoord: 1 ; 1 (d) Bereken voor de stationaire toestanden uit c) de verwachtingswaarde x, p, E en p Antwoord: a ; 0; E n; me n (e) Bereken de standarddeviatie p, E en ( p ). nπ h Antwoord: a ; 0; Ter herinnering: Oneven functie: f (y) = f ( y) + (oneven functie) dy = 0 Even functie: f (y) = + f ( y) + (even functie) dy = 0 (even functie) dy 0 158

169 Beschouw de harmonische oscillator: ( E n = n + 1 ) hω φ n (x) = C n e λx H n (x ) λ ( ) 1 1 C n = n n! 1 λ 4 π met λ = mω h Gegeven: H 0 (y) = 1;H 1 (y) = y;h (y) = 4y (a) Toon aan (φ 1,φ ) = 0 (b) Toon aan < x >= 0 voor φ 1 (x) (c) Toon aan < p >= 0 voor φ 1 (x) (d) Zie 8.4 van Trillingen en Golven, waar ten behoeve van de overgangswaarschijnlijkheid het matrix-element x mn wordt geïntroduceerd. x mn = φmxφ n dx Toon aan dat h x 10 = mω. (e) Toon aan dat x 0 = 0 159

170 160

171 Hoofdstuk 13 Diversen 13.1 Ontaarding Voor iedere observabele kunnen we een eigenwaarde vergelijking opstellen: Âφ Ai = A i φ Ai (13.1) Indien bij één waarde A i meerdere eigenfuncties bestaan, spreken we van ontaarding. Zijn er n eigenfuncties, dan zeggen we dat het systeem n-voudig ontaard is. Ter illustratie van het begrip ontaarding beschouwen we een deeltje opgesloten in een driedimensionale doos. Figuur 13.1: Een deeltje in een doos. We hebben een driedimensionaal probleem. De tijdsonafhankelijke SV wordt: [ h φ m x + φ y + ] φ z = Eφ met φ = φ(x,y,z) (13.) φ(x,y,z) = X (x) Y (y) Z (z) en k = me h (13.3) Substitutie geeft: 1 d X X dx }{{ = 1 d Y Y dy } 1 d Z Z dz k }{{} alleen functie van x alleen functie van y en z (13.4) Het linkerlid kan alleen maar gelijk zijn aan het rechterlid als dit een constante is. Noem deze k x. Aldus ontstaat: 1 X d X dx + k x = 0 en 1 Y d Y dy + 1 Z d Z dz + k = k x (13.5) 161

172 ofwel: 1 d Y Y dy }{{ = 1 d Z Z dz } k + kx }{{} alleen functie van y alleen functie van z (13.6) Noem de constante nu k y. Aldus ontstaat: ofwel 1 Y 1 Z d Y dy + k y = 0 (13.7) d Z dz + k k x k y = 0 (13.8) k k x k y = k z (13.9) Zo ontstaan er drie vergelijkingen: d X dx + k xx = 0 d Y dy + k yy = 0 d Z dz + k z Z = 0 (13.10) Randvoorwaarde: voor x = 0 moet gelden X(x) = 0, dus 0 = A 1 + B 1 B 1 = A 1, zodat X(x) = A 1 [e ik xx e ik xx ] = ia 1 sink x x (13.11) Randvoorwaarde: voor x = a moet gelden X(x) = 0, dus 0 = ia 1 sin(k x a) k x = n 1 π a met n 1 = 1,,3 (13.1) Op analoge wijze is Y (y) en Z(z) te vinden. We krijgen: φ(x,y,z) = ia 1 sin(k x x) ia sin(k y y) ia 3 sin(k z z) (13.13) We schrijven: φ(x,y,z) = C sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z) (13.14) met de kwantisatie eisen: k x = n 1 π a ; k y = n π b en De energie is gekwantiseerd volgens: E = h k m = h ( k m y + ky + kz ) k z = n 3 π c (13.15) (13.16) E = h π m ( ) n 1 a + n b + n 3 c (13.17) 16

