Roger Van Nieuwenhuyze Mark Muylaert Filip Geeurickx Erik Willockx Philip ogaert bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Els Sas Mark Verbelen Tinne Van reda Cartoons Dave Vanroye Leerwerkboek Eerstegraadsfuncties en rechten TSO/KSO u/4u
voorwoord ISN: 978 90 486 4 0 Kon. ib.: D/0/047/96 estelnr.: 94 0 009 NUR: 8, 9 Copyright by die Keure rugge Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg - 8000 rugge - elgië - H.R. rugge.5 Dit boek bestaat uit 4 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige pictogrammen gebruiken we in het leerboek: Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Verhuur van dit boek is niet toegestaan zonder uitdrukkelijke toestemming van de uitgever. No part of this book may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the publisher. Te onthouden Deze leerstof moet je goed kennen en begrijpen vooraleer je verder kunt. Samenvatting De belangrijkste eigenschappen, begrippen en regels van een leerstofonderdeel. etekenis Waar komen al die wiskundige begrippen vandaan?
Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen. Om iets gemakkelijk terug te vinden, kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan het boek. Die woorden staan ook in de marge afgedrukt, op de plaats waar ze het voor eerst gebruikt worden. De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde. Geschiedenis Een wiskundige terugblik in de tijd. Leuke wetenswaardigheden over hoe het vroeger was. REKENMACHINE Hier wordt uitgelegd hoe je rekenmachine je kan helpen.
4 Uiterst geraffineerd (en snel) werkt deze spin aan haar web. Sommige spinnen produceren draden die sterker zijn dan staaldraad en anderen brengen dan weer lijm aan op hun web. Een mooi web zit boordevol wiskunde. Je kunt immers met een simpele vergelijking elk lijnstuk plaatsen in het vlak. En de evenwijdigen hebben dezelfde richting(scoëfficiënt). Nog even dit: wanneer een spin koffie drinkt, is de wiskunde in haar web volledig verdwenen. Vergelijkingen in R 4 5 6 7 Inleiding > 8 Even herhalen > 8 Eerstegraadsvergelijking in R > 0 Speciale vergelijkingen > Omvormen van formules > Vraagstukken > Vergelijkingen van de eerste graad bespreken > 8 Samenvatting > 4 9 Oefeningen > 5 0_00-09_940009_.indd 4 8/0/ 07:5
5 inhoud Ongelijkheden in R Inleiding > 4 De verenigbaarheid van optelling en orde > 4 De verenigbaarheid van vermenigvuldiging en orde > 4 4 Intervallen in R > 4 5 ongelijkheden van de eerste graad oplossen > 44 6 Speciale ongelijkheden > 45 7 Vraagstukken > 45 8 Samenvatting > 46 9 Oefeningen > 47 Functies van de eerste graad Inleidende voorbeelden > 54 Definitie > 56 egrippen > 56 4 Richtingscoëfficiënt en tekenverloop > 57 5 Grafiek van f: R " R: x " ax b ] a =Y 0g : > 60 6 Constante functies > 6 7 Vergelijking van een rechte evenwijdig met de y-as > 6 8 Constructie van een rechte > 64 9 het bepalen van de snijpunten van een rechte met de assen > 65 0 Richtingscoëfficiënt > 66 Samenvatting > 67 Oefeningen > 69 4 Vergelijkingen van rechten Vergelijkingen van de vorm ux vy w = 0 > 78 Oplossen van vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden > 78 espreking van de vergelijking ux vy w = 0 > 79 4 Voorwaarde opdat een punt op een rechte ligt > 8 5 opstellen van de vergelijking van een rechte als één punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn > 8 6 opstellen van de vergelijking van een rechte als twee verschillende punten gegeven zijn > 8 7 Samenvatting > 84 8 Oefeningen > 85 Trefwoordenregister > 90
