Werkstuk Natuurkunde Het relativiteitsprincipe

Transcriptie

1 Werkstuk Natuurkunde Het relativiteitsprincipe Werkstuk door een scholier 6001 woorden 10 april ,9 74 keer beoordeeld Vak Natuurkunde SINT MARTINUS SCHOLEN OVERIJSE Leerling Wiskunde Wetenschappen Eindwerk fysica : Het relativiteitspricipe van Albert Einstein Waarover gaan speciale en algemene relativiteit? Hoe beschrijft met meetkundig de tijdsdistilatie en de lengtecontractie? Hoe luidt het Equivalentieprincipe? Wat is roodverschuiving? Dit allemaal vindt je in een korte samenvatting van het relativiteitsprincipe van onze geniale meester, Einstein! Februari 2001 Nicolas MAGNIES nr. 4 Deel 1 : De Speciale relativiteitstheorie Hoofdstuk 1 : De aanleiding tot de speciale relativiteitstheorie Wat wilde Einstein bereiken met zijn relativiteitstheorie? Heel eenvoudig, hij wilde zich een duidelijk beeld vormen van het heelal. Verscheidene fysische proeven hadden tot een paradox geleidt en deze heeft Einstein proberen op te heffen. Dit lukte hem met succes. Rond 1900 was er een fundamenteel fysisch probleem dat te maken had met de voortplanting van het licht. Nauwkeurige experimenten hadden aangetoond dat de lichtsnelheid onafhankelijk was van de bewegingstoestand van de waarnemer. Steunend op het feit dat de aarde rond de zon draait tegen een constante snelheid van 30m/s en dat de aarde zich in de ether bevindt, stuurde men 2 lichtstralen de ether in. Een met de zin van de bewegingsrichting van de aarde en een andere in tegengestelt aan deze richting, om zo de het snelheidsverschil van de twee lichtstralen te meten. De eerste zou, zoals verwacht, sneller moeten zijn gegaan door het gunstig effect van de snelheid van de aarde en de tweede trager om dezelfde reden. De waarnemers vonden exact dezelfde snelheden voor beide lichtstralen. Dit leide tot een contradictie. Hieruit kon men besluiten dat de lichtsnelheid constant is, onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer tegenover dit licht. Ook kon men besluiten dat de ether niet bestond (anders zou het licht een weerstand Pagina 1 van 13

2 ondergaan hebben). Men kon echter nog niet verklaren dat een elektromagnetische golf, hier het licht, zich in een vacuüm kon voortplanten. Het feit dat het licht een constante snelheid heeft in het luchtledige was in feite een gevolg van een veel vroegere theorie, namelijk die van Maxwell. Hij bracht de elektriciteit en het magnetisme in één theorie samen, het elektromagnetisme. Maxwell liet zien dat het licht een elektromagnetische golf is, waarbij afwisselend het magnetische veld verandert, daarbij door inductie een veranderend electrisch veld veroorzaakt, dat op zijn beurt weer een veranderend magnetisch veld genereert, enz. Uit de theorie van Maxwell volgde al dat de voortplantingssnelheid van het licht niet afhangt van de bewegingstoestand van de waarnemer, noch van de bewegingstoestand van de bron. Het zat er echter zo ingehamerd bij de natuurkundigen van de negentiende eeuw, dat golven zich door een medium voortplanten, en dat de beweging van de waarnemer ten opzichte van het medium opgeteld moet worden bij die van de golf in het medium, dat het lang geduurd heeft voordat het als zodanig werd aanvaard. Daar was Einstein voor nodig. De paradox algemener uitgedrukt: Uit Maxwell's algemene theorie van het electromagnetisme en de experimenten van Michelson en Morley volgt dat licht een electromagnetisch golfverschijnsel is dat zich in een inertiaalstelsel met een constante snelheid voortplant. In vacuum is dat ongeveer km/s, om iets preciezer te zijn km/s. Dit is een natuurconstante die men c noemt. Op basis van de Newtonse mechanica zou men dit resultaat verwachten: Als een lichtgolf zich in inertiaalstelsel S met snelheid beweegt, met een eenheidsvector, dan zou die zelfde golf in een tweede stelsel S, dat zich t.o.v. S met een snelheid beweegt, de snelheid, dus met grootte, moeten hebben. Deze paradox is door Einstein opgelost met behulp van zijn speciale relativiteitstheorie. De grondgedachte daarbij is een nieuwe en nu algemeen aanvaarde interpretatie van het relativiteitsprincipe, met andere transformatieformules voor de relatie tussen twee inertiaalstelsels(zie hoofdstuk 3). De relatie tussen oude en nieuwe theorieën: In de natuurkunde kan het gebeuren dat men tengevolge van veranderde inzichten en van de resultaten van bepaalde experimenten een nieuwe theorie invoert die in de plaats komt van een bestaande en tot dusver algemeen aanvaarde theorie. Dit betekent maar zelden dat de oude theorie fout is. Zo is bijvoorbeeld de klassieke mechanica van Newton niet fout omdat we nu de Einsteinse relativiteitstheorie hebben. De meeste mechanische verschijnselen om ons heen worden nog steeds op zeer nauwkeurige manier door de traditionele Newtonse mechanica beschreven. De relativiteitstheorie mag er wel op toegepast worden, want deze theorie geldt voor alle verschijnselen, maar het