Praktische opdracht Wiskunde Newton-Raphson

Transcriptie

1 Praktische opdracht Wiskunde Newton-Raphson Praktische-opdracht door een scholier 1570 woorden 3 november ,3 53 keer beoordeeld Vak Wiskunde Hoofdstuk 1 DE INLEIDING Na heel lang zoeken hebben wij gekozen voor het onderwerp de Newton-Raphson methode. Deze methode heeft gedeeltelijk te maken met differentiëren. Omdat wij differentiëren allebei wel redelijk kunnen en ook nog leuk vinden, leek ons dit wel het beste. De start was moeilijk, maar toen we het eenmaal begrepen ging het wel snel. We hebben veel gezocht op internet, met behulp van deze informatie en met onze eigen inbreng hebben we deze praktische opdracht gemaakt. Onze hoofdvraag is: Wat houdt de Newton-Raphson methode in? Met behulp van de volgende deelvragen hebben we dit beantwoord: Wie zijn Newton en Raphson en wat hebben ze gedaan? Waarvoor wordt de Newton-Raphson methode gebruikt? Welke formules worden bij de Newton-Raphson methode gebruikt? In welke gevallen werkt de Newton-Raphson methode niet? Hoofdstuk 2 2.1: WIE IS NEWTON EN WAT HEEFT HIJ GEDAAN? Isaac Newton werd geboren in Woolsthorpe, vlakbij Grantham, op eerste kerstdag Zijn vader, die ook Isaac Newton heette, was een vermogend boer. Hij stierf helaas drie maanden voor de geboorte van Isaac Newton. Toen Isaac Newton twee jaar was hertrouwde zijn moeder met Barnabas Smith, een predikant uit een nabij gelegen dorp North Witham. Isaac Newton bleef toen bij zijn grootouders die in Woolsthorpe woonden. Isaac Newton werd als een wees behandeld en had geen gelukkig leven. Zijn stiefvader overleed in 1653 en daarna leefde hij samen met zijn moeder, grootmoeder, een halfbroer en twee halfzussen. Hij ging naar de Free Grammar School in Grantham, maar had daar geen interesse voor en werd van school gehaald. Ook bleek hij geen interesse te hebben om landeigenaar te worden. Zijn oom stimuleerde hem om naar de universiteit te gaan, daarom ging hij in 1660 terug naar de Free Grammar Pagina 1 van 8

2 School om zijn diploma te halen. Isaac Newton 1687 Newton ging daarna in 1661 naar de oude universiteit van zijn oom, Trinity College in Cambridge om rechten te studeren. In het begin van zijn studie, kon hij alleen de filosofie leren van Aristoteles, maar in zijn derde jaar studeerde de filosofie van andere. Vooral de studie van Galileo en Kepler s Optics interesseerde hem. Hij schreef hierover in 1664 een boek dat Quaestiones Quaedam Philosophicae (Zekere filosofische vragen) heette. Zijn motto in dit boek was: Plato is mijn vriend, Aristoteles is mijn vriend, maar mijn grootse vriend is de waarheid. De interesse van Newton in wiskunde begon in 1663, toen hij een boek kocht over astronomie en hij er niets van snapte. Daarna ging hij meer wiskundige boeken bestuderen. De eerste wiskunde die Newton deed kwam uit de studie van Wallis Algebra. Hij bewees wiskundige stellingen op een andere manier. In 1665 sloot de universiteit voor bijna twee jaar haar deuren, omdat de pest was uitgebroken. Deze tijd benutte Newton om een aantal grote wiskundige en natuurkundige ontdekkingen te doen, zoals de fundamenten van differentiaal- en integraalrekening. Hij was ook de bedenker van de drie bewegingswetten, de wetten van Newton genoemd. Newton ging na de heropening van de universiteit in 1667 terug naar de universiteit om zijn studie af te maken. Na zijn studie kreeg hij een baan op de universiteit. Al in 1668 werd hij fellow van het Trinity College en in 1669 kreeg de Lucasiaanse leerstoel in de wiskunde in Cambridge. Met behulp van een prisma, bewees hij in een lezing dat licht bestaat uit verschillende kleuren en niet zoals Aristoteles dacht dat licht wit was. Ook ontwierp hij een nieuwe telescoop die werkte op basis van weerkaatsing van licht. Na het schenken van deze telescoop werd newton gekozen tot lid van de Royal Society in In datzelfde jaar publiceerde Newton zijn wetenschappelijke onderzoek naar de kleur van licht in Philosophical Transactions of the Royal Society. Dit werd door vele goed ontvangen, behalve door Robert Hooke en Chritiaan Huygens. De verhouding tussen Newton en Hooke verslechterde steeds erger en toen in 1675 Hooke Newton beschuldigde van het stelen van optische resultaten. Hierdoor trok Newton zich terug uit de Royal Society. Ook kreeg hij een zenuwinzinking door een ruzie met de Engelse Jezuiten en het overlijden van zijn moeder. Newton s grootste werk was over universele zwaartekracht Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Natuurwetenschap gebaseerd op wiskundige principes). Dit boek wordt nog steeds gezien als een van de grootste wetenschappelijke boeken. Zijn tweede zenuwinzinking kreeg hij in 1693 en daarna besloot hij om naar Londen te gaan om daar directeur te worden van de Munt. Na de dood van Hooke in 1703 werd hij voorzitter van de Royal Society en publiceerde hij zijn boek Newton s Opticks. In 1705 werd hij door zijn verdiensten verheven tot de adelstand. Hij stierf op 31 maart : WIE IS RAPHSON EN WAT HEEFT HIJ GEDAAN? Joseph Raphson is in 1648 geboren in Middlesex in Engeland. Hij zat op het Jesus College Cambridge, waar hij in 1692 als Master of Arts is geslaagd. (Hij was toen 43 jaar.) Het jaar voordat hij geslaagd was (1691) was hij lid geworden van the Royal Society. Dit kwam omdat hij in 1690 een boek had geschreven genaamd: Analysis aequationum universalis. Dit boek ging over de Newton-Raphson methode. Raphson had van Newton de goedkeuring gekregen om Newtons wiskunde papieren te bekijken en te bestuderen. Pagina 2 van 8

