2 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 2 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i n h o c bussum 20

Deze uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden horen bij Rekenen en wiskunde uitgelegd van Peter Ale en Martine van Schaik. 20 Uitgeverij Coutinho b.v. Alle rechten voorbehouden. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 92 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 h Auteurswet 92 dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 305, 230 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6h Auteurswet 92) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 230 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl). Uitgeverij Coutinho Postbus 333 00 AH Bussum info@coutinho.nl www.coutinho.nl Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever. ISBN 98 90 69 022 NUR 23

Algemeen Vul de volgende dubbele getallenlijnen helemaal in. 5 35 0 8 9 8 0,85 0,9 Getallenlijn boven Boven de streep wordt een afstand van 30 overbrugd in vijf gelijke sprongen. Dit houdt in dat er per sprong 30 : 5 = 6 bij wordt opgeteld. Het gedeelte onder de streep loopt van 0 tot. Hier stelt elke sprong dus : 5 = 0,2 voor. De ingevulde getallenlijn ziet er dus als volgt uit: 30 6 6 6 6 6 5 23 29 35 0 0,2 0, 0,6 0,8 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Getallenlijn midden De getallenlijn gaat boven de streep van 8 naar 9 in vijf gelijke sprongen, die elk : 5 = 0,2 groot zijn. Van het onderste gedeelte is alleen bekend dat 8 zich verhoudt tot. Het principe van de dubbele getallenlijn is dat de getallen boven de streep een constante verhouding met de getallen onder de 0,2 0,2 streep hebben. De verhouding is in dit geval 8 : 0,2 0,2 0,2 = 32. Het volgende getal boven de streep is 8,2. Het getal eronder is dan 8,2 32 = 82 320 = (via grootste gemene deler) 60. Zo is elk getal in deze lijn te achterhalen. 8 8,2 8, 8,6 Of je beredeneert het onderste gedeelte van de getallenlijn als volgt: = 8 8,8 9 32. Het laatste getal, onder de 9, moet dan wel 9 32 zijn. Het verschil van begin tot eind van de getallenlijn is dus 32. Die afstand verdeel je over 5 stappen van 32 : 5 = 2 3 8 60. Vervolgens reken je de andere stappen uit. 32 = 0 60, en 9 60 80 60 elke stap komt er 60 bij. De volgende stappen zijn dus, 60, 2 0 32 60, enzovoort. Vergeet niet te vereenvoudigen als dat kan. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 3/9

5 6 6 6 6 6 23 29 35 De ingevulde getallenlijn ziet er dus als volgt uit: 0 0,2 0, 0,6 0,8 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 8 8,2 8, 8,6 8,8 9 60 2 80 3 60 0 9 32 Getallenlijn onder Bij deze rij beginnen we bij het onderste gedeelte, omdat daar het meeste van bekend is. In deze rij zijn er vier gelijke sprongen nodig om van 0,85 naar 0,9 te komen. Dit is een afstand van 0,025, oftewel 0. Omdat dit in 8,2 vier sprongen gebeurt, 8, komt er per sprong 8,6 8 60 bij. 8,8 9 Kijken we dan naar de verhouding met de getallen boven de streep, zien we dat 0,85 = 8 (is ook het getal dat in het bovenste 2 gedeelte van de getallenlijn 3 aan dit kommagetal wordt 9 60 60 gekoppeld). Het volgende getal is dus 60 8 60 = 0 80 60 60 60 = 60 60 0 60 32 60. Zo is elk getal in deze lijn te achterhalen. Het bovenste gedeelte van deze rij komt dus overeen met de breuk van het kommagetal onder de streep. Deze zijn al berekend voor het achterhalen van de 3 getallen onder de streep 9 en moeten enkel 29 nog 8 vereenvoudigd 60 worden. Dit is goed 80 te doen met de grootste 60 gemene deler. 0 32 De ingevulde getallenlijn ziet er dus als volgt uit: 0,85 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,8825 0,885 0,8935 0,9 0,90625 60 60 60 60 60 0,00625 0,00625 0,00625 0,00625 0,00625 8 60 3 80 60 9 29 0 32 0,85 0,8825 0,885 0,8935 0,9 0,90625 0,00625 0,00625 0,00625 0,00625 0,00625 Verhoudingen Tussen Keulen en Parijs is de afstand op een kaart 3 cm. In werkelijkheid is de afstand 390 km. Op welke schaal is de kaart gemaakt? 3 cm : 390 km, dat is 3 cm : 390.000 m. Dat komt overeen met 3 cm : 39.000.000 cm en dat is te vereenvoudigen tot : 3.000.000. 2 Op een bouwdoos van een model van de Titanic staat De Titanic was 268 meter lang en Schaal : 500. Hoe lang is het model van de Titanic? De schaal is : 500. Het model is dus 500 keer zo klein als het echte schip. 268 m in het echt wordt dus in het model 268 : 500 = 0,536 m = 53,6 cm. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd /9

