Elementaire Deeltjes Fysica

Elementaire Deeltjes Fysica M. de Roo Instituut voor Theoretische Natuurkunde Rijksuniversiteit Groningen Nijenborgh 4, 9747 AG Groningen Reprinted November 004

Inhoudsopgave 1. Inleiding 1. Symmetrie 6.1. N reële scalaire velden 6.. Locale symmetrie in QED 10.3. Yang-Mills theorie 1.4. Locale ijkinvariantie en de stroom 15 3. Zwakke interacties 17 3.1. Het zwakke verval van het muon en het V A model 17 3.. De zwakke interacties en pariteit 18 3.3. Het gedrag van het Fermi model bij hoge energie 0 3.4. Het massieve vectorveld 1 4. Het GSW-model: zwakke interacties van leptonen 3 4.1. De symmetrie van de zwakke interacties 3 4.. Zwakke interacties en locale symmetrie 6 5. Het GSW-model: de massa van ijkvelden en fermionen 31 5.1. De stelling van Goldstone 31 5.. Het Higgs-mechanisme 33 5.3. Massa in het GSW-model 36 6. Het GSW-model: quarks en de zwakke interacties 40 6.1. De eerste generatie 40 6.. Meer dan een generatie quarks en leptonen 4 7. Quantisatie van Yang-Mills theorie 47 7.1. IJkbrekende termen in de padintegraal 47 7.. De Faddeev-Popov ghost velden 5 7.3. Feynman regels voor Yang-Mills velden 55 7.4. De vacuumpolarisatie van het Yang-Mills veld 56 8. Het GSW-model: experimentele consequenties 60 8.1. De W- en Z-bosonen 60 8.. Het Higgs-deeltje 61 8.3. De top-quark 63

9. Sterke interacties en quarks 66 9.1. Nucleonen en pionen: isospin 66 9.. Vreemdheid, SU(3) en quarks 68 9.3. Experimentele aanwijzingen voor quarks: ep-verstrooiing 70 9.4. Experimentele aanwijzingen voor kleur 74 10. Quantum Chromo Dynamica 77 10.1. Sterke interacties als ijktheorie 77 10.. Renormalisatie en countertermen: een voorbeeld 79 10.3. Green functies en asymptotische vrijheid 83 10.4. De β-functie voor φ 4 theorie 87 10.5. De β-functie in Yang-Mills theorie 89 11. Unificatie 95 11.1. Motivatie 95 11.. De SU(5)-structuur 96 11.3. De ijkvelden en de koppelingsconstante 100 11.4. Het protonverval 103 11.5. De effectieve koppelingsconstanten 105 A. Appendix: Groepentheorie 110 A.1. Lie-groepen en Lie-algebras 110 A.. Representaties 11 B. Appendix: Het complete GSW-model 116 Referenties 119 3

1 Inleiding In dit college zullen we een aantal aspecten van elementaire deeltjes en hun interacties behandelen. In het curriculum zijn ook andere colleges over dit onderwerp opgenomen. Elementaire Deeltjes Fysica onderscheidt zich van die andere colleges doordat gebruik gemaakt wordt van de quantumveldentheorie. Deze theorie vormt de basis van ons begrip van de interacties tussen elementaire deeltjes, zowel in het geval van de electromagnetische interacties als in dat van de sterke en zwakke wisselwerkingen. Bij het college Quantumveldentheorie [1] ligt de nadruk op de quantum electrodynamica (QED), de theorie die de electromagnetische wisselwerking tussen geladen spin-1/ deeltjes beschrijft. De nadruk bij dit college zal liggen op de zwakke interactie, verantwoordelijk voor β-verval van kernen (en vele andere processen), en de sterke interacties, die de deeltjes in de kern (het proton en neutron) bij elkaar houden. Een vierde interactie is de zwaartekracht, deze zal in dit college slechts terloops aan de orde komen. De quantumveldentheorie gaat ervan uit dat de elementaire deeltjes puntdeeltjes zijn, dat wil zeggen, geen voor ons waarneembare structuur hebben. Elementair is daarom een tijdafhankelijk begrip de elementaire deeltjes van 0 jaar geleden zijn, voor een deel, niet elementair gebleken. Zo blijken de vele sterk wisselwerkende deeltjes te zijn opgebouwd uit quarks, die we nu (nog) elementair noemen. Welke zijn dan, volgens onze huidige inzichten, de elementaire deeltjes? We maken een onderverdeling in materiedeeltjes, en in ijkdeeltjes. De ijkdeeltjes zijn verantwoordelijk zijn voor de krachten tussen de materiedeeltjes, waaruit letterlijk de materie is opgebouwd. Eigenschappen van de bekende ijkdeeltjes zijn gegeven in Tabel 1.1. deeltje interactie massa (GeV/c ) lading foton (γ) electromagnetisch 0 0 W ± zwak 80. ± 0.6 ±1 Z 0 zwak 91.187 ± 0.007 0 gluonen (A a µ, a = 1,...8) sterk 0 0 graviton zwaartekracht 0 0 Tabel 1.1 IJkdeeltjes en hun eigenschappen. Het foton, de W ± en Z 0 bosonen, en de gluonen worden in de quantumveldentheorie beschreven door vectorvelden. De dynamica van het vrije foton wordt gegeven 4

door de Maxwell vergelijkingen, en de koppeling van de fotonen aan geladen deeltjes wordt bepaald door locale ijkinvariantie. De Lagrangedichtheid van QED is invariant onder de volgende transformaties van het fotonveld A µ (het ijkveld van de locale symmetrie) en het fermionveld ψ: A µ A µ + µ θ(x), ψ e ieθ(x) ψ(x), (1.1) waarbij dus de parameter van de transformatie, θ, afhangt van het punt x in de ruimtetijd. Soortgelijke locale ijktransformaties bepalen ook de structuur van de sterke en zwakke wisselwerkingen. De extra complicatie is, dat dan de symmetrietransformaties door meer dan één parameter worden bepaald. Een van de hoofddoelen van dit college is de bij dergelijke transformaties behorende Yang-Mills theorie te introduceren, en toe te passen op de sterke en zwakke wisselwerkingen. Het graviton wordt beschreven door een tensorveld, g µν (de metrische tensor). De klassieke theorie van het zwaartekrachtsveld, de algemene relativiteitstheorie, kan ook worden opgevat als een ijktheorie, maar voor de constructie van de bijbehorende quantumtheorie moeten nog vele problemen worden overwonnen. Er zijn twee soorten materie-deeltjes. Dit zijn de leptonen, die alleen electromagnetische en zwakke wisselwerkingen hebben, en de quarks, die daarnaast ook sterk wisselwerken. In Tabel 1. geven we een overzicht van de eigenschappen van de nu bekende leptonen. deeltje naam levensduur massa (MeV/c ) lading (e) e electron > 1.9 10 3 jaar 0.511 1 µ muon.197 10 6 sec 105.66 1 τ tau 0.305 10 1 sec 1784.1 1 ν e electron-neutrino stabiel? < 7.3 10 6 0 ν µ muon-neutrino stabiel? < 0.7 0 ν τ tau-neutrino stabiel? < 35 0 Tabel 1. Leptonen en hun eigenschappen. De onzekerheid over de stabiliteit van de neutrinos hangt samen met de onzekerheid in de massa van de neutrinos. In de tabel zijn experimenteel vaststaande eigenschappen genoemd. Voor de levensduur van het electron is daarom een ondergrens gegeven. We gaan er echter van uit dat het electron en de neutrinos stabiel zijn, en de neutrinos massaloos. Al deze deeltjes heben spin-1/, de neutrinos zijn electrisch neutraal. 5

