Consoles. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (13)

Transcriptie

1 Rekenvoorbeelden bij Eurocode (3) Afkortingen EC = NEN-EN 99-- NB = Nationale Bijlage In artikelen 6 en 7 uit de serie Rekenvoorbeelden bij Eurocode is onder andere aandacht besteed aan de console. Zowel een korte als een lange console zijn besproken en met staafwerkmodellen ontworpen. In de uitwerkingen is het volledige staafwerkmodel opgezet en gedimensioneerd. Dat is een bewerkelijke exercitie. EC geeft aan dat het volstaat knopen bij krachtsinleidingen (bijv. oplegreacties en uitwendige belasting) te toetsen. In deze voorlopig laatste bijdrage in deze serie, wordt een verkorte, benaderende berekeningswijze voor de console besproken. Deze kracht is mede afhankelijk van de grootte van krimp- en/ of temperatuurveranderingen, de aard van het oplegmateriaal en de grootte van de verticale kracht. De VBC beveelt aan uit te gaan van een wrijvingscoëfficiënt van 0,3 bij oplegvilt, 0, bij oplegrubber en 0, bij glijdfolie. De afstand van de verticale oplegreactie in de kolom tot de rand van de kolom is geen vaste waarde. Volgens de VBC mag hiervoor als benadering worden aangehouden: maar niet meer dan /4 L en /4 binnen de rand van de oplegging (fig. ). De inwendige hefboomsarm volgt uit de theorie voor de gedrongen ligger. De VBC geeft als benadering: ) De eerste delen uit de artikelenserie zijn uit het Engels vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. René Braam (TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV). Het e en dit 3e artikel zijn geheel opgesteld door dr.ir.drs. René Braam en afgestemd met Voorschriftencommissie 0. Een console is meestal te beschouwen als een gedrongen ligger. EC verstaat onder een gedrongen ligger: een ligger waarvoor geldt l eff 3 h. Dit geldt ook voor consoles, waarbij l eff = a en h = (fig. ). De console is dus als gedrongen ligger te beschouwen als a 3, dus als a,5. Voor een console geldt het in figuur gegeven schema, waarin: L is de totale lengte van de console; is de maximale hoogte van de console; is de breedte van het lastvlak; a is de afstand tussen het aangrijpingspunt van de belasting en het punt waar de verticale oplegreactie in de kolom aangrijpt. In figuur is aangegeven dat naast een verticale kracht op de console, ook een horizontale wrijvingskracht kan optreden. z = 0, l + 0,4 h z 0,8 l Voor een console moet worden aangehouden l = a. Dit betekent voor de console uit figuur : z = 0,. a + 0,4 = 0,4a + 0,4 z 0,8. a =,6a Opgemerkt wordt dat in de VBC sprake is van een gedrongen ligger als l eff h. Dat is dus een andere definitie dan degene gehanteerd door EC. De benodigde trekwapening boven in de console volgt uit het momentenevenwicht: A s = M Ed f yd z = (/ a+ a+ / a) F+ (z + h d) H b v b d c d f yd z

2 dr.ir.drs. René Braam TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV Schema console volgens de theorie van de gedrongen ligger Complete staafwerkmodellen voor de korte (links) en de lange console (rechts) > 4 L en > 4 a a v L _ N s 4 N c voorgeschreven drukboog Staafwerkmodel In artikelen 6 en 7 zijn de volledige staafwerkmodellen voor de console besproken, inclusief de gedeelten van de staafwerkmodellen die in de kolom aanwezig zijn (fig. ). In de console wordt een geconcentreerde kracht ingeleid. Dat vraagt aldaar om een staafwerkmodel. Tevens is op de overgang tussen de kolom en de console sprake van een verandering in de geometrie van de constructie. Daarom is ook daar sprake van een verstoring van het