De uitdijing van het heelal en inflatie Verslag van bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde 27 augustus 2009 Ellen van der Woerd 5611806 Bron: NASA en WMAP Science Team omvang 12 EC uitgevoerd tussen 11 mei 2009 en 22 augustus 2009 Begeleider: Marika Taylor Tweede beoordelaar: Kostas Skenderis Instituut voor Theoretische Fysica Faculteit Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Samenvatting In deze scriptie kijken we naar de uitdijing van het heelal onder invloed van verschillende vloeistoffen en onderzoeken we wat inflatie is. We laten zien dat uit de Friedmann vergelijkingen volgt dat de uitdijing van het heelal evenredig is met t 2/(1+ω), waarin ω een constante is die afhangt van de soort vloeistof. Met dit resultaat en verkregen data kunnen we afleiden dat ons heelal drie tijdperken gekend heeft, gedomineerd door straling, materie en de kosmologische constante. Vervolgens laten we zien wat inflatie is en hoe dit de problemen van de hete Big Bang kan oplossen.
Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 Uitdijing van het heelal 4 2.1 Geometrie van het universum.................... 4 2.1.1 Soorten geometriën...................... 4 2.1.2 Metriek voor een constant gekromde ruimte-tijd..... 5 2.1. Volume van een constant gekromde ruimte........ 6 2.1.4 FLRW metriek........................ 7 2.1.5 Massieve deeltjes in een FLRW gekromde ruimte..... 9 2.1.6 Licht in een FLRW gekromde ruimte............ 10 2.2 De Friedmann vergelijkingen.................... 10 2.2.1 Afleiding van de Friedmann vergelijking.......... 11 2.2.2 De Hubble parameter.................... 12 2. Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen........... 1 2..1 Kritische dichtheid en de dichtheidsparameter....... 1 2..2 De vloeistof vergelijking................... 1 2.. Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voor losse vloeistoffen.......................... 14 2..4 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voor meerdere vloeistoffen....................... 18 2.4 Eigenschappen van ons universum................. 24 2.4.1 Experimentele gegevens................... 24 2.4.2 Tijdperken van ons universum............... 27 2.4. De leeftijd van ons universum................ 28 Inflatie 29.1 De hete Big Bang theorie...................... 29.2 Problemen met de hete Big Bang theorie.............. 29.2.1 Het vlakke universum probleem............... 29.2.2 Het horizon probleem.................... 1.2. Het relic probleem...................... 4. Inflatie................................. 4..1 Theorie inflatie........................ 4..2 Bewegingsvergelijking van het scalarveld.......... 6.. Oplossing van de bewegingsvergelijking.......... 7.4 Inflatie als oplossing voor het vlakke universum en horizon probleem 40.4.1 Oplossing voor het vlak universum probleem....... 41.4.2 Oplossing voor het horizon probleem............ 41 1
.5 Inhomogeniteit in de kosmische achtergrondstraling........ 42.5.1 Ontstaan van inhomogeniteit in de kosmische achtergrondstraling............................ 42.5.2 Metingen aan inhomogeniteit van de kosmische achtergrondstraling......................... 4 4 Discussie en Conclusie 46 5 Populair wetenschappelijke samenvatting 47 2
Hoofdstuk 1 Inleiding Al eeuwen lang is men nieuwsgierig naar het heelal om ons heen. In de tijd van de oude Grieken dacht men dat de aarde het centrum van het heelal moest zijn. De zon en hemellichamen draaiden om de aarde heen en de sterren waren vaste punten, die heel erg ver weg lagen. Later kwam men erachter dat de aarde niet het centrum is van het heelal, maar om de zon heen draait. Ook de zon bleek geen voorkeursplek te hebben. Ze bevindt zich ergens in een arm van een spiraalstelsel in een gewoon sterrenstelsel zoals we er vele kennen. Men begon meer en meer te beseffen hoe immens groot het heelal is. Toen Hubble in 1929 ontdekte dat het heelal uitdijde was een nieuw tijdperk aangebroken voor de kosmologie. Men probeerde uit te vinden hoe deze uitdijing in zijn werk ging en de Big Bang theorie werd ontwikkeld. Het doel van deze scriptie is een overzicht geven van de huidige status van de kosmologie. Hierin staan twee hoofdvragen centraal. Allereerst zal gekeken worden naar hoe de uitdijing van het heelal onder invloed van verschillende vloeistoffen beschreven kan worden. In het tweede deel wordt gekeken wat de inflatie theorie is. Dit is een exponentiele uitdijing aan het begin van het heelal, die enkele problemen van de Big Bang theorie moet oplossen. In het eerste deel zullen we eerst de geometrie van de ruimte-tijd beschrijven. Vervolgens leiden we de Friedmann vergelijkingen af die beschrijven hoe het heelal uitdijt onder invloed van het een vloeistof. Deze vergelijkingen zullen we oplossen voor zowel enkele als meerdere vloeistoffen. Tot slot bekijken we welke van deze theoretische beschrijvingen het beste overeenkomen met ons eigen universum. In het tweede deel zullen we sommige problemen van de Big Bang theorie beschrijven. Vervolgens introduceren we het begrip inflatie en kijken we hoe dit de problemen van de Big Bang kan oplossen. Tot slot beschouwen we hoe de kosmische achtergrondstraling ontstaat met behulp van inflatie.
Hoofdstuk 2 Uitdijing van het heelal 2.1 Geometrie van het universum Een ruimte kan verschillende geometriën hebben. Hij kan vlak zijn, zoals we in het dagelijks leven gewend zijn, maar ook positief of negatief gekromd. De kromming van de ruimte-tijd kan veel vertellen over de eigenschappen van het universum. In dit eerste deel zullen we eerst de kromming van de ruimte zelf bespreken. Vervolgens wordt er gekeken hoe het universum beschreven kan worden met behulp van een metriek voor een gekromde ruimte-tijd. Tot slot zullen we bekijken hoe deeltjes en licht zich gedragen in een gekromde ruimtetijd. De meeste vergelijkingen en theorieën die genoemd worden in deze scriptie, zijn op basis van het boek van A. Liddle, An introduction to modern cosmology [5], en notities van M. Taylor [7] [8]. 2.1.1 Soorten geometriën Vlakke geometrie De geometrie die we in het dagelijks leven het vaakst tegenkomen is de vlakke geometrie. Deze wordt ook wel Euclidische geometrie genoemd. De regels voor deze geometrie zijn al in de Griekse oudheid door Euclides opgebouwd uit twee axioma s: 1. een rechte lijn is de kortste afstand tussen twee punten; 2. parallelle rechte lijnen blijven op gelijke afstand van elkaar. Uit deze axioma s volgen de standaard regels voor de vlakke meetkunde. Zo is de som van de hoeken van iedere willekeurige driehoek 180 en de omtrek van een cirkel met straal r gelijk aan 2πr. Sferische geometrie Het tweede axioma blijkt niet universeel en geldt alleen voor een vlakke geometrie. Er zijn niet vlakke geometriën waar parallelle rechte lijnen elkaar snijden. Het makkelijkste voorbeeld is de sferische geometrie. Deze kan het beste voorgesteld worden als een bol, zoals de aarde. Lijnen die op de evenaar evenwijdig 4
