De vernieuwde wiskundeprogramma s havo-vwo in beeld

De vernieuwde wiskundeprogramma s havo-vwo in beeld Inhoudsopgave 1.Globale veranderingen 2 2.Havo wiskunde A 3 3.Havo wiskunde B 10 4.Havo wiskunde D 15 5.Vwo wiskunde A 17 6.Vwo wiskunde B 26 7.Vwo wiskunde C 33 8.Vwo wiskunde D 41 9.Examenwerkwoorden 43 10.Websites 44 Uitgave: Projectgroep wiskunde, SLO Hielke Peereboom, Jos Tolboom, Peter Vaandrager, Piet Versnel, Peter van Wijk Met dank aan: Marja Bos 1

Inleiding Deze brochure geeft een overzicht voor docenten van wat de vernieuwde wiskundeprogramma s havo-vwo inhouden: - het verschil met het huidige programma, met een overzicht van nieuwe onderwerpen, - voorbeelden van nieuwe examenopdrachten, - websites waar materiaal te vinden is ter ondersteuning van het wiskundeonderwijs. 1.Globale veranderingen Uit het ctwo-rapport: ctwo heeft examenprogramma s ontwikkeld voor Wiskunde A, B en D op havo en Wiskunde A, B, C en D op vwo. De invoering van deze vernieuwde programma s vindt plaats in het schooljaar 2015/2016 in de vierde klas van havo en vwo. De verandering is zichtbaar op een aantal belangrijke punten: de wijze waarop statistiek in Wiskunde A en C wordt behandeld bereidt beter voor op de wijze waarop in de vervolgopleidingen statistiek wordt gebruikt; de vergaande vernieuwing van het Wiskunde C-programma op vwo, waardoor het niet langer een deelverzameling is van Wiskunde A maar een eigen inhoud heeft die is toegesneden op leerlingen in het profiel Cultuur en Maatschappij en hun vervolgopleidingen; een programma Wiskunde B havo dat beter past in het beperkte aantal studielasturen; in de meetkundedomeinen van de Wiskunde B-programma s krijgt analytische meetkunde een grotere rol, waardoor het programma coherenter wordt en de algebraïsche vaardigheden worden versterkt; bijgestelde programma s voor Wiskunde D op grond van de ervaringen die sinds de invoering in 2007 zijn opgedaan; wiskundige denkactiviteiten als een rode draad door alle wiskundevakken. 2

2.Havo wiskunde A Oude examenprogramma havo A 2007 Nieuwe examenprogramma havo A 2015 Domein A Vaardigheden Domein A Vaardigheden A1 Informatievaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Onderzoeksvaardigheden A2 Profielspecifieke vaardigheden A3 Technisch-instrumentele vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden A4 Oriëntatie op studie en beroep A5 Algebraïsche vaardigheden Domein B Veranderingen Domein B Algebra en tellen B1 Tabellen B1 Rekenen B2 Grafieken B2 Algebra B3 Veranderingen B3 Telproblemen(SE) Domein C Tellen en kansen Domein C Verbanden C1 Tellen C1 Tabellen C2 Kansen C2 Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Domein D statistiek C3 formules met één of meer variabelen D1 Populatie en steekproef C4 Lineaire verbanden D2 Ordenen, verwerken en samenvatten van C5 Exponentiële verbanden Statistische gegevens D3 De normale verdeling Domein D Verandering Domein E Verbanden D Helling(SE) E1 Formules met twee of meer variabelen Domein E Statistiek E2 Lineaire verbanden E1 Presentaties van data interpreteren en beoordelen E3 Exponentiële verbanden E2 Data verwerken Domein F Toegepaste analyse E3 Data en verdelingen F1 exponentiële functies E4 Statistische uitspraken doen F2 Gebroken lineaire functies en machtsfuncties E5 Statistiek met ICT(SE) Domein G Binomiale verdeling G1 Telproblemen G2 Rekenen met kansen G3 De binomiale verdeling Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op domein C en de subdomeinen B1, B2, E1, E2, E3 en E4 in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A, domein D en de subdomeinen B3 en E5. 3

