Profielwerkstuk Wiskunde Newton en Leibniz

Transcriptie

1 Profielwerkstuk Wiskunde Newton en Leibniz Profielwerkstuk door een scholier 3748 woorden 8 mei ,5 124 keer beoordeeld Vak Wiskunde Ø Wat te onderzoeken? Ik heb besloten om het leven van Newton en Leibniz te onderzoeken. Ik ga kijken wat ze voor wiskunde betekend hebben. Ik bekijk hun leven en waar ze zich mee bezig houden. Ik weet dat Newton en Leibniz tijdgenoten zijn, dus kijk ik ook of ze met elkaar in contact zijn gekomen en als dat zo is hoe de relatie tussen Newton en Leibniz was. Verder neem ik in mijn profielwerkstuk een paar van hun onderzoeken in. Met mijn onderzoek probeer ik te weten te komen hoe belangrijk Newton en Leibniz waren en wat hun inbreng voor wiskunde was. Ø Isaac Newton Isaac Newton is geboren in het gehucht Woolsthorpe in het graafschap Lincolnshire vlakbij Grantham. Toen was in Engeland nog niet onze huidige kalender ingevoerd, daarom was zijn geboortedatum eerste kerstdag 1642, maar volgens onze kalender was dit 4 januari Isaac Newton s vader, die ook Isaac Newton heette, was een boer. Isaac Newton s vader stierf in oktober 1642, drie maanden voor de geboorte van Isaac Newton, daarom heeft hij nooit zijn vader leren kennen. Isaac Newton s vader was wel een rijke man, maar hij was onopgeleid, hij kon niet eens zijn eigen naam schrijven. Toen Isaac Newton twee jaar was hertrouwde zijn moeder, Hannah Ayscough, met Barnabas Smith, een predikant uit een nabij gelegen dorp North Witham. Zijn moeder verhuisde naar North Witham en Isaac Newton bleef bij zijn grootouders, Margery en James Ayscough, wonen in Woolsthorpe. Isaac Newton had niet een gelukkig leven, omdat hij als een wees werd behandeld. Hij was ook erg boos op zijn moeder en zijn stiefvader. Op negentien jarige leeftijd verklaarde hij: Threatening my father and mother Smith to burn them and the house over them. Zijn stiefvader stierf in 1653, daarna woonde hij samen met zijn moeder, grootmoeder, één halfbroer en twee halfzusters. In Woolsthorpe. Daarna ging hij naar de Free Grammar School in Grantham. Dit was niet zo n succes, daarom werd hij van school gehaald, maar er bleek ook dat hij weinig interesse had in de rol van landeigenaar. Een oom van Isaac Newton, William Ayscough, besloot dat hij naar de universiteit moest, daarom ging hij terug naar de Free Grammar School in 1660 om zijn studie af te maken. Deze keer waren zijn resultaten zo veel beter dat een studie op universiteit mogelijk werd. We weten niet wat hij voor zijn universiteit jaren heeft geleerd. Newton ging naar zijn oom s oude universiteit, Trinity College in Cambridge op 5 juni Newton ging naar Cambridge om rechten te studeren. In Cambridge werd voornamelijk de filosofie van Aristoteles geleerd, maar in het derde jaar had je wat meer vrijheid. Hij studeerde dan de filosofie van Descartes, Gassendi, Hobbes en vooral Boyle. De studie van Galileo interesseerde hem erg veel en hij studeerde ook Kepler s Optics. Hierover schreef hij een boek: Quaestiones Quaedam Philosophicae (Zekere filosofische vragen). In dit boek is te zien, hoe al in 1664 Newton s ideeën vorm begonnen te krijgen. Het motto van dit boek was: Plato is mijn vriend, Aristoteles is mijn vriend, maar mijn grootse vriend is de waarheid. Hiermee liet hij zien dat hij een vrije denker is. Pagina 1 van 7