Figuur 2.1: Een sferische, hyperbolische en vlakke geometrie van een tweedimensionale ruimte. Bron:[9] aan elkaar lopen, snijden elkaar op de noord- en zuidpool. Er wordt ook wel gezegd dat de ruimte positief gekromd is. Een voorbeeld is te zien in het bovenste plaatje van figuur 2.1. Hyperbolische geometrie Behalve een positief gekromde ruimte heb je ook een negatief gekromde ruimte. Hierbij gaan evenwijdige lijnen steeds verder uit elkaar. Dit is lastiger voor te stellen dan bij een sferische geometrie, maar een goed voorbeeld is het zadel figuur. Lijnen die in het midden evenwijdig aan elkaar lopen, lopen verderop steeds verder uit elkaar. Ook hiervan is een voorbeeld te zien op het middelste plaatje van figuur 2.1. 2.1.2 Metriek voor een constant gekromde ruimte-tijd De hierboven genoemde voorbeelden, zijn allemaal voorbeelden van een 2 dimensionale ruimte. Om de geometrie van het universum te beschrijven is er een 4 dimensionale beschrijving van de ruimte-tijd nodig. Deze beschrijving wordt ook wel metriek genoemd en laat zien hoe de ruimte-tijd gekromd is; vlak, sferisch, hyperbolisch of een combinatie van deze. De metriek is een symmetrische 4 4 matrix g µν, die afhangt van de drie ruimte coördinaten x i en de tijd coördinaat t. De kromming van de ruimte wordt dan beschreven door ds 2 = g µν (t, x)dx µ dx ν. (2.1) De indices worden volgens de Einstein conventie gesommeerd. In deze formule zijn ds en dx µ infinitisimaal klein. Men kan dx µ als een hele kleine meetlat 5
voorstellen. De metriek laat zien hoe deze kleine meetlat gekromd wordt, dus wat de daadwerkelijke lengte van de meetlat is. Een bekend voorbeeld is de Minkowski metriek. Hier heeft de metriek constante componenten en wordt er gekeken naar de vlakke ruimte coördinaten (x 1, x 2, x ). ds 2 = dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx ) 2 (2.2) Dit is de sterrenkundige conventie, in andere vakgebieden worden de mintekens soms omgekeerd. Verder is hier c = 1 genomen. Deze conventie zullen we de rest van het artikel aanhouden. We kunnen met behulp van de metriek een ruimte beschrijven die enkel een vlakke, sferische of hyperbolische geometrie heeft. Hiervoor kijken we allereerst alleen naar de ruimtelijke componenten. Bij een vlakke geometrie is de metriek herkenbaar. dσ 2 0 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx ) 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdφ 2 (2.) Hierin is r de radiele component en θ en φ de hoeken die respectievelijk van 0 tot π en 0 tot 2π lopen. Het subscript 0 duidt erop, dat de ruimte niet gekromd is. Hieruit volgt de metriek g µν = diag(1, 1, r 2, r 2 sin 2 θ) (2.4) Op dezelfde manier is er een metriek voor een constante positieve en negatieve gekromde ruimte. dσ 2 1 = dψ 2 + sin 2 ψ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.5) dσ 2 1 = dχ 2 + sinh 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (2.6) Hierin zijn θ en φ dezelfde als hierboven, ψ loopt van 0 tot π en χ van 0 tot. Het subscript 1 geeft aan dat de ruimte positief gekromd is, 1 dat deze negatief gekromd is. Deze drie vergelijkingen worden ook wel samengevoegd tot een enkele vergelijking dσ 2 k = R 2 [ dd 2 + D 2 k(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) ] (2.7) Hierin is D k = (D, sin D, sinh D) en R de totale straal van de ruimte. Het subscript k kan de waarden (-1,0,1) aannemen. 2.1. Volume van een constant gekromde ruimte Hoe groot zijn de ruimtes die met de bovenstaande metriek beschreven worden? Het volume van een D-ruimte kan berekend worden via de standaard volume integraal in bolcoördinaten: V = dv (2.8) Wat het volume element is, hangt af van de metriek. Namelijk D θ φ dv = (det(g µν )) 1/2 drdθdφ. (2.9) Waar deze uitdrukking vandaan komt, is te ingewikkeld om hier uit te leggen en wordt besproken in een cursus algemene relativiteitstheorie. Wel kunnen we 6
zien dat de vergelijking klopt voor een vlakke ruimte. We kunnen het volume element berekenen met behulp van de Jacobiaan. Het volume element in sferische coördinaten is dv = r 2 sin θdrdθdφ. We kunnen dit volume element ook berekenen met de metriek (2.4). Hieruit volgt dv = ( (1)(r 2 )(r 2 sin 2 θ) ) 1/2 drdθdφ = r 2 sin θdrdθdφ. (2.10) Dit komt overeen met wat we met de Jacobiaan gevonden hebben. In dit geval van de metriek van (2.7) is het volume element dv = R (dd)(d k dθ)(d k sin θdφ) = R D 2 k sin θ dddθdφ. (2.11) Het bereik van D hangt van k af. Als we een positief gekromde ruimte bekijken, loopt D van 0 tot π, terwijl bij een negatief gekromde ruimte D van 0 tot loopt. Voor beide ruimtes is het mogelijk de volume integraal uit te rekenen. In het geval van een positief gekromde ruimte is V = π D=0 π θ=0 2π φ=0 R sin 2 D sin θ dddθdφ. (2.12) De hoekintegralen geven de standaard 4π, de integraal reduceert dan tot V = 4πR π D=0 sin 2 D dd = [ D 4πR 2 1 ] π 4 sin 2D 0 = 2π 2 R (2.1) Evenzo kan de volume integraal van een open metriek berekend worden. V = D=0 π θ=0 = 4πR D=0 2π φ=0 R sinh 2 D sin θ dddθdφ sinh 2 D dd = [ 4πR D 2 + 1 ] 4 sinh 2D 0 (2.14) Een positief gekromde ruimte heeft dus een eindig volume, daarom worden deze ruimtes ook wel gesloten genoemd. Negatief gekromde ruimtes hebben daarentegen een oneindig volume en worden open ruimtes genoemd. Mocht het heelal positief of negatief gekromd blijken te zijn, dan kan er meteen een uitspraak gedaan worden of het heelal dan wel eindig is of niet. 2.1.4 FLRW metriek In de kosmologie wordt er vanuit gegaan dat het heelal een constant gekromde ruimte is. Dit omdat dit de enige mogelijke ruimtes zijn, die een homogeen en isotroop universum beschrijven. Homogeniteit betekent dat het niet uitmaakt waar in heelal je je bevindt, over ziet het er hetzelfde uit. Isotropie is de 7
