Opgaven en oplossingen

Transcriptie

1 Opgaven en oplossingen Opgave 1.1 Het volgende stukje is de inleiding van het artikel Wat beweegt de atmosfeer? van Peter Siegmund (TU Eindhoven), NTvN 73, no. 7 (27) 24: De intensiteit van de inkomende zonnestraling aan de top van de atmosfeer bedraagt gemiddeld 35 W/m 2. [...] De zon verliest door kernfusie per seconde een massa van twee kilo om het vermogen aan zonne-energie te maken dat door de Aarde wordt onderschept. Dit is zo n tienduizend keer zoveel als de huidige wereldwijde energieconsumptie, die gemiddeld per persoon neerkomt op 25 W een flinke waterkoker. Wolken weerkaatsen 3% van de inkomende zonnestraling en de atmosfeer absorbeert 2%. De Aarde absorbeert de rest. Die energie raakt de Aarde weer kwijt door verdamping (24%), directe warmteafgifte aan de atmosfeer (6%) en door het uitzenden van infrarode straling (2%). Deze infrarode straling wordt grotendeels (14%) geabsorbeerd door de atmosfeer, vooral door waterdamp en kooldioxide (het broeikaseffect ). De verdampingsenergie komt in de atmosfeer vrij in de vorm van warmte als de waterdamp condenseert. Van de inkomende zonnestraling wordt dus uiteindelijk (224614=)64% opgenomen door de atmosfeer. De atmosfeer verliest deze energie weer door het uitzenden van infrarode straling. Wereldwijd gemiddeld heerst aan de top van de atmosfeer stralingsevenwicht: de netto ingaande zonnestraling (1-3=7%) is even groot als de uitgaande infrarode straling (2-1464=7%). (a) De energiestroom van de Zon is I = 14 W/m 2. Hoe correspondeert dat met bovenstaande gemiddelde intensiteit? De dwarsdoorsnede van de Aarde gezien vanaf de zon is πr 2. Dit komt terecht op het hele aardoppervlakte, dus op 4πR 2. (b) Controleer de getallen in het stukje over het massaverlies van de zon. Met R = 6 km, vinden we voor het vermogen dat de Aarde opvangt πr 2 I 1,61 17 W. Dit geeft het aantal Joules per seconde. Een evengrote hoeveelheid energie mc 2 krijg je uit een massa m 1,8 kg. (c) Probeer deze inleiding te illustreren met een diagram. 15

2 Zon 1 1 Ruimte Warmte Atmosfeer Zonnestraling 1 = 35 W/m Aarde 5 Verdamping Geleiding Opgave 1.2 (a) Wat zijn de kracht, massa en de versnelling die we in F = ma moeten gebruiken om de in hoofdstuk 1 genoemde relatie tussen afstanden van planeten tot de Zon (R) en hun omloopstijd om de Zon (T) te bepalen. (b) Wat is de constante R 3 /T 2 in AE 3 /jr 2 en wat in mks eenheden. Wat kunnen we hieruit afleiden? Als we de gravitatieconstante G kennen, kunnen we hier de massa van de zon uit bepalen. (c) Hoe kunnen we de massa van de Aarde bepalen? Dat kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van de afstand Aarde-Maan(ca. 384 km) en de omloopstijd van de Maan (ca. 27,3 dagen). (d) Bereken de som van kinetische en potentiële energie voor een planeet die op afstand R om de Zon beweegt. De energie is de som van kinetische en potentiële energie, E = 1 2 mv2 GMm R, Uit de gelijkstelling van gravitatiekracht aan centripetale kracht volgt mv 2 R = GMm 1 R 2 2 mv2 = 1 GMm 2 R. Dus we vinden E = 1 GMm 2 R. De energie is negatief wat aangeeft dat het systeem gebonden is. 16