spanningsbeeld, waardoor een staafwerkmodel moet worden toegepast. Een staafwerkmodel zal zich daarom uitstrekken over de gehele console en dat gedeelte van de kolom waarin de invloed van de console merkbaar is (globaal tot twee horizontale doorsneden in de kolom, gelegen op een afstand gelijk aan de kolombreedte onder, respectievelijk boven de onder- respectievelijk bovenzijde van de console). Het staafwerkmodel uit figuur, links, beperken tot het gedeelte aanwezig in de console, leidt tot de schematisatie volgens figuur 3: in de console worden een schuine drukdiagonaal en een horizontale trekstaaf geplaatst. Verondersteld wordt dat in de kolom, juist ter hoogte van de onderkant van de console, de betondrukdiagonaal wordt doorsneden. Uit krachtenevenwicht volgt dat de verticale ontbondene van de diagonaalkracht gelijk moet zijn aan de verticale belasting op de console. In de uitwerkingen volgens figuur is ter hoogte van de onderzijde van de console één knoop aanwezig waarin de totale verticale kracht (vanaf boven uit de kolom én uit de console) wordt opgenomen. In figuur 3 wordt alleen het rechter gedeelte van het staafwerkmodel beschouwd. Tevens wordt de drukdiagonaal in de benaderende rekenwijze zodanig geplaatst, dat deze precies aansluit op de keel van de doorsnede. In het staafwerkmodel volgens figuur, links, zijn de positie en de breedte van knoop afhankelijk van de grootte van de kracht in de kolom en de toelaatbare spanning in de knoop. De helling van de drukdiagonaal in de console wordt dan bepaald door de positie van knoop. Door te schematiseren volgens figuur 3 krijgt de drukdiagonaal in de console een andere ligging. Dit zal ertoe leiden dat de knoop in de kolom, waar de totale verticale drukkracht wordt opgenomen, naar beneden zal verplaatsen. Voor het verkijgen van eenvoudige evenwichtsvergelijkingen wordt dus de drukdiagonaal nog vóór die knoop doorsneden (fig. 4). De vraag kan worden gesteld of dit gevolgen heeft voor de aan te houden betondruksterkte. De sterkte van knopen wordt getoetst volgens EC art , Omdat nu sprake is van het toetsen van een snede in een drukdiagonaal, wordt de toelaatbare spanning aan EC art Drukstaven ontleend, Dit heeft gevolgen voor de toelaatbare betondrukspanning omdat voor een drukstaaf in een gescheurde zone geldt (EC vgl. (6.56)): σ Rd,max = 0,6 ν f cd = 0,6 ( f ck 50 )f cd

3 In EC art. J.3 () is vermeld dat het in figuur 3 getoonde staafwerkmodel voor de console, mag worden toegepast voor een hellingshoek van de drukdiagonaal ten opzichte van de horizontaal: 45º θ 68º De berekening volgens EC verloopt als volgt. Uit het verticale krachtenevenwicht volgt de breedte van het horizontale reactievlak in de kolom: l h = b σ Rd,max waarin b de breedte is van de kolom, of de breedte van de console indien deze kleiner is (loodrecht op het vlak van de figuur). De uitwerking volgt nu verder geheel volgens een staafwerkmodel, waarbij de krachten in de staven worden gevonden uit het krachtenevenwicht of uit het momentenevenwicht. Uit het momentenevenwicht om het punt waar de twee reacties onder in de kolom elkaar snijden, volgt voor de hoogte van het reactievlak l v in de kolom: z (F H + ) = ( l h + a v + ) + ( l v ) waarin: z = d l v ; en d is de nuttige hoogte van de kolom. Uit het horizontale krachtenevenwicht volgt dan voor de hoogte van het reactievlak: l v = F H b σ Rd,max waarin ook hier b de breedte is van de kolom, of de breedte van de console indien deze kleiner is (loodrecht op het vlak van de figuur). De vergelijkingen