Figuur 2.2: Meebewegende coördinaten dijen mee uit met de ruimte. Bron [10] voorwaarde dat het niet uitmaakt welke kant je opkijkt, elke kant is hetzelfde. Waarnemingen bevestigen dat ons universum nagenoeg homogeen en isotroop is. Het ligt daarom voor de hand het universum met een constant gekromde metriek te beschrijven. Deze metrieken, die een constant gekromd universum beschrijven worden ook wel FLRW metrieken genoemd. Ze zijn vernoemd naar Friedman, Lemaitre, Robertson en Walker en beschrijven vlakke, open of gesloten ruimtes inclusief hun verloop in de tijd. Ze hebben de vorm ds 2 = dt 2 a 2 (t)dσ 2 k = a 2 (t)(dη 2 dσ 2 k). (2.15) De functie a(t) is de schaalfactor, deze is zo gedefinieerd dat a(t 0 ) = 1, waarbij t 0 de huidige tijd is. Verder is R de huidige straal van het universum. De schaalfactor kan gezien worden als een maat voor de uitdijing van het heelal. Als a groeit met de tijd betekent dit dat het heelal uitdijt. Als a kleiner wordt met de tijd zal het heelal daarentegen krimpen. De coördinaat D uit (2.7) is onafhankelijk van de tijd. Als de ruimte uitdijt, dijt het coördinaten stelsel mee uit, zie figuur 2.2. Daarom wordt D ook wel een comoving coördinaat genoemd. De daadwerkelijke afstand wordt wel groter en wordt gegeven door D (t) = a(t)d. (2.16) In een heelal dat beschreven wordt in comoving coördinaten zullen de melkwegstelsels op dezelfde coördinaten blijven, alhoewel de daadwerkelijke afstand wel verandert. Uit (2.15) volgt dat dη = dt a(t). (2.17) 8
η wordt ook wel de conformele tijd genoemd. Om verwarring met de normale tijd t te voorkomen zullen we in het vervolg de volgende conventie gebruiken: dx dη dx dt = ẋ (2.18) = x (2.19) In sommige teksten wordt precies de tegenovergestelde conventie gebruikt. 2.1.5 Massieve deeltjes in een FLRW gekromde ruimte Hoe bewegen massieve deeltjes in een gekromde ruimte? Dit is uit te rekenen met behulp van het actie principe. De actie voor een deeltje met massa m wordt gegeven door S = m B A ds = B A L(f, f, t)dt. (2.20) L(f, f, t) is de Lagrangiaan, samen met de Euler-Lagrange vergelijking geeft deze de bewegingsvergelijking van een deeltje. Bijvoorbeeld een deeltje dat met een constante θ en φ beweegt. Voor de FLRW metriek geldt dan Dit kunnen we invullen in de actieformule (2.20) ds 2 = dt 2 a 2 (t)dσ 2 k = dt 2 a 2 (t)r 2 dd 2 (2.21) S = m = m B A tb dt2 a 2 (t)r 2 dd 2 t A dt 1 a 2 (t)r 2 D 2 (2.22) Waarin D = dd/dt. Hiermee kunnen we de Euler-Lagrange vergelijking voor D opschrijven. L D = d ( ) L dt D (2.2) ( m 1 a 2 (t)r 2 D 2 ) = d ( m 1 a 2 (t)r 2Ḋ2 ) D dt D 0 = d ( a 2 D ) (2.24) dt 1 a2 D 2 Integreren van deze laatste vergelijking geeft C = a 2 D. (2.25) 1 a2 D 2 Waarin C een constante is. Hieruit volgt de bewegingsvergelijking voor radiëel bewegende deeltjes. D C = a a 2 + C. (2.26) 2 9
2.1.6 Licht in een FLRW gekromde ruimte Licht kan zowel als een deeltje als als een golf worden beschreven. Voor een foton kunnen we de afstand afleiden die het lichtdeeltje aflegt. Immers voor licht geldt ds 2 = 0. (2.27) Dus in de FRLW metriek ds 2 = a 2 (t)(dη 2 dσ 2 k) = 0 (2.28) dη 2 = dσ 2 k (2.29) Als we een foton bekijken die in radiele richting beweegt zijn θ en φ constant, dus dη 2 = dd 2. (2.0) Integreren van deze vergelijking geeft een afgelegde afstand dt D = ± η = ± a(t). (2.1) Het teken in de vergelijking geeft aan of naar het verleden of de toekomst gekeken wordt. Licht kan ook beschreven worden als een golf in een uitdijende ruimte. Net zoals de ruimte als het ware uitgerekt wordt, wordt ook de lichtgolf uitgerekt. λ(a) = a(t)λ(t 0 ) (2.2) Hierin is λ(t 0 ) de golflengte die op dit moment wordt uitgezonden en λ(a) de uitgedijde golflengte voor een bepaalde a. De schaalfactor is op zijn beurt weer afhankelijk van de tijd, waardoor berekend kan worden welke golflengte het licht op een bepaald tijdstip zal hebben gekregen. In de kosmologie wordt vaak gebruik gemaakt van de term roodverschuiving z. Deze wordt gedefinieerd als λ(a = 1) λ(a) = 1 = (1 + z). (2.) a Des te groter de roodverschuiving van waargenomen sterren, des te kleiner was de schaalfactor op het moment van emissie. Als we er vanuit gaan dat het heelal uitdijt, betekent dit dat we naar objecten in een ver verleden kijken en dus ver terug in de tijd. 2.2 De Friedmann vergelijkingen Nu we weten hoe een lege ruimte-tijd zich gedraagt, kunnen we kijken hoe deze zich gedraagt onder invloed van een vloeistof. De belangrijkste vergelijkingen die dit fenomeen beschrijven zijn de Friedmann vergelijkingen. Deze beschrijven hoe het heelal zal uitdijen afhankelijk van de soort deeltjes die zich in het heelal bevinden. De vergelijkingen zijn af te leiden uit de algemene relativiteitstheorie van Einstein. Ik zal hier niet de volledige Einstein vergelijkingen gaan afleiden, maar enkel laten zien hoe uit deze vergelijkingen de Friedmann vergelijkingen volgen. 10
2.2.1 Afleiding van de Friedmann vergelijking De Einstein vergelijkingen beschrijven hoe materie de ruimte tijd vervormt. Ze zien er als volgt uit G µν = 8πG N T µν. (2.4) Hierin is G N Newtons gravitatie constante, G µν de Einstein krommings tensor en T µν de stress energie tensor. De laatste twee zijn 4 4 matrices. Beide matrices zijn symmetrisch waardoor een set van 10 onafhankelijke vergelijkingen verkregen wordt. In sommige conventies wordt het minteken weggelaten. Bij de beschrijving van ons universum in de FLRW metriek gaan we er vanuit dat het heelal isotroop is. Bij isotrope vloeistoffen krijgt de stress energie tensor de volgende vorm T µν = diag( ρ, p, p, p), (2.5) de rest van de componenten zijn 0. Hierin is ρ de energie dichtheid en p de druk. Dit kan ook geschreven worden als T 0 0 = g 00 T 00 = ρ; (2.6) T i j = g ik T kj = pδ i j. (2.7) Hierin is g µν de inverse metriek die gedefinieerd is als g µν g νρ = δ µ ρ (2.8) met δj i de delta functie. Als we het universum met een FRLW metriek beschrijven krijgt de Einstein krommings tensor de volgende componenten: [ (ȧ G 0 0 = ) ] 2 a 2 + k a R 2 ; (2.9) [ G i j = 1 (ȧ ) ] 2 a 2 2ä a + k a R 2 δj. i (2.40) Hierin is k dezelfde als in (2.7) en kan de waardes (1, 0, 1) aannemen. Met deze tensoren krijgen we twee onafhankelijke Einstein vergelijkingen. (ȧ ) 2 + k R 2 = 8πG N a 2 ρ (2.41) 2ä a a (ȧ a ) 2 + k R 2 = 8πG N a 2 p (2.42) Door (2.41) in te vullen in (2.42) kunnen we deze laatste vergelijking herschrijven tot (ȧ ) 2 ä a = 4πG N a 2 (ρ + p) (2.4) a We kunnen deze vergelijkingen in plaats van in termen van conformele tijd η omschrijven naar termen van t. Immers: ȧ = da 1 a dη a = da ah(a) (2.44) dt (ȧ ) 2 ä a = d (ȧ ) = a d ( ) da = a d2 a a dη a dt dt dt 2 (2.45) 11
