Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Geen GSM s toegelaten: voor wie tijdens het examen aantoonbaar een GSM bij zich heeft, eindigt het examen onmiddellijk! Leg je studentenkaart duidelijk zichtbaar op je bank. Klap enkel je eigen tafeltje open. Vul, voor je begint, je voornaam, naam, studiejaar en stamnummer in in het bovenste kader van het antwoordblad. Vul vervolgens nauwgezet je stamnummer in, door de gepaste vakjes in de velden A H volledig zwart te maken. Draag er zorg voor dat je geen andere vakjes in deze velden zwart maakt. Op je opgavenblad staat een permutatiecode een getal tussen 1 en 9. Maak het corresponderende vakje zwart in veld I. Het examen telt 25 vragen. Er is slechts één correct antwoord per vraag. Elk correct antwoord levert 1 punt op, een niet-correct antwoord 0 punten: er is geen giscorrectie. De antwoorden op de vragen worden ingevuld door het gepaste vakje zwart te maken in velden 1 25 in de kolommen NET. Met wat je invult in de kolommen KLAD wordt geen rekening gehouden. Gommen en andere correctieve bewerkingen in de NET-kolommen zijn NIET TOEGELA- TEN. Wees kalm, en begin met de vragen die je het makkelijkst lijken. Check, voor je afgeeft, of je NET-kolom volledig (en naar wens) is ingevuld! 1
Formularium Enkele verdelingen Exponentiële verdeling Exp(z β) = 1 β e z/β voor z 0 Gamma-verdeling Ga(z α,β) = 1 β α Γ(α) zα 1 e z/β voor z > 0 Geometrische verdeling Geo(z p) = q z p voor z = 0,1,2,... Binomiale verdeling Bn(z n, p) = ( n z) p z q n z voor z = 0,1,2,...,n Poisson-verdeling Ps(z λ) = e λ λ z /z! voor z = 0,1,2,... Maximale-likelihoodschatters Exponentiële verdeling ˆB ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = x n n xn (1 x n ) Bernoulli-verdeling ˆP ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = n xn Poisson-verdeling ˆΛ ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = n Statistische testen Wald-testen met Wald-teststatistiek w en significantieniveau α 0 test kritiek gebied p-waarde eenzijdig w < z 1 α0 Φ(w) eenzijdig w > z 1 α0 Φ( w) tweezijdig w > z 1 α0 /2 2Φ( w ) Enkele courante fractielen van de standaardnormale verdeling α 100(1 α) z 1 α/2 0,001 99,9 3,29 0,005 99,5 2,81 0,010 99,0 2,58 0,050 95,0 1,96 0,100 90,0 1,64 Enkele verzamelingen van getallen N is de verzameling van alle natuurlijke getallen zonder nul. R >0 is de verzameling van alle (strikt) positieve reële getallen. R 0 is de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen. 2
0 z Oppervlakte onder de standaardnormale densiteit van 0 tot z z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.00000 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.02790 0.03188 0.03586 0.1 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.06749 0.07142 0.07535 0.2 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409 0.3 0.11791 0.12172 0.12552 0.12930 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173 0.4 0.15542 0.15910 0.16276 0.16640 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793 0.5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.20540 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.22240 0.6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.25490 0.7 0.25804 0.26115 0.26424 0.26730 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524 0.8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29673 0.29955 0.30234 0.30511 0.30785 0.31057 0.31327 0.9 0.31594 0.31859 0.32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891 1.0 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214 1.1 0.36433 0.36650 0.36864 0.37076 0.37286 0.37493 0.37698 0.37900 0.38100 0.38298 1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0.39796 0.39973 0.40147 1.3 0.40320 0.40490 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41308 0.41466 