Rekenvoorbeelden EC2 Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (4) In de serie met rekenvoorbeelden voor de Eurocode 2 1 ) is in dit artikel dwarskracht aan de beurt. Aan de hand van vier voorbeelden wordt toegelicht hoe de dwarskrachtweerstand en de benodigde dwarskrachtwapening moet worden berekend volgens de Eurocode 2. h = 200 d = 175 Rekenvoorbeeld 1 (EC2, par.6.2) In het eerste voorbeeld wordt de dwarskrachtweerstand V Rd,c berekend van voorgespannen balk zonder dwarskrachtwapening. 1 = 100 A p De balk heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede met = 100 mm, h = 200 mm en d = 175 mm. De betonsterkteklasse is C40/50. Betondrukspanning ter hoogte van het zwaartepunt van de doorsnede ten gevolge van de voorspanning: σ cp = 5,0 N/mm 2 (druk). De balk is niet voorzien van betonstaal, noch als langswapening, noch als dwarskrachtwapening. Rekenwaarde van de betontreksterkte (EC2; art. 3.1.6(2) vgl. (3.16) en tabel 3.1): α ct f ctk,0,05 f ctd = = 1 2,5 γ c 1,5 = 1,66 N/mm2 Als de doorsnede gescheurd is door buiging (EC2; art. 6.2.2 en vgl. (6.2a)): 1 ) De artikelenserie is gebaseerd op het Engelstalige origineel Eurocode 2 - Worked Examples van het Europese Betonplatform en is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. René Braam (TU Delft, fac. CiTG) en afgestemd met Voorschriftencommissie 20. V Rd,c = [C Rd,c k(100ρ l ) 1/3 + k 1 σ cp ] d met als minimum (EC2; art. 6.2.1 vgl. (6.2b)): V Rd,c = (ν min + k 1 σ cp ) d waarin (EC2; art. 6.2.1 vgl. (6.3N) & NB): ν min = 0,035k 3/2 1/2 en k = 1 + 200 2,0 d Voor d = 175 mm is k = 2,0. Met = 40 N/mm 2 is v min = 0,626. In de uitdrukkingen is C Rd,c = 0,18/γ c = 0,18/1,5 = 0,12 en k 1 = 0,15 (EC2; art. 6.2.1 & NB). Echter, omdat voor de langswapeningsverhouding geldt ρ l = A sl / ( d) is deze ρ l = 0 omdat A sl = 0 (geen langswapening in de vorm van betonstaal aanwezig). Dit betekent dat de berekende v min mag worden aangehouden. 90 3 2 0 09
Afkortingen EC2 = NEN-EN 1992-1-1 NB = Nationale Bijlage 1 Dwarsdoorsnede rechthoekige voorgespannen balk uit rekenvoorbeeld 1 (dimensies mm) 2 Dwarsdoorsnede van gewapende T-balk uit rekenvoorbeeld 2 (dimensies mm) Dan is: V Rd,c = (ν min +k 1 σ cp )d d= (0,626 + 0,15 5) 100 175 = 24,08 10 3 N In balkdelen die niet door buiging zijn gescheurd, is de dwarskrachtweerstand begrensd door de treksterkte van het beton. Op basis van de toelaatbare hoofdtrekspanning volgt (EC2; art. 6.2.2(2) vgl. (6.4)): h = 600 d = 550 V Rd,c = Ib w S f 2 ctd + ασ l cp f ctd I = 1 12 bh 3 = 1 12 100 2003 = 66,66 10 3 mm 4 2 = 150 A s S = 100 100 50 = 500 10 3 mm 3 Als wordt uitgegaan van α l = 1, volgt: V Rd,c = 66,66 106 100 (1,66) 2 + 1 5,0 1,66 = 44,33 1 0 3 N 500 10 3 Rekenvoorbeeld 2 (EC2, par.6.2) In het tweede voorbeeld wordt de dwarskrachtweerstand berekend van een gewapende betonbalk met een T-vormige dwarsdoorsnede voorzien van dwarskrachtwapening. Verondersteld is dat een berekening heeft aangetoond dat de dwarskrachtweerstand van alleen het beton (V Rd,c ) ontoereikend is. Berekend wordt de dwarskrachtweerstand van de dwarskrachtwapening, rekening houdend met de voorwaarde dat de weerstand van de betondrukdiagonalen niet mag worden overschreden. = 150 mm h = 600 mm d = 550 mm z = 500 mm Verticale beugels: staafdiameter 12 mm; dubbelsnedig (A sw = 226 mm 2 ); beugelafstand s = 150 mm; betonstaal B500. De berekening wordt uitgevoerd voor betonsterkteklassen C30/37, C40/50 en C90/105. betonsterkteklasse C30/37 = 30 N/mm 2 ; f cd / 1,5 = 20 N/mm 2 ν 1 = ν = 0,6 ( 1 250 )= 0,6 ( 1 30 250 )= 0,528 zodanig dat een optimum wordt gevonden; de dwarskrachtweerstand geleverd door de verticale dwarskrachtwapening is gelijk aan de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.8) en (6.9)): = A sw s z f cotθ = A sw s z f cosθ sinθ V Rd,max = α cw zν 1 f cd cotθ + tanθ = α cw zν 1 f cd sinθ cosθ A sw f sin 2 θ = sν 1 f cd α cw = 1 voor niet-voorgespannen constructies (NB) Hierbij moet worden voldaan aan de volgende voorwaarde met betrekking tot de hellingshoek θ (EC2; art. 6.2.3 vgl. (6.7N)) 1 < cotθ < 2,5 dus is θ > 21,8 en θ < 45 sin 2 θ = = 0,414 150 150 0,528 20 Uit sinθ = 0,643 volgt θ = 40 en cotθ = 1,19. Dan is de dwarskrachtweerstand: = A sw z f cotθ = 226 150 500 435 1,19 = 390,0 103 N betonsterkteklasse C60/75 = 60 N/mm 2 ; f cd / 1,5 = 40 N/mm 2 3 2 0 09 91
Rekenvoorbeelden EC2 ν 1 = ν = 0,6 ( 1 250 )= 0,6 ( 1 60 250 )= 0,456 sin 2 θ = = 0,240 150 150 0,456 40 Hieruit volgt θ = 29,3 en cotθ = 1,78. De dwarskrachtweerstand is: = A sw zf cotθ = 226 150 500 435 1,78 = 583,3 103 N Opmerking Het kiezen van een kleine waarde voor de hellingshoek θ van de betondrukdiagonalen leidt ertoe dat de momentenlijn over een relatief grote afstand moet worden verschoven. Voor verticale beugels (α = 90 ) is deze afstand (EC2 art. 9.2.1.3(2)): α l = z 2 cotθ Opgemerkt wordt dat de uitdrukking voor de afstand waarover moet worden verschoven is afgeleid met een staafwerkmodel met volledige schuifdekking omdat EC2 geen beton-aandeel in rekening brengt als dwarskrachtwapening vereist is (zie voor het begrip volledige schuifdekking ook de toelichting bij NEN 6720 art. 8.1.1 en VARCE vraag 32 in Cement 1992/11). EC2 staat toe de verschuivingsregel te baseren op a l = d, onafhankelijk van de grootte van de hoek θ. Dit is een meestal conservatieve waarde. Immers, de