Toepassingen van logaritmen

Toepassingen van logaritmen In de techniek krijgen we vaak met logaritmen te maken. We gebruiken in diagrammen een logaritmische schaal wanneer een grootheid kan variëren van heel klein tot heel groot zoals bij transistorkarakteristieken en frequentiediagrammen. In de geluidstechniek wordt de geluidsintensiteit uitgedrukt in decibel, een logaritmisch verhoudingsgetal. Dat geldt ook voor de geluidsisolatie van een wand. In de audiotechniek drukken we de versterking van een versterker vaak uit in decibel. Om het volume te regelen gebruiken we logaritmische potentiometers. In de chemie geven we de sterkte van een zuur weer door zijn zuurgraad. Deze wordt uitgedrukt in een ph-getal. Zuiver water heeft een ph-waarde van 7. Hoe lager het ph-getal, hoe zuurder de vloeistof. Ook dit ph-getal is een logaritmische waarde. In de seismologie registreren we aardbevingen met een seismograaf. Dit apparaat geeft de uitwijking door een aardbevingsgolf weer in een seismogram. De kracht van een aardbeving wordt uitgedrukt door een getal op de schaal van Richter. Bij deze schaal wordt de logaritme gebruikt van de grootste uitwijking die in het seismogram voorkomt. Om aardbevingen met elkaar te kunnen vergelijken gebruiken we seismogrammen die op een afstand van 100 km van het epicentrum zijn gemaakt. Het epicentrum is de plaats aan het oppervlak van de aarde waar de beving het eerste optreedt. Diagrammen Onderstaande figuur toont een diagram met transistorkarakteristieken. Figuur 1 We zien dat zowel de horizontale als de verticale as logaritmisch zijn. Het grote voordeel is dat de grafieken over een groot gebied afleesbaar zijn. Het nadeel is dat de waarden op de assen soms moeilijk te bepalen zijn. We zien eenvoudig waar 0,1 ma en 2 ma liggen maar waar ligt bijvoorbeeld 0,15 ma? Toepassingen van logaritmen Blz 1 van 8

Figuur 2 In bovenstaand diagram ontbreekt een voldoende fijne schaalverdeling van de logaritmische y-as. Daarom is het bijzonder moeilijk om voor bijvoorbeeld x = 1 de bijbehorende waarde van f(x) op die y-as af te lezen. We zien wel dat f(1) in het logaritmische interval [1, 10] ligt. De plaats van f(1) leggen we eerst vast door een getal a tussen 0 en 1. Als a bijvoorbeeld 0,25 is, ligt het punt op een kwart van het interval. a bepalen we door opmeting met een meetlat. Voor f(1) geldt a = 0,75 (15 mm 20 mm). Daarna gaan we met behulp van die waarde f(1) berekenen. We gaan daarvoor een formule afleiden: Logaritmische schaal: O x B Figuur 3 Lineaire schaal: 0 a 1 We geven de ondergrens van het logarithmisch interval met O aan en de bovengrens met B. In bovenstaande figuur 3 geldt: log B - log O 1-0 1 log (B/O) 1. Ook geldt log x - log O a log x - log O a 1 log x - log O a log (B/O). log x log O + a log (B/O) log x log O + log (B/O) a log x log ( O (B/O) a ) x O ( B/O ) a Formule 1 In ons geval met a = 0,75, O = 1 en B = 10 volgt f(1) = 1 (10 /1) 0,75 = 5,62 Toepassingen van logaritmen Blz 2 van 8

Nog een voorbeeld: f(7) ligt in het logaritmische interval [100, 1000]. Door opmeting vinden we a = 0,375 (7,5 mm 20 mm). Met verder O = 100 en B = 1000 volgt f(7) = 100 (1000 /100) 0,375 = 237. 1 Bepaal met behulp van figuur 2 op de vorige bladzijde de waarde f(x) als: a) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 4 e) x = 5 f) x = 6 g) x = 8. Als we met onderstaand diagram g(0,5) willen bepalen moeten we eerst de exacte plaats van x = 0,5 opzoeken. We gaan daarom de bijbehorende a bepalen: Figuur 4 Met behulp van onderstaande figuur berekenen we een getal a in het lineaire interval [0,1] Logaritmische schaal: O x B Figuur 5 Lineaire schaal: 0 a 1 Uit de formule x O (B/O) a volgt (x/o) (B/O) a (B/O) a (x/o) log (B/O) a log (x/o) a log (B/O) log (x/o) a log (x/o) / log (B/O) Formule 2 Voor x = 0,5, O = 0,1 en B = 1 berekenen we a = 0,7. Toepassingen van logaritmen Blz 3 van 8