3 Op een kaart heeft het Noordhollandsch Kanaal een lengte van ongeveer 50 cm. In het echt heeft het kanaal een lengte van 5 km. Wat is de schaal van deze kaart? 50 cm : 5 km, dat is 50 cm :.500.000 cm. Dit is te vereenvoudigen tot : 50.000. Op een kaart van Amsterdam staat schaal : 5.000. De Coentunnel heeft op de kaart een lengte van 6 cm en mm. Hoe lang (in km) is de Coentunnel in het echt? Op de kaart is de Coentunnel 6, cm lang. Volgens de schaal is hij in het echt dan 5.000 x 6, cm lang. Dat is 96.000 cm = 960 m = 0,96 km lang. 5 De directeur van basisschool De Flierefluiter heeft een meevaller van 360,-. Hij gaat dat verdelen over de onderbouw en de middenbouw in de verhouding 3 :. Hoeveel krijgt elke bouw? De onderbouw krijgt 3 en de bovenbouw krijgt. Dat komt neer op: 3 x 360,- = 360,- : x 3 = 560,- en x 360,- = 360,- : x = 2080,-. 6 Fatima maakt nasi voor 5 personen. Voor 6 personen gebruikt zij 500 gram rijst. Hoeveel gram rijst heeft zij nu nodig? Fatima gebruikt 500 : 6 = 83 3 gram per persoon. In totaal heeft ze dus 5 x 83 3 = 250 gram rijst nodig. Anton, Bert en Cees zijn inbrekers. Ze verdelen een buit van 200,- in de verhouding : 2 : 3. Hoeveel krijgen Anton en Bert? Anton ontvangt 6 en Bert ontvangt 2 6 van de buit. Dat is voor Anton 200,- en voor Bert 00,-. 8 In een vergaderzaal zijn onderstaande tafels geplaatst. Hoeveel stoelen zijn er nodig voor vijf tafels? Per tafel zijn er 3 stoelen nodig nog 2 stoelen voor aan beide uiteinden. Bij 5 tafels zijn er dus 5 x 3 2 = stoelen nodig. 9 De verhouding tussen de lengte en de breedte van een rechthoekig weiland is 3 : 2. De totale omtrek is 600 meter. Hoeveel meter is de lengte van het weiland? De omtrek wordt bepaald door tweemaal de lengte en tweemaal de breedte. De halve omtrek is uiteraard 300 en wordt bepaald door de lengte en de breedte. Namelijk lengte breedte = 300. Omdat de verhouding van de lengte : de breedte bekend is, is na te gaan wat de afmetingen van dit weiland zijn. De lengte is dus 3 5 x 300 = 80 meter. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 5/9

0 De schaduw van een kerktoren is,2 meter lang. Een paal van 3 meter hoog staat naast de toren en geeft een schaduw van 2 cm. Hoe hoog is de toren in cm? Een paal van 3 meter geeft een schaduw van 2 cm. De schaduw van de kerktoren is,2 meter. Dat is 20 cm. Deze schaduw is dus 35 keer zo groot als de schaduw van de paal. De kerktoren zal dus ook 35 keer zo groot zijn en dus 3 x 35 = 05 meter. Dat is 0.500 cm. Een astronaut (zonder pak) weegt 80 kg op aarde, terwijl hij met pak 36 kg weegt op de maan. Zijn ruimtepak weegt op de aarde 30 kg. Hoeveel weegt het pak op de maan? De man weegt op aarde 80 kg. Met pak weegt hij 80 30 = 0 kg. Het pak is dus 30 0 = 3 van het totale gewicht van man met pak. De astronaut met pak weegt op de maan nog maar 36 kg. Het ruimtepak weegt op de maan dus 3 08 x 36 = = 9 9 kg. 2 Een auto heeft een snelheid van 90 km per uur. Hoeveel meter legt de auto af in 2 seconden? Wanneer hij 90 km in uur rijdt, rijdt hij 90.000 meter in uur. uur bestaat uit 3600 seconden en dus rijdt hij per seconde 90.000 : 3600 = 25 meter. In 2 seconden legt hij dus 50 meter af. De berekening kan ook in één keer. Nu deed je namelijk eerst x 000 (om tot meters te komen) en vervolgens : 3600 (om tot seconden te komen). Je kunt natuurlijk ook in één keer 90 : 3,6 berekenen om van km/uur naar m/s te komen. 3 Caroline maakt twee soorten grijze verf door zwarte verf en witte verf te mengen. Mengsel maakt zij door bij blikken witte verf 3 blik zwarte verf te doen. Mengsel 2 maakt zij door bij 0 blikken witte verf,2 blik zwarte verf te doen. Welk mengsel heeft de donkerste kleur? Mengsel 2, omdat : 0,5 = 00 : 5 en 0 :,2 = 0 : 8, = 00 : 8. In het laatste geval worden dus 8 blikken zwart toegevoegd aan 00 blikken wit, terwijl in mengsel slechts 5 zwarte blikken verf worden toegevoegd aan 00 witte blikken. Anna mengt liter water en 2 liter siroop. Bert mengt 5 liter water en 3 liter siroop. Cor mengt 6 liter water en liter siroop. Welke limonade is het minst zoet, en welke is het zoetst? Anna: liter water en 2 liter siroop. Bert: 5 liter water en 3 liter siroop. Cor: 6 liter water en liter siroop. Alle limonademengsels zijn goed terug te brengen tot liter siroop. Anna gebruikt bij liter siroop 2 liter water, Bert gebruikt 5 3 = 2 3 liter water. Zijn limonade is dus al zoeter dan die van Anna (gebruikt minder water bij dezelfde hoeveelheid siroop). Cor gebruikt 6 = 2 liter water bij liter siroop. Dat is nog minder dan wat Bert toevoegt. Zijn limonade is dus het zoetst, terwijl die van Anna het minst zoet is. 5 Bij Albert Heijn kost spaghettisaus van Heinz 2,09 per pot van 35 gram. Een pot saus van Grand Italia van 50 gram kost 2,9. Bereken welke saus naar verhouding het duurst is. Beide sauzen zijn qua gewicht te vermenigvuldigen tot 2250 gram. Wanneer je namelijk het kleinste gemene veelvoud zoekt van deze getallen kom je erachter dat 5 x 50 = 2250 en 6 x 35 = 2250. 2,09 x 6 = 2,5 en 2,9 x 5 = 2,5. De Heinzsaus is dus naar verhouding iets duurder. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 6/9