Waarin H(a) de Hubble parameter is. De Einstein vergelijkingen worden dan H 2 (a) + k a 2 R 2 = 8πG N ρ; (2.46) 1 d 2 a a dt 2 = 4πG N (ρ + p). (2.47) Deze eerste vergelijking (2.46) wordt meestal de Friedmann vergelijking genoemd. Vergelijking (2.47) wordt ook wel de versnellingsvergelijking genoemd. Deze laat zien hoe het universum versnelt afhankelijk van het soort vloeistof dat het bevat. 2.2.2 De Hubble parameter In (2.44) definiëren we de Hubble parameter als H(a) 1 da a dt. (2.48) Omdat de Hubble parameter enkel van de schaalfactor afhangt, is het een maat voor de uitdijing van het heelal. De Hubble parameter heeft ook een fysische betekenis. Het geeft de relatie tussen de afstand waarop objecten zich bevinden en de snelheid waarmee ze van ons vandaan bewegen. Als we er vanuit gaan dat objecten die ver van ons weg staan zich in radiele richting van ons af bewegen geldt v = r = r ˆr (2.49) Invullen van vergelijking (2.16) geeft v = (a(t)d) ˆr = a D ˆr = a r a ˆr = a a r = H(a) r (2.50) Deze laatste vergelijking is de beroemde wet van Hubble. Hij ontdekte dat melkwegstelsels zich met een snelheid van ons af bewegen die recht evenredig is met de afstand waarop ze zich bevinden. Op dit moment heeft de Hubble parameter een grootte van H(a = 1) H 0, dit wordt de Hubble constante genoemd. De Hubble constante is een direct meetbare grootheid, hiervoor moeten we enkel bepalen hoe ver bepaalde objecten van ons afstaan en met welke snelheid ze van ons af bewegen. Als we vergelijking (2.46) invullen voor t 0, dus a = 1 krijgen we H0 2 + k R 2 = 8πG N ρ (2.51) Metingen van de Hubble constante kunnen ons dus direct wat vertellen over zowel de kromming van de ruimte als de energiedichtheid. Dit wordt verder uitgewerkt in het volgende hoofdstuk. 12
2. Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen Met behulp van de Friedmann vergelijking kunnen we gaan bepalen hoe het universum zich gedraagt onder invloed van een vloeistof. Voor iedere soort vloeistof kunnen we kijken hoe het universum zich gedraagt, dijt het versneld uit, met constante snelheid, of krimp het? Voor we dit kunnen doen hebben we eerst nog een aantal extra begrippen nodig. Vervolgens kunnen we de vloeistofvergelijking gaan afleiden uit de Friedmann vergelijkingen. Tot slot zullen we de vloeistof vergelijking oplossen voor verschillende soorten vloeistoffen. 2..1 Kritische dichtheid en de dichtheidsparameter Twee belangrijke begrippen bij het beschrijven van vloeistoffen zijn de kritische dichtheid en de dichtheidsparameter. Kritische dichtheid ρ c De kritische dichtheid ρ c is gedefinieerd als de dichtheid waarbij het universum vlak is, (k = 0). Dit invullen in de Friedmann (2.46)vergelijking geeft H 2 (a) = 8πG N ρ c. (2.52) Als de Hubble constante bekend is, kan hiermee de huidige kritische dichtheid berekend worden. Dichtheidsparameter Ω De dichtheidsparameter Ω is de verhouding tussen de dichtheid en de kritische dichtheid gedefinieerd als Ω ρ ρ c. (2.5) Als we dit invullen in (2.46) krijgen we ofwel H 2 = 8πG N ρ c Ω k a 2 r 2 = H2 Ω k a 2 R 2, (2.54) kr 2 = H 2 0 (Ω 0 1) (2.55) Hieraan is duidelijk te zien dat als het heelal de kritische dichtheid heeft, dus Ω = 1, dan k = 0 en is het universum vlak. Als we H 0 en Ω 0 kunnen meten, kunnen we de waarde van k berekenen en weten we hoe de ruimte gekromd is. Uit metingen, zie paragraaf 2.4, blijkt dat Ω 0 heel dicht bij 1 zit en dat het universum nagenoeg vlak moet zijn. 2..2 De vloeistof vergelijking Om een oplossing te vinden voor de Friedmann vergelijkingen moet allereerst een relatie gevonden worden tussen de dichtheid ρ, de schaalfactor a en de tijd t. Dit kan met behulp van de vloeistof vergelijking die afgeleid kan worden uit 1
de Friedmann vergelijkingen. Vergelijking (2.47) kunnen we herschrijven in termen van ρ en p door de tijdsafgeleide van (2.46) te nemen. Eerst nemen we de tijdsafgeleiden van de afzonderlijke delen. d dt H2 (a) = 2H d ( ) 1 da dt a dt = 2H ( a da a 2 dt + 1 d 2 ) a a dt 2 d dt d dt ( 1 = 2H a da dt = 2H + 2H 1 d 2 a a k a 2 R 2 = 2 1 da k a dt a 2 R 2 8πG N ) 2 + 2H 1 d 2 a a dt 2 dt 2 (2.56) = 2H k a 2 R 2 (2.57) ρ = 8πG N ρ (2.58) Deze resultaten kunnen we invullen in (2.46). Dit geeft 2H + 2H 1 d 2 a a dt 2 2H Herschikken van de termen geeft 2H 1 d 2 a a dt 2 = 8πG N 1 d 2 a a dt 2 = 8πG N 6H k a 2 R 2 = 8πG N ρ (2.59) ( ρ + 2H H 2 + Dit kan weer ingevuld worden in vergelijking (2.47). 8πG N 6H ρ + 8πG N k ) a 2 R 2 ρ + 8πG N ρ (2.60) ρ = 4πG N (ρ + p) ρ + 2ρ H = (ρ + p) ρ = H(ρ + p) (2.61) Dit is de vloeistof vergelijking. Deze laat zien dat de verandering in dichtheid afhankelijk is van zowel de schaalfactor, de dichtheid zelf en de druk. 2.. Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voor losse vloeistoffen Als we naar perfecte vloeistoffen kijken, kunnen we de vloeistof vergelijking oplossen en zo de relatie tussen ρ en a achterhalen. Voor perfecte vloeistoffen geldt p = ωρ, waarin ω een constante is die van het soort vloeistof afhangt. Als 14
we dit invullen in (2.61) verkrijgt men een oplosbare differentiaal vergelijking voor ρ ρ = 1 a ρ ρ da (ρ + ωρ) dt = (1 + ω) a a Integreren van deze laatste vergelijking met respect tot tijd geeft ln ρ = (1 + ω) ln a + ln C ln ρ = ln Ca (1+ω) (2.62) ρ a (1+ω) (2.6) Hierin is C een willekeurige constante. Hoe de dichtheid van de schaalfactor afhangt is dus afhankelijk van het soort vloeistof. Nu bekend is hoe ρ van a afhangt, kan met behulp van de Friedmann vergelijkingen afgeleid worden hoe a van t afhangt. Invullen van vergelijking (2.47) geeft 1 d 2 a a dt 2 = 4πG N (ρ + p) 1 d 2 a a dt 2 4πG N (1 + ω)a (1+ω) (2.64) Deze vergelijking kan opgelost worden door invullen van a t q. Hieruit volgt t q q(q 1)t q 2 4πG N (1 + ω)t q(1+ω) t 2 t q(1+ω) 2 = q(1 + ω) q = 2 (1 + ω) (2.65) a t 2/(1+ω). (2.66) Net als de dichtheid is ook de schaalfactor afhankelijk van de soort vloeistof. Verschillende soorten vloeistoffen veroorzaken dus een verschillende dichtheid en schaalfactor. De vier belangrijkste perfecte vloeistoffen zijn materie, straling, kromming en de kosmologische constante. Deze worden meestal gebruikt om ons heelal te beschrijven. Je zou ook andere exotische perfecte vloeistoffen kunnen bedenken, maar van deze hebben we geen enkel idee hoe ze eruit zouden zien. Hieronder zullen we de eigenschappen van de vier belangrijkste perfecte vloeistoffen beschouwen. Materie Onder materie worden alle niet relativistische massieve deeltjes verstaan. Dit zijn voornamelijk baryonen. De enige stabiele baryonen zijn protonen en neutronen. Daarom zal de materie in ons heelal voornamelijk uit deze twee baryonen 15
