Werkcollegebundel Deel 1 Concurrency 8 oktober 2018, Gerard Tel, Niet verspreiden 1!.

Transcriptie

1 Werkcollegebundel Deel 1 Concurrency 8 oktober 2018, Gerard Tel, Niet verspreiden 1!. Deze bundel bevat een collectie toetsvragen over het eerste deel van Concurrency. Behalve dat goede antwoorden worden gegeven, worden ook de foute besproken, met korte uitleg waarom het niet klopt. Je kunt deze bundel gebruiken voor je toetsvoorbereiding, maar enige voorzichtigheid is geboden. Doordat de inhoud van Concurrency soms verandert, kunnen sommige opgaven minder relevant zijn of sommige onderwerpen onderbelicht zijn! De toetsen, met een duur van twee uur, zijn meestal genormeerd op 20 tot 25 punten. 1 Patterns 1. Beantwoord met Amdahls Regel: Een programma bestaat voor 80% uit parallelliseerbare code en wordt gedraaid op een quad-core. (a) Welke speedup wordt gehaald? (b) Om de executie verder te versnellen kunnen we kiezen tussen (1) het programma verbeteren zodat 90% parallelliseerbaar is; (2) meer cores bijschakelen. Hoeveel cores heb je bij optie (2) nodig om dezelfde speedup te halen als bij optie (1)? 2. Hardware: Een processor met vier fysieke cores doet zich naar het operating system voor als een processor met acht cores. (a) Welke technologie wordt hier beschreven? (b) Een zekere applicatie heeft een 20% hogere throughput op deze processor dan op een verder gelijkwaardige processor zonder de bedoelde technologie (dus met gewoon vier cores). Hoe valt deze snelheidswinst te verklaren? 3. Vectorizatie: Twee vormen van paralellisme zijn instruction level paralellism en thread level paralellism. (a) Wat is het verschil tussen beide vormen? (b) Wat is het verschil tussen een thread en een stream (ook wel lane)? 4. Parallellisme: Wat is het verschil tussen potential en mandatory concurrency? 5. Vectorizatie: In een simulatie wordt de volgende data gebruikt: class Particle, met de properties argb van type Vector4, en size, van type float. En array particles met instances van de Particle class. (a) Hoe wordt, in de context van vectorizatie, deze data layout genoemd? (b) Herstructureer de data layout zodat deze geschikt is voor vectorizatie. (Ga uit van 4-wide SIMD.) 6. Amdahl and friends: Een programma besteedt 5 seconden aan werk dat niet parallel uitgevoerd kan worden en 10 seconden aan werk dat wel parallel uitgevoerd kan worden. (a) Wat is volgens Amdahl s Law de maximaal haalbare versnelling van dit programma op een quadcore CPU? Laat hyperthreading buiten beschouwing. (b) Waarom kan dit volgens Gustafson en Barsis toch beter? (c) Welke informatie is nodig om met het work-span model een betere inschatting te maken van de te verwachten prestatie van een parallelle variant van het programma? 1 Op deze bundel geldt namelijk auteursrecht. Je mag het bestand bekijken en ook afdrukken, en iemand naar dit bestand verwijzen, maar niet het bestand of de afdruk aan iemand anders geven.