in elkaar invullen levert: (d l v ) (F H + ) = ( l h + a v + ) + ( l v ) ( d ½F H b σ Rd,max ) ( F + H)= ( l+ a+ h v ) + ( ½ F H b σ Rd,max ) a a v Oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft: F H = (b d σ Rd,max ) ± (b d σ Rd,max ) C waarin: C = b σ Rd,max [ ( l h + a v + ) + ( d) ] F H + q De vereiste buigtrekwapening voor de console: A s = F + H = M Ed f yd f yd z = (½ l+ a+ ½ a) F+ (h ½ l) H h v b d c v d f yd z l v F H z d Om scheurvorming in het lijf van de console voldoende te beheersen, moet per zijvlak een gelijkmatig over de hoogte verdeelde horizontale flankwapening worden aangebracht. De totale doorsnede van deze wapening moet ten minste 5% van de voor de sterkte benodigde hoofdtrekwapening bedragen als sprake is van een korte console. Dat is het geval als (EC bijlage J art. J.3 ()): I h σ Rd,max 3 a c = a + ½ a v b < 0,

4 3 Geometrie van en krachten op de korte console (EC fig. J.5) 4 Staafwerkmodel in de console als wordt verondersteld dat de drukdiagonaal door de keel van de doorsnede gaat. De verticale positie van de knoop in de kolom wordt hierop opgestemd F F σ Rd,max - Als de console echter als een gedrongen ligger wordt beschouwd, moet de dwarskrachtweerstand worden getoetst. Hierbij mag worden gerekend met een gereduceerde dwarskracht, omdat een gedeelte van de verticale belasting op de console direct via een drukdiagonaal wordt afgedragen naar de kolom. Rekenvoorbeeld korte console F F 4 Als hieraan niet wordt voldaan, dan is sprake van een zogenoemde lange console (EC bijlage J art. J.3 (3)). Dan moeten, indien tevens > V Rd,c, gesloten verticale beugels worden aangebracht met een totale oppervlakte van de dwarsdoorsnede minimaal gelijk aan: A s,link = 0,5 F d f yd De hoofdtrekwapening moet worden verankerd aan beide zijden. De verankering in het dragende element (bijv. kolom, wand) wordt gerekend vanaf de plaats van de verticale wapening aan de meest dichtbijgelegen zijde (fig. 5). De hoofdtrekwapening moet ook worden verankerd in de console waarbij wordt gemeten vanaf de binnenzijde van de oplegstrook (EC bijlage J art. J.3 (4)) (fig. 4). Bijzondere aandacht moet worden besteed aan de krommingsdrukken in een ombuiging. Het heeft de voorkeur, anders dan in figuur 5 getoond, de wapening bovenin de console in het horizontale vlak aan te brengen en daarbij het lastvlak te omsluiten. Zo ontstaat de best gedetailleerde knoop. Het op deze wijze aanbrengen van de hoofdtrekwapening in de console kan echter wel meer hoogte vragen, waardoor de inwendige hefboomsarm van de console afneemt. Als de console wordt gedimensioneerd met een staafwerkmodel, is het bij een korte console niet nodig te controleren op dwarskracht. Bij de lange console kan echter verticale beugelwapening vereist zijn. Dit is het geval als het betonaandeel in de dwarskrachtweerstand onvoldoende is om de verticale kracht op de console op te nemen ( > V Rd,c ). Gegevens = 700 kn = 0 = 400 mm d = = 360 mm (geschat) a v = 50 mm = 50 mm a c = 5 mm b = 400 mm Betonsterkteklasse C35/45: σ Rd,max = 0,6 ν f cd = 0,6 ( f ck Uitwerking =,0 N/mm 50 )f cd = 0,6 ( ). 35,5 Breedte van het horizontale reactievlak in de kolom: l h = b σ Rd,max = = 46 mm 400.,0 Horizontale reactie in de kolom: F H = (b d σ Rd,max ) ± (b d σ Rd,max ) C waarin: C = b σ Rd,max [ ( l+ a+ h v ) + ( d) ] Als wordt geschat dat d = 360 mm, dan volgt voor de grootte van de horizontale reactiekracht in de kolom: C =. 400.,0. [ ( ) ] =,33. 0 N