materie straling kromming Figuur 2.: De dichtheid afhankelijk van de schaalfactor. Zowel de dichtheid van materie, straling als kromming neemt af bij een toenemende schaalfactor. De dichtheid van de kosmologische constante blijft daarentegen constant. materie straling kromming Figuur 2.4: Het verloop van de schaalfactor in de tijd. Bij alle soorten vloeistoffen neemt de schaalfactor toe, maar de kosmologische constante is de enige die voor een versnelde toename zorgt. bestaan. Verder bestaat materie uit niet relativistische elektronen. Maar de massa van een elektron is te verwaarlozen ten opzichte van de massa van het proton of neutron, waardoor de elektronen relatief weinig invloed hebben. Voor materie geldt ω m = 0 [7] en dus ρ m a. Dit is geplot in figuur 2.. Verder kan met behulp van formule (2.66) bepaald worden dat de schaalfactor a t 2/. Het verloop van a in de tijd is geplot in figuur 2.4 Een heelal gevuld met materie zal dus in de loop van de tijd steeds minder snel uitdijen. Dit is logisch als je bedenkt dat de zwaartekracht ervoor zorgt dat de materie elkaar aantrekt. Deze kracht zal de uitdijing steeds meer tegenwerken. Straling Straling bestaat uit relativistische deeltjes. Dit kunnen zowel massieve deeltjes met een hele hoge snelheid zijn, als massaloze deeltjes. Het grootste deel van de straling bestaat uit fotonen. Deze kunnen een reactie aangaan met materie 16
door bijvoorbeeld een elektron te exciteren. Voor straling heeft de constante ω r de waarde 1/ [7]. Hieruit volgt dat ρ r a 4 en a t 1/2, zie ook figuur 2. en 2.4. Hier is te zien dat net als bij materie zal het universum steeds minder snel uitdijen, maar in verhouding sneller dan bij materie. Ook is te zien dat de dichtheid van de straling sneller afneemt dan de materiedichtheid op het moment dat het heelal uitdijt. Kromming We kunnen de tweede term in de Friedmann vergelijking (2.46) ook beschouwen als een krommings energie dichtheid ρ k. Deze is gedefinieerd als k ρ k 8πG N a 2 R 2. (2.67) Als we dit invullen in (2.46) en de kromming term naar de rechterkant halen krijgen we H 2 (a) = 8πG N (ρ + ρ k ) (2.68) Hier is duidelijk te zien hoe we de kromming als een dichtheid kunnen beschouwen. Vergelijking met formule (2.68) laat zien dat de kritische dichtheid ρ c = ρ + ρ k. Voor de kromming geldt ω k = 1/ [7] en dus ρ k a 2. Dit geeft een schaalfactor a t. Een universum dat enkel gekromd is en verder geen materie of straling bevat zal dus met constante snelheid blijven uitdijen, zie ook figuur 2.4. Het verloop van de dichtheid van kromming is te zien in figuur 2.. Net als bij materie en straling neemt de kromming af bij een uitdijend heelal. Kosmologische constante We hebben gezien dat een universum dat uit straling of materie bestaat steeds langzamer gaat uitdijen. Toen Einstein zijn theorie ontwikkelde was de algemene opvatting dat het universum statisch was. Om dit probleem op te lossen introduceerde Einstein een kosmologische constante Λ. De Einstein vergelijking krijgt dan de vorm G µν = 8πG N T µν Λg µν. (2.69) Hieruit kunnen op dezelfde manier als in 2.2.1 de Friedmann vergelijkingen worden afgeleid in termen van conformele tijd: 2ä a (ȧ ) 2 + k a (ȧ a R 2 = 8πG N a 2 ρ + a 2 Λ ; (2.70) ) 2 + k R 2 = 8πG N a 2 p + a 2 Λ. (2.71) Net als bij de kromming kan ook de kosmologische constante beschreven worden als een energie dichtheid ρ Λ. Deze wordt gedefinieerd als ρ Λ = Λ 8πG N (2.72) Ook dit kan gezien worden als een perfecte vloeistof met ω Λ = 1 [7]. De dichtheid wordt dan ρ Λ a 0 en is dus onafhankelijk van de schaalfactor. Dit 17
is logisch aangezien Λ een constante is, deze zal dus niet veranderen in de tijd, zie ook figuur 2.. Als we de relatie tussen a en t willen bepalen kunnen we geen gebruik maken van (2.66), omdat we dan in de macht door 0 moeten delen. Een andere manier om deze relatie af te leiden is met behulp van de vloeistof vergelijking (2.61). Omdat ω Λ = 1 is p = ρ. Als we dit invullen in (2.61) is ρ = H(ρ + p) = H(ρ ρ) = 0 (2.7) Dus ρ is een constante. Dit in vullen in de versnellingsvergelijking (2.47) geeft 1 d 2 a a dt 2 = 4πG N (ρ + p) = 8πG N ρ = C (2.74) De oplossingen van deze differentiaalvergelijking zijn a = e ± Ct. De oplossing met de negatieve macht is geen fysische oplossing, daarom nemen we a = e Ct. De schaalfactor neemt exponentieel toe met de tijd. Omdat we naar een universum zonder kromming kijken volgt uit (2.46) dat C = H 2, dus a = e Ht. De kosmologisch constante zorgt er dus voor dat het universum versneld gaat uitdijen, zie figuur 2.4. Daarom zou volgens Einsteins theorie een universum met zowel materie als een kosmologische constante statisch kunnen zijn. De vertraging in de uitdijing door de materie wordt tegengegaan door de kosmologische constante. Toen Hubble ontdekte dat het universum wel degelijk uitdijde met constante snelheid verwierp Einstein zijn kosmologische constante met de mededeling dat het zijn grootste blunder was. Tegenwoordig hebben we ontdekt dat het universum niet met constante snelheid uitdijt, maar aan het versnellen is. In tegenstelling tot een constant uitdijend heelal, kan een versneld heelal niet beschreven worden zonder de kosmologische constante. Daarom is ook de kosmologische constante meegenomen worden in de Friedmann vergelijkingen. 2..4 Oplossingen van de Friedmann vergelijkingen voor meerdere vloeistoffen Behalve een universum gevuld met een enkel vloeistof element, kunnen we ook eigenschappen bekijken van een universum gevuld met meerdere vloeistoffen. Omdat ook de kromming en de kosmologische constante uit te drukken zijn in termen van energie dichtheid, kunnen we een totale energiedichtheid ρ tot definiëren. Met behulp van ρ tot kunnen we de Friedmann vergelijking herschrijven enkel in termen van dichtheid en wordt het eenvoudiger de oplossingen van deze vergelijking voor verschillende soorten materie te verkennen. We definiëren de totale dichtheid als ρ tot (a) = i ρ i (a) = i ρ i 0 a (1+ωi). (2.75) 18
