Daer in gheleert werdt te vinden de naeste

Transcriptie

1 VANDEN CIRCKEL. Daer in gheleert werdt te vinden de naeste Proportie des Circkels-diameter tegen synen Omloop / daer door alle Circkels recht (met alle Figueren / ofte Landen met cromme Linien besloten) ghemeten kunnen werden. Item aller Figueren-syden in den Circkel beschreven / Beginnende van den 3/4// hoeck / in Irrationale ghetallen te brengen / al hadde de Figuer veel hondert-duysent hoecken. Item des 7//3/7/9/3 Hoecx syden / ende wat syden ofte Coorden men begeerdt / welcker Boge groot zijn Graden / Minuten / Secunden / etc. Naer elcx behaghen. Noch de Tafelen SINUUM, TANGENTIUM, ende SECANTIUM, met het gebruyck van dien, hoogh-noodigh voor de Land-meters: Met veel andere konstighe stucken, dierghelijcke noyt in druck uytghegheven. Ten laetsten van Interest / met alderhande Tafelen daer toe dienende / met het ghebruyck / door veel constighe Exempelen gheleerdt / ende door t gheheele werck bewesen / ende gheproeft. Alles door LVDOLPH van CEULEN, gheboren in HILDESHEIM, beschreven, ende inden druck ghebracht. versie 6 maart 00 TOT DELF, Ghedruckt by Jan Andriesz. Boeckvercooper / woonende aen t Marctveldt / in t Gulden A B C. Anno 96.

2 AENDEN HOOGH-GHEBOREN VORST ENDE HEERE, MAURITZ GEBOREN PRINCE VAN ORANGIEN, GRAVE VAN NASSAU, CATZENELLEBOGE, VYANDEN, DIETZ, MARQUIS VAN DER VERE ENDE VLISSINGEN, etc. Gouverneur ende Capiteyn generael van Gelderland, Holland, Zeeland, West-Vriesland, Zutphen, Utrecht ende Over-yssel: Admirael generael vander Zee deser Neder-landen. Mitsgaders de Edele, Vermoghende, Wijse, seer voorsienighe Heeren, Staten van Hollandt, Zeelandt, ende West-Vrieslandt: Mijne ghenadighe, gunstighe, ende ghebiedende Heeren. f. Godt sprack tot Adam: In t Zweet uws aenschijns zuldy u Broodt eten. Uit dit woort (doorluchtighe / hoogh-geboren Vorste / Edele / vermoghende / wyze seer voorsienige Heeren) dunckt my dat metter tijdt gesproten zijn (door de grootheyt des Heeren dien hy het menschelijcke gheslachte geopenbaert heeft) alle goede consten: Want Adam tselve ghebodt voor hem ende syne naecomelinghen ontfangen hebbende / deur dien hy / ende syn naevolghers die aerde moste bouwen / zijn terstondt (by ghebreke van middelen die hem daghelicx om t selve te doen faelgeerden) gedronghen geworden tot practijcke / te soucken diversche hulpe daer toe dienende : Alsoo (in dienmen sulcx naerder bedenckt) bycans verstaen magh werden / dat het onophoudelijck onder-soucken van alderhande Scientien / Konsten / ende Ambachten die Adam ende de synen hier voormaels door noodt / ende daghelicx ghebruyck eerst in de handt quamen / ende daer naer door grooten naerstighen yver / door de konst beminnende onghespaert haer selven / de consten door lanckheydt van tijden (tot profijt van t menschelijcke gheslachte) aen den dagh ghebracht zijn. Dit heeft (Verstaet het ghebodt des Heeren) elck een (van wat hooghe digniteyt ofte conditie hy zy) de Spade inde handt ghegheven / om nemmermeer te rusten in syne vocatie ofte beroup: Alsoo heeftet den almachtighen Godt belieft / oock mijn de Schuppe inde handt te gheven / om de selve te ghebruycken tot mijn beroup / d welck is (Hoogh-gheboren Vorst E.W. seer voorsienighe Heeren) de konste van Meten ende Tellen (sonder wiens behulp meest alle andere soo Liberale als Mechanische scientien ende konsten creupel ende inperfect bevonden werden) in welcke ick het mijne ghedaen hebbe / ende daer inne soo vele gevordert / als den almachtighen Godt belieft / ende syn ghenade verleent heeft / Ben voort ghevaren (door groote lust ende genegentheyt) om te soecken naar een van de principaelste stucken / als daer is de proportie / ofte reden des Diameters te vinden tegen syn Circonferentie ofte Omloop eenes Circkels. Om dese te vinden / hebben (over veel hondert Jaren / ende noch in dese onse tijden) diversche treffelijcke / ende hoogh-verlichte persoonen veel gedwaelt / ende elck het syne voortghebracht. d Oorsake van dit soucken is: Dat elck gaerne soude volcomelijck meten den perfecten inhoudt van een Circkel / ofte eenighe superfitie De pagina s van de opdracht, het voorwoord, en de inhoudsopgave zijn niet genummerd. Pagina-overgangenworden steeds aangegeven in de marge. Orig.: vermomoghende.

3 die met cromme Linien besloten zijn. Onder alle die Ouden / heeft over de 800 Jaren den eeuwigh-lof-weerdighen Archimedes gevonden dese proportie tusschen twee waerachtighe (soomense noemt) termijnen. Namelijck: Als den Diameter ofte middel linie genomen werdt 3 0 mael / comt voor de Circonferentie te cort / Ende 7 ghenomen den Diameter 3 mael is te lanck voor den omloop / dat is een rechte 7 Linie doende 3 0 mael soo veel als de middel linie is te cort / ende 3 mael is te 7 7 lanck voor den omloop des Circkels. Daer nae hebben ontallijcke andere grooten arbeyt gedaen om dese sake tot perfectie te brengen / maer wat sy luyden gevordert hebben / geven haer schriften getuygenisse. In den Jare 84, ende 86, 3 zijn van een lief-hebber twee Quadratueren des Circkels / teghen malcander strijdende in t licht ghebracht / daer teghen ick (niet sonder groote oorsake) twee Boucxkens hebbe laten drucken / daer mede de selve met waerheydt weder-leydt werden / etc. Sulcx / ende andere heeft gecauseert desen handel naerder te bedencken / ende metter tijdt my ghevoert in meerder speculatie / ende nae souckinghe vande f. principaelste reden / waer door den voornoemden duyren Man Archimedes tot de vindinge der voorseyder Proportie ghecomen mochte zijn: Ende nae dien den hoogh gheleerden uyt-nemenden lief-hebber der Mathematischer consten / Meester Jan de Groot, Burgermeester der Stede Delff mijn (als in de Archimedische sprake onervaren) tselve in duytsch hadde over-gheset / is my groote begheerte aenghecomen / sulcx wijder te onder soucken / hebbe den grooten arbeydt cleyn / jae niet gheachtet / tot welcken mijn den almachtigen Godt gheopenbaert heeft eenen sekeren wegh ende middel / daer door ick aller ghelijcksydiger Figueren syden / inden Circkel gheschreven / van ontallijcke houcken / beginnende aen den 3/4// houck / sonder moyten in Irrationale ghetallen can vinden. Desen gevonden ende voor seker wetende (hoogh-gheboren Vorst / E. Wijse ende voorsienighe Heeren) was mijn gheen Const (maer grooten arbeydt dien ick niet gespaert en hebbe) te vinden de langhe ghesochte proportie: Te weten / als den Diameter eenes Circkels werdt ghenomen mael / Comt een rechte Linie te cort / ende mael den Diameter ghenomen / Comt een rechte Linie te lanck voor de Circonferentie des Circkels. Dat is: Soo daer waer een Circkel wiens middel-linie lanck ware duymen / ofte ander mate / dan soude syn omloop langer zijn dan , ende corter dan der selver mate. Door dese reden kunnen alle Circkels ghemeten werden volcomen / dat sulcx gheen hayr-breedt (by maniere van spreken) te veel ofte te weynigh comt / al waer den Circkel grooter dan t geheele Aertrijc. Dese mijne inventie die ick door Gods genaden in t jaer 86 gevonden hebbe / ende den voornoemden Meester Jan de Groot, ende den konst-rijcken Meester Symon Stevijn, een Man van groot verstandt in desen / ende veel ander konsten: Mede Meester Gedion Faleth Secretarius der Stadt Aemstelredam. Item Adriaen Ockertsz. ghezworen Land-meter der selver stede / ende den hoogh-geleerden Joannes Wilhelmus Velsius, D. tot Leeuwaerden: Oock mede Symon Fransz. vander Merwen, Burgermeester der Stadt Leyden / ende Adriaen Anthonisz. Burgermeester der Stadt Alcmaer / Ingenieur der Staten van Hollandt / ende Pieter Jansz. vander Houck, gezworen Land-meter van Delff. Item Meester Mathijs Mintens Franchoyshe School-meester / ende Reken-meester tot Leyden / ende ten lesten den hoogh-geleerden Mathematicus Rudolphus Snellius 3 Dat wil zeggen: 84 en 86. 3