zou geen voordeel opleveren; het zou alleen maar nodeloos ingewikkeld zijn. Pas bij verschijnselen die optreden in een deeltjesversneller, waar immers zeer hoge snelheden optreden, zou de Newtonse mechanica verkeerde resultaten geven en relativistische principes gebruikt worden. De nieuwe theorie heeft dus een groter toepassingsgebied, maar de oude theorie behoudt haar waarde voor een kleiner gebied van verschijnselen, waar ze gebruikt kan worden als een zeer goede benadering van de nieuwe algemenere theorie. Hoofdstuk 2 : Het relativiteitsprincipe Er is in de natuurkunde een belangrijk algemeen principe dat betrekking heeft op het verband tussen waarnemingen van dezelfde fysische verschijnselen in verschillende coördinaatsystemen. Het zegt ruwweg dat er op een bepaalde manier geen absoluut onderscheid gemaakt kan worden tussen rust en beweging die rechtlijnig is en constante snelheid heeft. Dit noemt men het principe van de relativiteit. Pagina 2 van 13

3 Galileï was de eerste die dit principe waarnam. Hij beschrijft het als volgt : Denk aan de situatie in een rijdende trein: Stel dat we ons in een trein bevinden die met een constante snelheid over een rechte spoorbaan rijdt. De rails is een ideale rails; we voelen geen schokken. Zolang we niet naar buiten kijken merken we niets van de snelheid van de trein. We kunnen in onze trein allerlei mechanische proeven doen. De resultaten beschrijven we in termen van een ruimtelijk assenstelsel. Het natuurlijke assenstelsel in onze situatie is vanzelfsprekend een rechthoekig stelsel dat met de trein meebeweegt. We vinden dan dat alles precies gaat zo als we het gewend zijn; de mechanische wetten geschreven in de coördinaten van dit stelsel hebben de gebruikelijke vorm. Later is men dit principe gaan beschouwen als iets dat geldig zou moeten zijn voor alle fysische verschijnselen: Men veronderstelt dan algemeen dat de natuurwetten het zelfde zijn in coördinaatstelsels die zich met eenparige rechtlijnige snelheden ten opzichte van elkaar bewegen. Dit principe wordt het principe van de relativiteit van beweging of kortweg het relativiteitsprincipe genoemd. In deze zin kan de Newtonse mechanica als relativistisch beschouwd worden. Dit principe is echter niet meer geldig bij hogere snelheden. (ook al reis je met een constante snelheid van m/s, het licht zal t.o.v jou tegen m/s bewegen, en tegenover een derde waarnemer zal dit tegen dezelfde snelheid tegenover hem bewegen) Hoofdstuk 3 : Innertiaalstelsels Bewegingen van hemellichamen kunnen alleen ten opzichte van elkaar beschreven worden. Er is in de ruimte geen voorkeursrichting. De voortdurende bewegingen van de lichamen in ruimte en tijd maken een statische voorstelling totaal onmogelijk. De ruimte kan volgens Einstein alleen een dynamisch tijd-ruimtecontinuüm voorgestelt.(zie verder) Verondersel dat een iemand in een trein zit die eenparig rechtlijnig beweegt tegen constante snelheid v (¹ 0). Hij laat uit het raam een steen vallen. Deze steen beschrijft tegenover hem een rechte naar beneden. Nu deze steen zal tegenover een derde persoon die naast de spoorweg een parabool beschrijven. Het is dus belangrijk aan te duiden wie de beweging waarneemt (= het referentielichaam). In plaats van het begrip referentielichaam te gebruiken is het dan ook beter het begrip coördinatensysteem te gebruiken. Dit is vooral nuttig voor de wiskundige beschrijving. De steen beschrijft tenopzichte van een vast met de wagon verbonden coördinatensysteem een rechte lijn, maar ten opzichte van een met de grond verbonden coördinatensysteem een parabool. Hier kan men zich ook afvragen wat er in werkelijkheid gebeurd. Rechte of parabool? Wat betekent hier beweging in de ruimte? Dit voorbeeld toont duidelijk aan dat er geen baan op zich bestaat om de die het lichaam beschrijft, maar alleen een baan ten opzichte van een referentielichaam. Om het rekenen en voorstellen te vereenvoudigen, kan ten slotte de waarnemer als vast of in rust beschouwd worden. Nu moet de waarnemer nog willekeurig zijn referentiesysteem of coördinatenstelsel kiezen zodat hij aan de hand van dit stelsel elk punt in de ruimte kan vastleggen. Nu, op een voorwerp in rust werken geen krachten. Hieruit volgt de definitie van een inertiaalstelsel: Pagina 3 van 13