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Domein A Vaardigheden: De subdomeinen A1 (Informatievaardigheden), A2 (Onderzoeksvaardigheden), A3 (Technischinstrumentele vaardigheden), A4 (Oriëntatie op studie en beroep) en A5 (Algebraïsche vaardigheden) zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein B Veranderingen: Veranderingen beschrijven en vergelijken met behulp van differenties, differentiequotiënten. Toenamediagrammen (wel in SE nieuwe programma) Domein C Tellen en kansen: Subdomein C2: Kansen. Domein D Statistiek: De normale verdeling bij het berekenen van kansen. Domein E Verbanden: - Domein F Toegepaste analyse (SE): In zijn geheel vervallen. Het gaat hier om machtsfuncties en gebroken lineaire functies als specifieke objecten van studie (standaardfuncties). Domein G De binomiale verdeling: In zijn geheel vervallen. Wat is nieuw in het programma? In het nieuwe programma is meer aandacht voor rekenregels en algebraïsche vaardigheden dan in het programma van 2007. De syllabus geeft een concreet en gedetailleerd overzicht. Het domein Statistiek en kansrekening heeft een andere opzet en uitwerking gekregen, met onder andere een nadrukkelijker ICT-gebruik. E1 t/m E4 komt terug in het Centraal Examen, E5 in het Schoolexamen. Het onderwerp Statistiek wordt nu op een meer realistische en probleemgeoriënteerde manier benaderd dan in de huidige programma s (uit 2007). Uitgangspunt is thans de empirische cyclus van data verzamelen, data analyseren en conclusies trekken. ICT wordt ingezet om grote datasets te analyseren. De kansrekening is vervallen. Het subdomein rekenen is nieuw en is opgenomen om zowel in het maatschappelijke verkeer als in vervolgstudies over voldoende rekenvaardigheid te beschikken. Aan het eind van het Centraal Examen is er vaak een opdracht met maar één onderdeel: een korte onderzoeksopgave, een tamelijk open opgave met relatief veel punten. Voorts wordt in het nieuwe programma aandacht besteed aan wiskundige denkactiviteiten. 4

Voorbeelden van (nieuwe) opdrachten uit pilotexamens havo wiskunde A en uit de syllabus havo wiskunde A 5

3. Havo wiskunde B Oude examenprogramma havo B 2007 Nieuwe examenprogramma havo B 2015 Domein A Vaardigheden Domein A Vaardigheden A1 Informatievaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Onderzoeksvaardigheden A2 Profielspecifieke vaardigheden A3 Technisch-instrumentele vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden A4 Oriëntatie op studie en beroep A5 Algebraïsche vaardigheden Domein B Veranderingen Domein B Functies, grafieken en vergelijkingen B1 Veranderingen B1 Standaardfuncties Domein D Ruimtemeetkunde 1 B2 Vergelijkingen en ongelijkheden D1 Fragmenttekeningen van ruimtelijke B3 Evenredigheidsverbanden objecten D2 Oppervlakte en inhoud B4 Periodieke functies Domein E Toegepaste analyse 1 Domein C Meetkundige berekeningen E1 Functies en grafieken C1 Afstanden en hoeken in concrete situaties E2 Vergelijkingen en ongelijkheden C2 Algebraïsche methoden E3 Afgeleide functies Domein D Toegepaste analyse E4 Periodieke functies D1 Veranderingen Domein H Toegepaste analyse 2 D2 Afgeleide functies H1 Afgeleide functie 2 D3 Bepaling afgeleide functies D4 Toepassing afgeleide functies Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op de domeinen B, C en D in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A en domein D 10

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Domein A Vaardigheden: De subdomeinen A1 (Informatievaardigheden), A2 (Onderzoeksvaardigheden), A3 (Technischinstrumentele vaardigheden) A4 (Orientatie op studie en beroep) en A5 (Algebraïsche vaardigheden) zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein B Veranderingen: - Domein D Ruimtemeetkunde: In zijn geheel vervallen. Domein E Toegepaste analyse 1: Faseverschil en frequentie bij goniometrische functies is vervallen. Domein H Toegepaste analyse 2: De afgeleide functie van goniometrische functies. De productregel. De kettingregel bij functies die niet van de vorm g( f( x )) zijn met g een standaardfunctie en f een 2 lineaire functie; dus niet bijvoorbeeld hx ( ) = x x+ 7. Wat is nieuw in het programma? -Evenredigheidsverbanden (B3) -Domein C Meetkundige berekeningen met de subdomeinen Afstanden en hoeken in concrete situaties en Algebraïsche methoden -Toepassing afgeleide functies, met name raaklijnvergelijking opstellen en optimaliseringsproblemen -Uit het toenamediagram het verloop van de grafiek afleiden, uit de hellinggrafiek (gr(f )) een mogelijke grafiek van de functie f afleiden. - Tweedegraadsfuncties kunnen schrijven/interpreteren in drie verschillende vormen, dus ook als f(x) = a(x-p)(x-q) en f(x) = a(x-r) 2 +s - Gebroken lineaire functies, de term hyperbool. - Verdubbelingstijd, halveringstijd. - Bij sin x en cos x kunnen werken met exacte waarden, symmetrie en periodiciteit. Voorts wordt in het nieuwe programma aandacht besteed aan wiskundige denkactiviteiten. 11

