SECUNDAIR ONDERWIJS DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN VAKOVERLEG TWEEDE GRAAD ASO en KSO/TSO (leerplan a) Samenstelling syllabus en leiding Hilde De Maesschalck Luc De Wilde Diocesane begeleiding wiskunde september 2012
In dit document vind je de laatste versie van de syllabus die is gebruikt n.a.v. regionale sessies in mei 2012 en in september 2012. Hoewel de syllabus is geschreven om toe te lichten tijdens een sessie denken we toch wel dat de tekst ook inspirerend kan zijn voor wie niet op de sessie aanwezig was. Tijdens de sessie zelf werd gewerkt vanuit opdrachten (zie volgende pagina) en overleg tussen de deelnemers. Vakgroepen die zich verder willen verdiepen in dit thema kunnen bijvoorbeeld de vragen bespreken tijdens een vakoverleg en/of ook kunnen contact opnemen met hun vakbegeleider voor verder overleg waarbij dan ook concreter kan gewerkt worden in functie van de vragen en noden van de vakgroep en de situatie van de school. SG Emmaüs,SG Denderland, SG SALEM, SG Archipel SG Wetteren-Lede, SG Scholen aan de Durme, SG Sint-Nicolaas, SG Beveren-Bazel Hilde De Maesschalck Doorslaarstraat 119 9160 Lokeren tel : 09 355 70 03 hilde.demaesschalck@vsko.be of hildedemaesschalck@telenet.be SG Vlaamse Ardennen, SG Geraardsbergen, SG Ideaal SG Stroming, SG Edith Stein, SG De Bron, SG KOM Luc De Wilde Rechtstraat 217 9160 Lokeren Tel: 09 346 60 31 luc.dewilde@vsko.be of dewildel@skynet.be Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.2
OPDRACHTEN TIJDENS DE SESSIE DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN IN DE TWEEDE GRAAD Opdracht 1 - gemengde groepen (eerste en tweede leerjaar) 1. Definitie -eigenschap kenmerk: Wat betekenen deze begrippen voor jouw leerlingen? Kennen zij het onderscheid tussen deze begrippen? Concreet: Kunnen leerlingen bij volgende beweringen aangeven of het om een definitie, kenmerk, eigenschap(stelling) gaat: Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt die gaat door het midden van de tegenoverliggende zijde. Een gelijkzijdige driehoek heeft drie even lange zijden. De hoogtelijnen in een gelijkzijdige driehoek zijn tegelijkertijd de drie zwaartelijnen. De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die bestaat uit alle punten die even ver van de twee hoekpunten van het lijnstuk liggen. Als twee rechten loodrecht staan op een derde dan zijn ze evenwijdig. Een parallellogram heeft diagonalen die elkaar middendoor snijden. 2. Welke eisen stel je bij het noteren van verklaringen bij redeneringen? Volstaat bv. Pythagoras, verwisselende binnenhoeken, raaklijn, eig. omtrekshoek of verwacht je dat de gebruikte definitie, kenmerk of eigenschap volledig wordt verwoord? 3. Stel volgende opgave: onderzoek of een driehoek met gegeven afmetingen van de zijden een rechthoekige driehoek is. Volstaat dan na de berekening een antwoord ja (neen)? Of verwacht je dat leerlingen noteren ja, want. en volstaat dan Pythagoras of verwacht je een verwijzing naar de omgekeerde stelling van Pythagoras? 4. Krijgen leerlingen vaak opgaven/evaluatievragen waarbij ze mogelijke fouten moeten opsporen in een gegeven redenering? 5. Krijgen leerlingen vaak opgaven/evaluatievragen waarbij ze een gegeven redenering moeten aanvullen (verklaringen)? 6. Krijgen leerlingen vaak opgaven/evaluatievragen waarbij ze enkel de kern of de grote lijnen van een redenering/bewijs moeten aangeven? 7. Krijgen leerlingen vaak opgaven/evaluatievragen waarbij ze een bewering herformuleren in als.. dan? Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.3
8. Welke bewijsmethoden kennen jouw leerlingen? 9. Bespreek je bewijzen met leerlingen die ze naderhand niet moeten studeren? 10. Zijn jouw leerlingen zich ervan bewust dat ze bij het gebruik van bepaalde /begrippen eigenschappen redeneren binnen een bepaald kader (bv. euclidische meetkunde, reële getallen, loodrecht assenstelsel, )? 11. Zijn leerlingen zich bewust van veralgemening van een eigenschap door de leerkracht en het geven van een bewijs? 12. Welke rol speelt het gebruik van ICT bij het denken en redeneren? Maak je geregeld gebruik van applets? Welke? Als demonstratie? 13. Gebruik van symbolen zoals: implicatieteken, equivalentieteken, verbanden tussen rechten, vlakken, : welke symbolen verwacht je dat jouw leerlingen (her)kennen en gebruiken bij het noteren van hun argumentering of redenering? Opdracht 2 - leraren meet lesopdracht in het eerste leerjaar van de tweede graad 1. Welk bewijs geef je voor de stelling van Pythagoras? Geef je meerdere bewijzen voor deze stelling? waarom (niet)? 2. Zie leerplan p. 33 : Mogelijke eigenschappen die kunnen bewezen worden zijn: - Eigenschappen van de middenparallel van een driehoek - De metrische betrekkingen in een driehoek - De bissectrice-eigenschap - De eigenschap in verband met de verhouding van de lijnstukken waarin het zwaartepunt van een driehoek een zwaartelijn verdeelt o Van welke eigenschappen geef je een bewijs? o Hoe worden ze geëvalueerd? o Eventuele andere eigenschappen die worden bewezen? Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.4
3. Zie leerplan p.54-55: A54 : eigenschappen analytisch bewijzen (leerweg 5) Mogelijke eigenschappen die kunnen bewezen worden zijn: - De eigenschap van een middenparallel in een driehoek of een gelijkbenig trapezium - De lengte van de zwaartelijn naar de schuine zijde in een rechthoekige driehoek - De concurrentie van zwaartelijnen in een driehoek - De eigenschap dat in een parallellogram de som van de kwadraten van de lengten van de diagonalen gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengten van de zijden. Van welke eigenschappen geef je een bewijs? Hoe worden ze geëvalueerd? Eventuele andere eigenschappen die worden bewezen? Opdracht 2 - voor leraren met lesopdracht in het tweede leerjaar van de tweede graad 4. Hoe ga je tewerk bij het aanbrengen van volgende stellingen: - Door drie verschillende niet-collineaire punten gaat juist één cirkel. - Het verband tussen omtrekshoek en middelpuntshoek in een cirkel. 5. Uit het leerplan: LPD M6 : Meetkundige constructies verklaren en uitvoeren, zoals : - De raaklijn in een punt van een cirkel - De raaklijnen uit een punt aan een cirkel - De ingeschreven cirkel van een driehoek - De omgeschreven cirkel van een driehoek Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.5