3 Opgave 2.1 De mogelijke waarden van het baanimpulsmoment om een bepaalde as zijn gequantiseerd in veelvouden van h. Wanner L h dan lijkt het of het impulsmoment L = mvr bij een rotatie alle mogelijke waarden kan hebben (een continuüm), de klassieke situatie van een tol of een aan een touw rondslingerende massa. Voor een in een atoom ronddraaiend elektron werkt dat niet meer. Afhankelijk van de baan heeft het elektron een bepaald impulsmoment l en de orientatie van de baan is zodanig dat bezien langs de z-as het impulsmoment alleen veelvouden van h aanneemt, bijvoorbeeld voor l = 1 hebben we l z = m l h met m l = 1, of -1, corresponderend met drie mogelijke quantumtoestanden. Het elektron heeft daarnaast nog een intrinsiek impulsmoment, spin genoemd, dat de waardes = 1/2heeftendattweemogelijkeprojectieslangsdez-astoelaat(tweequantumtoestanden), s z = m s h met m s = 1/2 of -1/2. (a) Geef het aantal quantumtoestanden bij een gegeven impulsmoment l (of s) door te kijken hoeveel l z -waarden mogelijk zijn als de maximale en minimale waarden m l = l z / h = ±l (of m s = s z / h = ±s) zijn en alleen stapjes ter grootte van h mogelijk zijn. Er zijn dan in het algemeen 2l 1 impulsmomenttoestanden, bv. bij l = 1 met waarden m l = l z / h = 1, en 1. Idem voor spin hebben we in het algemeen 2s1 toestanden, bv. voor s = 1/2 met m s = s z / h = 1/2 en 1/2. Dit is geïllustreerd in de linker twee figuren in het volgende schema, l z sz jz l = 1 s = 1/2 j = 1/2 of 3/2 (b) Om het baanimpulsmoment van een elektron te combineren met de spin, tellen we de impulsmomenten op. Omdat voor zowel baanimpulsmoment als spin de waarden l z en s z gequantiseerd zijn, vinden we voor j z = l z s z ook discrete mogelijkheden. Welke en hoeveel? Laat zien dat de mogelijke waarden voor m j = j z / h juist degene zijn die horen bij j = 3/2 en j = 1/2, zodat we de optelling 1 1/2 = 3/2 1/2 hebben. Dit is een symbolische schrijfwijze. 17

4 De volgende waarden zijn mogelijk: m l = l z / h m s = s z / h m j = j z / h 1 1/2 3/2 1-1/2 1/2 1/2 1/2-1/2-1/2-1 1/2-1/2-1 -1/2-3/2 We zien 6 mogelijke toestanden, met als hoogste waarde m j = j z / h = 3/2. Samen met toestanden m j = 1/2, 1/2 en 3/2 vormen dat de vier toestanden met j = 3/2. Blijven over twee toestanden met m j = 1/2 en 1/2, die bij j = 1/2 horen (zie rechterfiguur hierboven). (c) Combineer op eenzelfde manier de spin van twee elektronen tot een totale spin, S z = s 1z s 2z. Laat zien dat we (symbolisch) krijgen: 1/2 1/2 = 1. De mogelijke toestanden zijn: m l = l z / h m s = s z / h m j = j z / h 1/2 1/2 1 1/2-1/2-1/2 1/2-1/2-1/2-1 We zien 4 mogelijke toestanden, met als hoogste waarde m S = S z / h = 1. Samen met toestanden m S = en 1 vormen dat de drie toestanden met S = 1. Blijft over een toestand met m S =. 18