6 Moeder is 3 keer zo lang als haar zoon. Vader is keer zo lang als zijn zoon. Moeder en vader zijn samen 3,5 meter lang. Hoe lang is de zoon? Als de lengte van het kind x is, is de lengte van de vader x en die van de moeder 3x. Samen zijn ze 3,5 meter. We weten dus dat x = 3,5, en dus dat het kind 0,5 meter lang is (een baby dus). Gea en Lea sparen allebei voor hun uitzet. Op een dag leggen ze hun geld bij elkaar. Dan blijkt dat Gea drie keer zo veel heeft gespaard als Lea. Ze tellen het gezamenlijke bedrag: 936,-. Hoeveel euro had Lea gespaard? Je kunt dit op twee manieren berekenen. Gea heeft drie keer zo veel gespaard als Lea. De verhouding waarin Gea en Lea gespaard hebben is dus 3 :. Samen hebben zij 936,- gespaard. Lea heeft hier van gespaard en dat is x 936,- = 23,- Of: G = 3L. G L = 936 3L L = 936 L = 936 : = 23 Eigenlijk doe je hier hetzelfde, je noteert het alleen zonder woorden. 8 Kadisha verliest 60 knikkers. Nu heeft zij nog maar 2 5 deel van wat zij eerst had. Hoeveel knikkers had zij eerst? Kadisha heeft nadat ze 60 knikkers verloren had, nog maar 2 5 deel over. Ze heeft dus 3 5 deel verloren = 60 knikkers. 5 deel is 60 : 3 = 20 knikkers. Eerst had zij dus 5 x 20 = 00 knikkers. 9 Boer A heeft 2 koeien op 3 ha weiland. Boer B heeft 5 koeien op 2 ha weiland. Bij welke boer hebben de koeien de meeste ruimte om te grazen? Deze opgave kun je op twee manieren oplossen, namelijk door het gemiddelde aantal koeien per hectare te berekenen of door te berekenen hoeveel koeien deze boeren zouden hebben bij een gezamenlijk aantal hectare. Bij boer B staan gemiddeld,5 koeien per hectare, terwijl bij boer A 8 koeien per hectare grazen. Boer A zou 8 (= 2 x 2) koeien hebben bij 6 ha, terwijl boer B 5 (= 5 x 3) koeien zou hebben bij 6 ha. Het antwoord moet dus zijn: bij boer B hebben de koeien relatief de meeste ruimte om te grazen. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd /9

