De Sitter ruimte. Universiteit van Amsterdam Instituut voor Theoretische Fysica

Transcriptie

1 De Sitter ruimte Coen Boellaard Verslag van Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde omvang 1 EC Uitgevoerd in de periode tot Begeleider: Dr. J.P. van der Schaar Universiteit van Amsterdam Instituut voor Theoretische Fysica 31 augustus 009

2 Samenvatting Een de Sitter ruimte geeft een beschrijving van het heelal waarin de kosmologische constante voor de enige aanwezige vorm van energie zorgt. Dit model geeft vermoedelijk een goede benadering van het versneld uitdijend heelal van zowel de toekomst als van de periode van kosmische inflatie. In deze scriptie wordt de de Sitter ruimte ingeleid vanuit de algemene relativiteit en bekijken we de eigenschappen ervan. Het zal blijken dat zo n de Sitter ruimte een horizon kent die sterke overeenkomsten heeft met de horizon van een zwart gat. Zo blijkt Hawking straling niet iets te zijn wat men alleen in zwarte gaten terugvindt.

3 Inhoudsopgave 1 Introductie Algemene Relativiteits Theorie 3.1 Metriek Geodeten Einsteinvergelijkingen Kosmologie FRW metriek Oplossingen Einsteinvergelijkingen Vloeistofvergelijking Energiebehoud Oplossingen van de vloeistofvergelijking De uitdijïng Kosmische roodverschuiving De toestandsvergelijking Versnellingsvergelijking Oplossing van de Friedmannvergelijking De eigenschappen van een de sitter ruimte Coördinaten in de Sitter Statische coördinaten Gibbons-Hawking temperatuur Entropie van de waarneem horizon Conclusie 1 A FRW-metriek 3 A.1 Christoffel symbolen A. Ricci tensoren B Statische de Sitter metriek 6 B.1 Coördinatentransformatie B. Christoffel symbolen

4 Hoofdstuk 1 Introductie In deze scriptie gaan we kijken naar de eigenschappen van de de Sitter ruimte. Dit is een model van een versneld uitdijende ruimte waarin de dichtheid van materie tot het nulpunt is gedaald. De energie van het vacuum blijkt hier de reden te zijn voor de versnelling van de uitdijïng. We zullen een zekere basiskennis nodig hebben van de kosmologie. Hiervoor beginnen we deze scriptie met een inleiding in de algemene relaitviteit. Met deze basis kunnen we ons een aantal belangrijke zaken uit de kosmologie eigen maken. We zullen zien hoe dichtheid van de verschillende vormen energie veranderd met de uitdijïng. We zien hoe de uitdijïng voor roodverschuiving van straling zorgt en hoe het uitdijen in de tijd veranderd. Met deze kennis kunnen we vervolgens kijken naar wat een de Sitter ruimte precies is en wat de eigenschappen er van zijn. Het zal blijken dat bepaalde eigenschappen sterk overeen komen met de eigenschappen van zwarte gaten.

5 Hoofdstuk Algemene Relativiteits Theorie Veel zaken uit de kosmologie kunnen begrepen worden met een basiskennis van de algemene relativiteit. In dit hoofdstuk zullen we twee essentieële begrippen behandelen die nodig zijn om ons deze basiskennis eigen te maken. Dit zijn de metriek en de geodeten. We zullen beginnen met een beschrijving van wat een metriek inhoud. Daarna komen we op het onderwerp geodeten om vervolgens de centrale vergelijking binnen de algemene relativiteit te introduceren, de Einstein vergelijking..1 Metriek Om binnen een gekromde ruimte quantitative uitspraken te kunnen doen over een begrip als afstand maken we gebruik van een metriek. In het algemeen wordt een metriek geschreven in de vorm van een tensor 1 g µν met orde en kan dus ook wel gezien worden als een matrix. Afstanden tussen twee events worden uitgedrukt met behulp van het lijnelement ds. Het is gebruikelijk om het lijnelement ook de naam metriek te geven. Een metriek die we kennen uit de speciale relativiteits theorie is de Minkowski metriek η µν : η µν = We werken in een vier dimensionale ruimte-tijd. De griekse indices die we hier gebruiken lopen van 0 tot en met 3. Hier staat 0 voor de tijd en 1, en 3 voor de ruimtelijke coördinaten. We gebruiken in deze scriptie natuurlijke eenheden op de gravitatie constante G na: c = = 1. Verder zullen we de Einstein sommatie conventie gebruiken ter vereenvoudiging van vergelijkingen. 3

6 Een lijnelement in de speciale relativiteit drukken we uit als: ds = dt + dx + dy + dz ofwel ds = η µν dx µ dx ν (.1) De metriek zet coördinaat afstanden om in fysieke afstanden. Het bevat alle geometrische structuren van de ruimte-tijd, die begrippen als afstand en kromming vastleggen.. Geodeten Een ander belangrijk begrip in de algemene relativiteit is de geodeet. Een geodeet is het pad dat een deeltje volgt als er geen krachten op werken. In de Minkowski ruimte is dit uiteraard een rechte lijn. Voor een gekromde ruimte gaat dit niet meer op. Een geodeet is dus de generalisatie van een rechte lijn. Een deeltje waar geen krachten op werken wil zeggen: d F x = m a = 0 dt = 0 Om nu een vergelijking te vinden waar een geodeet aan moet voldoen, generaliseren we deze tweede wet van Newton naar een vier dimensionele ruimtetijd. Omdat x 0 = t moeten we een andere parameter kiezen dan de tijd. We nemen hiervoor τ. In een vlakke Minkowski ruimte-tijd moet een geodeet (wat in dit geval dus een rechte lijn is) voldoen aan: d x µ dτ = 0 (.) Als we nu overgaan op de andere coördinaten, dan geldt dit in het algemeen niet meer. Als we de oude oude coördinaten x µ uitdrukken in een willekeurig ander stel x µ dan vinden we een vergelijking waar een geodeet zich in het algemeen aan moet voldoen. We kunnen altijd transformeren van de ene basis naar de ander met behulp van een transformatiematrix: Λ µ ν = xµ x ν (.3) De oude coördinaten uitgedrukt in de nieuwe geeft dan: x µ = Λ µ νx ν en dus dx µ dτ = dx ν Λµ ν dτ (.4) Hiermee kunnen we (.) in de nieuwe coördinaten uitdrukken: [ ] d dx µ = d [ Λ µ dx ν ] ν = d dx ν dτ dτ dτ dτ dτ (Λµ ν) }{{} dτ + d x ν Λµ ν dτ = 0 (.5) We kunnen nu (.4) gebruiken om het deel boven de accolade verder uit te schrijven. 4