5 Opgave 3.1 (a) Bereken de pakkingsgraad van de drie roosterstructuren in figuur 5 Stel de ribbe heeft lengte a. Dan zien we eenvoudig dat voor de roosters: sc: r atom = 1 2 a bcc: r atom = 1 4 a 3 fcc: r atoom = 1 4 a 2 Het aantal atomen in de roosters in een kubus is: sc: n = = 1 bcc: n = = 2 fcc: n = = 4 Dus de pakkingsgraad is p = n 4 3 πr3 atoom /a3, sc: p = 1 6 π.524 bcc: p = 1 8 π 3.68 fcc: p = 1 6 π 2.74 (b) Bereken voor een sc en fcc rooster de maximale straal van een atoom dat nog in het rooster past, d.w.z. bereken de straal van de holtes (uitgedrukt in de ribbe a van de kubus of liever nog in de straal van de atoom r atoom van het originele rooster). sc: een inpassend atoom zal uit symmetrieoverwegingen in het midden zitten. Bekijkderechthoek van2schuin tegenover elkaar liggenderibben (zijdendus aen a 2). De diagonaal heeft lengte a 3. Daarop passen 2r atoom 2r holte, dus sc: r holte = 1 2 a( 3 1) = r atoom ( 3 1).732r atoom fcc: Dit rooster is opgebouwd uit gelijkzijdige vierhoeken waarin de afstanden tussen atomen op de hoekpunten 2r atoom = 1 2 a 2 is. Inpassende atomen liggen dus in het midden (zwaartepunt/hoogtepunt) van zo n gelijkzijdige vierhoeken. Alle zijden hiervan vormen gelijkzijdige driehoeken (met zijden met lengte 2r atoom. Hoogtelijnen in deze driehoeken hebben lengte r atoom 3 met hoogtepunt op 2/3 van hoekpunt, d.w.z. op afstand 2 3 r atoom 3. De hoogtelijn in de vierhoek loopt van een hoekpunt naar het hoogtepunt in de tegenoverliggende driehoek. De lengte hiervan is 2 3 r atoom 6en het hoogtepunt vande vierhoek ligt op3/4 vanhet hoekpunt, d.w.z. op afstand 1 2 r atoom 6. Deze afstand is ook gelijk aan rholte r atoom, dus fcc: r holte = r atoom ( ).225ratoom. (c) Uit het voorgaande blijkt dat voor zwaardere (grotere) atomen die bijvoorbeeld in een sc rooster gerangschikt zijn, er gemakkelijk voldoende ruimte is om een waterstofatoom (r.5 nm) in de roosterholte op te slaan. Stel je voor dat je het materiaal dan verzadigt met waterstof, wat is dan de dichtheid van waterstof in dat materiaal en vergelijk die met waterstof in de gastoestand. Als er ruimte is in een sc rooster zouden er net zo veel H-atomen zijn als zwaardere atomen. Voor een typisch metaal met atoomgewicht van zeg 6 en soortelijk gewicht van 6 kg/l, betekent dit 1 N av atomen/l en dus plaats voor evenveel waterstofatomen, corresponderend met,1 kg waterstof per liter. Dat is veel meer waterstof 19

6 dan in gasvorm. Voor waterstofgas hebben we onder standaard omstandigheden (1 atm, 273 K) N av moleculen per 22,4 liter, dus 2 gramper 22,4 l oftewel een dichtheid van,1/22,4 kg/l = 8,9 1 5 kg/l. Opgave 3.2 In het waterstofatoom wordt de potentiële energie van het elektron in het elektrische veld gegeven door U(r) = e2 4πǫ r. (a) Laat zien dat de kracht werkend op het elektron gelijk is aan F(r) = e2 4πǫ r 2. De kracht wordt gevonden als F = U, in dit geval is alleen de radiële richting belangrijk en hebben we F(r) = du/dr. (b) Wat is de (mks) eenheid van e 2 /4πǫ en gebruik die grootheid in combinatie met m en h om een grootheid met dimensie van lengte te vinden. De notatie voor eenheid van m is kg is [m] = kg. We vinden [ e 2 4πǫ r ] = J = kgm2 s 2, dus [ e 2 4πǫ ] = Jm = kgm3 s 2. Met een beetje puzzelen en [m] = kg en [ h] = Js = kgm 2 /s, vinden we [ 4πǫ h 2 ] = m. me 2 Deze grootheid staat bekend als de Bohrstraal a.5 nm. (c) De kracht op het elektron levert de centripetale kracht om het elektron te binden. Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal r n en energie E n. We combineren mv 2 = e2 mvn 2 = e2 r n 4πǫ r n 4πǫ r n mv n r n = n h, en vinden r n = n 2 4πǫ h 2 me 2 = n 2 a. 2