En de wenken (p.62) : De constructies van cirkels die aan gegeven voorwaarden voldoen en van raaklijnen aan cirkels moeten tegelijk teken- en denkproblemen zijn. De leerlingen moeten daarbij een verklaring geven over de gebruikte technieken en procedures en waarom die een antwoord bieden op de gestelde problematiek. Hoe behandel je constructieproblemen? Hoe evalueer je constructieproblemen? 6. Bij de formulering van de inhoudelijke doelstellingen komt vaak (voorafgaand aan bewijzen of veralgemenen van bepaalde eigenschappen) onderzoeken aan bod, bijvoorbeeld: - LPD M2 eigenschappen i.v.m. apothema, straal en koorde onderzoeken (en bewijzen) ; - LPD M 3 de onderlinge ligging van een rechte en een cirkel onderzoeken en de definitie van een raaklijn formuleren - LPD M 13 eigenschappen over de ligging van rechten en vlakken in de ruimte onderzoeken en formuleren - LDP M 7 (lw 5) eigenschappen van regelmatige veelhoeken onderzoeken.. Hoe ga je in de klaspraktijk om met die onderzoekend leren (door de leerlingen) dat voorafgaat aan veralgemeningen, formuleringen of bewijzen? Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.6
DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN 1 SITUERING Het is de bedoeling in deze tekst dieper in te gaan op de leerlijn i.v.m. denk- en redeneervaardigheden die in de leerplannen wordt uitgetekend met in het bijzonder aandacht voor het verder ontwikkelen en verwerven van denk- en redeneervaardigheden in de tweede graad aso In het secundair onderwijs zal elk wiskundeleerproces een evenwicht zoeken tussen enerzijds het aanbrengen en uitzoeken van begrippen en eigenschappen op betekenisvolle situaties en anderzijds het meer formeel verwoorden en argumenteren. Wiskundevorming biedt zo een brede vorming met heel wat mogelijkheden om te differentiëren in functie van de oriëntatie en de mogelijkheden van de leerlingen. Wiskundevorming voegt er inherent redeneren en inzicht aan toe waardoor het stellen van de waarom-vraag en de hoe-vraag in het leerproces van elke leerling belangrijk is. De gewenste graad van nauwkeurigheid en volledigheid bij het weergeven van een argumentatie of redenering is niet absoluut maar is onder meer afhankelijk van het leerjaar en de studierichting. Van leerlingen in een sterk wiskundige richting mag men verwachten dat ze geleidelijk aan overtuigd worden van de noodzaak en het belang van een heldere redenering, dat ze een duidelijk beeld opbouwen van de zin en betekenis van bewijzen in wiskunde en dat ze meerdere bewijsmethoden leren kennen en leren gebruiken. Hierin ligt de meerwaarde van een meer doorgedreven wiskundevorming. Het verwerven van denk- en redeneervaardigheden verloopt niet geïsoleerd maar is onder meer verweven met het verwerven van wiskundige taalvaardigheden en probleemoplossende vaardigheden. Ook de ontwikkeling van vakgebonden attitudes zoals zin voor nauwkeurigheid, zin voor helderheid, bondigheid en eenvoud van taalgebruik, zelfvertrouwen, doorzetting, waardering voor de wiskunde, spoort mee met het verwerven van denk- en redeneervaardigheden. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.7
2 DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN IN DE LEERPLANNEN De leerlingen ontwikkelen (binnen het gekende wiskundig instrumentarium) Eerste graad A Tweede graad aso/kso/tso Derde graad aso/kso/tso 1 Het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen 1V5 2V4 3V4(a-b-c) 2 Het begrijpen van een gegeven eenvoudige redenering of argumentatie bij een eigenschap 1V5 2V4 (eenvoudige) 3V4(a-b-c) (eenvoudige) 3 Het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het onderzoeken van een vermoeden en bij het opbouwen van 1V5 2V4 3V4(a-b-c) een redenering 4 Het opbouwen van een redenering ter verklaring van een eigenschap of de oplossing van een probleem. Dit houdt onder meer in: 2V4 3V4(a-b-c) - Een hypothese (vermoeden) formuleren en argumenteren; - Een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden, een inductieve redenering; - Een gegeven redenering op geldigheid onderzoeken; - Zelf een verklaring of een bewijs opstellen; (in de derde graad kso/tso: niet vermeld voor lp c) - Een eigenschap verantwoorden door de deductieve samenhang met andere eigenschappen aan te tonen; (in de tweede graad kso/tso: enkel vermeld bij lp a; niet vermeld bij 3 V4) 5 Het formuleren van een synthese van een wiskundig probleem door de (deductieve) samenhang met een reeks eigenschappen te geven (enkel in leerweg 5, tweede graad aso) 2V4 (lw5) Zie verder de leerplannen, onder meer ook voor wiskundige taalvaardigheid, probleemoplossende vaardigheden en vakgebonden attitudes die, zoals hoger vermeld, onlosmakelijk verbonden zijn met denk- en redeneervaardigheden. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.8