2 Volgens de Moivre begon Newton s interesse in wiskunde in 1663 toen hij een boek kocht over astronomie en de inhoud ervan niet begreep. Daarna studeerde hij veel wiskundige boeken zoals: De elementen van Euclides, Clavis Mathematica van Oughtred, La Géométrie van Descartes. Algebra en analystische meetkunde leerde hij uit Frans van Schooten s editie van Vieta s verzamelde werken. Newton s eerste wiskundige arbeid kwam uit de studie van Wallis Algebra. Hij bewees enkele stellingen uit het boek op een andere manier. Zo schreef hij: Thus Wallis dot hit, but it may be done thus. In de zomer van 1665 sloot de universiteit zijn deuren vanwege het uitbreken van de pest. Newton keerde terug naar het landgoed in Lincolnshire. Daar in een periode kleiner dan twee jaar, nog steeds onder 25 jaar, deed Newton revolutionaire ontdekkingen op het gebied van wiskunde en natuurkunde. Hij legde daar de fundamenten van differentiaal- en integraalrekening, die hij fluxierekening noemde, een paar jaar eerder voor de ontdekking door Leibniz. Fluxierekening was gebaseerd op het inzicht dat integreren het tegenovergestelde was van differentiëren. Hij bedacht daar ook de eerste versie van zijn drie beroemde bewegingswetten. Toen de universiteit van Cambridge in 1667, na de pest, weer werd geopend, ging Newton terug om zijn studie af te maken en een baan te krijgen aan de universiteit. In juli 1668 werd Newton fellow van het Trinity College. Toen Isaac Barrow in 1669 zijn leven verder ging wijden aan het geloof droeg hij Newton als opvolger voor. Zo kreeg Newton op 27-jarige leeftijd de Lucasiaanse leerstoel in de wiskunde in Cambridge. Newton s eerste lezing als Lucasiaanse professor in 1670 ging over optica. Tijdens de twee jaren, waarin hij in het familielandhuis moest blijven, kwam tot conclusie dat wit licht uit meerdere componenten bestond. Sinds Aristoteles geloofde iedereen dat wit licht uit één component bestond. Met behulp van een prisma liet hij de verschillende kleuren in licht zien. Hij kwam tot conclusie dat licht brekende telescopen altijd last zullen hebben van chromatische abberatie, daarom maakte hij een telescoop, die werkte op basis van weerkaatsing van licht. Na schenken van een telescoop, die werkte op basis van weerkaatsing van licht, werd Newton gekozen tot lid van de Royal Society in In hetzelfde jaar publiceerde hij zijn eerste wetenschappelijke verhandeling over licht en kleur in Philosophical Transactions of the Royal Society. De verhandeling werd goed ontvangen behalve door Robert Hooke en Christiaan Huygens. Ze hadden kritiek over Newton s theorie dat licht uit deeltjes in plaats van uit golven zou bestaan. Newton vond roem en eer wel leuk, maar hij kon slecht tegen kritiek en het beste manier om geen kritiek te krijgen is niets publiceren. Newton s relatie met Hooke verslechterde verder toen, in 1675, Hooke Newton ervan beschuldigde dat hij zijn optische resultaten heeft gestolen. Newton trok zich terug van de activiteiten van de Royal Society. Hooke stierf in 1703 en Newton s Opticks verscheen in Ondertussen had hij ook ruzie met de Engelse Jezuïten in Liège over zijn kleuren theorie. Deze brievenwisseling was zo heftig voor Newton dat hij er in 1678 een complete zenuwinzinking van over hield. Toen zijn moeder een jaar later stierf trok hij zich helemaal in zichzelf terug. Hij correspondeerde alleen met nog vakgenoten. Newton s grootste werk was de universele zwaartekrachttheorie. Hierover schreef hij het beroemde boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Natuurwetenschap gebaseerd op wiskundige principes). Dit boek wordt gezien als het grootste