7 De energie van het elektron is E n = 1 2 mv2 n e2 4πǫ r n = 1 2 e 2 4πǫ r n = 1 n 2 me 4 32π 2 ǫ 2 h 2. (d) Wat is de snelheid van het elektron in baan n. Druk deze uit in de lichtsnelheid. Merk op dat we hierbij de dimensieloze grootheid α = e 2 /4πǫ hc 1/137 tegenkomen. Uit de quantisatie voorwaarde vinden we v n = n h mr n = 1 n e 2 4πǫ h en dus v n c = 1 n α. De snelheid van het elektron in het atoom is dus niet-relativistisch. Opgave 3.3 Voor de veelvoorkomende harmonische oscillator wordt de potentiële energie voor een systeem gegeven door U(r) = 1 2 kr2 (bij een veer is k de veerconstante). (a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door F(r) = kr. De kracht wordt gevonden als F = U, in dit geval is alleen de radiële richting belangrijk en hebben we F(r) = du/dr. (b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit k, m en h. We merken op dat de grootheid ω = k/m nuttig kan blijken. We vinden [ ] [k] = N m = kg k. en [ω] = = s 1. s2 m Dat is een (hoek)frequentie. Vermenigvuldigen met h (J s) zien we dat [ hω] = J = kgm2 s 2 en [ ] h = m mω 21

8 (c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden. Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal r n en energie E n. We combineren en vinden mv 2 = kr n vn 2 r = ω2 rn 2 v n = ωr n, n mv n r n = n h, r n = Daaruit volgt voor de energieniveau s n h mω en v n = n hω m. E n = 1 2 mv2 n 1 2 kr2 n = n hω. We merken op dat de volledige quantummechanische aanpak uiteindelijk een soortgelijk resultaat oplevert, maar met n = 2n r l 3 2. (d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid. We vinden v n c = n hω mc 2 Dus het ligt aan de verhouding van de karakteristieke energie hω en de rust-energie mc 2 wanneer het systeem relativistisch wordt. Wanneer v n /c 1 is bovenstaande afleiding niet meer goed. We moeten dan de relativistisch correcte uitdrukking voor energieën gebruiken. Opgave 3.4 Voor een lineaire potentiaal wordt de potentiële energie voor een systeem gegeven door U(r) = T r. De grootheid T (eenheid N) wordt wel de spankracht genoemd. (a) Laat zien dat de kracht werkend op het systeem gegeven wordt door F(r) = T De kracht wordt gevonden als F = U, in dit geval is alleen de radiële richting belangrijk en hebben we F(r) = du/dr. 22

9 (b) Construeer grootheden met dimensie van energie en lengte uit T, m en h. We vinden Een beetje puzzelen geeft [ ( h 2 mt ) 1/3 ] [T ] = N = J m = kgm s 2. = m en [ ( h 2 T 2 m ) 1/3 ] = J (c) De centraal gerichte kracht levert de centripetale kracht om het systeem te binden. Combineer dat met mvr = n h om uitdrukkingen te vinden voor straal r n en energie E n. We combineren mv 2 = T mvn 2 = T r n, r n mv n r n = n h, en vinden r n = (n 2 h 2 ) 1/3 ( en v n = n ht ) 1/3. mt m 2 Daaruit volgt voor de energieniveau s E n = 1 2 mv2 n T r n = 3 2 T r n = 3 2 ( ) n 2 h2 T 2 1/3. m We merken op dat voor de volledige quantummechanische aanpak geen algebraische uitdrukking bestaat, maar een goede benadering is n = 1.8n r l (d) Wat is de snelheid van het systeem in baan n. Vergelijk deze met de lichtsnelheid en bekijk de toepasbaarheid voor quarks met mc 2 = 1 MeV en T = 1 GeV/fm. We vinden ( v n c = n hct ) 1/3. m 2 c 4 De bepalende factor is de vergelijking van hct (mc 2 ) 2. Voor quarks in een nucleon is de spankracht T 1 GeV/fm. Vermenigvuldigd met hc.2 GeVfm zien we dat hct.2 GeV 2, terwijl mc 2 1 MeV en dus (mc 2 ) 2.1 GeV 2. We zien we dat quarks al in de grondtoestand ultra-relativistisch zijn ( hct /(mc 2 ) 2 2 ). De (correcte) relativistische behandeling wordt in hoofdstuk 3 besproken. 23