7 ( ) d x µ dτ x ν = x ν ( ) dx µ dτ = ( x µ dx σ ) x ν x σ = x µ dx σ dτ x ν x σ dτ (.6) Als we dit dan weer invullen in (.5) dan krijgen we voor de nieuwe coördinaten nu de volgende geodetenvergelijking: Λ µ d x ν ν dτ + x µ dx σ dx ν x ν x σ dτ dτ = 0 (.7) Het is gebruikelijk om dit nog wat te herschrijven. In de eerste term, staat voor de tweede afgeleide naar τ, de transformatie matrix. We vermenigvuldigen nu met de inverse transformatie matrix om de tweede afgeleide te isoleren. We hebben al een sommatie over ν in deze term. We vervangen deze dus in de inverse transformatiematrix door een andere index, α. d x α dτ + [( ) x α x µ x µ x ν x σ ] dx σ dτ dx ν dτ = 0 (.8) Het deel wat hier tussen de rechte haken staat is gedefinieerd als het Christoffel symbool, Γ α νσ. Dit Christoffel symbool speelt binnen de algemene relativiteit een belangrijke rol. Het geeft een beschrijving van de kromming in de ruimte. We krijgen hiermee de uiteindelijke vorm van de geodetenvergelijking: d x α dτ + dx σ dx ν Γα νσ dτ dτ = 0 (.9) Om de Christoffel symbolen uit te rekenen is het meestal handiger om de volgende uitdrukking te handteren. [ Γ µ αβ = gµν gαν x β + g βν x α g ] αβ x ν (.10) Het Christoffel symbool is dus volledig aan de metriek gerelateerd. In dit verslag zullen we het verder gebruiken voor het berekenen van covariante afgeleiden en voor het oplossen van de Einsteinvergelijkingen..3 Einsteinvergelijkingen Uit de speciale relativiteit bleek de equivalentie tussen massa en energie. De algemene relativiteitstheorie breidt de speciale relativiteit uit door de aanname dat massa en energie de ruimte krommen. Einstein kwam met een nieuwe opvatting over zwaartekracht. Hij stelde dat wij naar de aarde toe vallen, vanwege de kromming van de ruimte die de massa van de aarde veroorzaakt. De veldvergelijkingen die Einstein hiervoor introduceerde relateerd de geometrie van het heelal aan de energie en wordt gegeven door: 5

8 G µν R µν 1 g µνr + g µν Λ = 8πGT µν (.11) Aan de rechter kant hebben we de constante van Newton G en de energiemomentum tensor T µν. Deze tensor stelt de bron voor het gravitatieveld voor en beschrijft de dichtheid en flux van energie en momentum in ruimte tijd. Aan de linker kant zien we de Ricci tensor R µν en de Ricci scalar R, die de kromming van de ruimte weergeven. De Ricci tensor wordt gegeven door: R µν = Γ α µν,α Γ α µα,ν + Γ α βα Γβ µν Γ α βν Γβ µα (.1) en de Ricci scalar is de contractie hiervan met de inverse metriek g µν : R = g µν R µν (.13) Verder hebben we aan de linkerkant de kosmologische constante (Λ) staan. Toen Einstein met de algemene relativiteits theorie kwam stond deze nog niet in de vergelijkingen, maar al snel bleek dat oplossingen een niet statisch heelal beschreven. Omdat waarnemingen in die tijd leken aan te geven dat het heelal wel statisch moest zijn, voegde Einstein een nieuwe term aan zijn vergelijkingen toe, de kosmologische constante. Toen Hubble later aantoonde dat het heelal aan het uitdijen is werd de kosmologische constante toch weer weggehaald. Later bleek dat het heelal zelfs versneld aan het uitdijen is. De kosmologische constante bleek toch in de vergelijkingen te moeten om hier een verklaring voor te geven. Als fysische betekenis van deze constante wordt tegenwoordig voornamelijk de energie van het vacuum toegeschreven. Vanuit de klassieke theorie is dit een beetje gek, maar in de quantum (velden) theorie kijken we naar het vacuum als de laagste energie toestand in plaats van een ruimte waar zich helemaal niks in bevindt. De theoretische voorspelling vanuit de quantum velden theorie voor deze vacuum energie is ongeveer 14 orden van grootte groter dan wat we waarnemen in ons heelal. Dit probleem staat ook wel bekend als het kosmologische constante probleem. Dit bizar grote verschil roept een paar lastige vragen op waar tot op heden nog geen goede verklaring voor gevonden is. Het antropische principe is mogelijk een interessante verklaring, maar neigt naar filosofie. In de stringtheorie wordt echter wel het een en ander bevestigd wat het antropische principe zeker het nadenken waard maakt. Het Heisenberg onzekerheids principe geeft aan dat een deeltje en antideeltje kunnen ontstaan en weer annihileren in een vacuum, zolang maar voldaan is aan de relatie: E t h (.14) We hebben nu net als dat we een energie dichtheid hebben voor echte materie ρ M, ook een energie dichtheid voor virtuele deeltje-antideeltje paren, de vacuum energie dichtheid ρ vac. Hoe deze vacuum energie voor een versnelde 6