0.41621 0.41774 1.4 0.41924 0.42073 0.42220 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189 1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408 1.6 0.44520 0.44630 0.44738 0.44845 0.44950 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449 1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46080 0.46164 0.46246 0.46327 1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46638 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062 1.9 0.47128 0.47193 0.47257 0.47320 0.47381 0.47441 0.47500 0.47558 0.47615 0.47670 2.0 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.48030 0.48077 0.48124 0.48169 2.1 0.48214 0.48257 0.48300 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.48500 0.48537 0.48574 2.2 0.48610 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.48840 0.48870 0.48899 2.3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49010 0.49036 0.49061 0.49086 0.49111 0.49134 0.49158 2.4 0.49180 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361 2.5 0.49379 0.49396 0.49413 0.49430 0.49446 0.49461 0.49477 0.49492 0.49506 0.49520 2.6 0.49534 0.49547 0.49560 0.49573 0.49585 0.49598 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643 2.7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.49720 0.49728 0.49736 2.8 0.49744 0.49752 0.49760 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807 2.9 0.49813 0.49819 0.49825 0.49831 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.49861 3.0 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49896 0.49900 3.1 0.49903 0.49906 0.49910 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.49929 3.2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.49940 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.49950 3.3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.49960 0.49961 0.49962 0.49964 0.49965 3.4 0.49966 0.49968 0.49969 0.49970 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.49976 3.5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.49980 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983 3.6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989 3.7 0.49989 0.49990 0.49990 0.49990 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.49992 3.8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995 3.9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997 4.0 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 3
α z P(X z) = α met X χν 2 verdeeld ν α 0.90 0.95 0.975 0.99 0.999 1 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2 4.605 5.991 7.378 9.210 13.816 3 6.251 7.815 9.348 11.345 16.266 4 7.779 9.488 11.143 13.277 18.467 5 9.236 11.070 12.833 15.086 20.515 6 10.645 12.592 14.449 16.812 22.458 7 12.017 14.067 16.013 18.475 24.322 8 13.362 15.507 17.535 20.090 26.125 9 14.684 16.919 19.023 21.666 27.877 10 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588 11 17.275 19.675 21.920 24.725 31.264 12 18.549 21.026 23.337 26.217 32.910 13 19.812 22.362 24.736 27.688 34.528 14 21.064 23.685 26.119 29.141 36.123 15 22.307 24.996 27.488 30.578 37.697 16 23.542 26.296 28.845 32.000 39.252 17 24.769 27.587 30.191 33.409 40.790 18 25.989 28.869 31.526 34.805 42.312 19 27.204 30.144 32.852 36.191 43.820 20 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315 21 29.615 32.671 35.479 38.932 46.797 22 30.813 33.924 36.781 40.289 48.268 23 32.007 35.172 38.076 41.638 49.728 24 33.196 36.415 39.364 42.980 51.179 25 34.382 37.652 40.646 44.314 52.620 26 35.563 38.885 41.923 45.642 54.052 27 36.741 40.113 43.195 46.963 55.476 28 37.916 41.337 44.461 48.278 56.892 29 39.087 42.557 45.722 49.588 58.301 30 40.256 43.773 46.979 50.892 59.703 31 41.422 44.985 48.232 52.191 61.098 32 42.585 46.194 49.480 53.486 62.487 33 43.745 47.400 50.725 54.776 63.870 34 44.903 48.602 51.966 56.061 