Voorbeelden van (nieuwe) opdrachten uit pilotexamen 1 e tijdvak 2013 havo wiskunde B 12

4. Havo wiskunde D Oude examenprogramma havo D 2007 Nieuwe examenprogramma havo D 2015 Domein A Vaardigheden Domein A Vaardigheden A1 Algemene vaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Wiskundige en natuurwetenschappelijke A2 Profiel specifieke vaardigheden vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek B1 Kansrekening B2 Statistiek dataverwerking B3 Kansverdelingen B4 Profielspecifieke verdieping B5 Toepassingen van statistische verwerkingsmethoden Domein C Toegepaste analyse C1 Afgeleide functies 2 C2 Evenredigheidsverbanden C3 Exponentiële functies C4 Goniometrische functies Domein D Ruimtemeetkunde 2 D1 Onderlinge ligging van punten, lijnen, vlakken in concrete situaties D2 Afstanden en hoeken in concrete situaties D3 Coördinaten en vectoren Domein E Wiskunde in technologie Domein F Keuzeonderwerpen Domein B Statistiek en kansrekening B1 Visualisatie en interpretatie van data B2 Combinatoriek B3 Kansbegrip B4 Kansverdelingen B5 Toepassingen van statische verwerkingsmethoden B6 Profielspecifieke verdieping Domein C Ruimtemeetkunde C1 Oppervlakte en inhoud C2 Fragmenttekeningen van ruimtelijke objecten C3 Onderlinge ligging van punten, lijnen, vlakken in concrete situaties C4 Coördinaten en vectoren Domein D Wiskunde in technologie Domein E Keuzeonderwerp Havo wiskunde D bestaat alleen uit een schoolexamen 15

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Vaardigheden: De subdomeinen A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Wiskundige en natuurwetenschappelijke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden), zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein B Kansrekening en statistiek: De formuleringen van de globale eindtermen van de subdomeinen zijn nieuw; inhoudelijk zijn geen zaken verdwenen. Domein C Toegepaste analyse 2: Dit domein(met de subdomeinen C1: Afgeleide functies 2, C2: Evenredigheidsverbanden, C3: Exponentiële functies en C4: Goniometrische functies is in zijn geheel komen te vervallen. Domein D Ruimtemeetkunde 2: Subdomein D2 (Afstanden en hoeken in concrete situaties) is vervallen. Wat is nieuw in het programma? Ten opzichte van 2007 is in het uiteindelijke programma het subdomein Afstanden en hoeken in concrete situaties naar Wiskunde B gegaan en daarvoor in de plaats is het subdomein Fragmenttekeningen van ruimtelijke objecten (C2) gekomen. In het subdomein Profielspecifieke verdieping (B6) wordt niet alleen verwezen naar de relatie met Wiskunde B, maar ook naar die met andere bètavakken. De subdomeinen van het domein Statistiek en kansrekening (B) zijn hernoemd in de lijn van de nieuwe terminologie die hier wordt gehanteerd. Het subdomein Evenredigheidsverbanden is naar Wiskunde B verhuisd. In ruil daarvoor is een subdomein Profielspecifieke verdieping toegevoegd. 16