Net zoals de dichtheid uit verschillende componenten kan bestaan, kan ook de dichtheidsparameter Ω uit verschillende componenten bestaan; Ω i = ρ i ρ c. (2.76) We kunnen nu de Friedmann vergelijking (2.70) herschrijven als (ȧ ) 2 = 8πG N a 2 (ρ + ρ Λ + ρ k ) (2.77) a (ȧ ) 2 = 8πG N a 2 ρ tot (2.78) a Deze vergelijking is gemakkelijk op te lossen als de energie dichtheden bekend zijn. We zullen nu enkele gevallen bekijken waar meerdere vloeistoffen in het universum aanwezig zijn. Materie en Straling Allereerst bekijken we een universum dat enkel met materie en straling gevuld is. De ruimte is dus niet gekromd en er is geen kosmologische constante. Stel de huidige dichtheidsparameter voor de straling is Ω r 0. Omdat we een vlak universum bekijken, moet gelden Ω = 1 en dus Ω m 0 = 1 Ω r 0. Met deze gegevens kunnen we de Friedmann vergelijking (2.78) oplossen voor a(η). (ȧ ) 2 = 8πG N a 2 (ρ r + ρ m ) a (ȧ ) 2 = 8πG N a 2 ( ρ r 0 a 4 + ρ m 0 a ) a (ȧ ) 2 = 8πG N a 2 ( Ω r 0 ρ c 0 a 4 + (1 Ω r 0 )ρ c 0 a ) a Met behulp van vergelijking (2.52) volgt = 8πG N ( ρ c 0 Ωr 0 a 2 + (1 Ω r 0 )a 1) (2.79) ȧ 2 = H 2 0 (Ω r 0 + (1 Ω r 0 )a). (2.80) Deze vergelijking kunnen we oplossen door de standaard oplossing a(η) = Aη 2 + Bη in te vullen. (2Aη + B) 2 = H0 2 ( Ωr 0 + (1 Ω r 0 )(Aη 2 + Bη) ) 4A 2 η 2 + 4ABη + B 2 = H0 2 ( Ωr 0 + (1 Ω r 0 )Aη 2 + (1 Ω r 0 )Bη ) Hieruit volgen de vergelijkingen 4A 2 = H 2 0 (1 Ω r 0 )A 4AB = H 2 0 (1 Ω r 0 )B B 2 = H 2 0 Ω r 0 19
Dus A = 1 4 H2 0 (1 Ω r 0 ) en B = H 0 Ωr 0. De schaalfactor wordt dan a(η) = 1 4 H2 0 (1 Ω r 0 )η 2 + H 0 Ωr 0 η. (2.81) We kunnen de differentiaal vergelijking (2.80) ook omschrijven naar gewone tijd om te kijken hoe dit universum zich gedraagt in de loop van de tijd. Invullen van ȧ = aa geeft a 2 a 2 = H 2 0 (Ω r 0 + (1 Ω r 0 )a). (2.82) Om de vergelijking op te lossen vullen we in a = t q. t 2q q 2 t 2q 2 = H 2 0 Ω r 0 t 0 + H 2 0 (1 Ω r 0 )t q (2.8) Op vroege tijdstippen t << 1 is de eerste term aan de rechterkant de overheersende term. Dus geldt t 2q+2q 2 = t 0 ; 4q 2 = 0; q = 1 2. (2.84) Op latere tijdstippen daarentegen is t >> 1, dus is de tweede term overheersend. Dus t 2q+2q 2 = t q ; 4q 2 = q; q = 2. (2.85) Aan het begin van het universum moet a t 1/2 geweest zijn, terwijl op latere tijdstippen a t 2/ wordt. Als we kijken naar de resultaten van universa met een vloeistof component zien we dat a t 1/2 overeen komt met een universum waarin zich enkel straling bevindt en a t 2/ met een universum met enkel materie. In een universum met beide componenten zal dus in een vroeg stadium de straling overheersen terwijl in een later stadium de materie het belangrijkst wordt. Dit valt logisch te verklaren als je bedenkt dat de dichtheid van straling veel sneller afneemt dan die van materie voor dezelfde schaalfactor. In figuur 2.5 is de dichtheid van materie en straling te zien als functie van de tijd. In het begin overheerst de straling en later de materie, waardoor de dichtheden sneller afnemen. Wanneer vindt de overgang van een door straling beheerst universum naar een materie universum plaats? Dit is op het moment dat de dichtheden van straling en materie aan elkaar gelijk zijn, dus als ρ r = ρ m ρ r 0 a 4 = ρ m 0 a ρ c Ω r 0 a 4 = ρ c (1 Ω r 0 )a (2.86) Omdat we gezien hebben dat de stralingsdichtheid veel sneller afneemt dan de materiedichtheid mogen we aannemen dat Ω r 0 << 1. Dan Ω r 0 a 4 a (2.87) Dit is gelijk aan elkaar als a Ω r 0. Dit is de schaalfactor waarbij de materie zal gaan overheersen in het universum. 20
Figuur 2.5: De dichtheid van materie en straling in een universum met enkel deze twee componenten. In het begin overheerst de straling en is de schaalfactor a t 1/2. Later gaat de materie overheersen op a Ω r 0 en is de schaalfactor a t 2/. Materie en de kosmologische constante In deze sectie beschouwen we een universum met materie en een kosmologische constante. Dit is weer een vlak universum, k = 0. Als we de huidige materie dichtheidsparameter definiëren als Ω m 0 is Ω Λ 0 = 1 Ω m 0. Ook hier willen we een oplossing van de Friedmann vergelijking vinden in termen van a(t). De Friedmann vergelijking (2.78) is in dit geval (ȧ ) 2 = 8πG N a 2 (ρ m + ρ Λ ) a ( ) aa 2 = 8πG N a 2 (ρ m 0 a + ρ Λ 0 ) a ( ) a 2 = 8πG N (ρ c 0 Ω m 0 a + ρ c 0 Ω Λ 0 ) a a a = H 2 0 (Ω m 0 a + (1 Ω m 0 )) = H 0 Ωm 0 a + (1 Ω m 0 ) (2.88) We lossen dit op door in te vullen a(t) = B (sinh(ct)) 2/. Dan 2 BC cosh(ct)(sinh(ct)) 1/ = H B(sinh(Ct)) 2/ 0 Ωm 0 B (sinh(ct)) 2 + (1 Ω m 0 ) 2C cosh(ct) (sinh(ct)) = H 0 Ωm 0 B (sinh(ct)) 2 + (1 Ω m 0 ) 2 C cosh(ct) = H 0 Ωm 0 B + (1 Ω m 0 )(sinh(ct)) 2 21
Als dan B = ( Ωm 0 1 Ω m 0 ) 1/ (2.89) 2 C cosh(ct) = H 0 (1 Ωm 0 )(1 + (sinh(ct)) 2 = H 0 (1 Ωm 0 ) cosh(ct) Dus a(t) = ( Ωm 0 C = 2 H 0 (1 Ωm 0 ) (2.90) 1 Ω m 0 ) 1/ ( sinh[ 2 H 0(1 Ω m 0 ) 1/2 t]) 2/. (2.91) Deze vergelijking is geplot in figuur 2.6. Hiervoor zijn voor H 0 en Ω m 0 de waardes genomen, die op dit moment overeenkomen met de beste metingen zoals beschreven in paragraaf 2.4. We kunnen deze vergelijking onderzoeken voor het geval de materie overheerst, dus Ω m 0 1. In dit geval wordt de term in de sinh klein en voor een kleine x geldt sinh x = x. De vergelijking wordt dan a(t) = ( ) 1/ ( Ωm 0 1 Ω m 0 2 H 0(1 Ω m 0 ) 1/2 t ( ) 1/ 9 4 H2 0 Ω m 0 (1 Ω m 0 )t 2 ) 2/ = Ct 2/ (2.92) Dus schaalfactor a wordt steeds kleiner en het heelal krimpt. In de andere limiet is de kosmologische constante overheersend en Ω m 0 0. In dit geval kunnen we de sinh benaderen als sinh x = e x /2. De vergelijking wordt dan a(t) ( Ωm 0 = Ω 1/ m 0 = ) 1/ ( sinh[ ) 2/ 1 2 H 0t] ( ) 2/ e 2 H0t 2 ( ) 1/ Ωm 0 e H0t 4 = Ce H0t (2.9) In dit geval zal a exponentieel toenemen met de tijd. Het heelal dijt dus versneld uit. In een heelal waar de materie overheerst, het eerste limiet geval, zal t op een gegeven moment zo groot worden dat de benadering sinh x = x niet meer opgaat. Dan zal de tweede limiet de overhand nemen en het heelal overheerst worden door de kosmologisch constante. Dit is ook te zien in figuur 2.6. In het begin neemt de schaalfactor vertraagd toe, net zoals in een door materie overheerst heelal. Later neemt de versnelling toe en uiteindelijk krijgt de plot een exponentiele vorm, de kosmologische constante neemt de overhand. Het moment waarop de kosmologische constante overheersend wordt is als 22