5 5 Verankering van de hoofdwapening in de console en de kolom 6 Spreiding van betondrukspanningen en het ontstaan van trekspanningen in dwarsrichting in een drukveld (EC fig. 6.5b) F H = ( ,0) ± ( ,0),33. 0 F H = = N De bij deze kracht benodigde hoogte van het reactievlak in de kolom: F H l v = b σ Rd,max = = 9 mm 400.,0 Benodigde trekwapening in de console: Het staafwerkmodel leidt tot een rekenwaarde van de trekkracht van 44 kn. De op basis van sterkte benodigde hoofdtrekwapening is dan: A s = F + H = = 06 mm f yd 435 Met het resultaat volgens het staafwerkmodel als uitgangspunt wordt gekozen voor 5 Ø6 (A s = 005 mm ). Inwendige hefboomsarm in de console: z = d l= 360 v. 9 = 34 mm Hellingshoek van de betondrukdiagonaal: tan θ = z ½l h + a v + ½ = 34 =,59 ½ ½. 50 Waaruit volgt dat θ = 58º zodat de hellingshoek voldoet aan de eis dat deze tussen de 45º en 68,º moet liggen. Omdat a c = 5 mm en = 400 mm is a c < 0,5 en is de benodigde horizontale flankwapening A s,flank = 0,5 06 = 54 mm. Gecontroleerd wordt of de knoop in de console voldoende hoog is verondersteld om de horizontale trekkracht uit de wapening op te nemen. Daarmee wordt onder andere getoetst of de afstand van de wapening tot het bovenvlak van de console voldoende groot is gekozen. De horizontale trekstaaf wordt in de console verankerd in een C-C-T-knoop (twee drukstaven en een trekstaaf). De toelaatbare spanning (EC vgl. (6.6)): σ Ed,max = k ν f cd waarin: k = 0,85 ν = f ck = 35 = 0,86 voor C35/ Onder voorwaarden mag een 0% verhoging van de knoopsterkte in rekening worden gebracht (EC art (5)); aan ten minste één van vijf genoemde voorwaarden moet zijn voldaan. De console voldoet aan de voorwaarde dat de hoeken tussen druk- en trekstaven 55º zijn. Tevens wordt, afhankelijk van de wapeningsdetaillering, mogelijk voldaan aan de voorwaarde dat de knoop is omsloten door beugels. De toelaatbare spanning in de knoop is dan: σ Ed,max =, k ν f cd =,. 0,85. 0,86. 35,5 = 8,8 N/mm De horizontale trekkracht op de knoop: F H + = = 44 kn Bij een breedte van de knoop van 400 mm (de breedte van de console) is de benodigde hoogte: h = F σ Ed,max d = = 59 mm 8, De afstand van het hart van de trekwapening tot de bovenzijde van de console is gelijkgesteld aan 40 mm. Dan is de maximale hoogte van de knoop 40 = 80 mm, dus deze voldoet. De verankering van de wapening in de console moet worden gecontroleerd. De beste verankering wordt, zoals eerder vermeld, verkregen als de wapening wordt voorzien van een horizontale lus (en deze daarbij om het oplegvlak heen is gebogen en weer is teruggevoerd tot in de kolom). Een andere methode is het in het verticale vlak ombuigen van de wapening. Er moet dan wel op worden gelet worden dat de ombuiging niet mag beginnen voor de eindrand van het oplegvlak. Dit om te voorkomen dat een stuk van de bovenzijde van de console schuin afschuift direct over de omgebogen wapening heen. Het is aan te bevelen hierbij nog enige marge aan te houden, bijvoorbeeld ombuigen pas vanaf een punt dat minimaal een afstand gelijk aan de staafdiameter of de betondekking verwijderd is van de uiterste rand van het oplegvlak. De doorndiameter moet voldoende groot zijn om splijtscheuren in de ombuiging te voorkomen. Als de doorndiameter groot wordt, moet het gedeelte van de console voorbij het lastvlak mogelijk worden verlengd om voldoende ruimte te verkrijgen voor de ombuiging. Als = 0,3 = 0 kn (oplegvilt) volgt: F H = 473 kn; l v = 99 mm; z = 3 mm en A s = 569 mm. Ten opzichte van de situatie waarin geen horizontale kracht op de console is beschouwd (A s = 06 mm ), is de benodigde hoeveelheid wapening dus met ruim 50% toegenomen