4 Professor inde Universiteyt tot Leyden. Desen alle haer wel verstaende in de konste van tellen ende meten / mede in den konst-rijcken Regel Cos, ofte Algebra segghe ick / ghethoont hebbende mijn ghevonden werck / twelck ick daer naer alles beschreven hebbe (mits waer mede ick tselve Geometrice ende door getallen bewijsen conste) ende van meninge was met eenige andere stucken te doen drucken: Maer alsoo ick alsdoen eerst eene onvruchtbare reyse naar Duytslandt moste doen / ende wederomme gecomen zijnde / door verscheyden Mathematische Vragen belet werde / bysonder van den wijdt-beroemden hoogh-gheleerden Adriaen van Romen (hoe wel die by hem te vooren in Solubel 4 geacht) te solveren / overghesonden / by my ghesolveert / ende de begheerte van den selven ghenough ghedaen / hebbe nochtans sedert daer door (ende principalijck door de sin-rijcke ende verborghen Questien vande voorschreven lof-waerdigen Adriaen van Romen) gevonden door Algebra, niet alleene de syden der gelijcksydiger Figueren in den Circkel van 7/9//3/7/9/3/9/etc. welcke alle voor dese onvinbaer gheacht waren: maer daer toe noch een wegh ende seker middel / om alle Coorden ofte rechte Linien / in den Circkel getrocken / te vinden buyten / ofte sonder Cos / als maer alleene de Boge bekent is / niet tegenstaende hoe veel graden / minuten / secunden / etc. de selve groot is / deur dien de Tafelen Sinuum, Tangentium, ende Secantium (soo naer men die begeerdt) volcomen gemaect kunnen werden / welcke gevonden noodtwendighe Regel in desen (met de voornoemde Tafelen / ende eensdeels het gebruyck van dien / hoogh-nodigh voor de Land-meters / met veel ander const-stucken) gevonden sullen werden / tot dat mijn groote werck in t licht comt / daer inne den selven tegen den Diameter / ten minsten van parten sullen zijn / soo verre mijn God verstant ende leven spaert. Hoe dat ick nu in desen mijnen beroup ghestadelijck ben voort gevaren / over de dertigh Jaren gheduyrende / ende wat vruchten de selve door segeninge des Heeren naer eenen f. onophoudelijcken arbeydt heeft voort gebracht / sulcx hebbe ick met danckbaerheyt des Heeren / eensdeels in desen Boucke beschreven / waer van de wercken (ende alle recht-ervaren deser konst) sullen getuygenisse geven van der waerheydt / die ick in t bewijsen van de ghenoemde Proportie / ende tvervolgh van dien in dit teghenwoordighe mijn Bouck (der werelt tot nut ende profijt) hebbe gheopenbaert: Maer den ghenen die willen ende gheen verstandt hebben van desen / die moghen mijn onordentlijck ende simpel maniere van schrijven verachten / de reste sal voor haer-luyden bestaende blijven. Dewijle nu (hoogh-geboren door-luchtige Vorst) my kennelijck is dat u Vorstelijcke ghenade niet alleen een lief-hebber deser heerlijcker konst is: maer een recht verstandt der selver heeft / ende onder mijne edele E.W. Heeren mede zijn / die haer in desen verstaen: Hebbe daeromme (hoogh-gheboren Vorst / E. Wijse seer voorsienige Heeren) dit mijn tegenwoordige werck u Ex tie ende uwer E.W. in aller onderdanicheydt willen dediceren / niet om dat u Ex tie ende E.W. daer mede eenighsins ghedient zy: maer om dat ick soo lange onder u Ex tie ende E.W. protectie salutaire regieringe in vrede geseten hebbe / inde vreese Gods geleeft / ende in t zweet mijns aenschijns / mijnen (van Godt bevolen) beroup genough gedaen hebbe / daer van mijnen daghelijckschen noodtdruft met Huys-vrouw / ende een Huys vol kinderkens ghenoten hebbe / in teken van danckbaerheydt ghehouden ende schuldigh ben / my / ende alle de mijne / hebbende / ende vercrijghende middelen / u Ex tie ende E.W. toe te eyg- 4 insolubel, onoplosbaar. Het boek waar Van Ceulen hier op doelt is nooit verschenen. 4

5 henen / ghelijck ick oock onderdanighst my / ende alle de selve dedicere ende toe eygene: By desen ootmoedelijck versouckende / die onder u Ex tie ende E.W. patrocinie / ende beschuttinghe soo ghenadigh ende gunstigh voortaen te continueren als ick uyt schuldighe ghenegentheydt / goede affectie / ende oprechte meninghe d selve presenteren / waer inne u Ex tie ende wijsheydt ick in eenigher manieren can dienen ende believen / wil my onghespaert lijff / goedt / ende bloedt daer inne laten vinden gheneyght / willigh / ende bereydt: Dat kenne God almachtigh die u Ex tie / Wijse ende seer voorsienighe Heeren / de Landen ende tghemeene welvaert ten besten / in geluck-salighe regieringhe langh-duyrige ghesontheydt / ende alle welvaert onderhoude ende beware. Uit Leyden / den 0 sten September / Anno 96. U. Vorstelijcke Ghen. ende U.E. Onderdanighen Dienaer Ludolph van Ceulen.