Bij alle interacties is er sprake van behoud van leptongetal. Er zijn drie leptongetallen, L e, L µ en L τ. L e is gelijk aan één voor e en ν e, en gelijk aan nul voor de andere leptonen. Op soortgelijke wijze zijn L µ en L τ gedefinieerd. Bij elk van de leptonen behoort een anti-deeltje, waarvan lading en leptongetal het tegengestelde teken hebben. Het onderscheid tussen deeltje en anti-deeltje zullen we aangeven door middel van de lading (e en e + ) of ook door een bar (ν e en ν e ). Het muon en het tau-deeltje zijn instabiel. Het muon vervalt meestal als µ e + ν e + ν µ, τ heeft een groot aantal verschillende vervalswijzen, bijvoorbeeld τ µ + ν µ + ν τ. De electrozwakke eigenschappen van de geladen leptonen zijn gelijk, alleen door hun verschil in massa zijn verschillende vervalswijzen mogelijk. Electriciteit was al bij de oude Grieken bekend, maar het was J.J. Thomson die rond de eeuwwisseling het electron ontdekte. Het muon werd in 1937 in kosmische straling ontdekt [], terwijl het τ-deeltje in 1975 werd gevonden [3]. Het behoud van het leptongetal speelt een rol in het feit dat het vervalsproces µ eγ (een mogelijk electromagnetisch verval) niet optreedt. Beschouw QED met alle geladen leptonen. Behoud van de afzonderlijke leptongetallen is gegarandeerd in de volgende Lagrangedichtheid: L = i=e,µ,τ ψ i (i( / + iea/) m i )ψ i 1 4 F µνf µν, waarbij ψ i Dirac-spinoren zijn voor de verschillende leptonvelden. Duidelijk is dat interactie vertices tussen leptonen en foton geen overgangen van het ene lepton naar het andere bewerkstelligen. In de theorie van de zwakke interacties werkt een soortgelijk mechanisme. In Tabel 1.3 geven we een lijst van de zes quarks. De ontdekking van de topquark vond plaats in 1994: overigens lagen alle eigenschappen van dit deeltje (behalve de massa) al geheel vast door de structuur van de theorie van de zwakke wisselwerkingen. Merk op dat zowel de leptonen als de quarks een duidelijke generatie-structuur hebben: zo vormen (e, ν e ), (u, d) de eerste generatie, etc. Voor de structuur van de stabiele materie waar we in het dagelijks leven mee te maken hebben speelt aleen de eerste generatie een rol. Quarks zijn de bouwstenen van de hadronen, de deeltjes met sterke wisselwerking die we in het laboratorium waarnemen. Het baryongetal van de quarks geeft een onderscheid tussen twee soorten hadronen: de baryonen, opgebouwd uit drie quarks, met baryongetal één, en de mesonen, bestaand uit een quark en een anti-quark, met baryongetal nul. De quarks zelf komen niet als vrije deeltjes voor. 6

Deze, en andere eigenschappen van quarks worden beschreven door de theorie van de sterke interacties tussen quarks, door middel van uitwisseling van gluonen: de quantumchromodynamica (QCD). Belangrijk is dat de sterke interacties het soort quark (de flavour) behouden, net als de electromagnetische interacties het soort lepton behouden. deeltje naam massa (MeV/c ) lading (e) u up 350 /3 d down 350 1/3 c charm 1500 /3 s strange 500 1/3 t top 174000 /3 b bottom 4500 1/3 Tabel 1.3 Quarks en hun eigenschappen. Alle quarks hebben spin 1/ en baryongetal 1/3. Anti-quarks hebben tegengestelde lading en baryongetal. De standaard -deeltjes (p, n, pionen,...) bestaan uit u- end d-quarks: p = (uud), n = (udd), π + = (u d), π = (ūd), π 0 = (ūu), ( dd). In de jaren vijftig werden vreemde deeltjes ontdekt, zoals het Λ-baryon en het K- meson. De Λ- en K-deeltjes bevatten een nieuw type quark, de s-quark. Aangezien de sterke interacties het type quark behouden, kunnen de Λ- en K-deeltjes alleen via zwakke interacties vervallen in lichtere deeltjes: K ± µν, π ± π 0,...; Λ 0 pπ, nπ 0,..., waarbij dan vreemdheid niet behouden is. Later (1974) [4, 5] is nog een nieuw type quark ontdekt (charm), en kort daarna (1977) de b-quark [6]. In 1994 is de al lang voorspelde top-quark (waarschijnlijk) ontdekt [46]. De wereld van de elementaire deeltjes is dus betrekkelijk overzichtelijk. Er zijn een klein aantal elementaire deeltjes (ijkdeeltjes, leptonen en quarks) waarvan de dynamica wordt beschreven door het standaard model (Glashow, Salam, Weinberg (GSW) model). Een belangrijk gedeelte van dit college zal dan ook besteed worden aan de structuur en de eigenschappen van dit model. We zullen dan ontdekken dat er toch nog veel vrije parameters zijn in het GSW-model, en een aantal onzekere punten. We zullen daarom aan het eind van dit college ook uitbreidingen van het GSW-model, zoals Grand Unified Theories, bespreken. 7

In dit college volgen we in grote lijnen de aanpak van het boek van Cheng en Li [7]. Daarnaast verwijzen we regelmatig naar andere literatuur, zoals originele artikelen, overzichtsartikelen en boeken. Een aantal van de belangrijkste artikelen op dit gebied zijn verzameld in [8, 9]. Het boek van Cheng en Li [7] bevat tevens een uitgebreide bibliografie. Het is van belang om bij dit college enig idee te hebben van de fenomenologische aspecten van de elementaire deeltjes. Dat begint noodzakelijkerwijze met een blik in een tabel waarin massas, levensduren, vervalswijzen en quantumgetallen zijn opgenomen. Een dergelijke tabel wordt jaarlijks uitgebracht [10]. Het is zeer nuttig om deze tabel te leren gebruiken. De belangrijkste artikelen over de experimentele elementaire deeltjes fysica zijn herdrukt in [11]. Daarin zijn de originele publicaties over de ontdekking van de belangrijkste elementaire deeltjes te vinden, met deskundig commentaar. In dit collegedictaat kiezen we onze eenheden steeds zo, dat h = c = 1. 8

Symmetrie De symmetrie-eigenschappen van veldentheoretische modellen spelen in de elementaire deeltjesfysica een belangrijke rol. In de quantumveldentheorie zijn we al een aantal fundamentele symmetrieën tegengekomen, zoals de ruimtetijd-symmetrieën (translaties en Lorentz-transformaties) en de ijktransformaties in QED. De eerste twee zijn voorbeelden van coördinaattransformaties: x µ x µ + a µ (translaties), x µ Λ µ ν xν met Λ µ ν Λρ σ g µρ = g νσ (Lorentz). (.1) De aanwezigheid van deze symmetrieën vertelt ons dat we geen onderscheid kunnen maken tussen experimenten die alleen verschillen door een verschuiving in de ruimtetijd en/of door een Lorentz-transformatie. In de theorie bereiken we dit door ervoor te zorgen dat de bewegingsvergelijkingen van de theorie covariant zijn onder deze transformaties, d.w.z. dezelfde vorm aannemen in getransformeerde coördinatenstelsels. In dit hoofdstuk ligt de nadruk op de zogenaamde interne symmetrieën, d.w.z. symmetrieën die de coördinaten van de ruimtetijd punten ongemoeid laten. We onderscheiden dan globale symmetrieën, waarbij de parameters van de transformatie constant in ruimte en tijd zijn, en locale symmetrieën, waarbij de parameters van het ruimtetijd punt mogen afhangen. Om een aantal begrippen (nogmaals) te introduceren beginnen we met een voorbeeld van globale symmetrie, daarna bekijken we locale symmetrie in de quantumelectrodynamica. Tenslotte introduceren we locale symmetrie geassocieerd met een niet-abelse groep, de zogenaamde Yang-Mills symmetrie. De hier behandelde symmetrie-transformaties vormen een groep. De groepentheorie speelt dan ook een belangrijke rol in dit deel van elementaire deeltjes fysica. Een aantal aspecten van de groepentheorie wordt behandeld in Appendix A. Voor een uitgebreider overzicht zie bijvoorbeeld [7], hoofdstuk 4. Referenties naar boeken over groepentheorie in de elementaire deeltjes fysica zijn te vinden in [7], Bibliography..1 N reële scalaire velden Voor het reële scalaire veld is de Lagrangedichtheid L = 1 ( µφ)( µ φ) 1 m φ, (.) waaruit als bewegingsvergelijking de Klein-Gordon vergelijking volgt: L φ L µ ( µ φ) ( + m )φ = 0, ( = µ µ ). (.3) 9