3 Zoiets kwam bijna nooit voor. Raphson en Edmund Halley waren zelfs betrokken met Newtons publicaties vanaf Ook mocht Raphson in 1711 Newtons wiskunde papieren bekijken. Als gevolg hiervan heeft Raphson History of Fluxions geschreven, wat een jaar na zijn dood verscheen. Behalve History of Fluxions heeft Raphson meer geschreven voor zijn eigen carrière, maar ook voor die van Newton. Hij heeft Newtons algebraïsch werk vertaald van het latijns naar het engels. Raphsons grootste bijdrage aan de geschiedenis was zijn theologisch werk De spatio reali en Demonstratio de deo. De spatio reali ging over Raphsons (vision of space). Het betekent echte ruimte. Demonstratio de deo ging over het probleem ruimte en Raphsons Cabalist idealen. Raphson overleed in Hoofdstuk 3 WAT HOUDT DE NEWTON-RAPHSON METHODE IN? Als je nummeriek het nulpunt van een moeilijke niet-lineaire formule wil berekenen, kan je gebruik maken van de Newton-Raphson methode. Deze methode bestaat uit een aantal stappen. De eerste stap is het nemen van een willekeurig getal van de x-as, genaamd x0. Vanaf dit punt beginnen we te werken. We trekken een raaklijn die de grafiek raakt met als x-coördinaat x0. Waar deze raaklijn de x-as snijdt, komt het punt x1. Opnieuw maken we een raaklijn, alleen deze keer met het x-coördinaat van x1. Met behulp van de raaklijn komen we aan de waarde x2.(zie figuur 1) Wanneer we dit proces een aantal malen hebben herhaald, naderen we zeer snel het nulpunt. Als het verschil tussen twee x-en kleiner dan 0,1 is, heb je over het algemeen een precies genoeg antwoord. We zitten dan heel dicht bij het punt x=0. De y-coördinaat waar de laatste raaklijn de grafiek heeft geraakt is het antwoord. Figuur 1: De Newton-Raphson methode. Hoofdstuk 4 WAT ZIJN DE FORMULES DIE BIJ DE NEWTON-RAPHSON METHODE WORDEN GEBRUIKT? Om het punt te berekenen waar de raaklijn de x-as raakt gebruiken wij de volgende formule: 4.1: Toelichting van de formule: xn = Een getal op de x-as. xn+1 = Het volgende getal op de x-as, die dichterbij het nulpunt ligt. F(xn)= Het antwoord als je xn invult in de formule F (xn) = Het antwoord als je xn invult in de afgeleide formule Pagina 3 van 8

4 Hoe zijn Newton en Raphson aan deze formule gekomen? De raaklijn: y=ax+b Hieruit volgt: f(x0)=f (x0)*x0+b b=f(x0)-f (x0)*x0 f(x0)=f (x0)x0+f(x0)-f (x0)x0 f(x0)=f (x0)x0+f(x0)-f (x0)x0=0 x0*f (x0)=f (x0)x0-f(x0) x1=x0-f(x0)/f (x0) xn+1=xn-f(xn)/f (xn) dx= Het verschil tussen xn en xn+1. Hoe groter de n wordt, hoe dichter je bij het nulpunt komt. Dx moet kleiner zijn dan 0,1. 4.3: Voorbeeld 1: F(x)=x2-6 F (x)=2x x0=6 F(6)=62-6=30 F (6)=2*6=12 xn+1=6-(30/12)=3,5 dx=6-3,5=2,5 F(3,5)=3,52-6=6,25 F (3,5)=2*3,5=7 Xn+1=3,5-(6,25/7)=2,61 dx=3,5-2,61=0,89 F(2,61)=2,612-6=0,797 F (2,61)=2*2,61=5,21 Xn+1=2,61-(0,797/5,21)=2,45 dx=2,61-2,45=0,16 F(2,45)= 2,452-6=0,0025 F (2,45)=2*2,45=4,9 Xn+1=2,45-(0,0025/4,9)=2,449 dx=2,45-2,449= 0,001 Pagina 4 van 8

