Rem- en slipgedrag (3)

Rem- en slipgedrag (3) E. Gernaat (ISBN 978-9-8897-7-) 1 Asbelasting, remkracht en remkrachtverdeling 1.1 Remkrachten en remkoppels We bekijken nu de natuurkundige principes waarop het remmen is gebaseerd 1. In de rekenvoorbeelden maken we gebruik van een standaard-auto met de volgende gegevens (fig. 1): Voertuigmassa 1 kg (Gewicht 1. N); Wielbasis 25 mm (2,5 m); Zwaartepuntligging: zh = 1 mm (1m), zv = 6 mm (,6m); Belaste straal wielen: rb = 3 mm (,3m). Figuur 1: De gegevens van het standaardvoertuig Tijdens het remmen neemt de voertuigsnelheid af. Er is sprake van een verandering van beweging. Volgens de natuurkunde (Newton) is hiervoor een kracht nodig. Er geldt: 1. Op dit werk is de Creative Commons Licentie van toepassing 1

Fr = m x a waarin Fr de remkracht in Newton, m de massa in kg van het voertuig en a de vertraging in m/s 2 voorstelt. Om met een auto van 1 kg massa een vertraging van 4 m/s 2 te bereiken hebben we dus een remkracht nodig van 4 N. De wrijvingskracht tussen band- en wegdek moet echter deze remkracht leveren. Hiervoor geldt: Fw = Fn x µ Fw (N) is de wrijvingskracht, Fn (N) is het gewicht van het voertuig en µ is de wrijvingscoëfficiënt tussen band en wegdek. Er geldt dus: Fr = Fw (remkracht = wrijvingskracht) Vanuit de vorige formules ingevuld geeft dit: m x a = Fn x µ Zie hiervoor (fig. 2). Verder mag bekend worden verondersteld dat de aarde Figuur 2: De remkracht als wrijvingskracht moet gelijk zijn aan de kracht die nodig is om de voertuigmassa te vertragen. trekt aan een zekere hoeveelheid massa in de relatie: Fn = m x g waarin g de aantrekkingskracht van de aarde is, die gemakshalve op 1 m/s 2 (1 g) wordt gesteld. Ons voertuig met een massa van 1 kg weegt dus op aarde 1. N. Wanneer nu het gewicht 1 x zo groot is als massa, dan zal µ wel 1 x zo klein moeten zijn als a. Er was immers gesteld: m x a = Fn x µ Wanneer we dus willen afremmen met een vertraging van 4 m/s 2 dan is hiervoor een wrijvingscoëfficiënt van,4 nodig of andersom wanneer een wrijvingscoëfficiënt van,9 beschikbaar is dat we dan met 9 m/s 2 kunnen remmen. Het 2

remproces begint omdat de bestuurder binnen een bepaalde afstand tot stilstand wenst te komen. Ook kan men zeggen dat de bestuurder een bepaalde remvertraging wenst waarvoor een zekere remkracht (m x a) nodig is. De remkracht moet uiteindelijk door de banden worden opgebracht en het is logisch dat elke band een gedeelte van de remkracht opbrengt. In ons voorbeeld hadden we 4 N remkracht nodig om met een vertraging van 4 m/s 2 te remmen. Wanneer de gewichtsverdeling in de omschreven situatie van de auto 7 : 3 is dan zal een gewicht van 7 N op de vooras drukken en 3 N op de achteras. Bij de gestelde noodzakelijke wrijvingscoëfficiënt van,4 zal de vooras 7 N x,4 = 28 N aan remkracht moeten leveren en de achteras 3 N x,4 = 12 N. Per wiel zal dat dan 14 N resp. 6 N moeten worden. Totaal in elk geval 4 N. De remkrachten zullen overeenkomstig het gewicht op de wielen worden verdeeld (fig. 3). Figuur 3: Bij een vertraging van 4 m/s 2 is de remkrachtverdeling: voor 28 N en achter 12 N 1.2 Het opbrengen van de remkrachten door het remsysteem Om aan de genoemde remkrachten te komen zullen de wielen moeten worden afgeremd. Er is immers een zekere slip nodig om de vereiste wrijvingscoëfficiënt (µ) van,4 in ons voorbeeld te krijgen. Het afremmen van de wielen geschiedt door het remsysteem. De remschijf of trommel dient een remkoppel op te wekken dat overeenkomt met het remkoppel aan het wiel. Per wiel geldt: remkoppel (M) = remkracht (Fw) x belaste wielstraal (rb) Voor: (28 N / 2) x,3 m = 42 Nm (berekening per wiel) Achter: (12 N / 2) x,3 m = 18 Nm 3