Procenten Bereken de uitkomst en beschrijf om welke soort procentensom het gaat. a % van 500 = 90 Voorbeeld van: van getal naar percentage. De vraag is hier namelijk hoeveel procent 90 van 500 is. Het antwoord is 2%, omdat % van 500 = 5 en 5 x 2 = 90 en dus 90 : 500 = 0,02, dat is 2%. b % van 32 = Voorbeeld van: van getal naar percentage. : 0,32 = 2 rest 0,28. 0,28 : 0,32 = : 8. Het gezochte percentage is dus 2 8 %. c % van 68 = 30,6 Voorbeeld van: van getal naar percentage. 30,6 : 0,68 = 5. Het gezochte percentage is dus 5%. d % van 85 =,25 Voorbeeld van: van getal naar percentage.,25 : 0,85 = 5. Het gezochte percentage is dus 5%. e... % van 65 = 9 Voorbeeld van: van getal naar percentage. 9 : 0,65 = 3 rest 0,55. 0,55 : 0,65 = : 3. Het gezochte percentage is dus 3 3 %. 2 Jan verkoopt na het eindexamen zijn readers aan Kees voor,5 per stuk. Hij zegt dat Kees nu 35% minder voor een reader betaalt dan hijzelf vorig jaar. Hoeveel betaalde Jan vorig jaar voor een reader? Voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend.,5 is 65%.,5 : 0,65 =. Het gezochte antwoord is dus,-. 3 Bereken in de volgende gevallen het percentage prijsdaling of prijsstijging. a De prijs van een voordeelurenkaart is gezakt van 5,- naar,-. Voorbeeld van: van getal naar percentage. : 5 = 0,803, wat overeenkomt met ongeveer 8%. De vraag is echter niet hoeveel procent,- van 5,- is, maar wat de prijsdaling is. Die kun je berekenen door te delen door 5 en vervolgens dit van de 00% af te halen ( 5,- is immers 00%). De daling is dus 3% (00-8). Je kunt dit ook op een directere manier berekenen. Namelijk door eerst te kijken naar de daling in geld en dan te berekenen hoeveel procent dat is van het oorspronkelijke bedrag. 5 - =. : 5 = 0,2962, wat overeenkomt met een daling van ongeveer 3%. Dit kun je ook met behulp van de volgende formule oplossen: nieuw oud oud x 00. Dit is een formule die in de economie veel wordt aangeleerd. De formule berekent eerst het verschil tussen de twee bedragen en berekent vervolgens hoeveel procent dat verschil (daling of stijging, negatief of positief) is van het oorspronkelijke bedrag, door te delen door de oude prijs. Om te komen tot percentages moet dit getal nog vermenigvuldigd worden met 00. Voor deze som krijg je dan: 5 5 x 00 = 5 x 00 = -2,96%. Het minteken laat zien dat het hier om een daling gaat. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 8/9

b Een pak melk stijgt in prijs van 0,0 naar 0,80. Voorbeeld van: van getal naar percentage. De stijging is 0,8 0, =,285 wat overeenkomt met een stijging van %. Direct en in de x 00 = ongeveer %. formule: 0,8 0, 0, c Een busreis van 95,- wordt aangeboden voor 00,-. Voorbeeld van: van getal naar percentage. De vraag is hier hoeveel 95 (het verschil tussen de twee bedragen) van de 95 is. 95 95 = 0,996, wat overeenkomt met een percentage van ongeveer 2%. In formule: 00 95 x 95 00 = 95 95 x 00 = -,996... Een daling van ongeveer 2 procent dus. d De prijs van een boek stijgt van 9,50 naar 22,50. Voorbeeld van: van getal naar percentage. De stijging is 3,-. 3 : 9,5 = 0,538, wat overeenkomt met een stijging van ongeveer 5%. De volgende bedragen zijn exclusief 9% btw. Reken ze om tot bedragen inclusief btw. 50,-; 300,-; 250,-; 620,-. 50,- excl. btw = 8,5 incl. btw, omdat 50 x,9 = 8,5. Je kunt het natuurlijk ook als volgt doen: 50 : 00 =,5.,5 is % van de 50, dus 9% is 28,5, 50 28,5 = 8,5. Echter, het is sneller om in één keer 50 x,9 of 50 x 9% te berekenen. Dit komt namelijk op hetzelfde neer, ga maar na! 300,- excl. btw = 35,- incl. btw, omdat 300 x,9 = 35. 250,- excl. btw = 29,50 incl. btw, omdat 250 x,9 = 29,5. 620,- excl. btw = 3,80 incl. btw, omdat 620 x,9 =3,8. 5 De volgende prijzen zijn inclusief 9% btw. Bereken de prijs exclusief btw. 5,-; 32.95,-; 690,-; 25,-. 5,- incl. btw =,06 excl. btw, omdat 5 :,9 (bedenk dat 5 9% is) =,06 en inderdaad,06 x,9 = 5. 32.95,- incl. btw = 2.306,2 excl. btw, omdat 32.95 :,9 = 2.306,2. 690,- incl. btw = 59,83 excl. btw, omdat 690 :,9 = 59,83. 25,- incl. btw = 2,0 excl. btw, omdat 25 :,9 = 2,0. 6 Op boeken is de btw niet 9%, maar slechts 6%. In de boekhandel kost een encyclopedie 5,-. Wat is de prijs zonder btw? 5,- :,06 = 65,09. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 9/9