3 REDENEREN BEWIJZEN LOKAAL DEDUCTIEF WERKEN 3.1 Redeneren In een meer enge betekenisgeving kan redeneren omschreven worden als vanuit een vooropgezette, vastgelegde, afgesproken basisbron van eigenschappen via logische weg/ deductieve weg een bewering onderbouwen. Merk op dat een aantal van de gebruikte termen zowel breed als eng kunnen ingevuld worden. Enge interpretatie Eng zou kunnen betekenen dat bewering staat voor aangeboden stelling, onderbouwen alleen voor bewijsvoering, basisbron alleen voor axiomastelsel. Deze interpretatie hoeft niet noodzakelijk als zinloos aangezien te worden. Ook op die wijze hebben generaties leerlingen leren redeneren. En ook vandaag nog kan men binnen bepaalde delen van wiskunde best het geheel zo rigoureus mogelijk ordenen en onderbouwen. Brede interpretatie Anderzijds kan bij bewering gedacht worden aan het stellen van een hypothese. En dat houdt dan weer in dat situaties eerst onderzocht worden, bv. met voorbeelden en tegenvoorbeelden. Leerlingen kunnen dan actiever betrokken worden. En ze ondervinden dat wiskunde niet een afgewerkt geheel is, dat door de leraar wordt overgedragen, maar een systeem is dat ze kunnen onderbouwen door zelf beweringen te onderzoeken. Zo leren ze dat ze zeker niet alles zonder meer moeten proberen te bewijzen, maar dat ze eerst argumenten moeten verzamelen om na te gaan of een bewering wel plausibel is. Redeneren houdt in dat men werkt op basis van eigenschappen. Dat is moeilijk voor de leerlingen. Het vereist kennis die vlot en op het gepaste ogenblik geactiveerd kan worden. Het is meer dan een berekening maken of een formule toepassen. Het is meer dan een toepassing maken op een eigenschap die net voorheen werd behandeld. Eigenschappen gebruiken houdt ook in dat men ze vlot kan formuleren. De capaciteit van verwoorden is vaak niet toereikend en vraagt dan ook extra aandacht in het leerproces. 3.2 Bewijzen Bij bewijzen kunnen we ons nogal wat vragen stellen: - Is een deductieve aanpak nodig? - Overtuigen we leerlingen door het bewijzen van een exactheid? Stellen leerlingen zich wel de vraag naar een bewijs? - Ondersteunt een bewijs het inzicht? - Werken bewijzen motiverend voor leerlingen? - Dragen gememoriseerde bewijzen bij tot het begrijpen van wiskunde en het beter kunnen toepassen van wiskundekennis? - Welke doelen streven we na met bewijzen? Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.9
Bewijzen hebben drie functies: verificatie, verheldering en systematisering. Het bewijzen van eigenschappen moet ook open getrokken worden naar wiskundig redeneren zoals ook wordt weergegeven in de leerplandoelstellingen. We moeten ook voorkomen dat leerlingen bewijsmethoden als een truc ervaren. In het bewijs van de formule voor het algebraïsch oplossen van een tweedegraadsvergelijking is het belangrijk dat het herschrijven van de gegeven uitdrukking met de toevoeging van bepaalde termen niet als een truc wordt ervaren maar als een weg is om te komen tot het kwadraat van een tweeterm. De uitdrukking wordt dus herwerkt in functie van het te bereiken eindresultaat. Dit is voor leerlingen niet altijd helder en dan zijn ze ook geneigd om bewijzen betekenisloos te memoriseren. Het zoeken naar een bewijs is vaak een vorm van probleem oplossen. Heuristische methoden kunnen leerlingen helpen als er geen specifieke bewijsmethode voorhanden is. Denk aan het specifiek karakter van bewijzen van bepaalde meetkundige stellingen of eigenschappen: schets maken, situatie analyseren, vermoeden formuleren, gegeven, te bewijzen, bewijs, 3.3 Lokaal deductief werken Bewijzen speelt zich af binnen de wiskundewereld. Eén van de functies van een bewijs is systematisering, ordening van (een gebied van) de wiskunde. Strikt genomen is een bewijs van een stelling een afleiding vanuit axioma s, definities en postulaten. In de praktijk maken we bij het redeneren of bewijzen vaak gebruik van eigenschappen die slechts aannemelijk werden gemaakt maar die in feite voorafgaand niet werden bewezen. We spreken dan van lokaal deductief werken of eilanden van deductie. Dit redeneren op basis van lokale ordening doet geen afbreuk aan de wiskundevorming bij leerlingen. Ook bij een lokaal bewijs kunnen leerlingen nagaan of de redenering correct is of niet, moeten leerlingen onderscheid leren maken tussen nodig en voldoende, moeten leerlingen ervoor zorgen niet in een cirkelredenering verzeild te raken, kunnen leerlingen existentiestellingen en universeel gekwantifieerde uitspraken leren onderscheiden. 4 VAKTAAL EN BEGRIPSVORMING I.V.M. DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN 4.1 In het kader van leren denken, redeneren en bewijzen is het noodzakelijk dat aan leerlingen in de loop van het secundair onderwijs de betekenis van volgende begrippen wordt verduidelijkt: - vermoeden, hypothese, definitie, eigenschap, kenmerk of criterium, stelling, - een vermoeden plausibel maken door het geven van voorbeelden - een bewering weerleggen met één tegenvoorbeeld - een stap in een redenering weerleggen met één lokaal tegenvoorbeeld - een stelling bewijzen - cirkelredenering - bewijsmethoden zoals direct bewijs, bewijs door opsplitsing, bewijs uit het ongerijmde, bewijs door volledige inductie, Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.10
4.2 Vanuit passende voorbeelden en situaties moeten leerlingen ook vertrouwd worden met: - het verschil tussen nodig en voldoende ; - het correct gebruiken van als dan ; - het correct hanteren van het implicatieteken in een schriftelijke neerslag ; - het onderscheid tussen gegeven en gevraagde; - het omzetten van een bewering in een implicatie- of equivalentievorm; - het verband tussen niet voor alle en er is een ; - de samenhang van de er is geen en niet voor alle ; - het formuleren van de ontkenning van een bewering; - het begrijpen wat een bewijs is en waarin het verschilt van alledaags redeneren. 4.3 De leerlingen moeten ook het verschil ervaren tussen - het opbouwen van een bewijs (meestal niet top-down, soms door te proberen gegevens en té bewijzen aan elkaar te koppelen kladwerk van het zoekproces aan bord en in werkschrift van de leerlingen) en - het neerschrijven van een bewijs (top-down -zoals bijvoorbeeld in het leerboek voor een aantal bewijzen). 