Take-home Tentamen Protocolvericatie. Universiteit van Amsterdam. 27 Maart 1994

Transcriptie

1 Take-home Tentamen Protocolvericatie Vakgroep Programmatuur Universiteit van Amsterdam 27 Maart 1994 Algemene Opmerkingen Dit tentamen omvat zes reguliere opgaven plus een bonusopgave. Opgaves 1, 2, 5 en de bonusopgave leveren ieder maximaal 1 punt op, opgave 3 maximaal 3 punten, en opgaves 4 en 6 maximaal 2 punten. Alle bewijzen dienen zo gedetailleerd en precies mogelijk te worden uitgeschreven!! In het tentamen wordt een centrale plaats ingenomen door het I/O automaten model, dat tijdens het college uitgebreid aan de orde is gekomen, onder andere bij de bespreking van [1]. Het is toegestaan om bij het maken van het tentamen samen te werken. Nadat de tentamens zijn nagekeken, zal echter tijdens een beoordelingsgesprek bekeken worden of je zelf hetgeen je hebt opgeschreven ook echt begrijpt. Uiterlijk op vrijdag 29 april dient het tentamen te worden ingeleverd, hetzij bij mij op het CWI, hetzij bij het onderwijsbureau. Met eventuele vragen kun je bij mij terecht t/m vrijdag 15 april, daarna ben ik met vakantie. Verder ben ik t/m donderdag 7 april alleen per bereikbaar (fritsv@cwi.nl). Succes! Frits Vaandrager Mutual Exclusion Bij het Mutual Exclusion probleem gaat het er om een enkele, ondeelbare hulpbron afwisselend toe te kennen aan n processen p 1 ; : : : ; p n. Het beschikken over toegang tot de hulpbron wordt gemodelleerd door een proces de zogenaamde kritieke sectie te laten bereiken, wat eenvoudigweg een als zodanig aangewezen deelverzameling is van de toestanden van het proces. Zolang het proces geen toegang wenst tot de hulpbron, is het in de zogenaamde resterende sectie. Om toegang te verkrijgen tot de kritieke sectie voert het proces een probeerprotocol uit, en nadat het proces uit de kritieke sectie is gekomen executeert het een uitgangsprotocol. Deze procedure kan herhaald worden, en het gedrag van ieder proces is derhalve cyclisch, gaande van de resterende sectie (R) naar de probeersectie (P ), dan naar de kritieke sectie (K), en tot slot naar de uitgangssectie (U). 1

2 In het protocol waar we bij dit tentamen naar kijken vindt communicatie tussen de processen plaats via gedeelde variabelen (shared memory). Voor een gegeven proces p i en gedeelde variabele x zijn er twee atomaire (ondeelbare) basis-acties: p i leest x en verandert van toestand gebruikmakend van de gelezen waarde, en p i schrijft een waarde in x, bepaald door de toestand van p i. Ieder proces p i communiceert met zijn \eigenaar", een verder niet gespeciceerd extern programma. Hiertoe heeft proces p i een invoer actie probeer i. Dit modeleert een verzoek van de eigenaar om toegang tot de kritieke sectie. Verder is een een invoer actoe uitgang i waarmee de eigenaar te kennen geeft dat de hulpbron weer vrij is. Proces p i heeft een uitvoer actie krit i, waarmee het zijn eigenaar laat weten dat de hulpbron beschikbaar is, en een uitvoer actie rest i die aangeeft dat de eigenaar weer verder mag. We nemen aan dat de eigenaars het cyclische karakter respecteren, d.w.z., een eigenaar zal niet de eerste zijn die het cyclische volgorde van de communicaties in de war stuurt. Onder deze aanname, willen we laten zien dat het protocol voldoet aan de volgende eigenschappen. Mutual exclusion: Er is geen bereikbare toestand waarin meer dan een proces zich in sectie K bevindt. Geen deadlocks Indien op enig punt in een faire executie tenminste een proces zich in sectie P bevindt en er geen proces in sectie K is, dan is er een later punt in deze executie waar een proces sectie K binnengaat. Analoog, indien op enig punt in een faire executie tenminste een proces zich in sectie U bevindt, dan is er een later punt in deze executie waar een proces sectie R binnengaat. Geen verschoppelingen In iedere faire executie (ten aanzien van de transities van de processen p i ) van het protocol waarin de eigenaars altijd de hulpbron teruggeven, gaat ieder proces in P uiteindelijk over naar K. Tevens zal, in iedere faire executie, ieder proces in U uiteindelijk sectie R binnengaan. Lamport's Bakkerij Algoritme Dit tentamen gaat over Lamport's Bakkerij, een fundamenteel en interessant mutual exclusion algoritme; het is practisch, en ideeen eruit vind je terug op veel andere plaatsen. Naast mutual exclusion garandeert het algoritme fairness: ieder proces dat de kritieke sectie binnen wil zal daar uiteindelijk in slagen. Een minder prettige eigenschap is dat het algoritme gebruik maakt van registers met een niet begrensde omvang. De programmatekst staat gegeven in Figuur 1. In het algoritme is de probeersectie P opgedeeld in twee deelgebieden, de drempel (genaamd D) en de rest van P. Op de drempel kiest ieder proces een nummer dat groter is dan de nummers waarvan het kan zien dat ze reeds door andere processen zijn gekozen. Terwijl het hiermee bezig is, wordt kiest[i] op 1 gezet, om zo de andere processen te laten weten dat het een nummer aan het kiezen is. Merk op dat het mogelijk is dat twee processen zich tegelijkertijd op de drempel bevinden, en derhalve kunnen twee processen 2