wetenschappelijke boek ooit geschreven. Op 6 februari 1685 werd James II de koning van Engeland. Newton was een protestant en James II was een overtuigde katholiek en hij probeerde de universiteiten ook onder katholiek bestuur te krijgen. Willem van Oranje kwam in november 1688 naar Engeland en James II vluchtte naar Frankrijk. In 1693 kreeg Newton opnieuw een zenuwinzinking. Hij besloot Cambridge te verlaten en werd in 1696 directeur van de Munt in Londen. Na de dood van Hooke in 1703 werd hij de voorzitter van de Royal Society en in 1705 kwam hij in de adelstand. Hij werd toen Sir Isaac Newton. Gedurende zijn laatste jaren Pagina 2 van 7

3 bracht Newton nieuwe versies van zijn boeken uit. Hij stierf op 31 maart Ø Gottfried Leibniz Gottfried Leibniz was de zoon van een filosofie professor op Leipzig, Friedrich Leibniz. Carharina Schmuck, Leibniz s moeder, was de dochter van een advocaat en Friedrich Leibniz s derde vrouw. Op zeven jarige leeftijd begon Leibniz aan de Nicolai School in Leipzig. Op school werd er Latijns gegeven, maar Leibniz leerde zichzelf een veel meer geavanceerder Latijns en wat Grieks op twaalf jarige leeftijd. Dit deed hij om zijn vaders boeken te kunnen lezen. Op school leerde Leibniz de logica van Aristoteles. Leibniz was niet tevreden met het systeem van Aristoteles en begon zijn eigen ideeën te ontwikkelen. Naast zijn school studeerde Leibniz ook zijn vaders boeken. Hij las metafysica boeken en theologie boeken. In 1661, toen hij veertien jaar oud was, ging hij naar de universiteit van Leipzig. Dit klinkt misschien wel erg jong, maar in die tijd waren er meer die op dezelfde leeftijd naar de universiteit gingen. Hij studeerde filosofie, die op de universiteit van Leipzig een heel goede studie was, en wiskunde, die heel erg slecht was. Andere vakken waren retorica, Latijns, Grieks Hebreeuws. In 1663 slaagde hij en ging naar Jena om de zomer door te brengen. De wiskunde professor op Jena was Erhard Weigel, maar Weigel was ook een filosoof. Leibniz begreep het belang van het wiskundige bewijs voor vakken zoals logica en filosofie door Weigel. Weigel had veel invloed op Leibniz. In oktober 1663 ging Leibniz terug naar Leipzig en begon met zijn studie voor doctorandus in rechten. Later stierf zijn moeder. Leibniz kreeg niet zijn doctorandus titel in Leipzig, de reden hiervoor is niet duidelijk. Daarom ging hij naar de universiteit van Altdorf, waar hij zijn doctorandus behaalde in februari 1667 voor zijn verhandeling De Casibus Perplexis. In de hierop volgende jaren was hij actief in verschillende projecten, wetenschappelijk, literair en politiek. Leibniz begon zijn studie over beweging en in 1671 publiceerde hij Hypothesis Physica Nova. Hij kwam in contact met Oldenburg, de secretaris van de Royal Society van Londen, en met Carcavi, de Royal Liberiaan in Parijs. In 1672 ging Leibniz naar Parijs om Louis XIV over te halen om Duitse gebieden niet aan te vallen, maar tijdens het wachten om met de Franse overheid in contact te komen, maakte hij contact met wiskundigen en filosofen, vooral met Arnauld en Malebranche. In de lente van 1672 begon hij in Parijs wiskunde en natuurkunde te studeren onder Christiaan Huygens. Leibniz bezocht de Royal Society en praatte met Hooke Boyle en Pell. Leibniz ging terug naar Parijs. Op 19 april 1673 werd Leibniz gekozen als een fellow van de Royal Society. Leibniz ontmoette Ozanam en loste één van zijn problemen op. Hij kwam weer in contact met Huygens en kreeg een leeslijst