Wanneer we uitgaan van een remschijf met een straal van,15 m voor alle wielen dan zal de totale remwrijvingskracht van de schijf per wiel resp: 42 Nm /,15 m = 28 N voor en 18 Nm /,15 m = 12 N achter moeten bedragen (fig. 4). Bij dubbele remblokken komen we dan per schijfkant 35 N u=,4 35 N rb,3 m 28 N,15 m 14 N 14 N 14 N Figuur 4: Het noodzakelijke remkoppel aan het wiel moet worden opgebracht door het remkoppel aan de schijf. aan 14 N resp. 6 N. Bij een µ van,4 tussen de remblokken en schijf betekent dit een aandrukkracht van (Fw = µ x Fn): 14 N /,4 = 35 N voor resp. 6 /,4= 15 N achter Bij een diameter van de remzuigers van 4 mm voor zal dit een remdruk moeten geven van: 35 N / 1 4 π42 = 279 N/cm 2 of 27,9 bar Dit betekent dat (bij een eenvoudig remsysteem) de remdruk achter ook 27,9 bar bedraagt. Om de vereiste aandrukkracht achter te krijgen zal dan de oppervlakte A achter van de remzuigers Opp (A) = 15 N / 279 N/cm 2 (Opp x druk = kracht) A = 5,38 cm 2 moeten worden of een diameter van 26,2 mm (bij eenzelfde diameter remschijf). Om dit rekenen te vereenvoudigen geeft de remmenfabrikant (gelukkig) de overbrengverhouding weer van de remschijf. Deze bedraagt bijv. 2 Nm/bar. Wanneer we weten dat het vereiste remkoppel 42 N/m is dan zal de bestuurder het systeem op een druk van 42 Nm / 2 Nm/bar = 21 bar moeten brengen. Nu is tijdens het remmen de druk in het remsysteem -in principe- 4

overal gelijk. Voor de achterwielen moeten we dus naar een schijf- of trommelremsysteem met een aangepaste overbrengverhouding. In deze situatie is de benodigde overbrengverhouding van de schijf achter: 18 Nm / 21 bar = 9 Nm/bar. Wanneer we de afmetingen van de schijf gelijkhouden dan zal het verschil verkregen moeten worden vanuit de opp. van de remzuigers. 1.3 Remkrachtverdeling In het rekenvoorbeeld zijn we uitgegaan van een bepaalde gewichtsverhouding tussen de voor- en achteras. Verder hebben we de remkrachten aan de wielen uitgerekend voor een vertraging van 4 m/s 2. We voeren nu dezelfde berekening uit voor een vertraging van t/m 1 m/s 2 bij onze gegeven auto met een gewicht van 1. N verdeeld over de voor- en achteras in de verhouding 7:3. De tabel van fig. 5 geeft het resultaat weer. Controleer dit. Deze remkrachtver- Figuur 5: Overzicht van de remkrachten voor een vertraging van t/m 1 m/s 2. deling kunnen we in een grafiek zetten volgens fig. 6. Dit is de grafiek van de zgn. statische remkrachtverdeling. Helaas wordt ten gevolge van het duikeffect van de auto alles ingewikkelder. 1.4 Statische en dynamische as(wiel)belasting In het voorgaande hebben we een zekere gewichtverdeling tussen de vooras en de achteras aangenomen. Wanneer we echter het zwaartepunt van het voertuig weten dan kan de asbelasting bij stilstaand voertuig de zgn. statische asbelasting worden uitgerekend. Omgekeerd kan dit natuurlijk ook: Wanneer we het 5