grootste verschuiving treedt op voor cotθ = 2,5. Dan is volgens de theorie a l = 1,25z. Met z = 0,9d volgt a l = 1,13z, hetgeen slechts beperkt groter is dan a l = d. betonsterkteklasse C90/105 = 90 N/mm 2 ; f cd / 1,5 = 60 N/mm 2 ν 1 = ν = 0,6 ( 1 250 )= 0,6 ( 1 90 250 )= 0,384 sin 2 θ = = 0,190 150 150 0,384 60 Hieruit volgt θ = 25,8 en cotθ = 2,07. De dwarskrachtweerstand is: = A sw zf cotθ = 226 150 500 435 2,07 = 678,3 103 N Opmerking In de berekeningen is uitgegaan van een spanning in de dwarskrachtwapening gelijk aan f yd / 1,15 = 435 N/mm 2. Als voor deze spanning een waarde kleiner dan 0,8f yk = 400 N/mm 2 wordt aangehouden, dan mag voor ν 1 een gunstiger waarde worden aangehouden (EC2; art. 6.2.3 & NB): voor < 60 N/mm 2 : ν 1 = 0,6 voor > 60 N/mm 2 : ν 1 = 0,9 f ck > 0,5 200 Rekenvoorbeeld 3 (EC2, par.6.2) In het derde voorbeeld wordt dwarskrachtwapening berekend die benodigd is in een gewapende betonbalk met rechthoekige dwarsdoorsnede om een gegeven rekenwaarde van de dwarskracht V Ed op te kunnen nemen. = 200 mm h = 800 mm d = 750 mm z = 675 mm Verticale beugels; betonstaal B500. zodanig dat een optimum wordt gevonden; de dwarskrachtweerstand te leveren door de verticale dwarskrachtwapening is gelijk aan de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.8) en (6.9)): V Rd,s = V Ed V Rd,max = α cw zν 1 f cd cotθ + tanθ = α cw zν 1 f cd sinθ cosθ = 0,5α cw zν 1 f cd sin2θ ofwel V Ed voor een hellingshoek: θ = 1 2 arcsin 2V Ed α cw ν 1 f cd z waarin voor de hellingshoek θ geldt (EC2; art. 6.2.3 vgl. (6.7N)): 1 < cotθ < 2,5 dus θ > 21,8 en θ < 45 α cw = 1 voor niet-voorgespannen constructies (NB) 92 3 2 0 09
3 Dwarsdoorsnede gewapende rechthoekige betonbalk uit rekenvoorbeeld 3 (dimensies mm) h = 800 d = 750 Betonsterkteklasse C60/75 en V Ed = 900 kn = 60 N/mm 2 ; f cd / 1,5 = 40 N/mm 2 ν 1 = ν = 0,6 ( 1 250 )= 0,6 ( 1 60 250 )= 0,456 θ = 1 2 arcsin 2 900 10 3 = 23,5 1 0,456 40 200 675 Dan is cotθ = 2,30. 3 = 200 A sw V Ed = s zf cotθ = 900 10 3 675 435 2,30 = 1,33 mm2 / mm Pas bijvoorbeeld toe dubbelsnedige beugels Ø12-170 mm (1,33 mm 2 /mm) Betonsterkteklasse C30/37 en V Ed = 600 kn = 30 N/mm 2 ; f cd / 1,5 = 20 N/mm 2 ν 1 = ν = 0,6 ( 1 250 )= 0,6 ( 1 30 250 )= 0,528 θ = 1 2 arcsin 2 600 10 3 = 28,7 1 0,528 20 200 675 Dan is cotθ = 1,83. A sw V Ed = s zf cotθ = 600 10 3 675 435 1,83 = 1,12 mm2 / mm Pas bijvoorbeeld toe dubbelsnedige beugels Ø12-200 mm (1,13 mm 2 /mm) ΔF td = 0,5 V Ed (cotθ cotα) Voor α = 90 (verticale dwarskrachtwapening) is ΔF td = 0,5 600 10 3 1,83 = 549 10 3 N Deze bijkomende trekkracht mag ook worden bepaald met de verschuivingsregel voor de momentenlijn. Voor elementen met