Het veld φ is een scalair veld, hetgeen een bepaald transformatie gedrag impliceert onder ruimtetijd-transformaties. In een ander coördinatenstelsel zal gelden: ( + m )φ (x ) = 0. (.4) Aangezien =, zowel onder translaties als Lorentztransformaties, is deze vergelijking alleen covariant als geldt: of ook wel, voor infinitesimale transformaties: x = x + δx φ (x ) = φ(x), (.5) φ (x) = φ(x) δx µ µ φ δφ(x) = δx µ µ φ. (.6) Dit is (per definitie) het transformatie-karakter van een scalair veld. Gecompliceerdere veldvergelijkingen (Dirac, Maxwell voor spin-1/, spin-1 velden) vereisen een ander transformatiekarakter: dat van een spinor-veld resp. vectorveld. Interne symmetrieën spelen in het geval van één scalair veld geen rol. We breiden de discussie daarom uit tot het geval van N reële scalaire velden. De Lagrangedichtheid is dan: L = 1 µφ i µ φ i 1 m φ i φ i, (.7) waarbij gesommeerd wordt over de index i (i = 1,...,N). De actie is invariant onder: φ i = O ij φ j, (.8) als de reële matrix O voldoet aan O 1 = O T. Dergelijke matrices noemen we orthogonaal. Voor matrices O die maar infinitesimaal van de eenheidsmatrix verschillen kunnen we schrijven: O = I iɛ a T a, (.9) waarbij ɛ a reële infinitesimale parameters zijn, en T a N N matrices. Vanwege O 1 = O T geldt: I + iɛ a T a = I iɛ a (T a ) T, (.10) dus T a moet imaginair (φ i en ɛ a zijn reëel!) en anti-symmetrisch zijn. Er zijn 1 N(N 1) onafhankelijke anti-symmetrische matrices, en dus 1 N(N 1) onafhankelijke parameters ɛ a : a = 1,..., 1 N(N 1). Deze transformaties vormen een groep, de rotatiegroep in N dimensies: O(N). De anti-symmetrische matrices T a noemen we de generatoren van O(N), deze matrices vormen een lineaire ruimte, die we de Lie-algebra van de groep noemen. Voor details zie Appendix A. 10

Bij elke continue symmetrie van de actie hoort een stroom en een behouden lading. Wat is de stroom in dit geval? Beschouw infinitesimale transformaties, Dan geldt: 0 = δs = = δφ i φ i (x) φ i(x) = iɛ a (T a ) ij φ j. (.11) [ L d 4 x δφ i + L ] φ i ( µ φ i ) δ µφ i [ ( )] L d 4 L L x δφ i µ φ i ( µ φ i ) δφ i + µ ( µ φ i ) δφ i. (.1) Als de velden voldoen aan de bewegingsvergelijkingen volgt hieruit: [ ] [ ] L µ ( µ φ i ) δφ L i = 0 µ ( µ φ i ) ( iɛa (T a ) ij φ j ) = 0, (.13) met andere woorden (ɛ a willekeurig): [ ] L µ ( µ φ i ) ( i(t a) ij φ j ) = µ j a µ = 0. (.14) We zien dat voor iedere onafhankelijke parameter (elke generator T) er een een behouden grootheid is. Met het model (.7) model corresponderen dus 1 N(N 1) behouden grootheden: Q a d 3 xja 0 = i d 3 x = i L ( 0 φ i ) (T a) ij φ j d 3 xπ i (T a ) ij φ j, (.15) waarbij π i de kanonieke impuls is behorend bij de coördinaat φ. De T a voldoen aan commutatie-relaties die de groepsstructuur weerspiegelen (zie Appendix A): [T a, T b ] = if ab c T c, (.16) waarbij f ab c de structuurconstanten van de groep genoemd worden. Tot nog toe hebben we eigenlijk alleen naar de klassieke veldentheorie gekeken. We beschouwen nu op de gebruikelijke manier de velden φ i als operatoren, die met de kanonieke impulsen π i voldoen aan de gebruikelijke gelijketijds commutatierelaties: [φ i (t, x), π j (t, y)] = iδ ij δ( x y), [φ i (t, x), φ j (t, y)] = [π i (t, x), π j (t, y)] = 0. (.17) 11

De commutatie-relaties tussen de T a impliceren nu commutatie-relaties tussen de behouden ladingen: [Q a, Q b ] = = d 3 x d 3 x d 3 y [π i (x)(t a ) ij φ j (x), π k (y)(t b ) kl φ l (y)] d 3 y [π i (x)(t a ) ij [φ j (x), π k (y)](t b ) kl φ l (y) +π k (y)(t b ) kl [π i (x), φ l (y)](t a ) ij φ j (x)] = i d 3 x [π i (x)(t a T b ) il φ l (x) π k (x)(t b T a ) kj φ j (x)] = d 3 xπ(x)f c ab T c φ(x) = if ab c Q c. (.18) We zien dat de behouden ladingen de structuur van de groep van orthogonale matrices respecteren. Ze voldoen aan dezelfde commutatie-relaties als de generatoren T a, en genereren dus een representatie van de groep. De Q a zijn operatoren die werken op de Fock-ruimte, de ruimte opgespannen door de toestanden met n deeltjes met gegeven impulsen, de bijbehorende representatie van de groep wordt ook wel de Fock-ruimte representatie genoemd. Op de velden werken de Q a als: iɛ a [Q a, φ i (x)] = iɛ a (T a ) ij φ j (x) = δφ i. (.19) Deze transformatie van de veldoperatoren is de infinitesimale versie van φ i = Uφ iu 1 met U = exp(iɛ a Q a ). (.0) De unitaire operatoren U zijn elementen van de Fock-ruimte representatie van de groep. We hebben gevonden dat uit een continue symmetrie een stroom, een behouden lading, en dus een unitaire representatie van de groep op de Fock-ruimte volgt. We kunnen nu aantonen dat, als de grondtoestand 0 invariant is onder de symmetrie transformaties, de overgangswaarschijnlijkheden ook invariant zijn. We zien dan immers: 0 φ i 1 (x 1 )...φ i n (x n ) 0 = < 0 Uφ i1 (x 1 )U 1...Uφ in (x n )U 1 0 = 0 φ i1 (x 1 )...φ in (x n ) 0. (.1) De continue symmetrie van de actie heeft dus directe consequenties voor de overgangswaarschijnlijkheden. 1