9 uitdijïng van het heelal zorgt zullen we later zien. Wat nu belangrijk is, is dat deze vacuum energie direct verbonden is met de kosmologische constante. Door aan te nemen dat in de laagste energie toestand geen voorkeursrichting bestaat, kunnen we Lorentz invariantie van de energie momentum tensor gebruiken om te laten zien dat de aan de vacuum energie geassocieerde energie momentum tensor T µν (vac) proportioneel is aan de Minkowski metriek. Dat we deze aaname mogen doen kan gecontroleerd worden door de vacuum energie expliciet uit te rekenen. Een fysische interpretatie en gegeneraliseerd naar een uitdijende gekromde ruimte geeft ons: T (vac) µν = ρ vac g µν (.15) We kunnen de term met de kosmologische constante nu absorberen in deze energie momentum tensor. Hiermee schrijven we de Einstein vergelijkingen als volgt: R µν 1 g µνr = 8πGT µν (.16) waarbij T µν = T (M) µν + T (vac) µν dus is opgedeeld in een materie deel en een vacuum deel. Het verband tussen de kosmologische constante en de vacuum energie moet dus zijn: ρ vac = Λ 8πG (.17) 7

10 Hoofdstuk 3 Kosmologie In dit hoofdstuk zullen we onze kennis van de algemene relativiteit uit het vorige hoofdstuk gebruiken om belangrijke zaken uit de kosmologie te begrijpen. We vinden één van de oplossingen van de Einsteinvergelijkingen. Energiebehoud leert ons vervolgens hoe voor de verschillende vormen van energie de energiedichtheid afhangt van de uitdijïng. Tot slot zullen we dit dan voor verschillende vormen van ruimten bekijken, waaronder een ruimte met slechts een kosmologische constante, een de Sitter ruimte. Maar we beginnen met het formuleren van een geschikte metriek. 3.1 FRW metriek Om de uitdijïng van het heelal in de metriek te verwerken maken we gebruik van een schaalfactor a(t). Deze schaalfactor geeft aan hoe afstanden in het heelal toenemen met de tijd. Figuur 3.1: Dit figuur laat zien hoe de afstanden tussen coördinaten in de FRW-metriek met de tijd toenemen. Belangrijk hierbij is dat de verhoudingen gelijk blijven. [4] 8

11 We kiezen dus een coördinaatstelsel waarin de coördinaten met de uitdijïng mee bewegen. Als X de coördinaatafstand is en R de fysische afstand, dan geldt: R = a(t)x. Het is gebruikelijk om a = 1 voor het huidige moment te stellen. Verder gaan we er vanuit dat het heelal perfect homogeen en isotroop is, op grote schaal is dit ook zo. De metriek die we dan krijgen is bijna gelijk aan de Minkowski metriek (.1), alleen worden de ruimtelijke indices vermenigvuldigd met de schaalfactor: g µν = a (t) a (t) a (t) (3.1) Deze metriek noemen we de FRW-metriek, genaamd naar de wetenschappers Friedmann, Robertson en Walker. 3. Oplossingen Einsteinvergelijkingen We hebben nu dus een metriek die een homogeen en isotroop uitdijendt heelal beschrijft. De energie-momentum tensor voor zo n heelal is die van de perfecte vloeistof. Deze wordt gegeven door: T µν = (ρ + P )U µ U ν + P g µν (3.) Waarbij ρ de energie dichtheid is, P de druk en U µ de snelheids vier-vector. We werken in het rustframe van onze perfect vloeistof dus de genormaliseerde vier-snelheid is U µ = (1, 0, 0, 0). In matrix notatie ziet de energie momentum tensor er dus zo uit: T µ ν = g µσ T σν = (ρ + P )U µ U ν + δ µ ν P = ρ P P P (3.3) Voor de rest zijn alle componenten van de Einsteinvergelijkingen volledig afhankelijk van de metriek. We kunnen nu dus gaan kijken naar oplossingen. We beginnen met het uitrekenen van de Christoffel symbolen. In bijlage A.1 wordt dit voor de FRW metriek gedaan. We vinden hier dat deze nul zijn, op drie na 1 : Met behulp van Γ 0 ij = δ ij ȧa Γ i 0j = Γ i j0 = δj i ȧ a (3.4) 1 De griekse indices lopen van 0 tot en met 3. We gebruiken nu romaanse indices (i,j,k,...) voor de ruimtelijke coördinaten. 9

12 R µν = Γ α µν,α Γ α µα,ν + Γ α βα Γβ µν Γ α βν Γβ µα (3.5) worden in bijlage A. ook de Ricci tensoren uitgerekend. We vinden hier: R 00 = 3ä en R ij = δ ij [ȧ + aä] a Ook de Ricci scalar kunnen we nu uitrekenen: [ R g µν R µν = R (ȧ ) ] a R ijδ ij ä = 6 a + = a (3.6) Voor de tijd-tijd component van de Einsteinvergelijkingen vinden we nu (ȧ Dit is één van de zogeheten Friedmannvergelijkingen. 3.3 Vloeistofvergelijking Energiebehoud a ) = 8πG 3 ρ (3.7) Als we de covariante afgeleide nemen van de energie-momentum tensor dan moet hier vanwege energiebehoud nul uit komen. µ T µ ν T µ ν x µ + Γµ αµt α ν Γ α νµt µ α = 0 (3.8) Dit geeft ons vier vergelijkingen. De component met ν = 0 geeft ons een nuttige vergelijking. T µ 0 x µ + Γµ αµt α 0 Γ α 0µT µ α = 0 (3.9) Voor de eerste term van deze vergelijking weten we dat µ = 0 moet zijn. De energie-momentum tensor (3.3) is immers diagonaal en de afgeleide naar een ruimtelijke index is sowieso al nul voor een homogeen en isotroop heelal. Deze term levert ons dus ρ t. In de tweede term is duidelijk dat α nul moet zijn, anders is T µ ν = 0. Volgens (3.4) moet µ dan ruimtelijk zijn. We krijgen voor deze term dan: Γ µ αµt α 0 = δj i ȧ a ρ = 3ȧ a ρ In een vlakke ruimte is het nemen van de afgeleide onafhankelijk van de gekozen coördinaten. Voor een gekromde ruimte geldt dit niet. De covariante afgeleide ( ) is een generalisatie van de normale afgeleide voor een algemene metriek. 10