10 Opgave 3.5 E magic # 1h 3s 2d 1g 2p 1f 2s 1d 3/2 1d 2s 1/2 1d 5/2 1p 2d 3/2 3s 1/2 1h11/2 2d 5/2 1g 7/2 1g 9/2 2p 1/2 1f 5/2 2p 3/2 1f 7/2 1p 1/2 1p 3/2 126????? Bij atoomkernen hebben we ook een spectrum van mogelijke energietoestanden, maar hier blijkt het quantumgetal voor het totale impulsmoment een belangrijke rol te spelen, dus E = E(n,l,j). [Dit is een gevolg van spin-baan wisselwerkingen.] Het spectrum van nlj-toestanden (voor protonen en neutronen) wordt gegeven door Bepaal de magische getallen voor de Z- en N-waarden van atoomkernen uit de ontaarding van de verschillende niveau s.? 1s 1s 1/2 nl nl j De oplossing van onder af zijn de getallen: 2, 8, 2, 28, 5, 82. Opgave 3.6 Baryonen zijn opgebouwd uit drie quarks. We gaan de mogelijkheden bekijken voor de drie lichtste smaken (u, d en s) geïllustreerd in onderstaande figuren. Net zoals we eerder twee spin-toestanden gezien hebben, kunnen we de smaak ook zien als drie specifieke eigenschappen van quarks en antiquarks en daar quantumgetallen aan toekennen. In dit geval worden daarvoor isospin en hyperlading gebruikt, zo gekozen dat ze voor het gemiddelde van de multipletten (die aangegeven worden als 3 en 3 ), netjes gemiddeld op nul uitkomen. d 1/2 1/2 s 1 quarks u 24 1/2 u s 1 1/2 d anti quarks

11 Voor twee-quark toestanden (qq) kunnen de negen (drie maal drie) toestanden opgesplitst worden in twee multipletten (een 3 triplet van antisymmetrische toestanden) en een 6 sextet van symmetrische toestanden. Wat spin betreft kunnen de toestanden in het triplet alleen spin s = hebben en de toestanden in het sextet alleen spin s = 1. [ud] (dd) (ud) (uu) [ds] [us] (ds) (us) Gecombineerd met een derde quark krijgen we 27 toestanden, waarvan er 1 volledig symmetrisch zijn. Dat blijken ook symmetrische spin toestanden te zijn (spin 3/2). Het Pauli principe laat naast de tien toestanden met spin 3/2, slechts 8 toestanden (octet 8) met spin 1/2 toe. dds Σ udd n Ξ uud p uds Λ Σ dss uss Ξ uus Σ octet baryons (s = 1/2) ddd (ss) baryon Ξ decuplet (s = 3/2) udd uud uuu dds uds Σ Σ Σ uss Ξ sss Mesonen bestaan uit quark en antiquark combinaties. Er zijn geen beperkingen omdat het geen identieke deeltjes zijn. We krijgen twee nonetten, een met spin en een met spin 1. d u q q (3x) u d π d s K s u K π η η u s s d K K π d s dss Ω u s uus d u q q (3x) u d ρ K* K* ρ ω φ s u s d K* K* pseudoscalar nonet (s = ) vector meson nonet (s = 1) Deeltjes en hun eigenschappen, zoals massa en spin kunnen gevonden worden op de website van de particle data group, (a) Aan de quarks en antiquarks kunnen we baryongetal B = 1/3 en B = 1/3 toekennen, met als logische consequentie B = 1 voor baryonen en B = voor 25 ρ