4 Een Euclidisch ruimtelijk coördinaatstelsel waarin een aan zich zelf overgelaten voorwerp in rust blijft of eenparig rechtlijnig beweegt noemt men een inertiaalsysteem. Opmerking: Het begrip inertiaalsysteem is natuurlijk een idealisatie, net zoals begrippen als puntmassa, wrijvingsloze beweging, etc. Daarbij moet men allerlei storende omstandigheden wegdenken. Hieruit volgt dan het 1e postulaat van Einstein (een postulaat is een eigenschap die zonder bewijs wordt aanvaarrd): Iedere natuurwet die geldt ten opzichte van een coördinatensysteem Kgeldt ook voor een willekeurig cördinatensysteem K1,mits K en K1 eenparig rechtlijnig ten opzichte van elkaar bewegen. Dit betekent dat alle inertiaalsystemen onderling equivalent zijn. Het betekent ook dat beweging relatief is in de zin dat er geen absoluut onderscheid gemaakt kan worden tussen rust en eenparig rechtlijnige beweging. Meteen ook het 2e postulaat van Einstein: De lichtsnelheid heeft in ieder (lokaal) inertiaalstelsel dezelfde waarde. Door de toevoeging van het woord lokaal geldt dit postulaat ook in de aanwezigheid van gravitatie! Einstein zal een logische overeenstemming tussen deze twee twee principes tot stand brengen door een invoering van een verandering in de kenematica, dat wil zeggen een verandering in fysiche wetten in ruimte en tijd(lorentz-transformaties). Hoofdstuk 4 : Galileotransformaties Om een volledige beschrijving van de beweging van een lichaam te krijgen is het dan ook belangrijk nauwkeurig aan te duiden hoe het lichaam met de tijd evolueert. Bij dit alles moet dan ook een zodanige definitie van de tijd gegeven worden zodat tijdcoördinaten op grond van de definitie als waarneembare grootheden kunnen worden beschouwd, m.a.w. als resultaat van meetingen. De nieuwe interpretatie van Einstein van het relativiteitsprincipe, waarbij Lorentz transformaties zijn ingevoerd om overgangen tussen inertiaalsystemen te beschrijven, heeft er voor gezorgd dat het probleem van de constante lichtsnelheid is opgelost. Algemener blijkt te gelden dat de Maxwell theorie als geheel covariant is onder Lorentz transformaties. De Newtonse mechanica daarentegen is niet Lorentz covariant. Lorentz transformaties verbinden, net als Galilei transformaties, inertiaalsystemen op een manier die in overeenstemming is met het relativiteitsprincipe en het lichtpostulaat. In tegenstelling tot Galilei transformaties laten ze de lichtsnelheid invariant. Hiermee zijn ze in overeenstemming met de Maxwell theorie van het electromagnetisme. Omdat de Newtonse mechanica niet Lorentz-covariant is moet ze vervangen worden door een nieuw te formuleren mechanica. Ook dit is door Einstein gedaan. Het is experimenteel gebleken dat deze nieuwe mechanica de fysische realiteit nauwkeuriger beschrijft dan de mechanica van Newton, ook al blijft de laatste voor een groot gebied van fysiche verschijnselen een zeer goede benadering. Hier volgt nu de grafiek van de verplaatsing in functie van de tijd van een puntdeeltje dat verder besproken wordt. Dit om tot de Galileitransformatieformules te komen. Dit is een rechte met willekeurige richtingscoëfficient voorgesteld in 2 dimensies om het eenvoudiger te houden. Deze rechte stelt de levenslijn voor van het deeltje. De snelheid van het deeltje is gelijk aan tg(a). Hoe groter de hoek, hoe sneller het deeltje zal gaan. Een vertikale rechte kan niet want dit zou een oneindige snelheid betekenen. Beschouwt men een inertiaalsysteem S met ruimtelijke coördinaten x, y, z, met daarin een puntdeeltje Pagina 4 van 13

5 waarop geen krachten werken (met de verondersteling dat er geen zwaartekracht is), dan wordt de beweging van het deeltje, volgens de wet van de traagheid, beschreven door de formule: of uitgeschreven Hierin is een constante snelheid (ERB), die eventueel nul mag zijn waardoor de situatie met het deeltje in rust als speciaal geval is ingesloten.galileï transformaties zijn van de vorm. Stel dat een tweede inertiaalsysteem S, met ruimtelijke coördinaten x', y', z', zich eenparig rechtlijnig beweegt ten opzichte van het stelsel S, met een snelheid. Op het tijdstip t=0 kan men de coördinaten x', y', z' uitdrukken in de x, y, z volgens: Hierbij neemt men aan dat de twee oorsprongen op het tijdstip t=0 samenvallen. Dit er enkel voor zorgen dat de transformatieformules een constante term meer bevat. Als we de beweging van het puntdeeltje vertalen naar het nieuwe stelsl S, wordt dit: Dus weer een ERB, met constante snelheid gelijk aan: In de Galileï transformatieformules is als vanzelfsprekend aangenomen dat de tijd in S en S het zelfde is. De nieuwe coördinaten x', y' en z' zijn lineaire functies van de oude coördinaten x, y en z. Voor de nieuwe tijd t' neemt men gewoon t'=t. Merk op dat dit een lineaire transformatie van vier variabelen naar vier nieuwe variabelen is. Er bestaat geen absolute tijd. Dit komt omdat de lichtsnelheid begrensd is. Als we algemeen zouden zoeken naar een lineaire transformatie, met de eigenschap dat eenparige rechtlijnige bewegingen weer in eenparige rechtlijnige bewegingen overgaan, dan zou de voorwaarde t'=t ervoor zorgen dat we op de Galilei transformaties zouden uitkomen. Als we de eis t'=t laten vallen en toelaten dat de nieuwe tijd t' niet alleen van de oude tijd t maar ook van de oude ruimte coördinaten x, y en z afhangt zijn er ook andere mogelijkheden. Het betekent dat we tijd en ruimte niet langer als afzonderlijke begrippen opvatten, maar dat we denken aan een 4-dimensionale ruimte-tijd. Dit is de essentie van de gedachtengang van Einstein. Het beroemde gedachtenexperiment van Einstein