Dynaics and Stability AE3-914 June 22, 2004 9:00 12:00 Please use a new sheet for each proble. The neatness of your work is evaluated as well. There are 5 probles and a Dutch translation has been included. Proble 1 (weiht 0,6) Show that if a force field F = F x i+f y j+f z k defined in R 3 is conservative then necessarily. F = 0 Proble 2 (weiht 2,3) The rotors of the represented tande helicopter consist of three identical and equally spaced blades. Each blade is odelled by a bar with oent of inertia I b about the rotor shaft. Both rotors are turnin in opposite sense at a rate as shown in the fiure. Durin a short interval the helicopter rolls to the left (as seen by the pilot) at a constant rate ω r. a. What are the principal oents of inertia of the rotors in ters of I b? Provide a brief justification of your answer. b. Calculate the bendin oent in the helicopter s body durin the roll, includin the proper sin ( is positive, is neative).
Proble 3 (weiht 2,3) You are required to desin a thin-walled channel section as represented in the fiure, accordin to the followin specifications: The section is syetric about the y-axis. The heiht of the web is h. z t f(y) y The width of the section is b and the wall thickness is t The shape f(y) of the flanes is such that the oent of inertia about the y-axis is a iniu b a. Find the differential equation of the shape f(y) of the flanes such that the oent of inertia is a iniu (Hint: A differential eleent of area of the flane of a thin-walled section can be written as da = t 1 + [f (y)] 2 dy). b. Derive the natural boundary condition for f(y) at the tip of the flanes. Proble 4 (weiht 2,3) The position of a hooeneous bar of lenth l and ass is controlled by a horizontal force F() applied to the bar tip as shown. The acceleration of ravity is. F() a. Express the controllin force F() as a eneralised force associated with coordinate. What is the physical nature of this eneralised force? l b. Construct the Laranian and find the equation of otion of the bar. c. Find the required condition for F() for the bar to be in equilibriu when = 0. d. Find the required condition for F () for the bar to be in stable equilibriu when = 0
Proble 5 (weiht 2,5) Two particles with ass are joined by a chord of lenth L. One of the asses is free to slide on the surface of a funnel as shown. The acceleration of ravity is. a. Construct the Laranian in ters of the eneralised coordinates s and. b. Identify any inorable coordinate and find the correspondin interal of otion. Indicate also the physical eanin of the interal of otion found. c. Find the equation of otion for the noninorable coordinate and the conditions for steady otion. s α d. Investiate the stability of the steady otion
Dynaics and Stability AE3-914 22 juni 2004 9:00 12:00 Gebruik voor iedere opave een nieuw blad a.u.b. De netheid van het werk wordt ook beoordeeld. Er zijn 5 opaven. Opave 1 (ewicht 0,6) Toon aan dat wanneer het krachtenveld F = F x i+f y j+f z k in R 3 conservatief is, noodzakelijkerwijs oet elden: F = 0.. Opave 2 (ewicht 2,3) De rotors van de afebeelde tande-helicopter bestaan elk uit drie identieke en et elijke tussenhoeken eonteerde bladen. Elk blad kan worden eodelleerd als een balk et traaheidsoent I b o de as van de rotor. De rotors draaien in teenestelde richtin et hoeksnelheid zoals aaneeven in de fiuur. Gedurende een korte periode rolt de helicopter linkso (zoals ezien door de piloot) et een constante hoeksnelheid ω r. a. Wat zijn de hoofdtraaheidsoenten van de rotors in teren van I b? Geef een korte otivatie van je antwoord. b. Bereken het buiend oent in de rop van de helicopter tijdens de rol, incusief het juiste teken ( is positief, is neatief).
Opave 3 (ewicht 2,3) Ontwerp een dunwandie doorsnede zoals aaneeven in de fiuur, die voldoet aan de volende specificaties: z f(y) De doorsnede is syetrisch o de y-as. De hoote van het lijf is h. De breedte van de doorsnede is b en de wanddikte is t. t y De vor f(y) van de flenzen is zodani dat het traaheidsoent o de y-as iniaal is. b a. Vind de differentiaalverelijkin van de vor f(y) van de flenzen zodat het traaheidsoent iniaal is (Hint: Een differentiaal oppervlakte eleent van de flens van een dunwandie doorsnede kan worden eschreven als da = t 1 + [f (y)] 2 dy). b. Leid de natuurlijke randvoorwaarde af voor f(y) aan de tip van de flens. Opave 4 (ewicht 2,3) De positie van een hooene staaf et lente l en assa wordt econtrolleerd door een horizontale kracht F() die is aanebracht aan de tip van de staaf zoals aaneeven in de fiuur. De ravitatieversnellin is. F() a. Druk de controllerende kracht F() uit als een eeneraliseerde kracht eassocieerd et coördinaat. Wat is de fysische aard van deze eeneraliseerde kracht? l b. Stel de Laraniaan op en vind de beweinsverelijkin voor de balk. c. Vind de noodzakelijke voorwaarde voor F() zodat de balk in evenwicht is als = 0. d. Vind de noodzakelijke voorwaarde voor F () zodat de balk in een stabiel evenwicht is als = 0.
Opave 5 (ewicht 2,5) Twee puntassa s zijn verbonden door een koord et lente L. Een van de assa s kan vrij lijden over het oppervlak van een trechter zoals etoond in de fiuur. De ravitatieversnellin is. a. Bepaal de Laraniaan in teren van de eeneraliseerde coördinaten s en. b. Onderscheid de oelijke cyclische coördinaat (inorable coordinate) en vind de bijbehorende constante van de bewein (interal of otion). Geef ook de fysische betekenis van de evonden constante van de bewein. s α c. Vind de beweinsverelijkin voor de nietcyclische coördinaat en bepaal de voorwaarden voor de stationaire bewein (steady otion). d. Onderzoek de stabiliteit van de stationaire bewein.