WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1
TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Peter Vandewiele 2
TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Welke vragen kunnen leerlingen zich nog stellen? Ik heb een lengte van 1,74 cm. Vanaf welk gewicht kom ik in de gevaren zone? BMI = gewicht lengte ² Vertalen naar grm-taal? x y = (1,74)² Welk probleem moet de grm oplossen? y 25,8 TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Dan ga je via de tabel opzoek naar de plaats van de waarheid! Zo kom je tot de instellingen van je window. TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Peter Vandewiele 3
TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX De leerling weet nu dat 78 kilogram voor hem de grens is. TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Uitgangspunt: y 1 = 2x + 3 y 2 = 5x 1 De vraag? Is y 1 y 2 = y 2 y 1? Het tekenen van de grafieken geeft meteen de oplossing! TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Niet gelijk, maar ze lopen wel evenwijdig! Toeval? Peter Vandewiele 4
TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES We proberen nog eens. Laat elke leerling zelf twee functies invoeren en de samengestelde functies tekenen. TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Dit kan geen toeval zijn! En dan daag je de leerlingen uit om dit te bewijzen. f x = ax + b g x = cx + d f g x g f x = a cx + d + b = c ax + b + d Nu, onze vraag is nog niet opgelost! TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Je behoudt de functie : y 1 = 4x + 1. Zoek het snijpunt van de grafiek van deze functie met de eerste bissectrice. P( 1, 1 ) 3 3 Kies een tweede functie van de eerste graad die door dit punt gaat. y 2 = 3x + 2 3 Wat stel je vast? HET LUKT!!!! En nu gaan ze terug bewijzen! Peter Vandewiele 5
TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Welke constructie hebben we opgebouwd? y 1 = ax + b P b, b 1 a 1 a b = c b + d 1 a 1 a b = cb + d(1 a) 0 = cb ad + d b TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Wat willen we aantonen? a cx + d + b = c ax + b + d ad + b = cb + d 0 = cb ad + d b Stelling bewezen!! TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Determinanten? y = x Het stelsel: y = ax + b mag maar één oplossing y = cx + d hebben. Of 1 1 0 a 1 b = 0 c 1 d Peter Vandewiele 6
TOEPASSING 2: WISSELFUNCTIES Het snijpunt van de eerste twee rechten: P b 1 a, b 1 a = P 1 0 1 b 1 1 1 a 1 moet ook behoren tot de grafiek van de tweede rechte: 1 0 1 0 1 b = c 1 b + d 1 1 1 1 c c 1 a 1 a, 1 0 1 b 1 1 1 0 1 b = c 1 0 1 b + d 1 1 1 a 1 0 1 b + 1 0 1 b d 1 1 1 a = 0 1 0 1 b 1 0 a b + d 1 1 a 1 = 0 1 1 0 a 1 b c 1 d = 0 a TOEPASSING 3: BUITEN SCHOT Nu hebben de leerlingen ervaren dat door elk punt van het vlak geen, één of twee pijlen zullen passeren. De punten waar slechts één pijl passeert, zijn nu interessant want deze punten bepalen de grens met het gebied waar de vogels buiten schot blijven. Om dit op te lossen moeten ze nu de vergelijking oplossen met tanα als onbekende! f x = 0,005 1 + tan 2 α x² + tanα x 0,005x 2 tan²α x tanα + (0,005x 2 + y) = 0 En ze weten dat de discriminant gelijk is aan nul! TOEPASSING 3: BUITEN SCHOT 0,005x 2 tan²α x tanα + (0,005x 2 + y) = 0 D = x² 4 0,005x² 0,005x 2 + y = 0 1 4 0,005 0,005x 2 + y = 0 50 0,005x 2 + y = 0 0,005x 2 + 50 = y Peter Vandewiele 7
TOEPASSING 4: DE VERRASSENDE SNIJLIJN Teken de grafiek van de functie met als voorschrift f x = x³. Bepaal een vergelijking van de rechte door het punt P(1,1). Bijvoorbeeld: y = 2 x 1 + 1 Bepaal nu de snijpunten van deze twee grafieken: TOEPASSING 4: DE VERRASSENDE SNIJLIJN Je vindt drie snijpunten. T(-1,62;-4,24) ; R(0,62;0,24) en S(1,1) Hopelijk heb je geluk en vindt niet iedereen drie snijpunten. TOEPASSING 4: DE VERRASSENDE SNIJLIJN Peter Vandewiele 8