173 We gaan φ(x,y,z) normeren. Bedenk dat alle formules met integralen, zoals het inwendig product, de norm, de verwachtingswaarde, de standaarddeviatie, de overgangswaarschijnlijkheid, enzovoort in drie dimensies integralen worden over dx dy dz. Aldus: voluit φ = a a b c o o o x=0 b y=0 c z=0 Gebruik a sin (k x x) dx = a zodat 0 φ φ dz dy dx eis = 1 (13.18) C sin (k x x)sin (k y y)sin (k z z) dx dy dz eis = 1 (13.19) (13.0) φ = C a b c = 1 C = (13.1) abc De genormeerde energie eigenfunctie wordt: φ (x,y,z) = abc sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z) (13.) We berekenen nog eens iets, bijvoorbeeld: < p x >= a b c φ ( h i ) φ dx dy dz (13.3) x Deze integraal nader uitwerken geeft < p x >= 0 Ander voorbeeld: a b c ( )( < E >= φ h m x + y + ) z φ dx dy dz (13.4) Deze integraal is eenvoudig oplosbaar, omdat Ĥφ = Eφ, dus < E >= E a b c φ φ dx dy dz = E (13.5) want φ hadden we genormeerd. Een belangrijk aspect is het volgende. Kies a = b = c, dus een kubische potentiaalput (doos). Dan krijgen we voor de energie: met E = h π ( n ma 1 + n + n ) h π n 3 = ma (13.6) n = n 1 + n + n 3 (13.7) en de bijbehorende golffuncties: φ = a a sin πn 1x a sin πn y a sin πn 3z a (13.8) De energie hangt alleen af van n = n 1 +n +n 3. Dit betekent dat alle golffuncties φ, behorende bij positieve gehele waarden van n 1, n en n 3, die dezelfde waarde voor n opleveren, dezelfde energie hebben. Als echter 163

174 de getallen n 1, n en n 3 veranderd worden zonder dat n verandert, dan verandert de golffunctie ook. Dus een zeker energieniveau kan beantwoorden aan verscheidene golffuncties. Dit noemen we ontaarding. De ontaardingsgraad g van een energieniveau is gelijk aan het aantal verschillende (lineair onafhankelijke golffuncties) bij de gegeven energie. Deze zijn voor de eerste zes energieniveaus van een kubische potentiaalput in tabel 13.1 aangegeven, waarbij E 1 = π h ma (13.9) Tabel 13.1: Energieniveaus, bijbehorende lineaire golffuncties en ontaardingsgraden van een kubische potentiaal put energie combinaties van n 1,n,n 3 ontaardingsgraad g 3E 1 (1,1,1) 1 6E 1 (,1,1) (1,,1) (1,1,) 3 9E 1 (,,1) (,1,) (1,,) 3 11E 1 (3,1,1) (1,3,1) (1,1,3) 3 1E 1 (,,) 1 14E 1 (1,,3) (3,,1) (,3,1) (1,3,) (,1,3) (3,1,) 6 We zien 3E 1 en 1E 1 zijn niet ontaard. Die toestand ligt volkomen vast wanneer we de energie meten. Zo niet bij de andere energieniveaus. Naast de energie moet je ook de p x (dus n 1 ) en de p y (dus n ) meten. Als E, p x en p y bekend zijn, ligt p z vast, dus die hoef je niet meer te meten. In zijn algemeenheid wordt het systeem (de golffunctie) vastgelegd door drie kwantumgetallen, behorende bij de energie, de p x en de p y. De observabelen moeten commuteren, want dan zijn E, p x en p y tegelijkertijd met willekeurige precisie vast te leggen. Het systeem ligt niet vast door bijvoorbeeld te meten E, p x en x, want p x en x commuteren niet. Technisch gezien, is het wel mogelijk om tegelijkertijd E, p x en x te meten. Daar ligt het probleem niet. Stel we meten E en vinden bijvoorbeeld 14E, we meten p x en vinden bijvoorbeeld n 1 = 3. Stel we meten x en vinden bijvoorbeeld x 1. Als we dit opnieuw doen aan hetzelfde systeem, dan vinden we opnieuw 14E, en n 1 = 3, want dat zijn eigentoestanden van de energie en impuls p x, maar we vinden een andere x, bijvoorbeeld x. Het systeem is geen eigentoestand van x. Als dat wel was geweest, had ik altijd de plaats x 1 gevonden, maar dan had ik de toestand ook gekend. Hier is het geen eigentoestand van de plaats en derhalve geeft de meetuitkomst x 1 geen informatie over de golffunctie. De eigenfunctie bij alle ontaarde energieniveaus ligt volledig vast door de observabelen Ĥ, ˆp x en p y. We noemen de verzameling een volledig stelsel commuterende observabelen. Die eigenfunctie is ook een eigenfunctie van iedere observabele die met Ĥ, ˆp x en p y commuteert, bijvoorbeeld p z, maar die p z mogen we niet toevoegen aan het volledige stelsel, omdat het systeem vast ligt met 3 kwantumgetallen, waarvoor we hier gekozen hebben n, n 1 en n. Een vierde kwantumgetal is overbodig. De eigenfuncties bij één eigenwaarde zijn lineair onafhankelijk, met andere woorden, de functies moeten orthogonaal zijn. 164