2 7. Hardware: (a) Wat is de relatie tussen speculative execution en branch prediction? (b) Wat is false sharing, en hoe beïnvloedt dit de performance van een parallel programma? 8. Worker Threads: Worker threads bieden betere performance en meer controle dan de generieke mechanismen van de Parallel Task Library. (a) Beschrijf wat work stealing is. (b) Hoe kunnen worker threads het gebruik van caches verbeteren? 9. Thread Parallellisme: Windows en Linux zijn voorbeelden van preemptive operating systems. Oude versies van Windows maakten gebruik van cooperative multitasking. (a) Wat is cooperative multitasking? (b) Wat is een context switch? (c) Wat is een logische core? 10. SIMD: Voor het efficient uitvoeren van code met behulp van SIMD instructies is het een goed idee om de gebruikte data om te zetten van AoS naar SoA. (a) Wat is het verschil tussen AoS en SoA? (b) Waarom is de SoA structuur beter voor SIMD code? 11. Moore: In de slides en in de artikelen van Russell Fish ( The Future of Computers ) wordt naast Moore s Law ook de gerelateerde Dennard scaling beschreven. (a) Leg uit wat Dennard scaling is. (b) Welk verschijnsel beschrijft de wet van Moore? Wees accuraat. (c) In tegenstelling tot Moore s law gaat Dennard scaling niet meer op. Waarom niet? 12. Caching: Caches dragen in belangrijke mate bij aan de performance van een processor. (a) Hoe? (b) Wat is het verschil tussen een inclusive en een exclusive cache design? (c) Wat is contention, en hoe draagt multi-threading hier aan bij? 13. GPGPU: Om code efficiënt op een GPU uit te voeren dient een algoritme data parallel te zijn, en het liefst embarrassingly parallel. (a) Wat is data-parallellisme? (b) Wanneer is een algoritme embarrassingly parallel? (c) Waarom is data-parallellisme nodig voor een GPU? 2 Multithreading 14. Assignments: In een situatie waar x is 0 en v is true, worden deze twee threads opgestart: Thread 1: Thread 2: x = 1; while (v) {}; v = false; y = x; Is het zeker dat de waarde van y na afloop 1 is wanneer (a) read/write atomicity geldt? Waarom? (b) dit wordt uitgevoerd in Java of C#? Waarom? (c) v als volatile wordt gedeclareerd? 15. Eigenschappen van methoden: (a) Wanneer zijn operaties atomair? (Boek: linearizable.) (b) Wanneer is een methode wachtvrij? (c) Wat wordt bedoeld met de aanname van fairness?

3 16. Interleavings: Bekijk alle interleavings van LOADA c ; LOADA c ; INCRA ; ADDA 2 ; STOREA c STOREA c (ADDA 2 is een instructie die 2 bij register A optelt.) Veronderstel dat de afzonderlijke instructies atomair (linearizable) zijn. In hoeveel interleavings wordt c uiteindelijk met 0, met 1, met 2 en met 3 opgehoogd? 17. Fair executie: In dit programma kijkt thread 1 steeds naar variabele i, die door thread 2 afwisselend op 0 en 1 wordt gezet. Ga uit van read/write atomicity; initieel is i=0 en s=true: Thread 1: Thread 2: t = 0 while (i==0) while (s) { t = t + 1 } { i = 1 - i } s = False print t (a) Beschrijf van dit programma een executie waarin thread 2 de waarde 2 print. (b) Beschrijf een oneindige executie die niet kan voorkomen als de scheduler fair is. (c) Beschrijf een oneindige executie die wel mogelijk is onder een fair scheduler. 18. Fair executie: In dit programma kijkt thread 1 steeds naar w, die door thread 2 afwisselend op true en false wordt gezet. Ga uit van read/write atomicity; initieel is w=s=true en t=0: Thread 1: Thread 2: while (w) while (s) { t = t + 1 } { w =!w } s = False print t Beschrijf een oneindige executie die mogelijk is onder een fair scheduler. 19. Fairness: In dit lusje zitten twee concurrente statements, die i op 0 en 1 zetten: int i = 0; while (i == 0) { parallel.invoke( { i=0; }, { i=1; } ); print(i); } (a) Laat zien dat er voor elke k N een executie is die eerst k nullen en dan een 1 print. (b) Geef de definitie van fair scheduling (c) Is bovenstaand programma terminerend onder de aanname van fair scheduling? Leg uit! 20. Safety of Liveness: Zeg van elk van deze uitspraken of ze een Safety of een Liveness eigenschap beschrijven en waarom (in 1 zin). (a) De relschoppers worden opgespoord, berecht en gestraft! (b) Asielaanvragen worden binnen zes maanden afgehandeld. (c) Als één of meer threads aan de operatie beginnen, zal tenminste één de operatie in eindige tijd kunnen voltooien. (d) Als een thread t 2 de ticket-keuze begint nadat thread t 1 de ticket-keuze heeft voltooid, ontvangt t 2 een hoger ticket dan t 1. (e) De scheduler voor threads t1, t2 en t3 is fair. 21. Interleavings: Hoeveel interleavings zijn er mogelijk bij het concurrent uitvoeren van: (a) een thread met twee instructies en een met ook twee instructies; (b) een thread met 7 instructies en een met 11 instructies; (c) een thread met 6, een thread met 7, en een thread met 9 instructies.