4 3 9 1 m/s2 Frem achter (N) 2 5 6 7 8 4 1 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Frem voor (N) Figuur 6: Statische remkrachtenverdeling waarbij uitgegaan wordt dat de gewichtverhouding voor en achter gelijk blijft. gewicht van de vooras en de achteras weten dan kan de horizontale zwaartepuntsligging worden bepaald. We doen dit met behulp van de drie evenwichtsvoorwaarden nl.: de som van de horizontale krachten is nul; de som van de verticale krachten is nul; de som van de momenten is nul. Omdat de auto (nog) niet in beweging is zijn er geen horizontale krachten aanwezig. Van de verticale krachten weten we: Gewicht auto (N) = Fn voor + Fn achter of + Gewicht auto (N) - Fn voor - Fn achter = We gaan dan uit van tegengestelde krachten. Ook de som van de momenten is gelijk aan nul. De relatie tussen de momenten komt tot uiting in de zgn. momentenstelling. Met deze stelling kunnen we de belasting van de achteras bepalen. Rechtsomdraaiende momenten gelden als positief en links omdraaiende momenten als negatief. Wanneer we fig. 7 bekijken dan kunnen we de vergelijking opstellen. Momenten t.o.v. de vooras: + 1 m x 1. N - 2,5 m x Fna (N) = (Som momenten = ) Fna = 1. Nm / 2,5 m = 4 N Fnv = 1. N - 4 N = 6 N (Som verticale krachten = ) We hebben nu de asdruk voor en achter bepaald. Gaat het om de wieldrukken dan moeten de waarden door twee worden gedeeld. We nemen dan aan dat het zwaartepunt op de hartlijn van het voertuig ligt en dat we met 2 wielen per as te maken hebben. 6

Figuur 7: Bepaling van de statische asdrukverdeling met behulp van de evenwichtsvoorwaarden. 1.5 Dynamische as (wiel)belasting Tijdens het remmen zal ten gevolge van de ligging van het zwaartepunt de auto gaan duiken. Dit duikeffect zorgt ervoor dat de druk op de vooras groter wordt ten koste van de druk op de achteras. De asdrukken veranderen ten gevolge van de remkrachten. Dit is de zgn. dynamische asbelasting van een voertuig. Het houdt in dat tijdens het remproces de voorwielen een verhoudingsgewijs steeds grotere remkracht kunnen ontwikkelen dan de achterwielen. Met behulp van de momentenstelling kunnen we ook de dynamische asbelasting berekenen. We gaan weer uit van ons standaardvoertuig. We nemen een remvertraging aan van 4 m/s 2. De massa-traagheidskracht grijpt aan in het zwaartepunt (zh = 1 m, zv =,6 m). Deze traagheidskracht (volgens F = m x a) geeft een linksom draaiend koppel op het voertuig en veroorzaakt een duikeffect (fig. 8). Volgens F = m x a moet 4 N aan remkracht worden opgebracht. Dit is tevens de massa-traagheidskracht zoals in het zwaartepunt van fig. 8 is aangegeven. Om de asdrukken bij deze vertraging uit te rekenen maken we weer gebruik van de momentenstelling. De remkrachten zelf grijpen aan op wegdekhoogte en veroorzaken geen moment. T.o.v. de vooras geldt: + 1m x 1. N - 2,5 m x Fna (N) -,6 m x 4 N = Fna = (1. - 24) / 2,5 = 3 N (afgerond) Fnv = 1. N - 3 N = 7 N Voor elke remvertraging kunnen we een dergelijke berekening uitvoeren. Het remsysteem zou deze wieldrukverandering moeten volgen en de remkracht dienovereenkomstig aanpassen. Omdat er door het diameterverschil van de wielremcilinders een vaste lineaire remkrachtverdeling in het remsysteem aanwezig is zal de praktische remkrachtverdeling niet stroken met de (ideale) theoretische. Voor onze standaardauto hebben we voor de remvertragingen van 7