5. Vwo wiskunde A Oude examenprogramma vwo A 2007 Nieuwe examenprogramma vwo A 2015 Domein A Vaardigheden Domein A Vaardigheden A1 Informatievaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Onderzoeksvaardigheden A2 Profielspecifieke vaardigheden A3 Technisch-instrumentele vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden A4 Oriëntatie op studie en beroep A5 Algebraïsche vaardigheden Domein Bg Functies en grafieken Domein B Algebra en tellen Bg1 Standaardfuncties B1 Algebra Bg2 Functies, grafieken, vergelijkingen en B2 Telproblemen ongelijkheden Domein Cg Discrete analyse Domein C Verbanden Cg1 Veranderingen C1 Standaardfuncties Cg2 Rijen en recurrente betrekkingen C2 Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Domein Eg Combinatoriek en kansrekening Domein D Verandering Eg1 Combinatoriek D1 Rijen Eg2 Kansen D2 Helling Eg3 Rekenen met kansen D3 Afgeleide Eg4 Speciale discrete verdelingen Domein E Statistiek en kansrekening (SE) Domein Ba Differentiaalrekening met toepassingen E1 Probleemstelling en onderzoeksontwerp Ba1 Afgeleide functies E2 Visualisatie van data Ba2 Rekenregels E3 Kwantificering Domein Fa Statistiek en kansrekening E4 Kansbegrip Fa1 Populatie en steekproef E5 Kansverdelingen Fa2 Ordenen, verwerken en samenvatten van E6 Verklarende statistiek statistische gegevens Fa3 Kansverdelingen E7 Statistiek en ICT Fa4 Het toetsen van hypothesen Domein F Keuzeonderwerpen (SE) Domein G Keuzeonderwerpen Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op domeinen B, C, en D in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A, E en F. 17

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Domein A Vaardigheden: De subdomeinen A1 (Informatievaardigheden), A2 (Onderzoeksvaardigheden), A3 (Technischinstrumentele vaardigheden) en A5 (Algebraïsche vaardigheden) zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein Bg Functies en grafieken: - Domein Cg Discrete analyse: Hoewel er een grondige herformulering heeft plaats gevonden, zijn er inhoudelijk geen zaken verdwenen. Domein Eg Combinatoriek en kansrekening: De kansrekening (subdomeinen Eg2 t/m Eg4) is geen onderdeel meer van het Centraal Examen. In het nieuwe examenprogramma (in nieuwe formuleringen) is het wel verplicht binnen het Schoolexamendeel. Inhoudelijk geen veranderingen. Domein Ba Differentiaalrekening met toepassingen: De afgeleide van fx ( ) = sin( x. ) Domein Fa Statistiek en kansrekening: Statistiek en kansrekening (subdomeinen Fa1 t/m Fa4) is geen onderdeel meer van het CE. In het nieuwe examenprogramma (in nieuwe formuleringen) is het wel verplicht binnen het SE deel. De opzet van de statistiek is grondig gewijzigd (gebaseerd op de empirische cyclus: data verzamelendata verwerken-conclusies trekken en het werken met grote datasets) maar onderwerpen als kansverdelingen (binomiaal en normaal) en hypothese toetsen zijn gebleven. Wat is nieuw in het programma? In het nieuwe programma is meer aandacht voor rekenregels en algebraïsche vaardigheden. Er is een apart subdomein Algebra (B1). Het domein Statistiek en kansrekening (E) heeft een andere opzet en uitwerking gekregen, met onder andere een nadrukkelijker ICT-gebruik. Toegevoegd zijn verder: - het grondtal e voor exponentiële en logaritmische functies (dus f(x) = e x en f(x) = ln x als standaardfuncties), - de afgeleide berekenen van exponentiële en logaritmische functies, - de functie f(x) = sin x in het CE, - recht en omgekeerd evenredig, - lineair interpoleren en extrapoleren. Het voormalige SE-onderwerp Rijen en recurrente betrekkingen is toegevoegd aan het CEprogramma. Voorts wordt in het nieuwe programma aandacht besteed aan wiskundige denkactiviteiten. 18

Conform het examenbeleid wordt ongeveer 40% van de studielast aangewezen voor toetsing in uitsluitend het schoolexamen. Bij Wiskunde A vwo betreft dit domein E Statistiek en kansrekening en domein F Keuzeonderwerpen. Formules die op het examen bijgevoegd zullen worden 19