4 22. Safety of Liveness: Zeg van elk van deze uitspraken of ze een Safety of een Liveness eigenschap beschrijven en waarom (in 1 zin). (a) Berichten worden afgeleverd in dezelfde volgorde als waarin ze zijn verstuurd. (b) Als een bericht aan een niet-bestaand adres wordt verzonden, wordt binnen 1500 ms een foutmelding getoond. (c) Na klikken op LOAD wordt het bestand in de edit-buffer geladen. (d) Een krant die in de zon ligt, wordt geel. (e) De waarde van counter A is strikt stijgend. 23. Atomaire Queue: (a) Geef de definitie van atomaire operaties. (b) Geef een voorbeeld van drie operaties op een Queue (inclusief timing) die wel consistent zijn maar niet atomair. 24. Terminatie van Threads: Twee threads delen variabele s, die door thread 1 steeds wordt opgehoogd. Thread 0 leest s en termineert beide threads als s even is: Thread0 Thread1 s = 0; t = 0; b = True; while (s%2 == 1) while (b) { t++ } { s++ } b = False; print(t); (a) Wanneer is een methode wait-free? (b) Is het programma van Thread0 waitfree? Is dat van Thread1 wait-free? (c) Is het programma terminerend onder de aannamen van read-write atomicity en fairness? 25. Terminatie: Twee threads alterneren de waarde van hun flag, en termineren zodra ze de flag van de andere thread False zien. Veronderstel read/write atomicity en initieel is f1=f2=true: Thread 1: Thread 2: while (f2) while (f1) { f1 =!f1; } { f2 =!f2; } f1 = False; f2 = False; (a) Beschrijf een oneindige executie van deze code. (b) Is je executie fair? Leg uit! (c) Voldoet de code aan Terminatie als fairness wordt aangenomen? 3 Locking 26. Het TaS-lock: Met een enkel TaS-register kun je een multi-threaded lock maken. (a) Geef de code voor dit TaS-lock (lock en unlock methode). (b) Welke van deze eigenschappen heeft het TaS-lock niet: Mutal Exclusion, NoDeadlock, NoStarvation en leg uit waarom niet. (c) Welke instructie(s) in C# kun je gebruiken om de TaS-operatie te implementeren? 27. Fairness en TaS-lock: Het TaS-lock heeft als lock-methode het herhalen van de Test-and- Set operatie, tot het resultaat 0 wordt gekregen: while (L.TaS ==1) {}. (a) Voldoet het TaS-lock aan No Starvation als fairness niet wordt aangenomen? (b) Voldoet het TaS-lock aan No Starvation als fairness wel wordt aangenomen? (c) Voldoet het TaS-lock aan No Deadlock als fairness wel wordt aangenomen? 28. LockOne: Hier staan de lock en unlock van de LockOne klasse (voor thread i).

5 public void lock() public void unlock() { flag[i] = true; { flag[i] = false ; } while (flag[j]) {} } (a) Aan welke drie eisen moet een lock implementatie voldoen? (b) Welke van deze eisen is/zijn voor LockOne niet voldaan? Waarom? (c) Als je de twee regels in lock verwisselt, is dan het probleem opgelost? 29. LockTwo: Hier staan de lock en unlock van de LockTwo klasse (voor thread i: 0 of 1). public void lock() public void unlock() { victim = i; { } while (victim == i) { } } (a) Aan welke drie eisen moet een lock implementatie voldoen? (b) Welke van deze eisen is/zijn voor LockTwo niet voldaan? Waarom? (c) Als je de opdracht victim = i verplaats naar de unlock, is dan het probleem opgelost? 30. Lock typen: Voor locken kennen we een spin-lock en een blocking lock. (a) Leg uit, wat het verschil is tussen deze twee type locks. (b) In welke situaties is een spin-lock beter, en wanneer is een blocking lock beter? (c) Wanneer is er een voordeel van een TTaS-lock boven een TaS-lock? 31. Deadlocks: Geef een eenvoudig programma waarin elke lock voldoet aan de deadlock-freedomeigenschap, maar het toch voor kan komen dat het programma als geheel deadlockt. 32. Het Peterson Lock: Het verkrijgen van een lock (de lock()-methode voor thread i) gaat bij Petersons algoritme zo: 1. flag[i] = T; 2. vic = i; 3. while (flag[j] && vic == i) { } (a) Hoe luidt de unlock()? (b) Hoe luidt de No deadlock eis op een lock? (c) Waarom is het onmogelijk dat een thread die het lock wil, oneindig vaak door de andere thread wordt ingehaald? Is er een maximum op het aantal keren dat hij wordt ingehaald? 33. Bakery labels: In het Bakery algoritme kiest een thread i een label: l = 0; for (j=0; j<n; j++) if (label[j] > l) l = label[j]; label[i] = l+1 (a) Geef een voorbeeld waarin thread a eerder klaar is met kiezen dan thread b, maar toch een groter label krijgt. (b) Is het een probleem dat twee threads een gelijk label kunnen krijgen? Licht toe! 34. TaS-lock: Een TaS-lock beschermt kritieke code. (a) Hoeveel test-and-set bits zijn nodig om een lock te maken voor n threads? Geef de code. (b) Noem enkele nadelen van het TaS-lock? Welk nadeel wordt opgeheven door het TTaS-lock, en hoe? 4 Registers 35. Safe Integer: Van een Safe bit kun je een Regular bit maken met de methode van silent writes.