TOEPASSING 4: DE VERRASSENDE SNIJLIJN Wanneer vind je drie snijpunten? x³ = m x 1 + 1 x 1 x 2 + x + 1 = m(x 1) En zo vind je natuurlijk het snijpunt R(1,1) x² + x + 1 m = 0 D = 1 4(1 m) Er zijn dus drie snijpunten wanneer m > 3 4. Wat valt er ons op? De waarde voor a en b zijn constant. Zodat de som van de twee oplossingen gelijk is aan -1. Of de som van de x-coördinaten van de drie snijpunten is altijd gelijk aan nul. TOEPASSING 4: DE VERRASSENDE SNIJLIJN Of het midden van de twee snijpunten (verschillend van P) ligt altijd op de rechte met als vergelijking: x = 1 2. Ook kan je hier via draw Tangent de raaklijn tekenen in het punt P en vind je de vergelijking: y = 3x 2 Het tweede snijpunt is het punt R(-2,-8). Ook hier kloppen de twee besluiten. TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN = 1+ 5 is bekend als het getal van de gulden 2 snede en meestal ook als oplossing van de tweedegraadsvergelijking: φ² φ 1 = 0. Wanneer een lijnstuk verdeeld is in twee stukken zodat de verhouding van de grootste tot het kleinste stuk gelijk is aan de verhouding van het lijnstuk tot het grootste stuk, dan noemt men die verhouding de gulden snede (symbool: ) of φ = 1 + 1 φ = 1,618 Peter Vandewiele 9
TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN Nu bestaan er nog verschillende manieren om dit getal te berekenen. Bijvoorbeeld: * Neem een getal groter dan -1 (bijvoorbeeld: 5) * Bereken het getal: 1 + 5 * Bereken het getal: 1 + ANS We benaderen zo het getal TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN Verklaring? φ² = 1 + φ φ = 1 + φ φ = 1 + 1 + φ φ = 1 + 1 + 1 + φ = 1 + 1 + 1 + TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN Teken de grafiek van de functie met als voorschrift: f x = x 4 2x 3 + 2x 1 Bepaal de coördinaten van de buigpunten van deze grafiek. We kunnen dus aflezen dat A(0,f(0)) en B(1,f(1)) buigpunten zijn. Peter Vandewiele 10
TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN Teken de grafiek van de functie met als voorschrift: f x = x 4 2x 3 + 2x 1 De rechte AB heeft dus als vergelijking: y = x 1. Deze twee grafieken hebben dus vier snijpunten: x 1 = x 4 2x 3 + 2x 1 0 = x 4 2x 3 + x 0 = x(x 1)(x 2 x 1) TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN 0 = x(x 1)(x 2 x 1) Wat valt er dus op! De x-coördinaten van de snijpunten zijn: 0,1, 1 + 5, 1 5 = 1 1 + 5 2 2 2 Of 0,1, φ, 1 φ De coördinaten zijn dus: 0, 1 ; 1,0 ; φ, φ 1 ; (1 φ, φ) TOEPASSING 6: PHI EN BUIGPUNTEN Je kan het nu nog spectaculairder maken door: A 0, 1 ; B 1,0 ; φ, φ 1 = φ co B + 1 φ co A 1 φ, φ = φ co A + (1 φ) co(b) Peter Vandewiele 11
TOEPASSING 11: SCHUIFPROBLEEM Gegeven: co(a)=(0,4) co(b)= (6,8) co(p)= (r,0) co(q)=(r+4,0) Bepaal de waarde voor r zodat de omtrek van de vierhoek minimaal is. TOEPASSING 11: SCHUIFPROBLEEM Oplossing. Omtrek=4 + r² + 16 + 52 + (6 r + 4) 2 + 64 Via calculus max vinden we r = 2 3 TOEPASSING 11: SCHUIFPROBLEEM Oplossing. Omtrek=4 + r² + 16 + 52 + (6 r + 4) 2 + 64 Algebraïsch? Omtrek = r r²+16 2 r 2 r 2 +64 = 0 r r² + 16 = 2 r 2 r 2 + 64 Peter Vandewiele 12
TOEPASSING 11: SCHUIFPROBLEEM r² r² + 16 = 2 r ² 2 r 2 + 64 r 2 68 4r + r 2 = (r 2 + 16)(4 4r + r 2 ) 68r² 4r 3 + r 4 = 4r 2 4r 3 + r 4 + 64 64r + 16r² 48r² + 64r 64 = 0 3r² + 4r 4 = 0 r 1 = 2 3 r 2 = 2 (let op: KV) TOEPASSING 11: SCHUIFPROBLEEM Wie weet heb je geluk? TOEPASSING 13: HET GETAL VAN EULER lim n 1 + 1 n n = e = lim h 0 1 + h 1 h Opdracht 1: zoek de snijpunten van de grafiek van de functie met als voorschrift: f x = 2ln (x) met de grafiek van de functie met als voorschrift: g x = ln²(x). Zoek de snijpunten via algebraïsch rekenwerk en controleer met je GRM. Peter Vandewiele 13