Voorbeelden van (nieuwe) opdrachten uit pilotexamens vwo wiskunde A 20

6. Vwo wiskunde B Oude examenprogramma vwo B 2007 Nieuwe examenprogramma vwo B 2015 Domein A Vaardigheden Domein A Vaardigheden A1 Informatievaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Onderzoeksvaardigheden A2 Profielspecifieke vaardigheden A3 Technisch-instrumentele vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden A4 Oriëntatie op studie en beroep A5 Algebraïsche vaardigheden Domein Bg Functies en grafieken Domein B Functies, grafieken en vergelijkingen Bg1 Standaardfuncties B1 Formules en functies Bg2 Functies, grafieken, vergelijkingen en B2 Standaardfuncties ongelijkheden Domein Cg Discrete analyse B3 Functies en grafieken Cg1 Veranderingen B4 Inverse functies Domein Bb Differentiaal- en integraalrekening B5 Vergelijkingen en ongelijkheden Bb1 Afgeleide functies B6 Asymptoten en limietgedrag van functies Bb2 Algebraïsche technieken Domein C Differentiaal- en integraalrekening Bb3 Integraalrekening C1 Afgeleide functies Domein Bb Goniometrische functies C2 Technieken voor differentiëren Db1 Goniometrische functies C3 Integraalrekening Domein Gb Voortgezette meetkunde Domein D Goniometrische functies Gb1 Oriëntatie op bewijzen Domein E Meetkunde met coördinaten Gb2 Constructie en bewijzen in de vlakke E1 Meetkundige vaardigheden meetkunde Domein F Keuzeonderwerpen E2 Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde E3 Vectoren en inproduct E4 Toepassingen Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op de domeinen B, C, D en E in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A, subdomein E1 en domein F. 26

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Domein A Vaardigheden: De subdomeinen A1 (Informatievaardigheden), A2 (Onderzoeksvaardigheden), A3 (Technischinstrumentele vaardigheden) en A5 (Algebraïsche vaardigheden) zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein Bg Functies en grafieken Logschalen Domein Cg Discrete analyse: Het subdomein Cg1 is eigenlijk grotendeels vervallen, zaken als toenamediagram, differentiequotiënt, differentiaalquotiënt worden niet meer genoemd. Domein Bb Differentiaal en integraalrekening Helling numeriek-grafisch benaderen, differentiaalquotiënt. Riemannsommen, maar niet vervallen is de eindterm met betrekking tot het benaderen van bepaalde integralen met ICT, dus numeriek met de GR. Integralen voor berekenen van lengte, afgelegde weg en zwaartepunt. (wel: uitkomsten van integralen interpreteren). Domein Db Goniometrische functies Eenparige cirkelbeweging, faseverschil, de formules voor sin(2 t ), cos(2 t ) hoeven niet gekend (staan op formulekaart bij het CE), formules van Simpson ( sin( t) ± sin( u ) en cos( t) ± cos( u ) ). (De verdubbelingsformules en de som-/verschilformules maken weliswaar deel uit van het programma maar hoeven niet uit het hoofd gekend te worden: ze zullen op het CE als zodanig vermeld worden.) Domein Gb Voortgezette meetkunde Dit domein is grotendeels vervallen. Overgebleven hiervan is een deel wat is beschreven in het nieuwe subdomein E1 (Meetkundige vaardigheden) en wel het volgende: De kandidaat kan meetkundige eigenschappen van objecten onderzoeken en bewijzen en kan daarbij gebruik maken van meetkundige en algebraïsche technieken en van ICT. Parate kennis De kandidaat kent: het begrip afstand als de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen twee meetkundige figuren; de volgende meetkundige stellingen: o Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel. 27

o o o o Een driehoek waarvan een zijde de middellijn van de omgeschreven cirkel is, is rechthoekig. Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Als vanuit een punt twee raaklijnen aan een cirkel getrokken worden, dan zijn de afstanden van dat punt tot de twee raakpunten gelijk. De raaklijn in het gemeenschappelijke raakpunt van twee elkaar rakende cirkels staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten. Parate vaardigheden De kandidaat kan: 1. de stelling van Pythagoras gebruiken om de afstand tussen twee punten te berekenen; 2. met gelijkvormigheid de lengte van lijnstukken berekenen; 3. sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het berekenen van de grootte van hoeken en de lengte van zijden in een rechthoekige driehoek; 4. de sinus- en cosinusregel gebruiken voor het berekenen van de lengte van lijnstukken en de grootte van hoeken in een driehoek; 5. (een gedeelte van) een meetkundige figuur algebraïsch beschrijven; 6. van een beschreven meetkundig probleem een tekening maken met daarin verwerkt de relevante gegevens. Productieve vaardigheden De kandidaat kan: 7. meetkundige technieken gebruiken om eigenschappen van figuren te onderzoeken en te bewijzen; 8. algebraïsche technieken gebruiken om eigenschappen van figuren te onderzoeken en te bewijzen. Wat is nieuw in het programma? Ten opzichte van het 2007-programma is de inhoud van het meetkundedomein gewijzigd: in plaats van zuivere synthetische meetkunde gaat het nu om meetkunde met coördinaten en vectoren, waarbij geredeneerd wordt met technieken uit de analytische en synthetische meetkunde. Symmetrie, transformaties en beweging spelen een belangrijke rol. Parametervoorstellingen zijn daarom vanuit het analysedomein naar het meetkundedomein verschoven. In de analyse zijn subdomeinen toegevoegd over limieten en inverse functies. Scheve asymptoten worden expliciet vermeld. Zo is nu ook de absolute-waarde-functie als standaardfunctie opgevoerd, worden stelsels vergelijkingen expliciet benoemd, en is er een eindterm over de drie karakteristieke vormen waarin tweedegraadsfuncties geschreven kunnen worden (dus ook als f(x) = a(x-p)(x-q) en f(x) = a(x-r) 2 + s ). Voorts wordt in het nieuwe programma aandacht besteed aan wiskundige denkactiviteiten. 28