De prijs van een artikel steeg gedurende de eerste zes maanden van 200 met 5%. Gedurende de volgende zes maanden van 200 steeg de prijs met 3%. Wat was de prijsstijging over het hele jaar 200? Dit is een voorbeeld van vermenigvuldigen van percentages die bekend zijn en dus een voorbeeld van samengestelde interest. Je kunt een aanname doen van 00%, bijvoorbeeld dat dit 200,- is. Wanneer de eerste stijging plaatsvindt, kost dit artikel 20,- (= 200,- x,05). Na de tweede stijging kost het artikel 20,- x,03 = 26,30. Kennelijk is er dus een stijging geweest van 6,30 ten opzichte van 200,-. Dat is een stijging van 6,3 : 200 = 0,085; een stijging van 8,5% dus. Dit kan natuurlijk ook veel directer. Namelijk door,05 x,03 te berekenen, dit is,085 en dus is er een stijging van 8,5%. 8 Een pak koffie van,85 wordt 8% duurder. Met welk getal moet je de oude prijs vermenigvuldigen om de nieuwe prijs te vinden? Wat wordt de nieuwe prijs? Je moet,85 vermenigvuldigen met,08 om de nieuwe prijs te vinden. Dit wordt dan,998, dat zal worden afgerond op 2,-. Dit is een voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend. 9 De witgoedwinkel geeft korting op een lcd-tv: van 950,- voor,-. Hoeveel procent korting is dat? Dat is 22% korting; de korting is namelijk 209,- en 209 : 950 = 0,22. Dit is een voorbeeld van: van getal naar percentage. 0 Actie! Kortingspercentage gelijk aan de temperatuur! Het is 23 graden buiten. Anita koopt een fiets die zij een tijd geleden voor 5,- zag staan. Hoeveel betaalt zij nu? Zij betaalt nu 23% minder en dus % van het oorspronkelijke bedrag. Dat is dus 5,- x 0, = 88,65. Dit is een voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend. Francien boekt een driedaagse vakantiereis naar Parijs. Omdat zij een eenpersoonskamer reserveert, moet zij 2% extra betalen. Het totale bedrag op haar hotelrekening is 39,-. Hoe hoog is het bedrag dat Francien extra moet betalen? Het totaalbedrag 39,- is 2%, omdat hierin al die 2% extra is opgenomen. Het bedrag dat Francien extra moet betalen is dus 3,39, omdat 39 :,2 = 3,6 en 39-3,6 = 3,39. 2 In 200 zette Lex 200,- op een spaarrekening tegen een vaste rente per jaar. In het eerste jaar kreeg hij 2,- bijgeschreven, terwijl hij niets had opgenomen of had bijgestort. Welk bedrag stond er in 2006 op zijn rekening (ervan uitgaande dat er niets bijkomt of afgaat, behalve de rente-uitkering)? Lex kreeg 2,-. Die 2,- was een bepaald percentage van zijn vermogen. Om te berekenen hoeveel procent rente Lex elk jaar ontvang bereken je 2 : 200. Dat is 0,035, Lex heeft dus een rente van 3,5% per jaar. Gedurende de jaren 200, 2002, 2003, 200, 2005 heeft hij dus 3,5% rente ontvangen en is zijn vermogen van 200 gestegen naar: 200,- x,035 x,035 x,035 x,035 x,035 = 200,- x,035 5 = 25,22. Aan het einde van 2006 (en dus begin 200) zal dit opgehoogd worden naar 5,. Dit is een voorbeeld van: van getal naar percentage en vervolgens samengestelde interest. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 0/9

3 Leonie kreeg van haar opa en oma bij haar geboorte een bedrag op een spaarrekening. De bank geeft elk jaar 2,5% rente. Hoeveel procent rente had ze na twee jaar? Dit is een voorbeeld van samengestelde interest. Ze heeft het eerste jaar namelijk 2,5% rente ontvangen en het tweede jaar ook. Na twee jaar heeft zij dus,025 x,025 =,050625 keer zo veel geld, wat overeenkomt met een rente van 5,06%. Als ze tien jaar is heeft Leonie (zie opgave 3) een bedrag van 23,3 op haar rekening staan. Welk bedrag kreeg Leonie van haar grootouders als de rente al die tijd 2,5% was? Gebruik een geavanceerde rekenmachine. Ook dit is een voorbeeld van samengestelde interest, maar daarnaast wordt er ook gebruikgemaakt van: van percentage naar getal. Startbedrag x,025 0 = 23,3, dus 23,3 :,025 0 = startbedrag. Het startbedrag is dus 908,3. 5 Een student scoort 22 van de 0 punten voor deel A van een rekentoets en 39 van de 60 punten van deel B. In welk deel deed de student het procentueel gezien beter? Wat is over de hele toets zijn percentage goed gemaakte vragen? 22 39 0 = 0,55 en dus 55% van de punten, tegenover 60 = 0,65 en dus 65% van de punten. Deze student deed deel B beter dan deel A. Om het percentage goed gemaakte vragen te berekenen van de totale toets, deel A deel B, kijk je naar het totale aantal vragen en het totale aantal goede antwoorden. De student heeft over de gehele toets een score van 22 39 = 6 punten van de 0 60 = 00 vragen en dus 6% van de vragen goed. Let op: je mag dus niet zomaar het gemiddelde nemen van de percentages van deel A en deel B. (Je zou dan immers rekenen met twee keer 00% van in dit geval twee delen die niet even zwaar zijn. Deel B heeft meer vragen, dus de score die je daar haalt weegt zwaarder in het totale resultaat.) Dit is een voorbeeld van: van getal naar percentage. 6 Bij de aankoop van een broek krijg je 5% korting. Je betaalt 0,-. Hoeveel kostte de broek zonder de korting? 85% is 0,-. 00% is dus 0,- : 0,85 = 82,35 Als iemand zijn geld voor meerdere jaren op de bank zet, krijgt hij ook rente over de rente van de vorige jaren. In onderstaande tabel geeft de bank zelfs een hoger percentage als je het geld langer laat staan. Dubbel voordeel dus. Waarom zal de rente lager zijn als de renteuitkering per maand is? Reken het verschil uit. Spaardeposito jaar 2 jaar 3 jaar jaar 5 jaar 6 jaar 0 jaar 02-02-20,50%,80% 2,20% 2,50% 2,85% 3,20%,00% Bij rente-uitkering per maand is het percentage 0,25 procentpunt lager. De rente is bij maandelijkse betaling lager, vanwege de samengestelde interest (rente-op-rente). Als je het bedrag bijvoorbeeld één jaar laat staan, en je laat per maand uitkeren, krijg je elke maand (,25 : 2)% van je bedrag aan het begin van de vorige maand. Dat levert na twaalf Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd /9