dwarskrachtwapening vindt het verschuiven plaats over een afstand (EC2; art. 9.2.1.3(2)): α l = z(cotθ cotα)/2 Het is ook toegestaan te verschuiven over a l = d, zie de eerder gegeven toelichtingen bij de verschuivingsregel. ΔF td = 0,5 V Ed (cotθ cotα) Voor α = 90 (verticale dwarskrachtwapening) is: ΔF td = 0,5 900 10 3 2,30 = 1035 10 3 N Betonsterkteklasse C90/105 en V Ed = 1200 kn = 90 N/mm 2 ; f cd / 1,5 = 60 N/mm 2 ν 1 = ν = 0,6 ( 1 250 )= 0,6 ( 1 90 250 )= 0,384 θ = 1 2 arcsin 2 1200 10 3 = 25,2 1 0,384 60 200 675 Dan is cotθ = 2,12. A sw V Ed = s zf cotθ = 1200 10 3 675 435 2,12 = 1,93 mm2 / mm Pas bijvoorbeeld toe dubbelsnedige beugels Ø12-110 mm (2,06 mm 2 /mm) ΔF td = 0,5 V Ed (cotθ cotα) Voor α = 90 (verticale dwarskrachtwapening) is ΔF td = 0,5 1200 10 3 2,12 = 1272 10 3 N 3 2 0 09 93
4 Dwarsdoorsnede rechthoekige gewapende balk uit rekenvoorbeeld 4 (dimensies mm) Rekenvoorbeelden EC2 Rekenvoorbeeld 4 (EC2, par.6.2) zodanig dat een optimum wordt gevonden; de dwarskrachtweerstand geleverd door de hellende dwarskrachtwapening is gelijk aan de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.13) en (6.14)): In het vierde voorbeeld wordt de dwarskrachtweerstand berekend van een gewapende betonbalk met een T-vormige dwarsdoorsnede voorzien van hellende dwarskrachtwapening. VRd,s = VRd,max : bw = 150 mm h = 800 mm d = 750 mm z = 675 mm A sw zf s (cotθ + cotα) (cotθ + cotα) sinα = αcwbwzν1 fcd _ (1 + cot2θ) bwsν1 fcd cotθ = 1 Asw fsinα Hellende beugels: hoek tussen de dwarskrachtwapening en de as van de ligger (EC2; fig. 6.5): α = 45 ; staafdiameter 10 mm; dubbelsnedig (Asw = 157 mm2); beugelafstand s = 150 mm; betonstaal B500. _ 150 150 0,528 20 cotθ = 1 = 1,98 157 435 0,5 2 Bereken voor cotθ = 1,98 de dwarskrachtweerstand van de hellende beugels: Betonsterkteklasse C30/37. 157 1 VRd,s = 675 435 (1,98 + 1) 2 = 648 103 N 150 2 fck = 30 N/mm2; fcd = fck / 1,5 = 20 N/mm2 ( ) ( ΔFtd = 0,5VRd,s(cotθ cotα) = 0,5 648 103 (1,98 1,0) = 318 103 N fck 30 ν1 = ν = 0,6 1 = 0,6 1 = 0,528 250 250 ) Controleer of de drukdiagonalen bij de maximaal toegestane helling (cotθ = 1,0) voldoen op sterkte (EC2; vgl. (6.15)). Bij hellende dwarskrachtwapening is de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; vgl. (6.14)): (cotθ + cotα) VRd,max = αcwbwzν1 fcd _ (1 + cot2θ) h = 800 d = 750 De dwarskrachtweerstand van de dwarskrachtwapening is (EC2; vgl. (6.13)): Asw VRd,s = zf (cotθ + cot α) sinα s Voor cotθ = 1,0 leidt VRd,s < VRd,max tot de voorwaarde (EC2; vgl. (6.15): A f α ν f sw cw 1 cd bws 2sinα 1 0,528 20 157 435 150 150 2 sin 45 3,04 N/mm2 < 7,47 N/mm2; voldoet. 4 3 2009 94 bw = 150 cementmaar 90_95_21_EC2 94 17-04-2009 15:47:50