. Locale symmetrie in QED Quantumelectrodynamica is gebaseerd op de Dirac-theorie voor spin-1/ velden, en op de Maxwell theorie voor het electromagnetisch veld. De Lagrangedichtheid voor het vrije Dirac veld en voor het vrije electromagnetische veld luiden: L Dirac = ψ(iγ µ µ m)ψ, (.) L Maxwell = 1 4 F µνf µν, (.3) met F µν = µ A ν µ A ν. (.4) De bewegingsvergelijkingen die uit (.,.3) volgen zijn (i / m)ψ = 0, (.5) µ F µν = 0. (.6) De bijbehorende acties zijn invariant onder de volgende transformaties (naast de gebruikelijke translaties en Lorentz-transformaties): ψ(x) ψ (x) = exp(iθ)ψ(x), ψ(x) ψ (x) = exp( iθ) ψ(x), (.7) A µ (x) A µ(x) = A µ (x) + µ Λ(x). (.8) De transformatie van ψ is een globale transformatie. Net als in de vorige sectie kunnen we een stroom en een behouden lading vinden: j µ = ψγ µ ψ, Q = d 3 xj 0 (x). (.9) Als ψ voldoet aan de Dirac vergelijking geldt µ j µ = 0, en is de lading Q onafhankelijk van de tijd. Q is zo gekozen dat een één-deeltjes toestand als eigenwaarde van Q 1 heeft (de lading van het electron in eenheden e). Dit implicert tevens dat [Q, ψ] = ψ. De ijkinvariantie van (.3) is een gevolg van het feit dat we de klassieke fysische variabelen, het electrisch en magnetisch veld, hebben uitgedrukt in A µ. Dit lost één van de Maxwell vergelijkingen op, namelijk µ F νρ + ν F ρµ + ρ F µν = 0, (.30) maar het feit dat de oplossing niet uniek is geeft dan aanleiding tot de invariantie onder de ijktransformatie (.8). Als we interacties willen introduceren verandert de situatie. De ijkinvariantie van het electromagnetisch veld moeten we handhaven. Deze speelt een belangrijke 13

rol bij de quantisatie van A µ, en zonder ijkinvariantie zouden niet slechts de twee gebruikelijke transversale vrijheidsgraden van het Maxwell veld vinden. De volgende procedure leidt tot een theorie met locale ijkinvariantie waarin het Dirac veld wisselwerkt met een vectorveld, dat we vervolgens kunnen identificeren met het Maxwell veld. In de eerste plaats maken we de transformaties van het veld ψ locaal, dus: ψ = exp(iθ(x))ψ. (.31) We willen nu dat (.) invariant wordt onder (.31). Dit kunnen we bewerkstelligen door een zogenaamde covariante afgeleide in te voeren, D µ, die de eigenschap heeft dat D µ ψ op dezelfde wijze transformeert als ψ: (D µ ψ) = exp(iθ(x))d µ ψ. (.3) In dat geval is L = ψ(iγ µ D µ m)ψ triviaal invariant onder de locale transformaties (.31). De eigenschap (.3) vereist het invoeren van een veld in D µ dat transformeert met een term µ θ(x). We nemen: en bepalen de transformatieregel van A µ. Dus: D µ ψ ( µ + iea µ )ψ, (.33) ( µ + iea µ ) exp(iθ(x))ψ = exp(iθ(x))( µ + i( µ θ) + iea µ )ψ waaraan we voldoen door te kiezen = exp(iθ(x))( µ + iea µ )ψ, A µ = A µ 1 e µθ(x). (.34) De gevonden transformatie van het veld A µ is dus precies die van het ijkveld van de Maxwell vergelijkingen. Daarmee hebben we een ijkinvariante interactie gevonden tussen het Dirac-veld en een vectorveld. Voor het vectorveld kunnen we nu als kinetische term (.3) toevoegen. Dat levert L = ψ(iγ µ ( µ + iea µ ) m)ψ 1 4 F µνf µν, (.35) de Lagrangedichtheid van de quantumelectrodynamica. De constante e hebben we nu iets anders ingevoerd dan bij het college Quantumveldentheorie, dit kunnen we gemakkelijk herstellen door de parameter θ te herschalen. Merk op dat de interactieterm van de vorm ej µ A µ is. Op dit punt komen we in sectie (.4) terug. De bewegingsvergelijking van ψ levert de Dirac-vergelijking met een covariante afgeleide: (iγ µ ( µ + iea µ ) m)ψ = 0, (.36) 14

terwijl de bewegingsvergelijking van ψ de volgende vergelijking geeft: 0 = ψ( ea/ m) i( µ ψ)γ µ = i( µ iea µ ) ψγ µ m ψ = (id µ ψγ µ + m ψ). (.37) Deze bewegingsvergelijkingen zijn natuurlijk invariant onder ijktransformaties. Merk op dat de covariante afgeleide op ψ een andere vorm heeft dan die op ψ. Dit is een gevolg van het feit dat ψ en ψ verschillend transformeren onder ijktransformaties (zie (.7)). De covariante afgeleide is gedefinieerd als afgeleide die, werkend op een veld met een zeker transformatiekarakter, op dezelfde wijze transformeert als dat veld. De hier gebruikte methode om een ijkinvariante actie af te leiden zullen we in de volgende sectie generaliseren naar een niet-abelse transformatiegroep..3 Yang-Mills theorie We zullen Yang-Mills theorie invoeren aan de hand van een voorbeeld. We beginnen met de Lagrangedichtheid voor N fermionvelden: L = ψ i (iγ µ µ m)ψ i. (.38) Deze Lagrangedichtheid is invariant onder de volgende globale symmetrie: ψ i ψ i = U ijψ j (.39) met UU = U U = I. De matrices U vormen de groep U(N) van N N unitaire matrices. Voor infinitesimale transformaties geldt nu U = I iɛ a (T a ) ij δψ i = iɛ a (T a ) ij ψ j, (.40) waarbij de matrices T a hermitisch moeten zijn. Er zijn in dit geval N parameters ɛ a. De bijbehorende stromen zijn: j µ a = ψ i γ µ (T a ) ij ψ j. (.41) Dit is dus geheel analoog aan wat we in sectie (.1) besproken hebben, met het verschil dat we nu met N complexe velden te maken hebben. We willen nu, net als in het geval van QED de symmetrie uitbreiden tot een locale symmetrie 1. In QED hebben we dit gedaan door de globale symmetrie van 1 Het voorbeeld dat Yang en Mills [1] in gedachten hadden was isospin symmetrie. Dit is een symmetrie van de sterke interacties in de atoomkern. Deze interacties tussen protonen en 15

(.) uit te breiden tot een locale symmetrie. We gaan nu op dezelfde wijze te werk. We zoeken dus een covariante afgeleide, van de vorm die, werkend op ψ, net zo transformeert als ψ zelf: D µ = µ iga a µt a, (.4) (D µ ψ) = U(D µ ψ). (.43) We gaan er hierbij al van uit dat nu meer dan één ijkveld nodig zal zijn. De transformatiegroep heeft nu immers N parameters, en de afleiding bij QED suggereert dat voor elke parameter, of elke generator van de groep, een ijkveld nodig is. Hoe moet A µ nu transformeren? We eisen dat (D µ ψ) = µ (Uψ) iga µ TUψ = ( µ U)ψ + U µ ψ iga µ TUψ waarbij we de notatie A µ T = A a µ T a gebruiken. Dus: = U( µ ψ iga µ Tψ), (.44) 0 = ( µ U)ψ iga µ TUψ + igua µ Tψ = ( iga µ T + igua µ TU 1 + ( µ U)U 1 )Uψ, (.45) zodat voor de getransformeerde ijkvelden moet gelden: A µ T = UA µ TU 1 i g ( µu)u 1. (.46) Als N = 1 krijgen we met T = I en g = e hetzelfde resultaat als bij QED. Voor infinitesimale transformaties U = I iɛ a T a geldt δa µ T = iɛ a [T a, A µ T] 1 g ( µɛ a )T a zodat = ɛ a A b µ f ab c T c 1 g ( µɛ c )T c, (.47) δa c µ = ɛ a A b µf ab c 1 g µɛ c. (.48) neutronen zijn (vrijwel) ladingsonafhankelijk, zodat er een symmetrie optreedt waardoor proton en neutron in elkaar worden overgevoerd. Deze SU() symmetrie is globaal, als in één punt in de ruimtetijd wordt vastgelegd welk kerndeeltje een proton is, dan is er geen vrijheid om in andere ruimtetijd punten een andere keuze te maken. Yang en Mills wilden, naar analogie van QED, nagaan of er ook zoiets als locale isospin symmetrie gedefinieerd kon worden. Achteraf blijkt er in de natuur geen locale isospin symmetrie te zijn, maar het formalisme kon onveranderd worden overgenomen voor andere situaties. 16

