De rekenmethode telt (1) Adri Treffers Marja van den Heuvel-Panhuizen Inleiding Volgens de KNAW-commissie Rekenonderwijs op de basisschool is niet overtuigend aangetoond dat de traditionele en realistische rekendidactiek verschillende effecten op de rekenprestaties hebben. De actuele rekendiscussie gaat echter niet over de methodetypen traditioneel tegenover realistisch, maar over eensporige cijfermethodes versus meersporige rekenmethodes. Dat traditioneel rekenen niet vereenzelvigd mag worden met het rekenen van opa, zoals dat door Van de Craats wordt voorgestaan, zal in de volgende paragraaf worden aangetoond. Als we op grond van deze analyse vervolgens overstappen op de kern van het huidige debat wordt direct duidelijk dat deze methodetypen er wel degelijk toe doen: de cijfermethodes scoren over de hele linie lager dan de rekenmethodes van toen en nu. Voor een verantwoorde methodekeuze is deze uitkomst van groot belang. Het onderwijsconcept van de cijfermethodiek De opvattingen van de wiskundige J. van de Craats over het rekenonderwijs laten niets aan duidelijkheid te wensen over. Kort gezegd stelt hij dat het traditionele rekenonderwijs didactisch beter doordacht en uitgewerkt was dan het realistische rekenen dat in de jaren 90 het basisonderwijs veroverde. Volgens hem komt dit ondermeer tot uitdrukking in de realistische opvattingen over het oefenen. De realisten menen volgens Van de Craats dat oefenen zonder inzicht kennis zonder uitzicht biedt. Hij is het niet met deze stelling eens. Het klinkt allemaal heel aannemelijk, vooral als het op rijm gesteld is, maar het is kletskoek. Leren rekenen gaat namelijk heel anders. Het is eerder het omgekeerde: juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip. Eigenlijk is het de oude wijsheid oefening baart kunst, waarbij kunst hier niet alleen rekenvaardigheid, maar ook begrip omvat. (Van de Craats, 2007, p. 133) Ook de veelheid van handige rekenstrategieën is Van de Craats een doorn in het oog. In feite is er voor elk type rekenbewerking één beproefd, eenvoudig en altijd werkend rekenrecept. Alle aandacht moet gericht zijn op het stapvoor-stap aanleren van die standaardrecepten. Het zijn er precies twaalf. Namelijk voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van
achtereenvolgens natuurlijke getallen, kommagetallen (zo heten decimale breuken op school) en breuken. De recepten voor kommagetallen zijn daarbij in wezen gelijk aan de recepten voor natuurlijke getallen, dus eigenlijk gaat het maar om acht verschillende recepten. Al het verdere rekenonderwijs kan aan deze kapstok worden opgehangen. (Van de Craats, 2007, p. 134). Hij vat zijn aanbevelingen voor verbetering van het rekenonderwijs als volgt samen: - Herstel systematisch oefenen in ere - Eén methode per bewerking (de methode van opa)! - Doe handig rekenen de deur uit - Verbied kolomsgewijs rekenen! - en noem cijferen weer gewoon rekenen. (Van de Craats, 2007, p. 136). De kernvraag die wij in dit artikel zullen beantwoorden, is of zijn voorstel om tot herstel van de aloude cijfermethodiek te komen inderdaad tot een verhoging van de leerprestaties zal leiden. Scoorden de methodes van opa beter dan de methodes die aan handig (hoofd)rekenen, schatten en inzichtelijk leren cijferen via kolomsgewijs rekenen een belangrijke plaats toekennen? Bij de beantwoording van deze vraag laten we ons leiden door de uitkomsten van de drie periodieke peilingen die door het Cito in 1987, 1992 en 1997 aan het einde van de basisschool zijn uitgevoerd. De twee gezichten van het traditionele rekenen Naast de aloude eensporige cijfermethodes hebben vanaf het einde van de 19 de eeuw ook altijd meersporige rekenmethodes gestaan. Daarin werd niet cijferen maar handig (hoofd)rekenen, inclusief schatten, in het