met de rijdende trein laat zien dat gelijktijdigheid, in de Newtonse theorie nog zo vanzelfsprekend, met een waarnemer-onafhankelijke lichtsnelheid plots geheel onjuist is. Laat hiertoe een lichtflits vanuit het midden van de trein naar beide kanten zich uitspreiden. Voor een waarnemer in de trein bereikt het licht de voor- en achterkant van de trein precies gelijktijdig, maar voor een waarnemer op het perron wordt de achterkant eerder bereikt dan de voorkant. Dit kan men eenvoudig nagaan als gebruik maakt van het feit dat ook voor de waarnemer op het perron het licht zich met de snelheid c voortbeweegt! Hoofdstuk 5 : De tijdsdilatatie Wanneer twee objecten eenparig rechtlijnig bewegen ten opzichte van een waarnemer neemt deze een gebeurtenis op hetzelfde moment(voor de twee objecten) niet op hetzelfde ogenblik waar. Het licht moet immers van de gebeurtenissen tot de waarnemer flitsen. Wanneer de gebeurtenissen niet evenver van de waarnemers verwijderd zijn, zal er een tijdsdilatatie opduiken (een verschil in tijdstip voor dezelfde Pagina 5 van 13

6 waarneming). Om deze tijdsdilatatie wiskundig te bepalen maak men gebruik van volgende tekening en gedachtengang: Hierboven zijn twee lichtklokken afgebeeld.bij deze klok kaatst licht heen en weer tussen twee spiegels. Dat licht wordt uitgezonden met een zeer korte pulsduur, zodat men daarvan het begin nauwkeurig kan bepalen en hiermee het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende tikken van de klok kan aflezen. Men kiest voor deze tijdsduur tussen twee tikken één nanoseconde(dit om practische redenen) waarin het licht heen en weer gaat. In die tijd legt het licht 30 centimeter af, dus staan de spiegels op een afstand van L=15 centimeter. De relatie tussen de tijdsduur en de afstand geldt uiteraard alleen als de klok stilstaat ten opzichte van ons, als waarnemer. Hou de klok nu rechtop, dus de spiegels evenwijdig aan de grond, maar laat de gehele klok bewegen met een snelheid v. Denk daarbij aan een klok in een rijdende trein die we van het perron waarnemen. Als we mee zouden reizen met de klok in de trein verandert er natuurlijk niets, maar als men op het perron staat en het licht volgt van onder naar boven en weer terug verandert er wel iets. Omdat de spiegels en de trein met een snelheid v bewegen, hebben deze tussen de tijd van het vertrek van het licht en de aankomst bij de bovenste spiegel een afstand vt/2 afgelegd, en nog eens dezelfde afstand op de terugweg, zie de figuur. Hierbij is T uiteraard de tijdsduur voor het op en neer gaan van het licht, maar gezien vanuit onze waarnemingspositie. Om deze tijd T te bepalen, rekent men uit wat de afstand is die het licht heeft afgelegd. Hierbij gebruikt men de stelling van Pythagoras, want deze afstand is twee maal de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek die in de figuur is aangegeven. De verticale rechte zijde heeft een lengte L, en de horizontale rechte zijde een lengte vt/2. Dus de weg die het licht heeft afgelegd is gelijk aan: Deze afstand is volgens het lichtpostulaat afgelegd met een snelheid c (onafhankelijk van de beweging van de klok) over een tijdsinterval T. Len schrijft: Anderzijds geldt voor de waarnemer die meereist met de klok dat het licht vertikaal op en neer gaat, dus een afstand 2L aflegt. De tijd die het daarvoor gebruikt is de nanoseconde (t=10-9 s); zo is nu eenmaal de klok geijkt. Ook voor de meereizende waarnemer is de snelheid van het licht gelijk aan c, zodat ct=2l. De hoogte van de klok L is voor beide waarnemers hetzelfde. Dus we kunnen L=ct/2 invullen in de andere vergelijking en dit geeft: De verkantswortel wegwerken door te kwadrateren geeft dan: (ct)² = (ct)² + (vt)² Men kan nu (vt)² naar het ander lid overbrengen en delen door c²: [1 (v²/c²)]t² = t² En dit geeft uiteindelijk : Dit is de beroemde formule van Einstein voor de tijdsdilatatie: men ziet een bewegende klok langzamer lopen dan een stilstaande klok. Hoeveel langzamer hangt van de snelheid van de klok af. Als de snelheid gelijk aan nul is, dan is natuurlijk T=t, zoals het hoort. Als v nu groter en groter wordt, dan wordt ook T groter en groter. Totdat v dichter en dichter bij c komt, en T onbeperkt groot wordt. Bij v=c is dan de tijdsduur tussen twee tikken op de klok oneindig groot, de tijd van de bewegende klok komt voor de waarnemer stil te staan. Men merkt meteen dat het waarnemingsaspect zeer belangrijk is. Waarnemen gaat nu eenmaal meestal Pagina 6 van 13