Het is nuttig hier nu onderscheid te maken tussen de groepen U(N) en SU(N). Het verschil is een fase-transformatie, ofwel een U(1)-groep. Voor deze ondergroep van U(N) is de structuurconstante gelijk aan nul, en treedt alleen de tweede term in (.46) en (.48) op. De structuurconstanten zijn de matrix-elementen van de geadjungeerde representatie (A.13) (t a ) cb = if abc. (.49) De matrices t a voldoen aan de commutatierelaties van SU(N). Vergelijking (.48) is nu te schrijven als: δa c µ = iɛ a (t a ) c ba b µ 1 g µɛ c. (.50) We concluderen dat onder globale transformaties de ijkvelden transformeren volgens de geadjungeerde representatie. Het aantal ijkvelden is gelijk aan de dimensie van de groep. De generalisatie van de U(1) symmetrie in QED naar U(N) symmetrie geeft dus voor het fermiongedeelte van de Lagrangedichtheid: L = ψ i iγ µ ( µ δ ij iga a µ (T a) ij )ψ j m ψ i ψ i. (.51) We hebben nu nog geen kinetische term voor de ijkvelden gevonden. In QED is deze term 1 4 F µνf µν met F µν als in (.4 De generalisatie naar niet-abelse symmetriegroepen gaat als volgt. We beginnen met (.43), de definiërende eigenschap van de covariante afgeleide. Dan geldt ook: Laten we nu kijken naar: (D µ (D ν ψ)) = UD µ (D ν ψ). (.5) D µ (D ν ψ) D ν (D µ ψ) = ( µ iga µ T)( ν iga ν T)ψ (µ ν) = µ ν ψ ig µ A ν Tψ iga ν T µ ψ iga µ T ν ψ g A µ TA ν T (µ ν) = ig( µ A ν ν A µ ) T g [A µ T, A ν T]ψ igf µν Tψ (.53) met: F µν T = ( µ A ν ν A µ ) T ig[a µ T, A ν T]. (.54) Verder geldt vanwege (.5): (D µ (D ν ψ) D ν (D µ ψ)) = U(D µ (D ν ψ) D ν (D µ ψ)) = U( igf µν T ψ) = igf µν T ψ. (.55) 17

Dit geeft: F µν T = UF µν T U 1. (.56) De gevonden generalisatie van de electromagnetische veldsterktetensor transformeert dus volgens de geadjungeerde representatie van de groep SU(N), en is invariant onder de groep U(1). We zien nu dat: tr F µν TF µν T = tr UF µν TF µν TU 1 = tr F µν TF µν T. (.57) Dus trf µν F µν is invariant onder locale ijktransformaties, en is geschikt als kinetische term voor de Yang-Mills ijkvelden. We kunnen het spoor nog herschrijven door in te voeren: F µν T = F a µν T a = ( µ A a ν νa a µ + gf bc a A b µ Ac ν )T a. (.58) Kiezen we de basis van de generatoren nu zo, dat tr[t a T b ] δ ab, dan geldt: trf µν TF µν T = trf a µν F µνb T a T b F a µν F µνa. (.59) Dit geeft ons de totale Lagrangedichtheid: L = i ψ i γ µ ( µ δ ij iga a µ (T a) ij )ψ j m ψ i ψ i 1 4 F a µν F µνa. (.60) Dit is het prototype van een niet-abelse ijktheorie, ook wel Yang-Mills theorie genoemd. Ook van het eerder behandelde model van scalaire velden met O(N) invariantie kan een Yang-Mills theorie gemaakt worden. In dat geval krijgen we: L = 1 4 F a µνf µνa + 1 (D µφ) i (D µ φ) i 1 m φ i φ i, (.61) waarbij nu F a µν de structuurconstanten van O(N) bevat en D µ φ gegeven wordt door: D µ φ i = [ µ δ ij iga a µ (T a) ij ]φ j, (.6) met T a de generatoren van O(N). Het aantal ijkvelden is weer gelijk aan de dimensie van de groep..4 Locale ijkinvariantie en de stroom Laten we even teruggaan naar de sectie (.) over QED. We hebben daar gevonden dat de interactieterm tussen fermionen en fotonen gelijk is aan ea µ j µ. Kunnen we meer in het algemeen begrijpen dat een dergelijke bijdrage in de interactieterm moet voorkomen? 18

Beschouw daartoe het model van sectie (.1). De actie (.7) is invariant onder de globale transformaties (.11). Als we nu een transformatie (.11) in (.7) uitvoeren met een x-afhankelijke parameter ɛ a, wat gebeurt dan? We vinden: δl = L δφ i + L φ i ( µ φ i ) δ µφ i = iɛ a L (T a ) ij φ j iɛ a L φ i ( µ φ i ) (T a) ij µ φ j +( µ ɛ a L ) ( µ φ i ) ( i(t a) ij φ j ). (.63) De eerste twee termen zijn samen gelijk aan nul omdat de Lagrangedichtheid invariant is onder globale transformaties. Ze hangen niet van µ ɛ a af. De laatste term blijft over, en kan geschreven worden als: δl = ( µ ɛ a )j µ a. (.64) Willen we nu, uitgaande van (.7), een actie construeren die invariant is onder locale transformaties, dan moeten we de resterende bijdrage laten wegvallen tegen de variatie van een nieuwe term in de actie. We schrijven: De variatie van L is nu gelijk aan We kiezen δa a µ = 1 g µɛ a, zodat overblijft: L = (.7) + ga a µ jµ a. (.65) δl = ( µ ɛ a )j µ a + g(δaa µ )jµ a + gaa µ δjµ a. (.66) δl = ga a µδj µ a. (.67) In het geval dat de stroom zelf invariant is onder locale ijktransformaties, is nu dus al δl gelijk aan nul, en is de constructie klaar. In het geval dat j a µ niet invariant is, zijn we nog niet klaar, en moeten nog termen aan de actie en/of aan de transformatie van A a µ worden toegevoegd. Merk op dat de resterende variatie van L evenredig met g is. De procedure is systematisch in de zin dat er een ontwikkeling in g van de actie en van de transformaties ontstaat. In het geval van QED is de stroom invariant, hetgeen verklaart waarom de volledige interactieterm daar gegeven wordt door ea µ j µ. In het geval van het voorbeeld van sectie (.1), en ook in dat van sectie (.3), is de stroom niet invariant, en moeten we de procedure voortzetten. Dit leidt dan tot de resultaten die in sectie (.3) worden gegeven. 19