van hem met werken van onder andere Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes en Sluze. Hij begon de geometrie van oneindig klein (integraal- en differentiaalrekening) te bestuderen. Hij schreef Oldenburg in de Royal Society in Oldenburg antwoordde dat Newton en Gregory al algemene methoden hebben gevonden. Oldenburg wist niet dat Leibniz van een gewone wiskundige veranderd is in een creatief wiskundig genie. In 1675 kwam Tschirnhaus naar Parijs en raakte goed bevriend met Leibniz. Gedurende deze periode in Parijs ontwikkelde Leibniz de basis van zijn calculus. In 1673 had hij nog steeds problemen met zijn notaties. Op 21 november 1675 schreef hij een manuscript met de f(x) dx notatie voor het eerst. In dezelfde manuscript stond ook de productregel voor differentiëren. In 1676 ontdekte Leibniz d(x n )=nx n-1 dx voor integraal en fractioneel n. Newton schreef Leibniz een brief, die lange tijd duurde voordat het bij Leibniz aankwam. In de brief was veel van Newton s resultaten aanwezig, maar niet zijn methoden. Leibniz beantwoordde Newton s brief onmiddellijk, maar Newton wist niet dat zijn brief een lange tijd nodig had om Leibniz te bereiken, en dacht dat hij zes weken de tijd nodig had om aan zijn antwoord te werken. Na de brief van Newton realiseerde Leibniz dat hij zijn methoden snel moest publiceren. Newton schreef een tweede brief aan Leibniz op 24 oktober 1676, maar Leibniz kreeg deze brief pas in juni 1677 toen hij in Hanover was. Pagina 3 van 7

4 Deze tweede brief was wel beleefd, maar het was duidelijk dat Newton Leibniz ervan beschuldigde zijn methoden gestolen te hebben. Newton beweerde, met rechtvaardiging, dat not a single previously unsolved problem was solved Leibniz wou in de academie van wetenschap in Parijs blijven, maar er waren daar te veel buitenlanders en er kwam dus niet een uitnodiging. In oktober 1676 verliet Leibniz Parijs en maakte een reis naar Hanover door Londen Nederland. Voor de rest van zijn leven, tot zijn dood in december 1676 bleef Leibniz in Hanover behalve voor de vele reizen die hij heeft gemaakt. Andere grote succes van Leibniz in wiskunde was zijn ontwikkeling van het binaire systeem van rekenkunde. Hij perfectioneerde zijn systeem in 1679, maar publiceerde niets tot Leibniz ging verder met het perfectioneren van zijn metafysica in de 1680-er jaren. Hij publiceerde Meditationes de Cognitione, Veritate et Ideis en in februari 1686 schreef hij zijn Discours de métaphysique. In 1684 publiceerde Leibniz de details van zijn differentiaalrekening in Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus in Acta Eruditorum, een tijdschrift in Leipzig. In 1686 publiceerde Leibniz in Acta Eridutorum met de notatie. Het jaar daarop verscheen Newton s Principia. Newton s fluxiemethode was geschreven in 1671, maar Newton kon het niet laten publiceren. Leibniz correspondeerde met de meeste geleerden in Europa, hij had meer dan 600 correspondenten. In 1710 publiceerde Leibniz Théodicée, een filosofisch werk, en in 1714 schreef hij Monadologia. Ø Binomium van Newton Ik ga eerst een paar voorbeelden helemaal uitschrijven, zonder ze daarna te vereenvoudigen, zodat de regel later beter zichtbaar wordt. (x+y) 2 = (x+y)(x+y) = (x+y)x+(x+y)y = xx+yx+xy+yy (x+y) 3 = (x+y)(x+y)(x+y) = (xx+yx+xy+yy)x+(xx+yx+xy+yy)y = xxx+yxx+xyx+yyx+xxy+yxy+xyy+yyy (x+y) 4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) = (xxx+yxx+xyx+yyx+xxy+yxy+xyy+yyy)(x+y) = xxxx+yxxx+xyxx+yyxx+xxyx+yxyx+xyyx+yyyx +xxxy+yxxy+xyxy+yyxy+xxyy+yxyy+xyyy+yyyy Nu zien we dat als we 2 (x+y) met elkaar vermenigvuldigen krijgen we 2x2=4 mogelijkheden in het eind antwoord. Als er 3 (x+y) is dan krijgen we 2x2x2=8 mogelijkheden in het antwoord. Als we n als aantal (x+y) termen nemen, dan zijn het aantal mogelijkheden in het antwoord 2 n. Nu ga ik de termen groeperen. yyxx yxxx yxyx xyyy (x+y) 4 = xxxx + xyxx + yxxy + yxyy + yyyy xxyx xyyx yyxy xxxy xyxy yyyx xxyy We hebben nu 5 groepen: 4 keer x en 0 keer y, 3 keer x en 1 keer y, 2 keer x en 2 keer y, 1 keer x en 3 keer y, 0 keer x en 4 keer y. Dit kunnen we zien als het aantal mogelijke wegen naar een punt. Voor 4 keer x en 0 keer y moeten we 4 stappen nemen en aan het eind mag er geen y inzitten. Met behulp van de driehoek van Pascal kunnen we dit schrijven als [plaatje0]. Voor 3 keer x en 1 keer y is dit [plaatje1]. Voor 2 keer x en 2 keer y is dit [plaatje2]. Voor 1 keer x en 3 keer y is dit [plaatje3]. Voor 0 keer x en 4 keer y is dit [plaatj4]. Nu kunnen we de uitkomst opnieuw schrijven. (x+y) 4 = 1x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + 1y 4 (x+y) 4 = [plaatje0]x 4 + [plaatje1]x 3 y + [plaatje2]x 2 y 2 + [plaatje3] xy 3 + [plaatje4]y 4 Nu kunnen we de volgende algemene formule hieruit leiden: (x+y) n = [plaatje5]x n + [plaatje6]x n-1 y + + [plaatje7]x n-k y k + + [plaatje8]xy n-1 + [plaatje9]y n Pagina 4 van 7

5 Dit geldt alleen als n>k>0, zo klopt de formule helemaal. Ø Newton s fluxierekening De bedoeling van Newton s fluxierekening was het beschrijven van beweging, snelheid en versnelling. Als de plaats x van een punt met de tijd t verandert, heet x een fluent. De snelheid, die daarbij hoort heet fluxie, Newton gaf dit aan door middel van een x met een punt erboven. De versnelling, die daarbij hoort wordt aangegeven door middel van een x met twee punten erboven. Als de snelheid met de tijd verandert kun je een grafiek tekenen, waarbij de oppervlakte onder de grafiek de afgelegde weg is, x(t). Stel dat voor die afgelegde weg een formule geldt als x = a t p. Als de tijd met een oneindig klein stapje toeneemt, dan wordt de tijd t + o en de oppervlakte wordt dan a (t+o) p. Met behulp van Newton s binomium, die ik al eerder heb uitgelegd, kun je zien dat a (t+o) p = a t p + p o a t p-1 + op dit stippeltjes staan termen zoals o 2, o 3, enzovoorts. De snelheid is de toename van de afgelegde weg gedeeld door de tijd, dus: [plaatje10] Zo heeft Newton eigenlijk de afgeleide gevonden, daarom kun je de fluxierekening van Newton eigenlijk ook differentiëren kunnen noemen, maar dan op een andere manier dan dat wij doen. Ø Differentiëren De bedoeling van differentiëren is het bepalen van de helling op een bepaald punt van een bepaalde grafiek. De gemiddelde helling van de grafiek van ƒ(x) op het interval [a,b] is gelijk aan het differentiequotiënt op dat interval. [plaatje11] De helling in een punt kunnen we benaderen door de gemiddelde helling over een klein interval te berekenen, maar de helling in een punt kan exact berekend worden door de lengte van het interval waarover we de gemiddelde helling berekenen, variabel te maken. We kiezen voor Δx gelijk aan h. dan kunnen we de gemiddelde helling uitdrukken in h en vervolgens h steeds dichter bij 0 kiezen. Dit heet dan een differentiaalquotiënt. Dan wordt de notatie niet meer [plaatje12], maar [plaatje13] of [plaatje14]. Voorbeeld:[plaatje15] Ik ga nu de helling van de functie ƒ(x)=2x 2 in het punt (1,2) benaderen. Ik kies een