5 Xn F(xn) F (xn) Xn+1 dx ,5 2,5 3,5 6,25 7 2,61 0,89 2,61 0,797 5,21 2,45 0,16 2,45 0,0025 4,9 2,449 0,001 Voorbeeld 2: F(x)=x2-4x-8 F (x)= 2x-4 X0=8 F(8)=82-4*8-8=24 F (8)=2*8-4=12 xn+1=8-(24/12)=6 dx=8-6=2 F(6)=62-4*6-8=4 F (6)=2*6-4=8 xn+1=6-(4/8)=5.5 dx=6-5.5=0.5 F(5.5)=5.52-4*5.5-8=0.25 F (5.5)=2*5.5-4=7 Xn+1 =5.5-(0.25/7)=5.46 dx= = Voorbeeld 3: F(x)=3x3+2x2-5x-2 F (x)=9x2+4x-5 X0= Pagina 5 van 8

6 Voorbeeld 4: F(x)=3x6-5x3+4x-3 F (x)=18x5-15x2+4 X0= Voorbeeld 5: F(x)=ex-1 F (x)=ex X0=3 3 19,09 20,09 2,05 0,95 2,05 6,77 7,77 1,18 0,87 1,18 2,25 3,25 0,49 0,69 0,49 0,63 1,63 0,10 0,39 0,10 0,11 1,11 0,0009 0,0991 Hoofdstuk 5 IN WELKE GEVALLEN WERKT DE NEWTON-RAPHSON METHODE NIET? De Newton-Raphson methode werkt niet bij elke formule. Er zijn een aantal voorwaarden. Als in de formule het gedeelte gelijk is aan 1, werkt de methode niet. Dit komt doordat dx dan niet kleiner dan 1 wordt. Voorbeeld: F(x)=ex+1 F (x)=ex+1 X0=3 Pagina 6 van 8

7 3 54,6 54, ,09 20, ,39 7, De grafiek moet ook door het nulpunt gaan, anders kan je het nulpunt niet uitrekenen. Als bij de formule f(x)=xa de a kleiner dan 1 is, werkt de Newton-Raphson methode ook niet. Als de a kleiner dan 1 is, wordt de dx groter dan 1, waardoor de dx dus alleen maar verder van nul gaat. F(x)=x1/3 F (x)=(1/3)x-2/3 Als je de formule Xn+1=xn-(f/f ) invult met de hierboven genoemde formules krijg je: Xn+1 = Xn-3*Xn De dx kan alleen maar naar 0 gaan als X0=0 Hoofdstuk 6 CONCLUSIE Wie zijn Newton en Raphson en wat hebben ze gedaan? Newton en Raphson zijn twee belangrijke onderzoekers uit de 17e eeuw. Ze hebben veel samen gedaan. Waarvoor wordt de Newton-Raphson methode gebruikt? Om op een numerieke manier het nulpunt van een moeilijke kwadratische formule te berekenen. Dit doe je met behulp van het trekken van raaklijnen. Op de plek waar de raaklijn de x-as snijdt, krijg je punt xn. Het verschil tussen xn en xn+1 is dx. Als dx kleiner dan 0,1 is, heb je over het algemeen een precies genoeg antwoord. Welke formule wordt daarvoor gebruikt? xn = Een getal op de x-as. xn+1 = Het volgende getal op de x-as, dat dichterbij het nulpunt ligt. F(xn)= Het antwoord als je xn invult in de formule F (xn) = Het antwoord als je xn invult in de afgeleide formule. In welke gevallen werkt de methode niet? Als in de formule het gedeelte gelijk is aan 1. De grafiek moet ook door het nulpunt gaan, anders kan je het nulpunt niet uitrekenen. Als bij de formule f(x)=xa de a kleiner dan 1 is. Hoofdvraag: Wat houdt de Newton-Raphson methode in? Je kunt met de Newton-Raphson methode het nulpunt van een moeilijke formule berekenen. De standaard formule hiervoor is: Door het trekken van een aantal raaklijnen kom je steeds dichter bij het Pagina 7 van 8

8 nulpunt. Pagina 8 van 8