3 Zwakke interacties Voordat we nu onze kennis van Yang-Mills theorie gaan gebruiken voor de constructie van een ijktheorie voor de zwakke interacties, zullen we eerst in dit hoofdstuk wat algemene opmerkingen over de zwakke interacties maken. 3.1 Het zwakke verval het muon en het V-A model Zwakke interacties zijn ontdekt bij vervalsprocessen. In eerste instantie betrof dat vervalsprocessen in de kern waarvoor vaak het zwakke verval van het neutron verantwoordelijk is: n p + e + ν e. (3.1) Neutron en proton zijn opgebouwd uit quarks, en om de complicaties ten gevolge van samengestelde deeltjes te vermijden is het verstandig de zwakke interacties te introduceren aan de hand van processen met alleen leptonen. Een geschikt proces is het verval van het muon: µ e + ν e + ν µ. (3.) Beschouw eerst de kinematica van dit proces. betekent voor een muon in rust: Behoud van impuls en energie m µ = E e + E ν + E ν 0 = p e + p ν + p ν (3.3) We verwaarlozen nu de electronmassa ten opzichte van de muonmassa. Dan geldt: E e = ( p e ) = ( p ν + p ν ) = E ν + E ν + E νe ν cosα, (3.4) waarbij α de hoek tussen de neutrino-impulsen is. De energie van het electron is maximaal als α = 0. Deze is dan gelijk aan: (E e ) max = E ν + E ν = 1 m µ, (3.5) zodat het electron hoogstens een energie gelijk aan de halve muon-massa kan meenemen. Zwakke interacties werden voor het eerst in een veldentheoretisch model beschreven door Fermi. Hij veronderstelde dat de interactie tussen de leptonen een interactie tussen twee stromen was, van de vorm: L F = G F j µ j µ. (3.6) 0

De vorm van de stroom j µ is in de loop der jaren aangepast aan veranderende inzichten. De definitieve versie is gelijk aan [15]: j λ = ψ e γ λ (1 γ 5 )ψ νe + ψ µ γ λ (1 γ 5 )ψ νµ. (3.7) Hier is γ 5 = iγ 0 γ 1 γ γ 3. In (3.6) is G F een constante met dimensie massa. G F is ongeveer gelijk aan 10 5 /(m p ) GeV, als m p de massa van het proton in GeV is. De voor het muonverval relevante bijdrage aan (3.6) is dan: L G F [ ψ e γ λ (1 γ 5 )ψ νe ψνµ γ λ (1 γ 5 )ψ µ ] + h.c. (3.8) 3. De zwakke interacties en pariteit Waarom de keuze (3.7) voor de zwakke stroom? Het Fermi model, in de vorm (3.8), is een fenomenologisch model, gebaseerd op overeenkomst met het experiment. A priori is de meest algemene vier-fermion interactie voor het muonverval, die invariant is onder beperkte Lorentz transformaties, van de vorm: L I ψ e O I (a + bγ 5 )ψ νe ψνµ O I ψ µ + h.c. (3.9) met I = S, V, T, A, P en O I : O S = I scalair, O V = γ λ vector, O T = [γ λ, γ ρ ] tensor, O A = γ λ γ 5 axiale vector, O P = γ 5 pseudoscalair. De keuze (3.8) wordt daarom het V-A model genoemd. Zoals gezegd is (3.8) invariant onder beperkte Lorentz transformaties. Dit zijn de Lorentz transformaties die continu met de eenheid zijn verbonden. Daarnaast zijn er de pariteitstransformatie, die de ruimtelijke coördinaten x i van teken verandert, en de tijdomkeertransformatie, die x 0 van teken verandert. De interactie Lagrangedichtheid (3.8) is niet invariant onder pariteitstransformaties, en de door dit model beschreven zwakke interacties behouden dus pariteit niet. Dit is in overeenstemming met de in 1956 ontdekte breking van pariteit [16, 17]. Wat breking van pariteit betekent laten we aan de hand van een voorbeeld zien. Onder een pariteitstransformatie gaat x 0 x 0, x x. Ook de richting van de impuls verandert, maar die van het impulsmoment (spin) niet. Beschouw nu het verval van een gepolariseerd muon voor (A) en na (B) een pariteitstransformatie (zie fig. 3.1). 1

Als pariteit behouden is, dan moet de eindtoestand van het pariteitsgetransformeerde proces (B) met dezelfde waarschijnlijkheid voorkomen als de eindtoestand bij (A). Dus als Γ(θ) de waarschijnlijkheid (ook wel vervalsbreedte genoemd) is voor het uitzenden van een electron onder een hoek θ, dan zou moeten gelden Γ(θ) = Γ(θ π). Uit experimenten is gebleken dat dit niet het geval is, pariteit is dus gebroken. Het V-A model van Feynman en Gell-Mann blijkt het verval van het muon correct te beschrijven. Figuur 3.1 Verval van een gepolariseerd muon in rust voor (A) en na (B) een pariteitstransformatie. Onder de pariteitstransformatie verandert de richting van de electronimpuls, maar de richting van de spin van het muon blijft hetzelfde. Een berekening van dit vervalsproces in het vier-fermi model levert de levensduur τ µ van het muon in rust (met m e = 0): (τ µ ) 1 = G F m5 µ 19π. (3.10) Op dimensionele gronden hadden we al kunnen bepalen dat het resultaat evenredig moet zijn met G F m5 µ. In onze eenheden heeft een levensduur dimensie massa 1. De amplitude voor het proces is evenredig met G F, de waarschijnlijkheid voor het proces dus met G F. Dan moet een factor (m µ) 5 voor de juiste dimensie zorgen. In hoofdstuk 1 hebben we al opgemerkt dat de verschillende generaties leptonen en quarks zich op dezelfde wijze gedragen, en een soort replica van elkaar zijn. Daarom verwachten we voor de vervalsbreedte van het τ-deeltje naar leptonen dat ( ) 5 Γ(τ e mτ + ν e + ν τ ) = Γ(µ e + ν e + ν µ ), m µ Γ(τ e + ν e + ν τ ) = Γ(τ µ + ν µ + ν τ ). De veronderstelling hierbij is dat G F de sterkte van alle zwakke processen bepaalt. Dit noemen we wel de universaliteit van de zwakke interacties. Dit is in goede overeenstemming met de experimentele gegevens. We verwaarlozen in de tweede van bovenstaande relaties de massa van het muon ten opzichte van die van τ-deeltje.

3.3 Het gedrag van het Fermi model bij hoge energie Toch is het V-A model voor de zwakke stroom (3.7) (waaraan we nog een term met τ en ν τ kunnen toevoegen) met de vier-fermion interactie (3.8) geen bevredigende theorie voor de zwakke interacties. Dat zien we bijvoorbeeld door te kijken naar het proces ν µ e ν µ e. (3.11) We kijken naar de werkzame doorsnede van dit proces. Deze heeft de dimensie van een oppervlakte. De amplitude voor dit proces is evenredig met G F, dus σ is evenredig met G F. Verder bekijken we dit proces bij hoge energie, zodat we de massa van het electron ten opzichte van de neutrinoimpuls kunnen verwaarlozen. De enige dimensievolle grootheid die overblijft is dan de neutrinoimpuls. Dus moeten gelden: σ G F k. (3.1) Dus σ neemt toe met k. Dit is in strijd met het behoud van waarschijnlijkheid. We weten dat de differentiële werkzame doorsnede geschreven kan worden als: met de verstrooiingsamplitude dσ dω = 1 k F(k, cosθ), (3.13) F(k, cosθ) = l (l + 1)f l (k)p l (cosθ). (3.14) Verder moet worden voldaan aan de unitariteitsrelatie (behoud van waarschijnlijkheid) Imf l f l (3.15) (zie [18], blz. 384). Maar uit (3.1) blijkt dat f l (k) evenredig is met k. Bij hoge impulsen wordt dus niet meer aan (3.15) voldaan. Dit gebeurt in de beurt van k 1/G F = 10 5 m p. Dus bij een energieën in de buurt van 300 GeV voldoet het Fermi model niet meer. Een alternatief is om de zwakke interacties te beschrijven met behulp van de uitwisseling van vector deeltjes, net zoals het electromagnetisme. Dat betekent dat we in de berekening van bijvoorbeeld het muonverval het Feynman diagram van de vier-fermion interactie vervangen door een diagram met uitwisseling van een geladen vectordeeltje, waarbij de interactiesterkte evenredig is met een dimensieloze koppelingsconstante g. We zien dat de factor G F bij de berekening van het diagram in feite wordt vervangen door de constante g vermenigvuldigd met de propagator van dat veld: G F g k M + iɛ, (3.16) 3