175 In het algemeen kunnen we voor de willekeurige golffunctie van het deeltje in de doos schrijven: ψ(x,y,z,t) = A 1 e iω 1t φ 1 (x,y,z) + A e iω t φ (x,y,z) +... met hω 1 = 3E 1 en hω = 6E 1 enzovoort. Maar het energieniveau 6E 1 kent een 3-voudige ontaarding. Figuur 13. De eigenfunctie φ is weer te schrijven als een superpositie van basisfuncties. φ = c 1 φ(n1, n 1) + c φ(1,) + c 3 φ(1,1) Figuur 13.3 Zodat: ψ(x,y,z,t) = A 1 e iω 1t φ 1 (x,y,z) + A e iω t [c 1 φ(,1) + c φ(1,) + c 3 φ(1,1)] +... Dit ziet er ingewikkeld uit maar de praktijk is minder moeilijk. Als het gaat om de bouw van moleculen en atomen zijn we in de eerste plaats geïnteresseerd in stationaire oplossingen. Zo ook bij dit deeltje in een doos, dus de superpositie van de energie eigenfuncties speelt geen rol, want de superpositie levert geen stationair systeem op. Was dit deeltje in de doos een atoom geweest, dan zouden we het laagste energieniveau 3E 1 de grondtoestand noemen en 6E 1 de eerste aangeslagen toestand. Als het systeem is aangeslagen kan het terugkeren naar de grondtoestand onder uitzending van een foton met frequentie ω f, waarvoor geldt: hω f = 6E 1 3E 1 = 3E 1. Dit proces levert (voor veel dozen) één spectraallijn op met frequentie ω f, ongeacht het feit dat het energieniveau 6E, drievoudig ontaard is. Als we echter een extern elektrisch of magnetisch veld aanbrengen in de doos, dan krijgen we een andere Hamiltoniaan. Dat zal in het algemeen resulteren in een opsplitsing van het 6E 1 niveau in 3 nieuwe niveaus. Onder die conditie krijgen we 3 spectraallijnen. We zeggen: de ontaarding is opgeheven. Zo heeft men de elektronspin ontdekt. Als je een waterstofatoom in een constant homogeen magnetisch veld brengt, zullen bepaalde spectraallijnen opsplitsen in twee nieuwe lijnen (Zeeman-effect). Er was een tweevoudige ontaarding, die men nog niet in kaart gebracht had. Er moest een nieuwe observabele zijn. Dit werd de elektronspin. Het volledige stelsel commuterende observabelen van het waterstofatoom bestaat uit: Ĥ, ˆL, ˆL z en Ŝ z met Ŝ z = z-component van de spin operator Het waterstofatoom kent dus veel ontaarding. 165

Voorbeeld 1: Oneindig diepe potentiaalput

Voorbeeld 1: Oneindig diepe potentiaalput Voorbeeld : Oneindig diepe potentiaalput In de onderstaande figuren bevindt zich een deeltje in een eendimensionale ruimte tussen x 0 en x a. Binnen dat gebied is de potentiële energie van het deeltje

Nadere informatie

Geleid herontdekken van de golffunctie

Geleid herontdekken van de golffunctie Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Hierin is λ de golflengte in m, v de golfsnelheid in m/s en T de trillingstijd in s.

Hierin is λ de golflengte in m, v de golfsnelheid in m/s en T de trillingstijd in s. Inhoud... 2 Opgave: Golf in koord... 3 Interferentie... 4 Antigeluid... 5 Staande golven... 5 Snaarinstrumenten... 6 Blaasinstrumenten... 7 Opgaven... 8 Opgave: Gitaar... 8 Opgave: Kerkorgel... 9 1/10

Nadere informatie

Tentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur

Tentamen. Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April Tijd/tijdsduur: 3 uur Tentamen Kwantumchemie & Fysica (4051QCHFY-1314FWN) Datum: 10 April 2014 Tijd/tijdsduur: 3 uur Docent(en) en/of tweede lezer: Dr. F.C. Grozema Prof. dr. L.D.A. Siebbeles Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven:

Nadere informatie

Tentamen Golven en Optica

Tentamen Golven en Optica Tentamen Golven en Optica 5 juni 008, uitwerking 1 Lopende golven en interferentie op een snaar a In[1]:= y 0 1; y 1 x, t : y x, t : y 0 x 300 t 4 y 0 x 300 t 4 4 In[4]:= Ploty 1 x, 0, y x, 0, x, 10, 10,

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Tentamen Optica. 20 februari Zet je naam, studentennummer en studierichting bovenaan elk vel dat je gebruikt. Lees de 6 opgaven eerst eens door.