12 mesonen. Ga in het triplet na dat voor de (anti)-quarks het aantal vreemde (anti- )quarks gegeven wordt door N s = B N s = B Voor de vreemdheid S N s N s krijgen we de relatie S = B, een relatie die niet alleen voor quarks, maar ook voor de mesonen en baryonen geldt. Overtuig jezelf er van dat dit niet alleen werkt voor de basistripletten, maar ook voor de hieruit opgebouwde baryonen en mesonen. We merken op dat positief/negatief voor vreemdheid puur een kwestie van afspraak is. Geef ook een uitdrukking voor de lading Q. Voor de lading (in veelvouden van e) vinden we Q = 1 2. (b) Zoek de massa s van de decuplet baryonen met spin J = 3/2 op? (op de pdgwebpagina s wordt de spin van een deeltje met J aangegeven omdat voor een uit quarks samengesteld deeltje de spin van het deeltje in het algemeen het resultaat van quark spins en baanimpulsmoment is). Wat valt je op. Kun je de massaverschillen qualitatief verklaren? Voor de verschillende baryonen, door de particle data group gerangschikt naar hun vreemheid of hyperlading vinden we als laagste spin J = 3/2 toestanden de deeltjes (1232), Σ(1385), Ξ(153) en Ω(1672). Tussen haakjes staat de massa in MeV/c 2. De stappen zijn respectievelijk 153, 145 en 142 MeV, terwijl de baryonen iedere keer een vreemde quark meer hebben. Blijkbaar is in een baryon de energiebijdrage van een vreemde quark zo n 15 MeV meer dan de energiebijdrage van een niet-vreemde (u of d) quark. Dit wordt toegeschreven aan het feit dat vreemde quarks een grotere massa hebben dan lichte quarks. Meer gedetailleerde analyses wijzen op massa s van zo n 1 MeV voor up en down quarks en zo n 18 MeV voor vreemde quarks. (c) Doordat quarks en antiquarks in mesonen behalve spin ook nog eens een baanimpulsmoment kunnen hebben zien we ρ-deeltjes met hogere spins. Afhankelijk van het feit of het baanimpulsmoment even of oneven is worden deze deeltjes a- of ρ-mesonen genoemd. We hebben bijvoorbeeld J = 1 J = 2 J = 3 J = 4 ρ(77) a 2 (132) ρ 3 (169) a 4 (2) Bestudeer het verband tussen massa en spin. Vergelijk dit met de theoretische beschouwing in het dictaat (kader p. 2). We krijgen voor de gekwadrateerde massa s: 26

13 J = 1 J = 2 J = 3 J = waaruit voor deze mesonen een helling volgt van 1/α 1,15 GeV 2. Opgave 3.7 Bij botsingen tussen deeltjes kunnen quarks en antiquarks elkaar annihileren of ze kunnen in paren gecreeerd worden. Het onderstaande quarklijn-diagram laat schematisch zien wat er gebeurt, inclusief het veranderen vande smaak vaneen quark doorcreatie vaneen zwak krachtdeeltje. π u d u d π p d u d u p Kijk op deze manier ook eens naar π p-verstrooiing en K p-verstrooiing en teken het quarklijnen-diagram. Met voldoende energie kunnen er ook vreemde deeltjes (met een of zelfs meer s-quarks erin) gemaakt worden. Geef hiervan voorbeelden. Opgave 3.8 (a) Teken voor D-mesonen (quark-inhoud cq) diagrammen. Wat zijn de spins van de mesonen waarin het baanimpulsmoment nul is. c u D D s c s c d c u D c s c d D D D s = s = 1 s (b) Teken voor baryonen met een c-quark de diagrammen. Kun je de bijbehorende baryonen vinden op de pdg-webpagina s. Kijk eens naar de mogelijke spins en probeer die te begrijpen. 27