65.247 35 46.059 49.802 53.203 57.342 66.619 36 47.212 50.998 54.437 58.619 67.985 37 48.363 52.192 55.668 59.893 69.347 38 49.513 53.384 56.896 61.162 70.703 39 50.660 54.572 58.120 62.428 72.055 40 51.805 55.758 59.342 63.691 73.402 41 52.949 56.942 60.561 64.950 74.745 42 54.090 58.124 61.777 66.206 76.084 43 55.230 59.304 62.990 67.459 77.419 44 56.369 60.481 64.201 68.710 78.750 45 57.505 61.656 65.410 69.957 80.077 46 58.641 62.830 66.617 71.201 81.400 47 59.774 64.001 67.821 72.443 82.720 48 60.907 65.171 69.023 73.683 84.037 49 62.038 66.339 70.222 74.919 85.351 α z P(X z) = α met X χν 2 verdeeld ν α 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 1.016.004.001.000.000 2.211.103.051.020.002 3.584.352.216.115.024 4 1.064.711.484.297.091 5 1.610 1.145.831.554.210 6 2.204 1.635 1.237.872.381 7 2.833 2.167 1.690 1.239.598 8 3.490 2.733 2.180 1.646.857 9 4.168 3.325 2.700 2.088 1.152 10 4.865 3.940 3.247 2.558 1.479 11 5.578 4.575 3.816 3.053 1.834 12 6.304 5.226 4.404 3.571 2.214 13 7.042 5.892 5.009 4.107 2.617 14 7.790 6.571 5.629 4.660 3.041 15 8.547 7.261 6.262 5.229 3.483 16 9.312 7.962 6.908 5.812 3.942 17 10.085 8.672 7.564 6.408 4.416 18 10.865 9.390 8.231 7.015 4.905 19 11.651 10.117 8.907 7.633 5.407 20 12.443 10.851 9.591 8.260 5.921 21 13.240 11.591 10.283 8.897 6.447 22 14.041 12.338 10.982 9.542 6.983 23 14.848 13.091 11.689 10.196 7.529 24 15.659 13.848 12.401 10.856 8.085 25 16.473 14.611 13.120 11.524 8.649 26 17.292 15.379 13.844 12.198 9.222 27 18.114 16.151 14.573 12.879 9.803 28 18.939 16.928 15.308 13.565 10.391 29 19.768 17.708 16.047 14.256 10.986 30 20.599 18.493 16.791 14.953 11.588 31 21.434 19.281 17.539 15.655 12.196 32 22.271 20.072 18.291 16.362 12.811 33 23.110 20.867 19.047 17.074 13.431 34 23.952 21.664 19.806 17.789 14.057 35 24.797 22.465 20.569 18.509 14.688 36 25.643 23.269 21.336 19.233 15.324 37 26.492 24.075 22.106 19.960 15.965 38 27.343 24.884 22.878 20.691 16.611 39 28.196 25.695 23.654 21.426 17.262 40 29.051 26.509 24.433 22.164 17.916 41 29.907 27.326 25.215 22.906 18.575 42 30.765 28.144 25.999 23.650 19.239 43 31.625 28.965 26.785 24.398 19.906 44 32.487 29.787 27.575 25.148 20.576 45 33.350 30.612 28.366 25.901 21.251 46 34.215 31.439 29.160 26.657 21.929 47 35.081 32.268 29.956 27.416 22.610 48 35.949 33.098 30.755 28.177 23.295 49 36.818 33.930 31.555 28.941 23.983 50 37.689 34.764 32.357 29.707 24.674 4
1 We beschouwen een urne met twee rode en drie witte ballen, en we halen op toevallige wijze vier ballen uit de urne, zonder terugplaatsing. Als je weet dat de eerste en de tweede bal een verschillende kleur hebben, wat is dan de waarschijnlijkheid dat de derde en de vierde bal ook een verschillende kleur hebben? A 4 9 B 2 3 C 3 10 D geen van de bovenstaande 2 Beschouw een toevallige steekproef X 1, X 2,..., X n van grootte n uit een exponentiële verdeling met parameter β > 0. We zijn geïnteresseerd in de parameter λ := β 2. Waaraan is de Fisher-informatie I n (λ) voor λ gelijk? A B n λ 2 n 4λ 2 C n λ D n 2λ 4 3 De verdeling van het inkomen X van een gezin kan worden beschreven door een zogenaamde Dagum-verdeling met als densiteit x 2p 1 2p f X (x) = (x 2 + 1) p+1 als x > 0 0 elders waarin p > 0 een positieve reële parameter is. We nemen een steekproef (x 1,x 2,...,x n ) van het inkomen van n gezinnen. Voor economische toepassingen is de parameter q := e 1 p belangrijk. Wat is de maximale-likelihoodschatting ˆq ML (x 1,...,x n ) voor q? A ˆq ML (x 1,...,x n ) = 1 n n i=1 x2 i (x2 i + 1) B ˆq ML (x 1,...,x n ) = n i=1 ( x 2 i ) 1 n C ˆq ML (x 1,...,x n ) = n i=1 D ˆq ML (x 1,...,x n ) = n i=1 ( ) 1 x 2 i +1 n x 2 i ( ) 1 x 2 i +1 n x 2 i 5