6 (a) Wanneer zal een Write operatie als silent uitgevoerd worden? (b) Is de methode van silent writes ook toe te passen om van een Safe Integer een regular Integer te maken? 36. Safe en Regular Bit: Bij het implementeren van registers kennen we een onderscheid tussen een safe register, een regular register en een atomic register. (a) Leg uit, waarom regular een sterkere eigenschap is dan safe. (b) Leg uit, waarom regular een zwakkere eigenschap is dan atomic. (c) Laat zien, hoe je met een safe bit, een regular bit kunt implementeren. 37. Register uit bit: Om een m-waardig register te implementeren uit bits gebruiken we een unaire representatie. De Write(x) set bit r[x], en reset de lagere bits. De Read bekijkt bits van laag naar hoog, en returnt de eerste x waarvoor r[x] true is. Deze constructie is behandeld op college. (a) Een karakteristieke eigenschap van registers is: dat een Write alle voorgaande toestanden van het register uitwist. In deze register-implementatie zijn oude toestanden echter nog zichtbaar als 1-en in de array. Heeft deze implementatie dan wel de karakteristieke registereigenschap? (b) Een programmeur vindt het mooier om, in een Write(x), ook de hogere bits te resetten (zodat na de operatie, precies één bit true is). Laat zien, dat dit tot een foute uitkomst bij Read leidt. 38. Atomaire en Regular Registers: Deze vraag gaat over Single Reader, Single Writer Registers. (a) Geef een voorbeeld van gedrag dat wel Regular is, maar niet Atomic. (b) Hoe kun je met een Regular register een Atomic register maken? 39. Register Implementaties: Voor het implementeren van wacht-vrije registers bestaan o.a. deze technieken: (A) Copying, (B) Silent Write, (C) Sequence Numbers, (D) Unary Representation. (a) Welke hiervan gebruik je om (i) van een Safe Bit een Regular Bit te maken; (ii) van een Regular Register een Atomic Register te maken; (iii) van een Regular Bit een Regular m-valued Register te maken? (b) Leg uit hoe de Silent Write werkt. (c) Kun je deze technieken combineren om met registers een TaS-instructie te implementeren? 40. Multivalued register: Je kunt een m-waardig regular register maken uit een array van m regular bits. De Writer schrijft waarde x door bit x op 1 te zetten en de lagere bits op 0, de reader zoekt vanaf positie 0 naar de eerste 1: Write(x): Read: r[x].write(1) for(i=0; i<m; i++) for (i=x-1; i>=0; i--) if (r[i].read == 1) r[i].write(0) return i (a) Laat zien dat de Reader kan falen wanneer de Writer ook de hogere bits op 0 zet (met een loopje for (i=x+1; i<m; i++) r[i].write(0)). (b) Is het gebouwde register ook atomic? Leg uit! 41. Multivalued register: Je kunt een m-waardig regular register maken uit een array van m regular bits. De Writer schrijft waarde x door bit x op 1 te zetten en de lagere bits op 0, de reader zoekt vanaf positie 0 naar de eerste 1: Write(x): Read:

7 r[x].write(1) for(i=0; i<m; i++) for (i=x-1; i>=0; i--) if (r[i].read == 1) return i; r[i].write(0) // A (a) Laat zien dat de Reader kan falen wanneer de Writer ook de hogere bits op 0 zet (met een loopje for (i=x+1; i<m; i++) r[i].write(0)). (b) Is het gebouwde register ook atomic? Leg uit! (c) Bobs compiler weigert de Read code wegens executiepaden zonder return. Daarom wil Bob als default op plek A een return... zetten; met welke waarde achter de return is de methode correct? 