4.4 Bij het noteren van een bewijs moeten we leerlingen ook leren om volledige, nauwkeurige en grammaticaal correcte zinnen te gebruiken. Voorbeelden: Omdat weten we dat.. Veronderstel dat.. dan mogen we besluiten dat.. We onderscheiden volgende gevallen.. Om dit te bewijzen volstaat het dat. want... Uiteraard moet ook een nauwkeurig gebruik van wiskundesymbolen de nodige aandacht krijgen: gelijkheidsteken, implicatieteken, equivalentieteken, de universele kwantor, sommatieteken, symbolen voor congruente figuren, e.d. Diepgang en frequentie waarin het voorgaande aan bod komt doorheen het leerproces van de leerlingen is afhankelijk van de graad en het gevolgde leerplan. Zo biedt in de eerste graad A de gedifferentieerde aanpak, onder meer via de beheersingsniveaus van de doelstellingen, kansen om wiskundig sterke leerlingen de eerste stappen te laten nemen in het leren bewijzen (zie verder). Alle leerplannen van de tweede graad (in het bijzonder aso, kso/tso leerplannen a, b en c) omvatten onder meer een belangrijk deel meetkunde met heel wat mogelijkheden om te leren bewijzen. In de derde graad kunnen (afhankelijk van de studierichting) de soorten bewijsmethoden verder aangevuld en gekaderd worden. Zo kunnen ze ook ervaren dat bepaalde bewijsmethoden een eerder afgebakend domein van toepasbaarheid hebben, bv. bewijs door inductie. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.11
5 DE TWEEDE GRAAD ASO : SCHAKEL TUSSEN EERSTE GRAAD A EN DERDE GRAAD ASO 5.1 Uit het leerplan eerste graad A (pagina s 40-44) V5 Denk- en redeneervaardigheden Wiskunde wordt geassocieerd met een deductief systeem. Wiskunde staat of valt dan met de logische redeneringen en het bewijzen van de eigenschappen. Binnen de wiskunde zelf zijn er echter voldoende ontwikkelingen die aangeven dat ook op andere wijzen aan wiskunde gewerkt wordt en dat wiskunde dus meer is dan eigenschappen bewijzen. Met denk- en redeneervaardigheden worden hier onder meer bedoeld: - onderzoeken en abstraheren (bij de begripsvorming); - veralgemenen (ontdekken van een eigenschap); - analyseren; - synthetiseren; - structureren; - ordenen; - een analoge redenering opbouwen; - argumenteren. Ook in de wiskundevorming in de eerste graad kunnen bij het bewijzen vragen gesteld worden. - Overtuigen we leerlingen door het bewijzen van de juistheid van de bewering? Stellen leerlingen zich wel die vraag? - Ondersteunt een bewijs het inzicht? Draagt een gememoriseerd bewijs bij tot het begrijpen van wiskunde en het beter toepassen van de wiskundekennis of het beter redeneren? - En zelfs: is het aanbieden van bewijzen aan alle leerlingen überhaupt zinvol? Wat gebruik je als modale volwassene nog concreet van die rigoureuze bewijsvorming? Waar en wanneer steun je op die aangeleerde bewijzen? Wiskundevorming wordt dus geconfronteerd met vragen bij een van haar meest essentiële onderdelen en het belang ervan in de vorming van alle leerlingen. Een antwoord hierop wordt dan weer niet gegeven door het bewijzen zomaar weg te laten. We proberen een genuanceerd antwoord te formuleren vanuit drie overwegingen. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.12
- Een eerste overweging is dat er vele vormen van wiskundige vorming zijn. Een aantal leerlingen zal later slechts praktische of (reken)technische gebruiker van wiskunde zijn. Anderen zullen wiskunde heel specifiek nodig hebben als hun vakgebied of als ondersteuning in hun eigen vakgebied. Tussen beide opvattingen ligt wellicht nog een aantal tussenwegen. Vraag is of de leerlingen een gefundeerde keuze kunnen maken tussen deze mogelijkheden, als ze niet geconfronteerd zouden worden met een essentieel deel van de wiskunde. Alles wijst op de noodzaak van een gedifferentieerde aanpak, met vele leerkansen op de verschillende beheersingsniveaus. - Een tweede overweging is dat het bewijzen van eigenschappen moet open getrokken worden naar wiskundig redeneren. Dat betekent: het zoeken en vinden van argumenten bij beweringen om die te onderbouwen en het aanpakken van complexe problemen, via heuristiek: bijv. het probleem vertalen naar een eenvoudiger probleem, op zoek gaan naar patronen, een analoge situatie onderzoeken, bijzondere gevallen onderzoeken, irrelevante details weglaten. Een analoge methodiek kan gebruikt worden bij redeneren, bewijzen en problemen aanpakken. - Een derde overweging is dat het in feite gaat om een wiskundige competentie, of zelfs een combinatie van meerdere competenties: het analyserend redeneren, het probleemgericht aanpakken, het inzetten van de geschikte kennis, het actief kunnen mobiliseren van kennisschema s en het beschikken over voldoende vaardigheid in de technieken. Fasen in het proces van onderbouwen van redeneringen Een redeneerproces start meestal met een bewering. Dat kan een vaststelling zijn vanuit een onderzoeksproces. Dat kan een probleemstelling zijn. Dat is (te) vaak een opgegeven eigenschap. Belangrijk bij dit laatste is het proces van onderzoeken en opbouwen van de eigenschap te betrekken in het redeneerproces. Zo worden de leerlingen ermee geconfronteerd dat wiskunde niet een afgewerkt geheel is, dat door de leraar wordt overgedragen. Wiskunde moet een systeem worden, waarin ze zelf beweringen kunnen onderzoeken en onderbouwen met argumenten. De term onderbouwen kan betekenen dat verbanden gelegd worden met andere kennis of eigenschappen of verklaard worden. Dat kan dan enerzijds met intuïtief uitleggen of argumenteren. Dat kan anderzijds meer deductief uitgebouwd worden, zonder evenwel een groot deductief systeem te ontwikkelen. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.13