Formules die op het examen bijgevoegd zullen worden 29

Voorbeelden van (nieuwe) opdrachten uit pilotexamens vwo wiskunde B 30

7. Vwo wiskunde C Oude examenprogramma vwo C 2007 Domein A Vaardigheden A1 Informatievaardigheden A2 Onderzoeksvaardigheden A3 Technisch-instrumentele vaardigheden A4 Oriëntatie op studie en beroep A5 Algebraïsche vaardigheden Domein Bg Functies en grafieken Bg1 Standaardfuncties Bg2 Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Domein Cg Discrete analyse Cg1 Veranderingen Cg2 Rijen en recurrente betrekkingen Domein Eg Combinatoriek en kansrekening Eg1 Combinatoriek Eg2 Kansen Eg3 Rekenen met kansen Eg4 Speciale discrete verdelingen Domein Ea Grafen en matrices Ea1 Grafen Ea2 Matrices Domein Fa Statistiek en kansrekening Fa1 Populatie en steekproef Fa2 Ordenen, verwerken en samenvatten van statistische gegevens Fa3 Kansverdelingen Domein G Keuzeonderwerpen Nieuwe examenprogramma vwo C 2015 Domein A Vaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Profielspecifieke vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden Domein B Algebra en tellen B1 Algebra B2 Telproblemen Domein C Verbanden Domein D Veranderingen Domein E Statistiek (SE) E1 Probleemstelling en onderzoeksontwerp E2 Visualisatie van data E3 Kwantificering E4 Kansbegrip E5 Kansverdelingen E6 Statistiek en ict Domein F Logisch redeneren Domein G Vorm en ruimte Domein H Keuzeonderwerpen (SE) Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op de domeinen B, C, D, F en G in combinatie met de vaardigheden uit domein A. Het schoolexamen Het schoolexamen heeft tenminste betrekking op domein A, E en H. Conform het examenbeleid wordt ongeveer 40% van de studielast aangewezen voor toetsing in uitsluitend het schoolexamen. Bij Wiskunde C vwo betreft dit domein E (Statistiek en kansrekening) en domein H (Keuzeonderwerpen). 33

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Domein A Vaardigheden: De subdomeinen A1 (Informatievaardigheden), A2 (Onderzoeksvaardigheden), A3 (Technischinstrumentele vaardigheden) en A5 (Algebraïsche vaardigheden) zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein B Functies en grafieken Het begrip functie wordt nog wel genoemd in de globale eindtermen maar niet in de specificaties. Daar wordt, evenals in de centrale examens, alleen nog maar gesproken over Verbanden. Domein en bereik Domein C Discrete analyse De inhoud van het subdomein Cg1 Veranderingen is grotendeels vervallen: Veranderingen beschrijven met differenties zoals bijvoorbeeld x, toenamediagrammen, differentiequotiënten (zowel berekenen als gebruiken en interpreteren (specificaties 8.6 t/m 8.9), hellinggrafiek (8.10 en 8.11), helling numeriek benaderen (wel grafisch). Domein Eg Combinatoriek en kansrekening De kansrekening (subdomeinen Eg2 t/m Eg4) is geen onderdeel meer van het CE. In het nieuwe examenprogramma (in nieuwe formuleringen) is het wel verplicht binnen het SE deel. Inhoudelijk geen veranderingen. Domein Fa Statistiek en kansrekening Statistiek en kansrekening (subdomeinen Fa1 t/m Fa4) is geen onderdeel meer van het CE. In het nieuwe examenprogramma (in nieuwe formuleringen) is het wel verplicht binnen het SE deel. De opzet van de statistiek is grondig gewijzigd (gebaseerd op de empirische cyclus: data verzamelendata verwerken-conclusies trekken en het werken met grote datasets) maar onderwerpen als kansverdelingen (binomiaal en normaal) zijn gebleven. 34