Tentamen Optica. 20 februari Zet je naam, studentennummer en studierichting bovenaan elk vel dat je gebruikt. Lees de 6 opgaven eerst eens door. Tentamen Optica 20 februari 2007 Zet je naam, studentennummer en studierichting bovenaan elk vel dat je gebruikt. Lees de 6 opgaven eerst eens door. Opgave 1 We beschouwen de breking van geluid aan een

Nadere informatie

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016

Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Naam: Klas: Toets Eenvoudige interferentie- en diffractiepatronen VWO (versie A)

Naam: Klas: Toets Eenvoudige interferentie- en diffractiepatronen VWO (versie A) Naam: Klas: Toets Eenvoudige interferentie- en diffractiepatronen VWO (versie A) Opgave 1 Twee kleine luidsprekers L 1 en L hebben een onderlinge afstand van d = 1,40 m. Zie de figuur hiernaast (niet op

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Licht. Natuurkunde VWO 2011/2012. www.lyceo.nl

Hoofdstuk 3: Licht. Natuurkunde VWO 2011/2012. www.lyceo.nl Hoofdstuk 3: Licht Natuurkunde VWO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 3: Licht Natuurkunde 1. Mechanica 2. Golven en straling 3. Elektriciteit en magnetisme 4. Warmteleer Rechtlijnige beweging Trilling en

Nadere informatie

1. 1 Wat is een trilling?

1. 1 Wat is een trilling? 1. 1 Wat is een trilling? Een trilling is een beweging die steeds wordt herhaald. Bijvoorbeeld een massa m dat aan een veer hangt. In rust bevindt m zich in de evenwichtsstand. Als m beweegt noemen we

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud Higgs-deeltje Peter Renaud Heideheeren Inhoud 1. Onze fysische werkelijkheid 2. Newton Einstein - Bohr 3. Kwantumveldentheorie 4. Higgs-deeltjes en Higgs-veld 3 oktober 2012 Heideheeren 2 1 Plato De dingen

Nadere informatie

Inleiding Optica (146012).

Inleiding Optica (146012). Inleiding Optica (146012). Cursusjaar: 2007-2008 De leerstof van week tot week en begripsvragen. Besteed ca. 10 uur per week aan thuis-zelfstudie (dus excl. de colleges!) Maak zo veel mogelijk vraagstukken.

Nadere informatie

1 f T De eenheid van trillingstijd is (s). De eenheid van frequentie is (Hz).

1 f T De eenheid van trillingstijd is (s). De eenheid van frequentie is (Hz). 1. 1 Wat is een trilling? Een trilling is een beweging die steeds wordt herhaald. Bijvoorbeeld een massa m dat aan een veer hangt. In rust bevindt m zich in de evenwichtsstand. Als m beweegt noemen we

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

2de bach HIR. Optica. Smvt - Peremans. uickprinter Koningstraat Antwerpen EUR

2de bach HIR. Optica. Smvt - Peremans. uickprinter Koningstraat Antwerpen EUR 2de bach HIR Optica Smvt - Peremans Q uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen www.quickprinter.be 231 3.00 EUR Trillingen 1. Eenparige harmonische beweging Trilling =een ladingsdeeltje beweegt herhaaldelijk

Nadere informatie

TENTAMEN. x 2 x 3. x x2. cos( x y) cos ( x) cos( y) + sin( x) sin( y) d dx arcsin( x)

TENTAMEN. x 2 x 3. x x2. cos( x y) cos ( x) cos( y) + sin( x) sin( y) d dx arcsin( x) FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde Kenmerk: 46055907/VGr/KGr Vak : Inleiding Optica (4602) Datum : 29 januari 200 Tijd : 3:45 uur 7.5 uur TENTAMEN Indien U een onderdeel

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Opgave 1 Botsend blokje (5p) Een blok met een massa van 10 kg glijdt over een glad oppervlak. Hoek D botst tegen een klein vastzittend blokje S

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Golven. 4.1 Lopende golven

Golven. 4.1 Lopende golven Golven 4.1 Lopende golven Samenvatting bladzijde 158: Lopende golf Transversale golf http://www.pontes.nl/~natuurkunde/vwogolf164/transversale_golfsimulation.html Longitudinale golf http://www.pontes.nl/~natuurkunde/vwogolf164/longitudinale_golfsimulation.html