Met a = 0,7 weten we de plaats van x = 0,5. We kunnen dat punt nu tekenen. Van daaruit trekken we een verticale lijn omhoog tot de grafiek. Vervolgens gaan we horizontaal naar links tot we de y-as snijden. Bij dat snijpunt meten we eerst weer de bijbehorende a = 0,3 (6 mm 20 mm). Tenslotte berekenen we met formule 1 een waarde van 19,9 zodat geldt dat g(0,5) = 19,9. 2 Bepaal met figuur 4 de functiewaarde g(x) als: a) x = 0,8 b) x = 6 c) x = 15 d) x = 75 Figuur 6 3 Bepaal uit bovenstaande figuur 6 de functiewaarde h(x) als: a) x = 3,5 b) x= 7 c) x = 8,4 d) x = 12 e) x = 16. 4 Bepaal uit de transistorkarakteristieken van figuur 1 de h ie voor de BC148A bij: a) U CE = 5 V en I C = 0,5 ma. b) U CE = 5 V en I C = 0,15 ma. c) U CE = 10 V en I C = 2 ma. d) U CE = 10 V en I C = 4 ma. Toepassingen van logaritmen Blz 4 van 8

Geluidstechniek Geluidsgolven ontstaan als lucht (of een ander medium) in trilling wordt gebracht. Er ontstaan achtereenvolgende verdichtingen en verdunningen in de lucht. Het gevolg zijn achtereenvolgende verhogingen en verlagingen van de gemiddelde luchtdruk. De gemiddelde luchtdruk bedraagt ongeveer 1 bar, dat is gelijk aan 10 5 = 100000 Pa (Pascal). De sterkste geluiden die onze oren kunnen verdragen veroorzaken een drukverandering van ongeveer 29 Pa (pijngrens). Het zwakste geluid dat we nog kunnen waarnemen veroorzaakt slechts een drukverandering van ongeveer 3 10-5 Pa (hoordrempel). Geluidsgolven vertegenwoordigen energie. Deze energie wordt door een geluidsbron zoals een luidspreker uitgezonden. De hoeveelheid energie die per sekonde door een oppervlak van 1 m 2 passeert noemen we de geluidsintensiteit I met als eenheid W/m 2. Deze geluidsintensiteit is voor de mens eigenlijk geen goede grootheid om de geluidssterkte uit te drukken. Een geluid met een twee maal zo grote intensiteit wordt door ons namelijk niet als twee maal zo hard ervaren. Ons oor werkt namelijk niet lineair maar logaritmisch. Dat betekent dat een geluid 10 maal zoveel vermogen moet krijgen om door ons als 2 maal zo hard te worden ervaren. Daarom is de grootheid intensiteitsniveau L ingevoerd: I L = 10 log I 0 Formule 3 Daarbij is I 0 het zogenaamde nulniveau, I 0 = 10-12 W/m 2. We zien dat L een logaritmisch verhoudingsgetal (dimensieloos) is. Logaritmische verhoudingsgetallen worden gewoonlijk uitgedrukt in db (decibel). Voorbeeld: Oplossing: Langs de snelweg wordt een geluidsintensiteit I van 10-4 W/m 2 gemeten. Bereken het intensiteitsniveau L. L = 10 log( I / I 0 ) L = 10 log( 10-4 / 10-12 ) L = 80 db. 5 Bereken het geluidsniveau L bij een geluidsintensiteit I van: a) 0,5 W/m 2 b) 2 µw/m 2 c) 6 nw/dm 2 d) 12 pw/cm 2 Voorbeeld: Oplossing: Langs de snelweg wordt een intensiteitniveau L van 60 db gemeten. Bereken de geluidsintensiteit I. L = 10 log( I / I 0 ) 60 = 10 log( I / I 0 ) log( I / I 0 ) = 6 I / I 0 = 10 6 I = 10 6 I 0 I = 10 6 10-12 I = 10-6 W/m 2. 6 Bereken de geluidsintensiteit I bij een geluidsniveau L van: a) 20 db b) 65 db c) 100 db d) 120 db Toepassingen van logaritmen Blz 5 van 8