13 In de laatste term hebben we en Christoffel symbool staan met één van de onderste indices gelijk aan nul. In (3.4) zien we dan weer dat de andere twee ruimtelijk moeten zijn: Γ α 0µT µ α = δj i ȧ a T i j = 3ȧ a P De verhouding ȧ a staat bekend als de Hubble parameter H. Vergelijking (3.9) wordt hiermee dan wat we de vloeistofvergelijking noemen: ρ + 3ȧ (ρ + P ) = 0 (3.10) a 3.3. Oplossingen van de vloeistofvergelijking De vormen van energie in ons heelal kunnen we opdelen in drie vormen. Dit zijn stof (niet relativistische materie), straling (relativistische materie) en de kosmologische constante. We introduceren nu een toestands vergelijking: P = wρ, waarbij w = 0 voor stof 1/3 voor straling 1 voor Λ De vloeistofvergelijking krijgt nu de volgende vorm: ρ + 3ȧ ρ(1 + w) = 0 ρa + 3(1 + w)ρȧ = 0 (3.11) a We herkennen hier een uitgeschreven productregel in, dus: d ( ρa 3(1+w)) = 0 (3.1) dt Dit betekend dat ρa 3(1+w) constant is. Hieruit volgt dan: 3.4 De uitdijïng Kosmische roodverschuiving ρ a 3(1+w) (3.13) We hebben nu een oplossing voor de vloeistofvergelijking gevonden. Hiervoor hebben we in onze notatie gebruik gemaakt van de toestandsvergelijking. Om de waarden van w in deze vergelijking te begrijpen zullen we eerst het begrip kosmische roodverschuiving behandelen. Hiertoe kijken we naar de geodetenvergelijking van een massaloos deeltje. We gebruiken de energie momentum viervector P µ = (E, P ) om de parameter τ uit (.9) te definieëren: 11

14 P µ = dxµ dτ De afgeleiden naar τ vinden we nu door: (3.14) d dτ = dx0 d dτ dx 0 = E d (3.15) dt Voor de tijd component van de geodetenvergelijking vinden we nu: ( ) d dx 0 = E de dτ dτ dt = Γ0 ijp i P j = 0 (3.16) In de FRW-metriek vonden we voor het Christoffel symbool (3.4) Γ 0 ij = δ ij ȧa. Verder gebruiken we dat de energie momentum vector grootte nul moet hebben: P = P µ P ν = g µν P µ P ν = E + a P i P j δ ij = 0 (3.17) Vergelijking (3.16) wordt hiermee: E de (ȧ ) dt = δ ija P i P j = ȧ a a E = 0 (3.18) Dus aė + ȧe = 0 (3.19) Hier herkennen we weer een uitgeschreven productregel in. De tijdsafgeleide van ae is dus nul. We zien hiermee dus hoe de energie van een massaloos deeltje schaald met de schaalfactor: E 1 a (3.0) Dit is natuurlijk geen resultaat wat ons verbaasd. Een foton dat zich voortbeweegd in een uitdijende ruimte heeft een golflengte dat met de uitdijïng mee wordt uitgerekt. De golflengte is dus evenredig met de schaalfactor. Ook is het omgekeerd evenredig met de energie van het foton. De energie van een foton is dus omgekeerd evenredig met de schaalfactor. Dit is precies wat we hebben laten zien. Dit verschijnsel noemen we kosmische roodverschuiving, niet te verwarren met de roodverschuiving die we kennen uit het doppler effect. 1

15 3.4. De toestandsvergelijking Waarom w de bovenstaande waarden heeft kan onder andere worden begrepen met behulp van (3.13). Voor stof is het duidelijk dat w = 0, de dichtheid neemt immers af in de drie ruimtelijke richtingen en dus met a 3. Voor straling geld bijna hetzelfe. Het neemt alleen met een extra factor 1/a af doordat straling ook wordt roodverschoven. Straling neemt dus af met a 4, wat overeen komt met w = 1/3. Voor de toestandsvergelijking van de kosmologische constante kijken we terug naar de energie momentum tensor. Voor het vacuum hadden we T µ(vac) ν = ρ vac δ ν µ (.15). Als we dit dan vergelijken met de energie momentum tensor voor de perfecte vloeistof (3.3), dan zien we dat moet gelden P vac = ρ vac. Hieruit blijkt dat voor de kosmologische constante geldt: w = Versnellingsvergelijking In paragraaf.3 introduceerde we de Einsteinvergelijkingen en zeiden dat de vacuum energie verantwoordelijk zou zijn voor de versnelde uitdijïng van het heelal. Om dit te laten zien zullen we kijken naar welke waarde w hiervoor moet hebben. We doen dit door de Friedmannvergelijking (3.7) naar de tijd af te leiden: Dus: d dt (ȧ a ) = ȧ a ä a [ ä a (ȧ ) ] a (ȧ ) = 4πG a 3 = 8πG 3 ρ (3.1) a ρ (3.) ȧ We gebruiken nu de vloeistofvergelijking om ρ om te schrijven en de Friedmannvergelijking voor ( ȧ. a) Wat we dan krijgen is de versnellingsvergelijking: ä a = 4πG [ρ(1 + 3w)] (3.3) 3 Hier zien we uit dat het heelal versneld uitdijdt ä > 0 als w < 1 3. Aangezien de voor de kosmologische constante w = 1 geldt, blijkt dit inderdaad de bron te zijn voor het versnellen van de uitdijïng. 3.5 Oplossing van de Friedmannvergelijking We hebben een verband gevonden tussen ρ en de schaalfactor (3.13). Als we dit nu combineren met de Friedmannvergelijking (3.7) dan zien we hoe de schaalfactor van de tijd afhangd. 13