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Optica

Uitwerkingen Tentamen Optica Uitwerkingen Tentamen Optica Datum van het tentamen: 19 februari 2008 Opgave 1 a) Het hoekoplossend vermogen van een lens (of een holle spiegel) is direct gerelateerd aan het Fraunhofer diffractiepatroon

Nadere informatie

Exact Periode 5. Dictaat Licht

Exact Periode 5. Dictaat Licht Exact Periode 5 Dictaat Licht 1 1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is een elektromagnetische

Nadere informatie

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo rillingen http://nl.wikipedia.org/wiki/bestand:simple_harmonic_oscillator.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/simple_harmonic_motion_animation.gif Samenvatting bladzijde 110: rilling

Nadere informatie

Verstrooiing aan potentialen

Verstrooiing aan potentialen Verstrooiing aan potentialen In deze notitie zullen we verstrooiing beschouwen aan model potentialen, d.w.z. potentiaal stappen, potentiaal bergen en potentiaal putten. In de gebieden van de potentiaal,

Nadere informatie

koper hout water Als de bovenkant van het blokje hout zich net aan het wateroppervlak bevindt, is de massa van het blokje koper gelijk aan:

koper hout water Als de bovenkant van het blokje hout zich net aan het wateroppervlak bevindt, is de massa van het blokje koper gelijk aan: Fysica Vraag 1 Een blokje koper ligt bovenop een blokje hout (massa mhout = 0,60 kg ; dichtheid ρhout = 0,60 10³ kg.m -3 ). Het blokje hout drijft in water. koper hout water Als de bovenkant van het blokje

Nadere informatie

Buiging van een belaste balk

Buiging van een belaste balk Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Optica

Uitwerkingen tentamen Optica Uitwerkingen tentamen Optica 18 februari 2005 Opgave 1 2 y x 2 = 1 a 2 2 y t 2 (1) a) De eenheid van a moet zijn m/s, zoals te zien aan de vergelijking. a = v is de snelheid waarmee de golf zich voortbeweegt.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Golven. 4 november Brenda Casteleyn, PhD

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Golven. 4 november Brenda Casteleyn, PhD Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Golven 4 november 2017 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN. Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN. Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN Vak : Inleiding Optica (19146011) Datum : 9 november 01 Tijd : 8:45 uur 1.15 uur Indien U een onderdeel van een vraagstuk

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

Quantummechanica = golfmechanica

Quantummechanica = golfmechanica Quantummechanica = golfmechanica Golven Wave in stadion Geluidsgolf in lucht Geplukte snaar (Animaties van Dr. Dan Russell, Kettering University) Superpositie van golven Lineaire superpositie als twee

Nadere informatie

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE. Kenmerk: /vGr. Datum: 24 juli 2000 TENTAMEN

FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE. Kenmerk: /vGr. Datum: 24 juli 2000 TENTAMEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE Kenmerk: 46055519/vGr Datum: 24 juli 2000 Vak : Inleiding Optica (146012) Datum : 21 augustus 2000 Tijd : 9.00 uur - 12.30 uur TENTAMEN Indien U een onderdeel van een vraagstuk

Nadere informatie

Exact Periode 5 Niveau 3. Dictaat Licht

Exact Periode 5 Niveau 3. Dictaat Licht Exact Periode 5 Niveau 3 Dictaat Licht 1 1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is

Nadere informatie

Faculteit Biomedische Technologie. 28 januari 2016, 18:00-21:00 uur

Faculteit Biomedische Technologie. 28 januari 2016, 18:00-21:00 uur Faculteit Biomedische Technologie Tentamen EEKTROMAGNETISME en OPTICA (8NC00) 28 januari 2016, 18:00-21:00 uur Opmerkingen: 1) Het is toegestaan gebruik te maken van het formuleblad (zie Oase 8NC00). Het

Nadere informatie

In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur).

In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). 2.1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is een elektromagnetische golf. Andere voorbeelden

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Fysica 2 Practicum. Laser

Fysica 2 Practicum. Laser Fysica Practicum Laser 1. Theorie : Eigenschappen van een laserbundel 1.1. Werking van een gaslaser cf. Douglas C. Giancoli Natuurkunde voor Wetenschap en Techniek, Deel III : Moderne Natuurkunde). 1..