6 b ef a F z = H/ h = H/ verankeren verankeren H 5 6 b F Rekenvoorbeeld lange console Gegevens = 500 kn = 0 = 300 mm d = = 60 mm (geschat) a v = 5 mm = 50 mm a c = 00 mm b = 400 mm Betonsterkteklasse C35/45: σ Rd,max = 0,6 ν f cd = 0,6 ( f ck Uitwerking =,0 N/mm 50 )f cd = 0,6. ( ). 35,5 Breedte van het horizontale reactievlak in de kolom: l h = b σ Rd,max = = 04 mm 400.,0 Horizontale reactie in de kolom: Met de geschatte waarde d = 60 mm volgt: C =. 400.,0. [ ( ) ] =,. 0 N F H = ( ,0) ± ( ,0),. 0 = N Benodigde hoogte van het reactievlak in de kolom: F H l v = b σ Rd,max = = 37 mm 400.,0 Benodigde trekwapening in de console: A s = F + H = = 53 mm f yd 435 Inwendige hefboomsarm in de console: z = d l= 60 v. 37 = 9 mm Hellingshoek van de betondrukdiagonaal: tan θ = z ½l h + a v + ½ = 9 = 0,76 ½ ½. 50 Hieruit volgt dat θ = 37º zodat de hellingshoek niet voldoet aan de eis dat deze tussen de 45º en 68,º moet liggen. Dit betekent dat het gekozen staafwerkmodel met de directe lastafdracht naar de kolom moet worden aangepast. De drukdiagonaal heeft dan een aangrijpingspunt onder in de console. Evenwicht wordt daar verzorgd door het aanbrengen van verticale wapening die de verticale krachtcomponent overdraagt naar de bovenzijde van de console. Daarna kan een tweede drukdiagonaal de kracht afdragen tot in de kolom. De uitgebreide rekenmethodiek is beschreven in deel 7 van de rekenvoorbeeldenserie. Ook nu kan worden volstaan met slechts het toetsen van de console. Voor deze lange console kan voor het bepalen van de hoeveelheid benodigde trekwapening boven in de console de

7 rekentechniek van de korte console worden toegepast. Daarom kan de eerder berekende horizontale trekwapening A s = 53 mm worden toegepast. Dat is minder dan de A s = 839 mm die met het staafwerkmodel in deel 7 is gevonden. Het verschil komt onder andere voort uit de wijze van schematiseren: in deel 7 zijn in de console twee drukdiagonalen aanwezig die de kolom belasten. De helling van de drukdiagonalen is zodanig gekozen, dat zij precies boven elkaar aangrijpen op de knoop in de kolom (in deel 7: knoop in figuur 5). De onderzijde van die knoop bevindt zich ter hoogte van de onderzijde van de console. Daarvoor is gekozen om evenwicht te kunnen maken met de horizontale drukkracht uit knoop 4. In figuur 4 is aangegeven dat de aanname dat de betondrukdiagonaal precies door de keel van de doorsnede gaat, er toe leidt dat de druk-druk-druk (CCC-)knoop in de kolom iets lager dan de onderzijde van de console, in de kolomdoorsnede komt te liggen. Dit heeft gevolgen voor de inwendige hefboomsarm van het stelsel; de hefboomsarm neemt toe. In de hier getoonde benaderende aanpak is ervoor gekozen, ook bij de lange console, uit te gaan van slechts één drukdiagonaal. Daarom is het mogelijk de verticale positie van knoop aan te passen. Tevens is deel 7 getoetst op basis van de sterkte van knopen; in de benaderende aanpak is de sterkte van de betondrukdiagonaal getoetst. Verticale wapening moet worden aangebracht tussen de dagzijde van de kolom en de binnenzijde van de oplegstrook: A s,beugels = F d f yd = = 49 mm 435 Gecontroleerd moet worden of de detaillering van de benodigde wapening het mogelijk maakt uit te blijven gaan van een nuttige hoogte van de console d = 60 mm. Omdat de verticale wapening de horizontale wapening moet omsluiten, is het zeer wel mogelijk dat de inwendige hefboomsarm moet worden gereduceerd. Ook de toe te passen hoeveelheid