In vakterminologie wordt dit lokaal deductief werken genoemd. In een dergelijk proces zijn verschillende stappen te onderscheiden. - Voorbereidend onderzoeken Vanuit het actief onderzoeken van relaties tussen begrippen worden leerlingen geconfronteerd met vele vormen van beweringen en vermoedens. Niet elk vermoeden leidt tot een 'eigenschap', niet elke bewering zal blijken juist, veralgemeenbaar... te zijn. Een bewering over een bepaalde situatie wordt eerst onderzocht, bijv. op voorbeelden en tegenvoorbeelden. Kan het of kan het niet? Niet elke bewering hoeft meteen tot een eigenschap te leiden. Het is dus goed eerst een aantal voorbeelden te bekijken en te zien of er kans is op een veralgemening van de eerst opgewelde idee. Leerlingen worden hierbij actief betrokken. Zo leren ze dat ze niet alles zonder meer moeten proberen te bewijzen, maar dat ze eerst argumenten moeten verzamelen om na te gaan of een bewering wel mogelijk is. Zonder dat alle wiskunde zelf ontdekt moet worden, kan deze fase worden toegepast op beweringen van leerlingen zelf. Leerlingen moeten het gevoel krijgen dat ze wiskunde mee construeren. Al te veel leerlingen beschouwen wiskunde als een vak waarin je moet ingewijd worden. - Het behoorlijk formuleren van een hypothese Dit is een fase van verwoording. Uit de vorige fase blijft een vermoeden over, waarvan de formulering moet verfijnd worden. Dat gebeurt op basis van bijkomende voorbeelden of tegenvoorbeelden. In deze fase is het al belangrijk om een goed verband te zien tussen de gegeven situatie en de te bereiken situatie (de vraag, het te bewijzen). De formulering van een wiskundige hypothese heeft vaak een bepaalde vorm (bijv. een implicatie, een equivalentie). Zo wordt onderscheid gemaakt tussen eigenschappen en kenmerken. Een kenmerk staat dan voor een eigenschap die als kenmerkend kan aangezien worden. Dat wil zeggen dat ze gelijkwaardig is met de definitie van het begrip en eventueel als dusdanig zou kunnen functioneren. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.14
Voorbeeld In een vierkant snijden de diagonalen elkaar middendoor is een eigenschap van elk vierkant. Ze kan gebruikt worden bij het zoeken naar lijnstukken met een gelijke lengte. Deze uitspraak is geen kenmerk, want er zijn nog andere vierhoeken met die eigenschap. - Het formuleren van argumenten Dat zou in een eerste benadering kunnen vanuit de voorbeelden die gevonden werden vanuit figuren, vanuit constructies Toch biedt een dergelijke werkwijze geen garantie op veralgemening. In de volgende fase worden eigenschappen aangegeven die bepaalde verbanden of denkstappen verantwoorden. Waar mogelijk zullen de eerder spontane opwerpingen om een oplossing te 'verdedigen', gebruikt worden om leer- en klassengesprekken op te zetten, waarin leerlingen onderling en leerlingen ten aanzien van de leerkracht hun argumentatie uitwisselen. De leerkracht zal ervoor zorgen dat in deze fase aangebrachte argumenten kritisch bevraagd en getoetst worden. Belangrijk hierbij is dat weerhouden argumenten als valabel aanvaard worden en dat de reden van het afwijzen van argumenten wordt ingezien. - Een bewijs neerschrijven De laatste stap in het proces is het uiteindelijk uitschrijven van de argumentatie of de verklaring in een behoorlijke volgorde. Al naargelang het niveau van de leerlingen worden hieraan hogere eisen gesteld. Dit proces leidt tot een verklaring. In het tweede jaar is het zinvol een aantal van deze redeneringen gestructureerd en ordelijk op te schrijven. Ze zijn de voorlopers van bewijzen. Bij het vergelijken van deze aanpak met het oplossen van problemen, vallen veel gelijkenissen op. Bij problemen oplossen komt er heel wat redeneren kijken. Beide processen kenmerken een wiskundige aanpak. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.15
Redeneren in de eerste graad In de eerste graad zijn er grote verschillen in de (mogelijke) redeneerniveaus van leerlingen. Er is geen eenduidige strategie om de redeneercompetentie bij te brengen. Een gedifferentieerde aanpak is aan te bevelen, waarbij rekening gehouden wordt met de verscheidenheid in intelligenties en leerstijlen van leerlingen. Leerlingen kunnen zelf een deel opnemen van de werkwijze die hen het meest bijbrengt. Wiskunde leer je maar door het te doen. En dat geldt ook voor wiskundig redeneren. De moeilijkste stap voor leerlingen bij het redeneren is de laatste fase, met name het uitschrijven van het bewijs. Vandaar dat in de eerste graad gekozen wordt om deze fase maar in een aantal goedgekozen situaties uit te voeren. Daarbij wordt gestreefd naar een gezond evenwicht tussen een aantal modelsituaties (niveau elementair) en een ruimere aanpak in de oefeningen (niveau verdieping) in functie van wat in de leerlingengroep mogelijk blijkt. Tegenover deze keuzeruimte staat dat de eerste fasen aan bod komen, zowel in het aanpakken van problemen, als bij het onderzoeken van meetkundige eigenschappen. Het uitvoeren van eigen onderzoekjes (eventueel met ICT), het mathematiseren van bepaalde situaties, het formuleren van hypothesen en het aanbrengen van argumenten (of bij problemen oplossen het effectief uitvoeren van de voorgestelde bewerkingen of procedures) zijn redeneerstappen die de leerlingen al wel aankunnen. In feite wordt hierdoor een kader gecreëerd waarmee leraar en leerlingen over wiskundige beweringen kunnen communiceren. Voorbeelden - Welke voorbeelden heb je onderzocht? Zijn ze voldoende algemeen? - Als je in je bewering een voorwaarde weglaat, lukt het dan nog? Is die voorwaarde dan essentieel? - Welke eigenschap wil je hier gebruiken? Zijn alle voorwaarden daarvoor vervuld? Leerlingen krijgen hierdoor inzicht in hoe wiskundig begrijpen verloopt, dus hoe sterk analyserend ze te werk moeten gaan, hoe kritisch ze moeten omgaan met beweringen, of met argumenten. Ze ondervinden en kunnen communiceren over hoe een bewering getoetst wordt. Wiskunde valt dan niet zomaar uit de lucht. Wiskunde wordt opgebouwd, geconstrueerd. Op dergelijke wijze komen ze dichter bij het fundamentele wiskundige denkproces. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.16