6 f. SONNET Tot den wijt-vermaerden LUDOLPH VAN CEULEN Zoo Wijsheydts waerde wet, de traghe luyheyds zucht Veracht, en verdoemt: en tnaerstigh oeffenings poghen Prijst, en verheft, jae tot tblaeuw-rond doet verhoghen: Diens Werck, en Naem, die staegh traegheyds quae wil ontvlucht. Zoo volght hier uyt met reen, ô Ludolph, u gherucht: Dewijl naersticheyds wil, daet, werck en vermoghen U nemmermeer ontbreeckt, maer u staegh houdt gheboghen Onder naer vreughd-werckend jock, die u naem maeckt doorlucht. Pooght ghy al voort en voort, deckt niet natuyr Gods licht: Siet nae gheen nae-spraeck om, beveelt die Gods ghericht, Die gheeft elck loon nae werck, nae syn rechts goedicheyd. Niet dat ick leeren wil die menigh heeft gheleert: Dees waen is verr van my: Redens wet die van my keert En prijst door mijn (onwaerd) u Geests wackermoedicheyd. Oordeelt sonder Twist. 6 6 De schrijver van dit sonnet is Jan Jansz. Orlers. 6

7 Aende Konst-lievende Lesers. f. Den Circkel is soo ghemeen (beminde Leser) dat de kinderen den selven weten te maken: maer syn vermoghen / natuer / ende eyghenschap recht te weten is een groote sake / het welck niemant volcomen en weet / dan God alleen. Soo veel van dien tot dese mijne beschrijvinge van noode is / met het ghene ick (door Godts genade / ende grooten arbeydt) gevonden hebbe / hebbe ick geerne willen den gemeenen welvaren tot profijt (soo goedt ick can) mede deelen / hoope dat u tselve wel behagen sal / dewijle niet anders dan de waerheydt daer inne bevonden sal werden / soo verre de Land-meters haren Eedt willen betrachten: In t meten der cromme Velden moetmen niet aensien de gemackelijckheyt der getallen / in Circkels ofte Landen met cromme ende rechte Linien besloten / daer toe sy ghebruyckt hebben voor den omloop 3 den Diameter eenes Circkels / welcke reden 7 Archimedes te lanck ghehouden heeft (alst waer is) maer nemen voor den omloop eenes Circkels den Diameter mael / somwijlen het gebroken van minder ofte meerder getallen / naer dat de noodt sulcx vereysschet / dan sullen de Circkels ende cromme velden niet onrecht sonder volcomen gemeten werden. Ick sal u een Exempel stellen / welck in een ghedruckt Bouck ghevonden werdt / daer uyt ghy de differentie mercken kunt. Aldus: Daer is een Circkel wiens Diameter doet 7000 Roeden. 7 Vraghe. Hoe veel Roeden in t viercant vermagh den selven / soo verre hier genomen wert 3 mael de middel-linie voor den omloop / sal comen 000 Roeden. Deser helfte gemultipliceert met de helfte van den Diameter 7 / sal comen voor den inhout des Circkels Roeden in t viercant / is veel te groot: Dewijle desen Diameter seer lanck is / hebbe ick de proportie naerder genomen uyt den voorgaenden / ende gevonden voorden waren inhout des Circkels / door een lichte Multiplicatie / minder dan , ende meerder dan viercante Roeden / geen hayr-breedt min noch meer. Dese ware grootte verscheelt van t voorgaende over de 490 viercante Roeden / dat is weynigh min dan 6 Merghen Landts / alsmen 600 Quadraet-roeden neemt ofte rekent voor een Marghen. Item het Exempel des 9 de Capittels deses Boucx / welck Niclaes Reymers voor een Prouf-stuck uytgegeven heeft / ghemeten op de oude maniere / sal weynigh min dan vier Mergen anders dan recht comen. My is wel bekent dat cromme Velden / niet groot zijnde / door Triangels naer by gemeten kunnen werden / maer groote Velden niet. Als voorvallen in Duytslant ende elders / ontrent de Rivieren ende Bosschen ofte Houten / van welcker vermaent den hoogh-gheleerden Doctor Erasmus Reynholdus, dat weynigh tijdt geleden een Bosch ghemeten is / ende de eerste reyse groot ghevonden werde 6000 Acker / elcke van 0 Quadrat-roeden. De tweede reyse ghemeten op Acker / ende ten laetsten op 7000 Acker. In sulcke ende dierghelijcke is de differentie des rechten / ende naer by meten groot / also dat somwijlen den vercooper veel duysent gulden te veel oft te weynigh ontfangt. Dat mede de onervaren kunnen missen in cleyne Velden / bewijset den voornoemden Niclaes Reymers met een Exempel van een stuck landts / leggende 7 De roede is een oude lengtemaat; in Rijnland (de streek om Leiden) was die gestandaardiseerd op 3,77 m. Een morghen (of merghen of marghen) is een oppervlaktemaat van 600 (Rijnlandse) roeden. Een acker is 60 vierkante roeden. 7

8 tusschen twee cromme ende een rechte Linie / welck groot was nae syn meten / minder als vier Merghen / Daer over een ander Meester des metens werde gheroupen / welcke tselve heeft ghemeten nae syner konst / ende vondt meer als neghen Marghen. De oorsake deser Meesters / mis ende onrecht meten / is dat sy luyden haer konst uyt gedruckte Boucken gheleerdt hebben / welcke beschreven zijn vanden wel-geachte (doch onervaren in desen) persoonen / daer door veel menschen bedroghen zijn / ende noch werden / welcke niet de cromme Velden: maer mede gheleerdt hebben Velden met rechte Linien inghesloten / onrecht meten / waer van ghy in mijn groote werck veel sult vinden: Ick sal u hier voor eenighe waerschuwen. In t Jaer onses Heeren Christi gheboorte 69 hebbe ick in der hoogh-loffelijcker Stadt Ceulen een Bouck becomen / beschreven van Jacob Kobel, daer inne ick veel valsche Regulen ghevonden hebbe / welcke niet alleen van veel Land-meters in Hoogh-duytslandt (sonder eenighe hier in dese Landen) hebben deselve Regulen ghebruyckt / ende voor goedt ghehouden. Tot Antwerpen voor 0 Jaren / ende f. daer naer in Vlaenderen zijn mede diergelijcke valsche ende bedriegelijcke Regulen in Boucken (tracterende van Geometria) gedruckt. Voor Jaren is mijn behandight een Bouck / welck een vermaerdt Land-meter hier in dese Landen met syn handt geschreven heeft / daer inne ick niet weynigh dwalinghe ghevonden hebbe / onder andere dese volghende: Een sekere goede regel / ofte maniere / om sonder Cathecus 8 te gebruycken / oft te soucken / d welck niet soo moeyelijck is / als hier een Figuer volght Aream 9 te vinden. Haze, Onder dese voorschreven woorden was gheteyckent een Triangel / welcke met alle syden bekendt was / de langste 80, de middelste 0, de cortste 66 Roeden / Desen leerde hy meten met dese volgende woorden De twee cortste syden sult ghy nemen / ende Medieren een van tween / dat comende Multipliceert dan met de andere corte syden / datter dan uyt comt is Area, ofte grootte des Triangels / ofte Landts / Ende is een ghereede maniere etc: Daer naer stelt den selven het werck / als hier teghen staet / ende daer onder / Summa 760 Roeden / ende is ghedaen. Boven is ghestelt den name Haze: Daer mede gheeft desen te kennen dat hy den Regel geleerdt heeft van eenen Land-meter / genaemt Jan de Haze, in synen tijden Land-meter tot Aelst in Vlaenderen. Van den selven Haze heeft hy meer Regulen geleert / welcke eensdeels niet veel beter dan de voorgaende en zijn: Maer so verre ghy eenen sulcken Triangel (wiens syden lanck zijn als boven) recht metet / sal comen net roeden. Hier uyt den Radix Quadrata / sal comen meer als ende minder dan 3406 Quadraet-roeden. De differentie tusschen den valschen ende rechten / is hier meer als Quadraet-roeden: Wacht 000 u voor sulcke Regulen. By den Euclides in t eerste Bouck / uyt der 46 ste. In t tweede uyt de twaalfde ende derthiende Propositie kunt ghy ghewisser ende sekerder leeren alderhande Triangels meten / sonder missen: Ende in desen Bouck in t neghenthiende Capittel / byden vierden Exempel. Item den konstighen ende wel-hervaren Mathematicus / Meester Niclaes Pietersz. van Deventer / woonende tot Aemstelredam / heeft in syn Bouck mede waerachtighe Regulen beschreven / om Triangels volcomen te meten. 8 Cathetus wat oorspronkelijk (in het Grieks) loodlijn betekent, wordt ook wel gebruikt voor een der benen van de rechte hoek in een rechthoekige driehoek (vgl. hypothenusa). 9 Hier wordt oppervlakte mee bedoeld. 8