Nadere informatie

Eenvoudige gevallen van interferentie en diffractie

Eenvoudige gevallen van interferentie en diffractie Eenvoudige gevallen van interferentie en diffractie 1 Interferentie bij twee puntbronnen 2 Intensiteit en amplitude 3 Interferentie in het verre veld bij twee puntbronnen 4 Interferentie in het verre veld

Nadere informatie

2.1 Wat is licht? 2.2 Fotonen

2.1 Wat is licht? 2.2 Fotonen 2.1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een Elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is een elektromagnetische golf. Andere voorbeelden

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Geometrische optica. Hoofdstuk 1. 1.1 Principe van Huygens. 1.2 Weerkaatsing van lichtgolven.

Geometrische optica. Hoofdstuk 1. 1.1 Principe van Huygens. 1.2 Weerkaatsing van lichtgolven. Inhoudsopgave Geometrische optica Principe van Huygens Weerkaatsing van lichtgolven 3 Breking van lichtgolven 4 4 Totale weerkaatsing en lichtgeleiders 6 5 Breking van lichtstralen door een sferisch diopter

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006

Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006 Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 006 Opgave 1 a. 5 pt y 1 f x v t ; D y 1, t, v ^ D y 1, x, True y g x v t ; D y, t, v ^ D y, x, True Gewoon invullen in de golfvergelijking. Je moet dus weten

Nadere informatie

****** Deel theorie. Opgave 1

****** Deel theorie. Opgave 1 HIR - Theor **** IN DRUKLETTERS: NAAM.... VOORNAAM... Opleidingsfase en OPLEIDING... ****** EXAMEN CONCEPTUELE NATUURKUNDE MET TECHNISCHE TOEPASSINGEN Deel theorie Algemene instructies: Naam vooraf rechtsbovenaan

Nadere informatie

De golfvergelijking van Schrödinger

De golfvergelijking van Schrödinger De golfvergelijking van Schrödinger De golfvergelijking van Schrödinger beschrijft het gedrag van het elektron in het atoom. De oplossing van die vergelijking? i bevat informatie over de energie in de

Nadere informatie

De snelheid van de auto neemt eerst toe en wordt na zekere tijd constant. Bereken de snelheid die de auto dan heeft.

De snelheid van de auto neemt eerst toe en wordt na zekere tijd constant. Bereken de snelheid die de auto dan heeft. Opgave 1 Een auto Met een auto worden enkele proeven gedaan. De wrijvingskracht F w op de auto is daarbij gelijk aan de som van de rolwrijving F w,rol en de luchtwrijving F w,lucht. F w,rol heeft bij elke

Nadere informatie

Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing

Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa

Nadere informatie

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013

Schrödinger vergelijking. Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Schrödinger vergelijking Tous Spuijbroek Cursus Quantumwereld Najaar 2013 Inhoud presentatie Algemene opmerkingen Aannemelijk maken van de vergelijking Oplossingen van de vergelijking De situatie rond

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I Eindexamen vwo natuurkunde 03-I Beoordelingsmodel Opgave Sprint maximumscore De snelheid is constant omdat het (s,t)-diagram (vanaf 4 seconde) een rechte lijn is. De snelheid is gelijk aan de helling van

Nadere informatie

Naam: Klas: Repetitie Golven VWO (versie A) Opgave 2 Leg uit wat het verschil is tussen een transversale golf en een longitudinale golf.

Naam: Klas: Repetitie Golven VWO (versie A) Opgave 2 Leg uit wat het verschil is tussen een transversale golf en een longitudinale golf. Naam: Klas: Repetitie Golven VWO (versie A) Opgave 1 Een stemvork trilt met een trillingstijd van 2,27 ms. Bereken de bijbehorende frequentie. Opgave 2 Leg uit wat het verschil is tussen een transversale

Nadere informatie

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Opmerkingen: 1) Lijsten met de punten toegekend door de corrector worden op OASE gepubliceerd. De antwoorden van

Nadere informatie

Dimensies, eenheden en de Maxwell vergelijkingen

Dimensies, eenheden en de Maxwell vergelijkingen Dimensies, eenheden en de Maxwell vergelijkingen Alexander Sevrin 1 Inleiding De keuze van dimensies en eenheden in het elektromagnetisme is ver van eenduidig. Hoewel het SI systeem één en ander ondubbelzinnig

Nadere informatie

Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur

Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur EXAMEN HOGER ALGEMEEN VOORTGEZET ONDERWIJS IN 1979 Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE Dit examen bestaat uit 4 opgaven ft Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2014 theorietoets deel 1 Opgave 1 Fata Morgana (3p) We hebben een planparallelle plaat met een brekingsindex n(z), die met de afstand z varieert. Zie ook de figuur. a. Toon