14 ddc Σ c Ξ c udc Λ Σ c Σ c c Σ c Σ c Σ c dsc usc I dsc usc z Ξ c ssc Ω c s = 1/2 Ξ c uuc ddc ssc udc Ω c s = 3/2 uuc Ξ c (c) Teken voor baryonen met twee c-quarks de diagrammen. Kun je de bijbehorende baryonen vinden op de pdg-webpagina s. Kijk eens naar de mogelijke spins en probeer die te begrijpen. Ω cc Ξ cc Ξ Ξ cc Ξ cc cc dcc ucc dcc ucc scc scc Ω cc s = 1/2 s = 3/2 28

15 Opgave 4.1 (a) Bereken de omwentelingstijd voor een satelliet dicht bij het aardoppervlak. Druk het resultaat uit in de versnelling van de zwaartekracht (g 9,8 m/s 2 ). We kunnen het resultaat uit 1.5 gebruiken en daarnaast g = GM aarde /R 2, dus 4π T = 2 R 3 R = 2π GM aarde g. Met R = 6 km, vinden we ongeveer 84 minuten. (b) Bereken de tijd nodig om door de aarde te vallen zoals beschreven in 3.1 gebruikmakend van de eigenschap dat de kracht op afstand r van het aardmiddelpunt wordt bepaald door de massa binnen een bolschil met straal r. De kracht binnen de Aarde wordt gegeven door F(r) = GM aardem r 3 r 2 R = GM aardem r = mg 3 R 3 R r en is naar het middelpunt gericht. De beweging is dus net als die van een veer met de kracht evenredig met de afstand tot het middelpunt. De bewegingsvergelijking wordt r = g R r, wat aanleiding geeft tot oscillaties met hoekfrequentie ω = g/r. De trillingstijd hiervoor is T = 2π ω = 2π R g, identiek aan de omlooptijd van een satelliet dicht bij aardoppervlak. De tijd van de ene naar de andere kant van de aarde is de helft, 42 minuten. Opgave 4.2 Beredeneer wat er gebeurt met het spiegelbeeld van een magneet? De richting van het magneetveld draait om, dus noord- en zuidpool verwisselen van rol. Dit is het eenvoudigste te zien bij een magneet gevormd door een spoel waar een stroom doorheen loopt. Opgave 4.3 Construeer uit de grootheden h (de gereduceerde Planck constante), c (de lichtsnelheid) en G (de gravitatieconstante van Newton) een grootheid met dimensie van energie en een grootheid met dimensie van lengte. Degroothedengenoemd aanhet einde van3.5zijn het resultaat. Dezezijnmet degegeven grootheden als startpunt uniek (op constantes na). 29

16 Opgave 6.1 (a) Leidt de uitdrukking voor E(λ,T) af uit die voor E(f,T) gebruikmakend van E(λ,T)dλ = E(f,T)df. Gebruik df = d(c/λ) = (cλ 2 )dλ. (b) Gebruik bijvoorbeeld Mathematica om de Planck curve als functie van y = λkt/hc te plotten. Als functie van deze variable krijgen we E(y,T)dy = E(λ,T)dλ met E(y,T) = 8π(kT)4 (hc) 3 1 y 5 1 (e 1/y 1), (c) Bepaal de waarde y max van het maximum en leidt de uitdrukking voor de λ max T af. Check de numerieke waarde in mks eenheden. Het maximum ligt bij de/dy =, ( 5 ) (e 1/y 1 ) ( ) ( 1 e 1/y 1 ) =, y 6 y 5 y 2 y = e 1/y 5(e 1/y 1) = 1 5(1 e 1/y ). Ditligtnietzo ver vany =,2. Doornu,2inderechteruitdrukking tesubstitueren krijgen we een betere schatting van y, y =,2 (1 e 5 ) =,214, Desgewenst kan het nog een keer geïtereerd worden, maar dat levert bij bovenstaande nauwkeurigheid (4 decimalen) niets nieuws meer op. De Convergentie gaat heel snel, omdat e 5 al een erg klein getal is. We vinden dus Opgave 6.2 λ max T =,214 hc k = 2,9 1 3 mk. (a) Gebruik om te laten zien dat n= nx n = n= x n = 1 1 x x (1 x) 2. 3