42. Technieken voor Register-Implementatie: Om sterke registers te implementeren kunnen deze technieken worden gebruikt: Silent Write, Unaire notatie, Serienummers. (a) Hoe werkt de Silent Write? (b) Welke techniek gebruikt men om van een regular bit naar een m-valued register te gaan? Welke techniek gebruikt men om van een Safe bit naar een Regular bit te gaan? 43. Multivalued register: Je kunt een 12-waardig regular register maken uit een array van 12 regular bits. De Writer schrijft waarde x door bit x op 1 te zetten en de lagere bits op 0, de reader zoekt vanaf positie 0 naar de eerste 1: Write(x): Read: r[x].write(1) for(i=0; i<12; i++) for (i=x-1; i>=0; i--) if (r[i].read == 1) r[i].write(0) return i (a) Stel dat de Writer al een Write(4) en daarna een Write(7) heeft afgerond, dat dan een Read begint, en terwijl die Read bezig is, begint de Writer aan een Write(5). Welke uitkomsten mag de Reader krijgen volgens de eis van Regular? (b) Otto zegt dat je de write(1) ook later kunt doen, dwz., de r[x].write(1) na de for-lus zetten. Laat door een voorbeeld zien dat het register dan niet Regular is. 5 Consensushierarchie 44. Consensus en Test-and-Set: Geef een wacht-vrije implementatie van 2-Consensus met een Test-and-Set. 45. Lock-free snapshot: Een snapshot-object heeft voor elke thread een cel. De cel kan atomair geschreven worden door de thread (update), en de combinatie van cellen kan atomair gelezen worden (scan). (a) Geef het algoritme van double collect om te komen tot een atomair snapshot. Waarom is het opgeleverde snapshot correct? (b) Waarom is de double collect methode niet wait-free? Kan het snapshot-object wait-free worden gebouwd? Hoe? 46. Valentie in Consensus-objecten: De executieboom van een consensus-object bevat configuraties en beschrijft welke configuraties elkaar kunnen opvolgen in een executie. (a) Waarom heeft een configuratie doorgaans meerdere opvolgers? (b) Wanneer is een configuratie univalent? (c) Kunnen van een bivalente configuratie alle opvolgers univalent zijn? bivalente configuratie alle opvolgers 1-valent zijn? Kunnen van een

8 47. Atomic Copy: Een CopyDog heeft als toestandsruimte een rij van waarden, en naast operaties write(i,x) (schrijf x in locatie i) en read(i) (geef waarde van locatie i), een operatie copy(i,j) die de waarde van locatie i kopieert naar j. Een CopyDog met twee locaties kan 2-Consensus implementeren. (a) In de propose(x) operatie zal thread i (0 of 1) precies eenmaal Arb.copy(i,1-i) uitvoeren. Hoe kun je de initiële waarde van Arb kiezen om ervoor te zorgen dat alleen de eerste copy-operatie iets aan de inhoud verandert? (b) Hoe kan een thread na het uitvoeren van zijn copy zien, welke thread als eerste de copy deed? (Uitleg!) (c) Geef een wachtvrij algoritme dat een CopyDog gebruikt en 2-Consensus implementeert. (d) Kan een CopyDog wachtvrij worden geïmplementeerd met registers? (e) Wat is het Consensusgetal van een CopyDog? 48. Atomic Copy: Een CopyDog geheugen bevat een rij van waarden, en heeft naast operaties write(i,x) (schrijf x in locatie i) en read(i) (geef waarde van locatie i), een operatie copy(i,j) die de waarde van locatie i atomair kopieert naar j. Een CopyDog met twee locaties kan 2-Consensus implementeren. (a) In de propose(x) operatie zal thread i (0 of 1) precies eenmaal Arb.copy(i,1-i) uitvoeren. Hoe kun je de initiële waarde van Arb kiezen om ervoor te zorgen dat alleen de eerste copy-operatie iets aan de inhoud verandert? (b) Geef een wachtvrij algoritme dat een CopyDog gebruikt en 2-Consensus implementeert. (c) Kan een CopyDog wachtvrij worden geïmplementeerd met registers? Motiveer! 49. Electie en Consensus: Een electie-object gebruik je als een bepaalde taak door precies één thread moet worden gedaan, maar je kunt niet van tevoren bepalen welke dat is. Het atomaire object heeft slechts één methode boolean elect() en garandeert: Als elect() één of meerdere keren wordt aangeroepen, wordt precies één keer true teruggegeven en verder false. (a) Toon aan, dat als aanroepen na elkaar plaatsvinden, het altijd de eerste aanroep is die true oplevert. (b) Laat zien, dat je met het electie-object consensus kunt implementeren voor twee threads. (c) Kan het ook voor drie threads? (d) Wat is het consensus-getal van het electie-object? 