1.5 1.0 0.5 t Figuur 2.6: De schaalfactor uitgezet tegen de tijd voor een universum waarin zich enkel materie en een kosmologische constante bevinden. In het begin wordt de schaalfactor door de materie beheerst en dijt het heelal vertraagd uit. Later neemt de dichtheid van materie af en neemt de kosmologische constante de overhand. Het heelal gaat versneld uitdijen. ρ Λ > ρ m ρ Λ 0 > ρ m 0 a ρ c 0 (1 Ω m 0 ) > ρ c 0 Ω m 0 a 1 Ω m 0 > 1 Ω m 0 a ( ) 1/ 1 Ωm 0 > (1 + z) (2.94) Ω m 0 We kunnen hiermee een roodverschuiving z Λ definiëren waarop de kosmologische constante overheersend wordt ( ) 1/ 1 Ωm 0 (1 + z Λ ) =. (2.95) Ω m 0 Dit is niet gelijk aan het moment waarop het heelal stopt met krimpen en weer gaat versnellen. Dit gebeurt als d 2 a/dt 2 > 0. Dit kunnen we oplossen door de Friedmann vergelijking (2.70) in de versnellingsvergelijking (2.71) in te vullen en deze om te schrijven in termen van a(t). (ȧ ) 2 2ä a + k a R 2 = 8πG N a 2 p + a 2 Λ (ȧ ) 2 2ä a 2 + 8πG N a 2 ρ + a 2 Λ = 8πG N a 2 p + a 2 Λ a 2 ( ä a (ȧ ) ) 2 a = 8πG N a 2 (ρ + p) + 2 a2 Λ 1 d 2 a a dt 2 = 4πG N 2 (ρ + p) + Λ (2.96)
Als we nu weer kijken naar een k = 0 universum met enkel materie en een kosmologische constante wordt dit 1 d 2 a a dt 2 = 4πG N = 4πG N Dus het universum versnelt als d 2 a dt 2 = H2 0 (ρ m 0 a ) + 8πG N ρ Λ 0 (ρ c 0 Ω m 0 a ) + 8πG N ρ c 0 (1 Ω m 0 ) = H2 0 2 Ω m 0a + H 2 0 (1 Ω m 0 ) (2.97) ( 1 2 Ω m 0a 2 + (1 Ω m 0 )a ) > 0 1 2 Ω m 0a 2 + (1 Ω m 0 )a > 0 (1 Ω m 0 )a > Ω m 0 2a 2 a Ω m 0 > 2(1 Ω m 0 ) (1 + z) > 2 1/ ( Ωm 0 (1 Ω m 0 ) ) 1/ > 2 1/ (1 + z Λ ) (2.98) Dit is bij een grotere roodverschuiving, dus zal het universum al beginnen uit te zetten voordat de kosmologische constante gaat overheersen. 2.4 Eigenschappen van ons universum Nu we gezien hebben hoe een universum met verschillende vloeistofcomponenten zich gedraagt, kunnen we kijken welke van deze beschrijvingen overeenkomt met ons eigen universum. Hiervoor moeten we allereerst kijken welke experimentele gegevens we van ons universum hebben. Vervolgens zullen we bekijken met welke theoretische beschrijving deze gegevens overeenkomen. 2.4.1 Experimentele gegevens We hebben een aantal belangrijke grootheden behandeld, die direct meetbaar zijn in ons universum. Dit zijn onder andere H 0 en Ω 0. Een andere meetbare grootheid in ons universum is de kosmische achtergrondstraling, Cosmic Microwave Background (CMB), deze geeft ons informatie over het vroegere heelal. We zullen de verschillende resultaten hieronder behandelen. Hubble constante H 0 We hebben in paragraaf 2.2.2 gezien dat de Hubble parameter wordt gedefinieerd als v = H r. (2.99) We kunnen de huidige waarde van de Hubble parameter, de Hubble constante H 0, op verschillende manieren meten. Meestal wordt er gebruik gemaakt van de 24
zogenaamde standaard kaarsen. Dit zijn objecten waarvan het spectrum en de helderheid bekend zijn, omdat ze altijd dezelfde eigenschappen hebben. Door middel van metingen aan de roodverschuiving en helderheid van een standaard kaars kunnen respectievelijk de snelheid en de afstand van de kaars bepaald worden. De Hubble constante is met behulp van deze methode bepaald tot H 0 = 100h kms 1 Mpc 1 met h = 0.72 ± 0.08 [5]. Dat deze waarde zo onnauwkeurig is, komt vooral doordat de standaard kaarsen methode nog erg onnauwkeurig is. Vaak weten we alleen de verhouding in helderheid en dus de verhouding van de afstand tussen objecten en niet de absolute afstand. De helderheid is namelijk niet omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. Dit komt onder andere doordat het heelal uitdijt en het heelal geen vlakke geometrie hoeft te hebben. Naarmate er betere methodes worden ontwikkeld om de afstand te bepalen, kan de Hubble constante met grotere nauwkeurigheid worden bepaald. Lange tijd was men er van overtuigd dat ons universum met constante snelheid uitdijt. Toen men in 1990 supernovae van het type IA ging bestuderen, kon opeens verder gekeken worden dan 4 miljard lichtjaar []. Men kwam tot de schokkende ontdekking dat deze objecten zwakker stralen dan verwacht. Dit betekent dat ze verder weg staan en de Hubble parameter vroeger kleiner moet zijn geweest, dan men had gedacht. Omdat we naar objecten kijken die heel ver weg staan, kijken we naar het verleden. Aangezien de Hubble parameter vroeger kleiner was dan gedacht, is ons universum niet constant aan het uitdijen, maar aan het versnellen. Dichtheidsparameter Ω 0 Uit paragraaf 2..1 weten we dat de dichtheidsparameter gedefinieerd is als Ω = ρ ρ c. (2.100) Om de dichtheidsparameter te bepalen moeten we dus eerst met behulp van formule (2.52) de kritische dichtheid bepalen. Met de bovengenoemde waarde van H 0 is de kritische dichtheid ρ c (t 0 ) = 1.88h 2 10 26 kgm [5]. Dit is een enorm kleine dichtheid en komt ongeveer overeen met een melkwegstelsel per megaparsec. In ons universum is dit ongeveer de afstand tussen twee melkwegstelsels. Om precies te bepalen hoe groot de dichtheidsparameter is, moeten we naar de dichtheden van alle soorten vloeistoffen in het heelal kijken. Gewone materie is het makkelijkst om te meten. Een deel van de materie zit in sterren en een ander deel in gas. Het blijkt dat voor baryonen geldt Ω b 0 = 0.04 [5]. Als het universum dus enkel uit baryonen zou bestaan, zou dit betekenen dat ons heelal niet vlak is maar sterk negatief gekromd. Uit metingen aan onder andere de draaiing van het melkwegstelsel blijkt dat er ook een ander soort materie moet bestaan, de zogenaamde donkere materie. Ik zal verder niet op de eigenschappen en ontdekking van deze materie ingaan. Maar wat belangrijk is, is dat uit de metingen volgt dat Ω d 0 = 0.2 [5]. Dit geeft samen ongeveer Ω m 0 = 0.27. Dit is nog steeds veel te klein voor een vlak universum. De waarde van Ω Λ kunnen we niet direct meten, omdat we tot nu toe geen idee hebben wat de kosmologische constante eigenlijk is. Toch kunnen we wel wat over de grootte zeggen met behulp van de supernovae metingen en kosmische achtergrond straling. Uit de supernovae metingen blijkt dat het heelal versnelt. We hebben eerder gezien, dat dit in een heelal met enkel materie onmogelijk is. 25