4 De bekende frituur Slowpatat doet mee aan een wedstrijd waarin bepaald wordt welke van de 5 deelnemende frituren de beste is. Voor i in {1,2,3,4,5}, noemen we A i de gebeurtenis dat Slowpatat bij de eerste i eindigt. We nemen aan dat Slowpatat een positieve waarschijnlijkheid heeft om op elk van de 5 plaatsen te eindigen. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals? A P(A c 2 A 3 A 3 ) = 1 P(A 2) P(A 3 ). B P(A 3 A 1 A 2 ) < P(A 3 A 2 ). C P(A 2 A c 3 A 5) = 0. D Als P(A 3 ) = 1, dan is P(A 2 A 4 ) = P(A 2 ). 5 We beschouwen een enkelvoudige lineaire regressie van Y op X, waarbij met elke predictor x i een toevallige respons Y i overeenkomt (i = 1,2,...,n), met n > 2. We gaan ervan uit dat alle n predictoren verschillend zijn. We nemen aan dat voldaan is aan alle basisveronderstellingen van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximale-likelihoodmethode geeft dan schatters ˆB 0,ML en ˆB 1,ML en schattingen ˆβ 0,ML = ˆB 0,ML (y 1,y 2,...,y n ) en ˆβ 1,ML = ˆB 1,ML (y 1,y 2,...,y n ) van het intercept β 0 en de helling β 1 in de formule Y = β 0 + β 1 X + ε. Welke van de volgende uitspraken is dan zeker waar? A De lineaire regressielijn van Y op X gaat altijd door ( x 1+x n 2, y 1+y n 2 ). B Als ˆβ 1,ML 0 dan is de lineaire regressielijn van X op Y altijd gegeven door de vergelijking x = 1 ˆβ 1,ML y ˆβ 0,ML ˆβ 1,ML. C De maximale-likelihoodschatters ˆB 0,ML en ˆB 1,ML zijn altijd onafhankelijk en normaal verdeeld. D Als de punten (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) op een rechte liggen en y 1 y 2, dan is de lineaire regressielijn van X op Y altijd dezelfde als de lineaire regressielijn van Y op X. 6
6 Beschouw een discrete toevallige veranderlijke X met waardenverzameling W X = {1,2,3,4,5} en een continue toevallige veranderlijke Y met een densiteit die positief is op [1,5] en 0 daarbuiten. We definiëren twee verzamelingen A en B als volgt: A = {1,2,3} en B = [1,3]. Er is geweten dat P(X A) = P(Y B). Welke van de volgende uitspraken geldt dan niet altijd? A E(I A (X) I B (Y )) = 0. B P(X A) = P(X B). C F X (3) F X (1 ) = F Y (3 ) F Y (1). D P(X {4,5}) = P(Y [4,5]). 7 De waarschijnlijkheid dat het op een willekeurige dag in Gent zonnig is, is 1/5. Annelien, een inwoonster van Gent, is een fervente celliste. Als het zonnig is in Gent, dan speelt Annelien die dag zeker cello. Als het niet zonnig is in Gent, dan is de waarschijnlijkheid dat Annelien die dag cello speelt gelijk aan 1/2. Als je weet dat Annelien cello speelde, wat is dan de waarschijnlijkheid dat het die dag zonnig was in Gent? A 1/5 B 1 C 1/3 D geen van de bovenstaande 8 Twee reële continue toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke densiteit f X,Y (x,y) die alleen van 0 verschilt voor x > 0 en y > 0. X heeft een gammaverdeling met parameters α > 0 en β > 0. Conditioneel op X = x met x > 0, is Y exponentieel verdeeld met parameter β/x. Welke van de volgende uitspraken is dan waar? A X en Y zijn onafhankelijk. B Conditioneel op Y = y, met y > 0, heeft X een gamma-verdeling. C De marginale densiteit van Y voldoet aan f Y (y) = D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. α (1+y) α voor y > 0. 7
9 Het aantal klanten dat binnenkomt in de winkel van Nathalie vormt een Poisson-proces met een tempo λ = 2ln5 per uur. We voeren, gedurende n = 100 openingsdagen, elke dag k het volgende (onafhankelijke) experiment uit: we bepalen de tijd T k van de opening van de winkel tot de eerste klant binnenkomt. We spreken van een succes wanneer die tijd ten hoogste een half uur bedraagt. De toevallige veranderlijke X is het aantal successen: het aantal dagen dat de eerste klant binnen het eerste half uur binnenkomt. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4. B X is benaderend normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4. C X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 80 en standaardafwijking 4. D X is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 20 en standaardafwijking 4. 