16 (ȧ ) = 8πG a 3 ρ (ȧ a ) a 3(1+w) ȧ a 3(1+w) a Halen we alles naar één kant, dan zien we dat ȧa 3(1+w) 1 constant is. We kunnen dit nu integreren over de tijd. Dus: a 3(1+w) 1ȧdt = a(t) t a 3(1+w) 1 da a 3(1+w) t (3.4) 3(1+w) (3.5) Voor stof (w = 0) vinden we nu a(t) t /3, voor straling (w = 1/3) krijgen we a(t) t 1/ en voor de kosmologische constante hebben we w = 1. Hiervoor blaast de schaalfactor op. We zullen nu weer een stapje terug moeten doen om te zien hoe de schaalfactor van de tijd afhangt in een door de kosmologische constante gedomineerd universum. Als we w = 1 in de vloeistofvergelijking (3.10) invullen krijgen we: ρ = 0 ρ is constant Dit komt uiteraard overeen met ons idee van de kosmologische constante, de dichtheid ervan blijft constant. Met dit gegeven kijken we nog eens naar de Friedmanvergelijking (3.7). De rechterkant van de vergelijking is nu helemaal constant, dus ȧ a is ook constant. We integreren deze constante nu over de tijd: ȧ a dt = 1 a ȧ da = ln a = t + Constante = Ht + Constante a Een FRW metriek heeft de volgende vorm: a(t) e Ht (3.6) ds = dt + a (t)d x (3.7) Wij zijn in dit verslag geïnteresseerd in een de Sitter metriek. We hebben gevonden hoe de schaalfactor van de tijd afhangd in zo n de Sitter ruimte. De metriek die ons dit dus geeft is dan: ds = dt + e Ht d x (3.8) 14

17 Hoofdstuk 4 De eigenschappen van een de sitter ruimte 4.1 Coördinaten in de Sitter We hebben de de Sitter ruimte geïntroduceerd als zijnde een ruimte zonder stof en straling, maar met kosmologische constante. We willen nu de eigenschappen van deze ruimte gaan bestuderen en hebben een meer formele definitie nodig van wat een de Sitter ruimte voorsteld. De onderstaande figuur geeft hier een illustratie van. Figuur 4.1: 5-dimensionale hyperboloïde dat de Sitter ruimte illustreerd. [3] 15

18 De vergelijking die hierbij hoort is een inbedding van een 4-dimensionale de Sitter ruimte in een 5-dimensionale (vlakke) Minkowski ruimte: X 0 + X 1 + X + X 3 + X 4 = R (4.1) Ter verduidelijking van hoe we hier naar kunnen kijken, kunnen we een vergelijking maken met het oppervlak van een bol. In cartesische coördinaten voldoet zo n oppervlak aan: X + Y + Z = R (4.) We hebben hier drie coördinaten nodig om het oppervlak te beschrijven. Als we overgaan op bolcoördinaten (r, ϕ, θ), dan kunnen we door een constraint op te leggen (r = R) het hele boloppervlak beschrijven met slechts twee coördinaten: (0 ϕ π) en (0 θ π). Dit kunnen we dus eigenlijk zien als een -dimensionaal gekromd oppervlak ingebed in een 3-dimensionale ruimte. Op dezelfde manier kunnen we figuur (4.1) zien als een gekromde 4- dimensionale ruimte-tijd wat is ingebed in een 5-dimensionale vlakke ruimte. We kunnen verschillende metrieken gebruiken om een de Sitter ruimte te beschrijven. Aan het eind van het vorige hoofdstuk gaven we een metriek van een de Sitter ruimte. Deze werd als volgt uitgedrukt: ds = dt + e Ht d x Dit noemen we de vlakke metriek. In deze metriek bedekken de coördinaten niet de volledige de Sitter ruimte. Een waarnemer die deze coördinaten handeert ziet slechts het deel van de ruimte dat in causaal contact staat met de waarnemer. 4. Statische coördinaten We kunnen nu een coördinaten transformatie doen om van deze vlakke coördinaten naar statische coördinaten te gaan. In de statische coördinaten bewegen de coördinaten niet meer met de uitdijïng mee, maar blijven op vaste fysische afstand van de waarnemer staan. Hoe we van de vlakke op de statische coördinaten uitkomen staat uitgewerkt in bijlage B.1. De uitkomst is: ds = (1 H r s)dt s + dr s (1 H r s) + r sdω (4.3) Het interessante aan deze statische metriek is dat het singulier is in het punt r s = H 1. Afstanden blazen hier op wat er voor zorgt dat we een horizon op dit punt zien. Licht van achter deze horizon kan de waarnemer nooit meer bereiken. Dit doet waarschijnlijk al denken aan de horizon van een zwart gat. Het blijkt dat hier inderdaad een sterke overeenkomst mee is. Als we 16