Nadere informatie

Naam : F. Outloos Nummer : 1302

Naam : F. Outloos Nummer : 1302 1 ste bach. burg.ir.-arch. EXAMEN FYSICA 1 2011-2012, 1 ste zittijd 13 januari 2012 Naam : F. Outloos Nummer : 1302 Wie wat vindt heeft slecht gezocht. Rutger Kopland 1.1 1.2 1.3 A B C D A B C D A B C

Nadere informatie

Tentamen Golven & Optica (NS-104B)

Tentamen Golven & Optica (NS-104B) Tentamen Golven & Optica (NS-104B) 30 juni 2010, 3 uur - Maak elke opgave op een apart vel en voorzie die van naam en studentnummer - Gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan, gebruik van

Nadere informatie

De Broglie. N.G. Schultheiss

De Broglie. N.G. Schultheiss De Broglie N.G. Schultheiss Inleiding Deze module volgt op de module Detecteren en gaat vooraf aan de module Fluorescentie. In deze module wordt de kleur van het geabsorbeerd of geëmitteerd licht gekoppeld

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2015 TOETS APRIL :00 12:45 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2015 TOETS APRIL :00 12:45 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2015 TOETS 1 22 APRIL 2015 11:00 12:45 uur 1 Eenheden. (3 punten) Hoe hangt de snelheid van golven in een vloeistof af van de dichtheid en de bulk modulus van de vloeistof?

Nadere informatie

Trillingen en Golven. Samenvatting natuurkunde Hoofdstuk 3 & 4 Joris van Rijn

Trillingen en Golven. Samenvatting natuurkunde Hoofdstuk 3 & 4 Joris van Rijn Trillingen en Golven Samenvatting natuurkunde Hoofdstuk 3 & 4 Joris van Rijn NOTE: DE HOOFDSTUKKEN IN DEZE SAMENVATTING KOMEN OVEREEN MET DE PARAGRAFEN UIT HET BOEK. BIJ EEN AANTAL PARAGRAFEN VAN DEZE

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.

Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan. Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C1 7 april 1, 9. - 1. uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven

Technische Universiteit Eindhoven Technische Universiteit Eindhoven Tentamen: Golven en Optica (3BB40) Datum: 24 november 2006 N.B.: Dit tentamen bestaat uit 4 vraagstukken en 5 pagina s met formules (LET OP, formulebladen zijn gewijzigd!!).

Nadere informatie

NATUURKUNDE PROEFWERK

NATUURKUNDE PROEFWERK ATUURKUNDE 1 KLAS 5 10/05/06 NATUURKUNDE PROEFWERK N1V2 2.6-2.8 EN EN HOOFDSTUK 3 Proefwerk bestaat uit 2 opgaven. Geef duidelijke uitleg en berekeningen. Totaal: 33 punten. Opgave 1: een tl-buis Een tl-buis

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

Uitwerkingen Hertentamen Optica

Uitwerkingen Hertentamen Optica Uitwerkingen Hertentamen Optica 20 maart 2006 De volgende uitwerkingen zijn mogelijke manieren van oplossen, maar niet noodzakelijk de enige. Opgave 1 a) Dispersie is het fenomeen dat een medium een golflengte

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

Harmonische trillingen

Harmonische trillingen Periodieke verschijnselen hoofdstuk 8 Harmonische trillingen Fysica 6 (2u) Deze slides voor de lesbegeleiding worden ter beschikking gesteld, maar ze zijn te beperkt om als samenvatting van de cursus te

Nadere informatie

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten)

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Q3-1 De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Lees eerst de algemene instructies in de aparte envelop alvorens te starten met deze vraag. In deze opdracht wordt de fysica van de deeltjesversneller

Nadere informatie

Vrije ongedempte trilling

Vrije ongedempte trilling Periodieke verschijnselen hoofdstuk 8 Harmonische trillingen Fysica 6 (2u) Deze slides voor de lesbegeleiding worden ter beschikking gesteld, maar ze zijn te beperkt om als samenvatting van de cursus te

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Examentraining Natuurkunde havo Subdomein B1. Informatieoverdracht

Examentraining Natuurkunde havo Subdomein B1. Informatieoverdracht Examentraining Natuurkunde havo 2015 Subdomein B1. Informatieoverdracht Een trilling is een periodieke beweging rond een evenwichtsstand Kenmerkende grootheden: trillingstijd T (in s). Uit T is de frequentie

Nadere informatie

4. Maak een tekening:

4. Maak een tekening: . De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt, en wordt dus gegeven door

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30 TENTAMEN DYNAMICA (14030) 9 januari 010, 9:00-1:30 Verzoek: begin de beantwoording van een nieuwe vraag op een nieuwe pagina. En schrijf duidelijk: alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken.