7 via licht. Het was ook de eigenschap van het licht die aanleiding gaf tot dit, op het eerste gezicht, bizarre resultaat. Waarom is dit de meeste mensen nooit opgevallen(krijgen mensen niet het gevoel dat de tijd langer duurt als ze stilstaan(wachten)). Dat komt omdat in de dagelijkse praktijk de snelheden zo klein zijn ten opzichte van de snelheid van het licht. Laten we de omloopsnelheid van de aarde om de zon als voorbeeld nemen. Daarvoor is dus v/c=1/ Bij het berekenen van de tijdsdilatatie moeten we hiervan het kwadraat nemen. De afwijking in de gang van de klok is bij deze snelheid slechts 1 op 200 miljard seconden, of 1 seconde in 6 jaar, 4 maanden en 2 dagen. Dat kan men met atoomklokken wel meten, maar maakt echter wel duidelijk dat we er in het dagelijkse leven niets van merken. Toch zul je ongetwijfeld denken dat het komt door de manier waarop we de tijd hebben gemeten. Echter, laten we eens een heel andere klok nemen. Denk aan een koekoeksklok, een digitale klok, of wat mij betreft een tennisklok, waar een tennisbal op en neer stuitert (dan moeten we wel aannemen dat er geen energie verloren gaat bij het stuiteren, of door de wrijving met de lucht, maar het idee is duidelijk). Als we deze klokken in rust met elkaar vergelijken kunnen we bepalen hoeveel tikken de lichtklok heeft, binnen één tik van de koekoeks-, tennis- of digitale klok (dat zullen veel tikken zijn, maar dat maakt niet uit). Als nu al die klokken ten opzicht van ons bewegen, dan staan ze nog steeds stil ten opzicht van elkaar, en lopen dus nog steeds gelijk, ook voor ons, omdat het eenduidig is wanneer op dezelfde plaats en dezelfde tijd twee tikken samenvallen. Hoe raar het op het eerste gezicht ook lijkt, de tijdsdilatie is een universeel verschijnsel, en wordt daarbij van een eigenschap die bewegende klokken hebben, verheven tot een eigenschap van de tijd. Samenvatting : Het resultaat van een tijdmeting is afhankelijk van het inertiaalsysteem waarin we ons bevinden: Een tijdsinterval in een inertiaalsysteem S wordt in een systeem S' dat zich met een snelheid v ten opzichte van S beweegt een interval.dit verschijnsel noemt men tijdsdilatatie. Hoofdstuk 6 : De lengtecontractie Met een tijd die langer wordt voor bewegende klokken, maar een snelheid die onafhankelijk van de beweging is, ligt het voor de hand dat de waargenomen lengte van een meetlat korter wordt. Dit is de beroemde Lorentzcontractie. We geven de bewegende klok een lampje mee dat gedurende de tijd T aan is. We nemen nu een meetlat met een lengte L0, waarlangs de klok beweegt, precies zo dat het lampje alleen aan is zolang de klok zich ter hoogte van de meetlat bevindt. Dus L0=vT. Hoe ziet dit eruit voor iemand die met de klok meebeweegt, en ten opzichte waarvan de meetlat dus beweegt met een snelheid v? Voor die waarnemer is het lampje aan gedurende een tijd: en deze waarnemer concludeert dus dat de meetlat een lengte heeft gelijk aan Conclusie: Een balk die zich in zijn lengte richting met een constante snelheid u beweegt blijkt tengevolge van die beweging met een factor korter te zijn geworden. Dit verschijnsel noemt men lengte contractie of ook wel Lorentz-FitzGerald contractie. Voor kleine snelheden (tegenover deze van het licht) zal men dit fenomeen echter niet waarnemen want de lengtecontractie- en de tijdsdistilatiefactoren zullen zeer dicht bij 1 liggen en zijn dus verwaarloosbaar. In Pagina 7 van 13

8 het dagdagelijkse leven zal men hiervan dus niets merken. Einstein had over deze twee fenomenen geen bewijs gevonden. Hij ze volledig theoretisch voorspelt. Men heeft ze nu echter al bewezen met de gigantisch grote deeltjesversnellers (voorbeeld: het CERN in Zwitserland) die in zeer ijle buizen elementaire deeltjes laten bewegen met zeer grote snelheid. Dit gebeurt in cirkelvorm met behulp van een magneet. Men heeft trouwens niet allen bewezen dat deze twee factoren bestaan, maar ook dat wanneer men er geen rekening mee houdt een deeltjesverneller gewoon niet (meer) werkt. Hoofdstuk 7: Lorenztransformaties Voor Lorenztransformaties zal men niet zomaar aannemen dat er een absolute tijd bestaat. Men zal rekening houden met de tijdsdilatie en de lengtecontractie. Hier een voorstelling van de formules voor standaard Lorentztransformaties in de x-richting (links) en hun inverse formules (rechts): Men kan deze ook vertalen naar y- en z-richting, maar dit verandert alleen de lengtecontactie voor die bepaalde richting. De lengte voor de twee andere richtingen blijven automatisch bewaart. Tenslotte zijn er ook standaard Lorentz transformaties in een willekeurige richting. De formules hiervoor zijn natuurlijk wat ingewikkelder. Ik zal ze niet afleiden, maar ik geef ze gewoon hier. Als het nieuwe systeem S' zich ten opzichte van S beweegt met een snelheid wordt de transformatie van ruimte-tijd coördinaten gegeven door: Hierin is u2=ux2+uy2+uz2 en. Lorentz transformaties verbinden, net als Galilei transformaties, inertiaalsystemen op een manier die in overeenstemming is met het relativiteitsprincipe en het lichtpostulaat. In tegenstelling tot Galilei transformaties laten ze de lichtsnelheid invariant. Hiermee zijn ze in overeenstemming met de Maxwell theorie van het electromagnetisme. Deel 2 : De algemene relativiteitstheorie Hoofdstuk 1: Inleiding De algemene relativiteitstheorie is de theorie van de zwaartekracht en de effecten daarvan op andere fysische