10 Een student van het vak Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek is vergeten bij het opstellen van het onderstaande kader-met-staafdiagram het steekproefgemiddelde x n te berekenen. 0 1 6 8 10 Een medestudent wil hem het steekproefgemiddelde niet verklappen, maar herinnert hem eraan dat de steekproef uit n 5 experimenten bestond. Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde x n is correct? A x n = 5. B x n = 6. C x n = 7. D Er zijn onvoldoende gegevens beschikbaar om x n te bepalen. 8
11 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven door: ( f X,Y (x,y) = α exp 1 ) 4 (x2 + y 2 ) voor (x,y) in R 2, waarbij α een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X+Y 2 en V = X Y 2. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A U en V zijn onafhankelijk. B α = 1 2π. C De toevallige veranderlijken U en X hebben identiek dezelfde verdeling. D Geen van de bovenstaande antwoorden is correct. 12 De toevallige veranderlijke X is chi-kwadraatverdeeld met v N vrijheidsgraden. Welke begrenzing op P(X < 2E(X)) volgt uit de Markov-ongelijkheid? Hint: We bedoelen wel degelijk de Markov-ongelijkheid, en niet de Chebyshevongelijkheid. A P(X < 2E(X)) 1 2 B P(X < 2E(X)) 1 2 C P(X < 2E(X)) 1 4v D geen van de bovenstaande 13 We nemen een steekproef met grootte n = 10 uit een normale verdeling met parameters µ en σ 2. We weten dat 10 k=1 x k = 100 en 10 k=1 x2 k = 1225. Welke van de volgende intervallen geeft dan een exact eenzijdig 95% betrouwbaarheidsinterval voor σ 2? A [0; 63, 452) B [0; 67, 669) C [0; 13, 299) D [0; 13, 656) 9
14 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige veranderlijke X getekend. F X (x) 1 3/4 1/2 1/8 0 1 2 3 4 x Welke van de onderstaande gebeurtenissen heeft de grootste waarschijnlijkheid? A X < 1 B X = 3 C (X 3) 2 1 D X (3,4] 15 Een toevallige veranderlijke X heeft momentenfunctie M X (t) = e k(et 1), waarin k > 0 een positieve reële parameter is. Waaraan is cov(2 X,3 X ) gelijk? A e 4k e 3k B e 5k e 3k C 2k D e 2k 10
16 Op de onderstaande waarschijnlijkheidsboom zijn niet alle waarschijnlijkheden ingevuld. 2p p E A 1 3 B C D p is een parameter die alle waarden in het interval (0, 1 2 ) kan aannemen. Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? A P(A E) ( 1 2,1). B P(B C D E c ) = p. C P(A c (D E)) = 2 3 p2. D P(B c ) > 2 3. 17 Een spel verloopt in opeenvolgende rondes. De (enige) speler begint met score S 0 = 1. In elke ronde wordt een faire dobbelsteen opgegooid. De score S i na ronde i is de vermenigvuldiging van S i 1 en het gegooide aantal ogen, voor i N. Het spel stopt zodra de score een even getal is. De toevallige veranderlijke T is het aantal gespeelde rondes. Wat is de verwachtingswaarde E(T ) van het aantal gespeelde rondes T? A + B 2 C 1 D geen van de bovenstaande 11
18 Het volgende stukje Matlab-code genereert een realisatie van een toevallige veranderlijke X. X = gammaquantile ( rand (1),2,3) Hierin geeft de functie gammaquantile(z,alpha,beta) het z-fractiel van de gammaverdeling met parameters α = alpha en β = beta. Waaraan is de variantie var(x) van X gelijk? A 1 12 B 6 C 12 D geen van de bovenstaande 19 Beschouw een toevallige steekproef X 1,..., X 20 van grootte 20 uit een standaardnormale verdeling. Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 20 en de steekproefvariantie S20 2 is niet correct? A E(S20 2 ) = 1. B (X 20 ) 2 en S20 2 zijn ongecorreleerd. C X 20 heeft een normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en variantie 1 20. D S 2 20 heeft een χ2 -verdeling met 19 vrijheidsgraden. 20 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven door: { α als 1 f X,Y (x,y) = 4 x2 + y 2 1 0 elders, waarbij α een normalisatieconstante is. Welke van de onderstaande uitspraken is correct? A α = 16 15π. B P(X > Y 2 ) 1 2. C X en Y zijn onafhankelijk. D P(XY > 0) = 1 2. 12