waarbij M de massa van het vectorveld is. Voor de vervalsbreedte betekent dat G F ( g k M ). (3.17) Figuur 3. Diagrammen voor µ-verval in de vier-fermion theorie van Fermi, en in een theorie met uitwisseling van een vector deeltje. Bij lage energie kunnen we de impuls verwaarlozen ten opzichte van M, en zien we dat ( ) g G F. (3.18) M Dit geeft voor het muon verval, waarbij de impulsen inderdaad klein zijn, hetzelfde resultaat geeft als de vier-fermion theorie. In een verstrooiingsproces bij energieën die veel groter zijn dan M moeten we echter de vervanging ( ) g G F (3.19) maken. Dat betekent dan dat (3.1) zich gedraagt als 1/k. De problemen die bij het Fermi model voor hoge energie ontstaan zijn daarmee opgelost. We kunnen natuurlijk voor allerlei processen tussen leptonen kijken naar het hoge-energie gedrag van de werkzame doorsnede. Als we eisen dat de werkzame doorsnede niet te snel groeit, kunnen we successievelijk alle ingrediënten van het GSW model achterhalen. Een dergelijke analyse is gedaan in [19, 0]. 3.4 Het massieve vectorveld Bij de beschrijving van de zwakke interacties door middel van uitwisseling van massieve vectorvelden hebben we natuurlijk de propagator van dergelijk velden nodig. k 4

De theorie van massieve vectorvelden staat bijvoorbeeld beschreven in [1]. Voor een massief vectorveld V µ gaan we uit van de Lagrangedichtheid: met: L = 1 4 F µνf µν + 1 m V µ V µ, (3.0) F µν = µ V ν ν V µ. (3.1) De massaterm in L is hier zo gekozen dat de ruimtelijke componenten positief bijdragen aan de Hamiltondichtheid. De bewegingsvergelijking is: Contractie met ν geeft: ν ( µ V µ ) µ µ V ν m V ν = 0. (3.) zodat de bewegingsvergelijking vereenvoudigd tot: ν V ν = 0, (3.3) V µ + m V µ = 0. (3.4) Dus elk van de componenten van het vectorveld voldoet aan de Klein-Gordon vergelijking. Merk op dat de Lorentz conditie (3.3) hier een onderdeel van de bewegingsvergelijking is (als m 0!) en niet een ijkconditie. Quantisatie, en de bepaling van de twee-puntsfunctie (propagator) verloopt het eenvoudigst in analogie met de Maxwell-theorie. Voeg een term λ( µ V µ ) toe aan de actie, bepaal de propagator en neem vervolgens de limiet λ 0. Dit geeft voor de twee-puntsfunctie: i [ g ρσ k m + iɛ k ρk σ m 1 k m + iɛ ]. (3.5) De laatste term in (3.5) is evenredig met de impulsen van de propagator. In het geval dat het massieve vectorveld alleen interacties heeft van de vorm L int V µ j µ met µ j µ = 0, (3.6) zal deze laatste term niet bijdragen bij de berekening van diagrammen. Dan blijft effectief dus alleen de eerste term in (3.5) over. Dit is wat we gekregen zouden hebben in de limiet λ 1. 5

4 Het GSW-model: zwakke interacties van leptonen In de vorige sectie hebben we duidelijk gemaakt dat het invoeren van massieve vectorvelden in de theorie van de zwakke interacties onvermijdelijk is, als we zwakke processen ook bij hoge energieën goed willen beschrijven. Bij het invoeren van vectorvelden zullen we uitgaan van locale ijkinvariantie. Een Yang-Mills theorie voor de zwakke interacties is in de jaren zestig geconstrueerd door Glashow, Salam en Weinberg [, 3, 4, 5]. In dit hoofdstuk zullen we het lepton gedeelte van dit model construeren. 4.1 De symmetrie van de zwakke interacties We zullen ons beperken tot leptonen van de eerste generatie, dat wil zeggen, het electron en het electronneutrino. De zwakke stroom is dan (3.7) j µ = ψ ν γ µ (1 γ 5 )ψ e. (4.1) Laten we eerst de rol van de matrix γ 5 duidelijker maken. Omdat (γ 5 ) = 1, kunnen we met γ 5 twee projectieoperatoren maken: Deze projectieoperatoren voldoen aan P ± = 1 (1 ± γ5 ). (4.) P + P = 0, P ± = P ±, P + + P = I. (4.3) De spinoren P ± ψ zijn eigenspinoren van γ 5 met eigenwaarde ±1. De gebruikelijke nomenclatuur is ψ L = P ψ, ψ R = P + ψ, (4.4) waarbij de labels L(R) voor links(rechts)-handig staan. Deze naamgeving is geinspireerd op het feit dat de richting van spin en impuls van ψ L(R) volgens een linksdraaiende (rechtsdraaiende) schroefbeweging met elkaar samenhangen. Merk op dat in de zwakke stroom alleen het linkshandig deel van het electron en het neutrino voorkomt. Voor het electron speelt het rechtshandig deel wel een rol in de electromagnetische stroom, zodat voor het electron essentieel beide handigheden voorkomen. Het neutrino heeft echter alleen zwakke interacties, en dat De handigheid van een fermion wordt ook wel chiraliteit genoemd. Als een fermion een specifieke chiraliteit heeft, spreken we van een chiraal fermion. 6

betekent dat het rechtshandig deel zich op geen enkele manier manifesteert 3. We zullen dan ook veronderstellen, dat het rechtshandig neutrino niet bestaat. Deze veronderstelling over het neutrino moet dan wel in overeenstemming zijn met Lorentz invariantie, met andere woorden, een spinor moet zijn handigheid behouden onder een Lorentz transformatie. Het is gemakkelijk in te zien dat de projectie-operatoren commuteren met infinitesimale Lorentz transformaties, die op fermionen de vorm S = I + 1 4 iɛµν [γ µ, γ ν ] hebben. De eigenwaarde van γ 5 is dus invariant onder beperkte (met de eenheid verbonden) Lorentz-transformaties. Is de handigheid van een spinor ook invariant onder de dynamica van de Diracvergelijking? Dan moet gelden We vinden dat (i m)γ 5 ψ = 0 als (i m)ψ = 0. (4.5) (i m)γ 5 ψ = γ 5 (i + m)ψ, (4.6) zodat alleen voor m = 0 een spinor zijn handigheid behoudt. Dit betekent dat alleen massaloze spinoren een vaste handigheid kunnen hebben. Het neutrino is inderdaad massaloos, en we kunnen dus veilig stellen dat het rechtshandig deel van het neutrino niet bestaat. Na deze lange discussie over de handigheid van fermionen kunnen we nu de ladingen behorend bij de zwakke stroom analyseren. De ladingen behorend bij (4.1) zijn: T + = 1 d 3 xj 0 = d 3 xψ ν,l ψ e,l, (4.7) T = T + = d 3 xψ e,lψ ν,l. (4.8) Zoals we in sectie (1.1) gezien voldoen de ladingen aan dezelfde commutatierelaties als de generatoren van de symmetriegroep. We berekenen dus: [T +, T ] = T 3, (4.9) met: T 3 = 1 d 3 x (ψ ν,lψ ν,l ψ e,lψ e,l ). (4.10) De stromen die horen bij T ± noemen we de geladen zwakke stromen 4 en de stroom bij T 3 de neutrale zwakke stroom. Verder is er voor de leptonen natuurlijk ook nog 3 Behalve eventueel door de zwaartekracht. Ook massaloze deeltjes hebben energie en impuls, en in de algemene relativiteitstheorie manifesteren energie- en impuls-dichtheden zich door een bijdrage aan de zwaartekracht. 4 Geladen omdat [Q, T ± ] 0. Deze ladingen en stromen transformeren dus onder de transformaties van het electromagnetisme, en hebben dan ook een electrische lading. 7