klein interval [1;1,001] en bereken het differentiequotiënt. Δƒ(x) = ,001 2 = 2-2, = 0,004002[plaatje16] En nu ga ik het differentiaalquotiënt berekenen. Hiervoor kies ik Δx = h. ƒ(1+h) = 2(1+h) 2 = 2+4h+2h 2 ƒ(1) = 2 Δy = ƒ(1+h) ƒ(1) = 4h+2h 2 [plaatje17] Dus als h nadert tot nul dan nadert de helling tot 4, dus in x = 1 geldt [plaatje18]. Algemene formule: Ik ga een algemene formule opstellen voor y = ax 2 +bx+c. Eerst nemen we de twee punten (x,y) en (x+dx,y+dy). Zo krijgen we twee vergelijkingen: y = ax 2 +bx+c (y+dy) = a(x+dx) 2 +b(x+dx)+c Als we het eerste van het tweede aftrekken krijgen we: dy = 2ax dx+a(dx) 2 +bdx Nu kunnen we dit door dx delen. Zo krijgen we: [plaatje19] Nu kunnen we dx niet als 0 nemen omdat we al eens door dx hebben gedeeld en je kunt eigenlijk niet door 0 delen. Daarom laten we dx naderen tot 0 en zo krijgen we helling functie: [plaatje20] Het wordt een betere algemene formule als we niet y = ax 2 +bx+c nemen, maar y = ax n +bx+c. Zo krijgen we: (y+dy) = a(x+dx) n +b(x+dx)+c (y+dy)=a[plaatje5] x n +a[plaatje6] x n-1 dx+...+a[plaatje7] x n-k (dx) k +...+a[plaatje8] x(dx) n-1 +a[plaatje9] (dx) n +bx+bdx+c (y+dy) = ax n +a[plaatje6] x n-1 dx+ +a[plaatje7] x n-k (dx)k+ +a[plaatje8] x(dx) n-1 +a(dx) n +bx+bdx+c Na het aftrekken krijgen we: dy = a x n-1 dx+ +a x n-k (dx) k + +a x(dx) n-1 +a(dx) n +bdx Nu delen we door dx: [plaatje21] Als we dx naderen tot 0 krijgen we: [plaatje22] [plaatje6] is altijd gelijk aan n, dus krijgen we: [plaatje23] Dit wordt de machtsregel genoemd. Regels voor differentiëren: Somregel Voor [plaatje24] geldt [plaatje25]. We berekenen het differentiequotiënt van s op het interval [x,x+h] [plaatje26] Als we nu delen door h en h tot 0 laten naderen krijgen we: [plaatje27] Productregel Voor [plaatje28] geldt [plaatje29].[plaatje30] We zien f(x) en g(x) als de lengte en de breedte van een Pagina 5 van 7

6 rechthoek en p(x) als de oppervlakte. Als x met Δx verandert, dan verandert f(x) met Δf, g(x) met Δg en p(x) met Δp. Dus: [plaatje31] Dit delen we door Δx. [plaatje32] Als Δx tot 0 nadert, gaat Δf ook naar 0, daarmee verdwijnt ook de laatste term. Quotiëntregel Voor [plaatje33] geldt:[plaatje34] Uit [plaatje35] volgt [plaatje36] Als we dit differentiëren met behulp van de productregel krijgen we: [plaatje37] We delen alle termen door g: [plaatje38] Dit schrijven we om naar: [plaatje39] We vervangen q door [plaatje40] en vermenigvuldigen [plaatje41] met [plaatje42] : [plaatje43] = [plaatje44] = [plaatje45] Kettingregel Voor [plaatje46] geldt: [plaatje47] We vervangen h (x), g (x) en f (x) door [plaatje48], [plaatje49] en [plaatje50], dan volgt: [plaatje48] = [plaatje49] [plaatje50] Voor een kleine toename van Δx van x geldt: [plaatje51] en [plaatje52] Dus is [plaatje53] Voor Δx nadert tot 0 gaat dat over in: [plaatje54] Ø Integreren Integreren is het tegenovergestelde van differentiëren. Integreren is het bepalen van de oppervlakte onder een grafiek. Het integraalteken is voor het eerst gebruikt door Leibniz en het is een soort uitgerekte S, komt van het Duitse woord Summe. Voorbeeld: We zullen proberen om de primitieve van de functie ƒ(x)=x 3, die door het punt (2,9) gaat. Eerst tellen we 1 op bij de exponent, zo krijgen we ƒ(x)=x 4. We weten nu dat de exponent van de primitieve 4 moet zijn. Als je een getal met de exponent vermenigvuldigt, moet er 1 uitkomen, dit getal is dus [plaatje55]. Zo komen we aan de formule [plaatje56]. Nu moeten we alleen nog zorgen dat dit door