6 0_00-09_940009_.indd 6 8/0/ 07:5
7 Vergelijkingen in Inleiding > 8 Even herhalen > 8 Eerstegraadsvergelijking in R > 0 4 Speciale vergelijkingen > 5 Omvormen van formules > 6 Vraagstukken > 7 Vergelijkingen van de eerste graad bespreken > 8 Samenvatting > 4 9 Oefeningen > 5
8 ) Inleiding Hey Sanne Even een kort mailtje vanop GWP, spijtig dat je niet meekon met je gebroken enkel. De activiteiten zijn soms wel wat saai, je mist daar niet zoveel dus. Maar in de namiddag krijgen we ook altijd even vrij, wij gaan dan meestal iets drinken op het terras van het hotel. est wel duur hier hoor,0 euro voor een drankje! Maar het is er wel heel tof om te zitten we worden bediend door een jongen met zo'n mooie blauwe ogen!!! k Zal wel eens moeten berekenen hoeveel drankjes ik bij hem nog zal kunnen bestellen, ik heb nog maar 5 euro en 65 cent en wil absoluut die coole pet van 4,0 euro nog kopen als souvenier! Groetjes en tot gauw! Elke Door in dit vraagstuk het gezochte getal, het aantal drankjes, te vervangen door de letter d, kunnen we het probleem van Elke vertalen in een wiskundige vergelijking 5,65 = 4,0,0 $ d Als je deze vergelijking oplost, vind je, 45 5,65 = 4,0,0 $ d F 5,65-4,0 =,0 $ d F,45 =,0d F = d, 0 Als we deze oplossing dan even terug vertalen naar de situatie van Elke, weten we dat, 45 d = F d. 9,, 0 Elke heeft dus net niet genoeg geld om 0 drankjes te bestellen, ze zal genoegen moeten nemen met 9 bezoekjes aan haar favoriete kelner! ) Even herhalen gelijkheden Voorbeeld: = 5 7 - = 5 $ 6 8 = 48 Al deze uitspraken zijn gelijkheden.
Deel Vergelijkingen in R 9 waar, onwaar Een uitspraak kan waar of onwaar zijn. Zo klopt de uitspraak = 5, maar de uitspraak = 6 is onwaar. vergelijking Wanneer er in een gelijkheid een onbekend element voorkomt, spreekt men van een vergelijking. Voorbeeld: x = 7 is een vergelijking. oplossing oplossingsverzameling Een waarde voor x waarvoor de vergelijking een ware uitspraak wordt, noemen we een oplossing van de vergelijking. We noteren de oplossing onder de vorm van een verzameling: de oplossingsverzameling. Opmerking: x = 9 F x = gelijkwaardigheidsteken gelijkwaardige vergelijkingen Je ziet dat er vanaf nu steeds een gelijkwaardigheidsteken (equivalentieteken) tussen de opeenvolgende vergelijkingen staat. Dit gelijkwaardigheidsteken geeft aan dat het hier gaat om gelijkwaardige vergelijkingen, dat wil zeggen vergelijkingen met dezelfde oplossingsverzameling. Vorige jaren heb je geleerd hoe je vergelijkingen in Q moet oplossen. Voorbeeld: 4(x ) 4 = 7x - 9 4x 4 = 7x - 9 4x - 7x = -9 - - 4 -x = -5 x = 5 = 5 V = { 5 } Methode:. Werk de haken weg;. verzamel alle termen waarin de onbekende voorkomt in het ene lid en alle overige termen in het andere lid;. schrijf beide leden zo eenvoudig mogelijk; 4. bereken de onbekende; 5. noteer de oplossingsverzameling. Indien in de vergelijking breuken staan, dan kun je de vergelijking soms vereenvoudigen door de noemers weg te werken. Dit kan door elk lid te vermenigvuldigen met het kleinste gemeen veelvoud van de noemers. Uiteraard moet je steeds voorrang verlenen aan het uitwerken van de haakjes.