19 de Schwartzschild metriek van een zwart gat er bij pakken dan wordt dat al snel duidelijk. ds = (1 GM )dt dr + r (1 GM r ) + r dω (4.4) Deze metriek is duidelijk singulier in het punt GM, de Schwartzschildstraal. Van zwarte gaten kennen we de Hawking straling en Hawking temperatuur die uit de horizon van een zwart gat weten te ontsnappen. Vanwege de grote gelijkenis in de metriek en het waarnemen van een horizon kunnen we ons nu afvragen of aan de kosmologische horizon ook een temperatuur is verbonden. 4.3 Gibbons-Hawking temperatuur Voor het uitrekenen van een eventuele de Sitter temperatuur van de waarneem horizon maken we gebruik van het Unruh-effect. Het Unruh-effect zegt dat versnelde waarnemers een temperatuur ervaren. De achtergrond van een versnelde waarnemer wordt als warm ervaren, daar waar een inertieële waarnemer dat niet ervaart. Deze temperatuur is gegeven door: T U = a (4.5) π We doen nu een gedachte experiment. Stel je hebt iemand (X) op grote afstand aan een touw vast. Vanwege de uitdijïng versneld alles van elkaar vandaan. Om X dus op die grote afstand vast te houden moet je een zekere kracht uitoefenen. X die aan dat touw vast zit ervaart dus een versnelling. Uit het Unruh effect maken we op dat X dan een temperatuur ervaart. Wat we nu doen, is het denkbeeldige touw zo ver laten vieren dat X de waarneemhorizon heel dicht nadert. We willen nu weten welke temperatuur je van X waarneemt. Hiervoor berekenen we eerst de versnelling die X heeft op een bepaalde afstand. Herinner dat de geodetenvergelijking (.9) voortkwam uit de conditie dat de versnelling nul moest zijn. Dit is dan ook precies wat er staat voor een algemene metriek. De vier-versnelling (a µ = (a t, a rs, a φ, a θ )) wordt dus gegeven door: a µ = d x µ dτ + dx ρ dx σ Γµ ρσ (4.6) dτ dτ We mogen er vanuit gaan dat X zich niet in de hoekrichtingen beweegd (dω = 0). Iets dat op vaste afstand blijft heeft dr s = 0 en we gebruiken de eigentijd τ als parameter. Dit is de eigentijd die we in de metriek als het lijnelement zagen. Van de metriek (4.3) houden we dus over: We zien hieruit dat dτ = (1 H r s)dt s (4.7) 17

20 dt dτ = (1 H r s) 1/ (4.8) De eerste term van vergelijking (4.6) geeft dus: d x α dτ = d dτ dτ = d dt dτ dτ = d dτ (1 H rs) 1/ = 0 (4.9) Dit was natuurlijk ook te verwachten, aangezien we de normale tweede afgeleide aan het berekenen waren. De tweede (correctie) term geeft wel een bijdrage. We zien dat ρ en σ in (4.6) nul moeten zijn omdat alleen de afgeleide van x 0 = t naar τ een waarde heeft ongelijk aan nul. Nu rest ons voor de versnelling alleen nog de Christoffel symbolen Γ µ 00 uit te rekenen. Dit wordt in bijlage B. gedaan. Alleen voor µ = 1 heeft het en waarde: x µ Γ 1 00 = H r s (1 H r s) (4.10) Voor de versnelling in radiële richting vinden we dan: a 1 = H r s (1 H rs) H rs 1 H rs De grootte van de versnelling is dus: = H r s (4.11) Dus: a = g µν a µ a ν = (1 H rs) 1 ( H r s ) = H H rs 1 H rs Hr s a = H 1 H rs (4.1) (4.13) Wat we nu zien is dat deze versnelling inderdaad opblaast als we de horizon (op H 1 ) naderen. We vinden de de Sitter temperatuur nu door de limiet naar de horizon te nemen en tegelijkertijd rood te verschuiven. De roodverschuivingsterm is de verhouding tussen de frequentie die waargenomen wordt ν obs en de frequentie die de straling had toen het werd uitgezonden ν em. Dit is hetzelfde als de verhouding tussen de eigentijd en de tijd van de waarnemer. De waarde hiervan vonden we al uit de metriek: De de Sitter temperatuur is nu: T GH = dτ dt s = 1 H r s (4.14) lim T dτ r s H 1 U = dt s lim r s H 1 H π Hr s = H π (4.15) Deze temperatuur staat bekend als de Gibbons-Hawking temperatuur. De Unruh temperatuur geldt eigenlijk alleen voor versnellingen in een vlakke 18

21 ruimte, maar het blijkt dicht bij de horizon toch een goede benadering te geven. Doordat de versnelling hier zo ontzettend hoog wordt hebben we te maken met relatief een heel hoge temperatuur. De frequentie van deze straling is daardoor ook erg groot. Omdat de golflengte (λ = c ν ) dus klein is zal deze straling niet veel merken van de kromming van de ruimte. De ruimte is op deze schaal locaal gezien nagenoeg vlak. Hierdoor kunnen we toch gebruik maken van de Unruh temperatuur. 4.4 Entropie van de waarneem horizon We hebben dus een aan de kosmologische horizon gerelateerde temperatuur gevonden. Met behulp van de eerste wet van de thermodynamica de = T GH ds (4.16) kunnen we nu iets zeggen over de entropie van zo n horizon. We beginnen door de Gibbons-Hawking temperatuur op de volgende manier uit te drukken: T 1 GH = ds de = S H (4.17) H E De Friedmanvergelijking (3.7) geeft ons het verband tussen de Hubble constante H en de energie: H = 8πG 3 ρ Λ ρ Λ = 3 8πG H (4.18) De energie van deze ruimte is natuurlijk de dichtheid ρ Λ maal het volume H 3. Dus: Dus: 3 H E H G = 1 GH H 1 GE (4.19) En: H E 1 GE GH (4.0) S H 1 T GH GH 1 GH 3 (4.1) We vinden de entropie nu door te integreren over H: 1 S GH 3 dh = 1 GH (4.) 19

22 De oppervlakte van een bol met straal H 1 is A = 4πH. We zien dus dat de entropie van de kosmologische horizon evenredig is met A G. Dit is de Bekenstein-Hawking oppervlakte entropie wet: S = A (4.3) 4G Deze wet schijnt toepasbaar te zijn op zowel de waarneem horizon in een de Sitter ruimte als de waarneem horizon van een zwart gat. Deze oppervlakte entropie wet is een opmerkelijk en waarschijnlijk ook heel belangrijk resultaat. Opmerkelijk omdat de entropie van een waarneem horizon blijkbaar schaald met de oppervlakte. Belangrijk zou deze wet kunnen zijn omdat het volledig begrijpen ervan ons verder zou kunnen helpen op het gebied van quantum gravitatie, het gebied van de natuurkunde dat quantum mechanica probeerd te vereenigen met algemene relativiteit. Helaas is volledig begrip van deze wet (4.3) nog ver weg. We kunnen naar entropie kijken als het optellen van het aantal microtoestanden van een systeem. De waarneem horizon van de Sitter is waarnemer afhankelijk. Het is moeilijk te zien waar die microtoestanden zich bevinden. Ook van de waarneem horizon van zwarte gaten hebben we nog geen volledig beeld. We begrijpen immers alleen speciale gevallen van zwarte gaten. 0