Gekoppeld aan de taalniveaus zal dit proces aanvankelijk intuïtief vanuit gissen en missen verlopen, maar geleidelijk aan zal de gebruikte formulering beter aansluiten bij een wiskundig gestructureerde (mogelijk deductieachtige) aanpak. Leerlingen die hier vlot mee over weg kunnen, worden georiënteerd naar wiskundig sterkere richtingen, waar dan verfijning van zowel de wiskundetaal als de aanpak van redeneren zal nagestreefd worden. Andere leerlingen hoeven niet noodzakelijk met deze intensere wiskundevorming geconfronteerd te worden. Voor hen kan wiskunde functioneren op een al of niet breed uitgewerkt gebruikersniveau. Onderzoek toont aan dat leerlingen die succesvol omgaan met wiskundig redeneren meestal actieve leerlingen zijn. Nog maar eens een aanbeveling om actieve leerprocessen aan te bieden (discussie, groepswerk, contextgericht werken, projectmatige aanpak). Passieve strategieën, zoals voordoen, memoriseren en dril geven minder goede resultaten dan actief te verwerken opdrachten. Een andere bevinding is dat leerlingen die succesvol met wiskundeleerprocessen kunnen omgaan, meer reflecterend te werk gaan. Leerlingen die terugkoppelend werken (wat doe ik precies en waarom doe ik het op die wijze) hebben meer succes dan leerlingen die slaafs de onderwezen regels uitvoeren. Redeneervaardigheid moet door de leerlingen nog verworven worden. Dat vraagt een geleidelijke en geduldige aanpak. Het is zinvol aandacht te besteden aan: - het redeneren op een tekening; - het argumenteren van delen van een redenering (bijv. het expliciteren van gegeven en te bewijzen); - het zelf ontdekken van de kernidee uit een redenering; - het begrijpen en uitleggen van een gegeven bewijs; - het maken van redeneringen in analoge situaties; - het zelf uitschrijven van een behoorlijk geordende redenering. Het is zinvol leerlingen in een eerste periode een overzichtelijk werkschema aan te bieden. Zulk stappenplan geeft een goede steun bij het didactisch verwerken van redeneervaardigheden (d.w.z. het biedt een leidraad bij de aanpak in de les of bij het verwerken van taken). Het telkens terugkoppelen naar zo n stappenplan kan in de moeilijke fase van het uitschrijven van een bewijs een ruggensteun bieden. Zo verwerven leerlingen een zekere routine in bewijsvoeringen en dat schept vertrouwen. Anderzijds moeten met redeneervaardigheden precies heel soepel omgegaan kunnen worden. Een te sterk vasthouden aan één en slechts één schema werkt waarschijnlijk even nefast als helemaal geen schema aanbieden. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.17
5.2 Uit het SOHO-rapport, Deel Conclusies en aanbevelingen, punt 7. SOHO-rapport Een breed samengestelde overleggroep bestaande uit professoren en lesgevers wiskunde uit het hoger onderwijs (universitair en niet-universitair), uit pedagogische begeleiders wiskunde uit de verschillende onderwijsnetten, en uit studenten met een wiskundige opleiding, zijn in mei 2008 een grondige discussie gestart rond de problemen die zich voordoen bij heel wat studenten die op de brug staan tussen secundair en hoger onderwijs. Alhoewel er in het secundair onderwijs grote aandacht gaat naar zowel kennisoverdracht als naar bijbrengen van vaardigheden, wordt er immers vastgesteld dat deze inspanningen geen garantie bieden voor een vlotte overgang naar het hoger onderwijs. Uit die vergaderingen kwam een aantal teksten met beschrijvingen en analysen voort, waarin verschillende aspecten van de problematiek aan bod kwamen. Deze teksten werden gebundeld in het zogenaamd SOHO-rapport. In het najaar 2010 werd dit SOHO-rapport door de plaatselijke diocesane en congregationele vakbegeleiders voorgesteld voor leraren met leerplan a in de derde graad aso/kso/tso. In het SOHO-rapport worden onder meer aanbevelingen geformuleerd i.v.m. vaardigheden, vakattituden, didactische aanpak en de rol van ICT. We selecteren hieruit de aanbevelingen i.v.m. redeneervaardigheden en wiskundige taalvaardigheid: Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.18
Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.19
6 DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN IN DE TWEEDE GRAAD ASO 6.1 Denkactiviteiten In het visiedocument Rijk aan betekenis worden een zestal denkactiviteiten onderscheiden: Modelleren en algebraïseren Dit betreft het vertalen van een probleem in wiskundige termen, bv. door het opstellen van formules en vergelijkingen. Ordenen en structureren Dit behelst het ordenen van de probleemsituatie en aanbrengen van structuur, bv. door objecten op kenmerken te classificeren Analytisch denken en probleemoplossen Dit heeft betrekking op het kiezen van een probleemaanpak, de vaardigheid om wiskundige problemen te formuleren, te representeren en oplossingsstrategieën te vinden. Formules manipuleren Hier gaat het zowel om handmatige vaardigheden in het herleiden van formules, als om inzicht in de structuur van de formule en in het te volgen oplossingsproces als geheel. Abstraheren Bij abstractie gaat het erom dat de wereld van wiskundige objecten voor leerlingen in toenemende mate concreet en betekenisvol wordt Logisch redeneren en bewijzen Dit betreft het vermogen om heldere redeneringen en bewijzen op te zetten en deze zorgvuldig te formuleren. Deze denkactiviteiten zijn vaak met elkaar verweven. Zo kan bij het modelleren bijvoorbeeld een vorm van abstractie en structurering plaatsvinden en kan het oplossen van een algebravraagstuk beroep doen op zowel probleemoplossend vermogen als op vaardigheden in formulemanipulatie. Binnen het kader van deze sessie is het uiteraard onmogelijk alle facetten van het denken en redeneren aan bod te laten komen. We focussen ons in deze sessie voornamelijk op denkactiviteiten verbonden met abstraheren, logisch redeneren en bewijzen. Andere invalshoeken zoals bijvoorbeeld het oplossen van problemen (probleemoplossende vaardigheden), het manipuleren van formules (formulegevoeligheid), zullen in een volgende sessie aan bod komen. We willen wel beklemtonen dat het ontwikkelen en verwerven van probleemoplossende vaardigheden en het ontwikkelen en verwerven van redeneer(bewijs)vaardigheden met elkaar verweven zijn. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.20