9 Neemt alles voor goedt ende niet ten arghsten mijn berispen / welck ghedaen is om dat veel luyden door de onghefundeerde Regulen bedrogen zijn / ende datse mede tegen tghemeyne welvaren strijden: Bidde daer neffens beminde Leser / willet desen mijnen grooten arbeydt ten besten verstaen / naer dien ick hier inne de Eer deser konst (mits hopende den gemeenen wel varen) gedient hebbe. Ende soo verre hier inne door den Drucker / ofte anders gemist ware / mede niet ghenough ordentlijck ghestelt / alst wel betaemde / verbetert / ende oordelt niet te haest ende onbedacht: So verre ick danckbaerheyt mercke sal haest naer desen volghen een grooter werck / daer inne onder andere ghehandelt sal werden van den alderconstighsten Regel Cos / met veel konstighe Exempels / my van veel Meesters deser konst te maken ghesonden / met de beantwoordinghe / ende het gene daer op ghemaeckt ende gevonden is / Met noch het noodt-wendighste der voornoemden Regel Cos / welck ick tot Aernhem op t Hoff van Gelder-landt Anno 89 gevonden hebbe / door de hulpe van Godt / ter oorsake eener konstigher Vraghe / aen mijn gesonden door den hoogh-geleerden D. Johannes Wilhelmus Velsius, Mathematicus ende Medicus tot Leeuwaerden. Hier mede ick u ende my den lieven Godt bevele. Uit Leyden den 0 sten September / Anno 96. Den Inhoudt van desen is ghedeelt in Capittelen. In t eerste zijn ghestelt eenighe stucken / welcke den meesten deel van elck bekent zijn / ende tot desen werck ghebruyckt werden. In t tweede / uyt wat gronde te bewijsen zijn veel konstige stucken in desen Bouck beschreven. 3, 4,. In t derde / vierde / ende vijfde werdt gheleerdt de syden van veelderhande Figueren / in den Circkel beschreven / in Irrationale ghetallen te vinden. 6. Werdt gheleerdt de ghetallen van veelderhande rechte Linien in den Circkel ghetrocken te vinden. 7. Wert gheleerdt de Irrationale ghetallen / soo naer men wil / Rationael te maken. 8. Hier inne werdt geleerdt om behendelijck de grootheydt der Figueren in den Circkel beschreven te vinden. 9. Hier in is beschreven / hoemen de syden der omgeschreven Figueren / met de grootheydt der selver Figueren / vinden sal. 0. In t thiende Capittel werden ghevonden / de ghetallen der syden / van ghelijcksydighe Figueren / malcander in haer Progressie volghende / van veel hondert mael duysent syden in Irrationale ghetallen.. Door wat middel de hier voormalen onbekende ghetallen Rationael ghemaeckt zijn / door veel groote Extraxien / door welke de veel begeerde Proportie te vinden is / soo naer men begheerdt.. In desen werdt het voorgaende op een ander maniere ghevonden / door konstighe Exempels. 3. Hier inne werdt gheleerdt te vinden de Coorden / ondertrocken eenen Boghe van een Secunda / ende veel andere Linien ofte syden. 4. In desen sult ghy veel konstighe Vraghen ghesolveert vinden / mijn ghesonden van den hoogh geleerden Adriaen van Romen, met de maniere soo ick de selve op Cossische verghelijckinghe ghebracht hebbe / met de waerde van A daer by / met noch der Figueren-syden / beginnende van den 3 houck / tot de Figuer van 80 houcken / welcke voor mijn van den voornoemden Adriaen van Romen op vergelijckinge gebracht zijn. 9

10 . Door wat middelen ick ghevonden hebbe de syden van 77, 6 houcken / ende andere Figueren syden. 6. In desen werdt gheleerdt een konstighe sake / te weten: Hoemen der Figuerensyden buyten den Reghel Cos sal vinden: Jae wat Linien ofte Coorden men begheerdt inden Circkel ghetrocken / etc. 7. Hier sult ghy vinden de Tafelen Sinuum, Tangentium, ende Secantium, met een cort onderricht van dien. 8, 9. In dese Capittelen vindt ghy het ghebruyck der Tafelen / eensdeels met eenighe Exempelen daer toe dienende / door welcke de Land-meters met voordeel (mits hebbende een Instrument / daer door de grootte der winckelen gevonden werden) kunnen vinden sonder meten / de lengde van plaetsen die onmeetbaer zijn / met veel noodtsakelijcke stucken etc. 0. In desen sult ghy leeren den Circkel deelen in 3, 4,, etc. met twee andere konstige Exempels ghesolveert.. Hier werdt ghehandelt van den Circkel / ende eenighe konstighe Vraghen (den Circkel aengaende) gheproponeert / ende mijn te beantwoorden ghegheven / door eenen doorluchtigen / hoogh-geleerden Heere / met meer ander stucken den Circkel belangende.. In t laetste hebbe ick ghedichtet veel Vraghen voor de Lief-hebbers deser konst / ende daer mede dit werck ghesloten. Daer naer volght het tweede Bouck / daer inne alleene van Interest ghehandelt werdt / met veele Tafelen daer toe behoorende / ende veel schoone Exempels daer toe dienende. 0 f. 0 Dit tweede boek is niet in de transcriptie opgenomen. 0