23 Hoofdstuk 5 Conclusie We hebben gezien dat ons heelal verschillende stadia heeft gekend waarin verschillende vormen van energie dominant zijn geweest. Na kosmische inflatie was er een korte periode waarin straling domineerde. Het heelal bleef uitdijen met een schaalfactor die evenredig was met t 1/. Roodverschuiving maakte dat de dichtheid van straling sterker afnam met de uitdijïnig dan de dichtheid van stof. Hierdoor nam stof de rol van dominante energievorm snel over. In dit stof tijdperk is het heelal ook sneller gaan uitdijen, namelijk met een schaalfactor evenredig met t /3. Vrij recentelijk is gebleken dat het heelal op het moment zelfs versneld aan het uitdijen is. Algemene relativiteit houd hier een zekere kosmologische constante voor verantwoordelijk. Deze kosmologische constante blijkt te identificeren te zijn met de energie van het vacuum. We leven nu dus in een heelal dat zijn versnelde uitdijïng zelf in stand houd en af gaat op wat in de verre toekomst een de Sitter ruimte zou worden. We zijn op een de Sitter ruimte gekomen vanuit de FRW-metriek. Via een coördinatentransformatie zijn we de statische metriek gaan bekijken. Deze metriek legt interessante eigenschappen bloot van de de Sitter ruimte. Het is de metriek die voor ons, als waarnemers van het heelal, het meest overeen komt met wat we zullen zien. Het bleek dat elke vrijvallende waarnemer een horizon om zich heen heeft, de kosmologische horizon. We zagen sterke overeenkomsten van deze horizon met de horizons van zwarte gaten. Zo bleek dat er voor een kosmologische horizon in de Sitter er een temperatuur bestaat T GH zoals de horizon van een zwart gat een Hawking temperatuur kent. Ook hebben we gekeken naar de entropie van de kosmologische horizon. Deze bleek te schalen met de oppervlakte ervan. Wij hebben gekeken naar de statische coördinaten van de Sitter, maar er zijn nog veel meer mogelijke coördinatenstelsels die weer andere punten van de Sitter kunnen doen oplichten. 1

24 Dankwoord Ik wil Jan Pieter van der Schaar hartelijk bedanken voor alle tijd en moeite die hij in mijn begeleiding heeft gestoken. Zijn heldere uitleg en grote geduld waren mij erg hulpzaam.

25 Bijlage A FRW-metriek A.1 Christoffel symbolen Voor het uitrekenen van de Christoffel symbolen gebruiken we: [ Γ µ αβ = gµν gαν x β + g βν x α g ] αβ x ν De FRW-metriek en inverse FRW-metriek zien er als volgt uit: (A.1) g µν = a (t) a (t) a (t) g µν = a (t) a (t) a (t) We beginnen de Cristoffel symbolen uit te rekenen waarvoor de bovenindices gelijk aan nu zijn. Γ 0 αβ = g0ν [ g αν x β + g βν x α g αβ x ν ] (A.) Uit diagonaliteit van de metriek en zijn inverse zien we meteen dat g 0ν alleen ongelijk aan nul is als ν = 0. Voor de termen binnen de rechte haken van (A.1) zien we dat de eerste twee nu g 00 = 1 en dus constant is. De afgeleiden ervan vallen dus weg en houden we alleen de laatste term over. Γ 0 αβ = 1 g αβ t δ 0ν (A.3) Voor α = β = 0 is deze afgeleide ook weer nul. Dus alleen voor de ruimtelijke indices krijgen we: Γ 0 ij = 1 t a (t)δ 0ν δ ij = ȧaδ ij (A.4) 3

26 Nu als in het Christoffel symbool de bovenindices ruimtelijk zijn. Γ i αβ = giν [ g αν x β + g βν x α g αβ x ν ] (A.5) Net als in het vorige, zien we nu meteen dat ν in giν ruimtelijk moet zijn: g ik = 1 a (t) δik. Voor de termen binnen de rechte haken weten we dat de afgeleide naar een ruimtelijke coördinaat niks geeft. De laatste term valt dus sowieso weg. De andere twee zijn dan tijdsafgeleiden. Voor de eerste term wordt dit: g jk = t t a (t)δ jk = ȧaδ jk met α = j, β = 0 (A.6) En voor de tweede term: g jk = t t a (t)δ jk = ȧaδ jk met α = 0, β = j (A.7) Als we dit invullen in (A.5) dan krijgen we: Γ i j0 = 1 a (t) ȧaδik δ jk = ȧ a δi j en Γ i 0j = 1 a (t) ȧaδik δ jk = ȧ a δi j A. Ricci tensoren De Ricci tensor wordt gegeven door: (A.8) R µν = α Γ α µν ν Γ α µα,ν + Γ α βα Γβ µν Γ α βν Γβ µα (A.9) We kunnen nu alle componenten van de Ricci tensor uitrekenen, te beginnen met de tijd-tijd component: R 00 = α Γ α 00 t Γ α 0α + Γ α βα Γβ 00 Γα β0 Γβ 0α (A.10) We weten wat de Christoffel symbolen zijn. De eerste term in (A.10) heeft twee onderindices die nul zijn, dus deze term valt weg. In de derde term hebben we ook zo n Christoffel symbool staan. De tweede term is de tijdsafgeleide van een Christoffel symbool van de vorm in (A.8). Hier is α dus ruimtelijk en wordt dit: t Γ i 0i = d (ȧ ) (ä ) δi i = 3 dt a a ȧ a (A.11) De factor 3 komt van δi i. Elk van de drie ruimtelijke indices levert één bijdrage. Voor de laatste term zien we dat α en β beiden ruimtelijk moeten zijn. We krijgen hiervoor: 4