Wat is nieuw in het programma? Het programma Wiskunde C vwo is geheel herzien. Geheel nieuw zijn de onderwerpen Logisch redeneren (F)en Vorm en ruimte (G). Het domein Statistiek (E) heeft een andere opzet en uitwerking gekregen, met onder andere een nadrukkelijker ICT-gebruik. Het subdomein Probleemstelling en onderzoeksontwerp (E1) is een nieuw onderdeel. Verder nieuw in het programma: - recht en omgekeerd evenredig, - lineair interpoleren en extrapoleren, - verdubbelingstijd en halveringstijd, - periodieke verschijnselen beschrijven - de regel p x = x 1/ p Voorts wordt in het nieuwe programma aandacht besteed aan wiskundige denkactiviteiten. 35

Voorbeelden van (nieuwe) opdrachten uit pilotexamens vwo wiskunde C 36

8. Vwo wiskunde D Oude examenprogramma vwo D 2007 Nieuwe examenprogramma vwo D 2015 Domein A Vaardigheden Domein A Vaardigheden A1 Algemene vaardigheden A1 Algemene vaardigheden A2 Wiskundige en natuurwetenschappelijke A2 Profiel specifieke vaardigheden vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden A3 Wiskundige vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek B1 Combinatoriek B2 Kansrekening B3 Ordenen, verwerken en samenvatten van statische gegevens B4 Kansverdelingen B5 Het toetsen van hypothesen B6 Profielspecifieke verdieping Domein C Dynamische modellen C1 Discrete dynamische systemen C2 Continue dynamische systemen C3 toepassingen van discrete en continue dynamische systemen Domein D Meetkunde D1 Oriëntatie op analytische en synthetische methoden D2 Coördinaten, vergelijkingen en figuren in twee dimensies D3 Lijnen, cirkels en kegelsneden in coördinaten D4 Parametrisering D5 De ruimte D6 Toepassing en ict Domein E Complexe getallen E1 Basisoperaties E2 Profielspecifieke verdieping Domein F Dynamische modellen 2 Domein G Wiskunde in wetenschap Domein H Keuzeonderwerpen Domein B Kansrekening en statistiek B1 Combinatoriek B2 Kansrekening B3 Toevalsvariabelen B4 Kansverdelingen B5 Het toetsen van hypothesen B6 Correlatie en regressie B7 Profielspecifieke verdieping Domein C Dynamische modellen C1 Discrete dynamische systemen C2 Continue dynamische systemen C3 Toepassingen van discrete en continue dynamische systemen Domein D Meetkunde D1 Analytische en synthetische methoden D2 Kegelsneden: synthetisch in coördinaten D3 Ruimte D4 Toepassingen en ict Domein E Complexe getallen E1 basisoperaties E2 Profielspecifieke verdieping Domein F Wiskunde in wetenschap Domein G Keuzeonderwerp Vwo wiskunde D bestaat alleen uit een schoolexamen 41

Wat zit nu wel in het programma (2007) maar niet meer in het nieuwe (2015)? Wat is vervallen per domein? Domein A Vaardigheden De subdomeinen A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Wiskundige en natuurwetenschappelijke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden), zijn komen te vervallen en hergedefinieerd in A1 (Algemene vaardigheden), A2 (Profielspecifieke vaardigheden) en A3 (Wiskundige vaardigheden). Domein B Kansrekening en statistiek Subdomein B3: Ordenen, verwerken en samenvatten van statistische gegevens is vervallen. Domein C Dynamische modellen 1 - Domein D Meetkunde Subdomein D2 (Coördinaten, vergelijkingen en figuren in twee dimensies) is vervallen (verhuisd naar wiskunde B). Domein E Complexe getallen - Domein F Dynamische modellen 2 Dit domein is in zijn geheel vervallen. Wat is nieuw in het programma? De opdeling in subdomeinen van het domein Kansrekening en statistiek is licht gewijzigd en er zijn enkele accentverschillen aangebracht. Bovendien is het onderwerp correlatie en regressie toegevoegd, net als het begrip variantie, terwijl het statistisch verwerken van gegevens is verdwenen. Het domein Dynamische modellen heet nu Dynamische systemen. De domeinbeschrijving is hetzelfde. De analytische vlakke meetkunde is naar Wiskunde B gegaan (zie aldaar). Er is een onderdeel toegevoegd waarin kegelsneden synthetisch worden geanalyseerd. Het subdomein De ruimte is nader gespecificeerd; zo wordt bijvoorbeeld het uitproduct voorgeschreven. Aan het domein Complexe getallen is een zinsnede toegevoegd; leerlingen moeten een relatie kunnen leggen met de vlakke meetkunde. 42