50. Consensus met Swapper: Een Swapper is een array-object dat je per cel kunt lezen en schrijven (read(i) en write(i,x)) en een methode swap(i,j) heeft die de inhoud van cellen i en j atomair verwisselt. Om consensus te bereiken tussen n threads gebruiken we een swapper met n + 1 cellen, en initieel een 0 in cellen 0 t/m n 1 en een 1 in cel n. (a) Bewijs: als elke thread i eenmaal swap(i,n) doet, verandert de toestand van de swapper alleen in de eerste aanroep. (b) Geef een wacht-vrije Consensus-implementatie met swapper. 51. Electie en Consensus: Een electie-object gebruik je om een thread te selecteren om een eenmalige taak uit te voeren. Het object heeft als methode boolean elect() en garandeert: Als elect() één of meerdere keren wordt aangeroepen, wordt precies één keer true teruggegeven en verder false. (a) Laat zien, dat je met het electie-object, consensus voor twee threads kunt implementeren. (b) Kan het ook voor drie threads? (c) Wat is het consensus-getal van het electie-object?

9 52. Electie en Consensus: Een electie-object gebruik je als een bepaalde taak door precies één thread moet worden gedaan, maar je kunt niet van tevoren bepalen welke dat is. Het atomaire object heeft slechts één methode boolean elect() en garandeert: Als elect() één of meerdere keren wordt aangeroepen, wordt precies één keer true teruggegeven en verder false. (a) Toon aan, dat als aanroepen na elkaar plaatsvinden, het altijd de eerste aanroep is die true oplevert. (b) Laat zien, dat je met het electie-object consensus kunt implementeren voor twee threads. (c) Kan het ook voor drie threads? (d) Wat is het consensus-getal van het electie-object? 53. Consensus Number: (a) Wat wordt bedoeld met het Consensus Number van een object? (b) Wat is het Consensus Number van (i) Het Snapshot Object; (ii) Een Register; (iii) Een Compare-and-Swap; (iv) de Test-And-Set? (c) Is het mogelijk om, uitgaande van alleen registers, een wachtvrije Stack te implementeren? Bewijs je antwoord! 54. Read en Increment: In haar softwareproject heeft Anneke behoefte aan een wachtvrij, atomair ticket object. Het heeft methode rinc (read-and-increment) die bij opeenvolgende aanroepen, opeenvolgende getallen teruggeeft. In haar vorige project heeft Anneke al een wachtvrij counter object gebouwd, met methoden increment en read. Wat is nodig om een wachtvrije ticket te bouwen met behulp van een wachtvrije counter? 55. Ticket met Maxer: In haar softwareproject heeft Anneke behoefte aan een wachtvrij, atomair ticket object (door meerdere threads te gebruiken). Het heeft methode rinc (read-andincrement) die bij meerdere aanroepen, opeenvolgende getallen teruggeeft. In haar vorige project heeft Anneke al een wachtvrij maxer object gebouwd, met methoden update(x) en curmax. De maxer houdt per thread de laatst met update ingevoerde x bij, en de methode curmax geeft atomair de hoogste huidige waarde. Kan het Ticket object met behulp van een Maxer (en registers) worden gebouwd? Leg uit! 56. Wisselgeheugen en Consensus: Valerie heeft een geheugenchip gemaakt (het wisselgeheugen) die je niet alleen per geheugenlocatie i atomair kunt lezen en schrijven (read(i) en write(i,x)), maar ook een instructie wissel(i,j) heeft die de inhoud van locaties i en j atomair verwisselt. Zij claimt dat haar product ConsensusGetal oneindig heeft. Voor consensus tussen threads 0 t/m n 1 stoppen we eerst een 0 in locaties 0 t/m n 1 en een 1 in plek n. (a) Bewijs: als elke thread i eenmaal wissel(i,n) doet, verandert de toestand van het geheugen alleen in de eerste aanroep. (b) Geef een wacht-vrije Consensus-implementatie voor n threads met wisselgeheugen. (c) Klopt de claim van Valerie?