Nadere informatie

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS 22 juli 1999 70 --- 13 de internationale olympiade Opgave 1. Absorptie van straling door een gas Een cilindervormig vat, met de as vertikaal,

Nadere informatie

Hoofdstuk 7: METING VAN DE FREQUENTIE- NAUWKEURIGHEID

Hoofdstuk 7: METING VAN DE FREQUENTIE- NAUWKEURIGHEID Hoofdstuk 7: METING VAN DE FREQUENTIE- NAUWKEURIGHEID 7.1. Inleiding In dit hoofdstuk zullen we enkele methoden bespreken voor het bepalen van de nauwkeurigheid van de door ons te distribueren frequentiestandaard.

Nadere informatie

Uitwerking- Het knikkerbesraadsel

Uitwerking- Het knikkerbesraadsel Figure 1: Afleiding faseverschuiving eerste laag. Uitwerking- Het knikkerbesraadsel 1. (a) Als de punten C en D in fase zijn, zal er constructieve interferentie optreden [1]. Het verschil in optische padlengte

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1 Opgave 1 Helikopter (3p) Een helikopter A kan in de lucht stilhangen als het geleverde vermogen door de motor P is. Een tweede helikopter B is een

Nadere informatie

Quantummechanica voor jong en oud. Gerard Nienhuis Huygens Laboratorium Universiteit Leiden

Quantummechanica voor jong en oud. Gerard Nienhuis Huygens Laboratorium Universiteit Leiden Quantummechanica voor jong en oud Gerard Nienhuis Huygens Laboratorium Universiteit Leiden Klassieke natuurkunde fysische objecten: materie en straling; materie bestaat uit deeltjes met massa, straling

Nadere informatie

QUANTUM FYSICA 1 3NB50. donderdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven.

QUANTUM FYSICA 1 3NB50. donderdag 28 oktober uur. Dit tentamen omvat 2 opgaven. 1 QUANTUM FYSICA 1 3NB5 donderdag 8 oktober 1 14. 17. uur Dit tentamen omvat opgaven. Bij ieder onderdeel wordt aangegeven wat de maximale score is op een schaal van 1 punten. Het formuleblad voor dit

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen:

Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: 60 Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze

Nadere informatie

De 42 e Internationale Natuurkunde Olympiade Bangkok, Thailand Experimentele toets Donderdag 14 juli 2011

De 42 e Internationale Natuurkunde Olympiade Bangkok, Thailand Experimentele toets Donderdag 14 juli 2011 Lees dit eerst: De 42 e Internationale Natuurkunde Olympiade Bangkok, Thailand Experimentele toets Donderdag 14 juli 2011 1. Er zijn twee experimenten. Voor elk experiment wordt maximaal 10 punten toegekend.

Nadere informatie

Juli geel Fysica Vraag 1

Juli geel Fysica Vraag 1 Fysica Vraag 1 Een rode en een zwarte sportwagen bevinden zich op een rechte weg. Om de posities van de wagens te beschrijven, wordt een x-as gebruikt die parallel aan de weg georiënteerd is. Op het ogenblik

Nadere informatie

Klassieke en Kwantummechanica (EE1P11)

Klassieke en Kwantummechanica (EE1P11) Maandag 3 oktober 2016, 9.00 11.00 uur; DW-TZ 2 TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Opleiding Elektrotechniek Aanwijzingen: Er zijn 2 opgaven in dit tentamen.

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012 - Biologie Schriftelijk examen 2e Ba Biologie 2011-2012 Naam en studierichting: Aantal afgegeven bladen, deze opgaven niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de

Nadere informatie

Werkblad 2.2: Doppelspalt Simulatie voor Fysische Optica en voor Quantum Verschijnselen 1

Werkblad 2.2: Doppelspalt Simulatie voor Fysische Optica en voor Quantum Verschijnselen 1 Werkblad 2.2: Doppelspalt Simulatie voor Fysische Optica en voor Quantum Verschijnselen 1 Vandaag doe je: I. De simulatie van quantum golven/deeltjes op http://phet.colorado.edu (geen gedetailleerde instructies,

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur 52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer

Nadere informatie