Figuur 8: Ten gevolge van het duikeffect wordt de voorasbelasting groter en de achterasbelasting kleiner. t/m 1 m/s 2 de verschillende asbelastingen uitgerekend. Wanneer de asbelastingen bekend zijn dan kan ook de optimale remkracht worden bepaald. Deze remkrachten vormen t.o.v elkaar de zgn. ideale remkrachtverdeling. De remkrachten zijn verkregen door de asdrukken met de wrijvingscoëfficiënten (µ) te vermenigvuldigen. Zie tabel fig. 9. In fig. 1 zijn de remkrachten grafisch tegen Figuur 9: Tabel van de ideale remkrachtverdeling bij verschillende remvertragingen elkaar uitgezet. De gebogen, bolle lijn van de grafiek is de berekende ideale -na te streven- remkrachtverdeling tussen de voor- en achteras wanneer we rekening houden met het duikeffect van het voertuig. Ideaal wil zeggen dat bij elke remvertraging voor elke as de bijbehorende wrijvingscoëfficiënt benut wordt. 8

4 3 Frem achter (N) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Frem voor (N) Figuur 1: De ideale, na te streven, remkrachtverdeling van de standaard auto Bijv.: wanneer we willen gaan remmen met een vertraging van 4 m/s 2 dan zal de remkracht van 1 kg x 4 m/s 2 = 4 N van ons voertuig volgens de tabel verdeeld moeten worden over de voor- en achteras met 2784 N en 1216 N. Volgens deze verdeling is de benodigde wrijvingscoëfficiënt (µ) tussen banden wegdek voor elk wiel (as),4. Het zal duidelijk zijn dat deze niet lineaire relatie mechanisch moeilijk te realiseren is. Een systeem met variabele wielremcilinderdiameter is weinig reëel. Wanneer we voor een vaste wielremcilinderverhouding kiezen dan zal van de ideale lijn worden afgeweken, aannemend dat de remdruk voor en achter gelijk is. Dit houdt in dat we voor verschillende remvertragingen voor de voor- en achteras verschillende wrijvingscoëfficiënten krijgen. Om de werkelijke remkrachtverdeling weer te geven tekenen we nu een rechte lijn in de grafiek zodanig dat de kromme lijn zo goed mogelijk gedekt wordt. Het snijpunt van beide lijnen ligt dan op een vertraging van 7,4 m/s 2 (fig. 11). In het voorbeeld komen we dan uit op een vaste verhouding van 3,5 omdat bij een remkracht van 7 N op de vooras een remkracht van 2 N op de achteras ontstaat. Uit de werkelijke remkrachtverdeling (de rechte) kunnen we de werkelijke µ-waarde halen. Voorbeeld bij een remvertraging van 4 m/s 2 : Benodigde remkracht, volgens F = m x a is 4 N. Praktische remkrachtverhouding 3,5 (Frv / Fra) Remkracht voor 3,5 / 4,5 x 4 N = 3111 N. Remkracht achter 889 N. Asdruk voor 696 N en achter 34 N (tabel fig. 9) Benodigde wrijvingscoëfficiënt voor (4 m/s 2 ): Remkracht voor / Asdruk voor = 3111 N / 696 N =,45 Benodigde wrijvingscoëfficiënt achter derhalve: 889 N / 34 N =,29. Berekenen we dit ook voor de overige vertragingen dan ontstaat de tabel van fig. 12. 9

4 3 Frem achter (N) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Frem voor (N) Figuur 11: Voor de ideale remkrachtverdelingslijn geldt per wiel (as): µ = a/g (g = 1 m/s 2 ). Voor de praktische remkrachtverdeling zal de wrijvingscoëfficiënt per wiel (as) moeten verschillen om de gewenste vertraging te bereiken. Figuur 12: Tabel van de ideale remkrachtverdeling bij verschillende remvertragingen 1