middelpunt geplaatst. In de periode 1950-1990 hadden rekenmethodes als Functioneel Rekenen, Boeiend Rekenen, Rekenen voor de Basisschool, en Nieuw Rekenen weliswaar geen groot marktaandeel, maar volledig weg te cijferen waren ze niet. Voor ons zijn deze traditionele methodes hier juist van belang omdat we daarmee de actuele discussie kunnen verrijken met opvattingen uit het verleden. We geven enkele vertegenwoordigers hier het woord. Om te beginnen keren de auteurs van Functioneel Rekenen (1959) zich tegen het didactische adagium oefenen baart kunst dat uit de associatiepsychologie van de negentiende eeuw stamt. Zij zeggen hierover het volgende. De invloed van deze beschouwingswijze is in het rekenonderwijs terug te vinden. De typen sommen komen in de mode onder het motto: Al doende onthoudt men de achtereenvolgende bewerkingen wel. Eerst kunnen, dan 2
volgt het kennen vanzelf! Herhaling is de moeder van de wetenschap wordt schering en inslag in de school. In deze periode is eigenlijk alleen sprake van louter drillen, waarbij aan het helpen bevorderen van de doorbraak van inzicht nauwelijks enige aandacht besteed werd. Opmerkelijk is ook hoeveel tijd men wel aan het cijferen besteedde. (Reynders en Snijders, 1959, p.68) Over handig (hoofd)rekenen staat in Functioneel Rekenen het volgende. Het zelf ontdekken, het met elkaar ontdekken en het aanbieden van oplossingsmethoden heeft ten doel de doorbraak van inzicht te bevorderen. Het zelf schatten van de uitkomsten en het zelf laten controleren van de uitkomsten zijn oplossingsmethoden die een mechanische werkwijze voorkomen. De onderwijzer moet de leerlingen stimuleren andere manieren te zoeken om het vraagstukje op te lossen. Moet het sommetje 29 + 27 worden uitgerekend, dan kunnen verschillende wegen bewandeld worden om tot het goede antwoord te komen: a. (9+7) + (20+20) = 16+40 = 56. d. (29+20) + 7 = 49+7 = 56 b. 25 + 25 + 4 + 2 = 50 + 6 = 56 e. 2 x 28 = 56 c. 30 + 27 1 = 56 f. 30 + 30 1 3 = 60 4 = 56 In de onderwijzersboekjes is bij herhaling op de mogelijkheid en noodzakelijkheid van de verschillende oplossingsmethoden gewezen. Het kiezen van de kortste, de eenvoudigste, de beste oplossingsmethoden spoort aan tot grote geestelijke activiteit. (Reynders en Snijders, 1959, p.30-31). Steunend op hoofdrekenen kan inzicht verkregen worden in de cijferbewerkingen. Zolang er niet vlot uit het hoofd gerekend wordt, dient men zich met het cijferen niet te haasten, aangezien het eerste steun moet bieden aan het tweede en eraan moet voorafgaan. In alle leerjaren moet het hoofdrekenen dan ook een belangrijke plaats innemen. Begint men te vroeg met cijferen dan staat dit het inzicht in de getallen en de te leren cijferbewerkingen in de weg. Wie er aandacht aan schenkt zal dat o.m. opmerken bij kinderen die b.v. thuis op het werk der school zijn vooruitgelopen door de cijfer- kunstjes te vroeg te leren. Zij zijn daar dan bijna niet meer vanaf te krijgen, omdat het vaak veel eenvoudiger is om het goede antwoord te krijgen dan met hoofdrekenen. Maar wat begrijpen ze van wat ze doen? (Reynders en Snijders, 1959, p.61). Vervolgens enkele fragmenten en voorbeelden uit Nieuw Rekenen (Bruinsma, 1969, p. 11-12). Inzicht in de structuur van de getallen, hoofdrekenen en schatten (met inzicht) nemen in alle deeltjes een ruime plaats in. Hoofdrekenen is altijd functioneel, inzichtelijk rekenen Hoofdrekenen is niet: cijferen uit het hoofd, of het toepassen van foefjes. Hoofdrekenen vraagt altijd inzicht in de structuur van de getallen. 3