Voorbeeld: Oplossing: Bereken het gezamenlijke intensiteitsniveau L tot van een geluidsbron met een intensiteitsniveau L 1 van 95 db en een geluidsbron met een intensiteitsniveau L 2 van 85 db. L 1 = 10 log( I 1 / I 0 ) 95 = 10 log( I 1 / I 0 ) log( I 1 / I 0 ) = 9,5 I 1 / I 0 = 10 9,5 I 1 = 10 9,5 I 0 I 1 = 10 9,5 10-12 I 1 = 10-2,5 W/m 2 I 1 = 3,1623 10-3 W/m 2. Op dezelfde manier berekenen we I 2 = 3,1623 10-4 W/m 2. I tot = I 1 + I 2 I tot = 3,1623 10-3 + 3,1623 10-4 = 3,4785 10-3 W/m 2. L tot = 10 log( I tot / I 0 ) L tot = 10 log( 3,4785 10-3 / 10-12 ) L tot = 95,41 db. Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in twee decimalen achter de komma. 7 Bereken in een punt het totale intensiteitsniveau L tot als gevolg van meerdere geluidsbronnen. a) L 1 = 70 db en L 2 = 70 db. b) L 1 = 70 db en L 2 = 80 db. c) L 1 = 60 db en L 2 = 90 db. d) L 1 = 60 db, L 2 = 90 db en L 3 = 80 db. 8 Een machine heeft een intensiteitsniveau van 60 db. Wat wordt het intensiteitsniveau als er vier dezelfde machines bijkomen? 9 Machine A heeft een intensiteitsniveau van 60 db. Als we machine B ook in bedrijf nemen meten we een resulterend intensiteitsniveau van 65 db. Bereken het intensiteitsniveau van machine B. Audiotechniek Een belangrijke eigenschap van een versterker is zijn versterkingsfactor. We onderscheiden de vermogensversterkingsfactor A P, de stroomversterkingsfactor A I en de spanningsversterkingsfactor A U. De vermogensversterkingsfactor A p is het uitgangsvermogen gedeeld door het ingangsvermogen, in formulevorm: A P = P uit / P in. Zo n versterkingsfactor is dus een dimensieloos verhoudingsgetal. Hiervan kunnen we weer de logaritme nemen en met 10 vermenigvuldigen. We krijgen dan de vermogensversterking in db. P uit A P (db) = 10 log. Omdat geldt P = U 2 / R volgt: P in U 2 uit / R uit A P (db) = 10 log. Als R uit = R in vereenvoudigen we tot: U 2 in / R in Toepassingen van logaritmen Blz 6 van 8

U 2 uit A P (db) = 10 log U 2 in U uit A P (db) = 10 log U in 2 U uit A P (db) = 20 log U in Formule 4 10 De ingangsspanning van een versterker bedraagt 20 mv. In- en uitgangsweerstand zijn gelijk. Bereken de vermogensversterking in db als U uit gelijk is aan: a) 5 mv b) 200 mv c) 1 V d) 5 V 11 De ingangsspanning van een versterker bedraagt 2 mv. In- en uitgangsweerstand zijn gelijk. Bereken de uitgangsspanning als de vermogensversterking gelijk is aan: a) 6 db b) -6 db c) 14 db d) 46 db Potentiometers zijn regelbare weerstanden waarvan we de weerstandswaarde kunnen instellen door een draaiende (of schuivende) beweging. Meestal hebben potentiometers een lineair weerstandsverloop. Dat betekent dat de weerstandswaarde rechtevenredig is met de verdraaiïngshoek. Door de breedte van de weerstandslaag te variëren kunnen we potentiometers met een logaritmisch of anti-logaritmisch verloop produceren zie onderstaande figuren. Zo n logaritmisch verloop passen we toe bij volume-regelaars in geluidsversterkers. Geluidsindrukken van onze oren verlopen namelijk logaritmisch met de geluidsenergie. 12 Welk van de grafieken a, b of c correspondeert met een anti-logaritmisch verloop? Toepassingen van logaritmen Blz 7 van 8

Antwoorden toepassingen logaritmen 1 a) f(x) = 1,4 b) f(x) = 14 c) f(x) = 32 d) f(x) = 56 e) f(x) = 100 f) f(x) = 158 g) f(x) = 316 2 a) g(x) = 32 b) g(x) = 158 c) g(x) = 251 d) g(x) = 500 3 a) h(x) = 23 b) h(x) = 5 c) h(x) = 4 d) h(x) = 3 e) h(x) = 2,4 4 a) h ie = 9 kω b) h ie = 30 kω c) h ie = 3 kω d) h ie = 1,7 kω 5 a) L = 116,99 db b) L = 63,01 db c) L = 57,78 db d) L = 50,79 db 6 a) I = 10-10 W/m 2 b) I = 3.16 10-6 W/m 2 c) I = 10-2 W/m 2 d) I = 1 W/m 2 7 a) L tot = 73,01 db b) L tot = 80,41 db c) L tot = 90,00 db d) L tot = 90,42 db 8 L tot = 66,99 db 9 L B = 63,35 db 10 a) A P (db) = -12,04 db b) A P (db) = 20,00 db c) A P (db) = 33,98 db d) A P (db) = 47,96 db 11 a) U uit = 3,99 mv b) U uit = 1,00 mv c) U uit = 10,02 mv d) U uit = 399,05 mv 12 Grafiek c correspondeert met een anti-logaritmisch verloop Toepassingen van logaritmen Blz 8 van 8