verschijnselen. De theorie werd ontwikkeld door Einstein, die haar in 1916 publiceerde. Einstein suggereerde drie tests van de algemene relativiteitstheorie, te weten: a. de gravitationele roodverschuiving van spectraallijnen, b. de afbuiging van licht door de zon, c. de precessie van het perihelium van de banen van de dichtst bij de zon staande planeten. De eerste test, de gravitationele roodverschuiving, test het principe waar de algemene relativiteitstheorie op is gebouwd: het zogenaamde equivalentieprincipe. De tweede en de derde test, de afbuiging van licht en de precessie van het perihelium, zijn beide tests van de juistheid van het equivalentieprincipe gecombineerd met de Einstein-vergelijkingen. In deze syllabus worden de `drie klassieke tests' in detail Pagina 8 van 13

9 behandeld. De algemene relativiteitstheorie is om de speciale relativiteitstheorie heen gebouwd, de algemene relativiteitstheorie omvat dus bij constructie de speciale. Dit gebeurt op het moment dat het equivalentieprincipe wordt geformuleerd, en dat is waarmee deze syllabus van start gaat. Een belangrijk begrip dat voorkomt in de formulering van het equivalentieprincipe is het begrip locaal inertiaal-systeem. Hiermee wordt een systeem van coöordinaten bedoeld, dat zich uitstrekt over een beperkt gebied, en dat zich zodanig beweegt, dat een deeltje waarop geen kracht wordt uitgeoefend, ten opzichte van dit systeem langs een rechte lijn beweegt. (Met kracht wordt hier bedoeld, een kracht die niet de zwaartekracht is. Een satelliet die zich in vrije val om de aarde beweegt (en niet om een of andere as roteert) is een goed voorbeeld van een locaal inertiaal-systeem. Een ander voorbeeld van een locaal inertiaal-systeem is een lift in een hoog kantoorgebouw, kort nadat de kabel op de bovenste verdieping is geknapt. Binnen een in vrije val om de aarde cirkelende satelliet zal een in een willekeurige richting weggeschoten balletje zich langs een rechte lijn bewegen. Het systeem moet wel klein zijn ten opzichte van de verandering van het zwaarteveld, anders houdt de rechte lijn waarlangs het balletje zich beweegt op recht te zijn. Het aan de satelliet vastgedachte systeem van coördinaten mag zich dus bijvoorbeeld niet over de hele ruimte uitstrekken. Het klein zijn van een locaal inertiaalsysteem wordt in de naam ervan aangegeven door de toevoeging locaal. In een locaal inertiaalsysteem is de zwaartekracht niet voelbaar, anders bewoog het balletje zich immers niet langs een rechte lijn. In de speciale relativiteitstheorie wordt afgezien van de effecten van de zwaartekracht: het begrip zwaartekracht komt er zelfs niet in voor. In een ruimte zonder zwaartekracht kan een inertiaalsysteem de hele ruimte omvatten. De speciale relativiteitstheorie is een theorie die alleen geldig is ten opzichte van al dan niet locale inertiaalsystemen, en alleen wanneer er geen zwaartekracht is. Het equivalentieprincipe, het principe dat de grondslag vormt van de algemene relativiteitstheorie, is niets anders dan de veronderstelling dat de wetten van de speciale relativiteitstheorie alleen geldig zijn in een locaal inertiaalsysteem, dus in een vrijvallende, nietroterende, satelliet of lift. Deze veronderstelling is voor de hand liggend, omdat in een locaal inertiaalsysteem de zwaartekracht niet waarneembaar is. Wanneer in een locaal inertiaalsysteem Cartesische coördinaten worden gekozen, spreekt men van een locaal Lorentz-systeem. Hoofdstuk 2: Het equivalentieprincipe De hypothese die `het equivalentieprincipe' genoemd wordt luidt: In elk ruimte-tijd punt xm = (ct; x1; x2; x3) van een willekeurig zwaartekrachtsveld is het mogelijk een locaal inertiaal-systeem te kiezen, zodanig dat, in een voldoend kleine omgeving van dat punt x, de vergelijkingen die het systeem beschrijven dezelfde vorm hebben als in de speciale relativiteitstheorie. Met andere woorden, het is onmogelijk een om, met welk fysisch mechanisme dan ook, een onderscheid te maken tussen een uniform gravitatieveld en een eenparige versnelling. Bijvoorbeeld, binnen een ruimteschip in baan rond de aarde hebben gravitatie en versnelling elkaar opgeheven en geen van de twee kan afzonderlijk worden waargenomen. Om dit even te illustreren volgt hieronder een voorbeeld: Stel dat Menheer X zich in een ruimteschip bevindt. Dit ruimteschip beweegt zich in een interplanetaire ruimte zonder versnelling. Menheer X zou graag weten wanneer hij met zijn ruimteschip in een Pagina 9 van 13