0 We lossen hieronder dezelfde vergelijking op twee manieren op: links werken we de noemers weg, rechts laten we de breuken staan. c x m = x x = x 6 4 x $ c m = ^x h$ 6 4 8 x = 4x x - 4x = - 8 - x = x = c x m = x x = x 6 4 x - x = - - 6 4 x - x = - 8-6 6 x = 6 x = 6 $ x = V = ' ) Eerstegraadsvergelijkingen in R eerste graad In dit hoofdstuk behandelen we enkel vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende. Dit betekent dat beide leden bestaan uit een veelterm van de eerste graad in één en dezelfde onbepaalde. referentieverzameling De verzameling waarin we de vergelijking oplossen, noemen we de referentieverzameling. De oplossingsverzameling is een deelverzameling van de referentieverzameling. Dit schooljaar zal de referentieverzameling van onze vergelijkingen meestal R zijn. De oplossingsmethode om vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende in R op te lossen, is dezelfde als die in Q. Voorbeeld : @ (x ) = x @x @ = x @x x = @ (@ )x = @ x = @ @ V = { @ @ } Voorbeeld : x - = x x - x = x - 4 x = x = x = ^ h x = ^ h V = (
Deel Vergelijkingen in R De hoofdstelling van de algebra - De natuurlijke getallen die de basis van ons getalstelsel vormen, volstaan niet om een eenvoudige vergelijking zoals x = 0 op te lossen. - Om toch een oplossing te vinden, moet men de natuurlijke getallen uitbreiden tot de verzameling van de gehele getallen. Het getal is dan een wortel (of een oplossing). Maar binnen die verzameling heeft x = 0 geen oplossing. - We breiden de gehele getallen uit tot de verzameling van de rationale getallen. Het getal is dan een wortel van die vergelijking. Maar binnen die verzameling heeft x - = 0 geen oplossing. - We breiden de rationale getallen uit tot de verzameling van de reële getallen. en zijn dan de wortels. Maar binnen die verzameling heeft x = 0 geen oplossing. In de hogere jaren van het secundair onderwijs zul je zien dat we de reële getallen kunnen uitbreiden tot de verzameling van de complexe getallen. Zijn hierin dan alle vergelijkingen oplosbaar of moeten we nadien nog eens uitbreiden? In 799 bewees Gauss, de prins van de wiskunde, dat elke vergelijking van de vorm n n- a x a x a = 0, n wortels heeft binnen de verzameling van de complexe getallen. Die stelling n n- staat bekend als de hoofdstelling van de algebra. 0 4 ) Speciale vergelijkingen Soms kan men bij het oplossen van een vergelijking tot een merkwaardig resultaat komen. Voorbeeld: 4x = $^ x h x 4x = x 6 x 4x - x - x = 6-0x = 4 Aangezien er geen enkel reëel getal bestaat dat vermenigvuldigd met 0 gelijk is aan 4, is de oplossingsverzameling van die vergelijking leeg ( V = Q of V = # -). strijdige vergelijking valse vergelijking Dergelijke vergelijking noemt men een strijdige of valse vergelijking. Voorbeeld: x - = $^ x - h x - = x - x - x = - 0x = 0 Aangezien elk reëel getal bij vermenigvuldiging met 0 als product 0 oplevert, is de oplossingsverzameling van die vergelijking de verzameling van de reële getallen (V = R). onbepaalde vergelijking identieke vergelijking Dergelijke vergelijking noemt men een onbepaalde of identieke vergelijking.
5 ) Omvormen van formules In wetenschappelijke vakken is het soms nuttig en noodzakelijk om formules te kunnen omvormen. Voorbeeld: Een rechthoek heeft een omtrek P van 4 m en een lengte l van 8 m. Wat is de breedte b? P = ^l bh P l b = P P b = P - l Maak er een gewoonte van om eerst je formule om te vormen en dan pas de getalwaarden in te vullen. b = P - l P b = 4m - 8m P b = m - 8m P b = 4m 6 ) Vraagstukken Vorig jaar heb je geleerd vraagstukken op te lossen door de tekst te vertalen naar de wiskundetaal. Op die manier verkreeg je een vergelijking van de eerste graad. Werkwijze:. Lees het vraagstuk grondig;. stel datgene wat je zoekt voor door een letter, bijvoorbeeld x;. vertaal het vraagstuk naar een vergelijking; 4. los de vergelijking op en voer de proef uit; 5. vertaal je oplossingsverzameling opnieuw naar de context van het vraagstuk om een antwoord te formuleren. Voorbeeld : Als men twee derden van een getal vermeerdert met het dubbel van het getal, dan bekomt men. epaal dit getal. We gaan dit vraagstuk nu vertalen naar een vergelijking. Als men twee derden van een getal / vermeerdert / met het dubbel van het getal, / dan bekomt men. / epaal dit getal. Onbekende: Vergelijking: g is het getal. g g = X V g 6g = 96 8g = 96 g = V = ", Proef: $ $ = 8 4 = Antwoord: het gevraagde getal is.