6.2 Denk- en redeneervaardigheden in het leerplan Zie hoger p. 3. Algemeen: zie leerplan pagina 21-22 en verder ook de pedagogisch-didactische wenken bij de inhoudelijke doelstellingen. 6.3 Meetkunde De euclidische meetkunde is een mooi voorbeeld van het deductief denken in wiskunde. Terecht neemt meetkunde een niet onbelangrijk deel in van de leerinhouden in de tweede graad aso. De behandeling ervan biedt namelijk heel wat mogelijkheden om het ontwikkelen en verwerven van denk- en redeneervaardigheden te bevorderen. Het meetkundeonderwijs leent zich goed voor het leren bewijzen en het leren oplossen van bepaalde typen problemen vanuit een systematische probleemaanpak. Vele voorbeelden in referentiewerken zijn dan ook van meetkundige aard. Polya, bekend van zijn heuristieken in How to solve it, benadrukte het belang van het leren zoeken naar een bewijs als volgt: Als een leerling nooit met meetkundebewijzen kennis maakte, miste hij de beste en eenvoudigste voorbeelden van een echt bewijs en de beste gelegenheid om zich het streng redeneren eigen te maken. Om de transfer van denkmethoden te verzekeren, hangt er veel af van de manier waarop denk- en redeneervaardigheden worden ontwikkeld. Krijgt een leerling ook eens ruimte om zelf te exploreren en naar een bewijs te zoeken? Krijgt de leerling voldoende structuur en worden aanpak en denkmethoden voldoende geëxpliciteerd? Een meetkundig programma zoals Geogebra maakt het mogelijk om meetkundige eigenschappen dynamisch op te zoeken en mogelijke relaties te exploreren en te analyseren. Dit kan dan leiden tot het formuleren van een vermoeden dat bewezen wordt of door de leraar wordt veralgemeend. Boeiend aan meetkunde is vaak ook een verscheidenheid aan methoden om tot een bewijs van een eigenschap (of stelling) te komen. Interessante denkproblemen zijn ook de opgaven waarbij vanuit een aantal gegeven voorwaarden een constructie wordt gevraagd. 6.4 Bewijsmethoden Vanuit de inhoudelijke leerplandoelstellingen worden leerlingen in de tweede graad aso met verschillende bewijsmethoden geconfronteerd, zoals: - direct of rechtstreeks bewijs, bv. bij het bewijzen van eigenschappen van vierhoeken, bewijzen van eigenschappen i.v.m. de cirkel, bewijzen met gebruik van de stelling van Pythagoras, met gelijkvormigheden, (1M7, 1M15, 1M16, 2M2, 2M5, 2 F32, 2G49 (lw5), - bewijs door contrapositie, idem - bewijs uit het ongerijmde, bv. het bewijs dat 2 geen kwadraat is van een rationaal getal (1G 23 uitbreiding voor leerweg 4, basis voor leerweg 5) - bewijs van een existentiestelling (uniciteitsstelling) door het geven van een voorbeeld (voorbeeld geven en bewijzen dat er slechts één is), bv. de uniciteit van een cirkel door drie niet-collineaire punten (2M1) - bewijs door opsplitsing of door gevalsonderscheiding, bv. het bewijs van de eigenschap over het verband tussen omtrekshoek en middelpuntshoek op eenzelfde koorde in een cirkel (2M5). Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.21
Merk op dat ook het combineren van bewijsmethoden in één en hetzelfde bewijs mogelijk is. Bij het geven van een bewijs kan, eventueel afhankelijk van de gekozen strengheid van dit bewijs, beroep gedaan worden op een mix van bewijsmethoden. Zo bijvoorbeeld bij de existentiestelling De uniciteit van een cirkel door drie niet-collineaire punten A,B en C. Cruciaal in dit bewijs is dat de middelloodlijnen van [AB] en [BC] elkaar snijden in een punt S. De strengheid van een bewijs vereist van niet zo maar aan te nemen dat S altijd bestaat. Hiervoor kan het bewijs uit het ongerijmde gebruikt worden. Stel dat beide middelloodlijnen elkaar niet snijden, dan vallen ze samen of lopen ze evenwijdig. Indien ze samenvallen vallen dan ook [AB] en [BC] samen, in strijd met het gegeven van drie niet-collineaire punten; lopen ze evenwijdig, dan zouden ook AB en BC evenwijdig moeten lopen en dus collineair zijn (wegens punt B gemeenschappelijk) wat dan weer in strijd is met het gegeven Een andere bewijsmethode is het bewijs door uitputting (exhaustieve methode) dat bijvoorbeeld gebruikt wordt om aan te tonen dat twee rechten (bijvoorbeeld) kruisend zijn. Door omstandigheden blijkt het gemakkelijker te zijn om aan te tonen dat twee gegeven rechten niet samenvallen, niet evenwijdig lopen én niet snijdend kunnen zijn. Bijgevolg moeten ze kruisend zijn. Er zijn ook voldoende mogelijkheden om leerlingen vertrouwd te maken met het geven van een tegenvoorbeeld als een bewijsmethode. Essentieel daarbij is wel dat leerlingen moeten beseffen dat één (tegen)voorbeeld volstaat om bv. een bewering te weerleggen. Andere bewijsmethoden die al in de tweede graad aan bod (kunnen) komen (zie ook bijlage): 2 - bewijs door identificatie, bv. een drieterm van de tweede graad ax bx c - bewijzen van gelijkheden. Het bewijzen van gelijkheden kan op verschillende manieren gebeuren: 1. het linkerlid van een gelijkheid omvormen tot het rechterlid; 2. het rechterlid van een gelijkheid omvormen tot het linkerlid; 3. het linker- én het rechterlid van een gelijkheid omvormen zó dat beide omvormingen hetzelfde resultaat leveren is altijd te schrijven in de vorm a x p q 2 Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.22
7 SUGGESTIES OM HET VERWERVEN VAN DENK- EN REDENEERVAARDIGHEDEN TE BEVORDEREN - Een duidelijk onderscheid maken tussen intuïtieve begrippen en gedefinieerde begrippen, tussen vermoedens en stellingen, tussen een toelichting om een vermoeden aannemelijk te maken en een bewijs. - Leerlingen laten ervaren dat er een verschil kan zijn tussen spreektaal en wiskundetaal. - De waarom-vraag en de hoe-vraag als rode draad opnemen in elk leerproces en in de evaluatie. - Redeneringen en bewijzen aanbrengen vanuit een actief leerproces (vanuit gissen en missen naar een gestructureerde aanpak) o o o o o Welke voorbeelden heb je onderzocht? Zijn ze voldoende algemeen? Is een voorwaarde essentieel? Welke eigenschap(pen) wil je gebruiken? Zijn alle voorwaarden vervuld? - Het aanbrengen van bewijzen van een eigenschap ( of stelling) geregeld analoog behandelen met het oplossen van een probleem, dus vanuit een probleemstelling met gebruik van heuristische methoden zoals: het tekenen van een hulplijn, het bekijken van eenvoudige gevallen, het probleem voor te stellen als opgelost, het probleem op te splitsen in