Wanneer de bestuurder met 4 m/s 2 wil remmen, dan zullen de voorwielen een µ van,45 nodig hebben en de achterwielen,29. Ten opzichte van µ-ideaal (,4) betekent dit dat de voorwielen overberemd zijn en dat bij een glad wegdek met een µ van,4 de voorwielen blokkeren. Bij een remvertraging van 8 m/s 2 zullen de achterwielen een hogere µ nodig hebben dan de voorwielen. Wanneer maximaal,8µ geleverd kan worden zullen de achterwielen blokkeren (fig. 11). De voorwielen zijn overberemd en de achterwielen onderberemd tot 7,5 m/s 2. Hierna zijn de achterwielen overberemd en de voorwielen onderberemd. Meestal rijden we op droog of nat asfalt (µ-max.,9) en zullen we alleen met blokkerende achterwielen te maken krijgen bij grote remvertragingen. Een remdrukbegrenzer kan er voor zorgen dat de remdruk vanaf bijv. 7,5 m/s 2 niet verder kan oplopen. Het risico van blokkerende achterwielen wordt dan voorkomen. Onder gunstige omstandigheden is overberemming en onderberemming tijdens het rechtuit rijden geen probleem zolang de vereiste µ-factor maar gehaald kan worden. Bij remmen in de bocht ligt het anders omdat de drifthoeken van de banden gaan verschillen. We kunnen het voorafgaande ook grafisch voorstellen. Wanneer we bij een ideale remkrachtverdeling het voertuig zullen afremmen met een vertraging van 4 m/s 2 dan zullen alle wielen een µ van,4 aan het wegdek onttrekken en zal de wielslip voor alle wielen gelijk zijn. Bij een reëele remkrachtverdeling met een vertraging van 4 m/s 2 zullen de wielen van de voor- en achteras een verschillende wielslip vertonen (fig. 13). 1, Rechts voor 1, Rechts achter,8,8,6,6 u u,4,4,2,2 2 4 6 8 1 % 2 4 6 8 1 % % slip % slip 1, Links voor 1, Links achter,8,8,6,6 u u,4,4,2,2 2 4 6 8 1 % 2 4 6 8 % slip % slip 1 % Figuur 13: Alleen bij een ideale remkrachtverdeling zal de wielslip voor alle wielen gelijk zijn. 11

1.6 Remdrukbegrenzing Het nadeel van de overberemming van de achteras kan betrekkelijk eenvoudig worden opgelost door het plaatsen van een remdrukbegrenzer. Een remdrukbegrenzer opgenomen in het achterremcircuit zorgt ervoor dat bij een bepaalde remdruk, de druk naar de achterwielen niet verder kan oplopen (zie fig. 14). Bij de vooringestelde druk sluit de klep 2 tegen de veerspanning 5 in. De remdruk in het achterwielcircuit blijft dan nagenoeg gelijk terwijl de remdruk voor verder kan oplopen evenredig met de pedaaldruk. Bij het monteren van een Figuur 14: Een remdrukbegrenzer zorgt ervoor dat de overberemming van de achteras wordt verminderd (tek. ATE). remdrukbegrenzer zal remdrukverhouding overeenkomstig fig. 15 verlopen. Figuur 15: Invloed van de remkrachtbegrenzer op de remkrachtverdeling (tek. ATE) 12