het punt (2,9) gaat. Daarom vullen we dit in de formule. [plaatje57] => [plaatje58] => [plaatje59] => a=5 Zo zien we dat de primitieve van ƒ(x)=x 3, [plaatje60] is. Voorbeeld: [plaatje61] Ik ga nu de oppervlakte van de aangegeven vlak berekenen. De formule van de grafiek is [plaatje62], oppervlakte begint bij -3 en eindigt bij -1. Een primitieve van deze formule is [plaatje63]. We schrijven dit nu als een integraalfunctie. [plaatje64] De betekenis: De oppervlakte is het gebied tussen de grafiek van ƒ en de x-as op het interval [0,p]. Als p toeneemt met Δp, neemt O(p) toe met ΔO = O(p+Δp)-O(p). [plaatje65][plaatje66][plaatje67][plaatje68] Voor kleine waarden van Δp is ΔO ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek in het laatste figuur. Dus [plaatje69] Als we nu delen door Δp komen we uit op [plaatje70] Als Δp nadert tot 0 wordt dit [plaatje71] oftewel [plaatje72] De oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de functie en de x-as op het interval [a,b] is gelijk aan [plaatje73]. Dit spreek je uit als de integraal van a tot b van f(x)dx. De hoofdstelling van de integraalrekening is [plaatje74]. Hierbij is F een willekeurige primitieve van ƒ. Ø Toepassingen Differentiëren en integreren wordt op vele gebieden gebruikt. Een paar voorbeelden hiervan zijn informatica, natuurkunde, wiskunde en scheikunde. In natuurkunde kunnen we integreren gebruiken om het zwaartepunt van bepaalde abstracte objecten te bepalen. Een ander voorbeeld in natuurkunde is het bepalen van de afgelegde afstand als je een v(t) diagram hebt. Zo kun je ook met behulp van differentiëren de snelheid bepalen in een punt van een s(t) diagram of de versnelling in een punt van een v(t) diagram. We kunnen integreren ook gebruiken om de inhoud of de oppervlakte van voorwerpen te bepalen. In scheikunde kunnen we differentiëren gebruiken om bijvoorbeeld de reactiesnelheid op een bepaald tijdstip te bepalen en als we de reactiesnelheid weten kunnen we integreren gebruiken om te weten te komen hoeveel moleculen op een bepaald tijdstip reageren. Ø Conclusie Newton en Leibniz waren zeker erg belangrijk voor de ontwikkeling van wiskunde. Ze hebben talloze ontwikkelingen gedaan op het gebied van wiskunde, maar dat niet alleen ze hebben ook ontwikkelingen gedaan op het gebied van andere vakken zoals natuurkunde. Newton en Leibniz waren zeer intelligent, ik heb laten zien dat ze in het begin niet zo veel wiskundig aanleg hadden, maar dat ze later wel een wiskundig genie zijn geworden. Newton was bijvoorbeeld niet zo succesvol toen hij voor het eerst naar school ging en Leibniz heeft zichzelf ook erg ontwikkeld door steeds meer dingen te Pagina 6 van 7

7 onderzoeken. Ik moet zeggen dat ik veel bewondering voor ze heb, want ze hebben methoden ontdekt dat nu door heel de wereld worden gebruikt. Ik kan het me niet voorstellen hoe de wereld zou zijn als deze twee uiterst intelligente mensen er niet waren. Met mijn werkstuk hebben geleerd waar alle trucjes, die we gebruiken voor differentiëren, vandaan komen en hoe ze zijn ontstaan. Het zijn voor mij geen trucjes meer, maar zeer belangrijke methoden, want nu kan ik ze allemaal bewijzen. Ø Literatuurlijst ü Encyclopaedia Britannica ü Netwerk vwo bovenbouw wiskunde B1 deel 4 ü Netwerk vwo bovenbouw wiskunde B1 deel 5 ü ü ü ü Ø Slotwoord Ik wil iedereen bedanken die me geholpen hebben bij het volbrengen van mijn taak, en die me op tijd herinnerd hebben wanneer mijn profielwerkstuk af moest zijn. Pagina 7 van 7