9. Examenwerkwoorden havo vwo woord toelichting A B C A B 1 aantonen Een redenering en/of berekening waaruit de x x x x x juistheid van het gestelde blijkt. In het algemeen geldt dat het gestelde controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet. 2 afleiden (van Een redenering en/of berekening waaruit de x x x x x een formule) juistheid van een formule blijkt. In het algemeen geldt dat de formule controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet. 3 aflezen Het antwoord is voldoende. x x x x x 4 algebraïsch Stap voor stap, zonder gebruik te maken van x x specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de grafische rekenmachine; tussenantwoorden en het eindantwoord mogen benaderd worden. 5 bepalen De wijze waarop het antwoord gevonden wordt x x x x x is vrij; een toelichting is vereist. 6 berekenen De wijze van berekenen is vrij; een toelichting x x x x x is vereist. De toevoeging algebraïsch of exact legt beperkingen op aan de wijze van berekenen. 7 beredeneren Een redenering waaruit de juistheid van het x x x x x gestelde blijkt. 8 bewijzen Een redenering en/of exacte berekening x x waaruit de juistheid van het gestelde blijkt. In het algemeen geldt dat het gestelde controleren door middel van een of meer voorbeelden niet voldoet. 9 exact Stap voor stap, zonder gebruik te maken van x x specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de grafische rekenmachine; de antwoorden mogen niet benaderd worden. 10 herleiden (van Een formule stap voor stap herschrijven in een x x x x x een formule) gelijkwaardige vorm. 11 onderzoeken De aanpak is vrij, een toelichting is vereist. x x x x x De toevoeging algebraïsch of exact legt beperkingen op aan de wijze van onderzoeken. 12 oplossen De wijze van oplossen is vrij; een toelichting is vereist. De toevoeging algebraïsch of exact legt beperkingen op aan de wijze van oplossen. 13 schatten De wijze van schatten is vrij; een toelichting is vereist. 14 schetsen van Een schets van een grafiek moet voor de een grafiek probleemsituatie relevante karakteristieke eigenschappen van de grafiek bevatten. 15 tekenen van een grafiek Een tekening van een grafiek moet, naast een assenstelsel met een schaalverdeling, de voor de probleemsituatie relevante karakteristieke eigenschappen van de grafiek bevatten. De tekening van de grafiek moet nauwkeurig zijn. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 43

10.Websites www.ctwo.nl Een website met lesmateriaal gebruikt door pilotscholen. www.leergangwiskunde.nl Een initiatief van Google en Platform Bèta Techniek om de vernieuwing van het wiskundeonderwijs te ondersteunen. www.cito.nl/onderwijs/voortgezet%20onderwijs/centrale_examens/schriftelijke_examens_havov wo De plaats waar je de nieuwe examens kunt vinden. www.cve.nl/item/wiskunde_havo_vwo Hier vind je syllabi en voorbeeldexamens. www.betanova.nl/examens/wiskunde/ Hier kun je onder andere pilotexamens en voorbeeldexamens vinden. www.platformwiskunde.nl Koninklijk Wiskundig Genootschap (KWG) en de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW) hebben een gezamenlijk platform opgericht, met als naam Platform Wiskunde Nederland. www.nvvw.nl Nederlandse Vereniging voor Wiskundeleraren, een site met veel informatie voor de wiskundedocent. www.wiskundebrief.nl De WiskundE-brief is een digitale nieuwsbrief, gericht op wiskundedocenten in het voortgezet onderwijs, met als doel om een snelle onderlinge uitwisseling van informatie en meningen mogelijk te maken. 44