1.7 De remdrukregelaar Bij de remdrukbegrenzer heerst tot het bereiken van de constructief vastgelegde begrenzingsdruk een uitgangsdruk die gelijk is aan de ingangsdruk. Wordt de ingangsdruk (komende van de hoofdremcilinder) groter dan de begrenzingsdruk dan blijft de druk in de uitgaande leiding vanaf dat moment constant. Bij de remdrukregelaar zien we dat de uitgaande druk vanaf het afregelpunt in verminderde mate evenredig toeneemt met de ingaande druk. Er ontstaat dan een knik in de werkelijke remkrachtverdelingslijn (zie fig. 16). De geknikte lijn Figuur 16: Bij de remdrukregelaar zien we dat de uitgaande druk vanaf het afregelpunt in verminderde mate evenredig toeneemt met de ingaande druk (tek. ATE). wordt verkregen door een remkrachtregelaar die is uitgevoerd met plunjer (6) waarin zich een klepje (4) bevindt en een (voorgespannen) veer (7). De drukvermindering wordt verkregen omdat de ingaande druk werkt op een kleiner plunjeroppervlak dan de uitgaande druk. Bestudeer fig. 17. De vloeistof, vanaf de hoofdremcilinder komt bij A1 binnen en verlaat de remdrukregelaar bij kanaal A2. De vloeistof gaat via de inwendige kanalen van de remdrukregelaar en de openstaande klep 4. Op het afregelpunt zal de druk in de kamer 5 zo hoog oplopen dat de plunjer tegen de veerdruk in naar achteren (rechts) wordt gedrukt waardoor de klep 4 sluit. De effectieve oppervlakte van de plunjer is hierbij maximaal en wordt bepaald door de plunjerdiameter. Bij verder oplopen van de druk van de hoofdremcilinder (A1) zal de plunjer zich weer naar voren (links) bewegen waardoor de klep weer opent en vloeistof naar A2 wordt toegelaten. Het effectieve plunjeroppervlak is echter veel kleiner (de vloeistofdruk werkt alleen op de plunjerring). De daardoor oplopende druk bij A2 zorgt er voor dat de klep op een gegeven moment weer sluit. Door dit werkingsprincipe zal de druk naar de achterwielen (A2) altijd evenredig minder oplopen dan het oplopen van de hoofdremcilinderdruk. Er geldt immers: 13

pa2 x A plunjer groot = pa1 x A plunjer klein + C (= veerdruk) Het drukverschil wordt dus bepaald door het verschil in het effectieve plunjeroppervlak. Figuur 17: De remdrukregelaar in doorsnede (tek. ATE) 1.8 De lastafhankelijke remdrukregelaar Wanneer we nu de veerdruk afhankelijk maken van de voertuigbelasting dan wordt het knikpunt ook hiervan afhankelijk. Fig. 18 laat de praktische uitvoering zien met fig. 19 als de bijbehorende regelkarakteristiek. Figuur 18: Doorsnede van de lastafhankelijke remdrukregelaar (tek. ATE) 14

Figuur 19: Grafiek van de lastafhankelijke remdrukregelaar (tek. ATE) 1.8.1 Conclusie Ook een goed ontworpen remsysteem zal nooit onder alle omstandigheden optimaal functioneren. Het probleem zit onder meer in de verschillende bandwegdekcondities. Regen, ijs, beton, asfalt en klinkers geven steeds een andere µ-slip grafiek te zien (fig. 2) waardoor het remsysteem al snel overberekend is en de wielen door de onervarenheid van de bestuurder in het instabiele gebied raken waardoor de remkracht daalt en de bestuurbaarheid afneemt. Situaties waarbij de wielen op een verschillende ondergrond terechtkomen (bijv. een plas water op het wegdek), de zgn. µ-split situaties zijn uiteraard extra gevaarlijk. Ook het remmen in bochten en plotselinge overgangen van droog naar nat wegdek zijn omstandigheden waar zelfs de meest ervaren bestuurders moeite mee hebben. Om onder alle omstandigheden optimaal te kunnen remmen en sturen zal het remsysteem een zekere mate van eigen intelligentie moeten hebben. Door de wielsnelheden te meten kunnen andere noodzakelijke gegevens als wielversnelling en voertuigsnelheid worden berekend. Een antiblokkeersysteem meet het toerental van de wielen, berekent de noodzakelijke gegevens en bepaalt vervolgens of ingrijpen op de remdruk noodzakelijk is. Figuur 2: Verschillende wegdekcondities vragen om een aangepast remgedrag. Een antiblokkeersysteem (ABS) kan er voor zorgen dat er altijd in het stabiele gebied geremd wordt. 15

2 Vragen en opgaven Zie boek 16