11 HET EERSTE CAPITTEL Inhoudende xxxv Artijckelen / welcke tot desen tijdt (den meesten deel) voor waer / ende onwedersprekelijck ghehouden zijn: Soo verre men aen eenighe wilde twijfelen / sal sulcx volghende waer bevonden werden. Onse Voor-vaders hebben den rond-omloop ghedeelt in 360 ghelijcke deelen ofte graden.. Een van de graden ghedeelt in 60 minuten. 3. Item een minuyt ghedeelt in 60 ghelijcke deelen / ofte secunden etc. 4. Een rechte Linie ondertrocken / ofte vanden omloop snijdende een graedt / is een syde des ghelijcksydighen 360 houcx in den Circkel gheschreven.. Ende een rechte Linie ondertrocken een minuyt / is een syde des 600 houcx / in den Circkel beschreven. 6. Item een rechte Linie ondertrocken een secunde / is een syde des gelijckhouckigen houcx / in den Circkel beschreven / ende soo voort / etc. 7. Alle syden der veel-houcken in den Circkel / zijn corter als syn omloop / ofte Circonferentie. 8. Ende alle syden der veel-houcken om den Circkel gheschreven / zijn langer als den omloop desselven. 9. De rechtlinische Figueren in den Circkel geschreven / zijn cleyner dan den Circkel. 0. Item een rechtlinischen Figuer om den Circkel geschreven / is grooter dan den Circkel.. De syden der ghelijcksydigher Figueren / in / ofte om den Circkel beschreven / beginnende van 3/6//4/48/ houcken / ende van 4/8/6/3/64/ etc. ende van /0/0/40/80. Item beginnende van /30/60/0/40/480/960/ etc. houcken / zijn te vinden gheweest in ghetallen / als den Diameter des Circkels bekendt is / hoe wel van desen niet sonderlinghs in geschriften gevonden werdt: overmits den grooten arbeydt in Irrationale ghetallen / welcke ghedaen moste werden / om te vinden een syde des om / ofte ingheschreven veel houcx etc. welcke in desen sonder arbeydt te vinden zijn.. De syden der veel-houcken / beginnende aen den 9//3/7/9/3//9 houcken zijn noyt naerder ghevonden in Rationale ghetallen / dan teghen den Diameter van door de Tafelen Sinuum, ende Tangentium: Maer nu (Godt de Eer) werdt hier een corter wegh gethoont / om de voorghestelde / ende alle andere syden te vinden / veel duysent duysent-mael naerder. 3. Aller Coorden ofte rechte Linien der bekender Boghen ondertrocken / zijn te vinden in Irrationale ghetallen / soo verre de graden des Booghs met 3 ghedivideert niet overblijft / ofte met 3 effen op gaet. f. 4. verstaet het selve mede / als den Boghe lanck is graden / ende ghedeelte van graden / soo verre den Nommer des ghedeelts ofte ghebroken een ghetal ofte termijn eener Geometrischer Progressie is / beginnende met, ende vermeerdert met, Als //4/8/6/3/64/ etc. Als tot een Exempel: Des Booghs van 8 graden / ende minuten Corda doet in Irrationale ghetallen + + 4,

12 als den Diameter des Circkels doet, welcke Boghe is 7 des gheheelen omloops 60 / ende doet 8 graden. Dese ghedeelt door 3, comt 4 3, ofte den Boghe doet graden. Den Teller gaet met 3 effen op / ende den Nommer is een ghetal der 4 voorsz Progressie: Daerom is syn Corda volcomen te vinden. Hier van breeder in t volghende 6 de Capittel.. Als een rechte Linie in een Circkel beschreven is / welcke van den omloop een stucke snijdet / minder dan der Circonferentie. Deser Linie-ghetal ghemultipliceert met eener Linie-ghetal / welcke den rest des halven omloops ondertrocken is / 4 comt uyt den Product een ghetal der Linie onder-trocken eenen Boghe / twee-mael soo groot als de eerst-ghenoemde Linie. 6. Als voor een ghetal staet een sulcken teecken / beduydet datmen uyt denselven ghetal moet de Quadraet wortel Extraheren. Exempel: Men begheerdt uyt 7 te trecken de Quadraet-wortel / dan werdt dat voor-ghestelde teecken gheset voor 7. Also 7. Item men begheerdt de Quadraet-wortel uyt 7 + 3, dan sette ick dat teecken meet een punct / oft. voor Alsoo:.7 + 3, met het selve teecken wert verstaen datmen eerst moet uyt 3 de Quadraet-wortel trecken. Dat comende gedaen by 7, uyt de summa Radix / de comende wortel doet den begheren genough. Item.7 3. Hier moetmen Procederen als boven / uytgesondert dat het gene van 3 comt / moetmen van 7 Substraheren / etc. Noch , soo verre men dit ghebonden ghetal wil Rationael maken / moet eerst den uyt 3 ghetrocken werden / Dat comende ghedaen by, uyt de summa, (Verstaet dat ick met den teecken de Quadraet-wortel meene). De ghevonden Wortel tot, uyt de summa. Den comenden Radix noch tot. Den uyt dese summa / doet den begheren ghenough. 7. Alsmen twee Quadraten t samen Multipliceert / ende uyt den Product den Extraheert. Den comenden Radix ghedivideert door de Wortel van een der Quadraten / dan comt de Wortel des anderen Quadraets. Exempel: Multipliceert met 4, comt 00. Hier uyt is 0: Desen ghedivideert door / comt, de Quadraet-wortel uyt : Ofte divideert 0 door / comt / den Quadraet-wortel van 4 / etc. 8. Uit desen gronde can ick uyt alle Irrationale ghetallen de Quadraet-wortel vinden / soo naer mijn wel behaeght. Tot een Exempel: Ick beghere uyt de Quadraet-wortel te soucken / ofte ick wil op t naeste weten hoe veel doet / welcx Quadraet doet. Soo Multipliceer ick (het Quadraet van ) met 0000 (welc is het Quadraet van 00) ofte met / als het Quadraet van Het eerste Product is Hier uyt / comt meerder als 4 / ende minder als 4. Dese ghedivideert door 00 / comt 4 4 te veel / ende te weynigh voor de Quadraet-wortel van / ofte voor. Het tweede product is Hier uyt / comt meer als 44 / ende minder dan 443. Dese ghedeelt door 0000 (als de Wortel van ) comt meer als / ende minder dan voor / etc. 9. Alsmen de Quadraeten van twee ghetallen t samen Multipliceert / uyt den Product Extraheert. Dese Wortel is ghelijck den Product / welck comt alsmen de getallen t samen Multipliceert. Orig.:... oft. Voor.... In deze alinea gebruiken we (omwille van LvC s uitleg) de oorspronkelijke notatie; verder gebruiken we zo veel mogelijk het modernere Als de geneste wortels te veel ruimte vergen, vallen we weer terug op de punt-notatie.