Figuur 2.7: De resultaten van het Supernova Cosmology Project. Als het heelal vlak is zijn de best overeenkomende resultaten Ω m 0 0. en Ω Λ 0.7. Bron [11] Er moet dus een kosmologische constante zijn die voor de versnelling zorgt. Hoe groot de kosmologische constante is, hangt af van de grootte van de versnelling. Twee afzonderlijke projecten hebben dit gemeten. Het resultaat van het Supernova Cosmology Project is te zien in figuur 2.7. Als het heelal vlak is komen de resultaten het best overeen met Ω m 0 0. en Ω Λ 0.7 [5]. We weten dat het heelal nagenoeg vlak moet zijn uit de komische achtergrondstraling. Kosmische achtergrondstraling CMB In 1965 ontdekte men de kosmische achtergrondstraling. Dit is een straling die uitgezonden moet zijn door een geïoniseerd heelal. We weten dat, omdat het heelal uitdijt, de temperatuur vroeger veel hoger moet zijn geweest. Bij een hoge temperatuur hebben fotonen zoveel energie dat ze elektronen kunnen ioniseren. In zo n geïoniseerde vloeistof kunnen fotonen niet ver reizen, omdat ze telkens weer elektronen tegenkomen waarmee ze een reactie aangaan. Een geïoniseerd heelal is dus ondoorzichtig. Als we straling ontvangen van een geïoniseerd heelal moet dit dus van het moment geweest zijn, dat het heelal opeens doorzichtig werd. Uit metingen aan de kosmische achtergrondstraling blijkt dat dit bij een temperatuur van 000 K gebeurde [2]. Bij deze temperatuur hebben de fotonen niet langer genoeg energie om de elektronen te ioniseren en worden atomen gevormd. De fotonen worden hierdoor niet langer tegengehouden en kunnen opeens enorm lange afstanden afleggen, het heelal wordt doorzichtig. Dit wordt ook wel recombinatie genoemd. Wat wij nu als kosmische achtergrondstraling 26
zien, zijn de fotonen die na de recombinatie opeens vrij konden reizen en ons nu bereikt hebben. De kosmische achtergrondstraling vertelt ons dus ten eerste dat we in het begin van het universum een periode gehad moeten hebben waarin straling overheerste. Maar het kan ons ook wat vertellen over de kromming van het heelal en dus over de dichtheidsparameter. Hoe dit kan wordt verder uitgelegd in paragraaf.5. We weten uit deze metingen dat het heelal nagenoeg vlak moet zijn namelijk Ω m 0 +Ω Λ = 1.02±0.02 [5]. Dus als Ω m 0 = 0.27, dan Ω Λ = 0.75±0.02. Dit bevestigt het resultaat van de supernovae metingen. 2.4.2 Tijdperken van ons universum De bovengenoemde metingen aan supernovae en de kosmische achtergrondstraling hebben samengevat de volgende resultaten. Het heelal is nagenoeg vlak. Het heelal dijt versneld uit. In het begin van het universum was er een periode waarin straling de overhand heeft. De huidige waarde van Ω m 0 0.. De huidige waarde van Ω Λ 0.7. Hieruit kunnen we de conclusie trekken dat ons vlakke heelal verschillende periodes gekend moet hebben. Uit de kosmische achtergrond straling blijkt dat de eerste periode van het universum overheerst werd door straling. Dit leidde tot een ondoorzichtig geïoniseerd universum. Toen het universum 70.000 jaar oud was [1] bereikte het door de uitdijing een temperatuur van 000 K en werd het universum doorzichtig. Omdat de dichtheid van straling sneller kleiner wordt dan de dichtheid van materie, zal op een gegeven moment de materie zijn gaan overheersen in het universum. Dit komt overeen met het resultaat dat we in ons huidige heelal nauwelijks nog straling hebben, terwijl Ω m 0 0.. Behalve materie is er ook een kosmologische constante. We hebben gezien dat deze constant is in de tijd in tegenstelling tot materie. In de periode na de straling moet de materie dichtheid dus veel groter geweest zijn ten opzichte van de kosmologische constante dan nu. We kunnen dit daarom de materie periode noemen. Naarmate de dichtheid van materie steeds verder af nam, werd de kosmologische constante steeds belangrijker. In ons huidige universum overheerst deze over de andere vloeistoffen en daarom zitten we nu in de kosmologische constante periode. Uit de theorie volgt dat het heelal dan aan het versnellen moet zijn, en dit blijkt ook uit de waarnemingen aan supernovae. Als we er vanuit gaan dat de invloed van straling verwaarloosbaar klein is, omdat het maar een korte periode overheersend is geweest, dan kunnen we door formule (2.95) en (2.98) in te vullen in (2.91) uitrekenen wanneer het heelal begon met versnellen en wanneer de materie periode eindigde en de kosmologische periode begon. De kosmologische constante wordt overheersend op 9.5 miljard jaar, maar het universum begint al met versnellen op 7.9 miljard jaar, dit is ook te zien in fig 2.6. In de volgende paragraaf zal blijken dat ons universum ongeveer 1 miljard jaar oud is. Dit zou 27
2.0 10 10 1.8 10 10 1.6 10 10 1.4 10 10 1.2 10 10 Figuur 2.8: De leeftijd van het heelal afhankelijk van de dichtheidsparameter Ω m 0. Als we aannemen dat Ω m 0 = 0. dan is t 0 = 1.6 miljard jaar. betekenen dat we dat we nog maar net de materie periode achter ons hebben gelaten en het kosmologische constante tijdperk zijn binnengetreden. 2.4. De leeftijd van ons universum Met behulp van de bovenstaande informatie kunnen we ook een redelijke schatting maken van de huidige leeftijd van het heelal. Hierbij moeten we er rekening mee houden dat de oudste objecten die we kennen zo n 1 miljard jaar oud zijn [5]. De leeftijd die we berekenen, moet dus ouder zijn dan 1 miljard jaar. We hebben gezien dat het grootste gedeelte van de tijd het heelal uit enkel materie en een kosmologische constante bestond. Daarom geeft formule (2.91) een goede beschrijving van de ontwikkeling van de schaalfactor in de tijd. Omdat we gedefinieerd hebben dat a(t 0 ) = 1, kunnen we uit deze vergelijking de leeftijd van het heelal oplossen. ( ) 1/ ( Ωm 0 1 = sinh[ ) 2/ 1 Ω m 0 2 H 0(1 Ω m 0 ) 1/2 t 0 ] ( ) 1/2 Ωm 0 = sinh[ 1 Ω m 0 2 H 0(1 Ω m 0 ) 1/2 t 0 ] [ ( ) ] 1/2 1 2 H 0(1 Ω m 0 ) 1/2 t 0 = sinh 1 1 Ω m 0 [ ( t 0 = 2 ) ] 1/2 1 H 1 0 (1 Ω m 0) 1/2 sinh 1 1 Ω m 0 (2.101) Als je dit plot als functie van Ω m 0 krijg je de grafiek uit figuur 2.8. Invullen van de experimentele waarde Ω m 0 = 0. geeft t 0 = 1.6 10 9 jaar. Dit klopt verbazingwekkend goed met de metingen van de oudste objecten van ons heelal. 28