10 gravitaiteveld treedt. Even opmerken dat wanneer het ruimteschip in een gravitatieveld treedt dit automatisch een cirkelvormige, gravitationele baan zal beschrijven rond de puntmassa dewelke de oorzaak is van het gravitatieveld. Menheer X zal een smalle, horizontale lichtbundel opsellen (een lazerstraal) en deze richten op een zeer kleine detector. Immers, een niet-versnelde waarnemer zal de lichtbundel de laser niet verlaten, bewegend in een rechte lijn naar de detector. Maar terwijl de bundel onderweg is, valt het schip in het gravitatieveld. En dus raakt de bundel de wand boven de detector en toont daarmee aan dat Menheer X zich in een gravitatieveld bevindt. Hier is echter iets over het hoofd gezien!! Gravitationele massa s en inertiële massa s zijn gelijk en zoals we weten zijn inertiële massa s en energie evenredig: E = m * c²; Hieruit kunnen we afleiden dat alle soorten energie, die inertiële massa produceren, eveneens gravitationele massa moeten produceren. Dit geldt ook voor electromagnetische energie. Energie, in welke vorm dan ook, leidt tot zwaartekracht. Meheer X s laserbundel moet eveneens vallen, op dezelfde manier als het schip. De De bundel zal de detector raken en alles zal binnen het schip verlopen alsof het nog steeds zweeft in een interplanetaire ruimte, zonder enig teken van gravitatie of versnelling. Hoofdstuk 3: Invloed van zwaartekracht op licht Welk experiment zou kunnen aantonen dat licht in een gravitatieveld naar beneden valt, zoals hierboven vermeldt staat in een eerder experiment? Hierbij helpt het zeker om uit te gaan van het feit dat het gravitaite veld van de zon veel groter zal zijn dan het gravitatieveld van de aarde. De massa van de zon is maal die van de aarde. De straal van de zon is 109 maal groter dan de straal van de aarde. Het kadraat van deze verhouding (109²) is Wanneer men de massaverhouding (3,33*105) deelt door het kwadraat van de straalverhouding (11,9*10³) bekomt men dat de zwaartekracht op het oppervlak van de zon ongeveer 28 maal sterker is dan g, de zwaartekracht op het aardoppervlak. Als een lichtbundel horizontaalover het oppervlak van de zon zou worden gestuurd over een afstand van 300 meter, hoe diep zou het licht vallen? De tijd die het licht nodig heeft om deze afstand te overbruggen is ongeveer één miljoenste seconde. Met een versnelling van ongeveer 30g, of 300 meter per seconde, valt het over een afstand die vergelijkbaar is met de diameter dan een atoom [= gravitatieversnelling * (verstreken tijd)²]. Nog afgezien van de moeilijke omstandigheden waarin dit experimt dient uitgevoerd te worden, zal het zeer moeilijk zijn om zo n kleine verplaatsing te meten. (Ht is meteen duidelijk dat Menheer X s experiment tamelijk onpractisch was.) Het is duidelijk geworden dat er veel grotere afstanden nodig zijn (op astronomische schaal) om deftige metingen te kunnen uitvoeren. Dit maakt het dan ook niet meer nodig om op het oppervalk van de zon te metingen uit te voeren. Men kan evengoed op aarde blijven. Men zal een lichtbundel afkomstig van ster waarnemen die toevallig langs het oppervlak van de zon flitst. Als het licht de aanraaking met de zon voelt, zal de ster schijnbaar in een iets andere richting staan, dit door de afbuiging van het licht. In 1911 stelde Einstein dit experiment al voor (zie inleiding, puntje b.). Hij voorspelde ook de grootte van het Pagina 10 van 13

11 effect en legde uit hoe men dit fenomeen moest observeren. Men moet deze consequentie van de theorie vergelijken met waarnemingen op het moment dat van een volledige zonsverduistering. Op dit moment zijn de sterren zichtbaar vlak naast de zon. Met de consequentie bedoelt men: Licht valt op dezelfde manier als om het even welk ander voorwerp. Het enige dat het licht onderscheidt van andere voorwerpen is zijn hoge snelheid c. Denkt men aan een voorwerp dat in rechte lijn met snelheid c naar de rand van de zon beweegt, dan zal de kracht loodrecht op zijn oorspronkelijke richting, terwijl het de zon passeert, eerst toenemen, een maximum bereiken in het raakpunt en daarna weer afnemen. Hierdoor ontstaat een gesommeerde overdracht van impuls in die loodrechte richting. Door deze loodrechte impuls te vergelijken met de impuls van het naderende voormwerp, vindt men de hoek waarover het voorwerp bij deze raakelingse ontmoeting zal worden afgebogen. Om dit even te vereenvoudigen, kan men opmerken dat de kracht loodrecht op de oorspronkelijke beweging niet veel zal afwijken van zijn maximale waarde, zolang het voorwerp zich niet verder dan één zonsstraal van het raakpunt bevindt. Het effect van de kracht op grotere afstonden is verwaarloosbaar. Na eenvoudige berekeningen bekomt voor de afbuighoek 0,875 boogseconden. (een booggraad telt 60 * 60 = 3600 boogseconden). Einstein had hier zijn Equivalentieprincipe gebruikt om de afbuiging van licht te bepalen. De voorspelde afbuighoek was dezelfde als de Newtoniaanse voorspelling voor een voorwerp dat toevallig snelheid c bezat. Maar men ziet dat er een additioneel bewegingseffect moet zijn. Dit zal later besproken worden. Voor een beweging met snelheid c kan dat vergelijkbaar zijn met het Newtoniaanse effect. Om dit verder te begrijpen en te beschrijven, moet men terugkeren naar de tien grootheden van T, zoals bepaald door de dichtheid en de stroom van energie en impuls. Niet alleen energie (massa) leidt tot zwaartekracht,ook impuls wekt deze op. Voor een lichtbundel zijn energie en impuls gelijk (c = 1), hetgeen (correct) suggereert dat de voorspelling van de algemene relativiteitstheorie tweemaal zo groot zal zijn als de Newtoniaanse waarde. 