13 0. Een Perpendiculaer-linie ghetrocken uyt den middel-punct eenes Circkels / op een syde des veel houcx / daer in gheschreven / Dese recht-staende is halff soo lanck als een rechte Linie / welcke den rest des halven omloops ondertrocken is / ofte den Boghe der rechter Linie / ende de Boghe der syde doen t samen den f. halven omloop. Item het ghetal der voornoemder Perpendiculaer ghemultipliceert met het getal der helfte van alle syden des veel houcx / comt de grootheydt des veel houcx. Alsmen het vierendeel eener ghelijcksydiger Figuers-syde in de Circkel beschreven multipliceert met het dubbelt des ghetals haerder syden / dat comende Product is de grootheydt eener ghelijcksydigher Figuer / in den selven Circkel / van tweemael soo veel syden ofte houcken / als de eerst-ghenoemde Figuer. Ofte Multipliceert het ghetal der syde / dat is soo lanck elcke syde is / met de helfte des getals / soo veel de Figuer syden heeft / sal comen als boven.. De syden van ghelijckformighe Figueren / in / ofte om alle Circkels gheschreven / hebben Proportie teghen malcander / als haerder Circkels diameters. 3. Alle ghelijckformighe Figueren / om / ofte in Circkels beschreven / hebbe de Proportie als de Quadraeten haerder omloop / ofte aller syden Quadraten t samen. 4. De selve natuere hebben alle Circkels: te weten / haer grootheden hebben Proportie teghen malcander / als de Quadraten haerder Diameters.. Item de Quadraten haerder Circonferentie hebben mede een Proportie / als de grootheden der Circkelen. 6. Als een Linie in een Circkel ghetrocken is / alsoo dat beyde de eynden der selver raecken den omloop / ende noch een ander Linie / mede in den selven ghetrocken / welcker Boghe met der eerster Linie-boghe t samen den halven omloop ghelijck zijn: Dese tweede Linie sal (om cortheydt) Complement van de eerste Linie ghenoemt werden. 7. Den rechten Sinus eenes Booghs ofte winckels is de rechte helfte eener Linie in den Circkel (op de maniere als boven) beschreven. 8. Den Sinus Complement is mede een halve Corda / syn Boghe met den Boghe des rechten Sinus t samen doen des gheheelen omloops: Ende mede den Winckel 4 des Sinus / ende den Winckel des Sinus Complement t samen / doen eenen rechten Winckel. Hier van breeder by den ghebruyck der Tafelen. 9. De dry Winckels van elcken Triangel doen t samen twee gherechte Winckels. 30. Alder Quadraten / desghelijcken aller viercante (onaenghesien of de Winckels recht wijdt ofte scharp zijn) vier Winckels / zijn ghelijck vier rechte Winckels. 3. Een houckighe Figuer heeft 6 / ende een 6 houck 8 / ende een 7 houck 0 rechte Winckels etc. 3. Alle Circkels zijn ghelijckformigh. 33. Alsoo mede alle stucken der Circkels / welcker Boghen ghelijcke Graden / Minuten / Secunden doen. 34. Ende de rechte Linien / welcke met de Boghens de gelijckformighe stucken maken / ofte besluyten / hebben een Proportie / als der Circkels Diameter. 3. Item het vermoghen / ofte grootheydt der ghelijckformigher stucken / hebben de Proportie haerder Diameters Quadraten. 3

14 De Eerste Propositie: Ende tweede Capittel f.r Als een rechte Linie in een Circkel beschreven / alsoo dat beyde de eynden de Circonferentie raecken / dan is de middel proportionael Linie / tusschen den halven Diameter / ende de rest / om soo veel den Diameter langer als de eerste genoemde Linie Complement / ghelijck eener Linie die vanden om-loop snijdet eenen Boghe half soo groot als de eerste Linie. Verclaringhe ende Demonstratie. Tot een exempel / besiet hier desen by-gevoughden Circkel / daer in de Linie / A/B. beschreven / ende vanden eynde / B. den Diameter door het Centrum getrocken / wert den winckel / A/B/C. ghemaeckt / Dien is onder-toghen / A/C. Complement / A/B. De differentie tusschen A.C. ende de middel Linie C/B. is X/B. deze is gheteeckent van den Centro D. in L. alsoo dat D/L. ghelijck is X/B. Wijder is C/L. ghedeelt int punt. in twee ghelijcke deelen: ende den Circkel C/I/H/L. ghetrocken / ende uyt D. een Perpendiculaer aen den Boghe / in den punct H. compt D/H. welcke in midden der proportie staet / tusschen dem rest X/B. ende den halven Diameter D/C. Dese D/H. moet ghelijck zijn B/E. ondertrocken den Boghe E/B. de helfte van den Boghe A/E/B. Om dit grondelick te bewijsen: is de Figuer bereydet als boven / de Boghe C/A. ende A/B. zijn elck in twee ghelijcke deelen ghedeelt: Daerom A/F /E/S. ende C/W. de perpendiculaer Linien zijn gelijck: Mede C/A. ghelijck W /F. Daerom F /E/Z/W. ende S/B. ghelijck. G A M N I H Q F E O R T P C K D A L X S B W Z Item S/B. ghelijck X/S. Hier uyt volght dat S/B. de helfte is der differentie X/B. Nu is het Quadraet der Lini EB. soo groot als het Quadraet E/S. ende het Quadraet van S/B. t samen: E/S. staet int midden der Proportien van C/S. ende S/B. Daerom het Quadraet van E/S. ghelijck moet zijn den Parallelogram O/C/T /S. Hier by ghedaen het Quadraet van S/B. comt de recht-hoeckighe Figuer O/C/P /B. ghelijck den Quadraet van E/B. Nu is deser gelijck-hoeckigher 4

15 Figuer O/C/P /B. ghelijck de Figuer N/C/Q/D. welcke ghelijck is den Quadraet des Mediproportionael H/D. Daerom E/B. mede ghelijck is H/D. door de 4/3/43/47 sten Propositie des eerste ende 30/3. des derden. Item de 8/3/7 sten des 6sten Euclides. Door ghetallen kan tzelve lichter bewesen werden: Alsoo / Ick neme dat den Diameter C/B. is langh. Ende de Linie A/B. doet 9. Soo moet C/A.(door de 30 ste des derden 3 / ende 47 ste des eersten Euc.) doen. Ende de differentie X/B. 3. Dese gemultipliceert met den halven Diameter / als 7. comt. voor het Quadraet des Mediproportionael D/H. Ende voor D/H.. Item als A/B. doet 9. dan is A/F. 4. Soo veel doet mede E/S. Haer Quadraet doet 0. Daer by ghedaen dat Quadraet der halver differentie (die langh is.) dat is 4. Summa voor beyde Quadraten (te weten: voor de Quadraten E/S. ende S/B. 4 welcke tsamen soo veel doen alst Quadraet E/B.). Hier uyt Comt voor E/B.. soo veel boven ghevonden voor D/H. Daerom waer mijn voorgheven / etc. f.v 3 Lees: de 3 ste des derden; prop. 3 van boek 3 van de Elementen van Euclides.