Deel Vergelijkingen in R Voorbeeld : Hoeveel koffie van E 9 / kg moet je mengen met 6 kg koffie van E 7,50 / kg om een mengsel van E 8,0 per kg te bekomen? Onbekende: Er is x kg koffie van E 9 / kg nodig. Er is dan in het totaal ^6 xh kg koffie in het mengsel. $ $ $^ h Vergelijking: 9 x 7, 50 6 = 8, 0 6 x 9x 70 = 9, 6 8, 0x 9x - 8, 0x = 9, 6-70 0, 9x =, 6 x = 4 V = " 4, $ $ en $ 8, 0 = 60 $ 8, 0 = 486 Proef: 4 9 6 7, 50 = 6 70 = 486 ^4 6h Antwoord: Men neemt 4 kg koffie van E 9 / kg. 7 ) Vergelijkingen van de eerste graad bespreken parameters Soms gebruikt men in een vergelijking parameters. Dit zijn letters die reële getallen voorstellen. ij het oplossen van dergelijke vergelijkingen, moet men met alle mogelijke gevallen rekening houden. Vermits de parameters elk reëel getal kunnen voorstellen, moet men verschillende gevallen onderscheiden. Die gevallen onderzoeken, noemt men de vergelijking bespreken. Voorbeelden: ax - = ax = ax = 4 ax - = x - ax - x = - (a - ) x = 0 afhankelijk van de waarde van a, afhankelijk van de waarde van a, krijgen we nu twee mogelijkheden: krijgen we nu twee mogelijkheden: espreking:. a 0. a de vergelijking heeft juist één de vergelijking heeft juist één oplossing oplossing x = 4 a V = { 4 a} x = 0 a V = {0}. a = 0. a = de vergelijking wordt 0x = 4 de vergelijking wordt 0x = 0 dit is een valse vergelijking dit is een onbepaalde vergelijking V = V = R
4 De algemene gedaante van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende is: ax b = 0 met a, b C R espreking:. a 0 ax b = 0 ax = b x = b a V = { b a } De vergelijking heeft precies één oplossing. 0x b = 0. b 0 de vergelijking heeft geen oplossingen V =. b = 0 de vergelijking heeft oneindig veel oplossingen V = R 8 ) Samenvatting Je kunt in R eerstegraadsvergelijkingen met één onbekende oplossen door de algemene methode toe te passen:. Werk de haken weg;. verzamel alle termen waarin de onbekende voorkomt in het ene lid en alle overige termen in het andere lid;. schrijf beide leden zo eenvoudig mogelijk; 4. bereken de onbekende; 5. noteer de oplossingsverzameling. Indien in de vergelijking breuken staan, kun je de vergelijking soms vereenvoudigen door de noemers weg te werken. Dit kan door elk lid te vermenigvuldigen met het kleinste gemeen veelvoud van de noemers. Je weet wat een valse (of strijdige) vergelijking is. Je weet wat een onbepaalde (of identieke) vergelijking is. Je kunt voor beide soorten vergelijkingen de oplossingsverzameling bepalen. Je kunt vraagstukken oplossen door ze om te zetten naar een eerstegraadsvergelijking en door de volgende werkwijze toe te passen:. Lees het vraagstuk grondig;. stel datgene wat je zoekt voor door een letter, bijvoorbeeld x;. vertaal het vraagstuk naar een vergelijking; 4. los de vergelijking op en voer de proef uit; 5. vertaal je oplossingsverzameling opnieuw naar de context van het vraagstuk om een antwoord te formuleren. Je kunt vergelijkingen van de eerste graad bespreken.
Deel Vergelijkingen in R 5 9 ) Oefeningen Los op in R. a 5x 9 = x 6 b x 4 = 5x - 7 c 4x 7 = 5 5x d x - 5 = x - 8 4
6 e x - 4 = 7x - 5 f 0,x 0, 0,08 = 0,8 0,6x g, 75x ^0, 5x - 0, 0h =, 64 h x - 5 x = 4 5 6