3 Gedeelde variabelen kiest: een array gendiceerd door [1::n] van natuurlijke getallen uit f0; 1g, initieel allemaal 0, waarbij kiest[i] wordt geschreven door pi en gelezen door alle processen. nummer : een array gendiceerd door [1::n] van natuurlijke getallen uit f0; 1; : : :g, initieel allemaal 0, waarbij nummer [i] wordt geschreven door pi en gelezen door alle processen. Programmatekst voor pi probeer i ** begin van de drempel ** L1: kiest[i] := 1 nummer [i] := 1 + maxfnummer [1]; : : : ; nummer[n]g kiest[i] := 0 ** einde van de drempel ** ** begin van de bakkerij ** for j 2 f1; : : :; ng do L2: if kiest[j] = 1 then goto L2 end if L3: if nummer [j] 6= 0 ^ (nummer [j]; j) < (nummer [i]; i) then goto L3 end if end for krit i ** kritieke sectie ** ** einde van de bakkerij ** uitgang i nummer [i] := 0 rest i ** resterende sectie ** Figure 1: Lamport's Bakkerij algoritme voor mutual exclusion. 3

4 hetzelfde nummer kiezen. Om dit probleem op te lossen, wordt er vergeleken op basis van de lexicograsch geordende paren (nummer ; index ): op die manier komt het proces met de laagste index het eerste aan de beurt. In de rest van de probeersectie wacht ieder proces totdat zijn (nummer; index ) paar het laagste is, nadat het eerst gewacht heeft op alle processen die ook een nummer trekken. Het protocol lijkt in zijn functioneren op een bakkerij: klanten komen binnen via de drempel, waar ze een nummer kiezen, gaan dan de bakkerij binnen en wachten in de winkel totdat hun nummer aan de beurt is. Opgave 1 Zij A een willekeurige I/O automaat en zij een eindige executie van A. Bewijs dat een prex is van een faire executie van A. Opgave 2 Zij A een willekeurige I/O automaat. Laat zien dat er een I/O automaat B bestaat met dezelfde input en output acties als A maar met slechts een enkele klasse in part(b), zodanig dat fairtraces(a) fairtraces(b). Opgave 3 Herschrijf het protocol als een I/O automaat in preconditie/eect stijl. Generalizeer het protocol hierbij enigzins door zoveel mogelijk nondeterminisme toe te staan in de volgorde waarin acties worden uitgevoerd. (In de preconditie/eect stijl is het eenvoudiger om willekeurige volgordes van acties te speciceren dan in de gebruikelijke programma notatie.) Het is de bedoeling dat je bij de resterende opgaven alle bewijzen baseert op de modelering van het protocol als I/O automaat. Opgave 4 Bewijs dat voor iedere bereikbare toestand van het protocol waarin geldt dat p i 2 K en voor zekere j 6= i, p j 2 (P? D) [ K, er tevens geldt dat (nummer[i]; i) < (nummer[j]; j). Opgave 5 Bewijs dat het protocol voldoet aan de conditie van Mutual exclusion. (Hint: gebruik het resultaat van Opgave 4.) 4

5 Opgave 6 Bewijs dat het protocol voldoet aan de conditie van Geen verschoppelingen. Bonusopgave Wat gaat er mis in het protocol als we in plaats van de natuurlijke getallen gebruik maken van de natuurlijke getallen modulo B, voor een heel groot getal B? Beschrijf een speciek scenario. References [1] L. Helmink, M.P.A. Sellink, en F.W. Vaandrager. Proof-checking a data link protocol. In H. Barendregt and T. Nipkow, editors, Proceedings Workshop Esprit BRA \Types for Proofs and Programs", Nijmegen, The Netherlands, May 1993, Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, Uitgebreide versie verkrijgbaar als Rapport CS-R9420, CWI, Amsterdam, Maart