27 (ȧ ) Γ i j0γ j 0i = δ i a jδ j 3ȧ i = a Dus voor de Ricci tensor R 00 levert dit: (ä ) R 00 = 3 a ȧ 3ȧ a a = 3ä a (A.1) (A.13) Voor de Ricci tensoren met èèn van de indices ruimtelijk en de ander de nul is makkelijk na te gaan dat geen van de termen Christoffel symbolen heeft van de vorm die we zagen in (A.4) en (A.8). Deze Ricci tensoren geven dus geen bijdrage. Dan nu als beide indices ruimtelijk zijn: R ij = α Γ α ij j Γ α iα + Γ α βα Γβ ij Γα βj Γβ iα In de eerste term moet α = 0 zijn: t Γ 0 ij = 3 d dt (ȧa) = 3(äa + ȧ ) (A.14) (A.15) De tweede term wordt naar de ruimtelijke richtingen afgeleid en geeft dus nul. In de derde term zien we dat voor het tweede Christoffel symbool β = 0 moet zijn. We krijgen voor deze term dan: (ȧ ) Γ k 0k Γ0 ij = ȧaδk k a δ ij = 9ȧ (A.16) Voor de laatste term merken we op dat er twee mogelijkheden zijn. Of α is ruimtelijk en β is nul of andersom. Vanwege de symmetrie krijgen beide mogelijkhede dezelfde uitkomst. We rekenen het uit voor α ruimtelijk en β is nul: (ȧ ) Γ j 0j Γ0 ij = ȧaδ j j a δ ij = ȧ δ ij = 3ȧ (A.17) Uiteindelijk krijgen we dan voor de Ricci tensor: R ij = 3(äa + ȧ + 3ȧ ȧ ȧ ) = 3(äa + ȧ ) (A.18) 5

28 Bijlage B Statische de Sitter metriek B.1 Coördinatentransformatie We willen van de vlakke metriek ds = dt p + e ( Htp drp + rpdω ) (B.1) transformeren naar de statische metriek, waarin de coördinaten op vaste afstand van de waarnemer blijven. Dit betekent dat r s = e Htp r p, waarin r s de straal is voor de statische coördinaten. Hiermee kunnen we schrijven: Dus: dr s = r s t p dt p + r s r p dr p = Hr s dt p + e Htp dr p En: dr p = e Htp (dr s Hr s dt p ) dr p = e Htp ( dr s + H r sdt p Hr s dt p dr s ) (B.) We hebben r p uitgedrukt in r s en t p. Als we t p nu nog uit kunnen drukken in t s en r s dan kunnen we dat in de metriek (B.1) invullen. Dus: dt p = t p t s dt s + t p r s dr s = dt s + t p r s dr s (B.3) ( ) dt p = dt tp s + drs + t p dt s dr s r s r s (B.4) We vullen (B.3) en (B.4) nu in, tussen de ronde haken van vergelijking (B.): 6

29 ( ( ) ) drp = e [dr Htp s + H rs dt tp s + drs + t p dt s dr s r s r s ( Hr s dt s + t ) ] p dr s dr s r s (B.5) Deze uitdrukking voor drp geplaatst: en (B.4) kunnen in de metriek (B.1) worden ds = ( dt tp s r s ( tp + r s ) dr s t p ) dr s + t p r s dt s dr s [ dt s dt s dr s + drs + H rs r s ] ( Hr s dt s + t p dr s r s ) dr s +rsdω ( ( ) = (1 H rs)dt t p tp s + 1 Hr s r s r s ( ) ) ( +H rs tp drs + H r t p s t ) p Hrs dt s dr s r s r s r s r sdω (B.6) We mogen de afgeleide tp r s zo stellen dat de kruisterm in (B.6) nul wordt. We krijgen voor deze afgeleide dan: t p = Hr s r s 1 H rs Dit invullen in de metriek (B.6) geeft ons de statische metriek: (B.7) dr s ds = (1 H rs)dt s + 1 H rs + r sdω (B.8) B. Christoffel symbolen De Christoffel symbolen worden volgens (A.1) gegeven door: [ Γ µ 00 = gµν g0ν x 0 + g 0ν x 0 g ] 00 x ν (B.9) Voor de eerste twee termen binnen de rechte haken zien we dat hiervoor µ = ν = 0 moet zijn. Maar de tijdsafgeleide van g 00 is nul, dus voor µ = 0 is er geen versnelling. In de hoekrichtingen verwachten we al helemaal 7

30 geen versnelling aangezien we hebben aangenomen dat in die richting niet bewogen wordt. We houden µ = 1 over: Γ 1 00 = g11 [ g01 x 0 + g 01 x 0 g ] 00 x 1 = g11 g 00 r s (B.10) Uit de metriek (B.8) zien we dat: g 00 = (1 H r s) en g 11 = (1 H r s) 1 Dus: g 11 = 1 H r s (B.11) Γ 1 00 = g11 g 00 r s = (1 H r s)h r s (B.1) 8

31 Bibliografie [1] Spacetime and Geometry: an introduction to general relativity, Sean M. Carroll, Pearson (004) [] Modern Cosmology, Scott Dodelson, Elsevier (003) [3] Les Houches Lectures on de Sitter Space, Marcus Spradlin, Andrew Strominger and Anastasia Volovich; arxiv:hep-th/ v [4] Introductory Overvieuw of Modern Cosmology, Burin Gumjudpai; arxiv:astor-ph/ v [5] Einstein s general theory of relativity: with modern applications in cosmology, Øyvind Grøn en Sigbjørn Hervik, Springer (007) 9