17 en leidt hiermee de gemiddelde energie voor fotonen met een bepaalde frequentie af. Differentieer de beginuitdrukking en vermenigvuldig met x. Zie verder kader in tekst. (b) Beredeneer dat het uitgezonden vermogen per m 2 van een zwarte straler gelijk is aan ce. (c) Gebruik dx x3 e x 1 = π4 15 om te laten zien dat de Stefan-Boltzmann constante gelijk is aan σ = 8π5 k 4 15h 3 c 2. Dit betekent niets anders dan overal f vervangen door x = hf/kt, d.w.z. f = xkt/h. Als check is eenvoudig na te gaan dat inderdaad [σ] = Wm 2 K 4. (d) Gebruik dx x2 e x 1 = 2ζ(3) 2,44 om een uitdrukking voor de dichtheid van fotonen in een zwarte straler af te leiden. Dedichtheidvanfotonenperfrequentie-intervalenpervolumeisgelijkaanN(f,T) = E(f,T)/hf, dus N(f,T) = 8πf2 1 c 3 e hf/kt 1. Hieruit vinden we na integratie over frequentie de dichtheid N(T) = γt 3 met γ = 16πζ(3) ( ) 3 ( ) 3 k k 6,4. hc hc Het numerieke resultaat isγ 2,3 1 7 m 3. Voorhetheelal met eentemperatuur van 2,725 K vinden we ongeveer 41 fotonen/cm 3. Opgave 6.3 (a) Beschouw een mens als een volume met constante temperatuur. Bereken de uitgezonden energie per seconde en per oppervlakte van een mens bij lichaamstemparatuur. Het vermogen per oppervlakte is bij T = 39 K (36 graden Celsius) I = σt 4 52 W/m 2. 31

18 (b) Als de lichaamstemperatuur gelijk zou zijn aan de omgevingstemperatuur, dan zou er geen energietransport zijn. Gebruik dit om de opgenomen energie uit de omgeving te schatten bij 2 graden Celsius. De opgenomen energie per seconde per oppervlakte is bij T = 293 K gelijk aan I 42 W/m 2. (c) Bereken uit het verschil het vermogen van een mens. Klopt dit een beetje? Beschouwen we de mens als een tonnetje met volume 75 liter, dan is dus V = πr 2 h = 75 dm 3. Nemen we een straal van r =,12 m, dan krijgen we h = 1,66 m. Het oppervlak is dan O = 2πrh2πr 2 = 1,3 m 2. Het verschil tussen (a) en (b) is ca. 1 W/m 2. Dus het vermogen is zo n 13 W, exact de goede orde van grootte. De ruststofwisseling is ca. 75 W, een vermogen van 13 W correspondeert met lichte arbeid. Boven 2 W betekent grote inspanning, waarbij warmteafvoer inderdaad een belangrijk issue is. Opgave 6.4 Schat de (constante) dichtheid van materie (in kg/m 3 en in aantal protonen per cm 3 ) zoals die uit de rotatiekromme van M33 volgt. We kunnen bijvoorbeeld de massa binnen een straal van R = 1 kpc m berekenen. Die is gelijk aan M = v 2 (R)R/G (met G 6, m 3 kg 1 s 2 ). Voor de lichtgevende massa vinden we uit v(r) m/s als resultaat M lichtgevend kg en voor het totaal met v(r) m/s vinden we M totaal kg. Dus voor de donkere materie vinden we M DM kg. Delen door het volume, (4π/3)R 3 1, m 3 geeft een dichtheid ρ DM kg/m 3 of met m p 1, kg, een dichtheid ρ DM,3 protonen/cm 3. Merk overigens op dat de donkere materie zeker niet uit protonen bestaat, maar op deze manier is het een beetje te vergelijken met de dichtheid van de interstellaire materie, die bijvoorbeeld in de schijf van het melkwegstelsel van de orde van 5 protonen/cm 3 is. 32