een behouden electrische lading: Q = d 3 xψ eψ e = d 3 x (ψ e,lψ e,l + ψ e,rψ e,r ), (4.11) en een behouden lading die hoort bij het leptongetal L e : Q L = d 3 x (ψ ν,lψ ν,l + ψ e,lψ e,l + ψ e,rψ e,r ). (4.1) De ladingen T ±, T 3 en Q vormen een gesloten algebra met: [T ±, T 3 ] = T ±, [T ±, Q] = T ±, [T 3, Q] = 0, (4.13) terwijl alle ladingen commuteren met Q L. We voeren nu in: Deze ladingen voldoen aan: Q 1 = 1 (T + + T ), Q = 1 i (T + T ), Q 3 = T 3, Y = (Q T 3 ). (4.14) [Q a, Q b ] = iɛ abc Q c, [Y, Q a ] = 0, (4.15) terwijl Q L natuurlijk met Q a, Y commuteert. We zien dat de onderliggende structuur SU() U(1) U(1) is, met Q a de generatoren van SU(), Y en Q L die van de twee U(1) groepen. Zijn de ladingen wel behouden? Oftewel, geldt µ j µ = 0 voor de bijbehorende stromen? Bij het bewijs van ladingsbehoud hebben we de Dirac vergelijking voor de fermion velden nodig, en op grond van onze discussie over chiraliteit en de Dirac vergelijking is het duidelijk dat de ladingen alleen voor m e = 0 behouden zijn. We stellen daarom in eerste instantie de massa van het electron gelijk aan nul, we zullen in het volgende hoofdstuk zien hoe we op een ijkinvariante manier een electronmassa kunnen introduceren. We kunnen het kinetisch deel van de actie nu schrijven als: L = ψ e,l i ψ e,l + ψ e,r i ψ e,r + ψ ν,l i ψ ν,l. (4.16) We voeren nu in het doublet: ψ L = ( ψν ψ e ) L, (4.17) 8

zodat (4.16) wordt: L = ψ L i ψ L + ψ e,r i ψ e,r. (4.18) Deze notatie maakt ook de SU() U(1) structuur duidelijk: in het doublet ψ L werkt SU() en de U(1) factor Y, in het singlet (van SU()) ψ e,r alleen Y. De eigenwaarden zijn van Y = (Q T 3 ) (de zwakke hyperlading) voor de verschillende deeltjes zijn: Y (e L ) = Y (ν L ) = 1 ; Y (e R ) =. (4.19) Alle deeltjes hebben als eigenwaarde van Q L +1, alle anti-deeltjes 1. 4. Zwakke interacties en locale symmetrie De actie (4.18) is invariant is onder SU() U(1) U(1) transformaties. Van een deel van deze symmetrieën willen we locale symmetrieën maken. Bij de locale symmetriegroep moet in elk geval de symmetrie gegenereerd door Q zijn, en, gezien onze ervaringen in sectie (3.3), ook de symmetrie gegenereerd door de ladingen die bij de zwakke stroom horen. Q L commuteert met al deze ladingen, en kan dus afzonderlijk behandeld worden. We zullen ervoor kiezen, de SU() U(1) symmetrie gegenereerd door Q a en Y locaal te maken, en het leptongetal als globale symmetrie te handhaven. De reden voor deze laatste beslissing is, dat er geen enkele aanwijzing is voor een extra kracht die werkt tussen deeltjes met hetzelfde type leptongetal. We zullen dus van SU() U(1) een locale symmetrie maken door ijkvelden in te voeren. Dit gaat op de standaard manier. Voor SU() voeren we drie ijkvelden A a µ in en voor U(1) één ijkveld B µ. De leptonvelden transformeren als volgt onder infinitesimale transformaties We voeren nu covariante afgeleiden in: δψ L = i τ ɛ ψ L + 1 iα ψ L, δψ e,r = 0 +iα ψ e,r. (4.0) D µ ψ L = ( µ ig τ A µ + 1 ig B µ )ψ L, D µ ψ e,r = ( µ + ig B µ )ψ e,r. (4.1) Hier zijn g en g onafhankelijke dimensieloze koppelingsconstanten. Het transformatiekarakter van de ijkvelden is dan af te lezen uit de resultaten in sectie (.3). De actie met locale ijkinvariante wordt nu: L = ψ L iγ µ D µ ψ L + ψ e,r iγ µ D µ ψ e,r. (4.) Naast de kinetische termen hebben we dus interactietermen tussen de leptonen en de ijkvelden: ga a µ ψ L γ µ τ a ψ L 1 g B µ ψl γ µ ψ L g B µ ψe,r γ µ ψ e,r. (4.3) 9

Als we dit uitschrijven dan zien we dat A 1 µ ± ia µ koppelen aan de geladen zwakke stromen, en A 3 µ en B µ aan neutrale stromen. We voeren nu in de velden A µ (het foton) en Z µ (het zwakke neutrale vectorboson), die een combinatie van A 3 µ en B µ moeten zijn. Daartoe gaan we uit van de neutrale bijdragen aan (4.3): ( 1 ga3 µ 1 g B µ ) ψ ν,l γ µ ψ ν,l ( 1 ga3 µ + 1 g B µ ) ψ e,l γ µ ψ e,l g B µ ψe,r γ µ ψ e,r. (4.4) We weten dat het neutrino niet aan het foton koppelt, zodat moet gelden: 1 ga3 µ 1 g B µ = c 1 Z µ, 1 ga3 µ 1 g B µ = c Z µ ea µ, g B µ = c 3 Z µ ea µ, (4.5) waarbij c 1, c en c 3 te bepalen constanten zijn. Kijk tevens naar de kinetische termen: 1 4 F µν(a) a F µν (A) a 1 4 F µν(b)f µν (B). (4.6) We willen dat de normering van het foton zo is dat we 1 4 F µνf µν krijgen, en verder willen we geen koppeling ( µ A ν )( µ Z ν ), want het foton koppelt niet aan neutrale deeltjes. Dan moeten de paren (A 3 µ, B µ ) en (Z µ, A µ ) door middel van een rotatie samenhangen: A 3 µ = cosθz µ + sin θa µ, B µ = sin θz µ + cosθa µ. (4.7) De hoek θ heet de Weinberghoek. Vergelijking (4.5) en (4.7) geven nu: c 1 = g = e sin θ ; c = e cot θ ; c 3 = e tanθ ; e sin θ ; g = e cosθ. (4.8) De interactietermen (4.4), uitgewerkt in termen van A µ en Z µ, worden dan ea µ ψe γ µ ψ e e + 4 sinθ cosθ Z µ( ψ ν γ µ (1 γ 5 )ψ ν + ψ e γ µ ((4 sin θ 1) + γ 5 )ψ e ), (4.9) waarbij we alles weer in de oorspronkelijke spinoren ψ ν en ψ e geschreven hebben. Voor de geladen stromen hebben we de interactie: 1 g [ [ ] 0 A 1 ψν ψe L γµ µ ] [ ] ia µ ψν A 1 µ +. (4.30) ia µ 0 ψ e 30