horizontale wapening kan hiertoe aanleiding geven. Net als bij de korte console is de berekening ook uitgevoerd voor = 0,3 = 50 kn (oplegvilt): F H = 70 kn; l v = 48 mm; z = 86 mm en A s = 976 mm ; een toename van de wapening met 30% ten opzichte van de situatie waarin geen horizontale kracht op de console is beschouwd (A s = 53 mm ). Aanvullende opmerkingen In de beschouwing is eerder gewezen op het toetsen van de spanning in een drukstaaf of een knoop. Bovenin de console is een CCT-knoop aanwezig, met een sterkte: σ Ed,max =, k ν f cd =,. 0,85. 0,86. 35,5 = 8,8 N/mm Op deze knoop sluit een drukstaaf aan met een sterkte: σ Rd,max = 0,6 ν f cd = 0,6 ( f ck =,0 N/mm 50 )f cd = 0,6 ( ). 35,5 De vraag kan nu worden gesteld of bij de aansluiting van de drukstaaf op de knoop, de sterkte van de drukstaaf maatgevend is voor de grootte van de spanning die op de grensvlakken van de knoop mag worden uitgeoefend. De drukstaaf waaiert uit binnen de console, in het gebied tussen de aansluiting met de kolom en het oplegvlak (fig. 6 = EC fig. 6.5). De spreidingsbreedte: b ef = 0,5 H + 0,65 a met a h Voor de console is e diagonaal gemeten afstand tussen de overgang tussen de kolom en de console en de knoop bovenin de console, de knoop met het oplegvlak. De spanning in de betondrukstaaf neemt toe naar de lastinleidingsvlakken toe. Hierdoor zouden deze vlakken altijd maatgevend zijn voor de in de drukstaaf toelaatbare kracht. Door het lokaal concentreren van de drukkracht ontstaat echter ook een gunstig effect, dat in rekening is te brengen met de theorie van de lokaal belaste gebieden (EC art. 6.7; vgl. (6.63)): σ Rdu = A c A c0 f cd 3,0 f cd Voor de drukdiagonaal in de console zou dan van toepassing zijn: σ Rd,max = 0,6 ν f cd A c A c0 Een schatting geeft voor de korte console H = 35 mm. Dan is b ef = 0, ,65 50 = 60 mm; A c = b kolom b ef = = mm ; A c0 = = mm. De vergrotingsfactor voor de sterkte van de drukdiagonaal is dan (04 / 45) 0,5 =,5. De sterkte van de drukdiagonaal wordt dan circa 8 N/mm ter plaatse van het aansluitvlak met de CCT-knoop bovenin de console, en heeft daarmee dan nagenoeg dezelfde sterkte als de knoop (8,8 N/mm ). Het spreiden van de betondrukkracht in de diagonaal leidt tot twee trekkrachten in dwarsrichting (fig. 6). De bovengrenswaarde voor elk van deze krachten is T = 0,5 F (EC, vgl. (6.59)). De krachten geven de additionele wapening die in de console benodigd is. Het is toegestaan deze te ontbinden in horizontale en verticale richting. Bij een steile drukdiagonaal (korte console) is dan vooral horizontale wapening nodig (EC fig. J.6a)

8 Bestel nu het Eurocode -pakket! NIEUW NIEUW Speciaal voor de (toekomstige) betonconstructeur hebben Uitgeverij Æneas en het Cement&BetonCentrum een Eurocode - pakket samengesteld. Dit pakket bestaat uit vijf boeken die u helpen bij kennis van en inzicht in betonconstructies. Alle informatie is nu aangepast naar Eurocode. Bestel het pakket nu voor 59,- Het Eurocode -pakket bevat de volgende boeken: Constructieleer Gewapend Beton (CB), Ontwerpen in Gewapend Beton (CB4), Compendium Eurocode (CB6), Ontwerpen en berekenen Eurocode (CB7) en Rekenvoorbeelden Eurocode (CB8). Alle boeken zijn geschreven naar Eurocode. Voordeel van het gebruik van de Eurocodes is dat constructeurs meer kans hebben om in geheel Europa werkzaam te zijn, omdat alle overheden moeten toestaan dat deze worden gebruikt. Het Eurocode -pakket is compleet en bevat alle informatie die u als constructeur nodig heeft. Het Eurocode -pakket bestellen?