maanden (,000666) 2 =,025 keer het beginbedrag. Dat is dus een percentage van,25%. Als de bank bij maandelijkse uitkering zou vasthouden aan de,5%, zou het percentage over het hele jaar,5% zijn. Daarom verlagen ze het rentetarief (fors) bij maandelijkse uitkering. Breuken Teken de volgende breuken op een getallenlijn: 2, 3 5, 0, 8,, 2 en 3. Maak een schema, zoals hieronder. Wanneer je onder dit schema een getallenlijn tekent en je trekt de uiteinden van het gearceerde gedeelte naar de getallenlijn, dan vind je op de getallenlijn de breuken in de goede volgorde. 0 2 0 2 3 5 3 8 2 3 = 28 9 3 6 = 66 23 = 2 69 5 2 3 = = 88 32 6 5 6 = 29 6 = 6 96 2 3 2 5 = 0 5 6 5 = 5 8 2 = 2 = 3 9 2 3 8 = 6 2 3 2 = 9 2 0 5 6 = 20 2 6 2 = 2 2 2 = 2 2 2 3 2 9 = 22 36 228 36 = 59 36 2 6 3 2 = 6 2 2 = 2 3 8 2 3 30 = 820 30 30 = 82 30 = 8 0 3-5 = 0-5 = 5 5 2 3-6 = - 3 = 6 3-5 = 5 5-3 5 = 2 5 Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 2/9

5-3 = 3 5-5 5 = 3 5 8 3 8-5 2 = 9 2-0 2 = 23 2 = 2 9 3 x 5 = 2 5 5 20 9 x 9 25 = 5 225 = (via grootste gemene deler) 5 of 5 9 x 9 25 = 5 9 9 25 = 5 25 = 5. 2 3 x 3 = 3 x 3 = 6 3 = 9 22 x 20 = 5 x = 5 = 5 x = 3 x = 2 23 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze. a b c d e 3 8 6 23 32 = 0,35 (= 3 x 0,25) = 0,35 (= x 0,0625) = 0,85 (= 23 x 0,0325) = 0,636363 (repeterende breuk) 9 = 0, (repeterende breuk) 2 Schrijf de volgende getallen als breuk. a 0,5 = 5 00 = 9 20 b 0,5 = 5 00 = 2 50 c 0,650 = 650 3 000 = (via grootste gemene deler) 20 d 0,3030 = 3030 0.000 = 303 000 e 0,85 = 85 3 0.000 = (via grootste gemene deler) 6 25 Welke breuk ligt precies in het midden tussen 3 5 en 5? 0 26 Welke breuk ligt precies in het midden tussen 3 en? 2 Welke breuk ligt precies in het midden tussen 6 en 0? 6 = 5 30, 0 = 3 30. Ertussen ligt 30. 28 Zet deze getallen in volgorde van klein naar groot: 5 9, 6,. Gelijknamig maken is hier echt niet nodig (en juist heel veel rekenwerk). Alle breuken zijn namelijk net iets meer dan de helft. Dit zie je helemaal wanneer je teller en noemer van alle breuken verdubbelt, dan ontstaat er namelijk het volgende rijtje: 5 9 = 0 6 = 2 = 8 8 = 2 8 22 = 2 22 = 2 is natuurlijk groter dan 8 en de allerkleinste is 22. In volgorde van klein naar groot krijg je dus: 6 5 9. 29 Welke van deze getallen is het kleinste, en welke het grootste? 3 ; 0,33; 0,3 Je weet hoe 3 er als kommagetal uitziet. Je weet dat dit een repeterende breuk is, met een 0, dan de komma en na de komma oneindig veel drieën. Dat is meer dan 0,33(000 ) en 0,3(000 ) Het kleinste getal van deze rij getallen is 0,3. Het grootste is 3. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 3/9