0,875 * 2 = 1,75 boogseconde. Deze verschuiving stelt op de afstand van de zon iets meer dan duizend kilometer (de straal van de zon is kilometer). Hoofdstuk 4: Gravitationele roodverschuiving van spectraallijnen Menheer X is een koppig man en nadat hij vernomen had dat zijn experiment gefaald was, probeerde hij een nieuw experiment. Dit keer kiest hij geen horizontale lichtbundel, maar een vertikalen lichtbundel(ten opzicht van zijn ruimteschip natuurlijk). Hierbij zal hij rekening moeten houden met het Doppler-effect. Als een detector met een snelheid v in de richting van een lichtbron beweegt, wordt elke ander golf dichter bij de bron ontvangen, zodat de tijd tussen de opeenvolgende toppen van een electromagnetische golf kleiner wordt. De golven arriveren sneller na elkaar; de frequentie wordt verhoogd. En de maat van die toename, de fractionele verandering Pagina 11 van 13

12 infrequentie, is de verhouding tussen de snelheid van de detector en de lichtsnelheid: v/c. Veronderstel dat de detector op een hoogt h is gemonteerd boven de lichtbron. De tijd die het licht nodig heeft om van de bron naar de detector te komen is dan t = h/c. Als het ruimteschip de gravitatieversnelling g heeft, dan zal de detector, in de tijd t die het licht nodig heeft, in de richting van de bron in snelheid toenemen met v = g *t. Daarom is de fractionele toename van de waargenomen frequentie: v/c = [g (h/c)]/c = (g *h)/c² Opnieuw vereist Einstein s Equivalentieprincipe dat, binnen het vrijvallende ruimteschip, waar de versnelling exact het uniforme gravitatieveld compenseert, geen teken van hetzij versnelling, hetzij gravitatie kan worden gevonden, met welke fysische methode dan ook. Wat heeft Menheer X weer eens over het hoofd gezien? Jawel, het licht ondergaat eveneens de zwaartekracht en hij weer eens niets merken wanneer hij in een gravitatieveld binnentreedt. Er moet een exact compenserende afname van frequentie plaatsvinden voor licht dat omhoog beweegt in een gravitatieveld. Omdat rood licht de laagste zichtbare frequentie heeft, wordt elke afname van frequentie een roodverschuiving genoemd. Een afname van frequentie wordt een roodverschuiving genoemd. Een toename van frequentie wordt dan blauwverschuiving genoemd, omdat het blauwe licht de hoogste frequentie heeft van zichtbaar licht. Is een roodverschuiven meetbaar op aarde of in de ruimte. Het antwoord is ja, want een experiment is in de jaren 60 al uitgevoerd geweest te Harvard om roodverschuiving te bepalen. Hiervoor moest men uiterstnauwkeurig te werk gaan. Er hebben zich een aantal problemen voor gedaan (vooral in de ruimte). Een ervan was dat de wet van behoud van energie (en dus ook impuls) moes blijven kloppen. Op het oppervlak van de zon bevoorbeeld wordt een zekere hoeveelheid warmte afgegeven, de lichtfonon die langsheen het zonsoppervlak raast zal heervan een beetje energie of warmte opnemen, met voorspelbare consequeties waarmee men dan rekening moet houden. Hier ga ik verder niet op ingaan. Hoofdstuk 5: Conclusie en slot Einstein heeft zeer nauwkeurig de principes van de speciale relativiteit uitgedacht en uitgeschreven. Deze gingen voornamelijk over het begrensd zijn van de lichtsnelheid. Hij neemt aan dat deze de natuurkundige maximum snelheid is en formuleert correct wetten om het heelal te beschrijven. Lorenz zal hieraan een meetkundige betekenis geven. Iets later breidt Einstein zijn theorie uit zodat gravitatie en versnelling als gelijke fenomenen mogen beschouwd worden. Dit doet hij aan de hand van het Equivalentieprincipe. Hij verjaagd de betekenis van een lineair heelal en brengt zijn iedeeën aan het licht. Voor hem is het heelal krom. Deze kromming is het logische gevolg van deze aanpassing (van speciaal naar algemeen), aangezien aangetoont geweest is dat het licht evenals elk ander object onderheven is aan om het even welke gravitatie of versnelling. De oorzaak van gravitatie kent hij niet meer toe aan de massa, maar aan energie, door middel van zijn meest bekende formule E = m*c². Hiermee gepaard gaan natuurlijk impuls en andere soorten energie. Hij zal een nieuw begrip invoeren voor de beschrijving van licht, het foton, en nog zo veel meer. Pagina 12 van 13

13 Einstein had alles theoretisch voorspeld. Pas later zullen zijn geniale gedachten kunnen worden bewezen. Bronvermelding Einstein... en daarna. De uitwerking van de geniale gedachte. Julian Schwinger Albert Einstein en de relativiteitstheorie. Hilaire Cuny Het abc van de relativiteit. Bertrand Russel Internet: De site van het Nederlandse Lorenz-instituut voor theoretische natuurkunde te Leiden: Internet: De site van het Nederlandse UVA, instituut voor theorietische natuurkunde, te Amsterdam: Pagina 13 van 13