16 HET III. CAPITTEL Daer in geleert wert (uyt den bovensten gronde) de zyden veelder gelijck-sydigher Figueren: Beginnende aen den dry-houck / sonder arbeyt te vinden. C E B 3 4 B A D Om behendelijck te komen aen een getal eener veel-sydiger Figuer-syden: moetmen setten voor den Diameter des Circkels. dan is den halven Diameter. Soo veel doet mede C/D. dwelck is een syde des 6. houcx / door den aen hang des ste Propositie des 4 den Euclid. Sijn Complement (als een syde des 3. houcx) doet 3. Dese genomen van den Diameter / rest 3. welck ghelijck is den quadraet des Medi-proportionaels / tusschen de rest ende halven Diameter (dewijle nu het getal des halven Diameters in t multipliceren niet en verandert) ende ghelijck der syden eens. houcx Quadraet (uyt den voorgaenden) Hier uyt Comt voor C/E. een syde des. houcx / in den Circkel B. gheschreven 3. ofte. Deser Quadraet ghenomen van t Quadraet des Diameters / rest het Quadraet E/H. Daer uyt. Comt voor E/H Complement C/E Dese genomen van den Diameter / rest + 3. welck rest is uyt den voor-gaenden gronde / den quadraet des 4. houcx gelijck / Daer uyt. Comt voor 4 een syde des 4. houcx + 3. ghetekent in de Figuer B. met C/F. Deser quadraet genomen van t Quadraet des Diameters / rest het Quadraet F /H. Daer uyt. Comt voor F /H Dese genomen vanden Diameter / ende uyt de rest. comt voor CG. (welck een syde des 48. houcx is) Ende so voort come ick sonder arbeydt aen de syde des 96. houcx. De selve doet Ende een syde des 9. houcx doet etc. 4 Orig.: vooor. 6

17 HET IIII. CAPITTEL Daer in gheleert werdt te vinden (uyt het voorschreven Fondament) veelderhande Figueren-syden: Beginnende aen den Vier-houck f.r I K L B E F A C D G H N In deser Figuere C. doet den Diameter des Circkels A/E/B/F /D. als boven: Daer om een sijde des Quadraets daer in beschreven / doet. Haer Complement doet mede. Die ghenomen van den Diameter / compt voor het Quadraet des 8. houcx sijde. hier uyt comt voor een syde des 8. houcx / of E/B.. Alsoo vinde ick sonder moeyten voor IB. een sijde des 6. houcx +. Ende voor een syde des 3. houcx / als K/B + + Item voor L/B. een syde des ghelijck-sydighen 64. houcx / vinde ick Ende soo voort can ick comen tot de syden van Figueren die veel duysent houcken hebben: Maer de leste can niemandt vinden. 7

18 HET V. CAPITTEL Daer in gheleert werdt te vinden / de syden vanden Ende den Houck. Q L M N O G H + 4 R Z I [K] 60 P Y D F D X 3 3 B E A 30 W T C V S Hoemen eenen gelijc-sydighen. houck in oft om eenen Circkel sal beschrijven. Item in eenen. houck: of om den selven eenen Circkel schrijven / werdt gheleert in den vierden Bouck Euclides propositie Ende in den tweeden aen-hangh der selver 4 de propositie van Xilander van Augsburgh ghestelt: welck is de 3 de des 4 de Euclides: Hoemen een syde des ghelijck-sydighen 0. houcx sal vinden: te weten. Den halven Diameter eenes Circkels salmen deelen / naer uytwijsen der. Propositie des tweeden Boucks Euclides: Dan sal het grootste deel syn / een syde des begheerden 0. houcx / diemen in den Circkel can beschrijven / als in den Circkel D. is voor den selven ghevonden Q/O. Dese geteyckent van O. in den punct P. ende ghetrocken de rechte Q/P. dat is een syde des. houcx. De deylinghe wert te weghe ghebracht alsoo: Den halven Diameter X/B. deelt in twee gelijcke deelen / daer nae settet den eenen voet des Circkels opt midden van X/B. den anderen streckt aent eynde des Diameters in O. ofte S. daer na laet den voet opt midden van X/B. ende teyckent de ghevonden wijde over X. in de ander helfte des Diameters / dan is de lengde tusschen den punct: (verstaet daer de voornoemde wijde valt) ende middel punct X. een syde des 0. houcks / in den Circkel beschreven. De lengde der syden in ghetallen vinde ick alsoo: Het Quadraet van der halven Lini X/B. (als in desen daer den Diameter doet.) welck doet. Addeer ick tot den Quadraet X/O. welc doet. comt voort Quadraet der 4 voornoemde wyde. daer uyt. comt voor de selve. Hier van genomen. 4 4 als de helfte van X/B. rest voor een syde des 0. houcx. Deser Quadraet 4 genomen van t Quadraet des Diameters / comt het quadraet Q/S. daer uyt. comt voor QS. +. Om nu te comen tot het getal der Lini Q/P. Multi- 4 f.v Orig. heeft hier en in de volgende twee instanties abusievelijk proportie. 8

19 pliceert Q/O met Q/S.comt. voor Q/P. een syde des. houcx. My is 4 wel bekent / dat in desen (als mede in voorleden) tijden veel gevonden werden / die grouwen / ende eenen schrick voor de Irrationale getallen hebben: Is nochtans een van de hoogh-noodighste stucken in den conste van Mathematica. Dat de alder geleersten groflick gemist hebben: is de oorsake datse onhervaren zijn geweest in getallen / daerom is mijnen raedt datmen de Fondamenten der voornoemde ghetallen wel leert / de welcke van veele seer vlijtigh beschreven zijn: Ick sal naer desen (zoo t Godt belieft) mede mijn beste doen: de sake en is in hem selven niet swaer / ende lustigher inde voornoemde ghetallen te wercken als in ghemeene / soo verre met practijcque het werck volbracht werdt. In den voorgaenden exempel moetmen Multipliceren. met +. welck swaer schijnt / dewijle 4 4 dese niet van eener natueren zijn: Maer bedenckende mijne 9 de beschrijvinghe 6 / soo ist seer licht t selve begheeren naer te comen. Alsoo Quadreert. 4 comt : Dit multipliceert met +. (het quadraet van S/Q.) comt 4 4 het Quadraet van Q/P. daer voor set. comt voor Q/P. als boven. Volght hier onder het werck Voor P /Q. 4 4 Door het voorgaende can ick nu licht comen tot een sijde des 0/40/80. houcx / etc. Alsoo Substr: Q/S. van den Diameter S/O. rest +. dit is 4 het Quadraet van L/O. daer voor. comt voor L/O. een syde des 0. houcx +. Door de selve maniere sult ghy vinden voor een syde des houcx + +. ende voor een syde 4 des 80. houcx: Ende soo voort sonder eynde. Om wyder te comen tot een syde des. houcx: Merckt G/F. is een syde des 3. houcx: Daerom den Boghe F /P /O/Q/G. is. des omloops / Ende O/L/Q/G. 3. des selven / daer van den Boghe Q/L/O. (welck is des omloops) rest 6 0 der Circonferentie: Daerom de rechte Linie Q/G. is een syde des. houcx / den Circkel ingeschreven. De lengde vinde ick in ghetallen alsoo / Q/Z. is de helfte des. houcx / ende doet. Dese genomen van 3. (de helft van G/F ) rest voor G/H deser Quadraet doet Hier wordt artikel 9 uit capittel bedoeld. 7 3 Lees: Lees:

20 Wyder Substra. O/Z. als 3. van O/Y. welcke doet. Rest voor Z/Y. Dese is gelijck Q/H. haer Quadraet doet 3. Dese ghedaen tot 8 64 den Quadraet G/H. comt het Quadraet G/Q. hier uyt. Comt voor een syde des. houcx : Dat is oft9 f.3r + 3. mede voor een syde des. houcx / als den Diameter doet als boven. Door dese can ic nu licht comen (door de voorgaende Propositie) tot een syde des 30/60/0/40. houcx / etc. Maer ick sal t u toonen om de selve te vinden door de bereyde Figuer D. Also C/S. den Boge is des omloops / ende 6 S/C/A. is der Circonferentie: Daerom moet A/C.. des geheelen omloops zijn 30 / ende de rechte Linie A/C. een syde des 30. houcx / den Circkel ingeschreven. Merct voorder / Q/S. is gelijck A/T. daer van genomen C/Q 0 (een syde des 3. houcx) rest + 3. de helft deser / rest als is voor A/E. Deser Quadraet doet Item S/W. doet 4 6. daer van genomen SR. 3 (welck doet.) rest voor E/C. 3. deser Quadraet 4 6 doet 7 4. hier by gedaen het Quadraet van A/E. comt (door de ste des eersten Euc.) voor t Quadraet A/C Hier uyt. comt voor een syde des 30. houcx. Om voorder te vinden een syde des 60. houcx / den Circkel ingeschreven: Merct / den Boge P /I/O. is een. 0 des omloops / ende O/I.. daerom moet I/P. des omloops zijn / ende I/P. 60 de rechte een syde des 60. houcx. Nu doet R/I.. ende is gelijc ZK. genomen van ZP. welcke doet. rest voor KP O/Z. doet Hier van R/O. (welck doet 3 ) rest voor R/Z. gelijck IK Addeert de Quadraten IK. en K/P. comt het Quadraet I/P. De Quadraten doen alsoo / I/K. Quadraet doet ende het Quadraet K/P. doet 7. Summa voor t Quadraet I/P Hier uyt. comt voor een syde des 60. houcx In de volgende uitdrukking moet het laatste minteken een + zijn. 0 Hier wordt niet CQ, maar C bedoeld. Lees: Lees: Hier wordt niet SR, maar SV bedoeld. 4 In de tekst staat: Lees: Lees:

21 Voor dese vinde ick door mijn Fundament Dese schijnen ongelijc / maer sal nochtans hier naer bevonden werden / dat de eene niet meer als de ander doet. Also vinde ick nu licht voor een syde des 0. houcx voor een syde des 40. houcx een syde des 480. houcks: Ende soo voort sonder eynde. 7 Lees:

22 HET VI. CAPITTEL Daer in gheleert wordt / de ghetallen te vinden / van veel verscheyden Linien / inden Circkel beschreven. 3 In de Figuer D. is den Boghe P /F /B. des omloops / Voor syn Corda vinde ick 0 4. syn Complement is +. ondertoghen 7. des omloops. Door dese (en tghene in t tweede Capittel geleert is) come ick licht tot der 4 0 Linien ghetallen / onder-toghen 3 / 7 / 7/ 3/ 7/ 3/ 7 / 33/ 3/ 7. etc. des omloops: te weten / voor een Linie onder-toghen 3. des omloops / comt ende is onder-toghen 7. des omloops / welcke Boghe 40 doet 3. Graden: Verstaet als den Diameter doet. als boven. Boghe f. 3v 8 Lees:

23

24

25 Merckt: tusschen de Linien daer Boghe boven staet / beteyckent de gebroken / stucken / ofte gedeelten des omloops. De Irrationale getallen daer teghen / zijn de ghetallen haerder Coorden / ofte der rechte Linien die den Boghe onder toghen zijn: Welcke ghetallen vreemt ende swaer schijnen: maer sijn nochtans licht te vinden. Alsoo: Ick begheer een getal / welcker Linie onder-toghen is 3 0 des omloops / wiens Boghe doet 4. Graden. Een Boghe noch so groot / doet 08. Graden / wiens Complement des omloops / doet 7 Graden. Sijn Corda is boven ghevonden. Dese ghenomen van. (soo langh als den Diameter) 4 9 Lees: Lees: Lees: f.4r 3 In het origineel is niet duidelijk of de eerste breuk 4 of 3 4 is, 4 33 Lees: Lees: Lees: is juist.

26 rest 4. Het Quadraet eener Linie halff soo groot als (die onder-toghen den Boghe van 08. Graden) Hier uyt. Comt voor een Linie onder-toghen 3 ghedeelten des omloops. Haer teghen-linie is 0 4 ondertogen 7 0. Daer voor comt + 4. Dese ghenomen van. Ende uyt de rest. Comt + 4. de Corda van 3 des omloops / etc. Item / ick begheer een rechte Lini onder-toghen 40 des omloops: Soo soecke ick eerst een rechte Lini onder-toghen des omloops. 30 Alsoo / Den Boghe T /F /O/G/A. is 3 der Circonferentie / Daer van den Boghe F /O/G. als 4 der Circonferentie / rest des omloops / Daer om een rechte Linie ghetrocken van G. tot A. doet den begheeren ghenouch. Wijder Substraheert 3 G/Y. als 3. van A/W. (welcke doet +.) Rest A/E. Wijder het Quadraet van A/W. ghenomen van t Quadraet A/S. Rest voor t Quadraet S/W Hier uyt de Quadraet-wortel. Comt voor S/W Dese ghenomen van S/Y. (als ) Rest voor W /Y. +. Dese is ghelijck de 6 4 Perpendiculaer / welcke van G. op A/T. in den punct E valt. Deser Quadraet doet Ende het Quadraet van E/A. doet Deser beyder Quadraten t samen doen (door de 47 ste des eersten Euclides.) het Quadraet G/A: te weten / Hier uyt. Comt Het ghetal der Linie onder-toghen des omloops. Deser Quadraet ghenomen van t Quadraet des Diameters / rest het Quadraet der Lini onder-togen. des omloops. 30 Daer uyt. Comt voor de begheerde Linie Als ick het ghevonden ghetal voor der Circonferentie Addeer / ende Substraheer van den Diameter (als.) dan is de rest ghelijck het Quadraet eener Linie onder-trocken 39 des omloops. Ende de summa ghelijck het Quadraet ondertrocken 9 des omloops. Den uyt de rest / ende summa: Comt voor 9. Ende voor een rechte onder-toghen Door het tweede Capittel / uyt den selven gronde / can ick veele rechte Linien (in een Circkel beschreven 40 ) ghetallen vinden. Der welcke ick eenighe setten sal: twijfele niet / ghy sult de selve in der Proeve goet vinden. 36 Lees: Lees: Lees: Lees: Orig: bschreven