30 Geef aan welke van deze getallen het kleinste is, en welke het grootste: 23 ; 3,28; 32 8. 23 zegt ons nu nog niet zoveel, daarom is het handig om eerst de helen eruit te halen. Dan ontstaat 23 = 32. 32 8 is natuurlijk kleiner dan 32. En na een beetje gereken kom je er al snel achter dat 3 2 meer is dan 3,28. Het grootste getal uit deze rij is dus 32 en het kleinste getal is 3 2 8 = 3 = 3,25. 3 2 3 : 5 2 = Allereerst is het goed om je te bedenken wat hier gevraagd wordt. Eigenlijk wordt hier gevraagd hoe vaak 5,5 in,666 past. Het antwoord kan dus nooit boven de zijn! Vervolgens kun je gaan rekenen op twee manieren: 2 3 : 5 2 = 3 : 2 = 28 6 : 33 6 = 28 33 6 6 = 28 33 of door de breuken weg te werken, door groter of kleiner te maken. Wanneer je beide getallen vermenigvuldigt met 6 krijg je 28 : 33 = 28 33. 32 6 3 : 2 2 = Bedenk dat dit ruim 2 maal past. 6 3 : 2 2 = 9 3 : 5 2 = 38 6 : 5 6 = 38 5 = 2 8 5. Je kunt ook deze getallen 6 keer zo groot maken. Je krijgt dan 38 : 5 = 38 5 = 2 8 33 2 3 = 6 2 2 3 2 = 2 3 2 3 x 6 5 = 5 3 x 3 5. Je kunt nu de vijven wegdelen,die staan immers in teller en noemer: 3 3 = 3. 35 Voor een ouderavond wordt een koffiezetapparaat voor 50 kopjes gebruikt. Het apparaat wordt voor 00 kopjes gevuld. Voor hoeveel procent is het apparaat gevuld? 00 50 = 2 3 = 662 3 %. 36 In een stad bestaat 3 20 deel van de inwoners uit mannen. Van de vrouwen is deel ouder dan 65 jaar. Hoeveel procent van de vrouwen is ouder dan 65 jaar? Als 3 20 deel van de inwoners mannen zijn, is 20 deel vrouw. Van de vrouwen is deel ouder dan 65 jaar. Hoeveel procent van de vrouwen is ouder dan 65 jaar? De vraag die hier gesteld lijkt te worden is dus: hoeveel is van 20. Dat is natuurlijk 20. Maar dit is een strikvraag: welk deel van de inwoners uit mannen bestaat is niet relevant. Je weet immers al dat van de vrouwen ouder is dan 65, en dat werd gevraagd.,3%. 3 Schrijf de volgende breuken als som van stambreuken. a b c a b c 9 5 9 9 9 = 3 9 5 9 = 2 8 9 = 2 36 5. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd /9

Kommagetallen Schrijf in de wetenschappelijke notatie: 200 =,2 x 0 3 2 32,222 = 3,2222 x 0 3 0,023 = 2,3 x 0-2 6832,9 = 6,8329 x 0 3 5.00.000.000 =, x 0 0 Evenredigheid en omgekeerde evenredigheid Teken grafieken bij de volgende situaties aan en geef aan of het hier gaat om een evenredig of omgekeerd evenredig verband. Bij een belmaatschappij betaal je voor bellen buiten je bundel 0,23 per minuut. Bij een dergelijke situatie is het altijd handig om eerst een tabel te maken met de kosten op een aantal momenten. Vervolgens is het gemakkelijk om de grafiek te tekenen. Hieronder volgt een voorbeeld van de kosten voor bellen buiten je bundel. Het kan natuurlijk zijn dat jij andere punten hebt gekozen (andere momenten), toch zal in dit geval jouw grafiek op dezelfde manier verlopen, met een hellingsgetal van 0,23. Deze grafiek is namelijk lineair. Minuten 0 0 20 30 0 0 0,23 2,3,6 6,9 9,2 kosten in 0 9 8 6 5 3 2 0 0 20 30 0 tijd in minuten Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 5/9

2 Voor een feestje huur je een cateringbedrijf in; de kosten zijn,95 per persoon. Zoals je aan de grafiek kunt zien is ook deze grafiek lineair. Aantal personen 0 2 3 5 6 8 Kosten in 0,95 35,90 53,85,80 89,5 0,0 25,65 3,60 3,60 25,65 kosten in 0,0 89,5,80 53,85 35,90,95 0 2 3 5 6 8 aantal personen 3 Een ander cateringbedrijf doet je het volgende aanbod: Bij minder dan 0 personen 9,95 per persoon. Bij 0 of meer personen, maar minder dan 2 personen,95 per persoon. Bij meer dan 20 personen, slechts 5,95 per persoon. Aantal personen 0 5 9 0 5 20 2 25 30 Kosten in 0 99,5 9,55 9,50 269,25 359,00 33,95 398,5 8,50 500 00 prijs in euro s 300 200 00 0 2 3 5 6 8 9 0 2 3 5 6 8 9 20 2 22 23 2 25 26 2 28 29 30 aantal personen Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 6/9