Snijpunt1: P(1,0) Snijpunt2: Q(e²,2) TOEPASSING 13: HET GETAL VAN EULER 2 ln x ln 2 x = 0 ln x = 0 ln x = 2 x = 1 x = e² Een verticale rechte snijdt de grafieken tussen de twee snijpunten P en Q in de punten A en B. Zoek de vergelijking van de rechte zodat de afstand tussen A en B maximaal is. Zoek de oplossing door gebruik te maken van je grm en los nadien de vraag algebraïsch op. TOEPASSING 13: HET GETAL VAN EULER TOEPASSING 13: HET GETAL VAN EULER 2 ln x ln 2 x = 0 2 x 2 ln x 1 x = 0 1 ln (x) = 0 x = e Antwoord: we moeten de rechte nemen met vergelijking x = e en de grootst mogelijke afstand is 1 Peter Vandewiele 14
TOEPASSING: HET GETAL VAN EULER Een horizontale rechte snijdt de grafieken tussen de twee snijpunten P en Q in de punten A en B. Zoek de vergelijking van de rechte zodat de afstand tussen A en B maximaal is. Zoek de oplossing door gebruik te maken van je grm. TOEPASSING 13: HET GETAL VAN EULER Meest voor de hand liggende oplossing, is dat we voor beide functies het voorschrift bepalen van de inverse functie met als domein ]0,4[. f x = 2ln (x) wordt h x = e x 2 g x = ln²(x) wordt r x = e x TOEPASSING 13: HET GETAL VAN EULER f x = 2ln (x) wordt h x = e x 2 g x = ln²(x) wordt r x = e x t x = r x h(x) Peter Vandewiele 15
TOEPASSING 17: VERKOOP VAN CHOCOPASTA Probleem? Wanneer men 60% van het aantal verkochte potten van de vorige maand optelt met 40% van het aantal verkochte potten van de maand voordien, bekomt men een goede schatting van het aantal potten die men deze maand zal verkopen. De eerste maand waren er 450 potten verkocht, de tweede maand waren er 520 potten verkocht. Zal de verkoop ooit stabiliseren? Indien ja, hoeveel potten zal men verkopen per maand? TOEPASSING 17: VERKOOP VAN CHOCOPASTA Hier kan je een nieuw begrip invoeren: differentievergelijkingen. Een differentievergelijking is een relatie waarmee de elementen van een rij recursief gedefinieerd zijn. Bijvoorbeeld: de rij van Fibonacci. u 0 = 0 u 1 = 1 u n = u n 2 + u n 1 n 2 Dit is een differentievergelijking van de tweede orde omdat er 2 verschil zit op de indices. TOEPASSING 17: VERKOOP VAN CHOCOPASTA Voor deze oefening geldt er dus: u 1 = 450 u 2 = 520 u n = 0,6 u n 1 + 0,4 u n 2 GRM in mode seq zetten! (u = 2ND 7 en niet ALPHA u) Peter Vandewiele 16
TOEPASSING 17: VERKOOP VAN CHOCOPASTA In je tabel stel je dan vast dat 500 de limietwaarde is. TOEPASSING 17: VERKOOP VAN CHOCOPASTA Hoe werk je zonder GRM? Stel de oplossingen van deze differentievergelijking voor als: u n = α n. α n = 0,6 α n 1 + 0,4α n 2 α 2 = 0,6 α + 0,4 α = 1 of u n = 1 n α = 0,4 of u n = ( 0,4) n Besluit: u n = a + b( 0,4) n is de algemene oplossing van deze differentievergelijking. TOEPASSING 17: VERKOOP VAN CHOCOPASTA Je weet de startwaarden: 450 en 520 En kan je dan een particuliere oplossing berekenen: u n = 500 + 125( 0,4) n Hier herken je meteen dat je de limietwaarde 500 is. Peter Vandewiele 17
TOEPASSING 20: DE RIJ VAN FIBONACCI Voer volgende matrix in: A = 1 1 1 0 TOEPASSING 20: DE RIJ VAN FIBONACCI A = 1 1 1 0 Bereken nu: A² ; A³ ; Je merkt op dat de rij van Fibonacci ontstaat! TOEPASSING 20: DE RIJ VAN FIBONACCI Algemeen kan je zeggen: A n = F n+2 F n+1 F n+1 F n Peter Vandewiele 18
TOEPASSING 20: DE RIJ VAN FIBONACCI Bewijs door volledige inductie: Stap 1: bewijs voor n = 1 A = F 3 F 2 F 2 F 1 Stap 2: stel dat A k = F k+2 F k+1 F k+1 F k Bewijs dan dat A k+1 = F k+3 F k+2 F k+2 F k+1 TOEPASSING 20: DE RIJ VAN FIBONACCI Bewijs: A k+1 = A k A = F k+2 F k+1 F k+1 F k = F k+3 F k+2 F k+2 F k+1 1 1 1 0 Peter Vandewiele 19