21 De kinetische energie E kin = 1 2 mv 2 van een eendimensionaal deeltje met gekende massa m in een ideaal gas is een toevallige veranderlijke. Dat betekent dat ook zijn snelheid V een toevallige veranderlijke is. De wet van Maxwell Boltzmann impliceert dat 2E kin kt χ 2 -verdeeld is met één vrijheidsgraad. Hierin is k de constante van Boltzmann, en T de absolute temperatuur van het ideale gas (in Kelvin). Welke van de volgende uitspraken kan correct zijn voor alle waarden van T? A V is normaal verdeeld met gemiddelde waarde 0 en variantie kt m. B V 2 is χ 2 -verdeeld met één vrijheidsgraad. C E(E kin ) = kt. D var(e kin ) = (kt ) 2. 22 De toevallige veranderlijke X is Poisson-verdeeld met parameter λ = 1 en de toevallige veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter p = 1/2. Verder is gegeven dat X en Y ongecorreleerd zijn en dat bovendien ook X 2 en Y 2 ongecorreleerd zijn. Waaraan is var(xy ) gelijk? A 0 B 2 C 5 D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden. 13
23 In een peiling door de afdeling Landbouw en Visserij van de Vlaamse Overheid werd in mei 2013 aan n = 750 landbouwbedrijven gevraagd of ze tussen 1 juli en 31 december 2013 investeringen zouden doen. 270 bedrijven beantwoordden deze vraag positief. We willen met deze peiling iets kunnen besluiten over de nulhypothese dat in de laatste 6 maanden van 2013 niet meer dan p 0 = 35% van alle Vlaamse landbouwbedrijven investeringen zullen doen. Hiervoor gebruiken we een (alternatieve) Wald-teststatistiek, waarbij we de standaardfout se 0 onder de nulhypothese p = p 0 gebruiken. Het significantieniveau α 0 waarmee we testen is 5%. Met x i = 1 als het i-de landbouwbedrijf investeert in de laatste 6 maanden van 2013 en x i = 0 als het niet investeert, geeft de volgende tabel de gegevens weer: n n i=1 x i p 0 H 0 α 0 750 270 35% p p 0 5% Welke van de volgende uitspraken is de correcte? A H 0 wordt verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 56,6%. B H 0 wordt niet verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 28,3%. C H 0 wordt verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 28,3%. D H 0 wordt niet verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 56,6%. 14
24 We doen een hypothesetest over de verwachtingswaarde µ van een normaal verdeelde veranderlijke X, waarvan we weten dat var(x) = 1. We weten ook dat de verwachtingswaarde µ van X ofwel gelijk is aan µ 0, ofwel gelijk is aan µ 2 (met µ 2 > µ 0, zie de onderstaande figuur), ofwel gelijk is aan µ 1 := 2µ 0+µ 2 3. De nulhypothese H 0 en de alternatieve hypothese H 1 zien er als volgt uit: H 0 : µ {µ 0, µ 2 }, H 1 : µ = µ 1. In de figuur zijn ook drie verschillende aanvaardingsgebieden AG1, AG2 en AG3 getekend, die overeenkomen met de respectieve testen δ 1, δ 2 en δ 3. We zijn geïnteresseerd in de sterkte S i := 1 β(δ i ) voor elk van de testen δ i, met i in {1,2,3}. µ 0 µ 1 µ 2 AG1 AG3 AG2 Welke van de onderstaande ongelijkheden geldt niet? A S 2 > S 3 B S 1 > S 2 + S 3 C S 1 > S 3 D S 2 > S 1 25 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, en een waarschijnlijkheidsmaat P gedefinieerd op deze gebeurtenissen, waarvoor P(B) > 0. Welke van de onderstaande uitspraken is altijd waar? A Als A en B logisch onafhankelijk zijn, dan geldt P(A B) = P(A)P(B). B Als A en B logisch onafhankelijk, B en C logisch onafhankelijk en A en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A, B en C logisch onafhankelijk. C Als P(A) = P(A B), dan zijn A en B logisch onafhankelijk. D Als A, B en C logisch onafhankelijk zijn, dan zijn A C en B logisch onafhankelijk. 15