deelproblemen enz. (zie probleemoplossende vaardigheden ). Een start zoals we gaan vandaag bewijzen dat. zal dus eerder uitzonderlijk voorkomen. Dit sluit niet uit dat er ook situaties kunnen zijn waarbij aan leerlingen wordt gevraagd om een (eenvoudig) bewijs in een leerboek zelfstandig te bestuderen en eventueel vragen te stellen naar verduidelijking. - Leerlingen een bewijs of redenering gegeven door een medeleerling laten evalueren op volledigheid, nauwkeurigheid. - Functioneel gebruik maken van ICT als leermiddel, bv. gebruik van applets ondersteund met vragen/opdrachtjes die denkactiviteiten bij de leerlingen bevorderen (klassikaal, individueel, in groep). - Waar mogelijk werken vanuit verschillende invalshoeken bij het bewijzen van bepaalde eigenschappen en stellingen en zo leerlingen confronteren met verschillende bewijzen voor dezelfde eigenschap of stelling. - Constructieopgaven behandelen als denkproblemen. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.23
- Leerlingen voldoende kansen bieden om hun argumentatie of redenering ook mondeling toe te lichten aan elkaar in de klas. - Leerlingen confronteren met redeneringen waarin fouten voorkomen die ze moeten opsporen. - Leerlingen confronteren met een summiere vorm van een bewijs dat ze zelf moeten aanvullen en vervolledigen. - Leerlingen ook de sleutelbegrippen en/of grote stappen in een bewijs laten weergeven. - Leerlingen bewust maken van een eigenschap (stelling) en de omgekeerde eigenschap (stelling) en leerlingen ook beweringen laten omzetten in een als dan formulering. - Veel belang hechten aan de schriftelijke neerslag van een redenering of bewijs en daarbij de nodige aandacht besteden aan het verklaren van tussenstappen. - Leerlingen laten beseffen dat een bewijs nooit opgeschreven is op de manier waarop het tot stand is gekomen. Denk aan het gebruik van een kladblad of werkschrift om het zoekproces te ondersteunen. Leerlingen leren beseffen dat het neerschrijven van een gevonden bewijs ook gericht is naar degenen die het zal lezen en dat de tekst niet enkel voor henzelf begrijpbaar moet zijn. - Parate kennis onderhouden. Parate kennis is kennis die zodanig actief aanwezig is in de hersenen dat de leerlingen zelf de link kunnen leggen. De ervaring leert hoe dit niet moet gebeuren: wie telkens net voor een bewijs de nodige kennis gaat opfrissen maakt de leerlingen lui. Alleen indien het noodzakelijk is kan op die manier de leerstof geactiveerd worden. Het is beter om leerlingen op geregelde tijdstippen bewijsopgaven voor te leggen die niet specifiek op de pas geziene leerstof betrekking hebben. - Leerlingen op bepaalde momenten gebruik laten maken van een gereedschapskist (zie bv. leerplan wiskunde, tweede graad aso, p 39 en p 66) of een vademecum dat ze kunnen aanwenden bij het zoeken naar een verklaring of bewijs. - Leerlingen bewust maken van het kader waarbinnen ze correct kunnen redeneren. - Leerlingen geregeld zelf vermoedens laten formuleren. - Bewust zijn van het belang van de interactie leerkracht-leerling tijdens het leerproces en het zoeken naar een goed evenwicht tussen lesfasen met meer individuele begeleiding en lesfasen met een strak klassikale aanpak. - Voorkomen dat leerlingen bewijzen associëren met iets om van buiten te leren voor de toets. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.24
- Voorkomen dat leerlingen het aannemelijk maken van een eigenschap verwarren met een bewijs. - Met de leerlingen af en toe eens terugblikken op geziene bewijsmethoden. - Het evalueren niet beperken tot reproduceerbare opgaven. - Beseffen dat een opgave relatief is wat de denk- en redeneervaardigheden van de leerlingen betreft. Een bepaalde redenering kan geoefend worden zodat het een routineopgave wordt. - Met de vakgroep een leerlijn denk- en redeneervaardigheden uitwerken. BIBLIOGRAFIE Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs, Rijk aan betekenis, Utrecht, maart 2007. Hoegaerts, H., De kijk op meetkunde van leerlingen, Universiteit Antwerpen, 2011 Leerplancommissie en pedagogische begeleiding, Actualisering leerplan eerste graad A, syllabus sessie 6, schooljaar 2006-2007. Leerplan wiskunde, eerste graad A-stroom, http://ond.vvkso-ict.com/vvksomainnieuw/leerplanpubliek.asp?nr=2009/003 Op de Beeck, R., Roelens,M., Bewijzen: wie heeft er iets aan? Onder de loep, Uitwiskeling, jaargang 15, nummer 1, december 1998. Van der Kooi, D., Tijd voor bewijzen, Nieuw Archief voor wiskunde, december 2001. Verbruggen, I. Bewijzen: het ideale huwelijk tussen techniek en creativiteit, Wiskunde en Onderwijs, 1990. Visser, A.,Van Eyck, J.. Inzien en bewijzen. Amsterdam University Press, 2005. Wiskundeonderwijs in Vlaanderen, rapport van de SOHO-overleggroep Wiskunde, mei 2010 www.sohowiskunde.be Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.25
DOCUMENTEN www.vicog.be / DPB / secundair onderwijs / vakgebieden / wiskunde. - Gereedschapskist meetkunde voor de tweede graad (zie documenten tweede graad ). - ICT en wiskunde in het spanningsveld tussen SO en HO. Op zoek naar een evenwicht (zie documenten derde graad : Wiskunde en ICT). BIJLAGEN - Aanvulling bewijsmethoden VERDERE INFORMATIE Meetkundig denken rond de cirkel, Onder de loep, Uitwiskeling, jaargang 18, nummer 4, oktober 2002. Logica, Onder de loep, Uitwiskeling, jaargang 27, nummer 2, lente 2011. Een wiskundig bewijs is het hart van de exacte wetenschap. Wetenschappelijk denken gaat immers om bewijzen: een aantal logische stappen die de lezer laten inzien dat een bewering waar moet zijn. Een wiskundig bewijs biedt de lezer inzicht met eeuwigheidswaarde. Maar de eeuwige waarheid is enkel toegankelijk voor degenen die bereid zijn tot het geven van belangeloze aandacht. Heel wat concentratie is nodig omdat nieuwe ideeën voortbouwen op vorige. Visser, A. en Van Eyck, J. Diocesane Pedagogische Begeleiding Gent Denk- en redeneervaardigheden tweede graad aso + kso/tso (leerplan a) september 2012 p.26