In de grafiek kun je mooi de twee punten zien waar de prijs wordt aangepast op het aantal personen. Tot 0 personen is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 9,95. Tussen 0 en 20 is de grafiek lineair met een hellingsgetal van,95. Vanaf 2 is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 5,95. Je kunt in de grafiek goed zien dat het goedkoper is om met 0 mensen te eten dan met 9. Ook is het goedkoper om met 2 mensen te eten dan met 20. Deze grafiek is niet continu. Omdat het altijd om hele aantallen mensen gaat, hebben alleen de coördinaten met een hele x-component een betekenis. Daarom is er ook geen grafiek getekend voor punten met een x-coördinaat tussen 9 en 0 en tussen 20 en 2. Voor andere niet hele waarden van x hebben we de lijn wel doorgetrokken, omdat zo inzicht ontstaat in de verhouding van de kosten met het aantal mensen. Je gaat met de auto naar Parijs en vraagt je af hoelang dat zou kunnen gaan duren. De tijd die je erover doet hangt natuurlijk af van de snelheid waarmee je kunt rijden. Daarom maak je de volgende tabel. Snelheid in km/u 50 0 00 20 30 Tijd in uren (uitgaande van 0 km) 9, 6,, 3,9 3,6 Wat je hier ziet is dat wanneer de ene grootheid toeneemt (de snelheid), de andere afneemt (de tijd). Je moet alleen nog nagaan of dat met dezelfde factor gebeurt, om te kunnen stellen dat dit een omgekeerd evenredig verband is. 50 x, = 0; dan moet 9, :, = 6,. Dat blijkt ook het geval te zijn. Je kunt natuurlijk nog controleren of dat voor de andere waarden ook opgaat. Dan blijkt in dit geval inderdaad sprake van omgekeerde evenredigheid. Tijd 0 50 60 0 80 90 00 0 20 30 0 Snelheid km/u Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd /9

5 De A-formaten (A is de bekendste) hebben een bijzondere verhouding ten opzichte van elkaar. Hieronder volgt de grafiek van de oppervlakten in cm² van de verschillende A-formaten. Duizenden 0 8 6 2 0 A0 A A2 A3 A A5 A6 A A8 Ook dit ziet eruit als een omgekeerd evenredige functie, vergelijk hem maar met de grafiek uit de opgave hiervoor. Het rekenkundige gemiddelde Bereken van de volgende data het rekenkundige gemiddelde, en geef de modus en de mediaan. NB: de mediaan mag alleen berekend worden bij een (van klein naar groot) gesorteerde dataverzameling. ; ; 2 ; 35 ; 35 ; 2 ; ; Rekenkundig gemiddelde: 6. Modus: er is in deze rij geen modus, alle waarden komen even vaak voor. Mediaan: voor de mediaan moeten we de getallen eerst sorteren:,,,, 2, 2, 35, 35. Er zijn nu twee medianen: en 2. Bij een even rij getallen wordt voor de mediaan dan meestal het gemiddelde van die twee als mediaan genomen:, in dit geval. 2,5 ; 8,5 ; 9,5 ; 0,5 ;,5 ; 2,5 ; 3,5 ;,5 Rekenkundig gemiddelde:. Modus: er is in deze rij geen modus, alle waarden komen even vaak voor. Mediaan: er zijn in deze rij data twee medianen, namelijk 0,5 en,5. Hun gemiddelde is 0. 3 2 ; 33 ; 5,2 ;,8 ; 3,5 ; 2,5 ; 8, ; 3 Rekenkundig gemiddelde:,535. Modus: 3,5 (deze waarde komt twee keer voor). Mediaan: bij sorteren zie je dat 3 3 en 3,5 de middelste twee getallen zijn. Hun gemiddelde is natuurlijk 3,5. 6,6 ; 9,2 ; 0,5 ; 9,6 ; 0 5 2 ; 9,2 ; 6,6 ; 0 0 Rekenkundig gemiddelde: 8,9625. Modus: 0,5 (deze waarde komt drie keer voor). Mediaan: de middelste twee getallen in de gesorteerde rij zijn 9,2 en 9,6. Hun gemiddelde is 9,. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 8/9

Afronden Rond de volgende getallen af op honderdsten. a 0,888 0,8 b 0,568 0,55 c 9,56 9,5 2 Rond de volgende getallen af op duizendsten. a 0,65 0,65 b 0,568 0,568 c 0,6539 0,65 Som van stambreuken Schrijf de volgende breuken op als som van verschillende stambreuken. 2 3 = 2 6 2 3 = 2 3 3 9 0 = 2 3 5 5 6 = 6 Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 9/9