Hoofdrekenen wil zeker niet zeggen, dat nooit papier mag worden gebruikt. Bij een som als 8 x 22,50 bijvoorbeeld mag zeker opgeschreven worden 45 90 180; of 200 20; of 160 + 20. Als voorbeeld van gevarieerd hoofdrekenen kiezen we de volgende drie opgaven uit het rekenboekje van groep 6. 1. 5 x 98 = 5 x 90 + 5 x 8 =.. +.. = maar ook 5 x 100 5 x 2 =.. en ook de helft van 10 x 98 =.. : 2 =.. en ook 5 x 50 + 5 x 48 =.. +.. =.. 2. Bereken op verschillende manieren: 7 x 98 4 x 98 3 x 96 2 x 98 9 x 98 5 x 97 3. Bereken op de eenvoudigste manier: 6 x 94 8 x 97 8 x 98 5 x 96 9 x 95 9 x 94 Cijferen wordt inzichtelijk onderwezen via splitsend, kolomsgewijs rekenen. In Nieuw Rekenen verschijnt de staartdeling in de volgende drie fasen van schematisering, te beginnen met de hapmethode (!). 9 9 30 30 100 100 6/ 837 \139 6/ 837 \139 6/ 837 \139 600 6 6 237 23 23 180 18 18 57 57 57 54 54 54 3 3 3 (1) (2) (3) De vakdidactische ideeën van deze traditionele rekenmethodes zijn voornamelijk gebaseerd op Grondslagen van de rekendidactiek (Van Gelder, 1959). Van Gelder omschrijft handig hoofdrekenen en schatten als het (al dan niet schriftelijk) rekenen mét het hoofd dat berust op het inzien en hanteren van relaties tussen getallen en stelt daar mechanisch cijferen tegenover dat een passende plaats krijgt toegewezen. Traditionele cijfermethodes en traditionele rekenmethodes Uit het voorgaande is duidelijk geworden dat de kritiek van Van de Craats met terugwerkende kracht ook de traditionele rekenmethodes treft en uiteraard niet traditionele cijfermethodes als Naar Aanleg en Tempo, De Grondslag, NiveauCursus Rekenen en Naar Zelfstandig Rekenen, want 4
die zitten precies op de lijn van Van de Craats. Ze zijn eensporig op cijferen gericht en schenken nauwelijks of geen aandacht aan kolomsgewijs en handig (hoofd)rekenen, en aan een inzichtelijke opbouw van de cijferalgoritmen. Samenvattend blijkt uit het voorgaande dat het traditionele rekenonderwijs in algemene zin niet gelijkgesteld mag worden met het traditionele cijferonderwijs waarop Van de Craats met zijn credo terug naar het rekenen van opa doelt. De vraag is nu of uit de periodieke peilingsonderzoeken naar voren komt welke van de beschikbare traditionele methodes hoger scoren, de eensporige cijfermethode of de meersporige rekenmethode. We beschikken met de eerste drie peilingen uit de periode 1987-1997 over de gegevens van Nieuw Rekenen(NR) aan de rekenkant, en van Naar Zelfstandig Rekenen (NZR) en NiveauCursus Rekenen (NCR) aan de cijferkant. Aangezien de gemiddelde scores van de laatste twee gelijk zijn, bepalen we ons hier tot het vergelijken van NR en NZR. Welnu, NR blijkt op alle 24 onderdelen van rekenen en meten hoger te scoren dan NZR en op 11 onderwerpen zijn de verschillen significant. Wat betreft de 5 basale rekenvaardigheden en de 3 cijferonderdelen valt op dat de scores bij het cijferen nagenoeg gelijk zijn, maar dat NR bij getalbegrip, basisautomatismen, hoofdrekenen, schattend rekenen en het inzichtelijk gebruik van de rekenmachine ruim 10 procentpunten hoger uitkomt. Voor de actuele rekendiscussie is deze uitkomst van grote betekenis: de claim van Van de Craats dat een cijfermethode tot betere resultaten leidt, mist binnen het traditionele rekenonderwijs iedere empirische evidentie. Integendeel: de rekenmethode NR scoort over de hele linie beter dan de cijfermethode NZR. Literatuur Bruinsma, B. (red.) (1969). Nieuw Rekenen voor het basisonderwijs. Algemene Inleiding. Baarn: Bosch en Keuning. Craats, J. van de (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Nieuw Archief voor Wiskunde. Jaargang 8, nr. 2, p. 132-136. Gelder, L. van (1959). Grondslagen van de rekendidactiek. Groningen: Wolters. Janssen, J., F. van der Schoot, B. Hemker & N. Verhelst (1999). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3. Arnhem: Cito. KNAW, (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Amsterdam: KNAW. Reijnders, J.M. en J. Snijders (1959). Functioneel rekenen. Handleiding. Amsterdam: Versluys. 5